Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng của định lý viét trong giải toán về phương trình bậc hai

Trang 1
I. PHẦN MỞ ĐẦU :
I.1. Lý do chọn đề tài :
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây
dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có
đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế
hiện nay.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng
ta phải tạo tiền đề vững chắc lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh
cũng như phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ mơn nói chung và mơn
tốn nói riêng.
Trong chương trình tốn học lớp 9 thì phương trình bậc hai là một nội
dung rất quan trọng, bài tập về chương này rất phong phú và đa dạng. Đây
cũng là một nội dung thường xuyên có trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10,
các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào các trường chuyên … mà đặc biệt là các
bài toán về ứng dụng của định lý Viét.
Trước thực tế đó nhằm giúp học sinh nắm được một cách hệ thống và
có kĩ năng giải các dạng toán này một cách thành thạo nhằm phát huy khả
năng suy luận sáng tạo và linh hoạt của học sinh, từ đó tơi viết chun đề về
“ Ứng dụng của định lý Viét trong giải toán về phương trình bậc hai ”
I.2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài :
Giúp học sinh nắm vững nội dung định lý Viét, ứng dụng của định lý
viét trong việc giải các dạng tốn có nội dung liên quan, từ đó dần hình thành
khả năng phân tích, tổng hợp, khái qt và các ứng dụng khác cho học sinh.
Rèn luyện cho học sinh tính độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức đã
học vào giải bài tập và phát hiện nội dung kiến thức mới
Giúp cho các giáo viên có thể tham khảo nghiên cứu và áp dụng trong
từng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào từng đối tượng học sinh.


Trang 2

I.3. Đối tượng nghiên cứu :
Do đặc điểm học sinh ở các lớp không đồng đều về nhận thức cũng
như học lực nên tôi đã áp dụng phương pháp này ở lớp 9A2. Là lớp mà tôi
đang trực tiếp giảng dạy.
I.4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu :
Tổ chức nghiên cứu chuyên đề này áp dụng tốt cho cả học sinh trung
bình- yếu; học sinh khá giỏi trong việc hướng dẫn học sinh nắm vững kiến
thức chuẩn bị cho kiểm tra 45 phút, học kỳ II, ôn luyện học sinh giỏi, ôn thi
vào THPT
I.5. Phương pháp nghiên cứu :
- Qua tài liệu tham khảo, chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Qua thực tế giảng dạy.
- Qua trao đổi học hỏi đồng nghiệp.
II. PHẦN NỘI DUNG :
II.1. Cơ sở lý luận :
Toán học là một ngành khoa học cơ bản và giữ một vai trị vơ cùng quan
trọng trong đời sống kinh tế, xã hội. Toán học là cơ sở, là phương tiện để
nghiên cứu các ngành khoa học khác. Với mục tiêu giáo dục phổ thông là
giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các
kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo của
học sinh, nhằm nâng cao năng lực phát triển và giải quyết vấn đề rèn luyện
thực hiện kĩ năng vào thực tế tạo hứng thú học tập cho học sinh.
Dựa trên cơ sở đó giáo viên cần kết hợp giữa phương pháp dạy học
truyền thống với các phương pháp dạy học hiện đại như dạy học phát hiện và
giải quyết vấn đề dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ.....Hạn chế tối đa việc áp đặt
kiến thức, giáo viên chỉ đóng vai trị là người hướng dẫn, gợi mở giúp học


