Chuyên đề 2 liên hệ phép nhân, phép chia và phép khai phương , ôn thi toán lớp 9 và tuyển sinh lớp 10, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

Chương 1. CĂN BẬC HAI. CĂN BẬC BA
Chuyên đề 2. LIÊN HỆ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA VÀ PHÉP
KHAI PHƯƠNG
A. Kiến thức cần nhớ
1. Với A  0, B  0 thì:

A.B  A. B và ngược lại

 A

Đặc biệt, khi A  0 , ta có:
A

B

2. Với A  0, B  0 thì

2

A. B  A.B

 A2  A .

A
và ngược lại
B

A

B

A
B

3. Bổ sung


Với A1 , A2 ,..., An  0 thì:



Với a  0; b  0 thì:



Với a  b  0 thì:

A1 . A2 ... An  A1. A2 ... An

a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  0 hoặc b  0 ).
a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  b hoặc b  0 ).

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a)
b)

8  15. 8  15 ;





2

6  11  6  11 .
Giải

a)
b)

8  15. 8  15  64  15  49  7 .



6  11  6  11



2

 6  11  2

6





11 6  11  6  11

 12  2 36  11  22 .
Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: P  2  2  2 . 4  8. 2  2  2 .
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng
và

a  b nên ta dùng tính chất giao hốn và thực hiện phép tính.

Trình bày lời giải
P  2  2  2 . 4  8. 2  2  2  2  2  2 . 2  2  2 . 4  8

P  4  2  2. 4  2 2 
P  4  2. 2  2 .

 2 2.

2  2. 2

a b


Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: A  10  2 21  3 .
Giải
Tìm cách giải. Để rút gọn biểu thức có dạng
x  2 xy  y 



x y



2



a2 b 

Ta cần biến đổi:

a  2 b ta chú ý tới hằng đẳng thức

x y



2

, do vậy ta xác định x và y thông qua

x  y  a; xy  b . Chẳng hạn: x  y  10; x. y  21   x; y   3;7 .
Trình bày lời giải
A  3  2. 3.7  7  3 



3 7



2

 3  3 7 3  7 .

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: B  4  7  8  3 5  2
Giải
Tìm cách giải. Đề bài chưa xuất hiện dạng
Ta cần biến đổi bài toán về dạng

a2 b .

a  2 b và giải theo cách trên.

Trình bày lời giải
Ta có: B. 2  8  2 7  16  6 7  2
B. 2 





2

7 1 

 3 7

2

2

B. 2  7  1  3  7  2  2  B  2 .
Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: A  2  3  4  2 3  21  12 3
Giải
Tìm cách giải. Với những bài tốn có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số
căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng
thức

a  2 b sau đó dùng hằng đẳng

A2  A và giải như các ví dụ trên.

Trình bày lời giải
Ta có A  2  3  4  2 3  21  12 3
 2 3  42 3 

2

3 3



2

 2 3  42 3 2 3 3

 2 3  44 3 3  2 3 

 2  3

2


 2 32 3  4 .
Suy ra A  2 .
Ví dụ 6: Rút gọn: C  2  2 5  2  2  2 5  2
Giải
Tìm cách giải.
Ví dụ này khơng thể biến đổi để đưa về dạng

a2 b 



x y



2

.

Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C  x  y  x  y ta thường tính C 2 sau đó nhận
xét dấu của C, từ đó tìm được C.
Trình bày lời giải
2
Xét C  2  2 5  2  2  2 5  2  2

C2  4  2 4  2 5  2  4  2
C2  6  2 5 









5 1

2



2

 42

2 5 2 2 2 5 2







5 1

2

5  1 . Vì C  0 nên C  1  5 .
x  1  x 2  y  1  y 2 . Chứng minh rằng: x  y .

Ví dụ 7: Cho x, y thỏa mãn

Giải
Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trị như nhau. Phân tích từ kết luận để có
x  y , chúng ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử  x  y  .
Dễ thấy x 2  y 2 có chứa nhân tử  x  y  , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử  x  y 
chúng ta vận dụng



a b





a  b  a  b từ đó suy ra:

mẫu số khác 0. Từ đó chúng ra có lời giải sau:
Trình bày lời giải
Từ đề bài ta có điều kiện: x  1; y  1 .
- Trường hợp 1: Xét x  1; y  1  x  y .
- Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có:
x2  y 2  x 1  y  1  0
  x  y  x  y 

 x  1   y  1
x 1  y 1

0



1
  x  y  x  y 
 0

x 1  y 1 



a b

a b
. Lưu ý rằng
a b


Vì x  y 

1
0 x y 0 x  y .
x 1  y 1

Ví dụ 8: Cho a 

1 2
. Tính giá trị biểu thức
2

16a 8  51a

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, Tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2011 – 2012)
Giải
Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp a 

