Một số phương pháp trong hướng dẫn học sinh khai thác bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH YÊN BÁI
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN

BÁO CÁO SÁNG KIẾN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN CẤP CƠ SỞ
MỘT SỐ KINH NGHIỆM TRONG VIỆC HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC BÀI TOÁN
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT
PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ

Tác giả : Nguyễn Thị Kim Chang
Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn học
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác:Trường THPT Lê Quý Đôn

Yên Bái ,tháng 12 năm 2022

1


I. THÔNG TIN CHUNG.
1. Tên sáng kiến: “Một số kinh nghiệm trong hướng dẫn học sinh khai
thác bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải phương
trình, bất phương trình có chứa tham số”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và Đào tạo
3. Phạm vi áp dụng sáng kiến: Sáng kiến có thể áp dụng cho các trường THPT
trong tỉnh và ở các tỉnh khác
4. Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ ngày 01 tháng 09 năm 2018 đến ngày 28
tháng 09 năm 2021
5. Tác giả:
Họ và tên: Nguyễn Thị Kim Chang
Năm sinh: 1983
Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn

Chức vụ công tác: Giáo viên
Nơi làm việc: Trường THPT Lê Quý Đôn
Địa chỉ liên hệ: Trường THPT Lê Quý Đôn
Điện thoại: 0945754575
II . MƠ TẢ SÁNG KIẾN
1. Tình trạng các giải pháp đã biết
1.1 Phân tích thực trạng của vấn đề
Thực tế hiện nay trong dạy học phần lớn giáo viên dựa trên các bài học được
thiết kế của sách giáo khoa, việc mở rộng khắc sâu theo định hướng phát triển năng
lực cho người học tùy thuộc vào năng lực sư phạm, sự đầu tư nghiên cứu và nhiệt
huyết của mỗi giáo viên.
Đối với học sinh thường có tâm lý thỏa mãn, thụ động trong học tập, phần lớn
các em chỉ học thuộc lòng phần nổi của các khái niệm, định lý ..ít khi vận dụng
khai thác sâu nên chỉ có thể làm được các bài tập nhận biết và đơi khi cịn mắc sai
lầm ở các dạng câu hỏi đơn giản; việc tìm hiểu một vấn đề một cách thấu đáo đối
học sinh thực sự khó khăn. Chính vì vậy người học thường mắc sai lầm và gặp khó
khăn trong khi giải toán, đặc biệt là các bài toán về tốn Giải tích.
Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một phần của
chương trình bộ mơn Tốn mà học sinh được tiếp cận bắt đầu từ chương trình
Tốn THCS và các kết quả của nó được chính xác hóa trong chương trình lớp 11
và lớp 12 đặc biệt sau khi tiếp cận khái niệm giới hạn của hàm số, hàm số liên tục
được phát triển đến hết bậc THPT, CĐ-ĐH; các tính chất, khái niệm và ứng dụng
của bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số xuất hiện trong đề thi
ĐH-CĐ các năm trước đây và thi THPTQG và thi TN THPT hiện nay và trong đề
thi học sinh giỏi mơn Tốn lớp 12 THPT cấp tỉnh tùy vào tính chất, mục tiêu của
cuộc thi có độ khó dễ khác nhau. Khi học, giải tốn về nội dung này qua thực tiễn
ở trường THPT các tác giả nhận thấy học thường gặp khó khăn trong tiếp cận vấn
đề, thường mắc những sai lầm căn bản trong đánh giá để xác định giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số có tồn tại hay khơng và trong trường các hợp nào .
2

Có thể chỉ ra sai lầm như câu hỏi : Hãy tìm giá trị nhỏ nhất hàm số
1
3
f (x ) = x + , x ³
x
2

một số học sinh sẽ mắc sai lầm f (x ) = x +

1
³ 2 từ đó
x

suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2.
Từ nhận thức sai lệch nội dung và hiểu sai các khái niệm cơ bản dẫn tới kết quả
học tập và thi của học sinh không tốt khi thực hiện các bài thi và kiểm tra.
Mơn tốn nói chung là một mơn học khó với một số người học và Giải tích
tốn nói riêng là một nội dung khó đối với đa số người học. Nhưng cũng như nhiều
bộ mơn học khác nếu người thầy có phương pháp sư phạm phù hợp sẽ truyền được
cảm hứng cho người học trong đó có tốn học, nó là mơn học rất quan trọng khơng
thể thiếu trong q trình học tập, nghiên cứu và cả cuộc sống hàng ngày.
Như các môn học khác người học phải nắm vững các kiến thức từ thấp đến cao,
với mơn tốn u cầu cần phải cao hơn phải học toán thường xuyên liên tục, biết
quan sát, dự đoán, phối hợp và sáng tạo, phải tự lực tiếp thu qua hoạt động đích
thực của bản thân.
Trong các mơn học ở trường phổ thơng, mơn tốn được xem là môn học cơ bản,
là nền tảng, là công cụ để học sinh tiếp thu và học tập các môn học khác đặc biệt
trực tiếp là các môn khoa học tự nhiên như Tin học, Vật lí, Hóa học, Sinh học, Cơng

