Tài Liệu HOT Chuyên đề cơ năng định luật bảo toàn cơ năng Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý 10

Phần 1.
Chuyên đề 3: CƠ NĂNG. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG
A. TÓM TẮT KIẾN THỨC
I. NĂNG LƯỢNG. CÁC DẠNG NĂNG LƯỢNG CƠ HỌC
1. Năng lượng
- Định nghĩa, đặc điểm
+ Năng lượng là đại lượng đặc trưng cho khả năng thực hiện công của một vật hoặc một hệ vật.
+ Năng lượng của một vật (hoặc hệ vật) ở một trạng thái xác định có giá trị bằng cơng lớn nhất mà vật (hoặc
hệ vật) thực hiện được.
+ Nói đến năng lượng là nói đến một trạng thái của vật, nói đến cơng là nói đến một q trình từ trạng thái
này đến trạng thái khác của vật.
- Đơn vị: Trong hệ SI, đơn vị của năng lượng là J. Ngồi ra cịn có các đơn vị khác như Wh (ốt giờ) hoặc
kWh (kilơốt giờ).
2. Các dạng năng lượng cơ học
2.1. Động năng
- Định nghĩa, đặc điểm
+ Động năng của một vật là năng lượng có được do vật chuyển động và có giá trị bằng:
Wđ =

1 2
mv (3.1)
2

+ Động năng là đại lượng vô hướng và luôn dương.
+ Động năng có tính tương đối. Giá trị của nó phụ thuộc vào hệ quy chiếu được chọn.
- Định lí động năng: Độ biến thiên động năng của vật bằng tổng các cơng của lực ngồi tác dụng vào vật.

∆Wđ = W2 ñ − W1ñ = A12 (3.2)
(W1đ, W2đ là động năng đầu (vị trí 1) và cuối (vị trí 2) của vật; A 12 là tổng công của ngoại lực làm vật dịch
chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2).
- Đơn vị: Trong hệ SI, đơn vị của động năng là J (jun).

2.2. Thế năng
- Định nghĩa, đặc điểm
+ Thế năng của một hệ là năng lượng có được do tương tác giữa các vật (các phần) của hệ với nhau hoặc với
trường lực ngoài.
+ Thế năng phụ thuộc vào vị trí tương đối giữa các vật hoặc các phần của vật.
+ Thế năng là đại lượng vô hướng, có thể dương, âm hoặc bằng 0.
+ Thế năng có tính tương đối. Giá trị của nó phụ thuộc vào mốc tính thế năng.


+ Thế năng là dạng năng lượng gắn với lực thế. Các lực thế thường gặp là trọng lực, lực hấp dẫn, lực đàn hồi,
lực tĩnh diện...
- Hai loại thế năng
+ Thế năng trọng trường: Wt = mgz (3.3)
(g là gia tốc trọng trường, z là độ cao của vật so với vị trí chọn làm mốc).
+ Thế năng đàn hồi: Wt =

1 2
kx (3.4)
2

(x là độ biến dạng của vật đàn hồi).
- Độ giảm thế năng và công của lực thế: Công của lực thế bằng độ giảm thế năng:
AP ,F ( ñh) = Wt1 − Wt2 (3.5)
- Đơn vị: Trong hệ SI, đơn vị của thế năng là J (jun).
II. ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG
1. Cơ năng: Cơ năng là năng lượng cơ học, cơ năng của vật bao gồm động năng và thế năng:
W = Wñ + Wt (3.6)
⇔W=
W=

1 2
mv + mgz (thế năng trọng trường)
2

1 2 1 2
mv + kx (thế năng đàn hồi)
2
2

2. Định luật bảo tồn cơ năng: Với hệ kín khơng có ma sát, cơ năng của hệ được bảo toàn:
W = Wđ + W=const
(3.7)
t
III. ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN VÀ CHUYỂN HĨA NĂNG LƯỢNG
1. Định luật: Năng lượng không tự nhiên sinh ra cũng không tự nhiên mất đi. Năng lượng chỉ chuyển hóa từ
dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác.
2. Các trường hợp cụ thể
- Hệ kín, khơng ma sát (chỉ có lực thế tác dụng): W1 = W2

(3.8)

- Hệ kín, có ma sát (có lực không phải lực thế tác dụng):
W1 = W2 + Ams (3.9)
3. Hiệu suất của máy: H =

Wr
≤ 1 (3.10)
Wv

(Wr: năng lượng do máy thực hiện, Wv: năng lượng cung cấp cho máy). 

B. NHỮNG CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP
 VỀ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG


- Vì giá trị của động năng và thế năng phụ thuộc vào hệ quy chiếu nên khi tính động năng, thế năng của vật ta
phải chọn hệ quy chiếu (động năng) hoặc mốc tính thế năng.
- Khi dùng định lí động năng để tính cơng hoặc giải các bài tốn cơ học khác cần xác định đầy đủ cơng của
các ngoại lực tác dụng lên vật. Chú ý tổng công của các ngoại lực là tổng đại số (các cơng thành phần có thể
có giá trị dương, âm hoặc bằng 0).
- Để áp dụng định luật bảo toàn cơ năng thì hệ ta xét phải là hệ kín (các vật trong hệ khơng tương tác với các
vật bên ngồi hệ) và khơng có ma sát. Với hệ kín một vật thì biểu thức tường minh của định luật là:
W1 = W2 ⇔

1 2
1
1
1
mv1 + mgz1 + kx12 = mv22 + mgz2 + kx22
2
2
2
2

+ Trường hợp trọng lực:

1 2
1
mv1 + mgz1 = mv22 + mgz2 .
2
2

+ Trường hợp lực đàn hồi:

1 2 1 2 1 2 1 2
mv + kx = mv + kx .
2 1 2 1 2 2 2 2

- Khi có sự chuyển hóa giữa cơ năng và các dạng năng lượng khác (nhiệt năng, điện năng,...), các lực không
<0
phải là lực thế (lực ma sát) đã thực hiện cơng Ams thì: ∆W = W2 − W=A
1
ms
- Chú ý phân biệt các thuật ngữ: “độ biến thiên”, “độ giảm”, “độ tăng”. Cụ thể:
+ “Độ biến thiên” = “giá trị sau” - “giá trị đầu”: “độ biến thiên” có thể dương hoặc âm.
+ “Độ tăng” = “giá trị sau” - “giá trị đầu”: “độ tăng” luôn luôn dương.
+ ”Độ giảm” = “giá trị đầu” - “giá trị sau”: “độ giảm” luôn luôn dương.
 VỀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
. Với dạng bài tập về động năng, định lí động năng. Phương pháp giải là:
- Sử dụng các cơng thức: Wđ =

