Một số giải pháp hiệu quả hướng dẫn học sinh yếu kém ôn thi tốt nghiệp thpt phần hình học không gian oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT TRẦN NHẬT DUẬT

BÁO CÁO SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Lĩnh vực: Toán học

TÊN SÁNG KIẾN
MỘT SỐ GIẢI PHÁP HIỆU QUẢ HƯỚNG DẪN HỌC SINH YẾU KÉM
ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT PHẦN HÌNH HOC KHƠNG GIAN OXYZ

Tác giả: Bùi Hồng Ngọc
Trình độ chun môn: Thạc sỹ
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT Trần Nhật Duật

Yên Bái ,ngày 5 tháng 02 năm 2022
1


I. THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: : “Một số giải pháp hiệu quả hướng dẫn học sinh yếu kém ơn thi
tốt nghiệp THPT phần hình học không gian Oxyz"”.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Học sinh 12 và học sinh trên lớp 12 ôn thi tốt nghiệp
THPT Quốc gia.
4. Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 23 tháng 03 năm 2021 đến ngày 30 tháng 12 năm 2021
5. Tác giả:
Họ và tên: Bùi Hoàng Ngọc
Năm sinh: 1983
Trình độ chun mơn: Thạc sỹ

Chức vụ cơng tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Trần Nhật Duật
Địa chỉ liên hệ: Số nhà 881 – Đường Đại Đồng – Tổ 4– Thị trấn Yên Bình – Yên
Bình – Tỉnh Yên Bái
Điện thoại: 0836531222
II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP SÁNG KIẾN
1. Tình trạng giải pháp đã biết:
Những năm gần đây nền giáo dục phổ thông nước ta đang từng bước chuyển từ
chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực người học, nghĩa là
chuyển từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh
vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, nhất định phải chuyển từ
phương pháp dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng
kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất; đồng thời phải chuyển
cách đánh giá kết quả giáo dục từ nặng về kiểm tra trí nhớ sang kiểm tra đánh giá đánh
giá năng lực vận dụng kiến thức để giải quyết vấn đề.
Bên cạnh đó, một thực trạng đáng lo ngại là nhiều học sinh khơng cịn đam mê
với việc học, các em bị chi phối nhiều từ mạng xã hội từ những tiêu cực của cuộc sống
dần dà em lơ là việc học thiếu sự tập trung thiếu sự rèn luyện thường xuyên dẫn đến
hậu quả các em rỗng kiến thức không nắm được nội dung cơ bản vì thế tạo nên tâm lí
chán chường bng xi.
Kỳ thi tốt nghiệp THPT đang đến gần, làm thế nào để vừa giúp các em có hứng
thú u thích mơn tốn đồng thời có thể nâng cao kết quả học tập và chất lượng ôn thi
tốt nghiệp THPT quả là một vấn đề quan trọng. Qua nghiên cứu cấu trúc đề minh họa
năm 2021 và đề thi tốt nghiệp THPT các năm tôi nhận thấy chủ đề Phương pháp tọa độ
trong không gian là một mạch kiến thức quan trọng thường chiếm 12-14 câu trong đề thi
tốt nghiệp THPT. Phần kiến thức này là chương cuối của chương trình lớp 12 các em
học snh thường được học sau khi nghỉ tết xong , khi họ phần này các em thường bị phân
tâm bởi nhiều yếu tố bên ngoài tác động : lựa chọn trường, lựa chọn nguyện vọng , chụp
ảnh kỉ yếu, tổng kết cuối năm, chia tay, lưu bút … phần nào ảnh hưởng đến sự tập trung
của các em nên khi đi thi các em cảm thấy khó khăn thường bỏ qua do tâm lí e ngại và

thấy là kiến thức của mơn hình học tâm lí sợ hình ln tồn tại trong tâm trí của học trị
2


đặc biệt là các em học sinh học yếu. Trong giai đoạn cuối năm học để chuẩn bị tốt cho
công tác ôn tốt nghiệp các trường phổ thông, sở giáo dục thường tổ chức các đợt thi thử
từ đó các nhà trường có kết quả để phân loại học sinh nhằm có chiến lược giúp đỡ học
sinh yếu kém vượt qua kì tốt nghiệp sau 12 năm học ghế trường phổ thông . Trường
THPT Trần Nhật Duật cũng nằm trong guồng quay ấy sau kì thi thử tốt nghiệp THPT
nhà trường ban giám hiệu các tổ chuyên môn luôn xây dựng kế hoạch phụ đạo học sinh
yếu kém giúp các em ôn tập các kiến thức cơ bản nhất chuẩn bị tâm thế tốt nhất bước
vào kì thi quan trọng của cuộc đời
Vậy làm thế nào để trong vòng thời gian ngắn có thể giúp học sinh vừa nắm vững
kiến thức, kĩ năng mơn học, đồng thời có thể tiếp nhận nhanh nhất cách thức làm bài
kiểm tra đánh giá nhằm giúp các em đạt được kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT .
Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, với đối tượng là
các em học sinh học yếu chưa có hứng thú với môn học tôi luôn băn khoăn làm thế nào
để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất, giúp các em chủ động trong việc chiếm
lĩnh kiến thức. Thầy đóng vai trị là người hướng dẫn để các em tìm đến đích của lời
giải.
Chính điều đó đã thôi thúc người viết quyết định lựa chọn đề tài: “ Một số giải
pháp hiệu quả hướng dẫn học sinh yếu kém ơn thi tốt nghiệp THPT phần hình học
khơng gian Oxyz”.
Hi vọng với đề tài này giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề, các em khơng
cịn lúng túng trong việc giải các bài tốn phần hình học không gian Oxyz., hơn nữa tạo
ra cho các em hứng thú trong giải tốn nói chung và các bài tốn hình học khơng gian
Oxyz. Mặt khác sau khi nghiên cứu tơi sẽ có một hướng tiếp cận mới, một cách nhìn
nhận đánh giá học sinh của mình đa chiều hơn, giúp các em nâng cao khả năng vận dụng
kiến thức vào thực tế để các em u thích mơn học hơn.
2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến

- Mục đích của giải pháp : Giúp học sinh yếu kém ơn tập tốt các dạng tốn cơ bản về
phần hình học khơng gian Oxyz
- Nội dung giải pháp: Sáng kiến: “ Một số giải pháp hiệu quả hướng dẫn học sinh
yếu kém ôn thi tốt nghiệp THPT phần hình học khơng gian Oxyz”. Nêu lên một số
giải pháp hiệu quả giúp học sinh ôn tập phần hình học khơng gian Oxyz. Thơng qua đó,
giúp học sinh tiếp cận với dạng tốn và giúp học sinh có một phân chia các dạng bài tập
một cách phù hợp nhất với khả năng nhận thức của mình. Khi học sinh tiếp cận và nắm
được nội dung sáng kiến cũng là nắm được các dạng bài tập cơ bản và làm được một
cách có hiệu quả các bài tập nhằm giúp các em làm tốt các bài tập phần phần hình học
khơng gian Oxyz trong đề thi tốt nghiệp . Cụ thể sáng kiến: “ Một số giải pháp hiệu
quả hướng dẫn học sinh yếu kém ôn thi tốt nghiệp THPT phần hình học khơng
gian Oxyz” có nội dung như sau:
I- Xây dựng mục tiêu và kế hoạch bài dạy phù hợp với đối tượng học sinh.