nghệ, Địa lí…. Tuy nhiên để học sinh học tập tốt mơn tốn thì mỗi người thầy, mỗi
giáo viên xây dựng được một kế hoạch bài học khoa học, cần đổi mới các phương
pháp dạy học, làm cho các em trở nên u thích tốn học hơn, vì chỉ có u thích
mơn nào đó thì người ta mới dành nhiều thời gian để tìm hiểu nghiên cứu cặn kẽ .
Từ đó người học thấy được nhiệm vụ của bản thân để xây dựng được kế hoạch học
tập và phân bổ thời gian hợp lý đảm bảo yêu cầu trong hiện tại và tương lai.
Để có thể phát huy tối đa các khả năng vốn có, củng cố, nâng cao chất lượng
của nhà trường nhằm nâng cao chất lượng giáo dục nói chung và kết quả học tập
của bộ mơn nói riêng. Muốn khắc sâu các khái niệm, tính chất của mỗi mơn học
nói chung và Tốn học nói riêng ngoài các kỹ thuật dạy học người giáo viên căn cứ
đặc thù bộ môn cần xây dựng được các hoạt dộng học tập thơng qua các một hệ
thống các ví dụ, bài tập từ dễ đến khó, lơgic phù hợp với đặc thù bộ môn học và
các môn , các hoạt động giáo dục khác trong một thể thống nhất, thể hiện sự liên
kết, để môn học hay hoạt động giáo dục này hỗ trợ tốt cho các hoạt động giáo dục
và môn học khác.
1.2 Các tồn tại, hạn chế
Trong thực tế khi tiếp cận khái niệm cũng như thực hành giải toán về giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ở trường phổ thơng, khơng ít học sinh gặp khó
3


khăn, đó là khơng mơ tả được khái niệm, khơng hiểu đúng khái niệm dẫn tới kết
quả giải toán về nội dung này chỉ ở mức độ hạn chế nhất định. Khi giải tốn học
sinh đơi khi khơng xem xét kỹ về các giả thiết của bài toán nên dẫn tới giải sai
Chẳng hạn khi : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=f(u(x)) liên tục
trên đoạn a; b . Phần lớn học sinh khi đặt t= u(x) thì kết luận t thuộc đoạn
[u(a);u(b)] hoặc [u(b);u(a)]. Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy sai lầm
như trên khá phổ biến
Tác giả đã khảo sát các thầy cơ giáo dạy tốn của trường THPT Lê Q Đơn
những khó mà học sinh gặp phải khi tiếp cận nội dung về GTLN, GTNN của hàm số

Bảng 1. Khảo sát về mức độ khó khăn trong tiếp cận nội dung GTLN, GTTN
của hàm số đối với học sinh
Mức độ đánh giá
Hồn
TT
Hồn
Nội dung khảo sát
tồn
Khơng
Bình
tồn
khơng
đồng ý thường Đồng
đồng ý
ý
đồng ý
1 Học sinh gặp khó khăn
0
0
2
3
5
trong tiếp cận khái niệm
GTLN, GTNN hàm số
2 Học sinh không mô tả
0
0
1
3
6

được sự liên tục của hàm
số trên khoảng, trên đoạn
với .
3 Không phân biệt được
0
0
1
3
6
GTLN-GTTNN và cực
đại, cực tiểu của hàm số
4 Khó khăn trong nhận diện
0
0
1
4
5
bằng đồ thị giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số
5 Khó khăn trong việc xác
0
0
1
3
6
định bài tốn GTLNGTNN trên khoảng, trên
đoạn.
6 Khó khăn trong việc
0
0

1
2
7
chuyển bài tốn về phương
trình thành bài tốn
GTLN, GTNN
7 Khó khăn trong việc trong
0
0
1
1
8
việc chuyển bài toán về
4


bất phương trình thành bài
tốn GTLN, GTNN
Biểu đồ 1.

Từ kết quả trên nhận thấy phần lớn tập trung khó khăn trong việc chuyển các
bài tốn về phương trình, bất phương trình thành bài tốn về GTLN, GTNN.
1.3 Ngun nhân của các tồn tại hạn chế
Có nhiều nguyên nhân dẫn tới các sai lầm của người học, tuy nhiên cơ
bản có các nguyên nhân sau:
Thứ nhất: Các khái niệm mô tả chưa tường minh cụ thể, các kết quả cô đọng
không phải người học nào cũng tiếp cận được với khả năng như nhau.
Thứ hai: Người học tiếp cận khái niệm không đầy đủ nên dẫn tới người học
chưa hiếu đúng khái niệm, không hiểu đầy đủ các khái niệm.
Thứ ba: Thiếu một hệ thống ví dụ, bài tập từ dễ đến khó một cách tương đối

