Chuyên đề 7 khái niệm hàm số và đồ thị , luyện thi học sinh giỏi toán lớp 9, ôn tập toán lớp 9 có lời giải chi tiết và thi tuyển sinh lớp 10 môn toán

Chương II.

HÀM SỐ BẬC NHẤT

Chuyên đề 7.

KHÁI NIỆM HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

A. Kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa
Giả sử có hai đại lượng biến thiên x và y, trong đó x thuộc tập số D. Nếu với mỗi giá trị
của x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập số thực ¡ thì ta
có một hàm số.
Ta gọi x là biến số và y là hàm số của x. Tập D là tập xác định của hàm số.
2. Cho các hàm số
Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau:
+ Hàm số cho bằng bảng;
+ Hàm số cho bằng biểu đồ;
+ Hàm số cho bằng công thức.
3. Đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D. Đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên tập D là tập
hợp tất cả các điểm M ( x; f ( x ) ) trên mặt phẳng tọa độ Oxy với mọi x thuộc D.
4. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên tập D.
Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên tập D nếu
∀x1 x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ;
Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên tập D nếu
∀x1 x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho bảng tiêu thụ điện năng của một hộ gia đình trong 12 tháng như sau:
Tháng

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Điện năng tiêu thụ

11

90

87

78

99

120

150

90

67

89

87

100

(kw.h)
2
Bảng trên thể hiện sự phụ thuộc giữa điện năng tiêu thụ (kí hiệu là y) và thời gian x
(tính theo tháng)
Với mỗi giá trị x ∈ D = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11,12} có duy nhất một giá trị y. Vậy ta có một
hàm số. Tập hợp D là tập xác định của hàm số này.
Các giá trị y = 112,90,87,... được gọi là các giá trị của hàm số tương ứng tại x = 1, 2,3,....

Nhận xét:
Một hàm số có thể được cho bởi bảng. Tuy nhiên không phải mọi bảng đều là hàm số.
Chẳng hạn:
Bảng ghi lại lượng các loại áo sơ mi của một cửa hàng
Màu áo

Trắng

Xanh

Số lượng
2
14
Trong bảng trên rõ ràng mỗi màu áo
con số y. Tuy nhiên dó màu áo

( x)

Đỏ

Vàng

Tím

3
0
6
( x ) đều được đặt tương ứng với một và chỉ một

không phải là số nên quy tắc cho bởi bảng trên

khơng phải là một hàm số.
Ví dụ 2. Cho hai số thực x, y sao cho: Mỗi giá trị x ( −1 ≤ x ≤ 1) tương ứng với y thỏa mãn
x 2 + y 2 = 1 . Hỏi quy tắc đặt tương ứng x với y nêu trên có phải là một hàm số khơng?
Giải
Ta có: Với x = 0 ⇒ y 2 = 1 ⇔ y = ±1 . Như vậy với một giá trị x = 0 được đặt tương ứng với 2
giá trị y phân biệt nên quy tắc đã cho không phải là một hàm số.
Nhận xét:
Một hàm số thường được cho bởi cơng thức. Tuy nhiên qua ví dụ trên ta thấy không
phải mọi công thức đều biểu diễn một hàm số. Một công thức đảm bảo là một hàm số
khi mỗi giá trị x thuộc tập xác định D đều đặt tương ứng với một và chỉ một giá trị y.
3
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hàm số y = f ( x ) = x + 3x + 1 đồng biến trên ¡ .

Giải
Với mọi x1 < x2 ( x1 , x2 ∈ ¡

)

ta có:

f ( x2 ) − f ( x1 ) = ( x23 − x13 ) + 3 ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 ) ( x12 + x1 x2 + x2 2 + 3)
2

x  3x 2

Do x12 + x1 x2 + x2 2 + 3 =  x1 + 2 ÷ + 2 + 3 > 0 với mọi x1 , x2 và x2 − x1 > 0 nên ta có:
2
4


f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0 ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 < x2 .
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét :
Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên tập D.
Ngồi cách làm như trên, ta có thể làm như sau : Với x1 , x2 ∈ D bất kỳ, x1 ≠ x2 .
Ta xét thương :