1 2
mv (m, v là khối lượng và vận tốc của vật)
2

+ Định lí động năng: ∆Wđ = W2 đ − W1ñ = A12 (W1đ, W2đ là động năng đầu (vị trí 1) và cuối (vị trí 2) của vật;
A12 là tổng công của ngoại lực làm vật dịch chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2).
- Một số chú ý
+ Giá trị của động năng phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn (có tính tương đối).
+ A12 là tổng đại số công của các ngoại lực làm vật dịch chuyển từ vị trí 1 đến vị trí 2. 
+ Định lí động năng dùng để tính cơng các lực tác dụng lên vật hoặc dùng để giải các bài tốn khơng thơng

qua các định luật Niu-tơn.
. Với dạng bài tập về thế năng, độ giảm thế năng. Phương pháp giải là:
- Sử dụng các công thức:


+ Thế năng trọng trường: Wt = mgz; thế năng đàn hồi: Wt =

1 2
kx , (z là độ cao của vật so với mốc tính thế
2

năng, x là độ biến dạng của vật đàn hồi).
+ Hệ thức giữa độ giảm thế năng và công của lực thế (trọng lực, lực đàn hồi):
- ∆Wt = Wt1 − Wt2 = AP ,F ( ñh)
- Một số chú ý:
+ Giá trị của thế năng phụ thuộc vào mốc thế năng ta chọn. Thế năng trọng trường có thể dương, âm hoặc
bằng 0.
+ Hệ thức giữa độ giảm thế năng và công của lực thế được áp dụng cho trường hợp hệ kín, khơng ma sát.
. Với dạng bài tập về bảo tồn cơ năng. Phương pháp giải là:
- Xác định hệ khảo sát. Kiếm tra điều kiện áp dụng định luật bảo tồn cơ năng: hệ kín và khơng ma sát.
- Chọn hệ quy chiếu, mốc tính thế năng.
- Xác định cơ năng đầu (vị trí 1) và cuối (vị trí 2): W1, W2.
- Áp dụng công thức định luật:
W1 = W2 ⇔

1 2
1
1
1
mv1 + mgz1 + kx12 = mv22 + mgz2 + kx22

2
2
2
2

+ Trường hợp trọng lực:

1 2
1
mv1 + mgz1 = mv22 + mgz2 .
2
2

+ Trường hợp lực đàn hồi:

1 2 1 2 1 2 1 2
mv + kx = mv + kx .
2 1 2 1 2 2 2 2

- Một số chú ý: Định luật bảo toàn cơ năng thường được áp dụng cho trường hợp lực tác dụng thay đổi hoặc
định luật bảo tồn động lượng khơng áp dụng được hoặc khơng đủ để giải bài tốn.
. Với dạng bài tập về bảo tồn và chuyển hóa năng lượng. Phương pháp giải là:
- Sử dụng công thức của định luật cho hai trường hợp:
+ Hệ kín, khơng ma sát: W1 = W2.
+ Hệ kín, có ma sát: W1 = W2 + Ams .
- Hiệu suất của máy: H =

Wr
≤ 1 , (Wr: năng lượng do máy thực hiện, Wv: năng lượng cung cấp cho máy).
Wv

- Một số chú ý: W1, W2 là tổng năng lượng đầu (vị trí 1) và sau (vị trí 2) của hệ; Ams là độ lớn cơng của lực
ma sát. Ta có thể viết: ∆W = W2 − W1 = Ams < 0 .
C. CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG
. NĂNG LƯỢNG - ĐỘNG NĂNG - THẾ NĂNG


3.1. Vật khối lượng m = 100g rơi tự do không vận tốc đầu. Lấy g = 10 (m/s2).
a) Bao lâu sau khi bắt đầu rơi, vật có động năng là 5J? 20J ?
b) Sau quãng đường rơi là bao nhiêu, vật có động năng là 1J? 4J?
Bài giải
a) Thời gian vật rơi
- Động năng của vật: Wñ =
- Thời gian vật rơi: t =

2Wñ
1 2
mv ⇒ v =
2
m

v 1 2Wñ
= .
g g m

1 2.5
+ Với Wñ( 1) = 5 J : t1 = .
= 1s .
10 0 ,1
1 2.20

+ Với Wñ( 2 ) = 10 J : t2 = .
= 2s .
10 0 ,1
Vậy: Sau 1s thì vật có động năng 5J; sau 2s thì vật có động năng 10J.
b) Quãng đường vật rơi
- Động năng của vật: Wñ =

2Wñ
1 2
mv ⇒ v2 =
2
m

- Quãng đường vật rơi: h =

v2 Wñ
=
.
2 g mg

+ Với Wñ( 1') = 1J : h1' =

1
= 1m.
0 ,110
.

+ Với Wñ( 2') = 4 J : h2' =

4

= 4 m.
0 ,110
.

Vậy: Quãng đường rơi của vật khi có động năng 1J là 1m; quãng đường rơi của vật khi có động năng 4J là
4m.
3.2. Đồn tàu m = 5 tấn đang chuyển động với vận tốc v 0 = 10 (m/s) thì hãm phanh, lực hãm F = 5000N. Tàu
đi thêm quãng đường s rồi dừng lại. Dùng định lí động năng, tính cơng của lực hãm, suy ra s.
Bài giải
Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của đoàn tàu.
uu
r
ur
ur
- Các lực tác dụng vào đoàn tàu: Trọng lực P , phản lực Q và lực hãm Fh .
ur ur
- Vì P , Q vng góc với phương chuyển động của đồn tàu nên AP = AQ = 0. 
1
Theo định lí động năng: Ah=∆Wđ = Wñ − W0 ñ = − mv2
2


1
⇒ Ah=− .5.10 3.10 2 = −2 ,5.10 5 J
2
- Mặt khác: Ah = − Fhs ⇒ s = −

Ah
Fh

=−

2 ,5.10 5
= 50 m .
5000

Vậy: Công của lực hãm là Ah = −2 ,5.10 5 J và quãng đường đoàn tàu đi thêm sau khi hãm phanh là s = 50m.
3.3. Ơ-tơ khối lượng m = 1 tấn, ban đầu chuyển động trên đoạn đường AB = 100m nằm ngang, vận tốc xe
tăng đều từ 0 đến 36(km/h). Biết lực cản trên đoạn đường AB bằng 1% trọng lượng xe.
a) Dùng định lí động năng tính cơng do động cơ thực hiện, suy ra cơng suất trung bình và lực kéo của động
cơ trên đoạn đường AB.
b) Sau đó xe tắt máy, hãm phanh và đi xuống dốc BC dài 100m, cao 10m. Biết vận tốc xe ở chân dốc là
7,2(km/h).
Dùng định lí động năng tính cơng của lực cản và lực cản trung bình tác dụng lên xe trên đoạn đường BC.
Bài giải
a) Xe chạy trên đường nằm ngang
Chọn chiều (+) là chiều chuyển động của xe.
uur
ur
ur
ur
- Các lực tác dụng vào xe: Trọng lực P , phản lực Q , lực kéo F và lực cản FC .
ur ur
Vì P , Q vng góc với phương chuyển động của xe nên AP = AQ = 0.
Gọi v là vận tốc của xe ở cuối đoạn đường nằm ngang AB.
Ta có: v = 36 (km/h) = 10(m/s) > 0.
mv2
mv2
- Theo định lí động năng: AF +AF =∆Wđ =
(1)