tường minh để người học tham khảo, vận dụng khi tiếp cận các nội dung lý thuyết.
1.4 Phân tích, đánh giá tính cấp thiết cần tạo ra sáng kiến
Xuất phát từ sai lầm và nguyên nhân của những sai lầm đã chỉ ra ở trên địi
hỏi phải có giải pháp cần thiết để giúp người học khắc phục được những hạn chế,
5


sai lầm ở trên để người học tiếp cận được các nội dung về GTLN, GTNN của hàm
số vận dụng trong giải tốn từ đó làm tiền đề để người học học tập các nội dung
tiếp theo của môn học cũng như các môn học khác.
2. Nội dung các giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến:
Các biện pháp giải quyết vấn đề: “Một số kinh nghiệm trong hướng dẫn
học sinh khai thác bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để
giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số”

2.1 Giải pháp thứ nhất: Khắc sâu khái niệm GTLN, GTNN của hàm

số và các hệ quả ứng dụng của nó

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

 f ( x )  M , x  D
 f ( x )  m, x  D
Max f ( x )  M  
Min f ( x )  m  
D
D
x0  D : f ( x0 )  M
x0  D : f ( x0 )  m
Như vậy muốn chỉ ra M , m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

y  f  x  trên miền D thì bắt buộc phải thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Hệ quả của định nghĩa:
+ Nếu Max f  x   M thì với mọi số thực k

mà k  M

bất phương trình:

xD

f ( x)  k đúng với mọi x trên D
+ Nếu Min f ( x)  m thì với mọi số thực k mà k  m bất phương trình:
D

f ( x)  k đúng với mọi x trên D .
+ Nếu Max f  x   M thì với mọi số thực k

mà k  M bất phương trình:

xD

f ( x)  k có ít nhất 1 nghiệm x trên D
+ Nếu Min f ( x)  m thì với mọi số thực k mà k  m bất phương trình:
D

f ( x)  k Có ít nhất 1 nghiệm x trên D .
+ Nếu trên D
hàm f số f  x  tồn tại GTLN và GTNN tức là
m  f ( x)  M thì phương trình f ( x)  k có nghiệm trên D khi k   m; M 

2.2 Giải pháp thứ hai: Xây dựng hệ thống các bài tập cơ bản, ví dụ

cụ thể.
a. Một số ví dụ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  3  6  x
Lời giải
Tập xác định của hàm số là D   3;6
y  x  3  6 x  y2  9 2

x  3 6  x   9  y  3

Dấu “=” xảy ra khi x  3 hoặc x  6
Ta lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopxki:
y2 



x3  6 x

Dấu bằng xảy ra khi x 

  1  1  9  18  y  3
2

1

3
2

6

2

2


Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3
Nhận xét: Ta cũng có thể sử dụng đạo hàm của hàm số để tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  1  x 2
Lời giải
Tập xác định của hàm số là D   1;1
x

y  1 

1  x2



1 x2  x

1  x2
x  0
1
y  0  1  x 2  x  
x
2
2

2
1  x  x
 1 
Ta có f  1  1; f 1  1, f 
 2
2


 m  min f ( x )  1; M  max f ( x )  2.
 1;1

 1;1

Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  3; 2 và có bảng biến thiên như
hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên
đoạn  1; 2 và trên khoảng  1;2 

Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
max f  x   f  1  3; min f  x   f  0   0 .
 1;2

 1;2

Xét trên khoảng  1;2  ta thấy hàm số khơng có giá trị lớn nhất trên  1;2  , giá trị
nhỏ nhất là 0 .
Nhận xét:
Việc đọc bảng biến thiên, đồ thị của hàm số là một trong những yêu cầu trong
các đề thi THPTQG và TNTHPT trong những năm gần đây
Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất trên khoảng  1;2  nhưng ta có thể đánh giá

được giá trị của hàm số luôn nhỏ hơn 3 với mọi x thuộc khoảng  1;2  .
7


Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  2;3 có đồ thị như hình vẽ dưới
đây. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên đoạn.  2;3 và

 2;3

Lời giải
Dựa vào đồ thị ta xác định được max f  x   f  1  4; min f  x   f  2   3
 2;3

Xét trên khoảng

 2;3

 1;2

hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất còn

max f  x   f  1  4 .
 2;3

Ví dụ 5. Tìm GTNN và GTLN của hàm số của hàm số y  x 3  9 x 2  24 x  68 trên
đoạn  1; 4 .
Lời giải
Ta có bảng biến thiên của hàm số y  x 3  9 x 2  24 x  68 trên  1; 4 như sau

Suy ra BBT của hàm số y  x 3  9 x 2  24 x  68 trên đoạn  1; 4 là

Vậy GTNN , GTLN của hàm số y  x 3  9 x 2  24 x  68 trên đoạn  1; 4 bằng 48 và
102.
8