f ( x2 ) − f ( x1 )
x2 − x1


+ Nếu

f ( x2 ) − f ( x1 )
> 0 thì ta có hàm số đồng biến trên D.
x2 − x1

+ Nếu

f ( x2 ) − f ( x1 )
< 0 thì ta có hàm số nghịch biến trên D.
x2 − x1

Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + b ( a ≠ 0 ) (a, b là các tham số, x là số thực). Chứng
minh rằng : Hàm số y = f ( x ) đồng biến khi và chỉ khi a > 0 ; hàm số y = f ( x ) nghịch
biến khi và chỉ khi a < 0 .
Giải
Với mọi x1 , x2 phân biệt thuộc ¡ ta có:
Hàm số đã cho đồng biến ⇔

f ( x2 ) − f ( x1 ) a ( x2 − x1 )
=
=a .
x2 − x1
x2 − x1

f ( x2 ) − f ( x1 )
>0⇔a>0 .
x2 − x1

Hàm số đã cho nghịch biến ⇔

f ( x2 ) − f ( x1 )
<0⇔a<0 .
x2 − x1

Từ đó ta có điều phải chứng minh.
C. Bài tập vận dụng
7.1. Tìm điều kiện xác định của các hàm số:
a) y =

x+2
2x +1

b) y =

x +1
x + 3x − 4
2

c) y = x + 3 − 4 − 2 x
Hướng dẫn giải – đáp số
a) Hàm số y =

x+2
1
xác định ⇔ 2 x + 1 ≠ 0 ⇔ 2 x ≠ −1 ⇔ x ≠ −
2x +1
2

b) Hàm số y =

x +1
xác định ⇔ x 2 + 3x − 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ −4
x + 3x − 4
2

c) Hàm số y = x + 3 − 4 − 2 x xác định
x + 3 ≥ 0
 x ≥ −3
⇔
⇔
⇔ −3 ≤ x ≤ 2
4 − 2 x ≥ 0
x ≤ 2
7.2. Chứng minh rằng hàm số y =

x +1
1
nghịch biến khi x >

2x −1
2

Hướng dẫn giải – đáp số
Đặt y = f ( x ) =

x +1
2x −1

Với mọi x1 < x2 và x1 , x2 >

1
. Xét hiệu:
2


f ( x2 ) − f ( x1 ) =
=

x2 + 1 x1 + 1
−
2 x2 − 1 2 x1 − 1

( x2 + 1) ( 2 x1 − 1) − ( x1 + 1) ( 2 x2 − 1) = 3 ( x1 − x2 )
( 2 x2 − 1) ( 2 x1 − 1)
( 2 x2 − 1) ( 2 x1 − 1)

Do x1 < x2 và x1 , x2 >

1

nên ta có x1 − x2 < 0 và 2 x1 − 1 > 0 và 2 x2 − 1 > 0 .
2

Từ đó dẫn đến f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0 hay f ( x2 ) < f ( x1 ) . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến khi
x>

1
2

7.3. Chứng minh rằng hàm số y = 2 x 3 + x − 1 đồng biến
Hướng dẫn giải – đáp số
3
Đặt y = f ( x ) = 2 x + x − 1

Với mọi x1 < x2 . Xét hiệu:
f ( x2 ) − f ( x1 ) = 2 ( x23 − x13 ) + ( x2 − x1 ) = ( x2 − x1 )  2 ( x12 + x22 + x1 x2 ) + 1
2
= ( x2 − x1 )  x12 + x22 + ( x1 + x2 ) + 1



Do x1 < x2 nên ta có x2 − x1 > 0 .
Từ đó dẫn đến f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0 hay f ( x2 ) > f ( x1 ) .
Suy ra hàm số đã cho đồng biến.
7.4. Cho hàm số y = 2 x 2 − 1 . Các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không?
a ) A ( 1;1)

b) B ( 0; −1)

c)C ( −1;3)

d ) D ( 2; 2 )
Hướng dẫn giải – đáp số

2
Đặt y = f ( x ) = 2 x − 1

a) Do 1 = f ( 1) nên suy ra điểm A thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
b) Do −1 = f ( 0 ) nên suy ra điểm B thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
c) Do 3 ≠ 1 = f ( −1) nên suy ra điểm C không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
d) Do 2 ≠ 7 = f ( 2 ) nên suy ra điểm D không thuộc đồ thị của hàm số đã cho.
MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY

B. Các phương pháp giải
I/Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số y = a ' x 2 (a ' ≠ 0) .Điểm thuộc hay không thuộc đồ thị:


Hệ số a được tính theo cơng thức: a =

y
x2

 Để vẽ đồ thị hàm số y = a ' x 2 (a ' ≠ 0) ta lập bảng giá trị ( thường cho x 5 giá trị tuỳ ý)
 Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x)

yA = f(xA).

Ví dụ :
a/Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) khơng? C(3; -9) khơng?

Giải:
a/ Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22

a=1

b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y = x 2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta có Y = 32 = 9 = 9. Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta có Y = 32 = 9 ≠ 9. Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2
II/Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ 0).
1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
a’x2 = ax + b ⇔ a’x2- ax – b = 0 (1)
Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2 để tìm tung
độ giao điểm.
Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của (d) và (P).
2.Tìm điều kiện để (d) và (P) cắt;tiếp xúc; khơng cắt nhau:
Từ phương trình (1) ta có: a ' x 2 − ax − b = 0 ⇒ ∆ = (−a) 2 + 4a ' .b
a) (d) và (P) cắt nhau

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau
c) (d) và (P) khơng giao nhau

phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0
phương trình (1) vơ nghiệm ⇔ ∆ < 0

3.Chứng minh (d) và (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số:
+ Phương pháp : Ta phải chứng tỏ phương trình: a’x2 = ax + b có :
+ ∆ > 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:

∆ = ( A ± B) 2 + m

với m > 0 thì đường thẳng luôn cắt parabol


+ ∆ = 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:
∆ = ( A ± B) 2 thì đường thẳng ln cắt parabol

+ ∆ < 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức ∆ về dạng:

[

]

2
∆ = − ( A ± B ) + m với m > 0 thì đường thẳng khơng parabol

C. Bài Tập
Bài 1: Cho ba đường thẳng
(d1): y = x + 2, (d2): y = - x - 2, (d3): y = - 2x + 2, (d1) cắt (d2) tại A; (d1) cắt (d3) tại B,
(d2) cắt (d3) tại C.
a. Xác định toạ độ của các điểm A, B, C
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx + 2 (m ≠ 0).
Đường thẳng (d) cắt Ox tại A; cắt Oy tại B. Tìm m sao cho:
a. Tam giác OAB vuông cân tại O;
b. Diện tích tam giác OAB bằng 3;
c. Khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) bằng 1.
Bài 3. Cho ba đường thẳng (d1): y = x + 2, (d2): y = 2x + 1,
(d3): y = (m2+1)x + m. Tìm m để ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm.

Bài 4. Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = x + 2
A. Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 5: Cho parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d): y = mx - 1
a. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai
điểm phân biệt.
b. Gọi x1, x2 là hoành độ của các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm m
sao cho x21x2 + x22x1 - x1x2 = 3.
Bài 6: Cho ba đường thẳng : (d1): y = x + 1, (d2): y = 2, (d3): y = (2m+3)x-1
Tìm m để ba đường thẳng trên đồng quy.
Bài 7. Cho parabol (P): y = -2x2 và đường thẳng (d): y = x + m - 1. Tìm m để đường
thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở hai phía của trục tung.


