Đổi mới phương pháp phân tích và sửa chữa sai lầm trong tiết luyện tập chương tổ hợp xác suất cho học sinh lớp 11 góp phần rèn luyện kỹ năng làm bài trắc nghiệm môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI

TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
(Lĩnh vực: Toán học)
ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM
TRONG TIẾT LUYỆN TẬP CHƯƠNG TỔ HỢP – XÁC SUẤT CHO HỌC
SINH LỚP 11 GÓP PHẦN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM BÀI TRẮC
NGHIỆM MƠN TỐN

Họ tên tác giả: Phùng Thị Phương Thảo
Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị cơng tác: Trường THPT Hồng Văn Thụ
Huyện Lục Yên Tỉnh Yên Bái

Yên Bái,ngày 20 tháng 1 năm 2022


I.THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN:
1. Tên sáng kiến: Đổi mới phương pháp phân tích và sửa chữa sai lầm trong tiết
luyện tập chương Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 góp phần rèn luyện kỹ năng làm bài
trắc nghiệm mơn Tốn.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học.
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến được áp dụng cho học sinh học mơn Tốn
lớp 11 trường THPT Hoàng Văn Thụ.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 10 tháng 10 năm 2021 đến đến ngày 15 tháng 11 năm 2021.
5. Tác giả:
-

Họ và tên: Phùng Thị Phương Thảo

-

Năm sinh: 19/06/1985.

-

Trình độ chun mơn: Đại học sư phạm Tốn

-

Chức vụ cơng tác: Giáo viên.

-

Nơi làm việc: Trường THPT Hoàng Văn Thụ.

-

Địa chỉ liên hệ: Tổ 9 Thị Trấn Yên Thế - Huyện Lục Yên – Tỉnh Yên Bái.

-

Điện thoại 0988942379.

II. MÔ TẢ SÁNG KIẾN:
1. Thực trạng các giải pháp đã biết:
Tiết luyện tập – ôn tập có vai trị rất quan trọng trong chương trình giảng dạy của các

môn khoa học tự nhiên. Nếu tiết lý thuyết cung cấp cho học sinh những kiến thức ban đầu thì
tiết luyện tập có tác dụng hồn thiện và khắc sâu kiến thức đó và tiết ơn tập có tác
dụng củng cố kiến thức, đặc biệt là liên kết những đơn vị kiến thức được học trong từng
bài thành một chuỗi logic có hệ thống đồng thời giúp học sinh có kỹ năng trong thực hành
giải bài tập. Đa số Giáo viên khi dạy một tiết luyện tập sẽ thực hiện theo các bước:
Bước 1: Nhắc lại một cách có hệ thống các nội dung lý thuyết đã học.
Bước 2: Hệ thống các dạng bài tập, cho học sinh trình bày lời giải mà giáo viên giao.
Nhận xét ưu, khuyết điểm và những sai lầm, nguyên nhân của sai lầm (nếu có).
Bước 3: Giao cho học sinh làm một số bài tập mới.
Bước 4: Củng cố sau tiết luyện tập.
Tuy nhiên qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy chương Tổ hợp – Xác suất của Đại số
và Giải tích 11 là một chương khá khó, học sinh dễ mắc sai lầm mà không phát hiện ra (kể cả
học sinh khá, giỏi vì dù áp dụng sai cơng thức thì vẫn cho các kết quả rất “đẹp”). Vậy phải thay
đổi phương thức luyện tập như thế nào để khắc phục được những sai lầm cơ bản của các em,
nhất là khi làm bài kiểm tra trắc nghiệm cuối chương, hay các câu hỏi của phần này trong đề
thi tốt nghiệp THPT làm tôi trăn trở.
1


2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
2.1. Mục đích:
-

Rèn luyện, kích thích cho các em tính cảnh giác, tốc độ làm bài kiểm tra trắc nghiệm.

-

Là động lực để thúc đẩy giáo viên đổi mới cách thức viết câu hỏi trắc nghiệm, hướng
tới những bộ đề với câu hỏi chất lượng tốt nhất.

-

Giúp học sinh biết sử dụng công cụ là phiếu đánh giá để đánh giá sản phẩm của các
nhóm khác từ đó giúp các em hiểu bài sâu sắc hơn và phát triển được phẩm chất,
năng lực của các em.
Giúp giáo viên và học sinh tạo nên nhiều mối liên kết hơn trong bài học

-

2.2. Nội dung giải pháp cụ thể:
Ngay sau khi Bộ Giáo dục và Đào tạo (GD và ĐT) công bố phương án thi THPT quốc
gia năm 2017 với phần lớn các mơn thi theo hình thức trắc nghiệm, trong đó có mơn Tốn đã
đặt ra u cầu mới đối với thầy và trò là phải thay đổi cách dạy, cách học, bám sát chương trình
lớp một cách tích cực, linh hoạt. Một trong những khó khăn đã gặp phải là tuy SGK vẫn là sách
giáo khoa cũ, hệ thống bài tập đa số đề bài tự luận.
Cùng với việc đổi mới phương pháp dạy học Toán tiếp cận chương trình giáo dục phổ
thơng 2018 theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
Do đó trong sáng kiến “Đổi mới phương pháp phân tích và sửa chữa sai lầm trong
tiết luyện tập chương Tổ hợp – Xác suất cho học sinh lớp 11 góp phần rèn luyện kỹ năng
làm bài tập trắc nghiệm mơn Tốn” tơi đã thay đổi bước 2 trong phương pháp luyện tập ở
trên như sau:
(1) Giao phiếu bài tập với các dạng câu hỏi dưới hình thức trắc nghiệm có các đáp án
đều là những sai lầm mà học sinh dễ mắc phải nhất. Yêu cầu học sinh trình bày ngắn
gọn lời giải để chọn được đáp án.
(2) Thay việc giáo viên nhận xét bằng việc học sinh trao đổi phiếu, nhận xét bài của bạn
nhằm mục đích học, khắc sâu kiến thức từ sai lầm của bản thân và của người khác, hoặc có thể
cho học sinh hoạt động theo từng cặp, nhóm, rồi cho cặp nhóm trình bày các nhóm khác phản
biện hoặc đánh giá qua phiếu nhận xét. Giáo viên tơn trọng tính độc lập của học sinh, để cho
học sinh suy nghĩ tìm ra biện pháp thực hiện.
Để làm được điều này đòi hỏi giáo viên phải thay đổi, đầu tư từ khi soạn thảo các câu

hỏi luyện tập, đến các bài kiểm tra thử các câu hỏi này phải có chất lượng kích hoạt khả năng
phịng bị sai lầm của học sinh. Do đó đối với mỗi câu hỏi tơi ln tuân thủ đầy đủ các bước sau:
-

Bước 1: Mô tả đề bài.

