Tri rieng vec to rieng 2 CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ mơn Tốn ứng dụng

TP. HCM — 2011.
TS. Lê Xn Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

1 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa
Cho A ∈ Mn×n (K ). Nếu tồn tại X ∈ K n , X 6= 0
sao cho AX = λX , λ ∈ K thì λ được gọi là trị
riêng của ma trận A và X được gọi là véctơ riêng
của ma trận A ứng với trị riêng λ.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

2 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa
Cho A ∈ Mn×n (K ). Nếu tồn tại X ∈ K n , X 6= 0
sao cho AX = λX , λ ∈ K thì λ được gọi là trị
riêng của ma trận A và X được gọi là véctơ riêng
của ma trận A ứng với trị riêng λ.
Ví dụ
Tìm trị
 riêng,
 véctơ riêng của ma trận
1 4
A=
2 3
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

2 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Biểu thức

 AX =
 λXcó dạng

1 4
x1
λx1
=
⇔
2 3
x2
λx2

   
1−λ 4
x1
0
=
.
2 3−λ
x2
0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Biểu thức

 AX =
 λXcó dạng

1 4
x1
λx1
=
⇔
2 3
x2
λx2

   
1−λ 4
x1
0
=
. Hệ phương

2 3−λ
x2
0
trình thuần nhất này phải có nghiệm X 6= 0 nên





1−λ 4




= 0 ⇔ λ2 − 4λ − 5 = 0

2 3−λ

⇔ λ1 = −1, λ2 = 5.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

3 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Ứng với λ1 = −1. Ta có

2x1 + 4x2 = 0
⇔ x1 = −2α, x2 = α.
2x1 + 4x2 = 0
Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α 6= 0.

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

4 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Ứng với λ1 = −1. Ta có

2x1 + 4x2 = 0
⇔ x1 = −2α, x2 = α.
2x1 + 4x2 = 0
Vậy véctơ riêng có dạng α(−2, 1), α 6= 0.
Ứng với λ2 = 5. Ta có


−4x1 + 4x2 = 0
⇔ x1 = β, x2 = β.
2x1 − 2x2 = 0
Vậy véctơ riêng có dạng β(1, 1), β 6= 0.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

4 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Ví dụ
Tìm trị
véctơ riêng của ma trận
 riêng, 
1 2
A=
−2 1

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

5 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Biểu thứcAX
λX có

 =
 dạng
1 2
x1
λx1
=
⇔
−2 1
x2
λx2

   
1−λ 2
x1
0
=
.
−2 1 − λ
x2

0

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)

CHƯƠNG 6: TRỊ RIÊNG - VÉCTƠ RIÊNG

TP. HCM — 2011.

6 / 52


Trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Định nghĩa trị riêng, véctơ riêng của ma trận

Biểu thứcAX
λX có

 =
 dạng
1 2
x1
λx1
=
⇔
−2 1
x2
λx2

   

1−λ 2
x1
0
=
. Hệ phương
−2 1 − λ
x2
0
trình thuần nhất này phải có nghiệm x 6= 0 nên





1−λ 2




= 0 ⇔ (1 − λ)2 + 4 = 0

−2 1 − λ