Bài giảng Hình học lớp 11 bài 2: Hai đường thẳng vuông góc (Tiết 2) - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỞ THƠNG BÌNH CHÁNH
TỞ TOÁN

Khới 11


Bài 2: HAI ĐƯỜNG
THẲNG VNG GĨC
Tiết 2


Nội dung đã học
Tích vơ hướng
của hai vecto
trong khơng gian
Góc giữa hai vecto
trong khơng gian

00  (u, v)  1800

Tích vô hướng của
hai vecto trong
không gian
u.v = u v .cos(u , v)

Vecto chỉ
phương của
đường thẳng

Góc giữa hai
đường thẳng

Hai đường thẳng
vng góc

Khác veto khơng và
có giá song song
hoặc trùng với
đường thẳng

00  (a, b)  900

a ⊥ b  (a, b) = 900


Một số bài tập áp dụng
VD1: Cho |𝒂| = 𝟑, |𝒃| = 𝟓 góc giữa 𝒂 và 𝒃 bằng 𝟏𝟐𝟎°.

Tính tích vơ hướng của hai véctơ 𝒂 và 𝒃

𝒂. 𝒃 = |𝒂|. |𝒃|. 𝒄𝒐𝒔 𝒂, 𝒃
= 𝟑. 𝟓. 𝐜𝐨𝐬𝟏𝟐𝟎𝟎
𝟏𝟓
=−
𝟐


VD2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a,
𝑺𝑨 = 𝒂 𝟑 và tam giác ABC vuông tại A. Khi đó 𝑪𝑨. 𝑪𝑺 =?
𝟐𝒂𝟐 𝟏𝟓
𝑨.

𝟓

𝟐𝒂 𝟏𝟓
𝑩.
𝟓

𝑨𝑪 = 𝒂 𝟐; 𝑺𝑪 =
෣
𝑪𝑨; 𝑪𝑺 = 𝑺
𝑪𝑨

𝒂 𝟑

𝒂𝟐 𝟔
𝑪.
𝟐

𝟐

+ 𝒂 𝟐

෣=
 cos𝑺𝑪𝑨

𝑫. 𝒂𝟐 𝟑

𝟐

S

=𝒂 𝟓

𝑨𝑪
𝟏𝟎
=
𝑺𝑪
𝟓
B

A

𝟏𝟎 𝟐𝒂𝟐 𝟏𝟓
𝑪𝑨. 𝑪𝑺 = 𝒂 𝟐. 𝒂 𝟑.
=
.
𝟓
𝟓

D

C


VD3: Cho hình lập phương 𝐀𝐁𝐂𝐃. 𝐀′𝐁′𝐂′𝐃′ có cạnh 𝐚. Gọi 𝐌 là
trung điểm 𝐀𝐃. Giá trị 𝐁′𝐌. 𝐁𝐃′ là:
𝟏
𝟐

A. 𝐚𝟐 .

B. 𝐚𝟐 .

𝟑
𝟒

C. 𝐚𝟐 .

Ta có: 𝐁′𝐌. 𝐁𝐃′ = 𝐁′𝐁 + 𝐁𝐀 + 𝐀𝐌

𝟑
𝟐

D. 𝐚𝟐 .

𝐁𝐀 + 𝐀𝐃 + 𝐃𝐃′

= 𝑩′𝑩. 𝑫𝑫′ + 𝑩𝑨𝟐 + 𝑨𝑴. 𝑨𝑫
𝟐
𝟐
𝒂
𝒂
= −𝒂𝟐 + 𝒂𝟐 +
=
𝟐
𝟐

B'

A'

D'

C'

A

B

M

D

C


VD4: Cho hình lập phương 𝑨𝑩𝑪𝑫. 𝑬𝑭𝑮𝑯.
Hãy tính góc giữa cặp vectơ 𝑨𝑩 và 𝑬𝑮?

A. 𝟗𝟎°.

B. 𝟔𝟎°.

C. 𝟒𝟓°.

D. 𝟏𝟐𝟎°.

Ta có: 𝐄𝐆 = 𝐀𝐂 (do 𝐀𝐂𝐆𝐄 là hình chữ nhật)

B'

A'

෣ = 𝟒𝟓°.
⇒ 𝐀𝐁, 𝐄𝐆 = 𝐀𝐁, 𝐀𝐂 = 𝐁𝐀𝐂
(Vì 𝑨𝑩𝑪𝑫 là hình vng)

D'

C'

A

B

M

D

C


VD5: Cho hình chóp 𝐒. 𝐀𝐁𝐂 có 𝐁𝐂 = 𝐚 𝟐, các cạnh cịn lại đều bằng 𝐚.