Trang 3

sinh tự khám phá kiến thức mới, học sinh cần thấy được việc áp dụng kiến
thức mới trong cuộc sống như thế nào.
Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ
giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a  0) với
các hệ số của nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng người Pháp Prăng
xoa Vi-ét (F. Viete) (1540- 1603) tìm ra được mang tên ơng: Định lý Vi-ét.
Có thể nói định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó là một chìa khố quan trọng
mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài tốn có liên quan đến nghiệm của
phương trình bậc hai. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây được
hứng thú giải bài tập cho học sinh, hình thành cho học sinh những ý tưởng
phong phú, trau dồi tư duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài tốn có
liên quan đến phương trình bậc hai.
II.2. Thực trạng :
a. Thuận lợi - khó khăn :
* Thuận lợi :
Nhà trường rất quan tâm đến việc giảng dạy bộ môn tốn và ln tạo
điều kiện thuận lợi cho giáo viên và học sinh.
Tập thể giáo viên tổ, nhóm chun mơn nhiệt tình thường xun dự giờ
góp ý để có được các bài dạy tốt hơn.
Có tập thể học sinh đồn kết, ngoan ngỗn và say mê học tập.
Bản thân tơi thực sự cố gắng, nỗ lực phấn đấu và học hỏi thêm các
đồng nghiệp trong q trình giảng dạy.
* Khó khăn :
Một số học sinh các em chưa có ý thức tự giác học, mà cịn mang tính ỷ
lại lười suy nghĩ chưa độc lập trong việc tiếp thu kiến thức. Gia đình các em
đa số làm nơng nghiệp, kinh tế cịn khó khăn nên chưa quan tâm nhiều đến
các em. Các em chỉ học ở trên lớp mà thiếu hẳn việc luyện tập và thực hành ở
nhà nên kiến thức học nhanh quên, kỹ năng thực hành kém. Bên cạnh đó cũng

Trang 4
có những học sinh thực sự ham học, dẫn đến sự cách biệt về kiến thức trong
cùng một lớp, gây khó khăn trong việc truyền thụ kiến thức của giáo viên.
b. Thành công - hạn chế :
Việc giúp học sinh hiểu và biết vận dụng định lý viét vào giải các dạng
tốn liên quan, góp một phần khơng nhỏ cho các em khi bước vào các kì kiểm
tra, kì thi đặc biệt là kì thi vào THPT sắp tới. Tuy nhiên do phạm vi nghiên
cứu chỉ trong một nội dung nhỏ nên chưa bao quát được tổng thể tất cả các
nội dung, nhưng đó cũng là nền móng vững chắc để tiếp tục nghiên cứu các
dạng toán cao hơn sau này.
c. Mặt mạnh - mặt yếu :
* Mặt mạnh : Qua đề tài giúp học sinh
+ Tạo động cơ học tập định lý
+ Phát biểu định nghĩa định lý
+ Bước đầu vận dụng định lý trong bài tập đơn giản
+ Vận dụng định lý trong bài tập tổng hợp
* Mặt yếu : Chưa đưa ra giải pháp khắc phục đối với những học sinh lười
học, ham chơi, học sinh có ý thức học kém ...
d. Các nguyên nhân, các yếu tố tác động :
Do thời gian có hạn nên tơi chỉ nêu ra một số dạng tốn về phương trình
bậc hai và phương pháp giải các dạng tốn đó, đặc biệt là việc ứng dụng của
hệ thức viét trong giải tốn, để từ đó có thể giúp học sinh hiểu kĩ và sâu hơn
các kiến thức về hệ thức viét và ứng dụng của định lý viét trong giải toán,
giúp các em đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra 15 phút, kiểm tra một tiết,
kiểm tra học kì và các kì thi học sinh giỏi, kì thi vào THPT......
Do chất lượng đầu vào của học sinh còn thấp nên ảnh hưởng một phần
không nhỏ đến kết quả học tập của học sinh


Trang 5

Do một số học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc
học
Do địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, cịn
khó khăn nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việc học của các em.
Do cơ sở vật chất của trường còn thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo cho
giáo viên và học sinh…
II.3. Giải pháp, biện pháp :
II.3.1 Tìm hiểu nội dung sách giáo khoa và phát hiện kiến
thức mới:
a. Định lý Viét.
Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax2+ bx + c=0 (a ≠ 0) thì
x1+ x2 =
x1. x2 =
b. Tìm hai số biết tổng và biết tích của chúng.
Nếu 2 số có tổng bằng S, tích bằng P thì 2 số đó là nghiệm của phương trình :
X2 – SX + P = 0
điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0
c. Một số ứng dụng cơ bản của định lý viét :
1. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2.
2. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2.
3. Biết 1 nghiệm suy ra nghiệm kia
4. Tìm 2 số biết tổng và tích.
5. Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm
d. Phát hiện nội dung kiến thức mới :
1) Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a  0) thành nhân tử:
Khi (*) có   0   x1, x2 / x1 + x2 =

b
c
; x1 . x2 = thì

a
a


Trang 6



c
 2 b
2
ax2 + bx + c = a x  x    a x  (x1  x2 )x  x1x2
a
a




= a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2)
2) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất:
* Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2
- Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 . x2 thay đổi.

S2
Do S - 4P  0  P 
4
2

P=

b S
S2

 x1 = x2 =
2a 2
4

S
S2
 maxP =
 x1 = x2 =
(Vì x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép)
2
4
 KL: Hai số có tổng khơng đổi tích lớn nhất  2 số bằng nhau.
- Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Khơng đổi)
Cịn S = x1 + x2 (thay đổi)







Do: S2 - 4P  0  S  2 P S  2 P  0
 S - 2 P  0 ; S = 2 P  x1 = x2 =

P

 KL: 2 số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau.

3) Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a  0)

b
c

;P  
S 
a
a

- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0
Δ  0
- Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là 
P  0
Δ  0

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dương là: P  0
S  0



Trang 7
Δ  0

- Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là: P  0
S  0

Δ  0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dương là: 
S  0

Δ  0
- Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là: 
S  0
x  y  f(m)
4) Điều kiện của tham số để hệ phương trình: 
có 1
x.y  g(m)

nghiệm duy nhất là: f2(m) - 4g(m) = 0
(Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t2 - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép)
II.3.2 Xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với từng đối tượng học
sinh giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo trong cách giải :
Dạng 1 : Khơng giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm
Phương pháp giải:
* Tính Δ, chứng tỏ Δ ≥ 0 để phương trình có nghiệm x1, x2
* áp dụng định lý Viét
Ví dụ 1: Đối với mỗi phương trình ký hiệu x1,x2 là 2 nghiệm (nếu có)
Khơng giải phương trình, hãy điền vào chỗ trống
a. 4x2 - 13x + 5 = 0

Δ = ...

x1 + x2 =.......

x1.x2 =........

b. x2 - x – 5

=0

Δ = ...

x1 + x2 =.......

x1.x2 =........

c. 6x2 – x + 8

=0

Δ = ...

x1 + x2 =.......

x1.x2 =........

Δ = ...

x1 + x2 =.......

x1.x2 =........

d. 10x2 + 15x + 1 =0

Hướng dẫn: Yêu cầu học sinh xác định hệ số a, b, c, tính Δ= b2 – 4ac
Sau đó tiếp tục tính (x1+ x2) ; (x1.x2) (nếu có)
Ví dụ 2 : Khơng giải phương trình hãy tính tổng và tích các nghiệm nếu có
của mỗi phương trình.
a/ - x2 + 5x + 3 = 0

Trang 8
b/ 3x2 - 8x + 4

=0

c/ 5x2 + x + 2

=0

d/ 9x2 - 12x + 4 = 0
Giải: a/ Phương trình - x2 + 5x + 3 = 0 có nghiệm vì a,c trái dấu
x1 + x2= 5; x1.x2= - 3
b/ Δ’ = (-4)2 – 4.3 = 4 >0

; x1 + x2=

; x1.x2 =

c/ Δ = 1-4.5.2 = - 39 < 0 phương trình vơ nghiệm
d/ Δ’ = (-6)2 – 9.4 = 0

;

x1 + x 2 =

;

x1.x2 =

Ví dụ 3: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích
các nghiệm theo m.
a/ x2 - 8x + m = 0
b/ x2 + 2(m+3)x + m2 = 0
Giải:
a/ Phương trình x2 - 8x + m = 0 có nghiệm khi Δ’= 16- m ≥ 0 <=> m ≤ 16
khi đó : x1+ x2 = 8 ;

x1. x2 =m

b/ Phương trình x2 + 2(m+3)x + m2 = 0 có nghiệm khi Δ’= (m +3)2 - m2 ≥ 0
<=> m +6m + 9 - m ≥ 0

<=> m ≥

Khi đó x1 + x2= -2(m+3);

x1.x2 = m2

Kết luận: Qua dạng tốn này:
– Củng cố điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2.
– áp dụng hệ thức Viét cho phương trình bậc 2 cụ thể.
*Dạng 2:

Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm.

Phương pháp giải:
. áp dụng định lý Viét x1 + x2= -b/a ; x1.x2 =
. Nhẩm x1 + x2 = m + n; x1x2 = m.n thì phương trình có nghiệm x1 = m; x2 = n
. Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 =

Trang 9
. Nếu a - b+ c = 0 thì x1 = -1; x2 = Ví dụ 1 : Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm
nghiệm mỗi phương trình sau:
a. 23x2 – 27x + 4 = 0
b. 14x2 – 40x – 54 = 0

(1)
(2)

Giải:
a. Ta có a + b + c = 23 – 27 + 4 = 0 => phương trình (1)
có 2 nghiệm x1 = 1; x2 =
b. Ta có a - b + c= 14- (- 40) + (- 54) = 14 + 40 - 54= 0
=> phương trình (2) có 2 nghiệm x1 = -1; x2 =
Ví dụ 2:
Dùng hệ thức Viét tính nhẩm nghiệm phương trình
a. x2 – 8x + 12 = 0

(1)

b. x2 + 8x + 12 = 0

(2)

Giải:
a. Ta có 2 + 6 = 8 và 2.6 = 12 nên phương trình có nghiệm x1=2; x2=6
b. Ta có (-2) + (-6) = -8 và (-2).(-6) = 12 nên phương trình có nghiệm
x1 = -2; x2 = -6

* Bài tập tương tự:
1. Tính nhẩm nghiệm các phương trình
a, 1,5x2 – 1,6x + 0,1= 0
b,
c, (2-

x2 – (1)x2 + 2

(1)

)x – 1= 0
x – (2+

(2)
)=0

d, (m-1)x2 – (2m+3)x + m +4 = 0
e, x2 - 10x + 16 = 0
f, x2 - 7x + 10 = 0

(3)
m≠ 1

(4)

(5)
(6)

g, (m+1)x2 + 3mx +2m - 1 = 0

m≠ -1

(7)


Trang 10
Ví dụ 3: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1.
Xác định số m và tìm nghiệm cịn lại
Giải:
Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có nghiệm x1=1 nên thay x1 vào phương
trình có 3.12 + 7.1 + m = 0 <=> m = -10
Với m = -10 phương trình trở thành: 3x2 + 7x - 10 = 0
Có a.c = 3(-10) = -30 < 0 phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Theo định lý Viét có x1.x2 =

=> 1.x2 =

=> x2 =

*Bài tập tương tự
1. Phương trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1, xác định
số k và tìm nghiệm cịn lại
2. Phương trình 15x2 + bx -1 = 0 có một trong các nghiệm bằng 1/3 xác định
số b và tìm nghiệm cịn lại
*Dạng 3:

Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng

*Phương pháp giải:
- Từ hệ thức cho trước của x, y tìm tổng S = x + y; P = x.y

- x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0
Ví dụ :

Tìm 2 số u,v trong mỗi trường hợp sau:

a.

u + v = 32 ; u.v = 231

b.

u + v = 2 ; u.v = 9

c.

u – v = 5 ; u.v = 24

Giải:
a/ u, v là nghiệm của phương trình X2 – 32X + 231 = 0 (1)
Δ’ = 162 – 231 = 25 > 0

=5

Phương trình (1) có 2 nghiệm X1= 16 + 5 = 21; X2 = 16 – 5 = 11
Vậy u = 21; v = 11 hoặc u = 11; v = 21
b/

u, v là nghiệm của phương trình X2 – 2X+ 9 = 0 (2)

Trang 11
Δ = (-2)2 – 4.9 = -32 < 0 phương trình (2) vơ nghiệm nên khơng có giá trị
nào của u, v thoả mãn điều kiện đã cho
c/ Đặt t = -v ta có u + t = 5; u.t = -24
u, t là nghiệm phương trình X2 – 5X – 24 = 0 (3)
Ta có Δ= (-5)2- 4.1.(-24)= 25 + 96 = 121 > 0

= 11

Phương trình (3) có 2 nghiệm X1 = 8; X2 = -3
Vậy u = 8; t = -3 hoặc u = -3; t = 8
Do đó u = 8; v = 3 hoặc u = -3; v = -8
*Bài tập tương tự:
Tìm 2 số u, v trong mỗi trường hợp sau:
a/ u + v = -8 ; u.v = -105
b/ u + v = 42 ; u.v = 441
c/ u + v = -42 ; u.v =- 400
Dạng 4:

Phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c thành nhân tử

*Phương pháp giải
-Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì:
ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)
Ví dụ :
Chứng tỏ rằng nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm là x 1, x2 thì
tam thức ax2 + bx + c = 0 phân tích thành nhân tử như sau:
ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2)
áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử
a/

2x2 - 5x + 3

b/

3x2 + 8x + 2

Giải:
Biến đổi vế phải:
a(x-x1)(x-x2) = ax2- a(x1 + x2) + a.x1.x2
= ax2 – a(-

)x + a.

= ax2 + bx+ c


Trang 12
Áp dụng:
a/ Phương trình: 2x2 - 5x + 3 = 0 có a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
Phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 =
Vậy 2x2 - 5x + 3 = 2(x - 2)(x -

)

3x2 + 8x + 2 = 0

b/ Phương trình

(*)

có Δ’ = 4 2 – 6

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt x1=
Vậy 3x2 + 8x + 2 = 3(x Dạng 5:

). (x +

; x2 =

= 10 > 0

;

)

Lập phương trình bậc 2 khi biết 2 nghiệm của nó

*Phương pháp giải:
- tính tổng 2 nghiệm S= x1 + x2 và tích 2 nghiệm P = x1.x2
Phương trình có 2 nghiệm x1,x2 là X2 – SX + P = 0
Ví dụ:
1/ Lập phương trình bậc2 có 2 nghiệm là cặp số 1 +
Ta có S = x1 + x2 = (1 +
P= x1.x2 = (1 +
Vậy 1 +

và 1 -

)+(1).( 1 -

và 1 -

)=2
) = 1 – 3 = -2

là nghiệm phương trình bậc hai X2 – 2X- 2 = 0

2/ Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có 1 nghiệm là
Ta có x1 =

=

Ta chọn nghiệm thứ 2 là x2 sao cho x1+x2; x1.x2 là nghiệm nguyên
Chọn x2 = 4 +
Khi đó S= x1+x2= 8
P= x1.x2= (4 +

).( 4 -

)=1

Vậy x1, x2 là nghiệm phương trình X2 – 8X+ 1 = 0
Dạng 6:

Dấu nghiệm số của phương trình bậc 2


Trang 13
*Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c= 0 (a≠0) có 2 nghiệm x1; x2 và
S = x1 + x2; P = x1.x2 Khi đó :
* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu <=> Δ > 0
P<0
* Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu <=> Δ ≥ 0
P>0
* Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt <=>

Δ>0
P>0
S>0

* Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt <=>
Ví dụ:

Cho phương trình x2 – 2(m-1)x + m +1= 0

Xác định m để:
a. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b. Có 2 nghiệm dương phân biệt
c. Có đúng 1 nghiệm dương
Giải:
Δ’ =(m-1)2 – ( m+1) = m2 – 3m = m (m-3)
S = 2(m-1)
P =( m +1)
a/ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu <=> Δ’> 0 <=>

m <-1

P<0

b/ Có 2 nghiệm dương phân biệt <=>

Δ’ > 0 <=> m (m-3) > 0 <=> m >1
P>0

2(m-1) > 0

S>0

( m +1) > 0

c/ Có đúng 1 nghiệm dương có các trường hợp xảy ra:
* x2 – 2(m-1)x + m +1= 0 có nghiệm kép dương
Δ’= m (m-3) = 0 <=> m (m-3) = 0
S = 2(m-1) > 0

m-1 > 0

<=> m = 3


Trang 14
*Phương trình x2 – 2(m-1)x + m +1 = 0 có 2 nghiệm trái dấu <=> P < 0
<=> m<-1
* x2 – 2(m-1)x + m +1 = 0 có 1 nghiệm bằng 0, và nghiệm còn lại dương
<=> gọi x1 = 0 <=> m + 1 = 0 <=> m = -1
x2 – 2(m-1)x + m +1 = 0 <=> x2 + 4x = 0

Khi đó phương trình
<=> x = 0 hoặc x = - 4

Vậy m = 3 hoặc m = -1 thì phương trình có đúng 1 nghiệm dương
*Bài tập tương tự:
Cho phương trình x2 – 2(m-1)x + m2 -3m = 0 . Xác định m để:
a/ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b / Phương trình có 1 nghiệm âm
c/ Phương trình có 1 nghiệm bằng 0. Tìm nghiệm cịn lại
Dạng 7: Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thoả điều
kiện cho trước.
*Phương pháp giải:
- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Δ ≥ 0
- Lập hệ phương trình từ hệ thức Viét và biểu thức của x 1; x2 đã cho rồi
thay vào phương trình thứ 3 của hệ để tìm tham số m
- Kiểm tra lại m có thoả điều kiện có nghiệm khơng rồi kết luận
Ví dụ 1: Xác định m để phương trình x 2 + 2x + m = 0 có nghiệm x 1; x2 thoả
điều kiện 3x1 + 2x 2 = 1
Giải: Phương trình có nghiệm <=> Δ’ = 1 - m ≥ 0 <=> m ≤ 1 (*)
Theo hệ thức Viét có hệ

x1 + x2 = -2
x1.x2 = m

Kết hợp với hệ thức 3x1 + 2x2 =1 ta có hệ:
x1 + x2 = -2

(1)

3x1+ 2x2 = 1 (2)
x1.x2 = m
(3)

Từ (1) và (2) giải được x1 = 5; x2 = -7


Trang 15
Thay vào (3) ta được m = -35 thoả điều kiện (*)
Vậy với m = -35 thì phương trình có nghiệm thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
Ví dụ 2: Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 2(m-1)x + m2 - 1 = 0
Tìm hệ thức giữa x1,x2 khơng phụ thuộc vào m.
Giải:
Phương trình có nghiệm <=> Δ’ = (m-1)2 – (m2- 1) = -2m+2 ≥ 0 <=> m ≤ 1
Áp dụng hệ thức Viét có hệ

S = x1+x2 = 2(m-1) (1)
P = x1.x2 = m2- 1

Từ (1) suy ra m - 1 =
P=[(

=> m =

+1

(2)

thay vào (2) ta được

)]2 – 1 <=> P=

Vậy hệ thức cần tìm là:
4x1.x2 = (x1+x2).( x1+x2+4) <=> (x1+x2)2 + 4(x1+x2) = 4x1.x2

