Bài giảng Giải tích lớp 12: Hàm số lũy thừa - Trường THPT Bình Chánh

TỔ TỐN
Giải Tích 12
Chủ đề: Hàm số lũy thừa


⓵. Tóm tắt lý thuyết
Nội
dung
bài học

⓶. Phân dạng bài tập

⓷. Bài tập minh họa


⓵

Tóm tắt lý thuyết

➊. Khái niệm
• Xét hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 , với 𝛼 là số thực cho trước.
• Hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 , với 𝛼 ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.
Chú ý
• Tập xác định của hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 tùy thuộc vào giá trị của
𝛼. Cụ thể.
• Với 𝛼 nguyên dương, tập xác định là ℝ.
• Với 𝛼 nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ\ 0 .
• Với 𝛼 khơng ngun, tập xác định 0; +∞ .


⓵

Tóm tắt lý thuyết

➋. Khảo sát hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼
• Tập xác định của hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 luôn chứa khoảng
0; +∞ với mọi 𝛼 ∈ ℝ.

• Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 trên
khoảng 0; +∞ này.


⓵
•
•
•
•
•

Tóm tắt lý thuyết

①. 𝒚 = 𝒙𝜶 , 𝜶 > 𝟎.
Tập khảo sát: 0; +∞ .
Sự biến thiên
𝑦′ = 𝛼. 𝑥 𝛼−1 > 0, ∀𝑥 > 0.
Giới hạn đặc biệt:
𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝛼 = +∞
𝑙𝑖𝑚+ 𝑥 𝛼 = 0, 𝑥→+∞
𝑥→0

• Tiệm cận: khơng có.

• Bảng biến thiên.

•
•
•
•
•

②.𝒚 = 𝒙𝜶 , 𝜶 < 𝟎.
Tập khảo sát: 0; +∞ .
Sự biến thiên
𝑦′ = 𝛼. 𝑥 𝛼−1 < 0, ∀𝑥 > 0.
Giới hạn đặc biệt:
𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝛼 = 0.
𝑙𝑖𝑚+𝑥 𝛼 = +∞, 𝑥→+∞

•
•
•
•

Tiệm cận:
Ox là tiệm cận ngang.
Oy là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên.

𝑥→0


⓵

Tóm tắt lý thuyết

➌. Đồ thị của hàm số
• Đồ thị của hàm số lũy thừa 𝑦 = 𝑥 𝛼 ln đi qua điểm 𝐼 1; 1 .
• Hình dưới là đồ thị của hs trên khoảng 0; +∞ ứng với các giá trị khác nhau của α
• Chú ý: Khi KSHS lũy thừa với số mũ cụ thể , ta phải xét hs đó trên tồn bộ TXĐ của nó


⓶

.Dạng 1:

Phân dạng bài tập

Tìm tập xác định

.Phương pháp:
Xét hàm số 𝒚 = [𝒇(𝒙)]𝜶
• Khi 𝛼 nguyên dương hàm số xác định khi và chỉ khi 𝑓(𝑥) xác định.
• Khi 𝛼 nguyên âm hàm số xác định khi và chỉ khi 𝑓(𝑥) xác định và 𝑓(𝑥) ≠
0.
• Khi 𝛼 khơng nguyên hàm số xác định khi và chỉ khi 𝑓(𝑥) xác định và
𝑓(𝑥) > 0.
Casio 580 VN plus: Xét tính đơn điêu của hàm số 𝑦 = [𝑓(𝑥)]𝛼 trên khoảng
𝑎; 𝑏 .
• MODE 8 →NHẬP HÀM → START: a → END: b → STEP: (b-a):40


⓷

Bài tập minh họa
2021

Câu 1: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑥
là
Ⓐ. 0; +∞ . Ⓑ. −∞; +∞ .
Ⓒ. −∞; 0 .

Ⓓ. 0; +∞).

Lời giải
• Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương có tập xác định là
• 𝐷 = −∞; +∞ .


⓷

Bài tập minh họa
−3

Câu 2: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑥 − 2 là
Ⓐ. 2; +∞ . Ⓑ. 2 .
Ⓒ. ℝ\ 2 . Ⓓ. ℝ.
Lời giải
Đây là Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
• Hàm số xác định
• ⇔ 𝑥 − 2 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ 2.
• Vậy tập xác định là
• 𝐷 = ℝ\ 2 .

⓷

Bài tập minh họa

Câu 3: Tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑥 − 1
Ⓐ. 0; +∞ .

Ⓑ. (1; +∞). Ⓒ.

1
3

là

1
; +∞
5

Lời giải
Đây là Hàm số lũy thừa với số mũ khơng ngun
• Hàm số xác định khi:
• 𝑥 − 1 > 0 ⇔ 𝑥 > 1.
• Vậy tập xác định:
• 𝐷 = 1; +∞ .

. Ⓓ. ℝ.