Góc giữa hai vectơ 𝐒𝐁 và 𝐀𝐂 bằng
A. 𝟔𝟎°.

Ta có

B. 𝟏𝟐𝟎°.

𝒄𝒐𝒔 𝑺𝑩, 𝑨𝑪 =

=

−

C. 𝟑𝟎°.
𝑺𝑩. 𝑨𝑪
𝑺𝑩 . 𝑨𝑪

D. 𝟗𝟎°.
𝑺𝑨 + 𝑨𝑩 . 𝑨𝑪 𝑺𝑨. 𝑨𝑪 + 𝑨𝑩. 𝑨𝑪
=
=
𝟐
𝒂
𝒂𝟐
S

𝒂𝟐

+𝟎
𝟏
𝟐
=− .
𝟐
𝒂
𝟐
A

C

Suy ra 𝐒𝐁, 𝐀𝐂 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 .
B


VD6: Cho hình lập phương 𝐀𝐁𝐂𝐃. 𝐄𝐅𝐆𝐇. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
𝐀𝐅 và 𝐄𝐆?
A. 𝟗𝟎°

B. 𝟔𝟎°

C. 𝟒𝟓°

D. 𝟏𝟐𝟎°

𝐀𝐅. 𝐄𝐆
𝑬𝑭 − 𝑬𝑨 . 𝑬𝑮 𝑬𝑭. 𝑬𝑮 − 𝑬𝑨. 𝑬𝑮
𝐜𝐨𝐬 𝐀𝐅; 𝐄𝐆 =
=
=
𝐀𝐅. 𝐄𝐆
𝑨𝑭. 𝑬𝑮
𝑨𝑭. 𝑬𝑮

F

E

𝑬𝑭. 𝑬𝑮 𝒂. 𝒂 𝟐. 𝒄os𝟒𝟓𝟎 𝟏

=
=
=
𝑨𝑭. 𝑬𝑮
𝟐
𝒂 𝟐. 𝒂 𝟐

H

G

A

B

⇒ 𝐀𝐅; 𝐄𝐆 = 𝟔𝟎𝟎
D

C


VD7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Véctơ chỉ phương của đường
thẳng AC là

𝑨. 𝑨𝑩

𝑩. 𝑨𝑩

𝑪. 𝑨′ 𝑪′

Vì A’C’//AC

𝑫. 𝑨′ 𝑪

C'

B'

A'
D'

B
C

A

D


VD8: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và PQ vng góc nhau.

Ta co: PQ = PA + AC + CQ
Va : PQ = PB + BD + DQ

Do do: 2PQ = AC + BD
Vay: 2 PQ. AB = ( BD + AC ) + AB = AC. AB + BD. AB = 0

Hay: PQ. AB = 0 Suy ra: PQ ⊥ AB

VD9: Cho hình chóp 𝑺. 𝑨𝑩𝑪𝑫 có đáy là hình vng cạnh là 𝟐𝒂; cạnh 𝑺𝑨 = 𝒂
và vng góc với đáy. Gọi 𝑴 là trung điểm của 𝑪𝑫. Tính 𝒄𝒐𝒔 𝜶 với 𝜶 là góc tạo
bởi hai đường thẳng 𝑺𝑩 và 𝑨𝑴.
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
A. .
B. .
C. .
D. − .
𝟓

𝟐

𝟓

𝟓

Gọi 𝑵,𝑷 lần lượt là trung điểm 𝑨𝑩và 𝑺𝑨.

Ta có ቊ

𝑺𝑩//𝑵𝑷
𝑨𝑴//𝑵𝑪

Xét 𝜟𝑵𝑷𝑪 có 𝑵𝑷 =

S

෣
Suy ra : (𝑺𝑩,෣
𝑨𝑴) = ( 𝑵𝑷,
𝑵𝑪)
𝒂 𝟓
,
𝟐

𝑷𝑪 =

෣ =
Khi đó 𝒄𝒐𝒔 𝜶 = 𝒄𝒐𝒔 𝑷𝑵𝑪

𝒂 𝟑𝟑
,
𝟐

P

𝑵𝑪 = 𝒂 𝟓.

𝑵𝑷𝟐 +𝑵𝑪𝟐 −𝑷𝑪𝟐
𝟐𝑵𝑷.𝑵𝑪

A

D

N

𝟐
𝟓

= .

M

B
C


BÀI HỌC KẾT THÚC
CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE