XÁC SUẤT THỐNG KÊ Chương 4 bài giảng điện tử xstk

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
§1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản
1. Phân phối đều rời rạc:
2. Phân phối không – một A(p):
Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p)

X

x1

x2 ... xk

P

1
k

1
k



X
P

...
0
q

1
k

1
p

Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q
3. Phân phối nhị thức B(n,p):
k k nk

~

n
,
p



k

C
, k  0, n




Định nghĩa 1.2:
n . p .q
Định lý1.2:
 ~   n , p     X   np , D     npq ,

Mod  k0   n  1 p hoaëc k 0   n  1 p  1
1

4. Phân phối siêu bội
Bài tốn: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng cịn lại
là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (khơng hồn
lại), n khơng lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối
xác suất của X là số bi trắng lấy được.
Giải:
C Mk . C Nn kM
   k  
, k  0, n
n
CN
Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối
siêu bội H(N,M,n)
 ~ H ( N , M , n )       np ,
Định lý 1.3: Giả sử
N n
M
D     npq
,p
N 1
N

Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức
lấy bi khơng hoàn lại: phân phối siêu bội
2


Ví dụ 1.1: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy

ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hồn lại cho đến khi
gặp bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3
bi trắng, 2 bi đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:

C

P 

3
6

.C

C

5
1 5

2
5

4
.
1 0

Ví dụ 1.2 : Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hồn lại cho đến khi
gặp đủ 3 bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được
đúng 3 bi trắng, 2 bi đen.

P 

C

3
6

. C 52 . C
C 175

2
4

2
.
8
3


Ví dụ 1.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hồn lại cho đến khi gặp
bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi
trắng, 2 bi đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:
3

2

4

 6 
2  5 
P C 
 .C 2 . 
 .
 15 
 15  15
3
5

Ví dụ 1.4 : Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hồn lại cho đến khi gặp
đủ 3 bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3
bi trắng, 2 bi đen.
3

 6 
2  5 
P C 
 .C 4 

 15 
 15 
3
7

2

2

 4  4
.
 .
 15  15
4


5. Phân phối Poisson P(a),a>0:
k
Định nghĩa 1.4:
a
 ~   a       k   e  a . , k  0,1, 2...
k!
Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a
Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy:
P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)

 0  X 12  0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm  …)

  6  X  12    0  X  12    0    5

5


Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1
dịch vụ cơng cộng thì X tn theo quy luật phân phối
Poisson P(a) với a là số người trung bình sử dụng
dịch vụ đó.
Ví dụ 1.2:
Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện.

Tính xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó.
Giải:
Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10
phút thì X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy:
4

5
   4  e .
4!
5

6


§2: Các quy luật phân phối liên tục





1. Phân phối chuẩn  a ,  2 ,   0
Định nghĩa 2.1:

1
 ~   a,   f  x  
e
 2
2

 x  a 

2

2 2

Định lý 2.1: X có phân phối   a ,  2  thì E(X) = a,
2
D(X) = 
Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân
phối chuẩn tắc (hay chuẩn hóa,Gauss,tự nhiên)
N(0,1) nếu:

f u  

1
u2 /2
e
(hàm mật độ Gauss).
2
7


Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) thì
u

P(u )  (u )  FU  u   0,5  
u

với   u  


0

0

t2

2

1 t 2 /2
e dt  0,5    u 
2

1
e dt là tích phân Laplace (hàm lẻ)
2

Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có:

1   u1  U  u2     u2     u1     u2     u1  ;
 2   U     2   .



Định lý 2.4:  ~  a , 

2

 U



X a



~   0,1
8


1
e
2

f (u ) 
u

 u  


0

u2

2

1
e
2

t2

2

-hàm mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1)

dt - tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2)

  u   0.5,  u  5
.tra xuôi:  1, 9 6   0 , 4 7 5 0 ( tra ở hàng 1,9; cột 6 bảng
phân Laplace).
.tra ngược:   ?   0, 45  hàng 1,6; giữa cột 4 và cột 5 nên

1, 64  1, 65
?
2
9


$4.Tích phân Laplace (tt) :
.Tra xi bằng máy tính:
ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q
MS: MODE …SD SH DISTR Q

 1, 9 6   Q (1 .9 6 )  0 , 4 7 5 0
   1, 9 6    Q (  1 .9 6 )   0 , 4 7 5 0
Q (u ) |  (u ) |
u

  u   P(u ) 





t2

2

1
e dt  0,5    u 
2
10


• Hình 3.1

Hình 3.2

11


Định lý 2.5: Giả sử

 ~  a, 2  .Khi ấy ta có:

 a
  a 
 a
  a 

1          

  


  
  
  
  
 
 
  
 2      a     2.          
 