⓷

Bài tập minh họa

Câu 4: Tìm tập xác định của hàm số 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3
Ⓐ. 𝐷 = ℝ\ 1; 2 .
Ⓑ. 𝐷 = 0; +∞ .
Ⓒ. 𝐷 = ℝ.
Ⓓ. 𝐷 = −∞; 1 ∪ 2; +∞ .
Lời giải
Đây là Hàm số lũy thừa với số mũ nguyên âm
• 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 −3 xác định khi
• 𝑥 2 − 2𝑥 + 3 ≠ 0
• ⇔ 𝑥 − 1 2 + 2 ≠ 0 đúng ∀𝑥 ∈ ℝ.
• Vậy tập xác định là: 𝐷 = ℝ.

−3

.


Phân dạng bài tập

⓶

.Dạng 2:

Tính đạo hàm

Phương pháp

• Đạo hàm của hàm số lũy thừa:

• (𝑥 𝛼 )′ = 𝛼. 𝑥 𝛼−1 ;

(𝑢𝛼 )′ = 𝛼. 𝑢𝛼−1 . 𝑢′

• Casio:

• Đạo hàm tại

𝑑
x: 𝑆ℎ𝑖𝑓𝑡 (𝑓(𝑥))ቚ
𝑑𝑥
𝑥=𝑥0

− 𝑓′(𝑥0 ) ≈ 0

(thường ra số có dạng 𝛼. 10−𝑛 với n ngun dương)

• Đạo hàm tại điểm 𝑥 =

𝑑
𝑥0 ; 𝑆ℎ𝑖𝑓𝑡 (𝑓(𝑥))ቚ
𝑑𝑥
𝑥=𝑥0


⓷

Bài tập minh họa

Câu 1: Đạo hàm của hàm số 𝑓 𝑥 = 𝑥
Ⓐ. 𝑓 ′ 𝑥 =
′

Ⓒ. 𝑓 𝑥 =

2 5
𝑥 3.
3
23 1
.
5
3 𝑥

Lời giải

•
•

2
2
−
−1
′
3
Có 𝑓 𝑥 = − 𝑥
3
2 −5
23 1

=− 𝑥 3=−
.
5
3
3 𝑥

• Chọn D

2
−
3

là

Ⓑ. 𝑓 ′ 𝑥 =
′

Ⓓ. 𝑓 𝑥 =

2 3
− 𝑥 5.
3
−2 3 1
.
5
3
𝑥


⓷

Bài tập minh họa

Câu 2: Đạo hàm của hàm số 𝑦 = 3𝑥 + 1
Ⓐ. 𝑦′ =

𝜋
2

3𝑥 + 1 .
𝜋
2

Ⓒ. 𝑦′ = 3 .

Ⓑ.
Ⓓ.

𝜋
𝑦′ =
2
3𝜋
𝑦=
2

𝜋
2

là

3𝑥 + 1

𝜋
−1
2

.

3𝑥 + 1

𝜋−2
2

.

Lời giải
• 𝑦′ =

𝜋
2

3𝑥 + 1

𝜋
−1
2

⋅ 3𝑥 + 1 ′ =

3𝜋

2

3𝑥 + 1

𝜋−2
2

.


⓷

Bài tập minh họa
1
3

2

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số 𝑦 = 𝑥 − 𝑥 + 1
2𝑥−1
2𝑥−1
′
′
Ⓐ. 𝑦 = 3 2
.
Ⓑ. 𝑦 = 3 2
.
2
Ⓒ. 𝑦 ′ =

3 𝑥 −𝑥+1
2𝑥−1
3

𝑥 2 −𝑥+1

3

Ⓓ. 𝑦 ′ =

.
2

Lời giải

• 𝑦′ = 𝑥2 − 𝑥 + 1
= 2𝑥 − 1
=

2𝑥−1

3

3

1
. .
3

𝑥 2 −𝑥+1 2

′ 1
. .
3
2

𝑥2 − 𝑥 + 1

𝑥 −𝑥+1

−

2
3

1
−1
3

3

𝑥 −𝑥+1
1

3

𝑥 2 −𝑥+1

.
2

⓶

Phân dạng bài tập

.Dạng 3:

Tính chất, đồ thị

Những đặc điểm của đồ thị hàm số 𝒚 = 𝒙𝜶
• Đồ thị ln đi qua điểm (1; 1).
• Khi 𝛼 > 0 hàm số ln đồng biến,
• Khi 𝛼 < 0 hàm số ln nghịch biến.
• 𝛼 > 0 đồ thị hàm số khơng có tiệm cận
• 𝛼 < 0 đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là trục Ox,
tiệm cận đứng là trục Oy.


⓷

Bài tập minh họa

Câu 1: Hình vẽ sau là đồ thị của ba hàm số 𝑦 = 𝑥 𝛼 , 𝑦 =
𝑥𝛽, 𝑦 = 𝑥𝛾
(với 𝑥 > 0 và 𝛼, 𝛽, 𝛾 là các số thực cho trước).
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Ⓐ. 𝛽 > 𝛼 > 𝛾.
Ⓑ. 𝛾 > 𝛽 > 𝛼.
Ⓒ. 𝛼 > 𝛽 > 𝛾.

Ⓓ. 𝛽 > 𝛾 > 𝛼.

Lời giải
• Kẻ đường thẳng 𝑥 = 2
• Ta có
• 2𝛼 < 2𝛾 < 2𝛽
• ⇒𝛼<𝛾<𝛽