(Luận Văn Thạc Sĩ) Về Phương Pháp Lặp Hữu Hiệu Tìm Điểm Bất Động Chung Và Bất Đẳng Thức Biến Phân Trong Không Gian Hilbert.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VŨ THỊ LINH CHI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌM ĐIỂM
BẤT ĐỘNG CHUNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2021


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

VŨ THỊ LINH CHI

VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP HỮU HIỆU TÌM ĐIỂM
BẤT ĐỘNG CHUNG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số
: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1. TS. Trần Xuân Quý
2. TS. Vũ Vinh Quang

THÁI NGUYÊN - 2021


Mục lục
Bảng ký hiệu viết tắt

i

Mở đầu

1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Một số khái niệm và kết quả đặc trưng trong khơng gian Hilbert .

3

1.2

Bài tốn điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến phân . . . .

9

1.3

Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Chương 2. Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và
bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
2.1

Phương pháp gradient tăng cường giải bài toán bất đẳng thức biến
phân và bài toán điểm bất động trong không gian Hilbert . . . . .

2.2
2.3

14
14

Phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng
thức biến phân trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . .

22

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


i

Bảng ký hiệu viết tắt
R
H.
∅
∀x
∃x
hx, yi
kxk
PC (x)
inf y∈C kx − yk
T
I
G(T )
Fix(T )
V I(A, C)

tập số thực
không gian Hilbert thực
tập rỗng
với mọi x

tồn tại x
tích vơ hướng của hai véc-tơ x và y
chuẩn của véc-tơ x
hình chiếu của x lên C
infimum của tập {kx − yk : y ∈ C}
toán tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert
tốn tử đồng nhất trong H.
đồ thị của toán tử T
tập hợp các điểm bất động của T
bài toán bất đẳng thức biến phân


1

Mở đầu
Bài tốn tìm điểm bất động chung đã và đang là một chủ đề thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà tốn học trong và ngồi nước. Bài tốn tìm điểm bất động và
giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert: Cho C là tập con lồi, đóng,
khác rỗng của khơng gian Hilbert H.. Ánh xạ A : C → H liên tục. Bài toán bất
đẳng thức biến phân là tìm x ∈ C sao cho

hA(x), y − xi > 0,

∀y ∈ C.

(0.1)

Bài toán bất đẳng thức biến phân được ký hiệu là V I(A, C). Bài tốn tìm điểm bất
động của ánh xạ T : H → H là bài tốn
tìm x ∈ H sao cho T (x) = x.

(0.2)

Mục đích của đề tài luận văn là trình bày bài tốn điểm bất động chung của ánh
xạ nửa co và bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu liên tục Lipchitz trong
không gian Hilbert. Tức là tìm nghiệm chung của bài tốn (0.1) và bài toán (0.2).
Dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Xuân Quý và TS. Vũ Vinh Quang, tôi chọn đề
tài luận văn: “Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất động chung và bất đẳng
thức biến phân trong không gian Hilbert”.
Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương, cụ thể như sau:
Chương 1: Trình bày về một số kết quả đặc trưng trong khơng gian Hilbert.
Trình bày một số phương pháp lặp đã có liên quan tới bài tốn tìm điểm bất động
và bài tốn bất đẳng thức biến phân.
Chương 2: Trình bày hai phần. Phần thứ nhất là trình bày khái quát về phương
pháp lặp giải bài tốn tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong
khơng gian Hilbert, phần hai trình bày về phương pháp lặp hữu hiệu giải bài tốn
tìm điểm bất động chung và bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert.
Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy
cơ trong Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Toán – Tin.


2

Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ cơng sức của
mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho những định lý toán học
vốn dĩ đã rất đẹp. Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể các thầy
cô giảng viên của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung và
Khoa Tốn – Tin nói riêng, đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý
báu trong thời gian em được là học viên của trường. Em xin chân thành cảm ơn

Ban Giám hiệu trường THPT Phú Lương, Thái Nguyên cùng toàn thể các anh chị
em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian đi học Cao học;
cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán K12 và bạn bè đồng nghiệp
đã trao đổi, động viên và khích lệ em trong quá trình học tập và làm luận văn tại
trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt em xin được bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, TS. Trần Xuân Quý và TS. Vũ Vinh
Quang đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và
góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài.
Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các
anh chị em học viên lớp K12 nói chung và với bản thân em nói riêng. Dấu ấn ấy
hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ hai bên
và các anh chị em con cháu trong gia đình. Xin chân thành cảm ơn tất cả những
người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng đường vừa qua.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã trao đổi, động
viên và khích lệ tơi trong q trình học tập và làm luận văn tại Trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên.
Thái Nguyên, 26 tháng 01 năm 2021.
Học viên

