Bài giảng Đại số lớp 11: Dãy số - Trường THPT Bình Chánh

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

Tổ tốn

Khối 11


DÃY SỐ


HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM

Cho hàm số u(n) = 2n +1 xác địnhn N*
Hãy tính u(1); u(2); u(3); u(4); u(5),………


Thay lần lượt thứ tự n = 1, 2, 3, 4, 5,…k….
vào u(n) = 2n +1 ta được:
n = 1:
u(1) = 3
n = 2:
u(2) = 5
n = 3:
u(3) = 7
n = 4:
u(4) = 9
n = 5:
u(5) = 11
……………….
n = k:
u(k)= 2k + 1

Nhận xét:
Khi thay n theo thứ tự 1,2,3,4,5,…k,… thì ta được các
giá trị tương ứng của u(n) lập thành một dãy số:

3, 5, 7, 9,11,…, 2k+1,…..


I/ DÃY SỐ
1/ Định nghĩa:
* Hàm số u(n) xác định n N* được gọi
là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

* Kí hiệu dãy số là (un).
Thay thứ tự n = 1, 2, 3,…….ta được các số
hạng tương ứng cuả dãy số là u1, u2,u3,……


Dạng khai triển của dãy số (un) là:

u1, u2, ........,un,..........
Trong đó:
u1 : số hạng thứ nhất
u2 : số hạng thứ hai
...................
un : số hạng thứ n hay được gọi là số hạng tổng quát
của dãy số (un)
* Nếu dãy số xác định trên tập M = {1,2,3,.....m} thì ta gọi
dãy số là dãy số hữu hạn.

2/ VÍ DỤ:
a) Cho dãy số u(n) = n2 . Hãy viết dạng khai
triển của nó:

1, 4, 9, 16, 25..........
b) Dãy số 1, 3, 5, 7,.....Hãy viết công thức cho
số hạng tổng quát un :

un=2n – 1


II/ CÁCH CHO DÃY SỐ:
1/ Cho dãy số bằng công thức của số hạng
tổng quát:
Cho dãy số (un) với un = 3n +1
Dạng khai triển là:
4, 7, 10, 13,........


2/ Dãy số cho bằng công thức truy hồi:

u1 = 2
Cho dãy số 
(n  2)
un = un −1 + 3

Dạng khai triển là:

2, 5, 8, 11, 14……

III/ BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA DÃY SỐ

Biểu diễn hình hc ca dóy s

u5 u4 u3

u2

1

n

nh sau:

u1
un

0

1/5

ẳ

1/3

ẵ

1

IV/ DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1/ Dãy số tăng- dãy số giảm:
* Dãy số (un) gọi là tăng nếu  nN* : un < un+1
( u1 < u2 < ......... < un < un+1<......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = n+ 1 là dãy tăng
2, 3, 4, 5........
* Dãy số (un) gọi là giảm nếu  nN* : un > un+1
(u1 > u2 > ......... > un > un+1>......)
Ví dụ: Dãy (un) với un = 2n- n2 là dãy giảm
1, 0, -3, -8,........


* Phương pháp xét tính tăng - giảm
của một dãy số:
a) Dãy số (un) tăng  nN* , un+1 – un > 0

b) Nếu các số hạng của dãy số (un) đều dương
thì :
un +1
Dãy số (un) tăng  n N* ,
1

un

Ta có điều ngược lại cho dãy số giảm.


VÍ DỤ

Xét tính đơn điệu của các dãy số sau :
a) Dãy số (un) với un = n – 2n
Ta có un+1= n+1 – 2n+1
Xét: un+1 – un = (n+1 – 2n+1) – (n – 2n)
= 1 – 2n+1 + 2n
= 1- 2.2n + 2n
= 1 – 2n.(2-1)
= 1 – 2n < 0
Vậy (un) là dãy số giảm


b) Dãy số (un) với un = n.an
Ta thấy un > 0 

un+1 (n + 1)a
=
n
un
n.a

N*

n +1

nên ta xét tỉ số

u n +1
un

(n + 1)a .a (n + 1)a

=
=
1
n
n.a
n
n

( Vì

Vậy dãy (un) tăng

(a 1)

n +1
1
n

và a  1)


* Chú ý : Không phải mọi dãy số đều tăng hay
giảm
Ví dụ: Dãy số (un) với un = (-3)n là dãy số
không tăng không giảm:
-3, 9, - 27, 81....


2/ DÃY SỐ BỊ CHẶN
1/ Định nghĩa :

- Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại M
sao cho:
 n N* , un  M
Ví dụ: Dãy số (un) với un

1
= 1+
n

Bị chặn trên bởi chặn trên bởi số 2
1
*
vì
1
n  N

n


- Dãy số (un) gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m sao cho:

 n N* , un  m

Ví dụ:
Dãy số (un) với un=1 + n2 bị chặn dưới bởi số 1
- Dãy số (un) gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên

vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại m, M sao cho:
 n N* , m  un  M

Ví dụ: Dãy số (un) với un

1
= 1+
n

bị chặn dưới bởi 1 và chặn trên bởi 2


Ví dụ : Hãy chứng minh dãy số (un)
2n − 1
với un =
bị chặn.
n

* Ta có

2n − 1
n

- Mặt khác:

Giải:
> 0 n  N*

2n -1 < 2n

2n − 1
2n − 1 2 n
Suy ra 0 <

<2
 = 2 tức 0 <
n
n
n
Vậy dãy số (un) bị chặn


BÀI TẬP VỀ NHÀ
2n
Cho dãy số (un) với un = 2
, nN*
n +1
a) Viết 5 số hạng đầu.
9
b) Số
là số hạng thứ mấy?
41

c) Chứng minh dãy số giảm và bị chặn.