3


1.Xác định mục tiêu dạy học:
– Nhận biết được vectơ và các phép tốn vectơ trong
khơng gian (tổng và hiệu của hai vectơ, tích của một
Toạ độ của vectơ số với một vectơ, tích vơ hướng của hai vectơ).
đối với một hệ trục – Nhận biết được toạ độ của một vectơ đối với hệ
toạ độ. Biểu thức trục toạ độ.
toạ độ của các
– Xác định được độ dài của một vectơ khi biết toạ
phép toán vectơ độ hai đầu mút của nó và biểu thức toạ độ của các
phép toán vectơ.
– Xác định được biểu thức toạ độ của các phép tốn
Phương
vectơ.

pháp toạ độ
– Nhận biết được phương trình tổng qt của mặt
trong khơng
phẳng.
gian
– Thiết lập được phương trình tổng quát của mặt
phẳng trong hệ trục toạ độ Oxyz theo một trong ba
cách cơ bản: qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến;
qua ba điểm khơng thẳng hàng.
Phương trình mặt – Thiết lập được điều kiện để hai mặt phẳng song
phẳng
song, vng góc với nhau.
– Tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng bằng phương pháp toạ độ.
Phương trình
đường thẳng trong
khơng gian

– Nhận biết được phương trình chính tắc, phương
trình tham số, vectơ chỉ phương của đường thẳng
trong khơng gian.
– Thiế t lập đươ ̣c phương trình của đường thẳng
trong hệ trục toạ độ theo mô ̣t trong hai cách cơ bản:
qua một điểm và biết một vectơ chỉ phương, qua hai
điểm.

– Nhận biết được phương trình mặt cầu.
Phương trình mặt – Xác định được tâm, bán kính của mặt cầu khi biết
cầu
phương trình của nó.

– Thiết lập được phương trình của mặt cầu khi biết
tâm và bán kính.
Từ mục tiêu cụ thể đó đưa ra những hoạt động học tập phù hợp với đối tượng học
sinh . Với học sinh yếu thì vẫn những mục tiêu đó nhưng chỉ dừng lại ở mức độ nhận
biết thơng hiểu để các em làm đi làm lại các em có thể tự ghi nhớ bằng nhiều kênh khác
nhau ; qua trực quan tự bản thân thực hành, qua hoạt động thảo luận theo nhóm, qua sự
hướng dẫn giảng dạy của thầy cô.
2. Xây dựng chuỗi hoạt động : Sau khi xác định được mục tiêu cần đạt tôi suy nghĩ tới
việc làm thế nào để các em học sinh có thể tiếp cận với các kiến thức sao cho tự nhiên
dễ hiểu nhất. Trước hết tôi dựa vào kết quả của kì thi thử tơt nghiệp mà nhà trường cung
4


cấp Tơi tìm hiểu tâm sinh lí của các em trị chuyện cùng các em để tìm hiểu ngun nhân
cũng như tìm hiểu nguyện vọng của học sinh từ đó tôi đưa ra một kế hoạch cụ thể cho
từng giai đoạn xây dựng chuỗi hoạt động từ hoạt động ôn tập lại kiến thức đào sâu suy
nghĩ hướng cho các em đích đến và có những động viên khích lệ kịp thời tạo động lực
cho các em muốn được khám phá , muốn được khẳng định từ đó giúp các em có động cơ
học tập. Sự chuyển biến trong chính suy nghĩ, chính nhận thức của các em mới là điều
mà tôi trăn trở tôi muốn thực hiện giúp các em có thêm quyết tâm , thêm nghị lực phấn
đấu để đạt được kết quả tốt nhất. Đó chính là thách thức lớn nhất vì đa phần các em rỗng
kiến thức và có ý định bng xi. Trong q trình giảng dạy tôi chia thành ba giai đoạn
Giai đoạn 1: Ghi Nhớ lại kiến thức
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN
1. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u   x; y; z   u  xi  y j  zk
b) Tính chất: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )
 ka  (ka1; ka2 ; ka3 )
a1  b1


 a  b  a2  b2
a  b
 3 3

 a cùng phương b (b  0)

 a  kb (k  R)
a1  kb1
a
a a

 a2  kb2  1  2  3 (b1. b2 . b3  0)
b1 b2 b3
a  kb
3
 3

2. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M ( x; y; z )  OM  x.i  y. j  z.k
b) Tính chất: Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB )
 AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  z A )
 AB  ( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2
xA  xB y A  yB z A  zB 
;
;

 2
2
2 

x x x y y y z z z
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : G  A B C ; A B C ; A B C 
3
3
3



 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M 

3. Tích vơ hướng của hai véc tơ và ứng dụng
Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ).
5


Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng: a.b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3
Hai véc tơ vng góc: a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0
Độ dài véc tơ: a  a12  a22  a32
Cosin của góc giữa hai véc tơ
cos(a , b ) 

a.b
a .b



a1b1  a2b2  a3b3
a  a22  a32 . b12  b22  b32
2
1

(với a , b  0 )

4. Tích có hướng của hai vectơ
Trong khơng gian Oxyz cho hai vectơ a  (a1; a2 ; a3 ) , b  (b1; b2 ; b3 ) . Tích có hướng của
hai vectơ a và b, kí hiệu là a, b  , được xác định bởi
a
 a , b    2
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2 
;
   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1 
b1 b1 b2 

Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một
số.
5. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:






* n  0 là VTPT của mp(  ) nếu: n  ( )
 

Chú ý:+ Hai vectơ khơng cùng phương a , b có giá chứa trong hoặc song song với (  ).


Khí đó:  a , b  là


 

vectơ pháp tuyến của (  )

+ Một mp có vơ số VTPT cùng phương với nhau.
6. Phương trình tổng quát của mặt phẳng dạng: Ax  By  Cz  D  0 vớ A2  B 2  C 2  0


+ Mặt phẳng có phương trình: Ax  By  Cz  D  0 thì có VTPT n  (A; B; C)


+ Mặt phẳng qua M  x0 ; y0 ;z0  và có một VTPT là n  (A; B; C) thì có pt:
A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

* Đặc biệt:
+ Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A  a,0,0 , B  0, b,0 , C  0,0, c 
6


x
a

y

b

z
c

( với abc  0 ) là:    1 (phương trình theo đọan chắn)
7. Khoảng cách từ M 0 (x 0 ; y0 ; z0 ) đến   được tính theo cơng thức :
d ( M 0 , (a )) =

| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
A2 + B 2 + C 2

8. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng   và    có phương trình:

  : A1x  B1 y  C1z  D1  0 ( A12  B12  C12  0) có vectơ pháp tuyến là n1   A1; B1;C1 
   : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 ( A22  B22  C22  0) có vectơ pháp tuyến là n  ( A ; B ; C )
  và    cắt nhau  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2 (nếu A2 B2C2  0 )
2

2

2

       A1 A2  B1B2  C1C2  0
n1  kn2

  //     

 D1  kD2

(k  R) 

n1  kn2

       

 D1  kD2

A1 B1 C1 D1



(nếu A2 B2C2 D2  0 )
A2 B2 C2 D2

(k  ) 

A1 B1 C1 D1



(nếu A2 B2C2 D2  0 )
A2 B2 C2 D2

9. Góc giữa hai mặt phẳng:
Gọi  là góc giữa   và    . Ta có: cos  

A1 A2  B1B2  C1C2
A12  B12  C12 . A22  B22  C22

10.Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I (a ;b; c ), bán kính R > 0 , có phương trình
2

2

2

(S ) : (x - a ) + (y - b) + (z - c )

= R2

Dạng 2: (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (2) Þ Điều kiện để phương trình (2)
là phương trình mặt cầu: a 2 + b2 + c 2 - d > 0
(S) có tâm I (a ;b; c ),(S) có bán kính: R = a 2 + b2 + c 2 - d
11.Phương trình đường thẳng:

7


Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vectơ a   a1; a2 ; a3  với
a12  a2 2  a32  0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó  có phương trình tham số là
 x  x0  a1t

 y  y0  a2t ;  t 
z  z  a t

0
2



Cho đường thẳng  đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và nhận vectơ a   a1; a2 ; a3  sao cho
a1a2a3  0 làm vectơ chỉ phương. Khi đó  có phương trình chính tắc là:
x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

Giai đoạn hai : Tái hiện lại kiến thức
Sau khi hệ thống lại kiến thức Tơi khuyến khích các em học sinh phải học thuộc các
công thức .Thật sự khi này với các em học thuộc được bằng này được kiến thức là khó
với bản thân các em đã cảm thấy khơng u thích gì việc học. Vì vậy tơi đã xây dựng
một chuỗi các phiếu học tập từ dễ đến khó. Kết hợp giữa lí thuyết và luyện tập, Phân
chia các em theo nhóm để các em có thể tự kiểm tra lẫn nhau, để các em có sự ganh đua
giữa các nhóm , nhóm nào làm nhanh nhất, ít thời gian nhất, tất cả các thành viên đều
làm đúng sẽ có phần thưởng. Việc hoạt động theo nhóm sẽ giúp các em vừa ơn tập được
kiến thức vừa có tinh thần trách nhiệm với bản thân và với thành viên trong nhóm để
mình khơng là gánh nặng của cả nhóm. Từ đó giúp các em ghi nhớ kiến thức
Để làm được điều đó tối xây dựng chuỗi phiếu học tập cho giai đoạn 2 cụ thể như sau:
Phiếu học tập số 1:
Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ), k  R
Nối Cột A với Cột B để được công thức đúng
A
B

u   x; y; z 

(ka1; ka2 ; ka3 )

a1 a2 a3
 
 k (b1. b2 . b3  0)
b1 b2 b3

ka
ab

a b

(a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

u  xi  y j  zk

 a1  b1

 a2  b2
a  b
3
 3

a  kb (k  R)

Phiếu học tập số 2:
Nối Cột A với Cột B để được công thức đúng
A
B

a1b1  a2b2  a3b3  0
a1b1  a2b2  a3b3

a.b
a12  a22  a32

a12  a22  a32 . b12  b22  b32
8


ab

OM  x.i  y. j  z.k

cos(a , b )
M ( x; y; z )

a1.b1  a2 .b2  a3 .b3

a

Phiếu học tập số 3:
Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB )
Nối Cột A với Cột B để được Mệnh đề đúng
A
B
AB
 x  x y  yB z A  z B 
M A B; A
;


 2
2
2 


AB
( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )

Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB :



n  0 là VTPT của mp(  ) nếu



( xB  xA )2  ( yB  yA )2  ( zB  z A )2

n  ( )
 x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC 
G A B C ; A
;

3
3
3



Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :

Phiếu học tập số 4:
Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB )
Nối Cột A với Cột B để được Mệnh đề đúng
A
B
2

2

2

(S ) : (x - a ) + (y - b) + (z - c )



= R2

Có véc tơ pháp tuyến là n  (A; B; C)
Mặt cầu (S) có tâm I (a ;b; c ), bán kính R > 0

Mặt phẳng có phương trình:
Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0 )


Khoảng cách từ M 0 (x 0 ; y0 ; z0 ) đến  



n  0 là VTPT của mp(  ) nếu

d ( M 0 , (a )) =



| Ax0 + By0 + Cz0 + D |

n  ( )

A2 + B 2 + C 2
 x  x0  a1t

 y  y0  a2t ;  t  
z  z  a t

0
2

nhận vectơ a   a1; a2 ; a3  với
a12  a2 2  a32  0 làm vectơ chỉ phương

Sau khi cho các nhóm thực hiện 4 phiếu học tập trên tơi tiếp tục cho các nhóm thực hiện
tiếp các phiếu học tập ở mức độ nhận thức cao hơn.
Phiếu học tập số 5
Điền vào chỗ trống để được mệnh đề đúng
Câu 1 . Mặt cầu (S) có tâm I (a ;b; c ), bán kính R > 0 , có phương trình
2

2

(S ) : (x - ...) + (y - b) + (z -

2

....) = .....2

Câu 2. Mặt phẳng có phương trình: Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2  0 ) Có một véc tơ
pháp tuyến là n  (.....;....;.....)
Câu 3. Tích vơ hướng của hai véc tơ được tính bằng cơng thức a.b  a1b1  ....b2  a3...
Câu 4. Độ dài véc tơ a  (a1; a2 ; a3 ) là: ...  a12  .....  a32
9


Câu 5. Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) Điều kiện để hai véc tơ vng góc với nhau là
a  b  ....b1  a2 ....  a3b3  0

Câu 6. Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) tọa độ véc tơ AB  (....  xA ; yB  ......;.......)
Câu 7. Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) tọa độ trung điểm của AB là
z  ..... 
 ......  xB
M
;........; A


2
2 

Câu 8. Tọa độ hình chiếu của M ( x; y; z ) lên trục 0x là M '(...; 0; ....)
Câu 9: Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) Điều kiện để hai véc tơ cùng Phương với nhau là

a  kb 

a1 .... a3
 
(b1. b2 . b3  0)
b1 b2 ....

Sau khi thực hiện xong các phiếu học tập tôi đánh giá được phần nào được
lượng kiến thức mà các em đã nhận thức được tôi xây dựng hệ thống câu hỏi theo hình
thức chiếc nón kì diệu mỗi câu hỏi là một ơ . Đến lượt của mình lên quay, quay được
vào câu hỏi nào thì sẽ thì trả lời câu hỏi đó các câu hỏi này vẫn là các câu hỏi lý thuyết
như ở trên . Trả lời đúng sẽ có thưởng trả lời sai sẽ bị phạt. Để thực hiện hoạt động này
tôi sử dụng trang Wheel of name.com .Với mong muốn thay đổi hình thức học tập tạo
sân chơi cho các em để các em thấy sự thoải mái thú vị khi học toán. Toán học khơng
cịn khơ khan với các em khơng chỉ cịn là các con số nhảy múa trên bảng .

10


Giai đoạn 3 : Vận dụng kiến thức vào các bài toán trong các đề minh họa của bộ giáo
dục .
Giai đoạn này chính là đoạn quyết định sự thành công của cả hai giai đoạn trên .
Sau khi đánh giá được lượng kiến thức của các em tôi bắt đầu xây dựng hệ thống câu hỏi
trắc nghiệm với mức độ ban đầu là nhận biết. Các câu hỏi có tính lặp đi lặp lại vừa để
để các em ghi nhớ kiến thức tái tạo lại kiến thức trong suy nghĩ sau đó yêu cầu các em
mỗi bạn trong nhóm lấy 1 đến 2 ví dụ tương tự và giao nhiệm vụ cho nhóm khác làm để
các em chủ động trong quá trình học hỏi nhận thức. Để các em nhận thấy đề thi tốt
nghiệp mình cũng có thể tự làm được đúng không phải khoanh bừa không phải đi hỏi
các bạn trang bị cho các em sự tự tin khi đã nắm được kiến thức.
II-Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm vận dụng kiến thức, phát triển năng lực

(ĐỀ MINH HỌA 2020-2021) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;1; 2) và B (3;1; 0) .
Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là
A. (4; 2; 2) .
B. (2;1;1) .
C. (2; 0; 2) .
D. (1; 0; 1) .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm tọa độ điểm trong hệ trục tọa độ trong không
gian.
11


2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Áp dụng công thức
B2: Thế số vào, suy ra kết quả
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Trung điểm I của AB có tọa độ là xI =

3+ 1
1+ 1
2+ 0
= 2, y I =
= 1, z I =
= 1.
2
2
2

Bài tập tương tự và phát triển:

Câu 1. Trong không gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm A  3;5;12 trên trục Ox
có tọa độ là
A.  0;5;12 .
B.  0;5;0 .
C.  3;0;0  .
D.  0;0;12  .
Lời giải
Hình chiếu vng góc của điểm A  3;5;12 trên trục Ox có tọa độ là  3;0;0  .
Câu 2. Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của điểm M  7;  7;1 trên mặt
phẳng  Oxy  có tọa độ là
A.  7;0;1 .

B.  7;  7;0 .

A.  5;0;0 .

B.  5; 11; 0 .

C.  0;  7;1 .
D.  0;0;1 .
Lời giải
Hình chiếu của điểm M  7;  7;1 trên mặt phẳng  Oxy  là điểm M   7;  7;0 .
Câu 3. Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc của M  5; 11; 2 trên mặt phẳng
 Oyz  là
C.  5; 0; 2 .
D.  0; 11; 2 .
Lời giải
Hình chiếu vng góc của M  5; 11; 2 trên mặt phẳng  Oyz  là  0; 11; 2
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 7;2 và B  3; 1;4 . Trung điểm của
đoạn AB có tọa độ là A. 1;3;1 . B.  4; 8;6 . C.  2; 4;3 . D.  2; 4;3 .

Lời giải
x A  xB 1  3

 xI  2  2  2

7   1
y y

 4
Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Ta có  yI  A B 
2
2

z A  zB 2  4

 zI  2  2  3

 I  2; 4;3 .

Câu 5. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;  2  và B  2;2;9 . Vectơ AB có tọa
độ là
A.  1; 1; 11
B.  3;1;7 
C. 1;1;11
D.  3;3;  7 
Lời giải
AB   2  1; 2  1;9   2   hay AB  1;1;11 .
12

Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A  2;2;10 . Tính độ dài đoạn
thẳng OA .
A. OA  14
B. OA  14
C. OA  6 3
D. OA  108
Lời giải
OA  22  22  102  6 3 .
Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho a  7i  2 j  3k . Tọa độ của
vectơ a là
A.  7;2; 3 .
B.  2; 3; 7  .
C.  2; 7; 3 .
D.  3;2; 7  .
a  7i  2 j  3k  a  7; 2; 3 .

Lời giải

Câu 8. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm
A 1; 2;3 , B  1;2;5 , C 3;6;1 . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC .
A. G 1; 2;3 .
B. G  3;6;9 .
C. G  1;2;3 .
D. G 1; 2;1 .
Lời giải
Toạ độ trong tâm G của tam giác ABC bằng
x A  xB  xC 1  1  3


1

 xG 
3
3

y A  yB  yC 2  2  6


 2  G 1; 2;3
 yG 
3
3

z A  z B  zC 3  5  1


3
 zG 
3
3


Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u   5;0;1 và v   2;1;0  . Tính
tích vơ hướng u.v . A. u.v  12 .
D. u.v  10 .

B. u.v  10 .

C. u.v  0 .

Lời giải

Ta có u.v  5.2  0.1 1.0  10 .
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M thoả mãn OM  2k  9 j . Tìm
toạ độ điểm M .
A. M  2;9;0 .
B. M 9;0; 2 .
C. M 9; 2;0 .
D. M  0;9; 2 .
Lời giải
Ta có: OM  2k  9 j nên M  0;9; 2 .
ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng nào
dưới đây đi qua điểm M 1; 2;1 ?
A.  P1  : x  y  z  0 .
B.  P2  : x  y  z 1  0 .
C.  P3  : x  2 y  z  0 .
D.  P4  : x  2 y  z 1  0 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn kiểm tra một điểm có thuộc mặt phẳng khơng.
2. HƯỚNG GIẢI:
13


B1:Thay toạ độ các điểm cần kiểm tra vào phương trình mặt phẳng, kiểm tra tính
đúng–sai của mệnh đề.
B2: Kết quả vừa kiểm tra suy ra kết luận quân hệ thuộc giữa điểm và mặt phẳng.
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải
Thay toạ độ điểm M 1; 2;1 vào các phương trình mặt phẳng ở các đáp án.
Nhận thấy chỉ có đáp án A thoả mãn.
Bài tập tương tự và phát triển:
x

1

y
2

z
3

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  :    1. Điểm
nào sau đây thuộc mặt phẳng  P  ?
A. A  4;2;3 .
B. B 1;2;3 .

C. C  0;2;5 .

D. D  2;1;1 .

Lời giải
Thay toạ độ điểm ở các đáp án vào phương trình mặt thẳng, nhận thấy đáp án
thoả mãn là đáp án A  4;2;3 .
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  1  0 . Điểm
nào sau đây
thuộc mặt phẳng  P  ?
A. A  0;1;2 .
B. B 1;1;0  .
C. C  0; 2;1 .
D. D 1;0;1 .
Lời giải
Thay toạ độ điểm ở các đáp án vào phương trình mặt thẳng, đáp án thoả mãn là
B 1;1;0  .

Câu 3. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : z  2x  3  0 .
Một vectơ pháp tuyến của  P  là:A. n   2;0;1 . B. w  1; 2;0 .
C.
D. v  1; 2;3
u   0;1; 2  .
Lời giải
z  2x  3  0 là phương trình mặt phẳng ở dạng: ax  by  cz  d  0 . Nên véc tơ
pháp tuyến n   a; b; c   n   2;0;1 .
Câu 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây đi qua 3 điểm
A  2;0;0 , B  0;3;0 , C  0;0;5 ?
x
3

y
2

z
5

A.    1 .

B.

x y z
   1.
2 3 5

C.

x y z

x y z
   1  0 . D.    1 .
2 3 5
5 3 2

Lời giải
Mặt phẳng có phương trình dạng:
x y z
   1.
2 3 5

x y z
  1,
a b c

nên có phương trình:

Câu 5. Trong khơng gian Oxyz , điểm N  1;1;1 thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
14


A. 2  x  1   y 1  2  z  1  0 .
C. 2  x  1   y 1  2  z 1  0 .

B. 2  x 1   y 1  2  z  1  0 .
D. 2  x  1   y 1   z  1  1 .
Lời giải:
Thay toạ độ điểm N  1;1;1 vào các phương trình mặt phẳng ở các đáp án, đáp
án thoả mãn là C.
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng nào dưới đây có véc tơ pháp

tuyến n  1; 2;3 ?
A. 2 x  4 y  6 z  1  0 . B.  x  2 y  3z  2  0 .
C. x  2z  3  0 .
D. x  2 y  3  0 .
Lời giải
Mặt phẳng có phương trình  x  2 y  3z  2  0 , nên có n   1; 2; 3   1; 2;3 .
Câu 7. Trong không gian Oxyz , điểm N  1;2;4 thuộc mặt phẳng nào dưới đây?
x
1

A. 

y z
  1.
2 4

B.

x y z

 1.
1 2 3

C.

x y z
   1.
1 2 4

D.

x y z
   1 .
1 2 4

Lời giải:
Thay toạ độ điểm N  1;2;4 vào các phương án, đáp án thoả mãn là
x y z

  1.
1 2 4

Câu 8. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng
điểm sau đây?
A. A 1;0;0 .

B. B  0;3;0 .

x y z
  1
2 3 1

đi qua điểm nào trong các

C. C  3;0;0 .
Lời giải:

D. D  0;0;1 .

Mặt phẳng đã cho đi qua các điểm:  2;0;0 ,  0;3;0 ,  0;0; 1 nên đi qua B  0;3;0 .

x y z
   1 có véc tơ pháp tuyến?
2 3 1

Câu 9. Trong không gian Oxyz , mặt phẳng


A. n   ; ; 1 .
1 1
2 3





B. n   1; ;1 .


1
3 

C. n   3; 2; 1 .

D. n   3;2;3 .

Lời giải:
x y z
x y z
1 1


   1     1  0  n   ; ; 1 .
2 3 1
2 3 1
2 3

Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng   : x  3  0 song song với

Mặt phẳng

mặt phẳng nào sau đây?
A. x  3  0 .
B. y  3  0 .

C. z  3  0 .
Lời giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song:

D. x  y  z  3  0 .

a b c d
  
nên chọn A.
a' b' c' d '

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong khơng gian mặt cầu có tâm là gốc
tọa độ O  0;0;0 và đi qua điểm M  0;0;2 có phương trình là
A. x2  y 2  z 2  2 .
B. x2  y 2  z 2  4 .
2

2
C. x 2  y 2   z  2   4 .
D. x 2  y 2   z  2   2 .
15


Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn lập phương trình mặt cầu khi biết tâm của nó.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định bán kính R của mặt cầu
B2: Lập phương trình mặt cầu có tâm là O  0;0;0 và bán kính R
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Ta có mặt cầu  S  có tâm là O  0;0;0 và đi qua M  0;0;2 có bán kính là: R  IM  2 .
Vậy  S  : x 2  y 2   z  2   4 .
2

Bài tập tương tự và phát triển:
Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z  9  0 . Tọa độ
tâm I của mặt cầu là
A. I  1;2;  3 .
B. I 1;  2;3 .
C. I 1;2;3 .
D. I  1;  2;  3 .
Lời giải
 Ta có x  y  z  2 x  4 y  6z  9  0   x  1   y  2    z  3  5 .
 Vậy mặt cầu có tâm I 1;  2;3 .
2

2

2

2

2

2

Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu có phương trình  x  1   y  3  z 2  9 .
Tọa độ tâm I của mặt cầu đó là
A. I  1;3;0 .
B. I 1;3;0 .
C. I 1; 3;0 .
D. I  1; 3;0 .
2

2

Lời giải
Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 2y + 4z + 2 = 0. Độ dài

Câu 3.
đường

kính của mặt cầu (S ) bằng
A. 2 3.
B. 3.

C. 2.

D. 1.

Lời giải
 Mặt cầu (S ) có bán kính: R = 0 + 1 + 4 - 2 = 3
 Đường kính của nó bằng: 2 R  2 3 .
2
2
Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z 2  9 .
Khối cầu  S  có thể tích bằng
B. V  36 .

A. V  16 .

C. V  14 .

D. V 

4
.
36

.
Lời giải
 Mặt cầu  S  :  x  1   y  2   z  9 có tâm là 1; 2;0  , bán kính R  3 .
2

2

2

4
3

 Thể tích khối cầu V   R3  36 .

16


Câu 5 Trong khơng gian Oxyz , phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (- 1;2; 0), bán kính
R = 4 là
A. (x + 1)2 + (y - 2)2 + z 2 = 4 .
B. (x + 1)2 + (y - 2)2 + z 2 = 16 .
C. (x - 1)2 + (y + 2)2 + z 2 = 16 .
D. (x + 1)2 + (y - 2)2 + z 2 = 4 .
Lời giải
Phương trình mặt cầu (S ) có tâm I (- 1;2; 0), bán kính R = 4 là
(x + 1)2 + (y - 2)2 + z 2 = 16 .

Câu 6. Trong không gian Oxyz , Cho mặt cầu  S  3x2  3 y 2  3z 2  6 x  12 y 18z  3  0 . Tâm
của
(S ) có tọa độ là
A. I  3;  6;9 .
B. I 1;2;  3 .
C. I  1;  2;3 .
D. I  3;6; 9 .
Lời giải
2
2
2

 Ta có 3x  3 y  3z  6 x  12 y  18z  3  0  x2  y 2  z 2  2 x  4 y  6 z 1  0 .
 Mặt cầu  S  có tâm là I  1;  2;3 .
Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  x 2  y 2   z  3  34
.Điểm nào dưới đây thuộc  S 
A. M  5;0;0 .
B. N  0;6;0  .
C. P  0;0;  5 .
D. Q  0;0;5 .
Lời giải
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm
M thỏa mãn.
2

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x2  y 2  z 2  2 y 1  0 .
Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu  S  ?
A. M 1;1;1
B. N  0;1;0
C. P 1;0;1
D. Q 1;1;0
Lời giải
 Mặt cầu  S  có tâm I  0;1;0  , bán kính R  2 .
 Khoảng cách từ các điểm đã cho tới tâm mặt cầu:
MI  2  R ; NI  0  R , PI  3  R , QI  1  R . Do đó điểm P nằm ngồi mặt
cầu.
Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x 2  y 2  z 2  2 x  4 y  4 z  16  0 có tâm
I  a; b; c  và bán kính r . Khi đó, giá trị của biểu thức L  a  b  c  r bằng
A. 24 .
B. 26 .
C. 6 .
D. 4 .

Lời giải:
 Mặt cầu  S  có tâm I 1; 2;2 và bán kính r  1  4  4  16  5 .
 Vậy L  a  b  c  r  6 .
Câu 10. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu có tâm I  1;1;0 ?
A. x2  y 2  z 2  2 x  2 y  0. .
B. x2  y 2  z 2  2 x  2 y  1  0. .
2
2
C. 2 x 2  2 y 2   x  y   z 2  2 x  1  2 xy. .
D.  x  y   2 xy  z 2  1  4 x. .
17


ĐỀ MINH HỌA - BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là
một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm M 1; 2;1 .
B. u2  1; 2;1 .
C. u3   0;1;0  .
D. u4  1;  2;1 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm tọa độ vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua
hai điểm trong không gian Oxyz .
2. HƯỚNG GIẢI: Đường thẳng đi qua hai điểm O và M nhận vectơ OM hoặc MO
làm vectơ chỉ phương.
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Ta có: OM  1; 2;1 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng OM .
Bài tập tương tự và phát triển
Câu 1. Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A 1;2;3 và B  3; 2; 1 có tọa độ là
A.  1;2;2 .

B. 1;2;2 .
C.  2;4;4  .
D.  2;0;1 .
Lời giải
Ta có: AB   2; 4; 4   AB  2u với u   1; 2; 2  .
Ta chọn u   1; 2; 2  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A 1;2;3 và B  3; 2; 1 .
Câu 2.
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  3;2;2 , B  0; 1;2 , C 1;1;3 , một vectơ
chỉ phương của đường thẳng  đi qua C và song song với AB có tọa độ là
A. u1  1;1;1 .

A.  3;3;3 .

B. 1; 1;0 .

C. 1; 1;1 .

3 1
D.   ; ; 2  .
 2 2



Vì  song song với AB , nên AB là một vectơ chỉ phương của  .
Ta có: AB   3; 3;0   AB  3u với u  1;  1;0  .
Câu 3.

Ta chọn u  1;  1;0  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng  .
Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng  đi qua điểm

A 1;3; 5 và vng góc với mặt phẳng   : x  2 y  3z  4  0 có tọa độ là
A.  5;3;1 .
B. 1;3; 4 .
C. 1; 2;3 .
D.  2;3; 4 .
Lời giải
Mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến n  1; 2;3 .
Vì      vectơ chỉ phương của  : u  n  1; 2;3 .

Câu 4.

x  0

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :  y  t
. Một vectơ chỉ phương
z  2  t


của đường thẳng  có tọa độ là
A. 1;0; 1 .
B.  0;1;1 .

C.  0;1;2 .
Lời giải
18

D.  0;2; 2 .


Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng  , ta thấy  có một vectơ chỉ

phương u   0;1; 1 . Chọn u  2u   0; 2; 2  là một vectơ chỉ phương khác của
.
Câu 5.

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :

x 1 y  3

 z  3 . Một vectơ chỉ
2
3

phương của đường thẳng  có tọa độ là
A. 1; 3;3 .
B.  1;3; 3 .
C.  2; 3;0 .
Lời giải

D.  2; 3;1 .

x 1 y  3
x 1 y  3 z  3
. Dựa vào phương trình chính tắc

 z 3 


2
3
2

3
1
của đường thẳng, ta thấy  có một vectơ chỉ phương u   2; 3;1 .

Ta có:

Câu 6.

Câu 7.

Trong khơng gian Oxyz , một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy có
tọa độ là
A.  0;1;2020 .
B. 1;1;1 .
C.  0;2020;0 .
D. 1;0;0 .
Lời giải
Ta có, một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa trục Oy là j   0;1;0  .
Chọn u  2020 j   0; 2020;0  làm một vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa
trục Oy .
x  t
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  :  y  1  2t . Một vectơ chỉ phương
 z  2  3t


của đường thẳng d song song với đường thẳng  có tọa độ là
A.  0;1;2 .
B. 1; 2; 3 .
C.  1; 2;3 .
D. 1;1; 2  .

Lời giải
Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là u  1; 2; 3 .
Câu 8.

Câu 9.