Vũ Thị Linh Chi


3

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert và một số
khái niệm, định nghĩa. Đồng thời trình bày về tốn tử, bài tốn tìm điểm bất động
và bài toán bất đẳng thức biến phân. Các kiến thức trong chương được tham khảo
trong các tài liệu [1, 17]. Chương này trình bày một số kết quả trong khơng gian

Hilbert và một số phương pháp lặp đã có liên quan tới bài tốn tìm điểm bất động
và bài tốn bất đẳng thức biến phân.

1.1 Một số khái niệm và kết quả đặc trưng trong không gian
Hilbert
Định nghĩa 1.1.1. Cho H là khơng gian tuyến tính trên R, tích vơ hướng xác định
trong H. là một ánh xạ
h., .i : H × H −→ R
(x, y) 7−→ hx, yi
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
1. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H;
2. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H;
3. hλx, yi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H, λ ∈ R;
4. hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 ⇔ x = 0.
Số hx, yi được gọi là tích vơ hướng của hai vectơ x, y trong H.


4

Định nghĩa 1.1.2. Cặp (H, h., .i), trong đó H là một khơng gian tuyến tính trên R,

h., .i là tích vơ hướng trên H được gọi là khơng gian tiền Hilbert thực.

Định lý 1.1.3. (Bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H với mọi
x, y ∈ H ta ln có đẳng thức sau:
|hx, yi|2 6 hx, yi . hx, yi .
Định lý 1.1.4. Mọi không gian tiền Hilbert H. đều là khơng gian tuyến tính định
chuẩn, với chuẩn được xác định bởi công thức
p
kxk = hx, xi ∀x ∈ H.

(1.1)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng.

Định nghĩa 1.1.5. Nếu H. là khơng gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn
cảm sinh từ tích vơ hướng xác định bởi (1.1) thì H. được gọi là khơng gian Hilbert
thực.
Ví dụ 1.1.6. Khơng gian Rn là một khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
n
X

hx, yi =

xk yk ,

k=1

trong đó
x = (x1 , x2 , . . . , xn ); y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn ,
và chuẩn cảm sinh
2

kxk = hx, xi =

n
X

xk xk =

k=1

n
X

xk2 .

k=1

Ví dụ 1.1.7. Khơng gian


∞


X




2
2
x
=
(x
)
∈
R
:
l =

<
+∞
|x
|

n n
n




n=1

là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng,
hx, yi =

∞
X

xn yn ,

x = (xn )n∈N ,

n=1

và chuẩn
p
kxk = hx, xi =

v

t

∞
X
n=1

y = (yn )n ∈ l2
1

∞
2
X
2
2
|xn | = ( |xn | ) .
n=1


5

Ví dụ 1.1.8. Khơng gian L2 [a, b] là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
hx, yi =

Zb

x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] ,

a

và chuẩn

 21
 b

Z

2 
kxk =  |x(t)| dt .


a

Mệnh đề 1.1.9 (Đẳng thức hình bình hành). Trong khơng gian Hilbert thực H. ta
ln có đẳng thức sau:
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ),
với mọi x, y ∈ H .
Chứng minh. Ta ln có
kx + yk2 = kxk2 + 2hxx, yi + kyk2 ,

kx − yk2 = kxk2 − 2hxx, yi + kyk2 .

Cộng hai đẳng thức trên ta nhận được điều phải chứng minh.



Mệnh đề 1.1.10. Trong không gian Hilbert thực H. ta ln có đẳng thức sau
kx − yk2 + kx − zk2 = ky − zk2 + 2hx − y, x − zi,
với mọi x, y, z ∈ H .
Chứng minh. Thật vậy, ta có
ky − zk2 + 2hx − y, x − zi = hy, yi + hz, zi + 2hx, xi − 2hx, zi − 2hx, yi

= [hx, xi − 2hx, yi + hy, yi]
+ [hx, xi − 2hx, zi + hz, zi]

= kx − yk2 + kx − zk2 .
Vậy ta được điều phải chứng minh.

Mệnh đề 1.1.11. Trong không gian Hilbert thực H. , ta ln có
(i). kλx + (1 − λ)yk2 = λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 .
(ii). kx + yk2 6 kxk2 + 2hy, x + yi.




6

với mọi x, y ∈ H .
Chứng minh. (i). Ta có
kλx + (1 − λ)yk2 = λ2 kxk2 + 2λ(1 − λ)hx, yi + (1 − λ)2 kyk2

= λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)(kxk2 − 2hx, yi + kyk2 )

= λkxk2 + (1 − λ)kyk2 − λ(1 − λ)kx − yk2 .
Ta được điều phải chứng minh.
(ii). Với mọi x, y ∈ H , ta có
kx + yk2 = kxk2 + 2hx, yi + kyk2

6 kxk2 + 2hx, yi + 2kyk2

= kxk2 + 2hy, x + yi.
Ta được điều phải chứng minh.


Định nghĩa 1.1.12. Cho H là khơng gian Hilbert. Dãy {xn } ⊂ H. Khi đó ta có các
khái niệm sau

(a). Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu
lim hxn , yi = hx, yi ,

n→∞

∀y ∈ H.

(b). Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến phần tử x ∈ H nếu
lim kxn − xk = 0.

n→∞

Kí hiệu xn ⇀ x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của dãy {xn } đến phần

tử x ∈ H.

Định nghĩa 1.1.13. (a). Tập hợp C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu
∀x1 , x2 ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.
(b). Tập C ⊂ H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy hội tụ {xn } ⊂ C đều có giới

hạn thuộc C, nghĩa là với mọi {xn } ⊂ C sao cho xn → x khi n → ∞ kéo theo
x ∈ C.

7

Định lý 1.1.14. Nếu C là một tập lồi, đóng trong khơng gian Hilbert H thì tồn tại
một phần tử duy nhất x0 ∈ C sao cho
với mọi

kx0 k 6 kxk

x ∈ C.

Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành, với mọi x, y ∈ C ta có
kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk + kyk)2 .
Do đó

x + y

2

.
kx − yk = 2(kxk + kyk ) − 4

(1.2)
2

x + y

x+y

≥ d. Từ (1.2)

∈ C, kéo theo

Đặt d = inf kxk. Vì C là một tập lồi nên
x∈C
2
2
ta có
2

2

2

kx − yk2 6 2(kxk2 + kyk2 ) − 4d2 .

(1.3)

Từ đó, nếu kxk = kyk = d thì x = y. Suy ra, x0 trong định lý nếu tồn tại là duy nhất.
Từ tính chất của tập C ta trích ra một dãy {xn } các phần tử của C sao cho
lim kxn k = d.

n→∞

Theo (1.3), với mỗi m, n ∈ N∗ , ta có
kxn − yn k2 6 2(kxn k2 + kyn k2 ) − 4d2 → 0 khi m, n → ∞.
Suy ra {xn } là dãy Cauchy trong khơng gian Hilbert H. nên nó hội tụ đến x0 ∈ H.

Do C là một tập hợp đóng nên x0 ∈ C. Suy ra

kx0 k = lim kxn k = d.

n→∞

Định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.1.15. Nếu C là một tập lồi đóng trong khơng gian Hilbert H. thì mỗi
phần tử x ∈ H, tồn tại một phần tử duy nhất y ∈ C sao cho
kx − yk = ρ(x, C) = inf kx − uk.
u∈C

Chứng minh. Ta thấy tập x − C = {x − u : u ∈ C} là một tập đóng trong H. . Theo

Định lý 1.1.14, tồn tại duy nhất một phần tử y ∈ C sao cho kx − yk 6 kx − uk với

mọi u ∈ C hay

kx − yk = ρ(x, C) = inf kx − uk.
u∈C

Hệ quả được chứng minh.




8

Nhận xét 1.1.16. Trong không gian Hilbert H. , ta có các khẳng định sau
(a) Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng.
(b) Nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H. thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk
và xn ⇀ x, thì xn → x khi n → ∞.

Chứng minh. (a) Nếu dãy {xn } ⊂ H hội tụ mạnh đến x ∈ H, nghĩa là lim kxn − xk =

0 thì dãy {xn } hội tụ yếu đến x ∈ H. Điều đó suy ra từ hệ thức

n→∞

|hxn , yi − hx, yi| = |hxn − x, yi| 6 kxn − xkkyk, ∀y ∈ H.
Tuy nhiên điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, đối với khơng gian Hilbert
H. có hệ trực chuẩn vô hạn {en }, theo bất đẳng thức Bessel, với phần tử bất kỳ
y ∈ H ta có

∞
X
n=1

nên lim hen , yi = 0,
n→∞

|hy, en i|2 6 kykn ,

∀y ∈ H. Do đó {en } hội tụ yếu tới phần tử θ. Nhưng hiển

nhiên dãy {en } không hội tụ mạnh tới phần tử θ.

(b) Ta có

kxn − xk2 = hxn − x, xn − xi

= kxk2 − hxn , xi − hx, xn i + kxk2 .

Từ giả thiết lim hxn , xi = hx, xi = lim hx, xn i và lim kxn k = kxk, nên chuyển qua
n→∞

n→∞

n→∞

giới hạn đẳng thức trên ta được lim kxn − xk = 0.

Vậy lim xn = x.

n→∞



n→∞

Định nghĩa 1.1.17 ([19]). Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của khơng
gian Hilbert thực H. Ta biết rằng với mỗi x ∈ H đều tồn tại phần tử PC (x) ∈ C
thỏa mãn

kx − PC (x)k = inf kx − yk.
y∈C

Phần tử PC (x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của x lên C và ánh xạ
PC : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành PC (x) được gọi là phép chiếu mêtric

từ H. lên C.

Phép chiếu mêtric PC được đặc trưng bởi các tính chất sau: PC x ∈ C và với mọi

x ∈ H, y ∈ C,

hx − PC x, PC x − yi > 0,

(1.4)


9

kx − yk2 > kx − PC xk2 + ky − PC xk2 .

(1.5)

Cho A : C → H là một ánh xạ. Từ (1.5) suy ra
(1.6)

u ∈ Ω ⇔ u = PC (u − λAu) ∀λ > 0.

1.2 Bài toán điểm bất động và bài toán bất đẳng thức biến
phân
Cho H. là khơng gian Hilbert thực, với tích vơ hướng và chuẩn được xác định
bởi h·, ·i và k · k, tương ứng.
Định nghĩa 1.2.1 ([5]). Cho X ⊆ H là một tập con khác rỗng. Xét ánh xạ T : C →
H. Khi đó ta có các khái niệm sau

(a). T được gọi là đơn điệu trên X nếu hT (x) − T (y), x − yi > 0 với mọi x, y ∈ X;
(b). T được gọi là η-đơn điệu mạnh X nếu tồn tại một hằng số η > 0 sao cho
hT (x) − T (y), x − yi > ηkx − yk2 , với mọi x, y ∈ X;
(c). T được gọi là liên tục Lipschitz trên X nếu tồn tại một hằng số L > 0 sao cho

kT (x) − T (y)k 6 Lkx − yk với mọi x, y ∈ X.
(d). T được gọi là tựa không giãn trên X nếu kT (x) − qk 6 kx − qk với mọi
(x, q) ∈ X × Fix(T ), trong đó Fix(T ) là tập các điểm bất động của T ;

(e). T được gọi là β nửa co trên X nếu tồn tại β ∈ [0, 1) sao cho
kT (x) − qk2 6 kx − qk2 + βkx − T (x)k2

∀(x, q) ∈ X × Fix(T );

(1.7)

(f). T được gọi là nửa đóng với dãy bất kỳ {xn }∞
n=0 ⊂ X và z ∈ X, nếu xn ⇀ z,
(I − T )(xn ) → 0 ⇒ z ∈ Fix(T ).

(g). T được gọi là không giãn nếu kT x − T yk 6 kx − yk

∀x, y ∈ X.

Cho H. là không gian Hilbert thực, 2H là tập hợp các tập con của H. . Ta có
định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.2 ([19]). Một ánh xạ đa trị T : H → 2H được gọi là đơn điệu nếu
với mọi x, y ∈ H, f ∈ T x và g ∈ T y, ta có hx − y, f − gi > 0.


10

Định nghĩa 1.2.3 ([19]). Ánh xạ đơn điệu T : H → 2H là cực đại nếu đồ thị của
nó G(T ) không được chứa thực sự trong đồ thị của bất kỳ ánh xạ đơn điệu nào

khác, với G(T ) := {(x, y) ∈ H × H ∗ : y ∈ T x, x ∈ H}.

Bài toán điểm bất động
Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert H. và ánh xạ
T : C → H là ánh xạ đơn trị. Bài toán điểm bất động của ánh xạ T được phát biểu

như sau:

Tìm x ∈ T sao cho x = T (x).
Tập các điểm bất động của T được ký hiệu là Fix(T ).
Ví dụ 1.2.4. Cho C = [0, 1] ⊂ H = R. Xét ánh xạ A : C → R.
(A) Nếu A xác định bởi A(x) = 2x + 1 thì A khơng có điểm bất động, vì A(x) = x
khơng có nghiệm trên C. Nếu A(x) = x + 1 thì A khơng có điểm bất động, vì
A(x) = x vơ nghiệm. Hai ví dụ này ta đều có
Fix(A) = ∅.
(B) Nếu A xác định bởi A(x) = 1 − 2x thì A có duy nhất điểm bất động, vì
A(x) = x có nghiệm duy nhất x = 1/3 ∈ C và

Fix(A) = {1/3} .
(C) Nếu A xác định bởi A(x) = x2 thì A có hai điểm bất động và
Fix(A) = {0, 1}.
(D) Nếu A xác định bởi A(x) = x thì A có vơ số điểm bất động và Fix(A) = [0, 1].

Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển
Trong mục này, chúng tôi đề cập đến bài tốn bất đẳng thức biến phân trên
khơng gian hữu hạn chiều Rn .
Cho C là một tập con lồi và đóng của Rn và F : C −→ Rn là một ánh xạ liên

tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị được phát biểu

11

như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho

hF x∗ , x − x∗ i > 0, ∀x ∈ C.

(1.8)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.8) được gọi là tập nghiệm của bài toán

và ký hiệu là V I(F, C).

Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.8) được cho bởi định lý dưới đây:
Định lý 1.2.5. Cho C là một tập lồi và compact trong Rn và F : C −→ Rn là một

ánh xạ liên tục. Khi đó, bài tốn (1.8) có ít nhất một nghiệm.

Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán điểm bất động với bất
đẳng thức biến phân cổ điển.
Mệnh đề 1.2.6. Phần tử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.8) khi và chỉ khi x∗ là

điểm bất động của ánh xạ PC (I − γF), với mọi γ > 0 và I là ánh xạ đồng nhất trên

Rn .

Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong khơng gian Hilbert
Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H. và A : C −→ H

là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát biểu như sau:
Tìm x∗ ∈ C sao cho

hAx∗ , x − x∗ i > 0 với mọi x ∈ C.

(1.9)

Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.9) được gọi là tập nghiệm của bài toán

và ký hiệu là V I(C, A).

Mệnh đề dưới đây cho ta biết về một trường hợp tồn tại nghiệm của bài toán
bất đẳng thức biến phân.
Mệnh đề 1.2.7. Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng và bị chặn của không
gian Hilbert H. và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, H. -liên tục. Khi đó,
V I(C, A) , ∅.

Mệnh đề 1.2.8. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert H. và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, H. -liên tục. Khi đó,
x∗ ∈ V I(C, A) khi và chỉ khi x∗ ∈ C và

hAy, y − x∗ i > 0, ∀y ∈ C.


12

Chứng minh. Giả sử x∗ ∈ V I(C, A), tức là hAx∗ , y − x∗ i > 0 với mọi y ∈ C. Khi đó,

từ tính đơn điệu của A, ta có

hAy, y − x∗ i = hAy − Ax∗ , y − x∗ i + hAx∗ , y − x∗ i > 0
với mọi y ∈ C.

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C thỏa mãn
hAy, y − x∗ i > 0, ∀y ∈ C.

Vì C là tập lồi, nên yt = ty + (1 − t)x∗ ∈ C với mọi y ∈ C và mọi t ∈ (0, 1). Do đó,
từ bất đẳng thức trên, ta có

hAyt , t(y − x∗ )i > 0, ∀t ∈ (0, 1).
tương đương với
hAyt , y − x∗ i > 0, ∀t ∈ (0, 1).
Từ tính H. -liên tục của A, cho t → 0+ , ta nhận được
hAx∗ , y − x∗ i >, ∀y ∈ C.
Mệnh đề được chứng minh.



Mệnh đề 1.2.9. Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian
Hilbert H. và cho A : C −→ H là một toán tử đơn điệu, H. -liên tục. Khi đó,
x∗ ∈ V I(C, A) khi và chỉ khi x∗ = PC (x∗ − λAx∗ ) với mọi λ > 0.

1.3 Một số bổ đề bổ trợ
Nội dung của các bổ đề dưới đây sẽ được vận dụng để chứng minh các kết quả
trong chương sau.
Bổ đề 1.3.1 ([17], Bổ đề 2.1). Cho {sn } là một dãy các số thực không âm thỏa mãn

các điều kiện: sn+1 6 (1 − αn )sn + αn βn , ∀n > 0 trong đó {αn } và {βn } là các dãy số

thực sao cho

(i). {αn } ⊂ [0, 1] và

P∞

n=0 αn

= ∞, hoặc tương đương

∞
n
Y
Y
(1 − αk ) = 0;
(1 − αn ) := lim
n=0

n→∞

k=0


13

(ii). lim supn→∞ βn 6 0 hoặc
(ii’).

P

n αn βn

hội tụ.

Khi đó limn→∞ sn = 0.
Bổ đề 1.3.2 ([20]). Cho {an }∞
n=0 là các dãy số thực không âm thỏa mãn:
an+1 6 (1 − αn )an + αn σn + γn ,

n > 1,

trong đó
(i). {αn }∞
n=0 ⊂ [0, 1],

P∞

n=1 αn

= ∞;

(ii). lim supn→∞ σn 6 0;
(iii). γn > 0 (n > 1),

P∞

n=1 γn

< ∞.

Khi đó an → 0 khi n → ∞.

Bổ đề 1.3.3 ([20]). Giả sử T là tự ánh xạ khơng giãn của một tập con lồi đóng
khác rỗng C của không gian Hilbert thực H. . Nếu Fix(T ) , ∅ thì I − T là demi
đóng; nghĩa là khi {xn } là một dãy trong C hội tụ yếu về x ∈ C và dãy {(I − T )xn }
hội tụ mạnh đến y, suy ra (I − T )x = y. Ở đây I là toán tử đơn vị của H. .

Bổ đề 1.3.4 ([5]). Giả sử A là một ánh xạ đơn điệu liên tục trên tập con lồi, đóng,
khác rỗng C của khơng gian Hilbert thực H. . Khi đó tập nghiệm của (0.1) là tập
lồi và đóng.
Bổ đề 1.3.5 ([5]). Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của khơng gian Hilbert
thực H. . A : C → H là ánh xạ đơn điệu, liên tục và z ∈ C. Khi đó
z ∈ Ω ⇔ hA(x), x − zi > 0

∀x ∈ C.


14

Chương 2
Về phương pháp lặp hữu hiệu tìm điểm bất
động chung và bất đẳng thức biến phân
trong không gian Hilbert
2.1 Phương pháp gradient tăng cường giải bài toán bất đẳng
thức biến phân và bài tốn điểm bất động trong khơng
gian Hilbert
Mục đích của mục này trình bày về phương pháp gradient tăng cường giải bài
toán bất đẳng thức biến phân và bài tốn điểm bất động, nội dung được trích dẫn
từ tài liệu [12,13] của L. C. Zeng, J. C. Yao cơng bố năm 2006 và 2007.
Xét bài tốn bất đẳng thức biến phân (V I(A, C)).
Tìm một phần tử của Fix(T ) ∩ Ω theo giả thiết một tập C ⊂ H là lồi, đóng và

khác rỗng và ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn và một ánh xạ A : C → H
là β-đơn điệu mạnh ngược, Takahashi và Toyoda [16] đã giới thiệu sơ đồ lặp sau:
xn+1 = αn xn + (1 − αn )T PC (xn − λn Axn ) ∀n > 0,

(2.1)

trong đó x0 = x ∈ C, {αn } là một dãy trong (0, 1) và {λn } là một dãy trong (0, 2α).

Họ đã chứng minh rằng nếu Fix(T )∩Ω , ∅ thì dãy {xn } sinh bởi (2.1) hội tụ yếu về

z ∈ Fix(T ) ∩ Ω. Gần đây, ý tưởng về phương pháp dưới đạo hàm của Korpelevich

[8], Nadezhkina và Takahashi [14] đã giới thiệu một sơ đồ lặp để tìm một phần tử
của Fix(T ) ∩ Ω và trình bày kết quả hội tụ yếu sau đây.


15

Định lý 2.1.1 ([20]). Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của khơng
gian Hilbert thực H . Cho A : C → H là ánh xạ đơn điệu, liên tục k-Lipschitz và

T : C → C là một ánh xạ không giãn sao cho Fix(T ) ∩ Ω , ∅. Cho {xn }, {yn } là

hai dãy được sinh bởi




x0 = x ∈ H,






yn = PC (xn − λn Axn ),







 xn+1 = αn xn + (1 − αn )T PC (xn − λn Ayn )

(2.2)
∀n > 0

trong đó {λn } ⊂ [a, b] với a, b ∈ (0, 1/k) và {αn } ⊂ [c, d] với c, d ∈ (0, 1). Khi

đó dãy {xn }, {yn } hội tụ yếu đến cùng một điểm z ∈ Fix(T ) ∩ Ω trong đó z =

limn→∞ PFix(T )∩Ω xn .

Gần đây, lấy cảm hứng từ sơ đồ lặp của Nadezhkina và Takahashi [14], Zeng
và Yao [19] đã giới thiệu một sơ đồ lặp khác để tìm một phần tử của Fix(T ) ∩ Ω

và thu được sự hội tụ yếu sau đây.

Định lý 2.1.2 ([19], Định lý 3.1). Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng
của không gian Hilbert thực H . Cho A : C → H là ánh xạ đơn điệu, liên tục

k-Lipschitz và T : C → C là một ánh xạ không giãn sao cho Fix(T ) ∩ Ω , ∅. Cho
{xn }, {yn } là hai dãy được sinh bởi




x0 = x ∈ H,





yn = PC (xn − λn Axn ),







 xn+1 = αn x0 + (1 − αn )T PC (xn − λn Ayn )

(2.3)
∀n > 0

trong đó {λn } và {αn } thỏa mãn các điều kiện sau:
(a). {λn k} ⊂ (0, 1 − δ) với δ ∈ (0, 1);
(b). {αn } ⊂ (0, 1),

P∞

n=0 αn

= ∞, limn→∞ αn = 0.

Khi đó dãy {xn }, {yn } hội tụ mạnh đến cùng một điểm PFix(T )∩Ω (x0 ) sao cho limn→∞ kxn −
xn+1 k = 0.

Chứng minh. Ta chứng minh theo các bước sau.
Bước 1. {xn } bị chặn và {tn } cũng bị chặn trong đó tn = PC (xn − λn Ayn ) ∀n > 0.
Thật vậy, giả sử u ∈ Fix(T ) ∩ Ω. Từ (1.5) suy ra

ktn − uk2 6 kxn − λn Ayn − uk2 − kxn − λn Ayn − tn k2


16

= kxn − uk2 − kxn − tn k2 + 2λn hAyn , u − tn i
+ 2λn (hAyn − Au, u − yn i + hAu, u − yn i + hAyn , yn − tn i)

6 kxn − uk2 − kxn − tn k2 + 2λn hAyn , yn − tn i

= kxn − uk2 − kxn − yn k2 − 2hxn − yn , yn − tn i − kyn − tn k2
+ 2λn hAyn , yn − tn i

= kxn − uk2 − kxn − yn k2 − kyn − tn k2
+ 2hxn − λn Ayn − yn , tn − yn i.
Hơn nữa, từ (1.4) ta có
hxn − λn Ayn − yn , tn − yn i

= hxn − λn Axn − yn , tn − yn i + hλn Axn − λn Ayn , tn − yn i
6 hλn Axn − λn Ayn , tn − yn i
6 λn kkxn − yn kktn − yn k.
Do đó ta có
ktn − uk2 6 kxn − uk2 − kxn − yn k2 − kyn − tn k2
+ 2λn kkxn − yn kktn − yn k

6 kxn − uk2 − kxn − yn k2 − kyn − tn k2
+ λ2n k2 kxn − yn k2 + kyn − tn k2

6 kxn − uk2 + (λ2n k2 − 1)kxn − yn k2
6 kxn − uk2 .

(2.4)

Bằng quy nạp, ta có
kxn − uk 6 kx0 − uk

∀n > 0.

Thật vậy khi n = 0, từ (2.4) ta có
kx1 − uk = kα0 x0 + (1 − α0 )T t0 − uk
= kα0 (x0 − u) + (1 − α0 )(T t0 − u)k
6 α0 kx0 − uk + (1 − α0 )kt0 − uk
6 α0 kx0 − uk + (1 − α0 )kx0 − uk
= kx0 − uk

(2.5)