Các dạng bài tập Cơ học vật rắn năm 2014

Ti Liu luyn Thi i Hc

1

PHN LOI BI TP CHNG C HC VT RN
I.MC TIấU
-Hc sinh nm vng kin thc v cỏc ủi lng trong chuyn ủgn quay, phng trỡnh c bn ca ủng
lc hc vt rn,ủnh lý ủng nng , ủnh lut bo ton mụ men ủng lng.
-Bit ỏp dng cỏc cụng thc ủ lm bi tp.
II.NI DUNG
DNG 1: VT RN QUAY U QUANH MT TRC C NH

A.L THUYT
Tc ủ gúc:
const

=
Gia tc gúc:
0

=
Ta ủ gúc:
0
t

= +

Gúc quay:
.
t

=

Cụng thc liờn h:
r
v

=

2
2 f
T


= =

2
2
.
n
v
a r
r

= =

B.BI TP
TRC NGHIM CHUYN NG QUAY U

1. Mt ủa ủc ủng cht cú dng hỡnh trũn bỏnh kớnh R ủang quay trũn ủu quanh trc ca nú. T s gia
tc hng tõm ca ủim N trờn vnh ủa vi ủim M cỏch trc quay mt khong cỏch bng na bỏn kớnh

ca ủa bng:
A.
1
2
B. 1 C. 2 D. 4
2. Mt xe ủp cú bỏnh xe ủng kớnh 700 mm, chuyn ủng ủu vi tc ủ 12,6 km/h. Tc ủ gúc ca
ủu van xe ủp l:
A. 5 rad/s B. 10 rad/s C. 20 rad/s D. Moọt giaự trũ khaực.
3. Mt vt hỡnh cu bỏn kớnh R = 25 m, chuyn ủng quay ủu quanh mt trc thng ủng ủi qua tõm
ca nú. Khi ủú mt ủim A trờn vt, nm xa trc quay nht chuyn ủng vi tc ủ 36 km/h. Gia tc
hng tõm ca A bng:
A. 0,4 m/s
2
B. 4 m/s
2
C. 2,5 m/s
2
D. Moọt giaự trũ khaực.
4. Mt ủa ủc ủng cht cú dng hỡnh trũn bỏnh kớnh R = 30 cm ủang quay trũn ủu quanh trc ca nú,
thi gian quay ht 1 vũng l 2 s. Bit rng ủim A nm trung ủim gia tõm O ca vũng trũn vi vnh ủa.
Tc ủ di ca ủim A l:
A. 47 cm/s B. 4,7 cm/s C. 94 cm/s D. 9,4 cm/s
5. Mt ủa ủc ủng cht cú dng hỡnh trũn bỏnh kớnh R ủang quay trũn ủu quanh trc ca nú. Hai ủim
A, B nm trờn cựng mt ủng kớnh ca ủa. im A nm trờn vnh ủa, ủim B nm trung ủim gia tõm
O ca vũng trũn vi vnh ủa. T s tc ủ gúc ca hai ủim A v B l:
A.
A
B
1
4

=

B.
A
B
1
2

=

C.
A
B
2

=

D.
A
B
1

=


6. Kim giờ của một chiếc đồng hồ có chiều dài bằng 3/4 chiều dài kim phút. Coi nh các kim quay đều. Tỉ
số tốc độ góc của đầu kim phút và đầu kim giờ là
A. 12; B. 1/12; C. 24; D. 1/24
7. Kim giờ của một chiếc đồng hồ có chiều dài bằng 3/4 chiều dài kim phút. Coi nh các kim quay đều. Tỉ

số giữa vận tốc dài của đầu kim phút và đầu kim giờ là
A. 1/16; B. 16; C. 1/9; D. 9
8. Kim giờ của một chiếc đồng hồ có chiều dài bằng 3/4 chiều dài kim phút. Coi nh các kim quay đều. Tỉ
số gia tốc hớng tâm của đầu kim phút và đầu kim giờ là
Ti Liu luyn Thi i Hc

2

A. 92; B. 108; C. 192; D. 204
9. Một bánh xe quay đều xung quanh một trục cố định với tần số 3600 vòng/min. Tốc độ góc của bánh xe
này là:
A. 120 rad/s; B. 160 rad/s; C. 180 rad/s; D. 240 rad/s
10. Một bánh xe quay đều xung quanh một trục cố định với tần số 3600 vòng/min. Trong thời gian 1,5s
bánh xe quay đợc một góc bằng:
A. 90 rad; B. 120 rad; C. 150 rad; D. 180 rad
11. Kim gi ca mt ủng h cú chiu di 8 cm. Tc ủ di ca ủu kim l
A.1,16.10
-5
m/s. B.1,16.10
-4
m/s. C.1,16.10
-3
m/s. D.5,81.10
-4
m/s.
_____________________________________________________________________________________

DNG 2: VT RN QUAY BIN I U QUANH MT TRC C NH

I.TNH TON CC I LNG C BN

A.L THUYT
Gia tc gúc:

=
const
Tc ủ gúc:
0

= +
t
Ta ủ gúc:
2
0 0
1
2

= + +
t t
Tc ủ gúc tb:
tb
t



=


Phng trỡnh ủc lp vi thi gian:
2 2

0 0
2 ( )

=

Gúc quay:
2
0
1
2
t t

= +
S vũng quay:
2
n


=
2
n


=

Gia tc tip tuyn:
r
dt
d
r

dt
dv
a
tt



===
Gia tc hng tõm:
2
2
.
n
v
a r
r

= =

Gia tc:
2 2 4 2
.
t n
a a a r

= + = +

*Mt s chỳ ý:
-gúc m vt quay ủc l ch khụng phi , nú ch trựng khi
0

=0
- Trong chuyn ủng quay ủu ,
0

=
, l hng s, a
tt
=0, a
n
=R=const.
Trong chuyn ủng quay bin ủi ủu: a
tt
=const, a
n=
0
( )
t R

+


B.BI TP
T LUN
Vớ d 1. Mt ủa mi bt ủu quay vi v trớ gúc
0
= 0 v gia tc gúc khụng ủi = 0,35
rad/s
2
. Tớnh tc ủ gúc ca ủa ti thi ủim t = 18s v s vũng m ủa quay ủc trong thi
gian ủú.

Gii
Tc ủ gúc ca ủa ti thi ủim t = 18s l:
= t = 0,35.18 = 6,3 (rad/s)
Gúc ủa quay ủc trong khong thi gian t = 18s ủú l:
=
2
1
t
2
=
2
1
.0,35.18
2


56,7 (rad)
S vũng quay ủc :
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

3

n =
π
ϕ
2
=
π
2
7,56

≈
9 vòng
Ví dụ 2: Một cái ñĩa bắt ñầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không ñổi. Sau 5,0s nó
quay ñược 25 rad.
a) Gia tốc góc của ñĩa là bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời của ñĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc của ñĩa :
γ =
25
25.2.2
2
=
∆
t
ϕ
(rad/s
2
) = 2 (rad/s
2

)
b) Vận tốc góc trung bình
ω
TB
=
)/(
5
25
srad
t
=
∆
ϕ
= 5 (rad/s)
c) Vận tốc góc tức thời tại cuối thời gian 5s là:
ω = ω
0
+ γt = 2.0,5 = 1(rad/s)
Ví dụ 3: Một bánh xe quay nhanh dần ñều quanh trục của nó. Lúc bắt ñầu tăng tốc, bánh xe
ñang có tốc ñộ góc là 5 rad/s. Sau 10s tốc ñộ góc của nó tăng lên ñến 10 rad/s. Hãy tìm:
a) Gia tốc góc của bánh xe.
b) Góc mà bánh xe quay ñược trong khoảng thời gian ñó.
c) Số vòng mà bánh xe quay ñược trong thời gian ñó.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe :
γ =
=
−
t
0

ω
ω

10
510
−
(rad/s
2
) = 0,5 (rad/s
2
)
b) Góc mà bánh xe quay ñược trong 10s:
∆ϕ = ϕ - ϕ
0
= ω
0
t +
2
1
γt
2

∆ϕ = 5.10 +
2
1
.0,5.10
2
= 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay ñược trong 10s:
≈=

∆
=
π
π
ϕ
2
75
2
n
12(vòng)
Ví dụ 4: Một ñĩa mài ñang quay với tốc ñộ góc ω
0
= - 4,6 rad/s và gia tốc góc không ñổi γ =
0,35 rad/s
2
. Xác ñịnh các thời ñiểm ñể:
a) Tốc ñộ của ñĩa mài bằng 0.
b) ðĩa quay ñược 5 vòng theo chiều dương.
Gi
ải
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

4

a) Vì ω
0
= - 4,6 rad/s và γ = 0,35 rad/s
2
nên ban ñầu ñĩa quay chậm dần theo chiều âm.
Thời ñiểm tốc ñộ của ñĩa mài bằng 0 ñược xác ñịnh:

t
1
=
γ
ω
ω
0
−
=
s13
35,0
)6,4(0
≈
−
−
.
b) Sau khi tốc ñộ của ñĩa bằng 0, ñĩa sẽ quay nhanh dần ñều với gia tốc góc γ = 0,35 rad/s
2
.
Thời gian ñể ñĩa quay ñược 5 vòng theo chiều dương ñược tính:
∆t =
35,0
2.5.22
π
γ
ϕ
=
∆
≈
13,4 (s).