Vì d song song với  nên vectơ chỉ phương của d là ud  u  1; 2; 3 .
Trong không gian Oxyz , một vectơ chỉ phương u của đường thẳng  cùng
phương với vectơ a  3i  5 j  4k có tọa độ là
A.  3; 5;4 .
B.  4;  5;3 .
C.  3;0; 4  .
D.  3; 5;4 .
Lời giải
Ta có a  3i  5 j  4k  a   3; 5; 4 
Vì u cùng phương với a , nên ta chọn một vectơ chỉ phương của  là
u  a   3; 5; 4  .
Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;1;1 , B  1;1;0 , C 1;3;2 .
Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC nhận vectơ nào dưới
đây làm một vectơ chỉ phương?
A. 1;1;0 .
B.  0; 2;1 .
C.  2;1;0 .
D.  2021; 2021;0
.
Lời giải
19


1  1


x

0
M

2

1 3
Gọi M là trung điểm của BC thì M  yM 
 2  M  0; 2;1 , suy ra
2

02

 zM  2  1

AM   1;1;0 

Ta có đường thẳng AM nhận u  2021AM   2021; 2021;0  làm một vectơ chỉ
phương.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;0; 2 , B  2; 3; 4  , C 3;0; 3
. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Vectơ nào sau đây là một vectơ chỉ phương
của đường thẳng OG ?
A.  2;1;3 .
B.  3;  2;1 .
C.  2;1;3 .
D.  1; 3;2 .
Lời giải
1 2  3


2
 xG 
3

03 0
Vì G là trọng tam tam giác ABC  G  yG 
 1 . Vậy G  2; 1; 3 .
3

2  4  3

 3
 zG 
3

Ta có: OG   2; 1; 3 .

Ta có đường thẳng OG nhận u  OG   2;1;3 làm một vectơ chỉ phương.
(ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua hai
điểm A 1; 2 ; 1 ; B  2 ; 1;1 có phương trình tham số là
x  1 t
B.  y  2  3t .
 z  1  2t


x  1 t
A.  y  2  3t .
 z  1  2t


x  1 t
C.  y  3  2t .
z  2  t


x  1 t
D.  y  1  2t .
 z  t


Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2
điểm cho trước.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Tìm tọa độ véc tơ chỉ phương AB
B2: Viết phương trình tham số của đường thẳng AB .
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Ta có AB  1;  3 ; 2  là véctơ chỉ phương của đường thẳng AB
Vậy đường thẳng AB đi qua điểm A 1; 2 ; 1 có VTCP u  1;  3 ; 2  nên phương trình
x  1 t
tham số của AB là  y  2  3t
 z  1  2t


 t 

Bài tập tương tự và phát triển:
20

Câu 1. Trong không gian với hệ trục

Oxyz ,

cho tam giác ABC có A  1;3;2 , B  2;0;5

và C  0; 2;1 . Phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC là.
A.

x 1 y  3 z  2
.


2
4
1

B.

C.

x 1 y  3 z  2
.


2
4
1

D.

x 1 y  3 z  2
.


2
2
4

x  2 y  4 z 1
.


1
3
2

Lời giải
Ta có: M 1; 1;3 ; AM   2; 4;1 . Phương trình AM :

x 1 y  3 z  2
.


2
4
1

Câu 2. Trong không gian Oxyz, đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ
phương u  1; 2;3 có phương trình:
x  0

A. d :  y  2t .
 z  3t


 x  t

B. d :  y  2t .
 z  3t


x  1

C. d :  y  2 .
z  3


x  t

D. d :  y  3t .
 z  2t


Lời giải
Vì d có vectơ chỉ phương là u  1; 2;3 nên nó cũng có một vectơ chỉ phương
 x  t


là u   1; 2; 3  Ptts d :  y  2t .
 z  3t


Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 3; 2; 2 , B  4; 1;0 . Viết
phương trình tham số của đường thẳng  qua hai điểm A và B.
 x  1  3t

A.  :  y  3  2t .
 z  2  2t


 x  1  4t

B.  :  y  3  t .
 z  2


 x  3  4t

C.  :  y  2  t .
z  2


x  3  t

D.  :  y  2  3t .
 z  2  2t


Lời giải
Ta có AB  1; 3; 2  là VTCP của  hay và u   1; 3; 2  cũng là VTCP của 
.
 đi qua A  3; 2; 2 .
x  3  t

Phương trình đường thẳng  là:  y  2  3t .
 z  2  2t


Câu 4. Trong không gian
x  0

A.  y  1
z  t


Oxyz ,

đường thẳng chứa trục

x  0

B.  y  t
z  0


Oy

x  t


C.  y  0
z  0


21

có phương trình tham số là
x  0

D.  y  0
z  t



Trục

Oy

qua O  0;0;0 và có vectơ chỉ phương j   0;1;0  nên có phương trình

x  0

y  t .
z  0


Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;  3 , B  3; 1;1 . Tìm
phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và B .
A. x  1  y  2  z  3 .

B. x  3  y  1  z  1 .
2
3
4
x 1 y  2 z  3
C.
.


2
3
4
x 1 y  2 z  3
.


3
1
1

1

2

3

D.

Lời giải
Véctơ chỉ phương của đường thẳng AB là AB  (2; 3;4) .

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và B là

x 1 y  2 z  3
.


2
3
4

Câu 6. Viết phương trình tham số của đường thẳng  D  qua I  1;5;2 và song song với
trục Ox.
 x  2t

A.  y  10t ; t  .
 z  4t


x  t 1

B.  y  5 ; t 
z  2


 x  2t

và  y  10t ; t  .
 z  4t


x  t 1

C.  y  5 ; t 
z  2


 x  m

D.  y  5m ; m 
 z  2m


.

.

Lời giải

D / /  Ox   Vectơ chỉ phương của  D  : e1  1;0;0  .

Ta có đường thẳng  D  qua I  1;5;2 .
x  t 1

  D :  y  5 ; t 
z  2


.

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;3; 1 , B 1;2;4 . Phương

trình đường thẳng nào được cho dưới đây khơng phải là phương trình đường
thẳng AB .
A. x  1  y  2  z  4 .
B. x  2  y  3  z  1 .
1

1

5

1

x  1 t

D.  y  2  t .
 z  4  5t


x  2  t

C.  y  3  t .
 z  1  5t


AB   1; 1;5 .

1

Lời giải
22

5


Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng AB đi qua điểm A  2;3; 1 và
nhận BA  1;1; 5 làm vectơ chỉ phương là :
 Xét phương án A.

x 1 y  2 z  4


1
1
5

x  2 y  3 z 1
.


1
1
5

là phương trình đường thẳng AB vì

đường thẳng này đi qua B 1; 2; 4  và nhận BA  1;1; 5 làm vectơ chỉ phương.
x  2 y  3 z 1


1

1
5
xA  2 y A  3 z A  1
.


1
1
5

 Xét phương án B.
thẳng AB vì

khơng phải là phương trình đường

x  2  t

 Xét phương án C.  y  3  t là phương trình tham số của đường thẳng AB vì
 z  1  5t


đường thẳng này đi qua A  2;3; 1 và nhận AB   1; 1;5 làm vectơ chỉ
phương.

x  1 t

 Xét phương án D.  y  2  t là phương trình đường thẳng AB vì đường
 z  4  5t


thẳng này đi qua B 1; 2; 4  và nhận AB   1; 1;5 làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương án B khơng phải là phương trình đường thẳng AB. .
.
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;2; 3 , B  2;3;1 . Đường
thẳng đi qua A 1;2; 3 và song song với OB có phương trình là
 x  1  2t

A.  y  2  3t .
 z  3  t


 x  1  2t

C.  y  2  3t .
 z  3  t


 x  1  4t

B.  y  2  6t .
 z  3  2t


 x  2  t

D.  y  3  2t .
 z  1  3t


Lời giải

Chọn OB   2;3;1 là vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tìm.
 x  1  2t

Phương trình đường thẳng qua A 1;2; 3 và song song với OB là  y  2  3t .
 z  3  t


Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz ,

đường thẳng  đi qua A  2; 1;2 và nhận

u  1;2; 1 làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là :

A.
C

B.  : x  1 

x 1 y  2 z 1
.


2
1
2
x  2 y 1 z  2
.
:



1
2
1
:

D.
Lời giải

23

y  2 z 1
.

2
1
2
x  2 y 1 z  2
.
:


1
2
1


Đường thẳng  đi qua A  2; 1;2 và nhận u  1;2; 1 làm vectơ chỉ phương có
phương trình chính tắc là :

:

x  2 y 1 z  2


1
2
1

.

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 1;1;0 ; B  0;1;2 . Vectơ nào
dưới đây là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB ?
A. a   1;0; 2  .
B. b   1;0; 2  .
D. d   1;1;2  .

C. c  1; 2; 2  .

Lời giải
AB   1;0; 2  là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng AB .
3.Khả năng áp dụng của giải pháp:
Sáng kiến của tôi đã được áp dụng cho học sinh các lớp yếu kém ( điểm thi thử
dưới 2,5) năm học 2020– 2021 và học sinh yếu Khối 12 năm học 2021 - 2022 tại trường
THPT Trần Nhật Duật. Các ví dụ minh họa bám sát với thực tế và phù hợp với đối tượng
học sinh, bản thân tơi nhận thấy, các bài tốn về phần hình học 0xyz là một mảng kiến
thức trọng tâm đối với chương trình giáo dục phổ thơng.
4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp:
Học sinh sau khi tiếp cận với sáng kiến “Một số giải pháp hiệu quả hướng dẫn học

sinh yếu kém ôn thi tốt nghiệp THPT phần hình học khơng gian Oxyz”.
Đồi với học sinh: thơng qua q trình nghiên cứu và giảng dạy phần chuyên
đề“Một số giải pháp hiệu quả hướng dẫn học sinh yếu kém ơn thi tốt nghiệp THPT
phần hình học khơng gian Oxyz” đã phát huy được tính tích cực, sáng tạo của học
sinh, khơi dậy tinh thần ham học hỏi chiếm lĩnh kiến thức của các em. Học sinh đã biết
vận dụng các kiến thức cơ bản vào việc giải toán; biết biến kiến thức phức tạp thành kiến
thức đơn giản; biết tổng hợp kiến thức cũng như phương pháp giải một cách tổng quát
nhất, đặc biệt hơn là áp dụng phương pháp và đạt được kết quả nhất định trong q trình
ơn luyện.
Đối với giáo viên: qua sáng kiến này, sản phẩm tôi thu được là niềm đam mê học tốn
của thầy và trị, những kĩ năng được trang bị làm cho tư duy người dạy cũng như người
học ngày một phát triển, nâng cao chuyên môn nghệp vụ cho giáo viên. Sáng kiến kinh
nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng rộng rãi trong toàn bộ học sinh khối 12. Đặc
biệt dùng để ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc gia.
Kết quả áp dụng sáng kiến thông qua các bài kiểm tra của nhà trường.
Bảng tổng hợp kết quả thi thử mơn tốn và điểm thi tốt nghiệp mơn tốn của đối tượng
học sinh yếu kém năm học 2020- 2021 trường THPT Trần Nhật Duật
STT
1
2
3
4

Họ và tên
Nguyễn Lan Anh
Nguyễn Phương Mai Anh
Trần Phương Anh
Dương Thị Bình
Dương Tuấn Đạt

Điểm thi thử
2,4
1,8
2
2,4
1,4
24

Điểm thi tốt
nghiệp
6,4
4,8
4,8
3,2
5,2

Ghi chú


5 Lê Mạnh Đức
1,4
7
6 Vũ Thị Thanh Dung
2,6
5,8
7 Nguyễn Mạnh Dũng
2,2
5,6
8 Nguyễn Thị Hương Giang
2,4

6,6
9 Hoàng Thị Thu Hà
2,4
7,4
10 Đặng Mai Hạ
2,2
5
11 Mai Thanh Hải
2,4
4,4
12 Nguyễn Thúy Hiền
1,4
4,2
13 Nguyễn Vũ Tuấn Hùng
2,4
6
14 Mai Lan Hương
1,8
2,6
15 Đào Mỹ Lệ
2,2
4,4
16 Tống Khánh Linh
2
2,8
17 Trương Ngọc Linh
2
4,6
18 Lương Thị Phương Linh
2

5,8
19 Đặng Duy Long
1,6
5,6
20 Bùi Hoàng Nam
2
6,2
21 Lương thị Thúy Nga
2,4
6,4
22 Lương Hồng Ngọc
2
4,4
23 Phạm Bảo Nhi
1,8
3,4
24 Hoàng Yến Nhi
1,8
7
25 Đào Quốc Quân
2,2
5
26 Hoàng Minh Quân
2
4
27 Dương Văn Quang
2,2
6,2
28 Nguyễn Quốc Quảng
1,8

4,4
29 Dương Anh Tài
2,2
5,6
30 Lý Phương Thảo
1,4
6,4
31 Nguyễn thị Thanh Thảo
1,6
6,4
32 Đỗ Minh Tiến
2,2
6,6
33 Triệu Khánh Toàn
2,2
4,2
34 Mai Thùy Uyên
2,2
6,4
5.Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Áp dụng đối với của học sinh lớp 12 khi học phần hình học không gian oxyz và ôn thi
tốt nghiệp trong các trường THPT.
Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến lần đầu.
Nơi cơng tác

Chức
danh

Trình độ
chun

mơn

Nội dung cơng
việc hỗ trợ

1977

THPT Trần Nhật
Duật

Giáo
viên

Thạc sĩ

Áp dụng để ôn
luyện thi

1974

THPT Trần Nhật
Duật

Giáo
viên

Đại học

Áp dụng để ơn
luyện thi

Họ và tên

Năm
sinh

1

Hồng Thị
Quỳnh Liên

2

Nguyễn Thị
Lan

T
T

25