Nhận xét.
Từ đây ta thấy để tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x 
trên miền K ( K có thể là  ;   hoặc  a;   ,  ; b  ,  a; b , a; b  ...) ta có thể
làm như sau
Bước 1: Ta tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên K
Bước 2. Từ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số số y  f  x  trên K ta suy ra
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  x  trên K .
Ví dụ 5: Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên và có đồ thị như hình dưới:

Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  f 2 ( x)  3 trên đoạn  0; 2 .
Lời giải
Đặt g ( x)  f 2 ( x)  3 . Từ đồ thị đã cho ta có: x0   0;1 để f ( x0 )  0 .
Và x   0; 2 thì 3  f ( x)  1  0  f 2 ( x)  9  3  f 2 ( x)  3  12  3  g ( x)  12
⇒ max g ( x)  12 khi f ( x)  3  x  2  0; 2  .
 0; 2

Và min g ( x)  3 khi f ( x)  0  x  x 0  0; 2  .
 0; 2

Ví dụ 6. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y  4 x 2  8 2 x 2  3 x  2  6 x  2019
trên đoạn [0;2].
Lời giải
y  4 x 2  8 2 x 2  3 x  2  6 x  2019  2(2 x 2  3 x  2)  8 2 x 2  3 x  2  2015

Đặt t  2 x 2  3x  2 . Hàm số đã cho trở thành y  f (t )  2t 2  8t  2015 .
Ta đi tìm điệu kiện của t .
x  0;2 , 2 x 2  3x  2   2;16  t   2;4 .

9


Suy ra max y  max f (t ) và min y  min f (t ) .
[0;2]

[0;2]

[ 2 ;4]

[ 2 ;4]

Ta có: f   t   4t  8  f   t   0  t  2   2;4 .
Do f

 2   2019  8

2 ; f  2   2007 , f  4   2015 . Suy ra

max y  max f (t )  f (4)  2015 và min y  min f (t )  f (2)  2007
[0;2]

[ 2 ;4]

[0;2]

[ 2 ;4]

 M  2015; m  2007

Ví dụ 7. Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu biến thiên như sau:

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  sinx  1
Lời giải
Đặt sin x  1  t ,  2  t  0  .
Bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  f  t  trên đoạn  2;0 .
Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số y  f  t  trên đoạn  2;0 là
3 khi t  2 hay s inx  1  x 


 k 2 , k  Z .
2

Từ bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  t  trên đoạn  2;0 là
3 khi t  0 hay sinx  0  x  k , k  Z .

Ví dụ 8. Cho hàm số f ( x) liên tục trên  1;5 và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f  x 2  2x  4  trên  0; 2 .

Lời giải
10


Đặt t  x 2  2 x  4, x  0; 2  .
t  0   4; t 1  3; t 2   4  t  3; 4  .
y  f  x 2  2x  4   f t  , t  3; 4  .

Dựa vào đồ thị ta có : Max y  Max f  t   3 . Min y  Min f  t   1 .
x0;2

x0;2

t3;4

t3;4

Nhận xét : Ví dụ 5,6,7,8 là các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
số trên miền K bằng phương pháp đặt ẩn phụ gồm. Bài tốn này có thể thực
hiện 2 bước sau.
Bước 1. Đặt ẩn phụ t  u  x  và tìm điều kiện cho ẩn phụ. Việc đi tìm điều kiện
của ẩn phụ chính là bài tốn đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm
trên miền K. ( Học sinh cần chú ý đến tính chất của hàm đặt ẩn chụ. Nếu là các
hàm cơ bản như hàm số bậc hai, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit
nên học sinh cần nhớ được tính chất đơn điệu, miền giá trị của các hàm số cơ
bản này thì lời giải bài tốn sẽ ngắn gọn hơn nhiều )
Bước 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  f  t  trên miền K  vừa
xác định ở bước 1.
Ví dụ 9. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị
1
3

lớn nhất của hàm số g  x   f  4 x  x 2   x 3  3 x 2  8 x 

1
trên đoạn 1;3 .
3

Lời giải





g   x    4  2 x  f   4 x  x 2   x 2  6 x  8   2  x   2 f  4 x  x 2  4  x  .

Với x  1;3 thì 4  x  0 ; 3  4 x  x 2  4 nên f   4 x  x 2   0 .
Suy ra 2 f   4 x  x 2   4  x  0 , x  1;3 .
Bảng biến thiên

11


Suy ra max g  x   g  2   f  4   7  12 .
1;3

Ví dụ 10. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị y  f '  x  như hình vẽ:

1
3

3
4

3
2

Xét hàm y  g  x   f  x   x 3  x 2  x  2018 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. min g  x   g  1 .

B. min g  x   g 1 .

C. min g  x   g  3 .

D. min g  x  

 3;1

 3;1

 3;1

 3;1

Lời giải
1
3

3
4

3
2

Đặt: h  x   x 3  x 2  x  2018
Khi đó: g  x   f  x   h  x  Ta có: g '  x   f '  x   h '  x  .
 đồ thị hàm số y  g '  x  có hình dạng như sau:

1

1

1

3

3

1

  | g '  x  |dx    g '  x dx   g '  x  dx  S1  S 2 .