 
  

Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn
N(165, 52 ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao
nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn.

 160  165 
    X  160    
     
5



  1         0, 34134  0, 5

    X  160   (1)  P(1)  0,15866
12


Ví dụ 2.2: Cho

U ~  0,1 hãy tính kỳ vọng của U

m

Giải:

1 u2 /2
m
m
U    u .
e du  0 nếu m lẻ vì cận đối xứng,

2
hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.


1
1
2
2
u2 /2
u2 / 2
 U    u
e

du   u .u
e
du

2
2

1
1
u2 /2
u2 /2
dv  u
e
du  v  
e
2
2

1  u 2 / 2 
1
2
u2 /2
  U    u .
e

e
du  1


2

2


13


Tương tự:


1 u2 /2
U    u u
e du
2

4

3



2
1
3
u /2
2 1
u2 /2
u .
e
3. u
e du  3.U2   3.1;



2
2

U   5U   5.3.1;
6

4

...
U

2n

   2n1!!
14


2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK)
Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
đều trên đoạn [a , b] ,kí hiệu X~U [a , b] ,nếu
fX

 1
, x  a , b 

x    b  a
 0 , x  a , b 


 FX

x 

0, x  a
x  a

 
,a  x  b
b  a
 1, b  x

Định lý 2.6 : Nếu X~U [a , b],thì
ab
(b  a)2
E( X ) 
, D( X ) 
2
12
15


Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm đơi
bởi 1 điểm P. Hãy tính diện tích trung bình của hình chữ nhật
có 2 cạnh là 2 đoạn đó.
Giải :
Ký hiệu X=AP ,khi ấy X~U [0, a ], nghĩa là:

X ~ fX

x 

1
 , x  0 , a 
 a
 0 , x  0 , a 


S  X (a  X )
a

1
a2
2
E(S)   x(a  x)dx 
(cm )
a0
6
16


Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối đều trên
miền D nếu
 1
, n eáu ( x , y )  D

f ( x, y)   S ( D )
0
, n ếu ( x , y )  D


,v ới S (D ) là d iện tích m iền D

17


Ví dụ :Một đoạn thẳng AB =a cm bị ngắt ngẫu nhiên làm ba
bởi 2 điểm P,Q. Hãy tính thể tích trung bình của hình hộp
chữ nhật có 3 cạnh là 3 đoạn đó.
Giải :
Ký hiệu X=AP,Y=PQ ,khi ấy (X,Y) có phân phối đều trên miền

D : 0  X  a, 0  Y  a, X  Y  a
nghĩa là:

 2
 2 , n eáu ( x , y )  D
f ( x, y)   a
 0 , n eáu ( x , y )  D


V  X .Y .(a  X  Y )
a

2
E(V )  2  dx
a 0

a x



yx(a  x  y) dy (cm3 )

0

18


3. Phân phối mũ E ( ) :
Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
mũ nếu hàm mật độ của X là:

 .e  x neáu x  0;
f ( x)  
neáu x  0 ,
0

 >0

Định lý 2.7 :

X ~ E( )  E( X )   ( X ) 

1



4. Phân phối khi bình phương:(Xem SGK)
5. Phân phối Student:(Xem SGK)

19


§3. Các định lý giới hạn ( luật số lớn).
1. Định lý Chebyshev:
• Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X là 1 đại
lượng ngẫu nhiên.Khi đó ta có:
P ( | X  E ( X ) |  ) 

D(X )



2

• Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 ,  2 ,...,  n ,... đơi
một độc lập có C  0 : D( X k )  C, k .Khi đó ta có:
 1
l i m P 
n 
 n

n



k 1

X

k

1

n

n



k 1

E (X

k


)     1


2. Định lý Bernoulli:
• Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m là số lần thành công trong
dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì:
20