−0 =
C
2
2
Với FC = 0 ,01mg ⇒ AFC = − FC s = −0 ,01mgs
⇔ AF − 0 ,01mg =


mv2
v2 
⇒ AF = m 0 ,01gs + ÷
2
2



10 2
⇒ AF = 10 3. 0 ,0110
. .100 +
2

- Gia tốc của xe: a =


3
÷ = 60.10 J = 60 kJ


v2
10 2

=
= 0 ,5 (m/s2)
2 s 2.100

- Thời gian chuyển động của xe: t =
- Cơng suất trung bình: ℘ =

v 10
=
= 20 s .
a 0 ,5

AF 60000
=
= 3000W = 3kW
t
20


Lực kéo của động cơ: F =

(Hoặc

F=

℘
v

=

AF 60000
=
= 600 N
s
100

℘
2℘ 2.3000
=
=
= 600 N
)
0+v v
10
2

Vậy: Công do động cơ thực hiện là AF = 60kJ, cơng suất trung bình và lực kéo của động cơ là ℘ = 3kW và
F = 600 N .
b) Xe tắt máy xuống dốc

uur
ur
ur
Lúc này, các lực tác dụng vào xe là: Trọng lực P , phản lực Q , lực cản FC .
Gọi v1 là vận tốc của xe ở cuối dốc.
Ta có: v1 = 7,2(km/h) = 2 (m/s) > 0.
- Theo định lí động năng:
AP + AQ + AFC = ∆Wđ (2) với: AP = mgh; AQ = 0
Nên ∆Wñ =

mv12 mv2
−
2
2

Thay vào (2) ta được:
AFC = ∆Wñ − AP =
⇒ AFC =

mv12 mv2
m 2 2
−
− mgh =
v − v − 2 gh
2
2
2 1

(

)

10 3 2
2 − 10 2 − 2.10.10 = −148.10 3 J = −148 kJ
2

(

- Lực cản trung bình: FC =

)

AFC
s

=

−148.10 3
= −1480 N
100

Vậy: Công của lực cản là AFC = −148 kJ , lực cản trung bình FC = -1480N (dấu “-” chỉ lực cản ngược chiều
dương, tức là ngược chiều chuyển động của xe).
3.4. Viên đạn khối lượng m = 60g bay ra khỏi nòng súng với vận tốc 600(m/s). Biết nịng súng dài 0,8m.
a) Tính động năng viên đạn khi rời nịng súng, lực đẩy trung bình của thuốc súng và cơng suất trung bình của
mỗi lần bắn.
b) Sau đó viên đạn xuyên qua tấm gỗ dày 30cm, vận tốc giảm còn 10 (m/s). Coi động năng đạn trước khi
đâm vào gỗ là khơng đổi. Tính lực cản trung bình của gỗ.
c) Đạn ra khỏi tấm gỗ ở độ cao h = 15m. Tính vận tốc đạn khi chạm đất. Bỏ qua lực cản của khơng khí.
d) Sau khi chạm đất, đạn lún sâu vào đất 10cm. Tính lực cản trung bình của đất.
Bỏ qua tác dụng của trọng lực so với lực cản. 
Bài giải


Chọn chiều dương theo chiều chuyền động của viên đạn.
Gọi v1 là vận tốc của viên đạn khi ra khỏi nịng súng.
Ta có: v1 = 600 (m/s) > 0.
a) Đạn chuyển động trong nòng súng
- Khi đạn chuyển động trong nịng súng thì trọng lực nhỏ hơn rất nhiều so với nội lực là lực đẩy của thuốc
súng nên bỏ qua trọng lực. Suy ra chỉ có lực đẩy của thuốc súng sinh công.

- Gọi F1 là lực đẩy của thuốc súng; s1 là chiều dài của nòng súng. Động năng của đạn khi rời nòng súng:
mv12 0 ,06 .600 2
Wñ =
=
= 10800 J = 10 ,8 kJ
2
2
- Theo định lí động năng: AF = ∆W1đ =
1

mv12
mv2
−0 = 1
2
2
AF1

mv12
=
- Lực đẩy trung bình của thuốc súng: F1 =
.
s1
2 s1
0 ,06 .600 2
⇒ F1 =
= 13500 N
2.0 ,8
- Nếu coi chuyển động của viên đạn trong nòng súng là chuyển động biến đổi đều thì:
+ Vận tốc trung bình của đạn: v =

v0 + v1 0 + 600
=
= 300 (m/s).
2
2

+ Công suất trung bình của mỗi lần bắn: ℘ = F1 .v ⇒℘ = 13500.300 = 4050000W = 4050 kW .
Vậy: Động năng viên đạn khi rời nòng súng là 10,8kJ, lực đẩy trung bình cùa thuốc súng và cơng suất trung
bình của mỗi lần bắn là 13500N và 4050kW.
b) Đạn xuyên qua tấm ván
Gọi F2 là lực cản của gỗ; s2 là bề dày tấm ván; v2 là vận tốc của viên đạn khi ra khỏi tấm ván (v2=10(m/s)>0).
Bỏ qua trọng lực của viên đạn (rất nhỏ so với lực cản của gỗ) nên chi có lực cản cùa gỗ sinh cơng.

(

2
2
m v22 − v12
- Theo định lí động năng: A = ∆W = mv2 − mv1 =
F2
2ñ
2
2
2

)

- Lực cản trung bình của gỗ:
F2 =

AF2
s2

=

(

m v22 − v12
2 s2

) = 0 ,06.( 10

2

− 600 2

2.0 ,3

) = −35990 N

Vậy: Lực cản trung bình của gỗ có độ lớn bằng 35990N (dấu “-” chỉ lực cản ngược chiều dương, tức là
ngược chiều chuyển động của viên đạn). 
c) Đạn bay trong không khí


Gọi v3 là vận tốc của viên đạn khi chạm đất. Vì viên đạn chuyển động trong khơng khí chỉ dưới tác dụng của
trọng lực là lực thế nên cơ năng bảo toàn.
- Theo định luật bảo toàn cơ năng (gốc thế năng tại mặt đất), ta có:
mgh +

mv22 mv32
=
⇒ v3 = v22 + 2gh = 10 2 + 2.10.15 = 20 (m/s)
2
2

Vậy: Vận tốc đạn khi chạm đất là v3 = 20(m/s).
d) Đạn xuyên vào đất và dừng lại
Gọi v3 là vận tốc của đạn khi dừng lại trong đất (v 3 = 0); s3 là quãng đường đạn xuyên vào đất. Bỏ qua trọng
lực của viên đạn (rất nhỏ so với lực cản của đất) nên chỉ có lực cản của đất sinh cơng.
- Theo định lí động năng: AF = ∆W3ñ = 0 −
3

mv32
mv2
=− 3
2
2

AF3

mv32
0 ,06 .20 2
=−
=−
= −120 N
- Lực cản trung bình của đất: F3 =
s3
2 s3
2.0 ,1

Vậy: Lực cản trung bình của đất có độ lớn bằng 120N (dấu “-” chỉ lực cản ngược chiều dương, tức là ngược
chiều chuyển động của viên đạn).
3.5. Thang máy khối lượng m = 1 tấn, chuyển động thẳng từ trên xuống. Động cơ thang máy có thể kéo hoặc
hãm thang.
a) Ban đầu thang chuyển động nhanh dần khơng vận tốc đầu. Tính cơng do động cơ thực hiện sau khi đi được
quãng đường 5m và đạt vận tốc 18(km/h).
b) Giai đoạn kế tiếp, thang máy chuyển động thẳng đều. Tính cơng suất của động cơ.
c) Cuối cùng, thang máy chuyển động chậm dần và dừng lại sau khi đi thêm qng đường 2m. Tính cơng của
động cơ và lực tác dụng trung bình của động cơ lên thang trong giai đoạn này.
Bài giải
Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của thang máy. Trong cả 3 giai đoạn, ln có 2 lực tác dụng vào
ur
ur
vật là trọng lực P và lực kéo F của động cơ.
a) Giai đoạn I (thang máy đi xuống nhanh dần đều không vận tốc đầu)
Gọi v1 là vận tốc cuối giai đoạn I của thang máy; s1 là quãng đường thang máy đi được trong giai đoạn I.
- Theo định lí động năng: AF + A1P = ∆W1đ =
1

mv12
mv2
−0 = 1
2
2

- Vì thang máy đi xuống nên: A1P = mgs1 > 0 .
⇒ AF1 =

mv12
mv2

− A1P = 1 − mgs1
2
2

Với v1 = 18(km/h) = 5(m/s) > 0 và s1 = 5m nên:


AF1 =

1000.5 2
− 1000.10.5 = −37500 J = −37 ,5kJ < 0 : công cản.
2

Vậy: Công do động cơ thực hiện ở giai đoạn I là cơng cản, có độ lớn 37,5kJ.
b) Giai đoạn II (thang máy đi xuống đều)
Gọi v2 là vận tốc cuối giai đoạn II của thang máy (v 2 = v1 = 5(m/s)); s2 là quãng đường thang máy đi được
trong giai đoạn II.
- Theo định lí động năng: AF2 + A2 P = ∆W2 đ = 0
- Vì thang máy đi xuống nên: A2 P = mgs2 > 0 .
⇒ AF2 = − A2 P = −mgs2
- Công suất của động cơ: ℘ =
2

AF

2

t

=

mgs2
= mgv2 = mgv1
t

⇒℘2 = 1000.10.5 = 50000W = 50 kW .
Vậy: Công suất của động cơ là ℘2 = 50 kW .
c) Giai đoạn III (thang máy đi xuống chậm dần đều)
Gọi v3 là vận tốc cuối giai đoạn III của thang máy; s3 là quãng đường thang máy đi được trong giai đoạn III.
- Theo định lí động năng: AF + A3 P = ∆W3 ñ = 0 −
3
⇒ AF3 = −

mv22
2

mv22
mv2
− A3 P = − 2 − mgs3
2
2

Với v2 = v1 = 5(m/s) > 0 nên:
AF3 = −

1000.5 2
− 1000.10.2 = −32500 J = −32 ,5 kJ < 0 : cơng cản.
2

- Lưc tác dụng trung bình của động cơ: F3 =

AF3
s3

=

32500
= 16250 N .
2

Vậy: Công của động cơ và lực tác dụng trung bình của động cơ trong giai đoạn III có độ lớn là 32,5kJ và
16250N.
3.6. Hai máy bay chuyến động cùng chiều trên cùng một đường thẳng với các vận tốc v1 = 540(km/h),
v2 = 720(km/h).
Máy bay II bay phía sau bắn một viên đạn m = 50g với vận tốc 900(km/h) (so với máy bay II) vào máy bay
trước. Viên đạn cắm vào máy bay I và dừng lại sau khi đi được quãng đường 20cm (đối với máy bay I). Dùng
định lí động năng và định luật III Niu-tơn tính lực phá trung bình của viên đạn lên máy bay I.
Bài giải


Gọi m là khối lượng của viên đạn; v là vận tốc của viên đạn đối với máy bay I; v 0 là vận tốc của đạn đối với
máy bay II. Ta có: 
v = vđạn/ 1 = vđạn/ 2 + v2 / đất + vđất/ 1 = v0 + v2 − v1 (1)
Trong đó: v0 = 900(km/h) = 250(m/s);
v1 = 540(km/h) = 150(m/s); v2 = 720(km/h) = 200(m/s).
⇒ v = 250 + 200 - 150 = 300(m/s)
Xét trong hệ quy chiếu gắn với máy bay I, ta có bài tốn đơn giản sau: Viên đạn bay với vận tốc v đến cắm
vào máy bay I đang đứng yên và đi được quãng đường s = 20cm trong máy bay I rồi dừng lại.
Gọi FC là lực cản do máy bay I tác dụng lên đạn. Bỏ qua trọng lực của viên đạn (rất nhỏ so với lực cản của
máy bay I). Theo định lí động năng, ta có:

AF = ∆Wđ = 0 −
C

mv2
2

- Lực cản trung bình do máy bay 1 tác dụng lên đạn: FC =

AFC
s

=−

mv2
2s

- Theo định luật II Niu-tơn, lực phá trung bình của đạn lên máy bay I là:
F = − FC =

mv2 0 ,05.300 2
=
= 11250 N
2s
2.0 ,2

Vậy: Lực phá trung bình của viên đạn lên máy bay I là 11250N.
3.7. Hòn đá khối lượng m = 200g được ném từ mặt đất, xiên góc α so với phương ngang và rơi chạm đất ở
khoảng cách s = 5m sau thời gian chuyển động t = 1s. Tính cơng của lực ném, bỏ qua lực cản của khơng khí.
Bài giải
- Lực ném làm tăng vận tốc của vật từ 0 đến v0 (bỏ qua trọng lực khi ném).

- Theo định lí động năng:
mv02
mv02
(1)
AF = ∆Wđ =
− 0 ⇒ AF =
2
2
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ. Ta có:
+ Thời gian vật chuyển động: t =
+ Tầm xa trên mặt đất:
v02 sin2α 2 v02 sinα cosα
L=
=
g
g
+ Từ (2) suy ra: v0 sinα =

gt
(4)
2

2 v0 sinα
g

(2)


+ Từ (3) suy ra: v0 cosα =

gL
(5)
2 v0 sinα

+ Thay (4) vào (5): v0 cosα =

L
(6)
t

+ Bình phương hai vế (4) và (6) rồi cộng vế theo vế ta được:
 gt 2  L 2 
v =  ÷ +  ÷  (7)
 2   t  
2
0

+ Thay (7) vào (1) ta được
2
2
2
2
m gt   L   0 ,2  10.1   5  

AF =  ÷ +  ÷  =
÷ +  ÷  = 5J .
2  2   t  
2  2   1  






Vậy: Công của lực ném là AF = 5J.
3.8. Một người đặt súng theo phương ngang rồi lần lượt bắn hai phát vào một bức tường cách đầu súng
khoảng x = 60m theo phương ngang. Sau phát đạn thứ nhất, người ta đặt trước mũi súng một tấm gỗ mỏng
thì thấy viên đạn thứ hai chạm tường ở điểm thấp hơn viên đạn thứ nhất một khoảng l = 1m. Biết vận tốc
ban đầu của đạn là v0 = 300(m/s) và khối lượng đạn m = 20g.
Tính cơng do đạn thực hiện khi xuyên qua miếng gỗ.
Bài giải
Viên đạn thứ nhất chuyển động như vật bị ném ngang với vận tốc đầu v0.
ur
- Gọi v1 là vận tốc sau khi ra khỏi tấm ván của viên đạn thứ 2. Vì tấm ván
ur
rất mỏng nên v1 chỉ thay đổi độ lớn mà coi như không đổi hướng so với
uu
r
v0 , tức là sau khi ra khỏi tấm ván thì viên đạn thứ 2 cũng chuyển động
như vật bị ném ngang với vận tốc đầu v1.
uur
ur
- Gọi F là lực do viên dạn tác dụng lên tấm gỗ và FC là lực do tấm gỗ
tác dụng lên viên đạn.
uur
+ Công của lực cản FC là: AFC = ∆Wđ
ur
+ Cơng do đạn thực hiện là công của lực F : AF = − AFC = −∆Wñ
 mv2 mv2  m 2 2
⇒ AF = −  1 − 0 ÷ =
v −v

 2
÷ 2 0 1 (1)
2



(

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.
Ta có:

)


+ Phương trình quỹ đạo của 2 viên đạn lần lượt là:
gx12
gx22
y1 = 2 (2); y2 = 2 (3)
2v0
2 v1
+ Khi 2 viên đạn chạm tường thì: x1 = x2 = x và y2 = y1 + l

.

gx22 gx12
=
+l
+ Kết hợp với (2) và (3) ta được:
2 v12 2 v02
⇔ gv02 x2 = gv12 x2 + 2l v02 v12

⇒ v12 =

gv02 x2
gx2 + 2l v02

(4)

Thay (4) vào (1) ta được: AF =
⇒ AF =

gv02 x2 
m 2
 v0 − 2
÷
2
gx + 2l v02 ÷


0 ,02 
10.300 2 .60 2 
2
300
−

÷ = 750 J
2 
10.60 2 + 2.1300
. 2

Vậy: Công do đạn thực hiện khi xuyên qua miếng gỗ là AF = 750J.

3.9. Một ô-tô chuyển dộng nhanh dần đều không vận tốc đầu trên đường nằm ngang. Sau khi đi được quãng
đường s1, xe đạt vận tốc v. Ở cuối đoạn đường s2 kế tiếp, xe đạt vận tốc 2v.
Biết lực ma sát giữa xe và mặt đường là không đổi.
Hãy so sánh công của động cơ xe trên hai đoạn đường, so sánh s 1, s2 và cho biết cơng suất của động cơ xe có
thav đổi khơng?
Bài giải
Chọn chiều dương theo chiều chuyển động của xe. Ta có:
- Quãng đường s1: s1 =

v12
( v = 0 ) (1)
2a 0

2
2
2 v − v12 3v12
- Quãng đường s2: s = v2 − v1 = ( 1 )
(2)
=
2
2a
2a
2a
2

- Từ (1) và (2) ta có: s2 = 3s1.

uuu
r
ur

ur
ur
- Các lực tác dụng vào xe: trọng lực P , phản lực Q , lực kéo F của động cơ và lực ma sát Fms .
ur
ur
- Vì P và Q vng góc với phương chuyển động của xe nên AP = AQ = 0.
Gọi A1 là công của động cơ xe trong giai đoạn 1. Theo định lí động năng, ta có:
A1 + A1ms = ∆W1ñ =

m 2
m
v1 − 0 = v12
2
2


⇒ A1 =

m 2
m
m
v1 − A1ms = v12 − ( − Fms .s1 ) = v12 + Fms .s1 (3)
2
2
2

Gọi A2 là công của động cơ xe trong giai đoạn 2. Theo định lí động năng, ta có:
A2 + A2 ms = ∆W2 ñ =
⇒ A2 =

