Sáng kiến kinh nghiệm thpt phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn hàm số trong chương trình toán lớp 11 thpt

1. Tên

sáng kiến: Phân loại và cách giải bài toán tìm giới hạn
hàm số trong chương trình Tốn lớp 11 THPT.

2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: tháng 2/2021.
3. Các thông tin cần được bảo mật: Không
4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm:
Trường THPT Yên Thế, là một trường thuộc huyện miền núi của tỉnh Bắc
Giang, với nhiều học sinh là con em các dân tộc thiểu số như: Tày, Nùng, Cao
lan, Dao, Sán trí, Sán dìu, Sán chay..., cịn nhiều hạn chế trong việc tiếp thu kiến
thức, đặc biệt là kiến thức của các mơn địi hỏi tư duy trừu tượng như mơn Tốn.
Phần đơng học sinh có học lực mơn Tốn mức trung bình, yếu. Với đặc điểm
như trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh cơ bản, tôi
thường mong muốn tập trung vào giúp các em nắm vững và giải thành thạo các
bài toán có mức độ khó vừa phải (mức 1, 2, 3) và bám sát các đề kiểm tra giữa
học kỳ, cuối học kỳ hoặc các bài toán làm cơ sở để phát triển cho các chủ đề
khác, bài toán giới hạn hàm số là một trong số kiến thức cần thiết.
Lượng kiến thức về giới hạn hàm số trình bày trong chương trình sách giáo
khoa Đại số và Giải tích lớp 11 tương đối ít, nghèo nàn; bài tập chưa phong phú
và chưa nhiều; chưa có sự phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể. Điều này thực
sự là khó khăn đối với những học sinh có học lực trung bình, yếu. Thực tế trong
sách giáo khoa chỉ trang bị những kiến thức cơ bản và đưa ra một số bài tập đại
diện.
Qua thực tế giảng dạy trực tiếp ở lớp 11a6 (một lớp cơ bản đối với mơn
Tốn), tơi thấy rằng khi ra những bài tập dạng này học sinh thường lúng túng,
không hiểu đầu bài, không định hướng được cách giải, trong quá trình biến đổi
và áp dụng các tính chất. Cụ thể, năm học 2018-2019 khi chưa áp dụng sáng
kiến vào giảng dạy. Tôi tổng hợp kết quả điểm phần giới hạn hàm số qua bài
kiểm tra cuối học kỳ được kết quả như sau:
Lớp

Số

Điểm tối đa

Đạt 75%

Đạt 50%

Dưới 50%


11a1

HS

SL

%

SL

%

SL

%

SL

%

45

1

2.22

6

13.33

11

24.44

27

60.01

Xuất phát từ thực tế đó, trong năm học 2020-2021 tôi đã tiến hành đổi
mới cách dạy nội dung này tại lớp 11a6 (có chất lượng tương đương với lớp
11a1 trong năm học trước), bằng cách vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này.
Trước khi thực hiện giải pháp, các phương pháp chủ yếu áp dụng trong dạy
học bài giới hạn hàm số là: dạy học giải quyết vấn đề, kết hợp phương pháp dạy
học nhóm và các phương pháp truyền thống....bám sát theo nội dung, chương
trình sách giáo khoa hiện hành, trang bị kiến thức cơ bản cho học sinh sau đó
vận dụng vào giải các bài tập trong sách giáo khoa. Tuy nhiên, đáp ứng mục
tiêu giáo dục với yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, các phương pháp trên
còn một số hạn chế như: sự vận động của học sinh chưa toàn diện, sự trải

nghiệm đồng thời về cùng một vấn đề nghiên cứu theo các kênh thơng tin cịn ít,
sự phát triền đồng đều hài hịa phẩm chất và năng lực của học sinh đôi khi còn
bị hạn chế. Đặc biệt đối với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp rất hạn chế, gần như giải bài nào biết bài đó. Việc tự
hình thành phương pháp giải chung và phân loại bài tốn là rất khó khăn. Hơn
nữa, lượng thời gian dành cho tiết học trên lớp là không nhiều nên giáo viên
giúp học sinh tổng hợp, phân dạng và đưa ra cách giải cụ thể là việc làm rất cần
thiết.
5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến:
Tốn học là một mơn học địi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng và
kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc phân dạng và hình thành
phương pháp giải từng dạng tốn là biện pháp mang lại hiệu quả cao trong giảng
dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu.
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, việc phân loại và hình thành
phương pháp giải các bài tốn tìm giới hạn hàm số có vai trị rất quan trọng, nó


có tính chất thực hành, tổng hợp và sáng tạo. Ngồi ra, nó củng cố, huy động
nhiều kiến thức và rèn luyện được kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản.
Khi giải các bài tập tìm giới hạn hàm số thầy và trò vừa phải nhớ kiến thức
cơ bản, vừa phải xác định mối quan hệ của các dữ kiện từ đó hướng đến những
điều cần tìm tịi. Do vậy, người học phải luôn tư duy, suy luận logic, cẩn thận, tỷ
mỷ, đảm bảo tính chính xác, thúc đẩy người học khơng ngừng sáng tạo, ln
ln phải cố gắng, tích cực, tự lực.
Trong quá trình giảng dạy đối tượng học sinh các lớp cơ bản tơi thấy các
em cịn gặp nhiều khó khăn, lúng túng và nhầm lẫn, sai sót trong việc giải quyết
một số bài tốn tìm giới hạn hàm số. Có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến
tình trạng nói trên, nhưng theo tơi, ngun nhân chủ yếu là học sinh chưa biết
nhận dạng và lựa chọn các phương pháp phù hợp để giải bài toán hữu hiệu.
Các bài tốn tìm giới hạn hàm số ở lớp 11 là một chủ đề quan trọng và