12

g  3  g 1
2

.


1

 S1    g '  x  dx  g  3  g  1  0  g  3  g  1 .
3

1

Và S 2   g '  x  dx  g 1  g 1   0  g 1   g 1  .
1

Mà dựa vào đồ thị ta thấy S1  S2  g  3  g 1  g  1 .
Vậy min g  x   g  1 .
3;1

Những ví dụ trên đây giúp cho học sinh
- Hiểu rõ khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Có cái nhìn đầy đủ hơn về các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của hàm số.
- Học sinh được tiếp cận với một số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của hàm số xuất hiện trong đề thi trắc nghiệm trong các năm gần đây.
b. Mối liên hệ giữa bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
số và bài tốn giải phương trình, bất phương trình có chứa tham số.
Bài tốn 1:Tìm tất cả giá trị của m để phương trình f  x   m có nghiệm thực
xD

Cách giải :
Bài tốn tìm tất cả giá trị của m để phương trình : f  x   m có nghiệm thực
x  D có thể được phát biểu như sau. Tìm tất cả các giá trị của m để đường
thẳng y  m cắt đồ thị hàm số y  f  x  trên D tại ít nhất một điểm. Dựa vào
đồ thị hàm số ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi
Min f ( x)  m  m  Max f  x 
D

xD

Vậy phương trình f  x   m có nghiệm thực x  D 
Min f ( x)  m  m  Max f  x  .

D

xD

Trong trường hợp hàm số y  f  x  khơng có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên D ,
cần lập bảng biến thiên hoặc dựa vào đồ thị để tìm giới hạn của hàm số khi x
tiến dần đến các cận biên. Đặc biệt chú ý đến việc kết luận về giá trị của m
trong trường hợp này.
Bài tốn 2:
Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình : f  x   m có nghiệm thực x D.
Cách giải :
13


Bài tốn này có thể được phát biểu như sau. Tìm tất cả các giá trị của m để
đường thẳng y  m nằm trên ít nhất một điểm thuộc đồ thị hàm số y  f  x  .
Sử dụng đồ thị hàm số minh họa ta có thể chỉ ra yêu cầu bài toán được thỏa
mãn khi m  Min f  x 
xD

Vậy f  x   m có nghiệm thực x D  m  Min f  x 
xD

Bài tốn 3:Tìm tất cả giá trị của m để f  x   m có nghiệm đúng mọi x  D
Cách giải :
Bài tốn tìm tất cả giá trị của m để f  x   m có nghiệm đúng mọi x  D có thể
được phát biểu như sau. Tìm tất cả các giá trị của m để tất cả các điểm thuộc đồ
thị hàm số y  f  x  nằm dưới đường thẳng y  m với mọi x  D . Dựa vào đồ
thị ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi  m  Max f  x 
xD

Vậy f  x   m có nghiệm đúng mọi x  D  m  Max f  x 
xD

Bài toán 2 và bài tốn 3 nếu học sinh khơng hiểu rõ thì dễ bị nhầm lẫn trong
việc lấy đáp số. Sử dụng đồ thị hàm số minh họa là một phương pháp dễ hiểu
dễ nhớ đối với bài tốn này.
Bài tốn 4: Tìm tất cả giá trị của m để f  x   m vô nghiệm với x  D
Cách giải :
Bài tốn này có thể được phát biểu như sau : Tìm các giá trị của m để khơng có
điểm nào thuộc đồ thị hàm số y  f  x  , x  D nằm dưới đường thẳng y  m .
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi
 m  Min f  x 
xD

Vậy : f(x) ≤ m vô nghiệm với x  D  m  Min f  x 
xD

Nhận xét: Có thể thay các bài toán 2, 3, 4 bởi bài toán : f  x   m; f  x   m
học sinh có thể tìm được lời giải tương tự
c. Một số ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên  có bảng biến thiên:

14


Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 2 f  x   m  0 có nghiệm
thuộc đoạn  2; 4 ?
Lời giải
m

. Để phương trình * có nghiệm thuộc đoạn  2; 4 khi và chỉ khi
2
m
m
min f  x    max f  x   2   3  4  m  6 .
 2;4
2  2 ; 4
2

Ta có f  x  

Ví dụ 2. (Đề minh họa mơn tốn 2019) .Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và
có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình f  sin x   m có nghiệm thuộc khoảng  0;  là

A.  1;3 .

B.  1;1 .

C.  1;3 .

D.  1;1 .

Lời giải
Chọn D
Đặt t  sin x , do x   0;  nên t   0;1
Khi đó phương trình trở thành: f  t   m, t   0;1 . Đồ thị f  t  trên  0;1 như hình
vẽ.
Từ đồ thị ta có: Phương trình f  sin x   m có nghiệm thuộc khoảng  0; 
 phương trình f  t   m có nghiệm trên nửa khoảng  0;1  m   1;1 .

Nhận xét: Trong bài toán này học sinh dễ bị nhầm lẫn điều kiện của t . Từ đó
kết luận sai điều kiện của bài tốn. Do đó đối với bài tốn này để có thể giải
15


đúng học sinh cần viết được chính xác điều kiện của t và kết luận đúng về giá
trị của m . Điều này yêu cầu học sinh hiểu rõ khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của hàm số và bài tốn cơ bản đã trình bày ở trên.
Ví dụ 3: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình :
m( x 2  2 x  2  1)  x 2  x   0 có nghiệm x  1  2 2;1  3  .

Giải:
Phương trình đã cho xác định khi x  1  2 2;1  3  .
Đặt t = x 2  2 x  2
Suy ra khi x  1  2 2;1  3  thì t  1;3 và: x  2  x   2  t 2 bài toán trở thành
t2  2
1
 m  t 1 
 f (t ) có
tìm m để phương trình: m(t  1)  t  2  m 
t 1
t 1
1
1
nghiệm t [1;3]. Xét hàm f (t )  t  1 
có f   t   1 
 0t  1;3
2
t 1

 t  1
2

. Suy ra hàm số y  f  t  đồng biến trên đoạn [1;3]
1
2

7
4

Vậy phương trình có nghiệm khi f 1  m  f  3    m  .
Chú ý:

Một số em thường mắc sai lầm khi thay các giá trị x ở đầu mút

1  2 2;1  3  kết luận rằng : 2 ≤ t ≤ 3.



Như vậy khi đặt ẩn phụ t   ( x) thì cần phải tìm điều kiện của t điều này dẫn đến
phải xét hàm số t   ( x ), x D để tìm điều kiện của t. Cũng cần lưu ý thêm với học
sinh nếu t  u  x  là các hàm số cơ bản đã học như hàm số bậc nhất, hàm số bậc
hai, hàm số lượng giác, hàm mũ, hàm logarit …thì việc tìm điều kiện của t có thể
khơng cần sử dụng đạo hàm mà chỉ dùng các tính chất của hàm số đó.
Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng
với mọi x  

x

2

 4 x  3  x 2  4 x  6   m .

Lời giải
Đặt t  x 2  4 x  3 . Do x 2  4 x  3   x  2   1  1nên t  1.
2

16


Bài tốn trở thành tìm tất cả các giá trị của tham số m để t  t  3  m, t  1
Xét hàm số f  t   t  t  3 trên  1;    .
Ta có bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán tương đương với m  min f  t   m  2 .
1;  

Vậy với m  2 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x  .
Ví dụ 5 :Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:
m x 3  8  x 2  3x  2 .

Giải :
Điều kiện xác định của phương trình là: x ≥ -2.
 Xét x  2 dễ thấy khơng là nghiệm của phương trình.
 Với x  2 -2 ta thấy:

x3  8  ( x  2)( x 2  2 x  4) và x 2  3x  2   x 2  2 x  4   ( x  2)

Nên phương trình đã cho viết lại được dạng: m 
Đặt t 

x2  2x  4

x2

x2
x  2x  4
2

x 2  2x  4
ta tìm miền giá trị của t khi x  2
x2

Xét hàm số:
g ( x) 

x2  2x  4
x2  4x  8
 g '( x) 
 g '( x)  0  x  2  2 3
2
x2
x

2



lập bảng biến thiên suy ra: g ( x)  6  4 3  t  6  4 3 (*)
1

t

Ta được phương trình: m  t   f (t ) với t thỏa `mãn điều kiện (*) trên .
17


Mà f '(t )  1 

1
 0 t nên phương trình có nghiệm khi m  f ( 6  4 3 )
t2

Vậy giá trị cần tìm là : m 

7  4 3
6  4 3

.

Nhận xét : Đối với bài toán này một số học sinh mắc sai lầm cho rằng t  0
hoặc khơng tìm được điều kiện của t
Để tìm được điều kiện đúng của t học sinh có thể sử dụng cơng cụ đạo hàm
hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình. Tuy nhiên đối với bài
toán này việc sử dụng đạo hàm sẽ đơn giản và ngắn gọn hơn
Ví dụ 6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để bất phương trình

mx 2  5x  2   x 2  2 x có nghiệm.

Lời giải
0 x2

(1)
mx 2  5 x  2   x 2  2 x  
2
m

1
x


3
x

2



 0 x2

Do x  0 không phải là nghiệm nên (1)  
2 3 .
 m  x 2  x  1
1

t
1

1


Đặt t  , t   ;    . Ta có 
2
x
2

2
 m  2t  3t  1
1
2

Lập bảng biến thiên của hàm số y  2t 2  3t  1 trên  ;   


Từ bảng biến thiên, yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi m  

17
.
8

Nhận xét: Đối với bài tốn này học sinh có thể mắc phải sai lầm phổ biến khi
thực hiện phép biến đổi tương đương
18


mx 2  5x  2   x 2  2 x  mx 2  5x  2   x 2  2 x .

Đây là lỗi sai thường gặp của học sinh. Do đó để có thể giải đúng bài toán
này học sinh cần hiểu rõ được cách giải bất phương trình chứa căn cơ bản,
đồng thời áp dụng thành thạo các kiến thức về giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất

trong giải bất phương trình đã trình bày ở trên.
Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình

x  9  x   x 2  9 x  m có nghiệm.

Lời giải
Điều kiện: 0  x  9
Ta có 1  x  9  x  2 x(9  x)   x 2  9 x  m  9  2  x 2  9 x   x 2  9 x  m  2 
Đặt t   x 2  9 x do 0  x  9 suy ra 0  t 

9
2

Nên  2  trở thành 9  2t  t 2  m  t 2  2t  9  m  3
Xét hàm số f (t )  t 2  2t  9 , 0  t 

9
2

Bảng biến thiên :

9

9

Suy ra 1 có nghiệm khi và chỉ khi  3 có nghiệm t  0;  , nên   m  10 .
4
 2
Ví dụ 8. ( Câu 39 đề minh họa mơn tốn năm 2019). Cho hàm số f  x  . Hàm số
y  f   x  có bảng biến thiên như hình vẽ

19


Bất phương trình f  x   e x  m đúng với mọi x   1;1 khi và chỉ khi
1
e

A. m  f 1  e .

B. m  f  1  .

1
e

D. m  f 1  e .

C. m  f  1  .
Lời giải
Ta có f  x   e x  m  f  x   e x  m .
Xét hàm số g  x   f  x   e x , với x   1;1 .

g   x   f   x   e x  0,x   1;1 vì e x  0, x   1;1 và f   x   0, x   1;1 .ta

có BBT

1
e

Từ BBT ta có m  f  1  .

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm:
 2 x  y  m  0
.(m là tham số ).

 x  xy  1

Giải :
ĐKXĐ: xy ≥ 0
Từ phương trình đầu của hệ suy ra: y = 2x + m thế vào phương trình còn lại được:
 x(2 x  m)  1  2 x  x 2
 mx  1  2 x  x 2 (*)
x(2 x  m)  1  x  

1 x  0
x 1



Hệ đã cho có 2 nghiệm phân biệt  phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa
mãn x ≤ 1.
Thấy x = 0 không là nghiệm của (*)

20


Với x  0 và x  1: (*)  m 

1
1
 2  x  f ( x) mà : f '( x)   2  1  0, x  0

x
x

Lập bảng biến thiên suy ra: m ≥ -2 thỏa mãn điều kiện hệ phương trình có hai
nghiệm phân biệt.
1
3

Ví dụ 10: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số: y  x 3  x 2  mx  1 đồng biến
trên khoảng  0; 

Giải : Ta có : y '  x 2  2 x  m để hàm số đồng biến trên  0;  thì
y '  0, x   0;    x 2  2 x  m  0, x  0;    m  2 x  x 2 , x  0; 



Xét hàm số : h( x)  2 x  x 2  h '( x)  2  2 x  h '( x)  0  x  1  max h( x)  1
x 0; 

Từ đó để hàm số đồng biến trên  0;  thì : m  1 .
Nhận xét:
Tương tự chúng ta có giải quyết các bài tốn u cầu tìm tham số m để
hàm số đồng biến, nghịch biến trên miền D và bài tốn tìm tham số m để hàm
số có cực đại, cực tiểu trên một miền cho trước.
Ví dụ 11. Cho hàm số y  f  x  . Hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như hình dưới.

Bất phương trình x. f  x   mx  1nghiệm đúng với mọi x  1;2019  khi
A. m  f 1  1 .
C. m  f  2019  

B. m  f 1  1 .
1
.
2019

D. m  f  2019  

Lời giải
Chọn B
Ta có x. f  x   mx  1nghiệm đúng với mọi x  1;2019 
 f  x 

1
 m với mọi x  1;2019  .
x

21

1
.
2019


1
x

Xét hàm số h  x   f  x   với mọi x  1;2019  .
Ta có h  x   f   x  

1

.
x2

1
 0 với mọi x  1;2019  nên h  x   0 với mọi
x2
x  1;2019   h  x  đồng biến trên khoảng 1;2019 

Vì f   x   0 với mọi x  1;2019  và

 h  x   h 1 với mọi x  1;2019  .

Mà h  x   m với mọi x  1;2019  nên m  h 1  m  f 1  1 .
Nhận xét : Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh trong
trường hợp này đều kết luận m  h 1  m  f 1  1
Nguyên nhân hàm số h  x  ) chỉ xét trên khoảng nên không nhận giá trị đầu
mút điều đó có nghĩa khi hàm số h  x  đồng biến với x  1;2019   h 1  h  x 
vì vậy h  x   m với mọi x  1;2019  suy ra m  h 1  m  f 1  1
Đây là một trong các sai lầm mà người học thường mắc phải
Ví dụ 12. Cho hàm số y = f ( x) . Hàm số y = f ¢ ( x) có đồ thị như hình vẽ sau.

Bất phương trình f (1- x ) < e x + m nghiệm đúng với mọi x  (-1;1) khi và chỉ khi
2

A. m ³ f (1) -1 .

B. m ³ f (1) - e2 .

C. m > f (-1) - e2 .

D. m > f (1) -1 .

Lời giải
Ta có f (1- x ) < e x + m đúng với mọi x  (-1;1) tương đương với m > f (1- x )- e x đúng
2

2

với mọi x  (-1;1) . Xét g ( x ) = f (1- x )- e x với x  (-1;1) .
2

Ta có g ( x) = - f (1- x) - 2 x.e x = -( f (1- x) + 2 xe x ) .
2

22


Nhận xét:
2

+) Với -1 < x < 0 thì 1  1  x  2 nên f ¢ (1- x) < 0 và x.e x  0 suy ra g ¢ ( x) > 0 .
+) Với 0 < x < 1 thì 0 < 1- x < 1 nên f ¢ (1- x) > 0 và xe x > 0 suy ra g ¢ ( x) < 0 .
2

+) Với x  0 thì 1  x  1 nên f ¢ (1- x) = 0 và xe x = 0 suy ra g ¢ ( x) = 0 .
2

Bảng biến thiên

Để m > f (1- x )- e x nghiệm đúng với mọi x  (-1;1) suy ra m > f (1)-1 .

2

Nhận xét: Với ví dụ này ta có thể thay đổi cách hỏi : Bất phương
trình f (1- x ) < e x + m có nghiệm x  (-1;1)
2

2.3 Giải pháp thứ ba: Bổ sung một số bài tập rèn luyện
a. Bài tập tự luận
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :
m( x 2  2 x  2  1)  x  2  x   0 có nghiệm x  1  2 2;1  3  .

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :
m( x 2  2 x  2  1)  x  2  x   0 có nghiệm đúng mọi x  1  2 2;1  3  .

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :
m( x 2  2 x  2  1)  x  2  x   0 vô nghiệm với x  1  2 2;1  3  .

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :
m( x 2  2 x  2  1)  x  2  x   0 có nghiệm x  1  2 2;1  3  .

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :
23


m( x 2  2 x  2  1)  x  2  x   0 có nghiệm đúng x  1  2 2;1  3  .

Câu 6.: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình :
m( x 2  2 x  2  1)  x  2  x   0 vô nghiệm với x  1  2 2;1  3  .

Câu 7 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực:

(Khối A 2005).

m x 1  x 1  3 4 x 2 1

Câu 8: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 3x  2  x  2  3 4 3x 2  4 x  4 (Bộ đề thi tuyển sinh 1994).

Câu 9 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực:
m x 3  1  3x 2  4 x  2 .

Câu 10: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực:
3 x 3  x 3  m 4 x2 9 .

Câu 11. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm thực:
m 3 x  2 3 x  34 9  x2
1
3

Câu 12.: Tìm các giá trị của m để hàm số y   x 3  x 2  mx  2 nghịch biến trên
khoảng  ;2 

Câu 13. Tìm m để phương trình 4  sin 4 x  cos 4 x   4 sin 6 x  cos 6 x   sin 2 4 x  m có
nghiệm.
Câu 14. Tìm các giá trị của m để bất phương trình  x 3  3mx  2 
mọi x  1 .

1
x3

đúng với

Câu 15. Tìm m để bất phương trình  x 2  1  m  x x 2  2  4 đúng với mọi
2

x  0;1 .

Câu 16. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x  3  m  1 .
Câu 17. Tim m để bất phương trình x3  3x 2  1  a



x  x 1



3

có nghiệm.

b. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1.Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên như hình vẽ
24


Phương trình f  x   6 x  3 x 2  1  m nghiệm đúng với mọi x   2;1 khi và chỉ
khi
A. m  f 1  3 2  6 .

B. m  f 1  3 2  6 .

C. f (1)  3 2  6  m  f (2)  3 5  12 .

D. m  f  2   3 5  12 .


Câu 2 .Cho hàm số y  f  x  liên tục và đồng biến trên 0;  , bất phương
 2

trình f  x   ln  cos x   e  x  m (với m là tham số) thỏa mãn với mọi x   0;  khi
2




và chỉ khi
A. m  f  0   1 .

B. m  f  0   1 .

C. m  f  0   1 .

D. m  f  0   1 .

Câu 3.Cho hàm số f  x  liên tục trên . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ

Bất phương trình f  2sin x   2sin 2 x  m đúng với mọi x   0;  khi và chỉ khi
1
2

A. m  f 1  .

1
2

B. m  f 1  .

1
2

C. m  f  0   .

Câu 4. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm y  f   x  có đồ thị như hình vẽ.

25

1
2

D. m  f  0   .