1 2
vào biểu thức thì khai triển dài dòng,
2

dễ dẫn đến sai lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a 2 ; a 4 và a 8 bằng
hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn giản và khơng dễ mắc sai lầm.
Trình bày lời giải
2a  1  2  2a  1   2  4a 2  4a  1  2





 4a 2  1  4a  1  2 1  2  3  2 2  16a 4  9  12 2  8  17  12 2
 256a8  289  408 2  288  577  408 2  16a 8 



51 1  2
Xét 16a8  51a  577  408 2 

16
2

Vậy

577  408 2
16



577  408 2  408  408 2 169

16
16

16a 8  51a 

169 13
 .
16
4

Ví dụ 9: Tính giá trị S 

1 1
6 2
6 2
 7 với a 
.
; b

7
a b
2
2
Giải

Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài tốn sẽ
phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm. Bài tốn có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính
tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần.
Trình bày lời giải
Từ đề bài suy ra: a  b  6; ab  1
Ta có: a 2  b2   a  b   2ab  4 ;
2

a 3  b3   a  b   3ab  a  b   6 6  3.1. 6  3 6
3

2
2
3
3
5
2 3
3 2
5
5
5
2 2
Xét  a  b   a  b   a  a b  a b  b  a  b  a b  a  b 

4.3 6  a 5  b5  1 6


Từ đó tính được: a 5  b5  11 6
2
2
5
5
7
2 5
5 2
7
7
7
2 2
3
3
Xét  a  b   a  b   a  a b  a b  b  a  b  a b  a  b 

Suy ra: 4.11 6  a 7  b7  1.3 6  a 7  b 7  41 6
S

1 1
 7  b7  a 7  41 6 .
7
a b

Ví dụ 10: Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:
a b 

a  a2  b
a  a2  b

2
2
Giải

2
2
Đặt vế phải là: B  a  a  b  a  a  b
2
2

Ta có B  0
2
Xét B 2  a  2 a  b  2.
2

B  a  2.
2

a2   a2  b
4

a

a2  b
2

 . a 

a2  b
2

  a

a2  b
2

; B2  a  b

Vì B  0 nên B  a  b .
Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh.



2
Ví dụ 11: Cho các số thực x; y thỏa mãn: x  x  2

  y 1

Chứng minh rằng: x 3  y 3  3 xy  1
Giải



2
Đặt y  1  z từ giả thiết ta có: x  x  2

Nhân hai vế với

x

2

 



 

x2  2  x





x 2  2  x  z  z 2  2  x 2  2  x  1

 2 z  z2  2  2

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

 x  x  2   z  2  z   2 z  2  z
  x  x  2  2  2 z  2  z
2

2

2



z 2  2  2  *

x 2  2  x ta được

 2  x2  z  z 2  2  2



z

2

2

2

z 2  2  z ta được



y2  2 y  3  2


 x  x2  2  z 2  2  z  2
Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được:
x  z  0  x  y 1  0  x  y  1
3

3
2
2
2
2
Xét x  y  3xy   x  y   x  xy  y   3xy  x  xy  y  3xy

 x 2  2 xy  y 2   x  y   1
2

Vậy x 3  y 3  3xy  1 . Điều phải chứng minh.
C. Bài tập vận dụng



2.1. Tính:

Ta có: A 

2 3 5





2



2 3 5





2 3 5  2 3 5

Hướng dẫn giải – đáp số



2  3 5 5



2 3



2

  2 6.2 6  24 .

2.2. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên.



a) A  3  5. 3  5
b) B  2





3 1





10  2 ;



2 3 .
Hướng dẫn giải – đáp số



 

a) Ta có A  3  5. 3  5 . 2









5  1  6  2 5.





5 1 . 3  5

  5 1 . 3  5    5  1 .  5 1 .  3  5 
5  1 .  3  5   2  3  5  .  3  5   2.  9  5   8 .
2

5 1 .

 52

Vậy A là số tự nhiên.

 3  1 . 4  2 3  
 B   3  1 .  3  1  3  1  2 .

b) Ta có B 

 

3 1 .



3 1

2

Vậy B là số tự nhiên.
2.3. Rút gọn biểu thức:
a) P 

3 10  20  3 6  12
;
5 3

b) Q 

2 3 6 84
.
2 3 4
Hướng dẫn giải – đáp số






a) Ta có: P 

P







10 3  2  6 3  2
5 3

 3 2 . 2 

5 3

5 3

   3 2 

10  6



5 3

 3

2  2.

b) Ta có Q  2  3  2  2  6  8 
2 3 4





2  3  4 1 2
2 3 4

  1

2.