*Bài tập tương tự :
1/ Cho phương trình 2x2 + (2m -1)x + m - 1 = 0
a/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả điều kiện
3x1 - 4x2 = 11
b/ Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đều âm
c/ Tìm 1 hệ thức giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m
2/ Xác định k để phương trình x 2 + 2x + k = 0 có 2 nghiệm x 1, x2 thoả một
trong các điều kiện
a/ x12 – x22 = 12
b/ x12 + x22 = 1
3/ Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - (m-3)x + 2m + 1 = 0
Tìm hệ thức giữa x1, x2 khơng phụ thuộc vào m
Dạng 8:

Biểu thức đối xứng của x1, x2 của phương trình bậc 2

Phương pháp giải:


Trang 16
- Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1
thì biểu thức khơng đổi
- Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S = x1 + x2 và P = x1.x2
- Từ hệ thức Viét tính S và P rồi thay vào biểu thức đối xứng
Ví dụ:
Giả sử x1, x2 là nghiệm phương trình x2 + mx + 1 = 0 tính giá trị các biểu
thức sau:
a/ x13 + x23
b/

+

Giải:
Phương trình có nghiệm <=> Δ = m2 – 4 ≥ 0 <=> | m | ≥ 2
Theo hệ thức Viét S = x1 + x2 = -m ;

P= x1.x2 =1

a/ Ta có x13 + x23 = (x1+x2)3 – 3x1.x2(x1+x2) = S3 - 3.P.S = -m3 + 3m
b/

+

=
= (m2 –2)2 – 2 = m4 – 4m2 + 2

Bài tập tương tự
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + mx + 4 = 0 xác định m sao
cho x14 + x24 ≤ 32

Dạng 9: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x 1,x2 của phương trình bậc 2 khơng
phụ thuộc vào tham số


Trang 17
*Phương pháp giải:
- Điều kiện của phương trình bậc 2 có nghiệm Δ ≥ 0
- Từ hệ thức Viét tìm S, P theo tham số m
- Khử tham số m từ S và P để có hệ giữa S và P khơng phụ thuộc tham
số m

Ví dụ:
Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - 2(m-1)x + m2 – 1 = 0 tìm hệ
thức giữa x1,x2 khơng phụ thuộc vào m.
Giải:
Phương trình có nghiệm <=> Δ’= (m-1)2 – (m2 -1) = -2m + 2 ≥ 0 <=> m ≤ 1
áp dụng hệ thức Viét ta có:
S = 2(m-1) (1)
P = m2 -1

(2)

Từ (1) suy ra m=

thay vào (2) được P =

1 <=> 4P =S2 + 4S

Vậy hệ thức cần tìm là (x1+x2)2 + 4(x1+x2) = 4x1.x2
Bài tập tương tự :
Giả sử x1, x2 là nghiệm phương trình x2 – (m-3)x + 2m + 1 = 0, tìm hệ thức
giữa x1,x1 không phụ thuộc vào m
II.4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn
đề nghiên cứu :
Trong giờ học chính khố tơi lồng ghép các bài tập cùng lời giải mẫu,
cơ sở giải theo từng phương pháp để học sinh hình thành kỹ năng giải từng
loại toán này. Cho học sinh thực hành bài tập tương tự ngay tại lớp. Đặc biệt
trong các giờ luyện tập, các tiết học tự chọn, ôn tập chương giáo viên tiếp tục
cho học sinh giải các bài tập nâng cao, làm thử các đề thi tuyển sinh chuyên
chọn. Qua đó học sinh thấy được tầm quan trọng của loại toán này, tự rèn
luyện tạo kỹ năng cho mình và rút ra cách giải các bài tập phức tạp hơn.

Trang 18
Qua thực tế giảng dạy môn đại số 9 năm học 2011-2012 này. Sau khi
xây dựng đề cương chi tiết của sáng kiến kinh nghiệm được rút ra từ năm học
2010-2011 tôi đã vận dụng vào các giờ dạy ở lớp 9A2 ( chủ yếu vào các tiết
luyện tập, tiết dạy tự chọn, tiết ôn tập. Qua việc khảo sát chấm chữa các bài
kiểm tra tôi nhận thấy rằng tỉ lệ bài tập học sinh giải đúng tăng lên.
Cụ thể như sau :

Bài kiểm tra

Tổng số
HSKT

Giỏi

Khá

Trung
bình

Yếu

Khảo sát

40

2(5%)

6(15%)

27(68%)

5(12%)

Bài KT 15 phút

40

10(25%)

12(30%)

18(45%)

0(0%)

Bài KT 1 tiết

40

8(20%)

11(28%)

20(50%)

1(2%)

Qua bài kiểm tra 15 phút :
Học sinh giỏi tăng 8em (20%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm
Học sinh khá tăng 6em (15%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm
Học sinh yếu kém giảm xuống 5em (12%) so với bài KSCL đầu năm
Qua bài kiểm tra 1tiết :
Học sinh giỏi tăng 6em (15%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm
Học sinh khá tăng 5em (13%) so với bài khảo sát chất lượng đầu năm
Học sinh yếu kém giảm xuống 4em (10%) so với bài KSCL đầu năm
Như vậy sau khi tơi phân tích và đưa ra các dạng tốn cùng phương pháp giải
từng dạng toán về ứng dụng của định lý viét và phương trình bậc hai, kết quả
thu được là học sinh đã hình thành, định hướng được cách giải loại toán này.


Trang 19
Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề, các câu hỏi dẫn dắt, các em tự phát
hiện ra hướng giải cho từng bài tập tạo hứng thú, phát triển trí thơng minh
sáng tạo cho học sinh. Từ đó chất lượng dạy và học mơn Đại số nói riêng và
mơn Tốn nói chung được nâng lên.
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ :
III.1. Kết luận :
Phần kiến thức về định lý viét trong chương trình Đại số 9 rất rộng và
sâu, tương đối khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính
lơgíc tốn học cao, bài tập và kiến thực rộng, nhiều. Qua việc giảng dạy thực
tế tôi nhận thấy để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú
học tập môn Tốn nói chung và phần Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải
tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức
cũ cho học sinh và là cây cầu nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
Với sáng kiến “ Ứng dụng của định lý viét trong giải toán về phương
trình bậc hai ” tơi đã cố gắng trình bày tương đối đầy đủ các dạng toán và
phương pháp giải các dạng tốn đó, đặc biệt là việc ứng dụng của hệ thức viét

trong giải tốn, để từ đó có thể giúp học sinh hiểu kĩ và sâu hơn các kiến thức
về hệ thức viét và ứng dụng của định lý viét trong giải tốn. Bên cạnh đó tơi
ln phân tích các sai lầm của học sinh và nêu ra các phương pháp khắc phục
và định hướng dạy học ở từng dạng cơ bản để nâng cao cách nhìn nhận của
học sinh qua đó giáo viên có thể giải quyết vấn đề mà học sinh mắc phải một
cách dễ hiểu. Ngồi ra tơi cịn đưa ra một số bài tập tiêu biểu thơng qua các ví
dụ để các em có thể thực hành kỹ năng của mình.

III.2. Kiến nghị :


Trang 20
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn và tơi chỉ nghiên cứu ở một phạm
vi. Vì vậy tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm
học này qua sự đúc rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất
một số ý nhỏ như sau nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của giáo viên và
học sinh :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung và chương trình sách giáo khoa,
soạn giáo án cụ thể và chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học sao cho sinh động và
thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ,
nhóm và nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng
thường xuyên.
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên
lớp. Về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Gia đình học sinh và các tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm hơn nữa
và trách nhiệm hơn nữa tới việc học tập của con em mình.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy mơn Tốn 9 chưa nhiều,
tầm quan sát tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên
khó tránh khỏi thiếu sót và khiếm khuyết. Rất mong được các đồng nghiệp chỉ

bảo, giúp đỡ và bổ xung cho tơi để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận
dụng được tốt và có chất lượng trong những năm học sau.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
, ngày 10 tháng 04 năm 2012
NGƯỜI NGHIÊN CỨU

HTP