-

Bước 2: Trình bày lời giải đầy đủ (làm bài tự luận).

-

Bước 3: Chỉ ra đáp số đúng.

-

Bước 4: Lựa chọn 3 sai lầm dễ gặp nhất trong quá trình làm bài tự luận.

-

Bước 5: Với mỗi sai lầm tương ứng một đáp án gây nhiễu.
2


Để “gài bẫy” học sinh được hiệu quả thì giáo viên cần nắm được một số khó khăn và
sai lầm mà học sinh dễ mắc phải trong chương này là:
- Sai lầm do chưa nắm vững các khái niệm cơ bản của chương, dẫn đến nhầm lẫn, sử
dụng sai công thức (đặc biệt dễ nhầm nhất là: quy tắc cộng với quy tắc nhân và chỉnh hợp với
tổ hợp).
-

Sai lầm liên quan đến suy luận, chưa phân tích hết yêu cầu của đề bài.

-

Sai lầm do phân chia bài toán thành các trường hợp riêng (thiếu hoặc thừa).

-

Sai lầm do đồng nhất các đối tượng có tính chất khác nhau với các câu hỏi tương tự
nhau.

-

Sai lầm do thiếu khả năng trực giác về xác suất.

* Nội dung sáng kiến: tơi chia q trình thực hiện thành hai giai đoạn: giai đoạn 1 luyện
tập, giai đoạn 2 kiểm tra đánh giá, đối chứng.
GIAI ĐOẠN 1: LUYỆN TẬP
Sau đây là minh họa một vài câu hỏi trong các tiết luyện tập của chương nhằm phát hiện
ra các sai lầm thường gặp trong từng bài từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh.
1. TIẾT LUYỆN TẬP BÀI 1: QUY TẮC ĐẾM
Câu 1 (BT2-SGK trang 46): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên bé hơn 100?
A. 36

B. 6

C. 42

D. 99

Lời giải đúng:
* TH1: Số có 1 chữ số: có 6 số
* TH2: Số có 2 chữ số: có 6.6 = 36 số.
Vậy theo quy tắc cộng có: 6 + 36 = 42 số thỏa mãn đề bài
Chọn C
Phân tích phương án nhiễu
1. Sai lầm do thiếu trường hợp: Học sinh có thể chọn A do chỉ nghĩ đến loại số có 2 chữ
số (trường hợp này rất thường gặp).
2. Sai lầm do thiếu trường hợp: Học sinh có thể chọn B do chỉ nghĩ đến loại số có 1 chữ
số (trường hợp này ít gặp hơn).
3. Sai lầm do nhận thức sai vấn đề: Học sinh có thể chọn D do nghĩ từ 1 đến 99 có 99
số tự nhiên nhỏ hơn 100 mà không để ý điều kiện đề bài.
Câu 2: Có 6 con đường nối tỉnh A và tỉnh B. Có bao nhiêu cách khác nhau để một người
đi từ A đến B rồi trở về A mà không đi hai lần trên một con đường?
A. 36

B. 30

C. 6

Lời giải đúng:

3

D. 11


Có 6 cách đi từ A đến B, sau đó có 5 cách đi từ B về A (do khơng đi trên con đường đã

đi từ A đến B).
Vậy theo quy tắc nhân có: 5.6 = 30 cách
Chọn B
Phân tích phương án nhiễu
1. Sai lầm liên quan đến suy luận, chưa phân tích hết yêu cầu của đề bài: Học sinh có
thể chọn A do khơng chú ý đến điều kiện "không đi hai lần trên một con đường" của đề bài
(trường hợp này rất thường gặp).
2. Sai lầm liên quan đến suy luận, chưa phân tích hết yêu cầu của đề bài: Học sinh có
thể chọn C do nghĩ chỉ đi từ A đến B (trường hợp này ít gặp hơn).
3. Sai lầm do chưa nắm vững các khái niệm cơ bản: Học sinh có thể chọn D do nhầm
lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân.
2. TIẾT LUYỆN TẬP BÀI 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
Câu 1: Trong một hộp có 10 viên bi xanh, 12 viên bi đỏ (các viên bi có cùng hình dạng và
kích thước). Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi trong đó có ít nhất 2 viên bi xanh?
A. 1800

B. 660

C. 10

D. 540

Đáp án
* TH1: lấy được 2 bi xanh và 1 bi đỏ:
-

2
Có C10 cách lấy 2 bi xanh từ 10 bi xanh (vì các bi xanh đều giống nhau).

-

Có 12 cách chọn 1 viên bi đỏ từ 12 viên bi đỏ.

Vậy theo quy tắc nhân có C102 .12 cách chọn .
* TH2: lấy được 3 bi xanh:
Có C103 cách lấy được 3 bi xanh từ 10 bi xanh.
Vậy theo quy tắc cộng có: C102 .12 + C103 = 660 cách chọn.
Chọn đáp án B
Phân tích phương án nhiễu:
1. Sai lầm do chưa nắm vững các khái niệm: Học sinh có thể chọn A do nhầm lẫn giữa
chỉnh hợp và tổ hợp. Được kết quả A102 .12 + A103 = 1800 (trường hợp này rất thường gặp).
2. Học sinh có thể chọn C do chưa biết cách giải, có 10 bi xanh thì chọn 10.
3. Học sinh có thể chọn D do khơng đọc kĩ đề chỉ xét trường hợp thứ nhất có
C .12 = 540 cách.
2
10

Câu 2: Trên một giá Sách có 10 quyển sách Toán khác nhau, 12 quyển sách Lý khác
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên lần lượt 3 quyển sách khơng hồn lại trong đó có
ít nhất 2 quyển sách Toán?
4


A. 1800 .

B. 660 .

C. 2200 .

D. 1080 .

Đáp án
* TH1: lấy được 2 quyển sách Toán và 1 quyển sách Lý:
-

2

Vì mỗi lượt lấy khơng hồn lại nên có A10 cách lấy 2 quyển sách Toán khác nhau
từ 10 quyển sách Tốn.