xuyên suốt, làm cơ sở để giải nhiều bài toán ở lớp 11, 12, thường được đưa vào
các bài kiểm tra giữa học kỳ, cuối học kỳ lớp 11, đề thi THPT quốc gia và đề thi
học sinh giỏi. Vì vậy, việc phân loại và đưa ra phương pháp giải là hết sức quan
trọng đối với học sinh.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của Bộ giáo dục và
đào tạo, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao địi hỏi người thầy
phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các
phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ.
Các bài tốn tìm giới hạn hàm số là phần kiến thức rất đa dạng, phong
phú, cần có tư duy lơ gíc, khả năng ước lượng và độ chính xác cao. Để học tốt
được phần này học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản, thường xuyên làm
bài tập để học hỏi, trau rồi phương pháp, kĩ năng khi biến đổi. Kiến thức, bài tập
ở phần này tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, nhưng đối với học
sinh trung bình, yếu thì khá khó khăn trong việc phân loại các dạng tốn và vận
dụng phương pháp phù hợp.


Do đó, tơi ln chú trọng việc hệ thống, phân loại các dạng bài tập và
phương pháp giải hoặc tìm ra một phương pháp mới, để giảng dạy cho học sinh,
một phương pháp học đơn giản, một phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng
thú khi học.
6. Mục đích của giải pháp sáng kiến:
Đề tài góp phần nghiên cứu một cách có hệ thống, làm rõ hơn việc phân
loại và đưa ra phương pháp giải bài tốn tìm giới hạn hàm số trong chương trình
Tốn lớp 11 THPT.
Giúp học sinh nhận dạng và tìm ra phương pháp giải tối ưu, nhanh nhất
một số dạng bài tập tìm giới hạn hàm số thường gặp trong các đề kiểm tra giữa
học kỳ, cuối học kỳ, đề thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi. Phát triển khả
năng tổng hợp, khái quát hóa dạng tốn và phương pháp giải chung.
Rèn luyện kỹ năng giải nhanh và giải bài tập trắc nghiệm.

Nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ phục vụ cho cơng tác giảng
dạy, ôn tập giữa học kỳ, cuối học kỳ, ôn thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia.
Đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp những kinh nghiệm của bản thân.
7. Nội dung:
7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến
7.1.1. Giải pháp 1:
- Tên giải pháp: Nghiên cứu, tìm hiểu cơ sở lý thuyết để giải quyết bài tốn tìm
giới hạn hàm số trong chương trình Tốn lớp 11 THPT.
- Nội dung: Hệ thống lại kiến thức cơ bản; tổng hợp và phân loại các dạng toán;
đưa ra phương pháp giải cụ thể cho từng dạng toán. Chỉ ra những điểm cần chú
ý, những sai lầm thường gặp và hạn chế của phương pháp.
- Các bước tiến hành thực hiện giải pháp:
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo
và các đề thi, đề kiểm tra.
Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy và học phần kiến thức này qua các hình
thức như dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp…


Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân trong
quá trình dạy học. Đặc biệt là kinh nghiệm của những giáo viên có chun mơn
cao về vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức
thực nghiệm ở lớp ôn thi đại học, so sánh kết quả học tập của học sinh ở khóa
trước khi chưa áp dụng sáng kiến.
Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê tốn học để phân tích
kết quả.
- Kết quả khi thực hiện giải pháp:
+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Cơ sở lý thuyết để giải quyết bài tốn tìm
giới hạn hàm số ở lớp 11 THPT.
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Giới hạn của hàm số tại một điểm
a) Giới hạn hữu hạn
Cho hàm số f  x  xác định trên khoảng  a; b  , có thể trừ điểm x0   a; b  . Nếu
với mọi dãy số  xn  mà xn   a; b  \  x0  ; lim xn  x0 ta đều có lim f  xn   L thì ta
nói hàm số f  x  có giới hạn là số L khi x dần đến x0 . Khi đó ta kí hiệu
lim f  x   L hoặc f  x   L khi x  x0 .
xx
0

b) Giới hạn vô cực
Tương tự như các điều đã nêu trong phần a, nếu L là  thì ta nói f  x  có giới
hạn vơ cực khi x  x0 và kí hiệu lim f  x    hay f  x    khi x  x0 .
x  x0

2) Giới hạn của hàm số tại vô cực
Cho hàm số f  x  xác định trong khoảng  a;    . Khi đó nếu với mọi dãy số

 xn  với xn  an, lim xn   ta đều có lim f  xn   L (hoặc ,   ) ta nói hàm số
f  x  có giới hạn là L (hoặc ,   ) khi x dần tới vơ cực. Khi đó viết lim  L
x 
(hay  ) hoặc f  x   L (hay  )
Khi x   hàm số f  x  trong  ; b  , với mọi dãy  xn  mà xn  b lim xn   ta
f  x   L (hay  ) hoặc f  x   L
đều có lim f  xn   L (hay  ) thì ta có xlim