Thời ñiểm ñể ñĩa quay ñược 5 vòng theo chiều dương là: t = t
1
+∆t
≈
26,4(s)
Ví dụ 5: Tại thời ñiểm ban ñầu một bánh ñà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc là -
0,25rad/s
2
và ϕ
0
= 0.
a) ðường mốc sẽ ñạt ñược một góc cực ñại ϕ
max
bao nhiêu theo chiều dương và tại thời ñiểm
nào?
b) ðến thời ñiểm nào thì ñường mốc ở
max
2
1
ϕϕ
=
?
Giải
a) Ban ñầu vận tốc góc và gia tốc góc trái dấu nên bánh ñà quay chậm dần ñến khi tốc ñộ góc
bằng 0 thì ñường mốc ñạt toạ ñộ cực ñại.
Khi ñó: ω = ω
0
+ γt
1
= 0 → t

1
=
)(8,18)(
25,0
7,4
0
ss =
−
−
=
−
γ
ω

ðường mốc ñạt ñược một góc cực ñại ϕ
max
:
ϕ = ϕ
max
= ϕ
0
+ ω
0
t
1
+
2
1
γt
1

2

ϕ = 4,7.1,88 +
2
1
(-0,25).1,88
2
= 44,18 (rad)
b) Khi
max
2
1
ϕϕ
=
ta có:
4,7t +
2
1
(-0,25)t
2
=
2
18,44
→ t = 5,15 s hoặc t = 32 s.
II.Xác ñịnh vận tốc, gia tốc của một ñiểm trên vật rắn trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố
ñịnh.

Phương pháp giải
 Sử dụng các công thức:
+ Tốc ñộ dài: v =

ω
r,
+ Gia tốc của chất ñiểm trong chuyển ñộng quay:
tn
aaa
r
r
r
+=

– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

5

ðộưlớn: a =
22
tn
aa +
; trong ñó:
r
v
ra
n
2
2
==
ω
,
t
v

a
t
∆
∆
=

 Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:
- Trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh của vật rắn thì các ñiểm trên vật rắn:
+ Chuyển ñộng trên các quỹ ñạo tròn có tâm là trục quay.
+ Tại mọi thời ñiểm thì tất cả các ñiểm tham gia chuyển ñộng quay trên vật có cùng góc
quay, vận tốc góc và gia tốc góc.
- ðối với vật rắn quay ñều thì: a
t
= 0 nên a = a
n


Bài tập tự luận
Ví dụ 1: Một cánh quạt dài OA = 30cm quay với tốc ñộ góc không ñổi ω = 20 rad/s quanh
trục ñi qua O. Xác ñịnh tốc ñộ dài của một ñiểm M (thuộc OA) ở trên cánh quạt cách A một
khoảng 10 cm?
Giải
Khoảng cách từ M ñến trục quay là:
OM = OA - MA = 20 cm = 0,2 m.
Tốc ñộ dài của M là:
v
M
= ω.r = ω.OM = 20.0,2 = 4m/s
Ví dụ 2: Một bánh xe bán kính 50cm quay ñều với chu kì là 0,1 giây. Hãy tính:
a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một ñiểm trên vành bánh xe.

b) Gia tốc pháp tuyến của một ñiểm trên vành bánh; của ñiểm chính giữa một bán kính.
Giải
a) Vận tốc góc của một ñiểm trên vành bánh xe là:

)/(8,62
1,0
22
srad
T
===
π
π
ω

- Vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh xe là :

)/(4,315.0.8,62.
smrv
=
=
=
ω

b) Gia tốc pháp tuyến của một ñiểm trên vành bánh xe:

)/(92,19715,0.8,62
222
1
smra
n

===
ω

- Gia tốc pháp tuyến của ñiểm chính giữa một bán kính:

)/(96,985
2
2
2
1
2
2
sm
ar
a
n
n
===
ω

Ví dụ 3: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc ñầu ñứng yên, sau ñó quay xung quanh trục
của nó với gia tốc bằng 3,14rad/s
2
. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh?
b) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một ñiểm trên vành
bánh?
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

6

c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một ñiểm trên vành
bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất:
ω = γt = 3,14.1 = 3,14 rad/s
Vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh xe:
v = ωr = 3,14 . 0,1 = 0,314 m/s.
b) Gia tốc tiếp tuyến:
a
t
= γr = 3,14.0,1 = 0,314m/s
2

Gia tốc pháp tuyến:
a
n
= ω
2
r = 3,14
2
.0,1 = 0,985 m/s
2

Gia tốc toàn phần:
a =
=+
22
nt
aa

1,03m/s
2

c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe ñược xác ñịnh:
tgα =
985,0
314,0
=
n
t
a
a
→ α= 17
0
46
’

 Bài tập áp dụng
1. Tìm vận tốc góc trung bình của:
a) Kim giờ và kim phút ñồng hồ.
b) Mặt Trăng quay xung quanh Trái ðất (Mặt Trăng quay xung quanh Trái ðất một vòng mất 27 ngày
ñêm).
c) Của một vệ tinh nhân tạo của Trái ðất quay trên quỹ ñạo tròn với chu kì bằng 88 phút.
ðáp số: a) 14,5.10
-5
rad/s, 1,74.10
-3
rad/s; b) 2,7.10
-6
rad/s; c) 1,19.10

-3
rad/s.
2. Khi tắt ñiện thì một cánh quạt ñiện ñang quay với tốc ñộ góc 20 vòng/phút dừng lại sau 2 phút. Tính
gia tốc góc trung bình.
ðáp số: 0,05π rad/s.
3. Một bánh xe quay ñều với tốc ñộ 300 vòng/phút. Trong 10s bánh xe quay ñược góc là bao nhiêu?
ðáp số: 314 rad
4. Một cái ñĩa quay quanh một trục cố ñịnh, từ nghỉ và quay nhanh dần ñều. Tại một thời ñiểm nó ñang
quay với tốc ñộ 10 vg/s. Sau khi quay trọn 60 vòng nữa thì tốc ñộ góc của nó là 15 vg/s. Hãy tính:
a) Gia tốc góc của ñĩa.
b) Thời gian cần thiết ñể quay hết 60 vòng nói trên.
c) Thời gian cần thiết ñể ñạt tốc ñộ 10vg/s và số vòng quay từ lúc nghỉ cho ñến khi ñĩa ñạt tốc ñộ góc
10vg/s.
ðáp số: a) 6,54 rad/s
2
; b) 4,8s; c) 9,6s và 48 vòng.
5. Một bánh ñà ñang quay với tốc ñộ góc 1,5 rad/s thì quay chậm dần ñều ñược 40 vòng cho ñến khi
dừng.
a
r

α

n
a
r

t
a
r

0

Hình 1
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

7

a) Thời gian cần ñể dừng là bao nhiêu?
b) Gia tốc góc là bao nhiêu?
c) Nó cần thời gian là bao nhiêu ñể quay ñược 20 vòng ñầu trong số 40 vòng ấy.
ðáp số: a) t = 335s ; b) γ = - 4,48.10
-3
rad/s
2
; c) t
’
= 98,1s
6. Một cái ñĩa ban ñầu có vận tốc góc 120rad/s, quay chậm dần ñều với gia tốc bằng 4,0 rad/s
2
.
a) Hỏi sau bao lâu thì ñĩa dừng lại?
b) ðĩa quay ñược một góc bao nhiêu trước khi dừng?
ðáp số: a) t = 30s ; b) 1800rad.
7. Tìm vận tốc dài của chuyển ñộng quay của một ñiểm trên mặt ñất tại Hà Nội. Biết rằng vĩ ñộ của Hà
Nội là
0
21
=
α

ðáp số: v = R. ωcosα = 430m/s
8. Vận tốc của electron trong nguyên tử hyñrô là
scmv /10.8,2
3
=
.Tính vận tốc góc và gia tốc pháp tuyến
của electron nếu quỹ ñạo của nó là một vòng tròn bán kính 0,5.1
-8
cm.
ðáp số: ω = 4,4.10
16
rad/s ; a
n
= 9,68.10
4
m/s
2
.
TRẮC NGHIỆM

1. Một vật rắn chuyển ñộng quay quanh một trục với tọa ñộ góc là một hàm theo thời gian có dạng: ϕ =
10t
2
+ 4 (rad; s). Tọa ñộ góc của vật ở thời ñiểm t = 2s là:
A. 44 rad B. 24 rad C. 9 rad D. Một giá trị khác.
2. Một vật rắn chuyển ñộng quay quanh một trục với tọa ñộ góc là một hàm theo thời gian có dạng: ϕ =
4t
2
(rad; s). Tốc ñộ góc của vật ở thời ñiểm t = 1,25 s là:

A. 0,4 rad/s B. 2,5 rad/s C. 10 rad/s D. một giá trị khác.
3. Một xe ñạp bắt ñầu chuyển ñộng trên một ñường hình tròn bán kính 400 m. Xe chuyển ñộng nhanh dần
ñều, cứ sau một giây tốc ñộ của xe lại tăng thêm 1 m/s. Tại vị trí trên quĩ ñạo mà ñộ lớn của hai gia tốc
hướng tâm và tiếp tuyến bằng nhau, thì tốc ñộ góc của xe bằng:
A. 0,05 rad/s B. 0,1 rad/s C. 0,2 rad/s D. 0,4 rad/s
4. Một quạt máy ñang quay với tốc ñộ góc 360 vòng/phút thì bị hãm. Sau khi hãm
2
π
s tốc ñộ góc của cánh
quạt còn 180 vòng/phút. Gia tốc góc trung bình của quạt là:
A. 3 rad/s
2
B.6 rad/s
2
C.
1
3
rad/s
2
D.12 rad/s
2

5. Một vô lăng quay với tốc ñộ góc 180 vòng/phút thì bị hãm chuyển ñộng chậm dần ñều và dừng lại sau
12 s. Số vòng quay của vô lăng từ lúc hãm ñến lúc dừng lại là:
A. 6 vòng B. 9 vòng C. 18 vòng D. 36 vòng
6. Một vật rắn coi như một chất ñiểm, chuyển ñộng quay quanh một trục ∆, vạch nên một quĩ ñạo tròn tâm
O, bán kính R = 50 cm. Biết rằng ở thời ñiểm t
1
= 1s chất ñiểm ở tọa ñộ góc ϕ
1

= 30
o
; ở thời ñiểm t
2
= 3s
chất ñiểm ở tọa ñộ góc ϕ
2
= 60
o
và nó chưa quay hết một vòng. Tốc ñộ dài trung bình của vật là:
A. 6,5 cm/s B. 0,65 m/s C. 13 cm/s D. 1,3 m/s
7. Một vật rắn coi như một chất ñiểm chuyển ñộng trên quĩ ñạo tròn bán kính bằng 40 m. quãng ñường ñi
ñược trên quĩ ñạo ñược cho bởi công thức : s = - t
2
+ 4t + 5 (m). Gia tốc pháp tuyến của chất ñiểm lúc t =
1,5 s là: A. 0,1 cm/s
2
B. 1 cm/s
2
C. 10 cm/s
2
D. 100 cm/s
2
8. Một vật chuyển ñộng trên một ñường tròn có tọa ñộ góc phụ thuộc vào thời gian t với biểu thức: ϕ = 2t
2