Bài 8: Cho parabol (P): y = 3x2 và đường thẳng (d): y = 2x - m. Tìm m để đường thẳng
(d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt ở bên phải trục tung.
Bài 9: Cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng (d): y = mx - 2m + 2
2

Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2 sao
cho x2 = 8x1.
Bài 10. Cho parabol (P): y = - x 2 và đường thẳng (d): y = - mx + m - 1. Tìm m để
1

1

3

đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hành độ x1, x2 sao cho x + x = 2
1
2

Bài 11: Cho đường thẳng (d): y = (m 2 + 1) x + 2. Đường thẳng (d) cắt Ox tại A cắt Oy
tại B. Tìm m sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ tới đường thẳng (d) lớn nhất.
Bài 12. Cho parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng (d) có hệ số góc là k (k ≠ 0) và đi qua
2

điểm M (0;2).
a. Chứng minh (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b. Gọi E và F là hình chiếu của A và B trên trục hồnh. Chứng minh tam giác MEF
vng tại M.
Bài 13: Đề (2014)
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2.
a. Tìm toạ độ các giao điểm của (d) và (P)
b. Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.
Bài 14:Đề (2013)
Cho parabol (P): y =

1 2
1
x và đường thẳng (d): y = mx - m2 + m + 1
2
2

a. Với m = 1, xác định toạ độ các giao điểm A, B của (d) và (P);
b. Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2 sao cho |
x1 - x2| = 2.
Bài 15: Đề (2011)
Cho pa ra bol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x - m2 + 9
1 Tìm toạ độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m =1
2. Tìm m để đưởng thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.


Bài 16: Đề (2016)
Trong hai mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m 2-1 và parabol (P): y =
x2.
a. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi n.
b. Gọi x1 và x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P).
Tìm m để (x1 + 1)(x2 + 1) = 1.
Bài 17: Đề (2017)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5
a. Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm A(0;5) với mọi giá trị của m
b. Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): y = x 2 tại hai điểm phân
biệt có hồnh độ lần lượt là x1, x2 (với x1 < x2) sao cho |x1| > |x2|.
Bài 18: Cho parabol (P) : y = -x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ;
-2) .
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
HD: a). Đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phương trình đường
thẳng (d) là :

y = mx + m – 2.

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:

- x2 = mx + m – 2
⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 (*)

Và phương trình (*) có ∆ = m 2 − 4m + 8 = ( m − 2 ) 2 + 4 > 0 ∀ m nên phương trình (*) ln có
hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) ln cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
b). A và B nằm về hai phía của trục tung ⇔ phương trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai
nghiệm trái dấu ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2.
Bài 19:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a. Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C khơng thẳng hàng.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
c.
HD: a.Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thộc đường thẳng AB nên ⇒ b = 4; a = 2


Vậy đường thẳng AB là y = 2x + 4.
Điểm C(1;1) có toạ độ khơng thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đường thẳng AB ⇒ A,
B, C khơng thẳng hàng.
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đường thẳng AB ⇒ A,B,D
thẳng hàng
b.Ta có :
AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20
AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10
BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10
⇒ AB2 = AC2 + BC2 ⇒ ∆ABC vuông tại C

Vậy S∆ABC = 1/2AC.BC =

1
10 . 10 = 5 ( đơn vị diện tích )

2

Bài 20: Trên cùng một mặt phẳng tọa đọ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phương trình đường thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
HD:
a) A và B có hồnh độ và tung độ đều khác nhau nên phương trình đường thẳng AB có dạng
y = ax + b
A(5; 2) ∈ AB ⇒ 5a + b = 2
B(3; -4) ∈ AB ⇒ 3a + b = -4
Giải hệ ta có a = 3; b = -13
Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x - 13
b) Giả sử M (x, 0) ∈ xx’ ta có
MA = (x − 5)2 + (0 − 2)2
MB = (x − 3)2 + (0 + 4)2
Tam giác MAB cân ⇒ MA = MB ⇔ (x − 5)2 + 4 = (x − 3)2 + 16
⇔ (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16
⇔x = 1


Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
D) Bài tập tự luyện
Bài 1. cho parabol (p): y = 2x2.
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đường thẳng y = 2x +1.
1
2

Bài 2: Cho (P): y = x 2 và đường thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).

2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho (P) y = x 2 và đường thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4: Cho (P) y = −

x2
và (d): y = x + m
4

1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Bài 5: Cho (P): y = x 2 và (d): y = x + m
1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2
Bài 6: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng ( d1 ) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc ( d1 ) khơng ? Vì sao ?
2. Tìm a để (P): y = a.x 2 đi qua A
1
4

Bài 7: Cho (P): y = − x 2 và đường thẳng (d): y = mx − 2m − 1
1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm