Cong thuc tinh nhanh gt 12 chương 1

Chương 1: HÀM SỐ

Trang 1

Chương 1. HÀM SỐ
Bài 1. HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, HÀM SỐ NGHỊCH BIẾN
Vấn đề 1. Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0 
Ta có y  3ax 2  2bx  c
 Hàm số đồng biến trên  ;    y  0, x   ;  

 Hàm số đồng biến trên

 Hàm số nghịch biến trên

 y  0, x 

 y  0, x 

 Hàm số nghịch biến trên  ;    y  0, x   ;  

 b 2  3ac  0
    0


a  0
a  0

.

 
 a  b  0

ab0



 c  0
 c  0
 b 2  3ac  0
    0


a  0
a  0

.

 
 a  b  0
ab0



 c  0
 c  0

Bài 2. CỰC TRỊ
Vấn đề 1. Hàm số bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d  a  0 
Ta có y  3ax 2  2bx  c .
Hàm số:

2 cực trị  b 2  3ac  0

.
0 cực trị  b 2  3ac  0
Cách tìm đường thẳng qua 2 điểm cực trị:
 2c 2b 2 
bc
Cách 1: Sử dụng công thức y   
.
xd 
9a
 3 9a 
y"
y"
Cách 2: Ta xác định A và B từ phân tích: 9ay  . y  Ax  B  Ax  B  9ay  . y  G  x  .
2
2
 B  G  0 
 B  G  0 

Do đó 
(nên dùng MTCT để tính A và B từ hệ này).
 A  B  G 1
 A  G 1  G  0 
y. y
Cách 3: Tương tự cách 2 cho công thức Ax  B  y 
.
3 y

4e  16e3
b 2  3ac

với e 
.
a
9a
Vấn đề 2. Hàm bậc bốn trùng phương: y  ax 4  bx 2  c  a  0 
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị: AB =

x  0
3


Ta có y  4ax  2bx  y  0   2
.
x   b
2a


3 cực trị 

Hàm số:

b
(Dựa vào đồ thị)
 0  ab  0 

2a

a  0
1CÑ + 2 CT: 
b  0

a  0
2CÑ + 1 CT: 
b  0

(Ta đã xét a  0)

1 cực trị 

b
(Dựa vào đồ thị)
 0  ab  0 

2a

Khi đồ thị có 3 cực trị (như hình vẽ) thì:

a  0
1CĐ + 0 CT: 
b  0
a  0
0CÑ + 1 CT: 
b  0


Trang 2

Bài 3: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ

AB  AC 

A  0; c 

b
b 2  4ac 
Tọa độ: B    ; 
 
2a
4a 


b
b 2  4ac 
C   ; 

2a
4a 


b 2  4ac
 c  3 yG . Khi O  G: b 2  6ac  0
2a
H  Oy : Trực taâm ABC  AB  CH. Khi O  H: 8a  b3  4abc  0

G  Oy : trọng tâm ABC  

b 2  4ac
D  Oy, ABDC hình thoi  c  yD  
. Khi O  D: b 2  2ac
2a

Caùch 1: S ABC
Diện tích của tam giác ABC:

Conic qua A, B, C:

b 4  8ab
b
; BC  2 
4a
2a

1
1
b b2
1 b2
b
b5
2
 BC. AH  .2  .
 S ABC  . . 
 S ABC  
2
2
2a 4a
4 a
2a
32a 3
.

 AB   u1 ; u2 

1
Cách 2: Giả sử 
 S ABC  u1v2  u2v1
2
 AC   v1 ; v2 


 cn
Tâ
m
I
 0;


2 

2 b 2  4ac 
2
2
Đường tròn:  C  : x  y   c  n  y  cn với n  

3
b
4a
Bán kính: R  b  8a

8ab
.
b
 

y  0  x3  
x

2a
b 2

Parabol:  P  : y  x  c  
2
 y  ax.x3  bx 2  c  ax.   b x   bx 2  c

 2a 

b3  8a
b3  8a
Góc trong ABC:

8a
tan 2   3
2
b
cos  

ABC vuông (cân)  b3  8a  0
(với   BAC )  ABC đều  b3  24a  0

.

ABC nhoïn  b  b3  8a   0; a  b3  8a   0

1

1
AB 
AC
AB
AC
1
1
Đường phân giác ngoài góc A có 1VTCP là u 
AB 
AC
AB
AC
I là tâm đường tròn nội tiếp ABC  BC.IA  AC.IB  AB.IC  0

Đường phân giác trong góc A có 1VTCP là u 

Đường trịn nội tiếp ABC:

Bán kính: r 

b2


b3 
4 a 1  1  

8a 

O là tâm đường tròn nội tiếp của ABC: b3  8a  4abc  0

Bài 3. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ
Vấn đề 1. Hàm số bậc ba y  ax3  bx 2  cx  d  a  0 
Phương trình bậc ba có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng khi có 1 nghiệm là x0  

b
.
3a

Phương trình bậc ba có 3 nghiệm tạo thành một cấp số nhân khi có một nghiệm là x0   3

d
.
a

ax  b
 ad  bc  0 
cx  d
Gọi M là điểm trên đồ thị (C) của hàm số. Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. I là tâm đối xứng.
2
S IAB  2 ad  bc .
c
Vấn đề 2. Hàm nhất biến y 

Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị đến 2 tiệm cận nhỏ nhất d  d  M , TCÑ   d  M , TCN   d min 

ad  bc
c2