(hay  ) khi x  
Một số giới hạn của hàm số tại vô cực
1
1

x
x
k
* lim x   (với

* xlim
 0, lim  0

x 
x 

); lim x k   nếu k chẵn và   nếu k lẻ.
x 


* xlim


1
1
 lim k  k 
k
x

x
x

*

3) Một số định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí: Nếu lim f  x   L, lim g  x   M , c là hằng số thì
x  x0

x  x0

* lim  f  x   g  x   L  M
xx
0

* lim  f  x  .g  x    L.M và lim c. f  x   c.L (c là hằng số)
xx
xx
0

0

* Nếu M  0 thì xlim
x

0

f  x



g  x

L
M

* lim f  x   L
x  x0

* lim 3 f  x   3 L
x  x0

* lim f  x   L với L  0
xx
0

II. PHÂN LOẠI DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số và những quy tắc cơ bản
Phương pháp giải:
* Theo định nghĩa thì giới hạn hàm số f  x  trên cơ sở giới hạn các dãy f  xn  .
Nếu có 2 dãy xn và xn cùng tiến đến x0 mà lim f  xn   lim f   xn  thì khơng tồn
tại lim f  x 
x  x0

*Với mọi số nguyên dương k, ta có:
1
0
x  x k

lim x k  ; lim x 2 k  , lim x 2 k 1  , lim

x 

x 

x 

* Xác định dấu  hoặc  dựa trên dấu của tích số, thương số,
x  x0 , x  x0 , x  

Chú ý: Nếu hàm số f  x  là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm
số lượng giác có tập xác định là D thì với mỗi x0  D ta có lim f  x   f  x0 
xx
0

2. Dạng 2: Dạng vô định
Xét bài tồn: Tính xlim
x

0

0
0

f  x
g  x

khi lim f  x   lim g  x   0 , trong đó f  x  , g  x  là
xx
xx
0

0

các đa thức và căn thức.

Phương pháp giải:
Phân
lim

x  x0

tích

f  x
g  x

 lim
x  x0

tử

và

mẫu

thành

A x
 x  x0  .A  x 
 lim
 x  x0  .B  x  x B  x 

các

nhân

tử

và

giản

ước:


Nếu A  x  , B  x  đều chứa nhân tử x  x0 ta sẽ tiếp tục phân tích thành các nhân
tử.
Chú ý:
- Với f  x  , g  x  là đa thức (thường là hàm số bậc hai, bậc ba, bậc bốn…) thì ta
phân tích nhân tử bằng việc giải phương trình f  x   g  x   0
- Với f  x  , g  x  là căn thức, ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp (liên hợp
số hoặc liên hợp biến) để phân tích nhân tử.
- Sử dụng các hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích ra thừa số bậc 2, chia đa
thức, sơ đồ Hoócne,…
- Chia tách thành các phân thức bằng cách thêm bớt đại lượng đơn giản nhất
theo x hoặc hằng số mà các giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô định

0
.
0

- Nếu lim f  x   ; lim g  x    thì lim  x   g  x   ; lim  x  .g  x    
xx
xx
xx

x x
0

0

0

3. Dạng 3: Dạng vơ định

Bàitốn:Tính lim
x 

f  x

0





f  x   lim g  x    , trong đó f  x  , g  x  là các
khi lim
x 
x 

g  x

đa thức và căn thức.
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho xn với n là số mũ bậc cao nhất của biến số x trong mẫu

thức. Nếu f  x  , g  x  có chứa biến x trong dấu căn thức thì đưa xk ra ngoài dấu
căn (với k là số mũ bậc cao nhất của x trong dấu căn).
Chú ý:
* Khi x   thì ta xử lý giống như với giới hạn của dãy số.
* Khi x   ta cần lưu ý khi đưa x 2k ra ngoài dấu căn thức bậc chẵn.
Dạng hay gặp chính là
*Xét hàm số h  x  

x 2  x  x khi x   và   x khi x  

f  x
g  x

có hệ số của hạng tử bậc cao nhất của f  x  , g  x  lần

lượt là a, b
Và kí hiệu deg f  x  , deg g  x  lần lượt là bậc của f  x  , g  x 
- Nếu deg f  x   deg g  x  thì lim
x 

f  x
g  x




f  x

- Nếu deg f  x   deg g  x  thì lim
x 

g  x
f  x

- Nếu deg f  x   deg g  x  thì lim
x 

g  x

a
b



0

4. Dạng 4: Dạng vơ định 0.∞
Bài tốn : Tính lim  f  x  .g  x  khi lim f  x   0 và lim g  x   
xx
xx
xx
0

0

0

Phương pháp giải:
f  x

Ta biến đổi lim  f  x  .g  x   lim
xx
x x
1
0

để đưa về dạng

0

0
0

g  x

Hoặc biến đổi lim  f  x  .g  x   lim
xx
x x
0

0

g  x

để đưa về dạng .
1

f  x

5. Dạng 5: Dạng vơ định ∞- ∞

Bài tốn 3: Tính lim  f  x   g  x   khi lim f  x    và lim g  x   
xx
xx
xx
0

0

0

Phương pháp giải:
Nhân hoặc chia với biểu thức liên hợp hoặc quy đồng để đưa về cùng một phân
thức.
6. Dạng 6: Giới hạn một bên
Phương pháp giải:
* Nếu lim f  x   lim f  x  thì khơng tồn tại lim f  x 
x  x0