-

Có 12 cách chọn 1 quyển sách Lý.

Vậy theo quy tắc nhân có A102 .12 cách chọn.
* TH2: lấy được 3 quyển sách Tốn:
3

Vì mỗi lượt lấy khơng hồn lại nên có A10 cách lấy 3 quyển sách Tốn từ 10 quyển sách
Tốn.
Vậy theo quy tắc cộng có: A102 .12 + A103 = 1800 cách chọn.
Chọn A
Phân tích phương án nhiễu:
1. Sai lầm do đồng nhất các đối tượng có tính chất khác nhau với các câu hỏi tương tự
nhau: Học sinh có thể chọn B do phân tích lấy sách cũng giống lấy viên bi (như ở câu 1) dẫn
đến nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Được kết quả: C102 .12 + C103 = 660 ( trường hợp này rất
thường gặp).
2. Học sinh có thể chọn C do nhầm lẫn và không hiểu lấy “ lần lượt” là như thế nào:
* TH1: lấy được 2 quyển sách Tốn khác nhau và 1 quyển sách Lý:
-

Có 10 cách chọn quyển sách Tốn thứ nhất, sau đó có 10 cách chọn quyển sách
tốn thứ 2 vậy có 10.10 = 100 cách chọn 2 quyển sách Tốn

-

Có 12 cách chọn sách Lý.

Vậy theo quy tắc nhân có: 100.12 = 1200 cách chọn.
* TH2: lấy được 3 quyển sách Tốn khác nhau:
Có 10.10.10 = 1000 cách lấy 3 quyển sách Toán khác nhau từ 10 quyển sách Toán.Vậy
theo quy tắc cộng ta có: 1200 + 1000 = 2200 cách.
3. Học sinh có thể chọn D do khơng đọc kĩ đề chỉ xét trường hợp thứ nhất có
A .12 = 1080 cách.
2
10

Câu 3: Trên kệ sách có 10 cuốn sách Toán khác nhau và 5 cuốn sách Văn khác nhau.
Người ta lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 cuốn sách mà khơng hồn lại. Hỏi có bao nhiêu cách để được
hai cuốn sách đầu là Toán, cuốn thứ ba là Văn.
A. 450 .

B. 225 .

C. 2730

Bài giải:
Số cách lấy được quyển sách Toán lần đầu là 10 cách.
5

D. 500 .


Số cách lấy được quyển sách Toán lần thứ hai là 9 cách.
Số cách lấy được quyển sách Văn lần thứ ba là 5 cách
Vậy theo quy tắc nhân có: 10.9.5 = 450 cách chọn
Chọn A
Phân tích phương án nhiễu:
1. Học sinh có thể chọn B do nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp được kết quả:
C .5 = 225 (trường hợp này rất thường gặp).
2
10

2. Học sinh có thể chọn C do hiểu nhầm đề bài là lấy 3 quyển sách khác nhau từ 15
quyển khác nhau nên tính được kết quả: A153 = 2730 cách.
3. Học sinh có thể chọn D do khơng chú ý đến điều kiện khơng hồn lại nên tính:
10.10.5 = 500 cách.
Câu 4 (bài 1c-trang 54): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 6 chữ số khác nhau bé hơn 432000 ?
A. 414 .

B. 420 .

C. 1080 .

D. 1200 .

Đáp án:
Gọi số cần tìm là : abcdef
Cách 1:

•

TH1: Nếu a  4  a  1; 2;3 . Vậy có 3 cách chọn a.
Sau khi chọn a, còn 5 chữ số xếp vào 5 vị trí cịn lại có P5 = 5! = 120 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: 3.120 = 360 số.

•

TH2: Nếu a = 4 thì có 1 cách chọn a; chọn b = 3 thì b có một cách chọn, khi đó phải
chọn c = 1 thì c có một một cách chọn. Cịn lại 3 chữ số xếp vào 3 vị trí cịn lại có

P3 = 3! = 6 cách xếp.
Theo quy tắc nhân có 1.1.1.6 = 6 số.
•

TH3: Nếu a = 4 thì có một cách chọn a; chọn b  3 thì có 2 cách chọn b ( b chọn là
số 1 hoặc số 2); Còn lại 4 chữ số xếp vào 4 vị trí cịn lại có P4 = 4! = 24 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có : 1.2.24 = 48 số.

Vậy theo quy tắc cộng ta có 360 + 6 + 48 = 414 số các số tự nhiên cần tìm. Chọn A.
Hoặc cách 2:
Số các số tự nhiên gồm có 6 chữ số khác nhau có thể lập được từ các chữ số đã cho là:
P6 = 6! = 720 số.
Ta tính các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho mà lớn
hơn 432000.
6


•

TH1: Nếu a  4  a  5;6 suy ra có 2 cách chọn a.
Sau khi chọn a, cịn 5 chữ số xếp vào 5 vị trí cịn lại có P5 = 5! = 120 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân có 2.120 = 240 số.

•

TH2: Nếu a = 4 thì có 1 cách chọn a; chọn b = 3 thì có 1 cách chọn b; chọn c  2 thì
c có 2 cách chọn (c là chữ số 5 hoặc chữ số 6). Còn lại 3 chữ số xếp vào 3 vị trí cịn
lại có P3 = 3! = 6 cách xếp.
Theo quy tắc nhân có 1.1.2.6 = 12 số.

•

TH3: Nếu a = 4 thì có 1 cách chọn a; chọn b = 3 thì có 1 cách chọn b; chọn c = 2
thì có 1 cách chọn c; cịn 3 vị trí cịn lại có P3 = 3! = 6 cách xếp.
Vậy theo quy tắc nhân có 1.1.1.6 = 6 số.

•

TH4: Nếu a = 4 thì có 1 cách chọn a; chọn b  3 thì có 2 cách chọn b ( b là chữ số 5
hoặc 6), cịn 4 vị trí cịn lại có P4 = 4! = 24 cách xếp.
Theo quy tắc nhân có : 1.2.24 = 48 cách chọn.

Vậy theo quy tắc cộng ta có: 240 + 12 + 48 + 6 = 306 số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác
nhau được lập từ các chữ số đã cho mà lớn hơn 432000.
Từ đó ta suy ra được số các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số
đã cho mà bé hơn 432000 là: 720 − 306 = 414 số.
Chọn A
Phân tích phương án nhiễu:
1. Học sinh có thể chọn B do giải theo cách 2 nhưng xét thiếu trường hợp 4: Vậy theo

quy tắc cộng ta có: 240 + 12 + 48 = 300 cách chọn
Tức là có 720 − 300 = 420 số thỏa mãn điều kiện đề bài. (trường hợp này rất thường
gặp).
2. Học sinh có thể chọn C do khơng đọc kĩ đề chỉ xét trường hợp thứ nhất.
3. Học sinh có thể chọn D do sai lầm giống trường hợp A nhưng chỉ xét một trường hợp.
3. TIẾT LUYỆN TẬP BÀI 3: NHỊ THỨC NIU TƠN

2

Câu 1 (BT2-SGK trang 58): Tìm hệ số của x3 trong khai triển  x + 2 
x 

A. 160

C. 6

B. 12

D. 72 .

Lời giải: Khai triển theo công thức nhị thức Nui – Tơn ta có :
6

k

6
6
2

k 6− k  2 

k k 6 −3 k
x
+
=
C
x
=

6

 2   C6 2 x
2 
x  k =0

 x  k =0

Số hạng tổng quát trong khai triển là: C6k 2k x6−3k
7

6


Để số hạng chứa x3 trong khai triển thì ta phải có: 6 − 3k = 3  k = 1
6

2

Vậy hệ số của x trong khai triển  x + 2  là: C61.21 = 12 .
x 


3

Chọn đáp án B.
Phân tích phương án nhiễu:
k

k

1. Học sinh có thể chọn A khi dùng hệ số của số hạng tổng quát là C6 .2 nhưng nhầm
lẫn hệ số của x tương ứng với k=3, nên tính C6 .2 = 160
3

3

3

k

2. Học sinh có thể chọn C do hiểu sai hệ số của số hạng tổng quát là C6 , nên tính

C61 = 6
3. Học sinh có thể chọn D do khai triển sai công thức như sau
6
k
6 6−k 6−k k  2 
6 6−k k k 6−3k
2 

do đó tính được hệ số số
 x + 2  =  C6 x C6  2  =  C6 C6 .2 x

k =0
x 

 x  k =0
3
6−1 1 1
của x là C6 C6 .2 = 72
2

Câu 2 (BT3-SGK trang 58): Biết hệ số của x trong khai triển

 n = −4
A. 
.
n = 5

B. n = 5 .

(1 − 3x )

C. n = 15

n

 n = 15
D. 
.
 n = −6

Lời giải: Khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn ta có:

(1 − 3x )

n

n

n

=  Cnk .1n −k . ( −3 x ) =  Cnk . ( −3) x k
k

k =0

k

k =0

Số hạng tổng quát trong khai triển là: Cnk ( −3) x k .
k

Để số hạng chứa x 2 trong khai triển thì ta phải có: k = 2 .
Do đó ta có:

2
Cn2 . ( −3) = 90 

n. ( n − 1)
n!
.9 = 90 

= 10; ( 0  k  n ) .
2!. ( n − 2 )!
2

 n = 5 ( tm )
 n2 − n − 20 = 0  
 n = −4 ( l )
Vậy chọn đáp án B.
Phân tích phương án nhiễu:
1. Học sinh có thể chọn A vì khơng chú ý đến điều kiện của n

8

là 90. Tìm n?


2 n. ( n − 1)
2. Học sinh có thể chọn C do giải nhầm công thức Cn =
thành công thức của
2
2
chỉnh hợp là Cn = n.( n − 1) nên tính như sau:
2
2
Cn ( −3) = 90  n ( n − 1) .9 = 90

n = 15 (tm)
2
 n − 9n − 90 = 0  
n = −6 (l)

nên chọn n = 15
3. Học sinh mắc sai lầm giống trường hợp 2 nhưng không chú ý điều kiện của n nên
 n = 15
chọn 
 n = −6
4. TIẾT LUYỆN TẬP BÀI 4: PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Câu 1 (bài 5a - SGK trang 64): Từ một hộp chứa 10 cái thẻ, trong đó các thẻ đánh số
1, 2, 3, 4, 5 màu đỏ, thẻ đánh số 6 màu xanh và các thẻ đánh số 7, 8, 9, 10 màu trắng. Lấy ngẫu
nhiên một thẻ. Không gian mẫu là
B.  = 5;1;4 .

A.  ={Đỏ, xanh, trắng}.
C.  = 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 .

D.  = 1 .

Lời giải: Lấy 1 trong 10 thẻ có khả năng lấy được 1 trong 10 số từ 1 đến 10
Vậy  = 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 .
Đáp án là C
Phân tích phương án nhiễu:
1. Học sinh có thể chọn A vì sai lầm hiểu có ba màu nên khi lấy thì lấy được một trong
ba màu. Nên có  ={Đỏ, xanh, trắng}.
Chú ý: giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu: lấy được thẻ màu đỏ có 5 khả năng là
lấy được các số {1, 2, 3, 4, 5}, lấy được thẻ màu xanh có 1 khả năng là lấy được số {6} và lấy
được thẻ màu trắng có 4 khả năng là lấy được các số {7, 8, 9, 10}.
2. Học sinh có thể chọn B do hiểu nhầm lấy được thẻ màu đỏ có 5 khả năng lấy được
thẻ màu xanh có 1 khả năng và lấy được thẻ màu trắng có 4 khả năng. Nên có  = 5;1;4 .
3. Học sinh có thể chọn D hiểu nhầm lấy 1 thẻ chỉ được một thẻ. Nên có  = 1 .
Câu 2 ( bài 6a - SGK trang 64): Gieo một đồng tiền liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên
xuất hiện mặt sấp hoặc cả bốn lần xuất hiện mặt ngửa thì dừng lại. Khơng gian mẫu là

B.  = SS ;SN;NS;NN .

A.  = S , N .
C.  = S ; NS ; NNS ; NNNS ; NNNN .

D.  = SSSS ; NNNN .

9


Lời giải: Phép thử có các khả năng sảy ra là: gieo lần đầu được mặt sấp; gieo lần hai
được mặt sấp, gieo lần ba được mặt sấp, gieo lần 4 được mặt sấp và nếu gieo lần 4 không được
mặt sấp thì ta được trường hợp NNNN thì dừng.
Nên ta có  = S ; NS ; NNS ; NNNS ; NNNN .
Đáp án là C
Phân tích phương án nhiễu:
1. Học sinh có thể chọn A vì sai lầm gieo một đồng xu là chỉ Sấp hoặc ngửa. Nên có
 = S , N .
2. Học sinh có thể chọn B do nhầm sang không gian mẫu của gieo hai đồng xu (hoặc
một đồng xu hai lần). Nên có  = SS ;SN;NS;NN .
3. Học sinh có thể chọn D hiểu nhầm 4 lần gieo được kết quả giống nhau. Nên

 = SSSS ; NNNN .

5. TIẾT LUYỆN TẬP BÀI 5: XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Câu 1 (Bài 1 - SGK trang 74): Gieo ngẫu nhiên một con xúc sắc cân đối và đồng chất
hai lần. Gọi A là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”. Xác
định biến cố A?
A. A = 10;11;12 .
C. ( A =

B. A =

(5;6) , ( 6;5) , ( 6;6) .

( 4;6) , (5;5) , (5;6) , (6; 4) , (6;5) , (6,6) .

D. A = 1;2;3;4;5;6 .

Lời giải: Biến cố được hiểu là khi cộng tổng số chấm của hai lần gieo được một số lớn
hơn hoặc bằng 10
Nên ta có A =

( 4;6) , (5;5) , (5;6) , (6; 4) , (6;5) , (6,6)

Đáp án là B
Phân tích phương án nhiễu:
1. Học sinh có thể chọn A do sai lầm liên quan đến suy luận: hiểu tổng số chấm của hai

lần gieo là 10 hoặc 11, hoặc 12 nên đã đồng nhất biến cố A = 10;11;12 .

2. Học sinh có thể chọn C do thiếu trường hợp có tổng bằng 10. Nên chọn

A=

(5;6) , ( 6;5) , ( 6;6) .

3. Học sinh có thể chọn D không hiểu phép thử, chọn biến cố A giống không gian mẫu

của phép thử gieo một con xúc sắc 1 lần. Nên chọn A = 1;2;3;4;5;6 .

Câu 2 (bài 6 SGK trang 74): Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên
vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:
Nữ ngồi đối diện nhau
A.

1
8

B. 1

C.

1

D.

3
10

1
4


Lời giải: Không gian mẫu là kết quả của việc sắp xếp bốn bạn vào 4 vị trí

n (  ) = 4! = 24
Biến cố “Nữ ngồi đối diện nhau” tương đương với biến cố “Nam ngồi đối diện nam, nữ
ngồi đối diện nữ”
Vậy A là biến cố đối “Nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ”.

Tính P ( A) :
Có 4 chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.
Có 1 cách chọn cho bạn nữ thứ hai ( đối diện với bạn nữ thứ nhất).
Sau khi hai bạn nữ đã được chọn ( ngồi đối diện nhau) thì cịn lại 2 chỗ đối diện nhau
để xếp 2 bạn nam và có 2! Cách xếp 2 bạn nam này.
Theo quy tắc nhân có: 4.1.2! = 8 cách xếp chỗ sao cho nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi
đối diện nữ
Do đó, P ( A) =

8
24

=

1
3

Phân tích phương án nhiễu:
1. Học sinh có thể chọn A vì sai lầm hiểu có 2 cách xếp hai bạn nam, có 2 cách xếp hai

bạn nữ do đó n ( A) = 2.2 = 4 .
Do đó P ( A) =

4

=

1

24 8

2. Học sinh có thể chọn B do giải sai từ bước chọn chỗ cho bạn nữa thứ 2
Có 4 chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn. Có 3 cách chọn cho bạn nữ thứ hai .
Sau khi hai bạn nữ đã được chọn thì cịn lại 2 chỗ để xếp 2 bạn nam và có 2! Cách xếp
2 bạn nam này.
Theo quy tắc nhân có: 4.3.2! = 24 cách xếp chỗ sao cho nam ngồi đối diện nam, nữ
ngồi đối diện nữ
Do đó, P ( A) =

24
24

=1

3. Học sinh có thể chọn D do khơng hiểu gì về bài tốn xác suất, thấy có 4 người thì
chọn P ( A) =

1
4

.

Câu 3: Cho các chữ số 0,1,2,3,4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ
số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng ba lần, cịn các chữ số khác có mặt đúng
ba lần.
A. 720 .

B. 270 .

C. 840 .

Lời giải:
11

D. 4320 .


Giả sử các số tự nhiên có bảy chữ số tương ứng với bảy ơ.
Xét trường hợp xếp ngẫu nghiên:

3

Có C7 cách xếp số 4 vào ba ơ.
Có 4! xếp bốn số 0,1,2,3 vào bốn ơ cịn lại.
3
Vậy trường hợp này có: C7 .4! (số).

Xét trường hợp ơ thứ nhất là số 0 (số 0 đứng đầu):

-

Có 1 cách xếp số số 0.
Có C63 cách xếp cho số ba số 4 vào sáu ơ.
Có 3! cách xếp ba số 1,2,3 vào ba ơ cịn lại.
3
Vậy trường hợp này có: 1.C6 .3! (số).
3
3
Do đó, các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là: C7 .4! − 1.C6 .3! = 720 (số)

Phân tích phương án nhiễu:

1. Phương án B: Học sinh ghi nhầm KQ.
2. Phương án C: Học sinh sai yêu cầu bài tốn số 0 ở vị trí đầu khơng thỏa
3. Phương án D: HS sai định nghĩa chỉnh hợp, tổ hợp khi chọn cách xếp số 4 nên tính
3
3
được là A7 .4! − 1. A6 .3! = 4320 .
Câu 4: Một đội văn nghệ gồm 10 người trong đó có 6 nam, 4 nữ . Chọn ngẫu nhiên 5
người hát tốp ca. Tính xác suất sao cho có cả nam và nữ đồng thời số nam là số nguyên tố.
A.

31
42

B.

1
14

C.

5
7

D.

1
2

Lời giải:
Số phần tử của không gian mẫu là: n (  ) = C105 = 252

Gọi A là biến cố: chọn được đội văn nghệ theo yêu cầu bài toán.

5
7

n( A) = C62 .C43 + C63.C42 = 180 . Do đó P ( A) = .
Phân tích phương án nhiễu:
1. Phương án A : xác định sai số phần tử của biến cố do hiểu sai về số nguyên tố 1,2,3
( lấy luôn số 1) nên n ( A ) = 186
2. Phương án B: hiểu sai về cách chọn tổ hợp và chỉnh hợp (
n( A) = A62 . A43 + A63 . A42 = 2160 , n (  ) = 30240 )
12


3. Phương án D: xác định sai số phần tử của biến cố do hiểu sai về số nguyên tố 1,3
(không lấy số 2) nên n ( A ) = 126 .
GIAI ĐOẠN 2: KIỂM TRA, ĐỐI CHỨNG
1. Kiểm tra 15 phút sau khi học xong bài hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp (hình thức
tự luận):
Đề bài:
Câu 1: Lớp 11A1 có 40 học sinh, trong đó có 20 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
bầu ra ban cán sự lớp gồm hai bạn: 1 nam và 1 nữ?
Câu 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 3 chữ số khác nhau?
Đáp án:
Câu 1: Số học sinh nam trong lớp là: 40 − 20 = 20 ( học sinh nam)
Việc chọn ban cán sự được chia làm hai công đoạn:
Chọn 1 bạn nam có 20 cách.
Ứng với mỗi cách chọn 1 bạn nam có 20 cách chọn 1 bạn nữ.
Vận dụng quy tắc nhân ta có số cách chọn ra ban cán sự gồm một bạn nam và 1 bạn

nữ là: 20.20 = 400 (cách chọn).
Câu 2: Chữ số đầu tiên có 9 cách chọn (trừ số 0).Chọn 2 chữ số cịn lại từ 9 chữ số có

A92 cách
2
Vậy có 9. A9 = 648 số.

2. Đề kiểm tra 45 phút theo hình thức trắc nghiệm kết hợp tự luận
Đề bài, đáp án và phân tích sai lầm như sau:
PHẦN TRẮC NGHIỆM (7 điểm)
Câu 1:

Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A.

C.

Pn = n !

Cnk =

n!
n !( n − k )!

B.

Ank =

n!
( n − k )!

D.

Cnk =

n!
k!( n − k )!

Đáp án: C .
Học sinh mắc sai lầm do chưa nắm vững công thức
Câu 2:

Bạn An đi vào một cửa hàng để mua quà tặng sinh nhật cho bạn là một trong ba món
đồ: mũ, khăn hoặc găng tay. Trong cửa hàng đó có: 15 chiếc mũ khác nhau, 8 cái khăn

13


khác nhau, 7 đôi găng tay khác nhau. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn mua q
sinh nhật?
A.

30.

B.

840.

C.

4060.

D.

15.

Lời giải:
Cơng việc chọn mua quà sinh nhật có thể thực hiện một trong ba phương án: chọn mua mũ có
15 cách chọn, chọn mua khăn có 8 cách chọn, chọn mua găng tay có 7 cách chọn.
Do đó theo quy tắc cộng có 15 + 8 + 7 = 30 cách chọn.
Đáp án là A
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn B do mắc sai lầm: nhầm giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân, nên
tính được 15.8.7 = 840
2. Học sinh có thể chọn C do mắc sai lầm: hiểu sai đề bài chọn ba món đồ trong 30 món đồ
3
nên tính C30
= 4060 .

3. Học sinh có thể chọn D do khơng hiểu bài, cứ thấy có số trong đề bài trùng số trong các
đáp án là chọn
Câu 3: Một bé trai có thể mang họ cha là Nguyễn hoặc mang họ mẹ là Lê. Tên đệm có thể
là: Văn, Hữu, Hồng, Hồng. Tên có thể là: Nhân, Nghĩa, Trí, Đức hoặc Dũng. Hỏi có
bao nhiêu cách có thể đặt họ tên cho bé (gồm họ, tên đệm và tên)?
A.

990

B.

11

C.

165

D.

40

Lời giải:
Công việc đặt tên cho bé được chia làm 3 hành động liên tiếp: chọn họ có 2 cách chọn, chọn tên
đệm có 4 cách chọn, chọn tên có 5 cách chọn.
Do đó theo quy tắc nhân 2.4.5 = 40 cách chọn.
Đáp án là D
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn A do mắc sai lầm: nghĩ một cách chọn tên lấy 3 chữ (họ, tên đệm,
tên) trong tổng số 11 chữ ở đề bài (Nguyễn, Lê, Văn, Hữu, Hồng, Hồng, Nhân, Nghĩa,
Trí, Đức, Dũng) và hốn đổi vị trí nên tính được A113 = 990 .
2. Học sinh có thể chọn B do mắc sai lầm nhầm giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân nên
tính 2 + 4 + 5 = 11.
3. Học sinh có thể chọn C do cũng hiểu tương tự sai lầm 1 nhưng khơng hốn đổi các chữ
với nhau nên tính C113 = 165 .
Câu 4:

Trên giá sách có 5 quyển sách Văn, 7 quyển sách Địa. Lấy ngẫu nhiên lần lượt ba
quyển sách (khơng hồn lại), hỏi có bao nhiêu cách lấy được 2 quyển sách Văn, 1
quyển sách Địa lý?
A.

220 .

B.
14

140 .


C.

16 .

D.

175 .

Lời giải:
Công việc lần lượt lấy ba quyển sách (khơng hồn lại) được hồn thành bởi ba hành động liên
tiếp: có 5 cách lấy được quyển sách Văn thứ nhất, có 4 cách lấy quyển sách Văn thứ 2, có 7 cách
lấy được 1 quyển sách Địa lý.
Do đó theo quy tắc nhân 5.4.7 = 140 cách chọn.
Đáp án là B
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn A do mắc sai lầm: nghĩ một cách chọn tên lấy 3 quyển sách từ 12
quyển sách (cả Văn và Địa) là tổ hợp chập 3 của 12 phần tử nên tính C123 = 220 .
2. Học sinh có thể chọn C do mắc sai lầm nhầm giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân nên
tính 5 + 4 + 7 = 16 .
3. Học sinh có thể chọn C do khơng chú ý đến điều kiện “khơng hồn lại” nên lập luận như
sau: có 5 cách lấy được quyển sách Văn thứ nhất, có 5 cách lấy quyển sách Văn thứ 2,
có 7 cách lấy được 1 quyển sách Địa lý.

Do đó theo quy tắc nhân 5.5.7 = 175 cách chọn.
Câu 5:

Một tổ gồm 10 học sinh (6 nam và 4 nữ), có bao nhiêu cách xếp 10 học sinh thành
một hàng dài?
A.

10 .

B.

24 .

C.

17280 .

D.

3628800 .

Lời giải:
Mỗi các xếp 10 học sinh thành một hàng dài là một hoán vị của 10 phần tử
Số cách xếp là: P10 = 10! = 3628800 .
Đáp án là D
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn A do khơng hiểu bài, cứ thấy có số trong đề bài trùng số trong các
đáp án là chọn
2. Học sinh có thể chọn B do nhầm cách giải bài là sử dụng quy tắc nhân nên tính 6.4 = 24
.

3. Học sinh có thể chọn C do sai lầm: xếp bạn nam trước (hốn đổi vị trí 6 bạn nam) sau
đó xếp bạn nữ (hốn đổi vị trí 4 bạn nữ) nên tính 6!.4! = 17280 .
Đánh giá: đề bài muốn học sinh cần chú ý đọc kĩ đề, thực ra với đề này có thể bỏ câu “6 nam
và 4 nữ” vẫn đủ dữ kiện làm bài. Nhưng như vậy học sinh dễ dàng nhận ra đáp án.
Câu 6:

Có 5 quyển sách Văn khác nhau, 7 quyển sách Địa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách
xếp các quyển sách trên lên một giá sách dài theo từng môn?
A.

35 .

B.

12! .

C.

15

2!.5!.7!

D.

5!.7!.


Lời giải:
Cơng việc được hồn thành bởi các giai đoạn:
Giai đoạn 1: Nhóm 5 quyển sách Văn lại thành một nhóm và xếp thứ tự các quyển sách Văn có

P5 = 5! cách xếp
Giai đoạn 2: Nhóm 7 quyển sách Địa lại thành một nhóm và xếp thứ tự các quyển sách Địa có
P7 = 7! cách xếp
Giai đoạn 3: xắp xếp hai nhóm sách trên có P7 = 2! cách xếp
Theo quy tắc nhân có: 2!.5!.7! cách xếp
Đáp án là C
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn A do nhầm cách giải xếp sách Văn có 5 cách xếp, sau đó xếp sách
Địa có 7 cách xếp nên tính 5.7 = 35 .
2. Học sinh có thể chọn B do chưa đọc kĩ đề bài yêu cầu “theo từng mơn”, nên tính là hốn
vị của 12 quyển sách (cả Văn và Địa), bằng P12 = 12!
3. Học sinh có thể chọn D do sai lầm gần giống với sai lầm 1 nhưng mỗi loại có sự xắp xếp
thứ tự nên tính bằng 5!.7!
Câu 7: Từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể thành số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
A.

A64 = 360

B.

C64 = 15

64 = 1296

C.

D.

6! = 720

Lời giải:
Mỗi cách lập một số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho là một chỉnh hợp
chập 4 của 6 phần tử.
Nên số các chữ số có thể lập được là: A64 = 360
Đáp án là A
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn B do nhầm giữa chỉnh hợp với tổ hợp nên tính C64 = 15 .
Học sinh có thể chọn C do chưa đọc kĩ đề bài yêu cầu “các chữ số khác nhau”, nên tính
theo quy tắc nhân bằng 64 = 1296
3. Học sinh có thể chọn D do chưa đọc kĩ/chưa hiểu đề bài, hiểu nhầm là hoán vị của 6
phần tử nên tính bằng 6! = 720
Câu 8: Trong khơng gian cho tập hợp hợp gồm 9 điểm trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng
hàng, hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc tập hợp các điểm đã
cho?
2.

A.

C93 = 84 .

B.

9.3 = 27 .
Lời giải:

16

C.

A93 = 504 .

D.

9 + 3 = 12 .


Mỗi cách lập một tam giác (gồm 3 điểm không thẳng hàng từ 9 điểm đã cho) là một tổ hợp chập
3 của 9 phần tử.
Nên số tam giác có thể lập được là: C93 = 84 .
Đáp án là A
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn B do khơng phân biệt được bài tốn giải theo cách nào (dùng một
trong các cách tính: quy tắc cộng, quy tắc nhân, hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp), nên tính
9.3 = 27 .
2. Học sinh có thể chọn C do nhầm giữa tổ hợp với chỉnh hợp nên tính A93 = 504 .
3. Học sinh có thể chọn D do khơng phân biệt được bài tốn giải theo cách nào (dùng một
trong các cách tính: quy tắc cộng, quy tắc nhân, hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp), nên tính
9 + 3 = 12 .
Câu 9: Trong khai triển ( 2a − b )5 , hệ số của số hạng thứ 3 bằng:
A.

−40 .

B.

80 .

C.

10 .

D.

−10 .

Lời giải:
Khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:
5

( 2a − b ) =  C5k ( 2a )
5

5− k

k =0

5

(−b) k =  C5k 25−k (−1) k a 5−k b k =32a 5 − 80a 4b + 80a 3b 2 − ....
k =0

Hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển ứng với k = 2 , nên hệ số của số hạng thứ 3 trong khai
triển là C52 .25− 2. ( −1) = 80 .
2

Đáp án là B.
Phân tích sai lầm:
k 5− k
k

1. Học sinh có thể chọn A khi dùng hệ số của số hạng tổng quát là C5 2 (−1) nhưng vị
3 5−3
trí thứ ba ứng với k = 3 , nên tính C5 2 ( −1) = −40
3

k
2. Học sinh có thể chọn C do hiểu sai hệ số số hạng tổng quát là C5 , số hạng thứ 3 là k = 2

, nên tính C52 = 10
k
3. có thể chọn D do hiểu sai hệ số số hạng tổng quát là −C5 nên tính −C52 = −10

(

Câu10: Trong khai triển 3x2 − y
A.

36 C104 .

B.

)

10

, hệ số của số hạng chính giữa là:

−36.C104 .

C.

Lời giải:
Khai triển theo công thức nhị thức Niu – Tơn:
17

35.C105 .

D.

−35.C105


( 3x

2

− y ) =  C10k ( 3x 2 )
10

10

10 − k

(− y)

k

k =0

10

=  C10k 310−k ( −1) x 2(10−k ) y k
k

k =0

Số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 ứng với k = 5
5 10 −5
5
5
Hệ số của số hạng đứng giữa là C10 3 ( −1) = −3 .C10
5

Đáp án là D
Phân tích sai lầm:
k 10 − k
1. Học sinh có thể chọn A khi xác định đúng hệ số của số hạng tổng quát là C10 3 ( −1)

k

nhưng hiểu số hạng chính giữa là vị trí thứ 5 ứng với k=4, nên tính hệ số bằng
C104 310 − 4. ( −1) = 36 C104
4

k 10− k
2. Học sinh có thể chọn B khi vừa xác định sai hệ số của số hạng tổng quát là −C10 3

vừa hiểu sai số hạng chính giữa là số hạng thứ 5 ứng với k=4, nên tính hệ số bằng
−36.C104
3. Học sinh có thể chọn D do xác định sai hệ số của số hạng tổng quát là C10k 310−k , nên tính

5
5
hệ số bằng 3 .C10

Câu
11:

Xét phép thử T là chọn ngẫu nghiên 50 thanh niên ở lứa tuổi từ 18 đến 25 và đếm xem
có bao nhiêu người có thói quen hút thuốc lá. Hãy xác định số phần tử của không gian
mẫu của phép thử này?
A.

18

B.

C.

25

50

D.

51

Lời giải:
Thống kê số trường hợp số người hút thuốc lá trong 50 người được khảo sát là: 0 có người nào
hút, 01 người hút, 02 người hút …, 50 người đều hút
Không gian mẫu  = 0;1; 2;3....;50 gồm 51 phần tử

Đáp án là D
Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn A khơng hiểu về khái niệm không gian mẫu, số phần tử của không
gian mẫu trong một phép thử, nên cứ thấy có số trong đề bài trùng số trong các đáp án
là chọn.
2. Học sinh có thể chọn B do mắc sai lầm giống như trên.
3. Học sinh có thể chọn D do nhầm từ 0 đến 50 có 50 phần tử.
Câu
Mơ tả không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc sắc cân đối và đồng chất 2 lần.
12:
A.

 = 36 .

C.

 = ( i; j ) 1  i; j  6 .





18

B.

 = 1; 2;3; 4;5;6 .

D.

 = 0;1; 2;3; 4;5;6 .


Lời giải:
Khi gieo con xúc sắc thì các khả năng xuất hiện số chấm ở mặt trên là: 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm
, …,6 chấm.
Do gieo con xúc sắc hai lần nên không gian mẫu là :





 = ( i; j ) 1  i; j  6
Đáp án là C.

Phân tích sai lầm:
1. Học sinh có thể chọn A không hiểu về khái niệm không gian mẫu, số phần tử của không
gian mẫu trong một phép thử nên nhầm lẫn là số phần tử của không gian mẫu là:  = 36
.
2. Học sinh có thể chọn B không hiểu về khái niệm không gian mẫu, số phần tử của không
gian mẫu trong một phép thử, nên tưởng là mô tả hiện tượng xảy là khi gieo con xúc sắc:
Do đó học sinh chọn  = 1; 2;3; 4;5;6 .
3. Học sinh có thể chọn D khơng biết con xúc sắc có đặc điểm gì, nên nhầm có cả trường
hợp khơng có chấm nào xuất hiện  = 0;1; 2;3; 4;5;6 .
Câu
13:

Gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đồng chất. Tính xác suất của biến cố “Mặt
sấp xuất hiện ít nhất một lần”?
A.

1
.
4

B.

1.

C.

1
.
2

D.

3
.
4

Lời giải:
Gieo ngẫu nhiên hai đồng tiền cân đối và đồng chất.
Không gian mẫu :  = SS ; SN ; NN ; NS   n (  ) = 4 .
Biến cố A: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất 1 lần”, Khi đó : A = SS ; SN ; NS   n ( A ) = 3 .

3
Xác suất của biến cố A là: P ( A) = . Vậy chọn đáp án D.
4
Phân tích sai lầm:

1. Học sinh có thể chọn A khơng liệt kê được các khả năng thuận lợi cho biến cố A, đoán
1
“Mặt sấp xuất hiện 1 lần” có 1 trường hợp nên P ( A) = .
4
2. Học sinh có thể chọn B do nghĩ tất cả các khả năng xảy ra đều có ít nhất một lần xuất
hiện mặt sấp nên P ( A ) = 1 .
3. Học sinh có thể chọn C do liệt kê thiếu trường hợp SS, mà chỉ liệt kê A = SN ; NS  nên
tính : P ( A) =

2 1
= .
4 2

19