2
m 2 m 2 m
m
m
v2 − v1 = ( 2v1 ) − v12 = 3v12
2
2
2
2
2

m 2
m
m
3v1 − A2 ms = 3v12 − ( − Fms .s2 ) = 3v12 + Fms .3s1
2
2
2

m

⇒ A2 = 3  v12 + Fms .s1 ÷ (4)
2

Từ (3) và (4) ta có: A2 = 3A1
- Thời gian xe chuyển động giai đoạn 1: ∆t1 =

v1
a

- Thời gian xe chuyển động giai đoạn 2: ∆t2 =

v2 − v1 2 v1 − v1 v1
=
= = ∆t1
a
a
a

- Cơng suất trung bình của động cơ trong giai đoạn 1: ℘1 =

A1
.
∆t1

- Công suất trung bình của động cơ trong giai đoạn 2: ℘2 =

A2 3 A1
=
= 3℘1 .
∆t2 ∆t1

Vậy: A2 = 3A1; s2 = 3s1 và cơng suất trung bình của động cơ có thay đổi (tăng 3 lần).
3.10. Một người đứng trên xe đứng yên và ném theo phương ngang một quả tạ khối lượng m = 5kg với vận
tốc v1 = 4(m/s) đối với Trái Đất. Tính cơng do người thực hiện nếu khối lượng xe và người là M = 100kg. Bỏ
qua ma sát.
Bài giải
Quả tạ ném theo phương ngang nên trọng lực của quả tạ và lực nâng của tay theo phương thẳng đứng khơng
sinh cơng. Vì vậy chỉ có lực đẩy của tay theo phương ngang sinh cơng.
uu

r
Gọi v2 là vận tốc của (xe + người) đổi với đất sau khi ném. Theo phương ngang, động lượng được bảo toàn
nên:
mv1 + Mv2 = 0 ⇒ v2 = −

mv1
M

- Động năng của hệ (xe + người + tạ) trước khi ném: W0 ñ = 0 .
- Động năng của hệ (xe + người + tạ) sau khi ném: Wñ = W1ñ + W2 ñ . 
Với W1ñ =

mv12
là động năng của quả tạ sau khi ném.
2


2

Mv22 M  mv1 
m2 v12
là động năng của (xe + người) sau khi ném.
W2 đ =
= 
=
÷
2
2  M 
2M
mv12 m2 v12 m( M + m) 2

Suy ra: Wñ =
+
=
v1
2
2M
2M
m( M + m)

- Theo định lí động năng: A = Wñ − W0 ñ =
⇒ A=

5 ( 100 + 5 )
2.100

2

v12 − 0 =

m( M + m)
2M

v12

.4 2 = 42 J

Vậy: Công do người thực hiện là A = 42J.
3.11. Vật nặng khối lượng m 1 =1kg nằm trên tấm ván dài nằm ngang khối lượng m 2 = 3kg. Người ta truyền
cho vật nặng vận tốc ban đầu v0 = 2(m/s).
Hệ số ma sát giữa vật và ván là μ = 0,2, ma sát giữa ván và sàn khơng đáng kể.

Dùng định luật bảo tồn động lượng và định lí động năng, tính quãng đường đi của vật nặng đối với tấm ván.
Bài giải

uu
r
Chọn chiều dương theo chiều của v0 .

Gọi vG là vận tốc ban đầu của khối tâm của hệ vật và tấm ván.
- Theo phương ngang, động lượng bảo toàn nên:
mv
= ( m1 + m2 ) vG ⇒ vG =
1 0

mv
1 0
m1 + m2

- Vận tốc ban đầu của vật m1 đối với khối tâm G (trong hệ quy chiếu khối tâm):
v1G = v1ñ + vñG = v1ñ − vGñ = v0 − vG = v0 −

mv
mv
1 0
2 0
⇒ v1G =
m1 + m2
m1 + m2

- Vận tốc ban đầu của tấm ván m2 đối với khối tâm G (trong hệ quy chiếu khối tâm):
v2 G = v2 ñ + vñG = v2 ñ − vGñ = v0 − vG ⇒ v2 G = −

mv
1 0
m1 + m2

- Vận tốc ban đầu của vật m1 đối với tấm ván m2 (trong hệ quy chiếu khối tâm):
v12 = v1G + vG 2 = v1G − v2 G =

mv
mv
2 0
1 0
+
= v0
m1 + m2 m1 + m2

- Đối với tấm ván m2: a2 =

Fms µ mg
1
=
(vì trọng lực và phản lực cân bằng)
m2
m2

- Các lực tác dụng vào vật m 1 xét trong hệ quy chiếu khối tâm (hệ quy chiếu phi qn tính gắn với tấm ván)
uu
r
uuuu
r

F
có 2 lực tác dụng là lực ma sát F 'ms và lực qn tính q (ngồi trọng lực và phản lực cân bằng nhau). Ta có:


µ m12 g
F 'ms = Fms = µ mg;
Fq = ma
=
1
1 2
m2
Như vậy, xét trong hệ quy chiếu khối tâm (hệ quy chiếu phi quán tính gắn với tấm ván) thì vật m 1 chuyển
uu
r
uuuu
r
động trên tấm ván (coi là đứng yên) với vận tốc đầu bằng v12 = v0 dưới tác dụng của 2 lực là F 'ms và Fq .
uu
r
uuuu
r
- Theo định lí động nàng thì cơng của 2 lực F 'ms và Fq bằng độ biến thiên động năng của vật m1.
Ta có: A = ∆Wđ (1)

µ m12 g 
+
với: + A = Ams + Aq = − F 'ms + Fq s = −  µ mg
ữs
1
m2 ữ

(

A = à mg.
1

)

m1 + m2
.s (2)
m2

1
1
2
2
= − mv
+ ∆Wñ = 0 − mv
(3)
1 12
1 0
2
2
Thay (2) và (3) vào (1) ta được: − µ mg.
1
⇒ s=

m1 + m2

1
2
.s = − mv
1 0
m2
2

m2 v02
3.2 2
=
= 0 ,75 m
2 µ g( m1 + m2 ) 2.0 ,2.10 ( 1 + 3 )

Vậy: Quãng đường vật nặng đi được trên tấm ván đến khi dừng là 0,75m.
* Lưu ý: Có thể giải bài này theo phương pháp động lực học.
3.12. Tấm ván khối lượng M đang chuyển động đều trên mặt phẳng ngang không ma sát với vận tốc v 0. Đặt
nhẹ nhàng lên tấm ván một vật khối lượng m=

M
. Hệ số ma sát giữa vật và ván là μ.
2

Hỏi vật sẽ trượt trên tấm ván một khoảng bao nhiêu nếu khi tiếp xúc với ván, vật có vận tốc ban đầu:
a) Bằng 0.
b) Bằng 2v0, cùng chiều chuyển động của ván.
c) Bằng 2v0, ngược chiều chuyển động của ván.
Bài giải
uu
r
ur

uu
r
Chọn chiều dương theo chiều của v0 . Giả sử v1 cùng hướng với v0 và v0 > v1 (kết quả vẫn đúng cho mọi
trường hợp) thì các lực tác dụng vào vật m và tấm ván M như hình vẽ.
Gọi v1 là vận tốc ban đầu của vật m;
vG là vận tốc ban đầu của khối tâm của hệ vật và tấm ván.
- Theo phương ngang, động lượng được bảo toàn:


Mv0 + mv1 = ( m+ M ) vG
M
v1 + Mv0 v + 2v
mv1 + Mv0
0
2
⇒ vG =
=
= 1
 
M
m+ M
3
+M
2
- Vận tốc ban đầu của vật m đối với khối tâm G (trong hệ quy chiếu khối tâm):
v1G = v1ñ + vñG = v1ñ − vGñ = v1 − vG = v1 −

v1 + 2 v0 2 ( v1 − v0 )
=
3

3

- Vận tốc ban đầu của tấm ván M đối với khối tâm G (trong hệ quy chiếu khối tâm):
v2 G = v2 ñ + vñG = v2 ñ − vGñ = v0 − vG = v0 −

v1 + 2 v0
v −v
=− 1 0
3
3

- Vận tốc ban đầu của vật m đối với tấm ván M (trong hệ quy chiếu khối tâm):
2 ( v1 − v0 )

v1 − v0
= v1 − v0
3
3
uuu
r
ur ur
ur
ur
- Các lực tác dụng vào tấm ván M: lực ma sát Fms , trọng lực P và phản lực Q ( P và Q cân bằng). Gia tốc
v12 = v1G + vG 2 = v1G − v2 G =

+

của M là:
a2 =

Fms µ mg
=
=
M
M

µ

M
g
2 = µg
M
2

- Các lực tác dụng vào m 1 xét trong hệ quy chiếu khối tâm (hệ quy chiếu phi quán tính gắn với tấm ván):
uu
r
uuu
r
uur uu
uur
uu
r
r
trọng lực P' và phản lực Q' ( P' và Q' cân bằng), lực ma sát Fms và lực quán tính Fq , với:
F 'ms = Fms = µ mg; Fq = ma2 =

µ mg
2

Như vậy, xét trong hệ quy chiếu khối tâm (hệ quy chiếu phi qn tính gắn với tấm ván) thì vật m chuyển
uuuu
r
động trên tấm ván (coi là đứng yên) với vận tốc đầu bằng v12 = ( v1 − v0 ) dưới tác dụng của 2 lực là F 'ms và
uu
r
Fq .
uu
r
uuuu
r
- Theo định lí động năng thì cơng của 2 lực F 'ms và Fq bằng độ biến thiên động năng của vật m:
A = ∆Wđ (1)

µ mg 
3µ mg
s (2)
với: + A = Ams + Aq = − F 'ms + Fq s = à mg +
ữs ⇒ A = −
2 
2


(

)

2
1

1
+ ∆Wñ = 0 − mv122 = − m( v1 − v0 )
2
2

(3)


2
(v −v )
- Thay (2) và (3) vào (1) ta được: − 3 µ mg = − 1 m( v1 − v0 ) ⇒ s = 1 0 (4)
2
2
3µ g
2

a) Vật m có vận tốc ban đầu bằng 0: v1 = 0
Thay v1

(0−v )
= 0 vào (4) ta được: s =

2

0

3µ g

v02
.

=
3µ g

b) Vật m có vận tốc ban đầu bằng 2v0, cùng chiều chuyển động của ván: v1 = 2 v0
Thay v1 = 2 v0

( 2v − v )
vào (4) ta được: s =
0

2

0

3µ g

v02
.
=
3µ g

c) Vật m có vận tốc ban đầu bằng 2v0, ngược chiều chuyển động của ván: v1 = −2 v0

( −2 v − v )
Thay v = −2 v vào (4) ta được: s =
1

0

0

0

3µ g

2

=

3v02
µg

* Lưu ý: Có thể giải bài này theo phương pháp động lực học.

ur uu
r
3.13. Hệ quy chiếu gắn với khối tâm G của hai chất điểm m 1, m2 (có vận tốc v1 ;v2 ) và có phương không đổi
gọi là hệ quy chiếu khối tâm (hệ G). Chứng minh:
ur
uu
r
uu
r mv + m v
2 2
a) Vận tốc của G là vG = 1 1
.
m1 + m2
b) Tổng động lượng của hai chất điểm trong hệ G bằng 0.
c) Tổng động năng WñG của chúng trong hệ G liên hệ với động năng Wñ trong hệ cũ bởi:
Wñ = WñG +

1
m1 + m2 ) vG2
(
2

d) Suy rộng các kết quả trên cho n chất điểm.
Bài giải
a) Vận tốc của khối tâm

ur
uu
r
uu
r
- Theo định luật bảo toàn động lượng: m1 v1 + m2 v2 = ( m1 + m2 ) vG
ur
uu
r
uu
r mv + m v
2 2
⇒ vG = 1 1
(đpcm)
m1 + m2
b) Tổng động lượng của hai chất điểm trong hệ G
r
Gọi: + v1/ G là vận tốc của chất điểm m1 trong hệ quy chiếu G (đối với G).
r
+ v1/ ñ là vận tốc của chất điểm m1 trong hệ quy chiếu mặt đất (đối với đất).

r
+ v2 / ñ là vận tốc của mặt đất đối với G.


ur
uu
r
r
r
r
ur uu
r ur m v + m v
2 2
Công thức cộng vận tốc cho: v1/ G = v1/ ñ + vñ/ G = v1 − vG = v1 − 1 1
m1 + m2
ur uu
r
m2 v1 − v2
r
(1)
⇒ v1 / G =
m1 + m2
ur
uu
r
r
r
r
uu
r uu

r uu
r mv + m v
2 2
Tương tự: v2 / G = v2 / ñ + vñ/ G = v2 − vG = v2 − 1 1
m1 + m2
uu
r ur
m1 v2 − v1
r
(2)
⇒ v2 / G =
m1 + m2

(

)

(

)

Tổng động lượng của hai chất điểm trong hệ G:
u
r
u
r
u
r
r
r

pG = p1 / G + p2 / G = m1 v1 / G + m2 v2 / G
ur uu
r
uu
r ur
mm
v
−
v
mm
v
− v1
u
r
u
r
u
r
r
1 2
1
2
1 2
2
⇒ pG =
+
= p1 / G + p2 / G = 0 (đpcm) (3)
m1 + m2
m1 + m2

(

)

(

)

c) Liên hệ giữa động năng Wñ/ G của chúng trong hệ G và động năng Wđ trong hệ cũ (hệ quy chiếu mặt đất)
- Tổng động năng của chúng trong hệ cũ (hệ quy chiếu mặt đất)
Wñ =

m1 r 2 m2 r 2
v1 +
v2 (4)
2
2

- Tổng động năng của chúng trong hệ G 
ur uu
r

m
v
−
v
r
r
2
1

2
m 2
m 2
m
Wñ/ G = 1 v1 / G + 2 v2 / G = 1 .
2
2
2  m1 + m2


(

⇒ Wñ/ G =

ur uu
r
mm
v
−
v
1 2
1
2

(

2 ( m1 + m2 )

)

2

)