x  x0

x  x0

* Nếu lim f  x   lim f  x   L thì lim f  x   L
xx
x x
xx

0



0

0

7.1.2. Giải pháp 2:
- Tên giải pháp: Vận dụng, thực hành giải bài tốn tìm giới hạn hàm số trong
chương trình Tốn lớp 11 THPT.
- Nội dung: Lựa chọn bài tập có tính đại diện cao, phù hợp từng dạng đã phân
loại làm ví dụ minh họa phương pháp; vận dụng phương pháp đã nêu, giải bài
tập mẫu, kèm theo chú thích và những chú ý hay mắc sai lầm. Chỉ ra ưu điểm,
hạn chế của phương pháp giải. Lựa chọn bài tập trắc nghiệm cho học sinh tự rèn
luyện kỹ năng giải nhanh, đáp ứng các đề thi, kiểm tra.
- Các bước tiến hành thực hiện giải pháp:
Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa, sách tham khảo
và các đề thi.


Điều tra thực tiễn: Quan sát việc dạy và học phần kiến thức này qua các hình
thức như dự giờ, sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn trực tiếp…
Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của đồng nghiệp và bản thân trong
quá trình dạy học. Đặc biệt là kinh nghiệm của những giáo viên có chun mơn
cao về vấn đề nghiên cứu của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm có đối chứng song song, tổ chức
thực nghiệm ở lớp ôn thi đại học, so sánh kết quả học tập của học sinh ở khóa
trước khi chưa áp dụng sáng kiến.
Phương pháp thống kê: Sử dụng phương pháp thống kê tốn học để phân tích
kết quả.
- Kết quả khi thực hiện giải pháp:
+ Sản phẩm được tạo ra từ giải pháp: Thực hành, phân loại và vận dụng
phương pháp giải bài tập tìm giới hạn hàm số trong chương trình Tốn lớp 11

THPT.
I. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

1. Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn hàm số và những quy tắc cơ bản
Ví dụ 1. Tính giới hạn của các hàm số
a) f  x   2 x  10 khi x  3

b) f  x  

2x  3
khi x  3
x2  6

Lời giải:
a) Tập xác định của hàm số là  5;    . Chọn dãy số  xn  với xn   5;    sao
cho lim xn  3 . Theo định nghĩa lim 2 x  10  lim 2 xn  10
x 3

n 

Theo định lí về giới hạn của dãy số, ta có
 2.lim xn  10  2.  3  10  4  2 . Vậy lim 2 x  10  2
x 3

n 

b) Tập xác định của hàm số là
f ( x)  lim
Ta có lim
x 3

x 3

nên chọn dãy số  xn  sao cho

xn  3) 2.lim xn  3 2.3  3 3
2 xn  3 lim(2
2x  3
n 
 n  2
 2
 .

lim

32  6 n  xn2  6
lim( xn2  6)
lim xn  6
3 6 5
n 

Vậy lim
x 3

2x  3 3

x2  6 5

n 

Chú ý: Nếu hàm số f  x  là một đa thức, là một phân thức đại số hoặc một hàm
số lượng giác có tập xác định là D thì với mỗi x0  D ta có lim f  x   f  x0 
x  x0

Ví dụ 2. Tính giới hạn của các hàm số
x2  1

a) f  x  

b) f  x  

khi x  3

2 x

x 2  3 x  10
khi x  2
2x2  x  6

Lời giải:
f  x   lim
a) Theo định lí 1, ta có lim
x 3
x 3
lim x 2  lim1


x 3

x 3

lim 2.lim x
x 3

limx.limx  lim1
x 3



x 3

x 3

lim 2. lim x

x 3

x 3



x 3

x2  1
2 x



lim  x 2  1
x 3

lim 2 x
x 3

x2  1 5
3.3  1 5


. Vậy lim
x 3
2 3
3
2 x
3

b) Vì  2 x2  x  6   0 khi x  2 nên chưa thể áp dụng ngay Định lí 1.
 x 2  3 x  10   x  2  x  5 
x5
Nhưng với x  2 , ta có  2
suy ra f  x  
.
2x  3
2 x  x  6   x  2  2 x  3
lim  x  5
lim x  lim 5
x5
25
x2
 x 2
 x2


1
x 2 2 x  3
lim  2 x  3 2.lim x  lim 3 2.2  3

Vậy lim f ( x)  lim
x2

x2

x2

x2

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau:
 x2  1 

 x 3 3

 x6 

 4  x2 

a) xlim


3
 x 1 

b) xlim



2
 x2 

c) lim 
x6

Lời giải:
  3  2  1 
 x2  1 
8

a) xlim
 lim 
 4


3
2
 x  1  x 3  3  1 
  2  x  2  x  
 4  x2 
2  x  4

  xlim
  xlim
2
x2
 x  2  2 



b) xlim

2


 x 3 3

lim
 x 6 

 x6 


c) lim 
x6
 lim
x6

1



x3 3












x33 
x6
  lim 
 x 6   x  6  x  3  3
x6



x33










1
6

Ví dụ 4. Tìm các giới hạn sau

 2x  6 
a) xlim



 4x 

17



b) xlim


 x 2  1



 2x2  x  1 

 3 x 

c) xlim




Lời giải:
6


2 

2x  6 
x  2
a) lim 


  xlim
x 

4
4

x


  1 
 x


17 
0
 x 1


b) xlim



2

 2x2  x  1 
x2
c) lim 

lim

x 
 3  x  x  x

1 1

 2  x  x2

 3  1
 x

1 1



 2  x  x2
x
  xlim
   3  1

 x




  



Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau
a) lim
 2 x  3
x2

1  x  2x
c) xlim
3
x 1

b) lim  2 x  3x  4 
3

x 2

x2  4x  1
d) lim
x 1 x 2  x  1

Lời giải:
a) lim
 2 x  3  lim
 2.2  3  7
x2
x2





b) lim  2 x 3  3x  4   lim 2. 2 3  3  2   4  6
x 2

c) lim

x 3

d) lim
x 1

x 2

1   3  2.  3
1  x  2x
 lim
2
x 3
x 1
 3  1

x2  4x  1
12  4.1  1

lim
6
x 2  x  1 x 1 12  1  1

Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a) lim  x  2  3 x 

b) lim
x 5

x 1

x 2  25
x2

c) xlim
3

Lời giải:
a) lim  x  2  3 x   lim
x 1

b) lim
x 5
c) lim

x 3

d) lim
x 1

x 1



 1  2  3  1   0

x 2  25
52  25
 lim
0
x 5 5  2
x2
1   3  2  3
1  x  2x
 lim
2
x 3
x 1
 3  1

x2  4x  1
12  4.1  1

lim
6
x 2  x  1 x 1 12  1  1

2. Dạng 2. Khử dạng vô định

0
0

1  x  2x
x 1

d) lim
x 1

x2  4x  1
x2  x  1


Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau
a) lim
x2

x2  3x  2
x2

b) lim
x2

x2  2x
2 x 2  6 x  4

c) lim
x 1

x3  3 x  2
x4  4 x  3

d) lim

x 1

x3  x 2  x  1
 x2  3x  2

Lời giải:
a) lim
x2

 x  1 x  2 
x2  3x  2
 lim
 lim  x  1  1
x 2
x2
x2
x2

x  x  2
x  x  2
x2  2x
x
 lim
 lim
 lim
 1
b) lim
x  2 2 x 2  6 x  4
x  2 2 x 2  3 x  2
x 2 2  x  1 x  2 

x  2 2  x  1


2

 x  1  x  2 
x3  3x  2
 x2  3 1

lim
 lim  2
c) lim
 
2
2
x 1 x 4  4 x  3
x 1
x 1 x  2 x  3

 6 2
 x  1  x  2 x  3
2

 x  1  x  1
 x  1 x  1
x3  x 2  x  1
 lim
 lim
0
d) lim 2

x 1  x  3 x  2
x 1   x  1 x  2 
x 1
x2
Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
x 2  16
a) lim
x  4 x 2  x  20

4  x2
b) xlim
2 x 3  8

x2  3x  2
c) xlim
2 2 x 2  x  6

Lời giải:

 x  4  x  4 
x 2  16
x4 8
a) lim

lim
 lim

x  4 x 2  x  20
x  4  x  4  x  5 
x4 x  5

9

 2  x  2  x 
4  x2
2x
1
 lim
 lim 2

b) lim 3
2
x 2 x  8
x 2
x 2 x  2 x  4
3
 x  2  x  2x  4
c) lim
x 2

 x  1 x  2 
x2  3x  2
x 1 1
 lim
 lim

2
2 x  x  6 x 2  x  2  2 x  3 x2 2 x  3 9

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
a) lim

x 1

x3  3 x  2
x4  4 x  3

b) lim
x2

4 x 2  x  18
x3  8

c) lim
x 3

x 4  x 2  72
x2  2x  3

Lời giải:
2

 x  1  x  2 
x3  3x  2
x2
3 1
a) lim 4
 lim
 lim 2
 
2
2

x 1 x  4 x  3
x 1
x 1 x  2 x  3
6 2
 x  1  x  2 x  3

 x  2  4 x  9 
4 x 2  x  18
4x  9
17
 lim

lim

3
2
x2
x2
x 8
 x  2   x2  2 x  4  x2 x  2 x  4 12

b) lim

x 2  8   x  3 x  3 
x 2  8  x  3 51


x 4  x 2  72
c) lim 2
 lim

 lim

x 3 x  2 x  3
x 3
x 3
x 1
2
 x  1 x  3

d) lim
x 1

x5  1
x3  1


 x  1  x4  x3  x 2  x  1
x5  1
x4  x3  x 2  x  1 5
 lim

d) lim 3  lim
x 1 x  1
x 1
x 1
x2  x  1
3
 x  1  x 2  x  1
Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
2

1

1



a) lim



x 1 x 2  1
x 1


3

1



b) lim


3 
x 1 1  x
1 x 


4



c) xlim
 2


2 x  2
x 4


Lời giải:
 2   x  1 
2
1 
1
 1 x 
 1 


lim

  lim

 2
  lim


2
2

x

1
x

1
x

1
2
 x 1 x 1
 x 1
 x 1
 x 1 


a) lim

x 1

 1  x  x 2   3 
  x  1 x  2  
3 
 1



b) lim

 lim 


  lim
x 1 1  x
1  x3  x 1  1  x  1  x  x 2   x 1  1  x  1  x  x 2  






 x2
  lim 
x 1 1  x  x 2

1


  1



4

x24



1

1


c) lim 
 2

  lim
  lim 
x 2 x  2
4
x  4  x 2   x  2  x  2   x 2 x  2


Ví dụ 5. Tìm giới hạn các hàm số sau
a) lim
x7

x3 2
49  x 2

b) lim
x2

2 x2
x2  3x  2

c) lim
x 1

2x  7  3
x  4 x2  3

3

Lời giải:
a) lim
x7

b) lim
x2

x3 2
 lim
x 7
49  x 2




x3 2



x3 2



 lim



x  3  2  7  x  7  x 



x 7











1

7  x

x3 2





1
56

2 x2 2 x2
2 x2

1
1

lim
 lim

2
x 2
x  3 x  2 x2  x  1 x  2  2  x  2
4
 x  1 2  x  2





c)
lim
x 1



2x  7  3
2x  7  3
2x  7  3
2
1

lim
 lim


3
2
x 1
x  4 x  3 x 1  x  1  x 2  3x  3 2 x  7  3
 x2  3x  3 2 x  7  3 15









Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau
a) lim
x 1

2x  7  x  4
x3  4 x2  3

b) lim
x 1

x3  3 x  2
x2  1

c) lim
x 1

Lời giải:
2

2x  7   x  4
2x  7  x  4
 lim
a) Ta có lim
3
2
x 1
x 1
x  4x  3
 x 3  x 2  3 x 2  3 2 x  7  x  4





x 2  3  x3  3x
x 1


 lim
x 1

 lim
x 1

 x 2  10 x  9

x

2

x

2

x 1

2x  7  x  4



 3  x  1 



2x  7  x  4



 x  1 9  x 
 x  1  x2  3  x  1   2 x  7  x  4 



9 1
4


1  3.2  3  1  4  15

x 2  3  x3  3x
x6  3x  2
x6  1  3x  3

lim

lim
x 1
x2 1
 x 2  1 x3  3x  2 x1  x  1 x  1 x3  3x  2



x

3





 x  1   x3  1 x 2  x  1  3
 lim
3 x  2  x1  x  1 x  1  x 3  3x  2 

 1 x 2  x 2  1  3

3



 1 x 3  1  3  x  1

 x  1 x  1  x3 

x
 lim
x 1



9x

b) lim
x 1

 lim

 3  x  1 



 x  1  x3 

3x  2





1  11  1  1  3 2.3  3 3


2.2
4
1  11  1
2

x 2  3   x 3  3x 
x 2  3  x 3  3x
x 2  3  x6  6 x 4  9 x2
c) lim
 lim
 lim
x 1
x 1
x 1
 x  1 x 2  3  x3  3x x1  x  1 x2  3  x3  3x





 lim
x 1

 lim

x 1

 x 6  6 x 4  8x 2  3

 x  1 

x

2

x 2  3  x3  3x



 1  x 4  5 x 2  3

 x  1 

x 2  3  x3  3 x



 lim
x 1

 lim
x 1



 x 6  x 4  5x4  5 x2  3  3x2

 x  1 

x 2  3  x3  3 x



 x  1   x4  5 x 2  3 1  1 1  5  3



3. Dạng 3, 4, 5. Khử dạng vô định

x 2  3  x3  3x





2 1 3



1
2

0
, 0.∞,∞- ∞
0

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a) xlim


2x 1
x 1

b) xlim


x2  1
1  3x  5 x2

Lời giải:
1
2
2x 1
x  20  2
a) lim
 lim
x  x  1
x 
1 1 0
1
x
1
1 2
x2 1
1 0

1
x
b) lim
 lim


2
x  1  3 x  5 x
x  1
3
5
  5 0  3.0  5
2
x
x
1
1
 2
x x 1
00
x
c) lim 2
 lim x

0
x  x  x  1
x 
1 1 1 0  0
1  2
x x

c) xlim


x x 1
x2  x 1




Ví dụ 2. Tính các giới hạn sau
a) xlim


3 x  2 x 2  1

b) xlim


 5 x  1  x 2  2 x 

3 x3  2 x 2  1
4 x 4  3x  2

c) xlim


3 x3  2 x  2
2 x 3  2 x 2  1

Lời giải:
3
x2
a) xlim

lim

 5 x  1  x 2  2 x  x  5  1 1 


x 

6

3 x  2 x 2  1

2

x



6  3.0
6

 5  0 1  2.0  5

3 2
1
 2  4

3x  2 x  1
x  3.0  2.0  0  0
b) xlim
 lim x x
 4 x 4  3 x  2
x 
3
2
4  3.0  2.0
4 3  4
x
x
3

2

2
2
 3
2
3x  2 x  2
x
x  3  2.0  2.0   3
c) xlim
 lim
 2 x 3  2 x 2  1
x 
2 1
2  2.0  0
2

2   3
x x
3

3

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau
x2  3x  2 x
3x  1

a) lim

x 

b) xlim


x 2  x  2  3x  1
2

4x  1  1  x

c) xlim


x x3
x2  1

Lời giải:
a) Đặt x  t . Với x    t  

2

Khi đó xlim


2

x  3x  2 x
t  3t  2t
 lim 
 lim
t

t 
3x  1
3t  1

x  x  2  3x  1
4 x2  1  1  x

x 

1 2
1
 2 3
x x
x
4
1 1
4  2  1

x
x

1

2

b) lim

3
2
1  3.0  2 1
t


1
3  0
3
3 
t

1

 lim

x 

Đặt x  t . Với x    t   . Khi đó
2

lim

x 

x  x  2  3x  1
4 x2  1  1  x

1 2
1
1  2  3 
t  t  2  3t  1
2
t t
t
 lim

t 
3
1 1
4t 2  1  1  t
4  2  1
t
t
2

 lim

t 

1 3

 2
x x3
0  3.0
c) lim 2
 lim x x 
0
x  x  1
x 
1
1 0
1 2
x


Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau
4x2  2x  1  2  x

a) xlim


x2  2 x  3  4 x  1

b) xlim


9 x2  3x  2 x

3

c) lim

4 x2  1  2  x

x 

x3  2 x 2  x
2x  2

Lời giải:
4x2  2 x  1  2  x

a) lim

9 x2  3x  2 x

x 

4
 lim

x 

2 1 2

 1
1
x x2 x

5
3

9 2
x

Đặt x  t . Với x    t   . Khi đó
2

lim

4x  2x  1  2  x
9 x 2  3x  2 x

x 

 lim

4t  2t  1  2  t
9t 2  3t  2t

t 

x  2x  3  4 x 1
4x2 1  2  x

x 

 lim

t 

2 1 2

  1
t t2 t
3
3
9 2
t

2 3
1
 2 4
x x
x 5
1 2
4  2  1
x
x

1

2

b) lim

4

2

 lim

x 

Đặt x  t . Với x    t  
2

Khi đó lim

x  2x  3  4x  1
4 x2  1  2  x

x 

3

c) xlim


x3  2 x 2  x
 lim
x 
2x  2

3

 lim

t  2t  3  4t  1
4t 2  1  2  t

t 

2 3
1
 2 4
t t
t
 1
1 2
4  2  1
t
t

1

2

 lim

t 

2
1 3
1  2.0  1
x

1
2
2  2.0
2
x

1

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau



a) lim 2 x  1  4 x 2  4 x  3
x 



b) lim

x 



x2  3x  2  x  2

Lời giải:





a) Ta có lim 2 x  1  4 x2  4 x  3  
x 





và lim 2 x  1  4 x 2  4 x  3  lim
x 

b) lim

x 



x 

4
2x  1  4x2  4 x  3

0


3 2
2
x 2  3 x  2  x  2  lim x  1   2  1    
x 
x x
x




Ví dụ 6. Tính các giới hạn sau




a) lim

x 





x2  3x  2  x  1

b) lim

x 



x2  3x  1  x  3



Lời giải:
a) Ta có lim

x 

lim

x 



 lim

x 

 1

3
1
 2 1 
x
x



1
2


3 1
3
x 2  3 x  1  x  3  lim   x   1   2  1    
x 
x x
x








x 2  3x  2  x  1

x 

1
x

1 

x  1

x 2  3 x  2  x  1  lim

x 

lim



x 2  3x  2  x  1   ;





b) Ta có lim

x 



x 2  3 x  1  x  3  lim 
x 

8
3
3
x
 lim


3 1
3
1 1 2
x 2  3 x  1   x  3 x
1  2 1
x x
x
3

3x  8

4. Dạng 6. Giới hạn một bên

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau
a) lim

x 2 

x2  4
x2

b) lim

x 2

2 x
2

2 x  5x  2

c) lim

x 2

2x
2

2 x  5x  2

Lời giải:
x2  4
a) lim
 lim

x 2
x 2
x2

b) lim
x 2



c) lim
x 2



2 x
2

2 x  5x  2
2 x
2

2 x  5x  2

x2
 
x2

 lim

x2

1
1
 lim

 x  2  2 x  1 x2 2 x  1 3

 lim

2 x
1
1
 lim

 x  2  2 x  1 x2 2 x  1 3

x2

x2

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn của các hàm số tại các điểm chỉ ra:
 x2  2x
khi x  2

3
8

x
a) f  x    4
tại x  2
 x  16 khi x  2

 x  2

 x 2  3x  2
khi x  1
 x 2  1
b) f  x   
tại
 x
khi x  1
 2

x 1

Lời giải:
a)
lim f  x   lim

x 2

x 2

x  x  2
x2  2 x
x
2
1
 lim
  lim 2
 2


3
2
x 2  2  x  4  2 x  x
8 x

 x2 x  2 x  4 2  2.2  4 6


 x  2  x  2   x 2  4 
x 4  16
lim f  x   lim
 lim
 lim  x  2   x 2  4   4.8  32
x 2
x2
x 2
x2
x2
x2
 lim f  x   lim f  x  . . Do đó, khơng tồn tại lim f  x 
x 2

x 2

b) lim  lim
x 1

x 1

 x  1 x  2 

x 2  3x  2
x  2 1 2
1
 lim
 lim


2
x 1  x  1 x  1
x 1 x  1
11
2
x 1
x
1

2
2

lim f  x   lim
x 1

x 2

x 1

1
2

f  x  

Nhận thấy lim f  x   lim f  x    . Do đó lim
x 1
x 1
x 1




1
2

Ví dụ 3. Tìm các giới hạn của hàm số tại các điểm chỉ ra:
khi x  0
x  m
 2
a) f  x    x  100 x  3
tại x  0
khi
x

0

x3

 x  3m

khi x  1

b) f  x   

2
 x  x  m  3 khi x  1

tại x  1
Lời giải:

a) lim f  x   lim  x  m   m
x 0

x 0

x 2  100 x  3
3
lim f  x   lim

1
x 0
x 0
x3
03
f  x  thì lim f  x   lim f  x   m  1
Để tồn tại xlim
1
x 0
x0




Với m  1 thì lim f  x   1  lim f  x 

x 0

x  0

f  x  1
Vậy với m  1 thì lim
x 1

b) lim f  x   lim  x  3m   3m  1
x 1
x 1




lim f  x   lim  x 2  x  m  3  1  1  m  3  m  3

x 1

x 1

f  x  thì lim f  x   lim f ( x)  3m  1  m  3  2m  4  m  2
Để tồn tại xlim
1
x 1
x 1


Với m  2 thì



lim f  x   3.2  1  5

f  x  5
  lim f  x   xlim
1
lim f  x   2  3  5  x 1

x 1
x 1

f  x  5
Vậy với m  2 thì xlim
1
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1. Giới hạn lim   x3  x2  2  bằng
x 

A. 0

B. -∞

C. +∞

D. 2


Câu 2. Cho lim

x 





9 x 2  ax  3 x  2 . Tính giá trị của a

A. -6

B. 12
x

Câu 3. Tính giới hạn lim x

C. 6
2017

x

x 

A. -∞

ta được kết quả là

B. 1

Câu 4. Giá trị của giới hạn lim
x0

A. 

1

2019

1
2

Câu 5. Tính lim
x2

D. -12

C. -1

D. 0

1  x 1
bằng
x

B.

1
2

C. +∞

D. 0

B.

1
3

C. -∞

D. 0

C. +∞

D. 2

x 4  16
8  x3

A. -2

Câu 6. lim   x 3  x 2  2  bằng
x 

A. 0

B. -∞
2

Câu 7. Biết lim
x 3

x  bx  c
 8  b, c 
x3
B. P  11

 . Tính

P bc

A. P  13
C. P  12
Câu 8. Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng +∞?
A. xlim


2 x2  x  1
x 1

Câu 9. lim
x 1

B. xlim


C. lim
x 1

1 x
2

x  2x  1

D. lim
x 0

x 1
bằng
x 1

A. 1
Câu 10. lim
x2

3x  5
1  2x

D. P  13

B. +∞

C. 0

D.

1
2

3
4

D.

3
4

x2  x  2
bằng
x2  4

A. 0

B. 1

C.

x2  1
Câu 11. Tính lim
x  x  2

A. -∞

B. 0

C. -1

D. 1

2

x  3x  2

bằng
2x  4
1
A. +∞
B.
2
3
Câu 13. Giới hạn lim  x  2 x  bằng

Câu 12. Giới hạn lim
x2

C. 

1
2

D.

3
2

x 

A. +∞

B. 1

C. -∞

D. -1

C. -2

D. 5

2

Câu 14. Giới hạn lim
x 5
A. +∞

x  12 x  35
bằng
x5
2
B.
5



x
x


Câu 15. Giới hạn lim
x 1

A. 

x2
bằng
x 1

1
2

Câu 16. lim


x 1

A. +∞
Câu 17. lim

x 

A. -2

B. -∞

C. +∞

D. 0

B. 1

C. -∞

D. 0

C. 

D. 0

x 1
bằng
x 1





4 x 2  8 x  1  2 x bằng

B. +∞

x2  x  4 x 2  1
bằng
x 
2x  3
1
1
A. 0
B. -∞
C. 
D.
2
2
x  1  5x  1 a

 (phân số tối giản). Giá trị của
Câu 19. Cho giới han lim
x 3
b
x  4x  3
T  2a  b là
1
9
A. T 
B. T  1
C. T  10
D. T 
8
8
2
 x  ax  1
khi x  2
Câu 20. Tìm a để hàm số f  x    2
có giới hạn tại x  2
khi x  2
2 x  x  1

Câu 18. Giá trị của giới hạn lim

A. 1

B. -1

C. 2

D. -2

2 x  1
Câu 21. Kết quả của lim
bằng
x 1
x 1

A. +∞

B. -∞

Câu 22. xlim

A.

3
2

B. -3

3
2

D.

C. -1

1
3

D. 1

3x  1
1  2x

B. L  3

Câu 24. Cho giới hạn lim
x2
S  a 2  b2
A. S  20

2
3

x  3
bằng
x2

Câu 23. Tìm giới hạn xlim

A. L  

C.

C. L 

3
2

D. L  

1
2

x 2  3x  2 a
a
 trong đó
là phân số tối giản. Tính
2
b
b
x 4

B. S  17

C. S  10

D. S  25

2

2 x  3x  1
1  x2
1
1
A. L 
B. L  
4

2
2
ax  1  bx  2
Câu 26. Cho biết lim
 a, b 
x 1
x 3  3x  2
của biểu thức a 2  b 2 bằng

Câu 25. Tính giới hạn L  lim
x 1

C. L  

1
4

D. L 

1
2

 có kết quả là một số thực. Giá trị