+ 3 (rad; s). Khi t = 0,5 s tốc ñộ dài của vật bằng 2,4 m/s. Gia tốc toàn phần của vật là:
Ti Liu luyn Thi i Hc

8

A. 2,4 m/s
2
B. 4,8
2
m/s
2
C. 4,8 m/s
2
D. 9,6 m/s
2
9. Mt vt rn quay quanh mt trc c ủnh ủi qua vt cú phng trỡnh chuyn ủng: = 10 + t
2
(rad; s).
Tc ủ gúc v gúc m vt quay ủc sau thi gian 5 s k t thi ủim t = 0 ln lt l:

A. 10 rad/s vaứ 25 rad B. 5 rad/s vaứ 25 rad C. 10 rad/s vaứ 35 rad D. 5 rad/s
vaứ 35 rad
10. Bánh đà của một động cơ từ lúc khởi động đến lúc đạt tốc độ góc 140rad/s phải mất 2 s. Biết động cơ
quay nhanh dần đều.Góc quay của bánh đà trong thời gian đó là:
A. 140rad. B. 70rad. C. 35rad. D. 36rad.
11. Một bánh xe quay nhanh dần đều quanh trục. Lúc t = 0 bánh xe có tốc độ góc 5rad/s. Sau 5s tốc độ góc
của nó tăng lên 7rad/s. Gia tốc góc của bánh xe là:
A. 0,2rad/s
2
. B. 0,4rad/s
2
. C. 2,4rad/s
2
. D. 0,8rad/s

2
.
12. Trong chuyển động quay có vận tốc góc và gia tốc góc chuyển động quay nào sau đây là nhanh
dần?
A. = 3 rad/s và = 0; B. = 3 rad/s và = - 0,5 rad/s
2

C. = - 3 rad/s và = 0,5 rad/s
2
; D. = - 3 rad/s và = - 0,5 rad/s
2

13. Một bánh xe quay nhanh dần đều từ trạng thái đứng yên sau 2s nó đạt tốc độ góc 10rad/s. Gia tốc góc
của bánh xe là
A. 2,5 rad/s
2
; B. 5,0 rad/s
2
; C. 10,0 rad/s
2
; D. 12,5 rad/s
2

14. Một bánh xe có đờng kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s
2
, t
0
= 0 là lúc bánh xe bắt đầu
quay. Tại thời điểm t = 2s tốc ủ góc của bánh xe là:
A. 4 rad/s. B. 8 rad/s. C. 9,6 rad/s. D. 16 rad/s.

15. Một bánh xe có đờng kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s
2
, t
0
= 0 là lúc bánh xe bắt đầu
quay. Tốc độ dài của một điểm P trên vành bánh xe ở thời điểm t = 2s là
A. 16 m/s. B. 18 m/s. C. 20 m/s. D. 24 m/s.
16. Một bánh xe có đờng kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s
2
. Gia tốc tiếp tuyến của điểm P
trên vành bánh xe là
A. 4 m/s
2
. B. 8 m/s
2
. C. 12 m/s
2
. D. 16 m/s
2
.
17. Một bánh xe đang quay với tốc ủ góc 36 rad/s thì bị hm lại với một gia tốc góc không đổi có độ lớn
3rad/s
2
. Thời gian từ lúc hm đến lúc bánh xe dừng hẳn là
A. 4s; B. 6s; C. 10s; D. 12s
18. Một bánh xe đang quay với tốc độ góc 36rad/s thì bị hm lại với một gia tốc góc không đổi có độ lớn
3rad/s
2
. Góc quay đợc của bánh xe kể từ lúc hm đến lúc dừng hẳn là
A. 96 rad; B. 108 rad; C. 180 rad; D. 216 rad

19. Một bánh xe quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng từ 120vòng/phút lên 360vòng/phút. Gia tốc
góc của bánh xe là
A. 2 rad/s
2
. B. 3 rad/s
2
. C. 4 rad/s
2
. D. 5 rad/s
2
.
20. Một bánh xe có đờng kính 50cm quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng từ 120vòng/phút lên
360vòng/phút. Gia tốc hớng tâm của điểm M ở vành bánh xe sau khi tăng tốc đợc 2s là
A. 157,8 m/s
2
. B. 162,7 m/s
2
. C. 183,6 m/s
2
. D. 196,5 m/s
2
21. Một bánh xe có đờng kính 50cm quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng từ 120 vòng/phút lên
360 vòng/phút. Gia tốc tiếp tuyến của điểm M ở vành bánh xe là:
A. 0,25 m/s
2
; B. 0,50 m/s
2
; C. 0,75 m/s
2
; D. 1,00 m/s

2

21. Mt cỏi ủa ban ủu ủng yờn bt ủu quay nhanh dn quanh mt trc c ủnh ủi qua ủa vi gia tc
gúc khụng ủi bng 2 rad/s
2
. Gúc m ủa quay ủc sau thi gian 10 s k t khi ủa bt ủu quay l
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

9

A. 20 rad. B. 100 rad. C. 50 rad. D. 10 rad
22. Một bánh xe bắt đầu quay nhanh dần đều quanh một trục cố định của nó. Sau 10 s kể từ lúc bắt đầu
quay, vận tốc góc bằng 20 rad/s. Vận tốc góc của bánh xe sau 15 s kể từ lúc bắt đầu quay bằng
A. 15 rad/s. B. 20 rad/s. C. 30 rad/s. D. 10 rad/s.
23. Tại thời điểm t = 0, một vật rắn bắt đầu quay quanh một trục cố định xun qua vật với gia tốc góc
khơng đổi. Sau 5 s nó quay được một góc 25 rad. Vận tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t=5s là
A. 5 rad/s. B. 10 rad/s. C. 15 rad/s. D. 25 rad/s.
24. Một bánh xe đang quay với tốc độ góc 24 rad/s thì bị hãm. Bánh xe quay chậm dần đều với gia tốc góc
có độ lớn 2 rad/s
2
. Thời gian từ lúc hãm đến lúc bánh xe dừng bằng:
A. 8 s. B. 12 s. C. 24 s. D. 16 s.
25. Một vật rắn quay quanh một trục cố định đi qua vật có phương trình chuyển động
ϕ
=10+t
2
(
ϕ
tính
bằng rad, t tính bằng giây). Tốc độ góc và góc mà vật quay được sau thời gian 5 s kể từ thời điểm t = 0 lần

lượt là
A. 5 rad/s và 25 rad B. 5 rad/s và 35 rad. C. 10 rad/s và 35 rad. D. 10 rad/s và 25 rad.
26. Phương trình toạ độ góc φ theo thời gian t của một vật rắn quay biến đổi có dạng :
φ = 2008 + 2009t +12 t
2
(rad, s).Tính tốc độ góc ở thời điểm t = 2s
A. ω = 2009 rad B. ω = 4018 rad C. ω = 2057 rad D. ω = 2033 rad
27. Một vật rắn quay nhanh dần đều quanh một trục cố định, trong 3,14 s tốc độ góc của nó tăng từ 120
vòng/phút đến 300 vòng/phút. Lấy π = 3,14. Gia tốc góc của vật rắn có độ lớn là
A.20 cm/s
2
. B.10 cm/s
2
. C.30cm/s
2
. D.40cm/s
2
28. Tại một thời điểm t = 0, một vật bắt đầu quay quanh một trục cố định xun qua vật với gia tốc góc
khơng đổi. Sau 5 s, nó quay một góc 10 rad. Góc quay mà vật quay được sau thời gian 10 s kể từ lúc t = 0
bằng
A.10 rad. B.40 rad. C.20 rad. D.100 rad.
29. Một đĩa tròn, phẳng, mỏng quay đều quanh một trục qua tâm và vng góc với mặt đĩa. Gọi v
A
và v
B

lần lượt là tốc độ dài của điểm A ở vành đĩa và của điểm B (thuộc đĩa) ở cách tâm một đoạn bằng nửa bán
kính của đĩa. Biểu thức liên hệ giữa v
A
và v

B
là
A. v
A
= v
B
. B. v
A
= 2v
B
. C.
2
B
A
v
v =
D. v
A
= 4v
B
.
30. Từ trạng thái nghỉ, một đĩa bắt đầu quay quanh trục cố định của nó với gia tốc góc khơng đổi. Sau 10s,
đĩa quay được một góc 50 rad. Góc mà đĩa quay được trong 10 s tiếp theo là
A. 100 rad. B. 200 rad. C. 150 rad. D. 50 rad.
31. Một vật quay nhanh dần từ trạng thái nghỉ, trong giây thứ 4 vật quay được góc 14 rad. Hỏi trong giây
thứ 3 vật quay được góc bao nhiêu ?
A. 10 rad B. 5 rad C. 6 rad D.2 rad
32. Một cánh quạt của mát phát điện chạy bằng sức gió có đường kính 80m, quay với tốc
độ 45vòng/phút. Tốc độ của một điểm nằm ở vành cánh quạt là:
A. 18,84 m/s B. 188,4 m/s C. 113 m/s D. 11304m/s

DẠNG 3: MOMEN QN TÍNH – MOMEN LỰC-

.Bài tập xác định mơ men qn tính của một số vật đồng chất có hình dạng hình học đặc biệt.
Phương pháp giải
Kiểm tra xem hệ gồm mấy vật: I = I
1
+ I
2
+ ….+ I
n
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

10


+nếu vật có hình dạng ñặc biêt, áp dụng công thức sgk, nếu trục quay không ñi qua tâm:
: I
(
∆
)
= I
G
+ md
2

+nếu vật là chất ñiểm: I=mr
2
 Mô men quán tính của một số vật ñồng chất:

+ Vành tròn, hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I = mR
2
.
+ ðĩa tròn, hình trụ ñặc khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục của nó: I =
2
1
mR
2
.
+ Thanh dài l, khối lượng m có trục quay trùng với trung trực của thanh:
I =
12
1
ml
2
.
+ Quả cầu ñặc có trục quay ñi qua tâm: I =
5
2
mR
2
.


A.TỰ LUẬN
Ví dụ 1: Một thanh ñồng chất AB dài l = 1m khối lượng m
1
= 3 kg. Gắn vào hai ñầu A và B
của thanh hai chất ñiểm khối lượng m
2

= 3kg và m
3
= 4kg. Tìm momen quán tính của hệ
trong các trường hợp:
a) Trục quay vuông góc với thanh tại trung ñiểm của AB.
b) Trục quay tại ñầu A của thanh và vuông góc với thanh.
c) Trục quay cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Giải
a) Mô men quán tính của thanh ñối với trục quay (O) ñi qua trung
ñiểm của thanh AB: I
1
=
12
1
m
1
l
2

Mô men quán tính của m
2
ñối với trục quay (O): I
2
= m
2
R
2
2
=
m

2
4
2
l

Mô men quán tính của m
3
ñối với trục quay (O): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
4
2
l

Momen quán tính của hệ ñối với trục quay (O):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
12
1

m
1
l
2
+ m
2
4
2
l

+ m
3
4
2
l
=
12
2
l
( m
1
+ 3m
2
+ 3m
3
)
Thay số: I =
12
1
(3 + 3.3 + 3.4) = 2 (kg.m

2
)
b) Trục quay vuông góc với thanh tại ñầu A ñược tính:
Mô men quán tính c
ủa thanh ñối với trục quay (A): I
1
=
3
1
m
1
l
2

A
B
O
m
2
m
3
Hình 2
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

11

Mô men quán tính của m
2
ñối với trục quay (A): I
2

= 0

Mô men quán tính của m
3
ñối với trục quay (A): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
l
2

Mô men quán tính của hệ ñối với trục quay (A):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
3
1
m
1
l
2

+ 0

+ m
3
l
2
=
3
1
.3.1
2
+ 0

+ 4.1
2
= (5 kgm
2
)
c) Trục quay (O’) cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Áp dụng ñịnh lí trục song song ta tính ñược mô men quán tính
của thanh ñối với trục quay (O’):
I
1
=
12
1
m
1
l
2

+ m
1
(
4
l
)
2
=
48
7
m
1
l
2

Mô men quán tính của m
2
ñối với trục quay (O’):
I
2
= m
2
R
2
2
= m
2
164
2
2

2
l
m
l
=







Mô men quán tính của m
3
ñối với trục quay (O’):
I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
16
9
4
3
2
3

2
l
m
l
=







Mô men quán tính của hệ ñối với trục quay (O’):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
2
1
48
7
lm
+
2
2
16
1

lm
+
2
3
16
9
lm
= 2,875 2 kg.m
2

Ví dụ 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L ñược gập thành khung hình tam giác ñều
ABC. Tính mô men quán tính của khung ñối với trục quay ñi qua A và vuông góc với khung.
Giải
Ta thấy:
m
AB
=

m
BC
= m
CA
= m = M/3.
l
AB
=

l
BC
= l

CA
= l = L/3.
Mô men quán tính của khung ñối với trục quay ñi qua A và vuông
góc với khung:
I = I
AB
+

I
BC
+ I
CA

Trong ñó: I
AB
= I
CA
=
2
3
1
ml

Áp dụng ñịnh lí trục song song ta tính mô men quán tính của thanh BC ñối với trục quay ñi
qua A là I
BC
:
I
BC
= I

(G)BC
+ m .(AG)
2

Trong ñó: I
(G)BC
=
2
12
1
ml
; AG =
2
3l

I
BC
=
2
12
1
ml
+ m.(
2
3l
)
2
=
2
6

5
ml

A
B
m
2
m
3
Hình 3
A
B
C
G
Hình 5
A
B
m
2
m
3
O’
Hình 4
G
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ

i H
ọ
c

12

Suy ra: I = 2.
2
3
1
ml
+
2
6
5
ml
= 1,5ml
2
= 1,5.
2
2
18
1
9
.
3
ML
LM
=

 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn ñồng chất dạng ñĩa tròn ñặc bán kính r có trục quay
vuông góc với ñĩa và ñi qua mép ñĩa.
ðáp số:
2
5,1 mR

2. Một ñĩa tròn ñồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của ñĩa ñối với trục vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
b) ðặt vật nhỏ khối lượng m
1
= 2 kg vào mép ñĩa và vật m
2
= 3 kg vào tâm ñĩa. Tìm momen
quán tính của hệ ñối với trục quay vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
ðáp số: a) 2,25 kg.m
2
; b) 6,25 kg.m
2

3. Sàn quay là một hình trụ, ñặc ñồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có
khối lượng có khối lượng 50kg ñứng trên sàn. Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2
trường hợp:
a) Người ñứng ở mép sàn
b) Người ñứng ở ñiểm cách trục quay 1,0m.
ðáp số: a)250kgm
2
; b) 100kgm
2
.

 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn ñồng chất dạng ñĩa tròn ñặc bán kính r có trục quay vuông góc
với ñĩa và ñi qua mép ñĩa.
ðáp số:
2
5,1 mR

2. Một ñĩa tròn ñồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của ñĩa ñối với trục vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
b) ðặt vật nhỏ khối lượng m
1
= 2 kg vào mép ñĩa và vật m
2
= 3 kg vào tâm ñĩa. Tìm momen quán tính
của hệ ñối với trục quay vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
ðáp số: a) 2,25 kg.m
2
; b) 6,25 kg.m
2

3. Sàn quay là một hình trụ, ñặc ñồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có khối
lượng có khối lượng 50kg ñứng trên sàn. Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2 trường hợp:
a) Người ñứng ở mép sàn
b) Người ñứng ở ñiểm cách trục quay 1,0m.
ðáp số: a)250kgm
2
; b) 100kgm
2
.

TRẮC NGHIỆM
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

13

Câu1: Một thanh thẳng ñồng chất OA có chiều dài l, khối lượng M, có thể quay quanh một trục cố ñịnh
qua O và vuông góc với thanh. Người ta gắn vào ñầu A một chất ñiểm m =
M
3
. Momen quán tính của hệ
ñối với trục qua O là
A.
2
2 / 3
Ml
. B.
2
M /3

l
. C. Ml
2
. D.
2
4 / 3
Ml
.
Câu 2: ðại lượng ñặc trưng cho tác dụng làm quay của lực ñối với vật rắn có trục quay cố ñịnh ñược gọi là
A. momen quán tính. B. momen quay. C. momen lực. D. momen ñộng
lượng.
Câu3: Tại các ñỉnh ABCD của một hình vuông có cạnh a=80cm có gắn lần lượt các
chất ñiểm m
1
, m
2
, m
3
, m
4
với m
1
=m
3
=1kg, m
2
=m
4
=2kg. Mômen quán tính của hệ 4
chất ñiểm ñối với trục quay qua M (trung ñiểm của DC) và vuông góc với hình

vuông có giá trị nào sau ñây?
A. 1,68 kgm
2
. B. 2,96 kgm
2
. C. 2,88 kgm
2
. * D. 2,42 kgm
2
.
Câu4: Một khung dây cứng nhẹ hình tam giác ñều cạnh a. Tại ba ñỉnh khung có gắn
ba viên bi nhỏ có cùng khối lượng m. Mômen quán tính của hệ ñối với trục quay ñi
qua tâm O và vuông góc mặt phẳng khung là
A. ma
2
.* B. m
2
2a
3
. C. m
2
2a
3
. D. m
2
a
2
.
Câu5: Một vành tròn ñồng chất tiết diện ñều, có khối lượng M, bán kính vòng ngoài là
R, vòng trong là r ( hình vẽ). Momen quán tính của vành ñối với trục qua tâm và vuông góc

với vành là
A.
1
2
M(R
2
+ r
2
). *B.
1
2
M(R
2
- r
2
) C. M(R
2
+ r
2
). D. M(R
2
- r
2
)
Chú ý: I vành=Iñĩa tròn lớn-I ñĩa tròn nhỏ
6. Một tam giác ñều có cạnh là a. Ba chất ñiểm, mỗi chất ñiểm có khối lượng là m, ñược ñặt ở ba ñỉnh của
tam giác. Momen quán tính của hệ này ñối với trục quay là một ñường cao của tam giác bằng:
A. ma
2
/2 B. ma

2
/4 C. 3ma
2
/2 D. 3ma
2
/4.
7. Một thanh cứng ñồng chất có chiều dài ℓ, khối lượng m, quay quanh một trục ∆ qua trung ñiểm và
vuông góc với thanh. Gắn chất ñiểm có khối lượng 3 m vào một ñầu thanh. Momen quán tính của hệ ñối
với trục ∆ là
A.
12
13
mℓ
2
. B.
3
1
mℓ
2
. C.
3
4
mℓ
2
. D.
6
5
mℓ
2
.

8. Hai chất ñiểm có khối lượng 0,2kg và 0,3kg gắn ở hai ñầu một thanh cứng, nhẹ, có chiều dài 1,2m.
Momen quán tính của hệ ñối với trục quay ñi qua trung ñiểm của thanh và vuông góc với thanh có giá trị
nào sau ñây?
A. 1,58kg.m
2
B. 0,18kg.m
2
C. 0,09kg.m
2
D. 0,36kg.m
2
.
9. Một thanh mỏng AB có khối lượng M = 1kg, chiều dài l = 2m, hai ñầu thanh gắn hai chất ñiểm có khối
lượng bằng nhau là m = 100g. Momen quán tính của hệ ñối với trục quay ñi qua trung ñiểm của thanh và
vuông góc với thanh có giá trị nào sau ñây? A. 0,53kg.m
2
B. 0,64kg.m
2
C.
1,24kg.m
2
D. 0,88kg.m
2

10. Hai ròng rọc A và B có khối lượng lần lượt là m và 4m, bán kính của ròng rọc A bằng 1/3 bán kính
ròng rọc B. Tỉ lệ I
A
/I
B
giữa momen quán tính của ròng rọc A và ròng rọc B bằng:

A. 4/3 B. 9 C. 1/12 D. 1/36


A (m
1
)

B (m
2
)

C (m
3
)

D (m
4
)

O

M

m

m

m

a

a

a

O

R

r
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

14

DẠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ðỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

A.LÍ THUYẾT
Phương trình ñộng lực học của vật rắn quay quanh một trục cố ñịnh

M
M I hay
I

γ γ
= =

Trong ñó: + M = Fd (Nm)là mômen lực ñối với trục quay (d là tay ñòn của lực)
+
2
i i
i
I m r
=
∑
(kgm
2
)là mômen quán tính của vật rắn ñối với trục quay
• I.Xác ñịnh gia tốc góc và các ñại lượng ñộng học khi biết các lực (hoặc mô men lực) tác dụng
lên vật, mô men quán tính và ngược lại.

Phương pháp giải
 Biểu diễn các lực tác dụng lên vật và tính mô men các lực ñó ñối với trục quay.
 Áp dụng phương trình ñộng lực học của vật rắn trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh:
M = I γ
 Từ phương trình ñộng lực học xác ñịnh ñược γ (hoặc các ñại lượng liên quan), từ ñó xác ñịnh
ñược các ñại lượng ñộng học, học ñộng lực học.
 Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chú ý xem vật có chịu tác dụng của momen cản hay không, có
thể nhận thấy momen cản thông qua dữ liệu, khi ngừng lực tác dụng thì vật quay chậm dần ñều.
Nếu có momen cản thì phương trình ñộng lực học trở thành: M-M
c
= I γ

Ví dụ 1:

M
ộ
t
ñĩ
a tròn
ñồ
ng ch
ấ
t có bán kính R = 20cm, kh
ố
i l
ượ
ng m = 5 kg.
ðĩ
a có tr
ụ
c
quay
ñ
i qua tâm
ñĩ
a và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
ñĩ
a.
ðĩ
a

ñ
ang
ñứ
ng yên thì ch
ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a l
ự
c
không
ñổ
i F = 2N ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i vành
ñĩ
a. B
ỏ
qua ma sát. Tìm t
ố
c
ñộ
góc c
ủ

a
ñĩ
a sau 5s
chuy
ể
n
ñộ
ng?
Giải
Momen quán tính c
ủ
a
ñĩ
a
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c quay
ñ
i qua tâm
ñĩ
a và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t
ñĩ
a:

I =
2
1
mR
2
=
2
1
.5.2,0
2
= 0,1 kg.m
2

Momen l
ự
c tác d
ụ
ng lên
ñĩ
a:
M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n c

ủ
a chuy
ể
n
ñộ
ng quay ta
ñượ
c:
M = I.
γ

→

γ
=
==
1,0
4,0
I
M
4rad/s
2

T
ố
c
ñộ
góc c
ủ
a

ñĩ
a sau 5s chuy
ể
n
ñộ
ng là:

ω
=
γ
t = 4.5 = 20 rad/s
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

15

Ví dụ 2:
Tác d
ụ
ng m
ộ
t l
ự

c ti
ế
p tuy
ế
n 0,7 N vào vành ngoài c
ủ
a m
ộ
t bánh xe có
ñườ
ng kính
60cm. Bánh xe quay t
ừ
tr
ạ
ng thái ngh
ỉ
và sau 4 giây thì quay
ñượ
c vòng
ñầ
u tiên. Momen
quán tính c
ủ
a bánh xe là bao nhiêu?
Giải
Gia t
ố
c góc c
ủ

a bánh xe
ñượ
c tính:
ϕ
-
ϕ
0
=
2
1
γ
t
2

→

γ
=
)/(
4
)/(
4
.
4
2.2
)(2
22
2
0
sradsrad

t
ππ
ϕϕ
==
−

Mô men l
ự
c tác d
ụ
ng vào bánh xe:
M = F.R = 0,7.0.3 = 0,21Nm
.
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n c
ủ
a chuy
ể
n
ñộ
ng quay, ta tính
ñượ
c mô men quán tính c

ủ
a
bánh xe:
M = I.
γ

→
I
=
γ
M
=
≈
2
4
/
21,0
kgm
π
0,27kgm
2
.

Ví dụ 3:
M
ộ
t bánh xe ch
ị
u tác d
ụ

ng c
ủ
a m
ộ
t mô men l
ự
c M
1
không
ñổ
i là 20Nm. Trong 10 s
ñầ
u, t
ố
c
ñộ
góc c
ủ
a bánh xe t
ă
ng
ñề
u t
ừ
0
ñế
n 15 rad/s. Sau
ñ
ó mô men l
ự

c M
1
ng
ừ
ng tác
d
ụ
ng, bánh xe quay ch
ậ
m d
ầ
n
ñề
u và d
ừ
ng l
ạ
i sau 30s. Cho bi
ế
t mô men c
ủ
a l
ự
c ma sát có giá
tr
ị
không
ñổ
i trong su
ố

t th
ờ
i gian chuy
ể
n
ñộ
ng b
ằ
ng 0,25M
1
.
a) Tính gia t
ố
c góc c
ủ
a bánh xe khi chuy
ể
n
ñộ
ng nhanh d
ầ
n
ñề
u và khi ch
ậ
m d
ầ
n
ñề
u.

b) Tính mô men quán tính c
ủ
a bánh xe
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c.
Giải
a) Gia t
ố
c góc c
ủ
a bánh xe:
- Giai
ñ
o
ạ
n quay nhanh d
ầ
n
ñề
u:
2
1
01
1
/5,1 srad
t

=
∆
−
=
ωω
γ

- Giai
ñ
o
ạ
n quay ch
ậ
m d
ầ
n
ñề
u:
2
2
12
1
/5,0
srad
t
−=
∆
−
=
ωω

γ

b) T
ổ
ng mô men l
ự
c tác d
ụ
ng vào bánh xe trong giai
ñ
o
ạ
n quay nhanh d
ầ
n
ñề
u:
M = M
1
+ M
ms
= 20 – 5 = 15Nm
Mô men quán tính c
ủ
a bánh xe:
I =
1
γ
M
= 10kgm

2
.
Ví dụ 4:
M
ộ
t
ñĩ
a mài hình tr
ụ
có kh
ố
i l
ượ
ng 0,55kg và bán kính 7,5cm. Mô men l
ự
c c
ầ
n thi
ế
t
ph
ả
i tác d
ụ
ng lên
ñĩ
a
ñể
t
ă

ng t
ố
c t
ừ
ngh
ỉ

ñế
n 1500vòng/phút trong 5s là bao nhiêu? N
ế
u bi
ế
t
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

16

r
ằ
ng sau
ñ
ó ng
ừ
ng tác d
ụ
ng c
ủ
a mô men l
ự
c thì

ñĩ
a quay ch
ậ
m d
ầ
n
ñề
u cho
ñế
n khi d
ừ
ng l
ạ
i
m
ấ
t 45s.
Giải
Mô men quán tính c
ủ
a
ñĩ
a là
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c quay trùng v
ớ

i tr
ụ
c hình tr
ụ
là:
I =
2
1
mR
2
= 1,55.10
-3
(kgm
2
)
Gia t
ố
c góc c
ủ
a
ñĩ
a khi t
ă
ng t
ố
c:
γ
1
=
==

)/(
5
60/2.1500
2
1
srad
t
π
ω
)/(10
2
srad
π

Gia t
ố
c góc c
ủ
a
ñĩ
a khi quay ch
ậ
m d
ầ
n:
γ
2
= -
=−=
)/(

45
60/2.1500
2
2
srad
t
π
ω
)/(
9
10
2
srad
π
−

Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình
ñộ
ng l
ự
c h
ọ
c trong chuy
ể
n
ñộ

ng c
ủ
a
ñĩ
a ta có:
+ Khi quay ch
ậ
m d
ầ
n
ñề
u
ñĩ
a ch
ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a l
ự
c ma sát sinh ra mô men c
ả
n: M
ms
= I
γ
2

+ Khi t

ă
ng t
ố
c
ñĩ
a ch
ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a mô men l
ự
c làm quay và mô men c
ả
n c
ủ
a l
ự
c ma sát:
M
F
+ M
ms
= I
γ
1

→
M

F
= I
γ
1
- I
γ
2
= I(
γ
1
-
γ
2
)
M
F
= 1,55.10
-3
(10
π
+
9
10
π
) (Nm) = 0,054Nm.

• II: Xác ñịnh gia tốc góc, gia tốc dài trong chuyển ñộng của hệ vật có cả chuyển ñộng tịnh tiến
và chuyển ñộng quay.

Phương pháp giải

Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển ñộng quay và một số vật
chuyển ñộng tịnh tiến. Khi giải các bài tập loại này ta thực hiện theo các bước sau:
 Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật .
 Viết các phương trình ñộng lực học cho các vật:
+ ðối với vật chuyển ñộng quay: M = I γ
+ ðối với các vật chuyển ñộng thẳng:
∑
= amF
r
r

 Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng.
 Áp dụng các phương trình ñược suy ra từ ñiều kiện của bài toán:
+ Dây không dãn: a
1
= a
2
=….= rγ
+ Dây không có khối lượng thì: T
1
= T
2
(ứng với ñoạn dây giữa hai vật sát nhau).
Dùng toán học ñể tìm ra kết quả bài toán.
b. Áp dụng công thức liên hệ giữa các phần chuyển ñộng tịnh tiến và chuyển ñộng quay:
Quãng ñường và toạ ñộ góc: x = R
ϕ
.
Tốc ñộ dài và tốc ñộ góc: v
ω

R
=
.
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

17

Gia tốc dài và gia tốc góc:
γ
Ra
=

Trong ñó R là bán kinh góc quay



Bài 1: Một ròng rọc có khối lượng m = 400g phân bố ñều trên vành bán kính r = 10 cm.
1. Tính mô men quán tính của ròng rọc ñối với trục quay qua nó.
2. Quấn trên rãnh ròng rọc một dây quấn khối lượng không ñáng kể, không giãn, một ñầu gắn vào ròng rọc ñầu kia
gắn vào vật A khối lượng m
1
= 0,6 kg. Buông ra cho vật A chuyển ñộng. tính gia tốc của vật A và lực căng của sợi
dây. Cho g = 10 m/s
2
.
Giải:


1. Tính I:
Mô men quán tính của ròng rọc: I = m.r

2
= 0,4.0,1
2
= 4.10
-3
kg.m
2
.
2. Tìm a và T:
Chọn chiều dương là chiều chuyển ñộng như hình vẽ 3.1
Áp dụng pt của ñịnh luật II niuton cho vật A
m
1
g – T = m
1
a (1)
Áp dụng phương trình ñộng lực học cho ròng rọc
M = T.r = I.
γ
(2)
Mặt khác gia tốc góc của ròng rọc là

γ
=
r
a
(3)
Thay (3) vào (2) ta ñược
T = ma (4)
Giải hệ phương trình (1)(4) ta tính ñược sức căng cúa sơị dây và gia tốc của vật A

a =
2
1
1
/6 smg
mm
m
=
+
. T = 2,4N.
Nhận xét: ðối với bài toán dạng này nếu cho biết khối lượng của ròng rọc, vật A và gia tốc trọng trường thì lực
căng của sợi dây và gia tốc a xác ñịnh theo công thức: a = g
mm
m
+
1
1
. Và T = ma
Bài 2: Cho hệ cơ như hình 3.2. Ròng rọc có khối lượng m
1
= 1kg phân bố ñều trên vành có bán kính R = 20 cm.
Dây nhẹ không dãn, một ñầu gắn vào ròng rọc, ñầu kia gắn vào vật nặng có khối lượng m = 1 kg. Hệ bắt ñầu
chuyển ñộng với vận tốc bằng 0. Lấy g = 10m/s
2
.
1. Tìm gia tốc của vật nặng A và sức căng của sợi dây.
2. Tìm vận tốc góc của ròng rọc khi nó ñi ñược 0,4m.
3. Trường hợp có mô men cản tác dụng vào ròng rọc thì
vật nặng ñi xuống 1m và ñạt gia tốc 0,5m/s
2

. Tính mô men lực cản.

Giải:
1. Tìm a và T:
Áp dung kết quả bài trên ta suy ra:
a =
2
1
1
/5 smg
mm
m
=
+
. Và T = ma = 5 N.
2. Tìm v:
Áp dụng công th ức :
T
P
r

•o
A
T
+
Hình 3.1
•o
A
Hình 3.2
M

c
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

18

smsavsavv /2.2.2
2
0
2
==→=−
.
3. Tìm mô men cản M
c
:
Khi có mô men cản vật sẽ chuyển ñộng chậm hơn với gia tốc a
,
, sức căng sợi dây lúc này là T
,
và gia tốc góc
,
γ
.
Áp dụng phương trình ñộng lực học cho vật rắn A và ròng rọc:

,,
maTmg =− (1)
,
1
,
2

1
,,
. aRm
R
a
RmIMRTM
c
===+=
γ
(2)
(Mô men quán tính I =
2
1
Rm )
Giải hệ (1)và (2) ta suy ra:
[
]
mgammRM
c
−+=
,
1
)( (3).
Tính a
,
:
2
,
2
,

/125,0
2
sm
s
v
a == (4)
Thay (4) vào (3 ) ta suy ra :
mNM
c
.95,1−= .
Nhận xét:
Thông thường bài toán ta xét thì không có mô men cản tuy nhiên ñối với bài toán này lại xuất hiện mô men cản vì
vậy gia tốc khi chưa có mô men cản lớn hơn gia tóc khi không có mô men cản.
Mô men cản có tác dụng cản trở chuyển ñộng quay nên ta có thể xem nó như lực ma sát trong chuyển ñộng tịnh
tiến.
Nếu ròng rọc là một ñĩa tròn phân bố ñều lúc này bằng phép biến ñổi tương tự và chú ý
2
2
1
mRI =
ta sẽ suy ra
ñược các kết quả bài toán như sau:
•Xét trường hợp không có mô men cản : a = g
mm
m
2
2
1
1
+

. Và T =
2
1
ma.
•Xét trường hợp có mô men cản:






−+= mga
m
mM
c
,
1
)
2
(
Bài 3: Một ròng rọc là một ñĩa tròn ñồng chất có khối lượng m = 200g, bán kính r = 10 cm. Có thể quay quanh trục
nằm ngang qua tâm. Một dây mảnh có khối lượng không ñáng kể, không dãn, vắt qua ròng rọc, hai ñầu dây gắn
vào hai quả cân A, B khối lượng m
1
= 500 g và m
2
= 400g (Hình 3.4). Lúc ñầu hệ ñứng yên, buông ra cho hai quả
cầu chuyển ñộng lúc t = 0. Lấy g = 10 m/s
2
.

1. Dự ñoán xem vật chuyển ñộng theo chiều nào.
2. Tính gia tốc của các quả cân và gia tốc góc của ròng rọc.
3. Tính lực căng của dây treo các vật.












•o
m
1
m
2
Hình 3.3
•o
m
1
m
2
Hình 3.4
1
T
r

1
P
r

2
T
r

1
T
r

2
T
r

– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

19


Giải:
1. Dự ñoán chiều chuyển ñộng của hệ.
Nhận thấy P
1
> P
2
nên hệ sẽ chuyển ñộng về phía của vật m
1

.
2.Tìm a và
γ
.
Chọn chiều dương là chiều chuyển ñộng của hệ như hình vẽ.
Áp dụng phương trình ñịnh luật II Niniu tơn cho hai vật m
1
và

m
2
amTgm
111
=−

(1).

amgmT
222
=−

(2).

Áp dụng phương trình ñộng lực học cho chuyển ñộng quay của vật rắn
γ
IrTTM =−= )(
21

(3).

Với gia tốc góc và mô men quán tính xác ñịnh theo công thức:
r
a
=
γ
,
2
2
1
mrI =
(4).
Thay (4) vào (3) ta suy ra
2
21
ma
TT =−
(5).
Lấy (1) + (2) ta suy ra
ammgmgmTT )(
212112
+=−+−
(6).
Giải hệ phương trình (5) và (6) ta ñược Gia tốc:
2
21
21
/1
2
)(
smg

m
mm
mm
a =
++
−
=

Gia t
ố
c góc:
./10 srad
r
a
==
γ

3. Tìm T
1
và T
2
.
Thay a vào các ph
ươ
ng trình (1) và (2) ta suy ra
NagmT 5,4)(
11
=−=
.
NagmT 4,4)(

22
=+=
.
Bài 4:
Ròng r
ọ
c có kh
ố
i l
ượ
ng m = 0,1 kg phân b
ố

ñề
u trên vành tròn bán kính r = 5 cm quanh tr
ụ
c c
ủ
a nó. m
ộ
t
dây m
ả
nh có kích th
ướ
c không
ñ
áng k
ể
, không dãn v

ắ
t qua ròng r
ọ
c
ở
hai
ñầ
u g
ắ
n vào v
ậ
t n
ặ
ng A, B kh
ố
i l
ượ
ng
m
1
= 300g và m
2
= 100g. H
ệ
th
ố
ng
ñượ
c th
ả

cho chuy
ể
n
ñộ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c b
ằ
ng không (Hình 3.5 ). L
ấ
y g = 10
m/s
2
.
1. Tính gia t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t A,B và gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ

c.
2. Tính t
ố
c
ñộ
góc c
ủ
a ròng r
ọ
c khi v
ậ
t A
ñ
i
ñượ
c 0,5 m.
3. Tính các l
ự
c c
ă
ng hai bên ròng r
ọ
c.
Gi
ả
i:
1. Tìm a và
γ
.
Áp d

ụ
ng k
ế
t qu
ả
bài trên và
ñể
ý I = mr
2
ta suy ra
2
21
21
/4
)(
smg
mmm
mm
a =
++
−
= ; .
2
/80 srad
r
a
==
γ
.
2.Tìm

ω
.
T
ố
c
ñộ
dài c
ủ
a ròng r
ọ
c là:
smsav /2.2 ==

T
ố
c
ñộ
góc:
srad
r
v
/40==
ω

3.Tìm T
1
và T
2
.
NagmT 4,1)(

11
=−= .
•o

m
1
m
2
Hình 3.5
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

20

NagmT 8,1)(
22
=+= .
Nhận xét:
Bài toán này hoàn toàn gi
ố
ng nh
ư
bài toán trên nh

ư
ng ch
ỉ
khác nhau
ở

ch
ỗ
là
ñố
i v
ớ
i ròng r
ọ
c là
ñĩ
a tròn thì mô men quán tính là I = mr
2
/2 còn
ñố
i v
ớ
i
ròng r
ọ
c là vành tròn thì mô men quán tính là I = mr
2
. Vì v
ậ
y k

ế
t qu
ả
c
ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c tính gia t
ố
c t
ổ
ng quát ch
ỉ
khác nhau “m
ộ
t chút” thay m/2 b
ằ
ng m trong
bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a gia t
ố
c

ở
m
ẫ
u mà thôi!
Bài 5:
M
ộ
t dây không dãn kh
ố
i l
ượ
ng không
ñ
áng k
ể
v
ắ
t qua ròng r
ọ
c có
bán kính r = 10 cm, có th
ể
quay quanh tr
ụ
c n
ằ
m ngang qua nó. Hai
ñầ
u g
ắ

n
vào hai v
ậ
t A, B có kh
ố
i l
ượ
ng m
1
= 0,22kg và m
2
= 0,225kg. Lúc
ñầ
u h
ệ

ñứ
ng yên (Hình 3.6). Th
ả
m
2

ñể
m
2

ñ
i xu
ố
ng 1,8 m trong 6 giây. L

ấ
y g = 10m/s
2
.
1. Tính gia t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t m
1
, m
2
và gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ
c.
2. Tính l
ự
c c
ă
ng hai bên c
ủ
a ròng r
ọ
c.

3. Tính mô men quán tính c
ủ
a ròng r
ọ
c.
Giải:
1. Tìm gia tốc.
Tìm a:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c:
2
0
2
1
atvs += ta suy ra:
2
22
/1,0
6
8,1.22
sm
t
s
a ===
Tìm
γ
:

Gia t
ố
c góc:
2
/1
1,0
1,0
srad
r
a
===
γ

2. Tính T
1
và T
2
.
Ch
ọ
n chi
ề
u d
ươ
ng là chi
ề
u chuy
ể
n
ñộ

ng
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình
ñị
nh lu
ậ
t II niu t
ơ
n cho v
ậ
t m
1
và m
2
ta
ñượ
c
1 1
( ) 2,222
T m g a N
= + = .
2 2
( ) 2,275
T m g a N
= − = .
3. Tìm I.
Áp d

ụ
ng ph
ươ
ng trình
ñộ
ng l
ự
c h
ọ
c
γ
IrTTM =−= )(
21
suy ra
23
21
.10.3,5
)(
mkgr
TT
I
−
=
−
=
γ


Bài 6:
Hai v

ậ
t có kh
ố
i l
ượ
ng m
1
= 0,5 kg và m
2
= 1,5 kg
ñượ
c n
ố
i v
ớ
i nhau b
ằ
ng m
ộ
t s
ợ
i dây nh
ẹ
, không dãn v
ắ
t
qua ròng r
ọ
c có tr
ụ

c qay n
ằ
m ngang c
ố

ñị
nh g
ắ
n vào mép bàn (Hình 3.7). Ròng r
ọ
c có mô men quán tính 0.03
kg.m
2
và bán kính 10 cm. Coi r
ằ
ng dây không tr
ượ
t trên ròng r
ọ
c khi quay. b
ỏ
qua ma sát.
1. Xác
ñị
nh gia t
ố
c c
ủ
a m
1

và m
2
.
2. Tính
ñộ
d
ị
ch chuy
ể
n c
ủ
a m
2
trên m
ặ
t bàn sau 0,4s k
ể
t
ừ
lúc b
ắ
t
ñầ
u chuy
ể
n
ñộ
ng.

Giải:

1. Tìm a:
Ch
ọ
n chi
ề
u d
ươ
ng 0x là chi
ề
u chuy
ể
n
ñộ
ng.
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng ph
ươ
ng trình
ñị
nh lu
ậ
t II Niu t
ơ
n cho 2 v
ậ
t

amTgm
111
=−

(1).
T
2
= m
2
g (2).
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình
ñộ
ng l
ự
c h
ọ
c cho chuy
ể
n
ñộ
ng c
ủ
a ròng r
ọ
c
M = (T

1
– T
2
)R = I
γ
=
R
a
I
(3). (V
ớ
i
R
a
=
γ
)
•o

m
1
m
2
Hình 3.6
+ x

m
1
m
2

Hình 3.7
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

21

Ta suy ra
2
21
R
a
ITT =−
(4).
L
ấ
y (2) – (1) ta suy ra k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (4) ta suy ra:
2

2
21
1
/98,0 sm
R
I
mm
gm
a =
++
= .
2. Tìm s:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c: cmats 84,74,0.98,0.
2
1
2
1
22
===
Nhận xét
: Bài toán này còn có th
ể
khai thác
ở
nhi
ề

u khía c
ạ
nh khác nhau:
Tính gia t
ố
c c
ủ
a hai v
ậ
t.
Tính gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ
c.
Tính l
ự
c c
ă
ng c
ủ
a các dây liên k
ế
t v
ớ
i v
ậ
t.

Tính quãng
ñườ
ng di chuy
ể
n c
ủ
a các v
ậ
t m
1
và m
2
.
Tính v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a m
1
và m
2

ở
t
ạ
i các th
ờ
i

ñ
i
ể
m khác nhau.



Bài 7: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, ñược liên kết với nhau bằng một dây nhẹ, không dãn,
vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I = 0,050kgm
2
(hình vẽ). Biết dây không trượt
trên ròng rọc. Lúc ñầu, các vật ñược giữ ñứng yên, sau ñó hệ vật ñược thả ra. Người ta thấy sau 2s, ròng
rọc quay quanh trục của nó ñược 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không ñổi. Cho g = 10m/s
2
. Coi ma
sát ở trục ròng rọc là không ñáng kể.

a) Tính gia tốc góc của ròng rọc.
b) Tính gia tốc của hai vật.
c) Tính lực căng của dây ở hai bên ròng rọc.
d) Tính hệ số ma sát trượt giữa vật B với bàn.


a) Gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ
c

ñượ
c tính:
T
ừ

ϕ
=
γ
t
2
/2
→

γ
= 2
ϕ
/t
2
= 6,28rad/s
2
.
b) Gia t
ố
c c
ủ
a hai v
ậ
t:
a = R
γ

= 0,63m/s
2
.
c) L
ự
c c
ă
ng c
ủ
a dây
ở
hai bên ròng r
ọ
c:
-
ðố
i v
ớ
i v
ậ
t A: P
A
– T
A
= ma
→
T
A
= mg-ma = 9,17 (N) = T’
A

.
-
ðố
i v
ớ
i ròng r
ọ
c: (T
A
– T
B
)R = I
γ

→
T
B
= T
A
- I
γ
/R = 6,03 (N)
d) H
ệ
s
ố
ma sát
ñượ
c tính:
-

ðố
i v
ớ
i v
ậ
t B: T
B
– F
ms
= ma
→
F
ms
= T
B
– ma = 5,4 (N)
- H
ệ
s
ố
ma sát tr
ượ
t gi
ữ
a v
ậ
t B và m
ặ
t bàn là:
µ

= F
ms
/mg = 0,55
A
B
Hình 7
A
B
T
B
T
A
T’
A
T’
B
P
A
F
ms
Hình 9
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

22

Bài 8:
Cho c
ơ
h
ệ
nh
ư
hình v
ẽ
. Kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a các v
ậ
t và ròng
r
ọ
c l
ầ
n l
ượ
t là: m
1
= 4kg, m

2
= 1 kg, m = 1 kg. Ròng r
ọ
c
ñượ
c
xem nh
ư

ñĩ
a tròn
ñồ
ng ch
ấ
t có bán kính R = 10cm. B
ỏ
qua ma
sát. L
ấ
y g = 10m/s
2
. Cho
α
= 30
0
. Hãy tính:
a) Gia t
ố
c c
ủ

a m
1
, m
2
và gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ
c.
b)L
ự
c c
ă
ng c
ủ
a s
ợ
i dây n
ố
i v
ớ
i m
1
và m
2
.
Giải
a) Các l

ự
c tác d
ụ
ng lên m
1
g
ồ
m:
1
P
r
,
1
T
r
,
N
r

Các l
ự
c tác d
ụ
ng lên m
2
g
ồ
m:
2
P

r
,
2
T
r

Các l
ự
c tác d
ụ
ng lên ròng r
ọ
c gây ra mô men
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c
quay:
/
1
T
r
,
/
2
T
r

Áp d
ụ
ng
ñị
nh lu
ậ
t II Niut
ơ
n cho v
ậ
t m
1
và v
ậ
t m
2
ta
ñượ
c:
m
1
g.sin
α
- T
1
= m
1
a
1
(1)

T
2
– m
2
g = m
2
a
2
(2)
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng ph
ươ
ng
ñộ
ng l
ự
c h
ọ
c cho chuy
ể
n
ñộ
ng quay c
ủ
a ròng r
ọ
c ta có:

T
1
R – T
2
R = I.
γ
(3)
M
ặ
t khác: T’
1
= T
1
, T’
2
= T
2
, a
1
= a
2
= a = R
γ
, I =
2
2
1
mR
(4)
T

ừ
(1), (2), (3), (4) ta có:
γ
=
)/(
)11.24.2.(1,0
)15,0.4(10.2
)22(
)sin(2
2
21
21
srad
mmmR
mmg
++
−
=
++
−
α
=
)/(
11
200
2
srad

a
1

= a
2
= a = R
γ
= 0,1.
8,1
11
200
≈
(m/s
2
).
b) L
ự
c c
ă
ng các dây
ñượ
c tính:
T
2
= m
2
(g + a
2
) = 1.(10+1,8) = 11,8 (N)
T
1
= m
1

g.sin
α
- m
1
a
1
= 4.10.0,5 – 4.1,8 = 12,8 (N)


• III. Xác ñịnh gia tốc góc của vật rắn trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh khi mô
men lực tác dụng lên vật thay ñổi.
Phương pháp giải
Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác ñịnh gia tốc góc khi vật ở một vị trí ñặc biệt nào
ñó. Vì mô men lực thay ñổi nên gia tốc góc cũng thay ñổi. ðể làm bài tập loại này ta cũng làm
giống như dạng 1 ñó là:
 Xác ñịnh mô men lực tác dụng lên vật
m
1
m
2

α

m
Hình 10
m
1
m
2

N
r

α

1
P
v

2
P
r

1
T
r

2
T
r

/
1
T
r

/
2
T
r

Hình 11
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

23

 Áp dụng phương trình ñộng lực học vật rắn chuyển ñộng quay
 Dùng toán học tìm kết quả.
Ví dụ 1: Thanh ñồng chất OA khối lượng m và chiều dài l có thể quay tự do trong mặt
phẳng thẳng ñứng với trục quay (O) nằm ngang. Ban ñầu thanh ñược giữ nằm ngang rồi thả
cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của ñầu thanh tại thời ñiểm bắt ñầu thả.
Giải
Tại thời ñiểm thả ñể thanh chuyển ñộng (thanh ñang nằm ngang), mô men lực làm
thanh quay là:
2 2
l mgl
M P= =

Áp dụng phương trình ñộng lực học cho chuyển ñộng quay ta có :
M = Iγ →
M
I

γ
=

với
2
2
1 / 2 3
.
3 /3 2
mgl g
I ml
ml l
γ
=
⇒
= =

Gia tốc dài của ñầu A thanh tại thời ñiểm bắt ñầu thả:
gl
l
g
la
2
3
2
3
. ===
γ

Ví dụ 2: Có hai vật nặng, mỗi vật có khối lượng m = 100g treo vào hai ñầu của một

thanh không trọng lượng, ñộ dài l
1
+l
2
với l
1
=20cm và l
2
=80cm. Thanh ñược giữ ở vị
trí nằm ngang, như trên hình vẽ 12, sau ñó ñược buông ra. Tính gia tốc của hai vật
nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt ñầu chuyển ñộng. Lấy g = 10m/s
2
.
Giải
Các l
ự
c tác d
ụ
ng lên m
1
và m
2
nh
ư
hình v
ẽ
13.
Áp d
ụ
ng