2.4. Rút gọn các biểu thức:
a) C 
b) D 

62





6  3 2  62



6 3 2

;

2
96 2  6
.

3
Hướng dẫn giải – đáp số

a) C 

C
C

1 2  3  2 2  2 3  2 6  1 2  3  2 2  2 3  2 6
2

 1

2 3



2



1

2 3



2

2





1 2  3  1 2  3



2

2 2
 2.
2

b) D 





3. 3  2 2  6


3



3





3. 2  2 2  1  6
3

2

2 1  2 
 3
3





2 1 2
3

  1 .

2.5. Cho x  3  2 . Tính giá trị B  x 5  3x 4  3x 3  6 x 2  20 x  2018 .
(Thi học sinh giởi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2012 – 2013)
Hướng dẫn giải – đáp số
Từ x  2   3 , bình phương hai vế ta được:
x 2  4 x  4  3  x 2  4 x  1  0  *
3
2
2

2
2
Ta có B  x  x  4 x  1  x  x  4 x  1  5  x  4 x  1  2013

Kết hợp với (*) ta có: B  2013 .
2.6. Tính giá trị biểu thức A  x 2  2002 x  2003 với


 27  10 2 

x





27  10 2  27  10 2
13  3 



13  3 :



27  10 2

13  2

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2002 – 2003)

Hướng dẫn giải – đáp số
27  10 2 

Ta có:

5 2

5 2

27  10 2 

2

2

5 2 .

5 2


 
 
 

  5  2  .23   5  2  .23  46 2 .
2

2

Tử số là: 5  2 . 5  2  5  2 . 5  2

Xét a 

13  3; a  0 .

13  3 



 a 2  13  3  13  3  2
 a 2  2 13  4  a  2
Do đó x 

2





13  3



13  3





13  2 .

46 2



13  2 :

 46 .

13  2

Vậy giá trị biểu thức A  462  2002.46  2003  92205 .
2.7. So sánh:
a)

6  20 và 1  6 ;

b)

17  12 2 và 2  1 ;

c)

28  16 3 và 3  2
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có
Vậy



5 1

2



5 1 

6 1

6  20  1  6 .

b) Ta có

17  12 2 =

9  12 2  8 =

= 3  2 2 = 2  2 2  1=
c)



5  2 5 1 

16  16 3  12 =





2 1

 4  2 3

2

2

32 2

 2 1 .

= 42 3

2


= 3  2 3  1=
Vậy





2

3 1 = 3 1  3  2 .

28  16 3  3  2 .

2.8. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn:
a  b  1  b2  1  a 2
Chứng minh rằng a 2  b 2  1 .
b) Chứng minh rằng số

20092  20092.20102  20102 là số nguyên dương.

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2010 – 2011)
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có a  1  a 2  b  1  b2 .
Bình phương hai vế khơng âm, ta được:
a 2  2a 1  a 2  1  a 2  b 2  2b 1  b 2  1  b2  a 1  a 2  b 1  b2 .
Bình phương hai vế không âm, ta được:
a 2  1  a 2   b2  1  b2   a 4  b4  a 2  b2  0
  a 2  b 2   a 2  b 2  1  0
Do a, b là hai số dương khác nhau nên a 2  b 2  0
 a 2  b 2  1  0 hay a 2  b 2  1 . Điều phải chứng minh.
b) Đặt a  2009 , ta có:
a 2  a 2  a  1   a  1  a 2  a 4  2a3  a 2   a  1
2

2

 a 4  2a 2  a  1   a  1 
2

a

2

 a  1

2

2

  a 2  a  1  20092  2009  1 là số nguyên dương.
2.9. Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức:



a  b  a  b  2 a  a2  b



Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt A  a  b  a  b ta có A  0 .
Xét A2  a  b  2.

 a b  a b a



 A2  2a  2 a 2  b  A2  2. a  a 2  b





b



2
Vì A  0 nên A  2 a  a  b . Suy ra điều phải chứng minh.


2.10. Cho x1  3  5 và x2  3  5 . Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x12  x22 ; C  x13  x23 ; D  x15  x25
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: A  x1.x2  3  5. 3  5  9  5  2 .
Ta có: B  x12  x22  3  5  3  5  6 .
2
2
Ta có: C   x1  x2   x1  x1 x2  x2  


C
C

C 





3 5  3 5

  6  2



3  5  3  5 .4



6  2 5  6  2 5 .2. 2



5  1  5  1 .2 2  4 10 .

2
2
3
3
5
2 3
3 3
5
Xét  x1  x2   x1  x2   x1  x1 x2  x1 x2  x2

 6.4 10  x15  x25  x12 x22  x1  x2 
 24 10  x15  x25  4



3 5  3 5




 24 10  x15  x25 



6  2 5  6  2 5 .2. 2

 24 10  x15  x25 



5  1  5  1 .2 2



 D  x15  x25  20 10 .
7 5  7 5

2.11. Rút gọn biểu thức: A 

7  2 11

 32 2 .

(Tuyển sinh lớp 10, chun tốn, TP. Hồ Chí Minh, năm học 2010 – 2011)
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét B  7  5  7  5
 B2  7  5  2

 7  5  7  5  7 

5

 B 2  14  2 49  5  14  4 11
Mà B  0 nên B  14  4 11 .
Từ đó suy ra: A 

14  4 11
7  2 11







2

2 1  A  2 

2.12. Cho x, y là các số thực thỏa mãn:



x 1  y y 

Tìm giá trị nhỏ nhất của S  x 2  3xy  2 y 2  8 y  12 .



2 1  1 .
y 1  x x


Hướng dẫn giải – đáp số
Tập xác định x  1; y  1 .
 Trường hợp 1: Xét x  y  1 suy ra:
P  12  3.1.1  2.12  8.1  12  6  1
 Trường hợp 2: Xét ít nhất x  1 hoặc y  1 . Ta có:
x x  y y  x 1  y 1  0









x 1 y  1
0
x 1  y 1





x  y . x  xy  y 





x  y . x  xy  y 






x y 
x  y .  x  xy  y 
0



x

1

y

1





x y



x y

x 1  y 1

 0



x y

Mà x  1; y  1 nên x  xy  y 
Suy ra

x 1  y 1

0

x y 0 x y

Ta có: S  x 2  3 x 2  2 x 2  8 x  12
 S  2 x 2  8 x  12  S  2.  x  2   4  0
2

Dấu bằng xảy ra khi x  2 .
Do đó giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x  2  2  .
Từ (1) và (2) vậy giá trị nhỏ nhất của S là 4 khi x  2 .

2.13. Rút gọn các biểu thức sau:
P  4  5 3  5 48  10 7  4 3 ;
Q





3 1

6  2 2. 3 

2  12  18  128 .
Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có: P  4  5 3  5 48  10 4  4 3  3

 2  3

P  4  5 3  5 48  10



P  4  5 3  5 48  10 2  3



2

P  4  5 3  5 28  10 3
P  4  5 3  5 25  10 3  3

 5  3

P  4 5 35



P  4 5 3 5 5 3

2



P  4  5 3  25  5 3  4  25  9  3 .
b) Q 





3 1

6  2 2. 3 

2  12  16  8 2  2

Q



3 1



6  2 2. 3 

2  12 

Q



3 1



6  2 2. 3 

2 2 3 4 2

Q



3 1



6  2 2 3  3  2 3 1

Q



3 1



6  2 2 3  3 1 

Q



3 1



62 42 3 

Q



3 1



42 3 









2

3 1

62 2 2 3





3 1



 4 2

62

3 1





3 1

3 1  2 .

2.14. Rút gọn biểu thức:
a) A  6  2 5  13  48
3 1
b) T  2 3  3  13  48
6 2
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Ta có: A  6  2 5  12  4 3  1
3 1

A

6 2 5

2

3 1



3 1

2



6  2 5  2 3 1
3 1


6  2 3  2 3 1

3 1

A

62

A





3 1



3 1

2

3 1



3 1 .
1
3 1

2 3  3  13  4 3
6 2

2. 2  3





3 1

3  2 3 1
3 1

2 3  3  2 3 1

6 2

T



2

3 1

T

T



3 1

A

b) Ta có

62



3 1



2

2 3 3



3 1

2

6 2



2 3



3 1

2

6 2



2 3  3 1
2





3 1

42 3
3 1


 1.
3 1
3 1



2.15. Rút gọn biểu thức: A 

2 10  30  2 2  6
2
.
:
2 10  2 2
3 1
Hướng dẫn giải – đáp số



A

A

A





10 2  3  2 2  3

Ta có: A 

2





10  2





10  2 . 2  3
2



10  2



.

.

3 1
2

3 1
2

2  3 3 1
4  2 3 3 1
.

.
2
2
4
2





3 1
4

2

.

3 1
3  1 3 1 3 1 1 .

.



2
2
2
4
2

2.16. Biết x  2  2  3  6  3 2  3 .
Tính giá trị biểu thức: S  x 4  16 x 2 .
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét x 2  2  2  3  6  3 2  3  2

2



2 3 63 2 3






 x2  8  2 2  3  2 3 4  2  3



 x2  8  2 2  3  2 6  3 3
 8  x2  2





2 3  63 3 .

Bình phương hai vế ta được:
64  16 x 2  x 4  4  2  3  6  3 3  2


 2  3   6  3 3  

 64  16 x 2  x 4  32
 x 4  16 x 2  32 .



2.17. Cho x  2019 

 x  2019 

2

 2020

  y  2019 

 y  2019 

2



 2020  2020 .

Tính giá trị của A  x  y .
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt x  2019  a; y  2019  b .







2
2
Đẳng thức đã cho có dạng: a  a  2020 . b  b  2020  2020  *

Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

a

2



 

 2020  a 2  b  b 2  2020 

a 2  2020  a , ta được:



a 2  2020  a .2020

 b  b 2  2020  a 2  2020  a  1
Nhân hai vế của đẳng thức (*) với

a



a 2  2020  b 2  2020  b 2   2020.



b 2  2020  b , ta được:
b 2  2020  b



 a  a 2  2020  b 2  2020  b  2 
Từ (1) và (2) cộng vế với vế và rút gọn ta được:
a  b  0  x  2019  y  2019  0
Vậy A  x  y  4038 .
2.18. Rút gọn biểu thức: A 

x2  5x  6  x 9  x2

3x  x 2   x  2  9  x 2

: 2 1

2x
3 x

Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: A 

 x  2   x  3  x  3  x   3  x 
x  3  x    x  2  3  x   3  x 

Điều kiện xác định 3  x  3 ,

:2

3  x  2x
3 x


A


3 x  x

A

x 3 1 3 x 1
.

 .
3 x 2 3 x 2

 :2
x  3

x  3  x  2 x  3  x 3  x
3  x   x  2

3 x
3 x

2013
2012
2011
2013
2012
2011
2.19. Cho biểu thức P   a  8a  11a    b  8b  11b  .

Tính giá trị biểu thức của P với a  4  5 và b  4  5 .
(Thi học sinh giỏi lớp 9, TP. Hà Nội, năm học 2012 – 2013)
Hướng dẫn giải – đáp số
Xét a  4  5 bình phương hai vế ta được:
a 2  8a  16  5  a 2  8a  11  0
Xét b  4   5 bình phương hai vế ta được:
b 2  8b  16  5  b2  8b  11  0 .
P  a 2011  a 2  8a  11  b 2011  b 2  8b  11
 P 0.
2.20. Cho

3
3
 x  ; x  0 và
2
2

3  2x  3  2x  a .

2
Tính giá trị của biểu thức P  6  2 9  4x theo a.
x

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Quảng Ngãi, năm học 2013 – 2014)
Hướng dẫn giải – đáp số
Ta có: P 



P
P

3  2x  2

 3  2x   3  2x   3  2x
x

3  2x  3  2x



x

 3  2x   3  2x

x



3  2x  3  2x



2

3  2x  3  2x
x




x



4x
3  2x  3  2x





4
a.

2.21. Tính giá trị của biểu thức: A  2 x 3  3x 2  4 x  2
Với x  2  5  5  2  5  5  3  5  1 .
2
2
(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2014 – 2015)
Hướng dẫn giải – đáp số


Đặt a  2  5  5  2  5  5 , a  0 .
2
2
Xét a 2  4  2 4 

5 5
 4 62 5  4
2





5 1

2

 3 5

 a  3 5
 x  3  5  3  5 1 


62 5
62 5

1
2
2

5 1
5 1

1  2 1
2
2

x  2  1  x  1  2   x  1  2  x 2  2 x  1  0 .
2

Ta có: A  2 x3  3x 2  4 x  2
A  2 x  x 2  2 x  1   x 2  2 x  1  1  1 .
2.22. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau:

64  6  4 . Hỏi có tồn

tại hay khơng các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như

trên.
Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt số đó là ab . Theo đầu bài, ta có:
ab  a  b  ab  a 2  2a b  b
 10a  a 2  2a b  a  2 b  10
 a chẵn. Đặt a  2 K  K  ¥   2 K  2 b  10  K  b  5 .
Do b  9 nên b  0;1; 4;9 .
 Nếu b  0  K  5  a  10 (loại)
 Nếu b  1  K  4  a  8  Số đó là 81
 Nếu b  4  K  3  a  6  Số đó là 64 (đã cho)
 Nếu b  9  K  2  a  4  Số đó là 49.