ñị
nh lu
ậ
t II Niu t
ơ
n cho m
1
và m
2
ta
ñượ
c:
m
2
g - T
2
= m
2
a
2
(1)

T
1
- m
1
g = m
2
a
1

(2)
ðố
i v
ớ
i thanh: T
2
l
2
-T
1
l
1
= 0 (3) (do M=I
γ
=0)
M
ặ
t khác:
2
1
2
1
l
l
a
a
=
(4) (do l
1
=a

1
t
2
/2, l
1
=a
2
t
2
/2 chia t
ỉ
s
ố
là có bth
ứ
c)
T
ừ
(1),(2),(3),(4) v
ớ
i l
ư
u ý m
1
=m
2
= m =100g ta có:
a
1
=

=
+
−
g
ll
lll
2
2
2
1
2
121
2
/
17
30
sm

a
2
=
=
+
−
g
ll
lll
2
2
2

1
21
2
2
2
/
17
120
sm

T
1
= m
1
(g+a
1
) =
N
17
20

m

m

l
1
l
2
Hình 14

A O
Hình 12
•

A
O
P
r

Hình 13
•



l
1
l
2
T
1
T
2
P
1
P
2
Hình 15
– Tài Li
ệ
u luy

ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

24

T
2
= m
2
(g-a
2
) =
N
17
5


 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Một bánh xe bán kính 0,20m ñược lắp vào một trục nằm ngang không ma sát. Một sợi dây không khối
lượng quấn quanh bánh xe và buộc vào một vật, khối lượng 2,0kg. Vật
này trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng 20
0
so với mặt phẳng
ngang với gia tốc 2,0m/s
2
. Lấy g = 10m/s

2
. Hãy tính:
a) Lực căng của dây.
b) Mô men quán tính của bánh xe .
c) Tốc ñộ góc của bánh xe sau khi quay từ nghỉ ñược 2,0s.
ðáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm
2
; c) 10rad/s
2
.
2. Một thanh mảnh ñồng chất có chiều dài l = 1m, trọng lượng P = 5N quay xung quanh một trục thẳng
góc với thanh và ñi qua ñiểm giữa của nó. Tìm gia tốc góc của thanh nếu mô men lực tác dụng lên
thanh là M = 0,1Nm.
ðáp số: γ = 2,25rad/s
2
3. Một trụ ñặc ñồng chất khối lượng m= 100kg quay xung quanh một trục nằm ngang trùng với trục của
trụ. Trên trụ có quấn một sợi dây không giãn trọng lượng không ñáng kể. Dầu tự do của ñây có treo
một vật nặng khối lượng M= 20kg. ðể vật nặng tự do chuyển ñộng. Tìm gia tốc của vật nặng và sức
căng của sợi dây.
ðáp số: a = 2,8m/s
2
; T = 140,2N
4. Hai vật khối lượng 2,00kg và 1,5 kg ñược nối với nhau bằng một sợi dây mảnh vắt
qua một ròng rọc gắn ở mép một chiếc bàn. Vật 1,5 kg ở trên bàn (hình 15). Ròng
rọc có mô men quán tính 0,125kg.m
2
và bán kính 15cm. Giả sử rằng dây không
trượt trên ròng rọc, ma sát ở mặt bàn và ở trục ròng rọc là không ñáng kể. Hãy
tính:
a) Gia tốc của 2 vật.

b)Lực căng ở hai nhánh dây.
ðáp số: a) a
1
= a
2
= 3,24m/s
2
; b)T
1
=13,1N; T
2
=4,86N
5. Thanh mảnh có chiều dài l, khối lượng m có trục quay nằm ngang cách một ñầu của thanh ñoạn l/4. Ban
ñầu thanh ñược giữ nằm ngang, sau ñó buông cho thanh chuyển ñộng. Tính gia tốc của thanh trong 2
trường hợp:
a) Ngay sau khi buông tay (thanh nằm ngang).
b) Thanh làm với phương ñứng góc 30
0
.
ðáp số: a)
l
g
7
12
; b)
l
g
7
6
.

α

Hình 16


m
2
m
1
Hình 17
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

25

6. Một ñĩa tròn ñồng chất khối lượng m = 2kg, bán kính r = 10cm ñang quay ñều quanh một trục vuông
góc với mặt ñĩa với tốc ñộ góc 10rad/s. Tác dụng lên ñĩa một mô men hãm thì ñĩa quay chậm dần ñều, sau
10 s thì ñĩa dừng lại.
a) Tính mô men quán tính của ñĩa
b) Tính ñộ lớn mô men hãm.
ðáp số: a) 0,01(kgm
2
); b) 0,01Nm.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
VẬT RẮN
I. TRẮC NGHIỆM LÝ THUYẾT.
1.
Ch
ọ
n câu phát bi
ể
u
sai

A.

Mômen l
ự
c là
ñạ
i l
ượ
ng
ñặ
c tr
ư
ng cho tác d
ụ
ng làm quay c
ủ
a l
ự

c.
B.

Mômen l
ự
c là
ñạ
i l
ượ
ng
ñặ
c tr
ư
ng cho tác d
ụ
ng làm quay c
ủ
a v
ậ
t.
C.

Mômen l
ự
c
ñượ
c
ñ
o b
ằ

ng tích c
ủ
a l
ự
c v
ớ
i cánh tay
ñ
òn c
ủ
a l
ự
c
ñ
ó.
D.

Cánh tay
ñ
òn là kho
ả
ng cách t
ừ
tr
ụ
c quay
ñế
n giá c
ủ
a l

ự
c.
2.
Momen l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n có tr
ụ
c quay c
ố

ñị
nh có giá tr
ị
:
A.b
ằ
ng không thì v
ậ
t
ñứ
ng yên ho
ặ
c quay
ñề

u.
B. không
ñổ
i và khác không thì luôn làm v
ậ
t quay
ñề
u.
C. d
ươ
ng thì luôn làm v
ậ
t quay nhanh d
ầ
n.
D. âm thì luôn làm v
ậ
t quay ch
ậ
m d
ầ
n.
3.
Trong h
ệ
SI,
ñơ
n v
ị
c

ủ
a mômen l
ự
c là:
A. N/m B. Niut
ơ
n (N) C. Jun (J) D. N.m
4.
Gia t
ố
c góc
γ
c
ủ
a ch
ấ
t
ñ
i
ể
m
A.
t
ỉ
l
ệ
ngh
ị
ch v
ớ

i momen l
ự
c
ñặ
t lên nó.
B.
t
ỉ
l
ệ
thu
ậ
n v
ớ
i momen quán tính c
ủ
a nó
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c quay.
C.
t
ỉ
l
ệ
thu
ậ

n v
ớ
i momen l
ự
c
ñặ
t lên nó và t
ỉ
l
ệ
ngh
ị
ch v
ớ
i momen quán tính c
ủ
a nó
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c quay.
D.
t
ỉ
l
ệ
ngh
ị

ch v
ớ
i momen l
ự
c
ñặ
t lên nó và t
ỉ
l
ệ
thu
ậ
n v
ớ
i momen quán tính c
ủ
a nó
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c quay.
5.
M
ộ
t v
ậ
t r
ắ

n có th
ể
quay quanh m
ộ
t tr
ụ
c. Momen t
ổ
ng c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các ngo
ạ
i l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t không
ñổ
i. V
ậ
t
chuy
ể
n

ñộ
ng nh
ư
th
ế
nào?
A. Quay
ñề
u. B. Quay bi
ế
n
ñổ
i
ñề
u.
C.
ðứ
ng yên. D.A ho
ặ
c B tùy theo
ñ
i
ề
u ki
ệ
n
ñầ
u.
6.
L

ự
c có tác d
ụ
ng làm cho v
ậ
t r
ắ
n quay quanh tr
ụ
c là:
A.

L
ự
c có giá n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i tr
ụ
c quay và không c
ắ
t tr
ụ
c quay.
B.

L
ự
c có giá n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i tr
ụ
c quay và c
ắ
t tr
ụ
c quay.
C.

L
ự
c có giá song song v
ớ
i tr
ụ
c quay.
D.

L

ự
c có giá c
ắ
t tr
ụ
c quay.
7.
V
ậ
t r
ắ
n quay quanh tr
ụ
c (∆) d
ướ
i tác d
ụ
ng c
ủ
a m
ộ
t l
ự
c F có
ñ
i
ể
m
ñặ
t vào

ñ
i
ể
m O trên v
ậ
t. N
ế
u
ñộ
l
ớ
n l
ự
c t
ă
ng
hai l
ầ
n và kho
ả
ng cách t
ừ
O
ñế
n tr
ụ
c (∆) gi
ả
m hai l
ầ

n thì momen l
ự
c:
A. t
ă
ng hai l
ầ
n B. gi
ả
m hai l
ầ
n
C. không
ñổ
i. D. t
ă
ng b
ố
n l
ầ
n.
8.
M
ộ
t momen l
ự
c không
ñổ
i tác d
ụ

ng vào m
ộ
t v
ậ
t có tr
ụ
c quay c
ố

ñị
nh. Trong nh
ữ
ng
ñạ
i l
ượ
ng d
ướ
i
ñ
ây,
ñạ
i
l
ượ
ng nào không ph
ả
i là h
ằ
ng s

ố
?
A. Momen quán tính. B. Kh
ố
i l
ượ
ng.
C. Gia t
ố
c góc. D. T
ố
c
ñộ
góc.
9. ðố
i v
ớ
i v
ậ
t quay quanh m
ộ
t tr
ụ
c c
ố

ñị
nh, câu nào sau
ñ
ây là

ñ
úng?
A.

N
ế
u không ch
ị
u momen l
ự
c tác d
ụ
ng thì v
ậ
t ph
ả
i
ñứ
ng yên.