2
uu
r ur

m v − v
 + m2 . 1 2 1

2  m1 + m2



(

ur 2
uruu
r
uu
r2
mm
v
−
2
mm
v
v
+

mm
v
1 2 1 2
1 2 2
(5)
= 1 2 1
2 ( m1 + m2 )

r
r 2


m
v
+
m
v
1
1
1
2 2
Mặt khác, ta có: ( m1 + m2 ) vG2 = ( m1 + m2 )  1

2
2
 m1 + m2 
ur 2
uruu
r
uu

r2
2
m12 v1 + 2 mm
v
v
+
m
v
1
1 2 1 2
2
2
= ( m1 + m2 ) .
2
2
(m +m)
1

2

ur 2
uruu
r
uu
r2
2
m12 v1 + 2 mm
v
v
+

m
v
1 2 1 2
2
2
(6)
=
2 ( m1 + m2 )
Từ (5) và (6) suy ra:

)






2


ur 2
ur r
uu
r2
ur 2
ur r
uu
r2
2
2

mm
v
−
2
mm
v
.v
+
mm
v
m
v
+
2
mm
v
.v
+
m
v
1
2
2
1 2 1
1 2 2
1 2 1
2
2
Wñ/ G + ( m1 + m2 ) vG2 = 1 2 1
+ 1 1

2
2 ( m1 + m2 )
2 ( m1 + m2 )
ur 2
uu
r2
ur 2
uu
r2
ur 2
uu
r2
2
2
r2
m
v
m
+
m
+
m
v
m1 + m2 ) m1 ur 2 m2 uu
mm
v
+
mm
v
+

m
v
+
m
v
(
)
1
1
1
2
2
2 (
1 2 2
1 1
2
2
= 1 2 1
=
=
v1 +
v2
2
2
2 ( m1 + m2 )
2 ( m1 + m2 )
⇒ Wñ/ G +

r2
m ur 2 m uu

1
m1 + m2 ) vG2 = 1 v1 + 2 v2 (7)
(
2
2
2

- Đối chiếu (4) với (7), ta được: Wñ = Wñ/ G +

1
m1 + m2 ) vG2 (đpcm) (8)
(
2

d) Suy rộng các kết quả trên cho hệ n chất điểm

ur uu
r uu
r
Xét hệ gồm n chất điểm khối lượng m1, m2, …, mn có vận tốc tương ứng là v1 ,v2 ,...,vn
ur
uu
r
uu
r
uu
r m v + m v + ...+ m v
2 2
n n
+ Tọa độ khối tâm của hệ: vG = 1 1

m1 + m2 + ... + mn
- Tổng động lượng của hệ trong hệ khối tâm G:
u
r
ur
u
r
r
pG = p1 / G + p2 / G + ...+ pn/ G = 0
- Liên hệ giữa động năng Wđ/G của chúng trong hệ G và động năng Wđ trong hệ cũ (hệ quy chiếu mặt đất), ta
có:
Wđ = Wđ/ G +

1
( m + m2 + ...+ mn ) vG2
2 1

3.14. Tính thế năng của một khối nước có thể tích 0,5m 3 ở đỉnh một ngọn thác cao 10m so với chân thác. Bỏ
qua kích thước của khối nước.
Bài giải
Bỏ qua thể tích của khối nước nên ta coi khối nước như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng khối
nước, đặt tại khối tâm của khối nước, tức là có độ cao bằng 10m.
Gọi D là khối lượng riêng của nước (D = 1000(kg/m 3)). Thế năng của khối nước so với chân thác (chọn gốc
thế năng ở chân thác):
Wt = mgh = VDgh
⇒ Wt = 0,5.1000.10.10 = 50000J = 50kJ.
Vậy: Thế năng của khối nước so với chân thác là Wt = 50kJ.
3.15. Treo một vật nặng vào một lò xo lực kế, kim lực kế chỉ số 4. Tính thế năng của lị xo lực kế lúc này,
biết lực kế chia độ ra Niu-tơn và khoảng cách giữa hai độ chia liền nhau là 5mm.
Bài giải

- Lực kế chia độ ra Niu-tơn có nghĩa là khoảng cách giữa hai độ chia liên tiếp ứng với lực đàn hồi của lò xo
là 1N.
- Độ cứng của lò xo: k =

∆F
1
=
= 200 (N/m)
∆ x 0 ,005

- Thế năng của lò xo (ứng với độ chia số 4):
kx2 200.( 4.0 ,005 )
Wt =
=
= 0 ,04 J = 40 mJ
2
2
2

3.16. Cho hệ thống như hình vẽ: m 1 = 1kg, m2 = 1,5kg. Bỏ qua ma sát, khối lượng
dây và rịng rọc. Thả cho hệ chuyển động thì vật m 1 đi lên hay đi xuống? Khi vật m 1
di chuyển 1m. Tìm độ biến thiên thế năng của hệ, suy ra công của trọng lực.
Cho g = 10(m/s2).
Bài giải
- Các lực tác dụng vào mỗi vật như hình vẽ.
- Điều kiện cân bằng của:
+ vật 1: P1 = T1
+ vật 2: 2T1 = T2 = P2

⇒ 2P1 = P2 ⇔ 2m1g = m2g ⇒ 2m1 = m2
- Vật m1 đi xuống (m2 đi lên) khi: P1 > T1
⇔ 2T1 = T2 > P2 ⇒ 2P1 > P2 ⇒ 2m1 > m2
- Tương tự, vật m1 đi lên (m2 đi xuống) khi: 2m1 < m2
- Áp dụng vào bài tốn, ta có:
2m1 = 2kg; m2 = 1,5kg ⇒ 2m1 > m2.
Như vậy, khi thả cho hệ chuyển động tự do (thả nhẹ) thì vật m1 đi xuống và vật m2 đi lên.
- Khi m1 dịch chuyển một đoạn h1 = h = 1m xuống phía dưới thì m2 đi lên một đoạn h2 =
- Chọn gốc thế năng riêng cho mỗi vật tại vị trí ban đầu của chúng, ta có:
+ Thế năng ban đầu của hệ: W1t = 0 .
+ m2 gh2 = −110
. .1 + 1,5.10.0 ,5 = −2 ,5 J
+ Thế năng sau của hệ: W2 t = − mgh
1
1
+ Độ biến thiên thế năng của hệ: ∆Wt = W2 t − W1t = −2 ,5 − 0 = −2 ,5 J
Vì ∆Wt < 0 nên thế năng giảm một lượng là 2,5J.
- Công của trọng lực (bằng độ giảm thế năng của hệ):
A = W1t − W2 t = − ∆Wt = 2 ,5 J > 0

h
= 0 ,5m.
2


3.17. Lò xo k = 100(N/m) đầu trên cố định, đầu dưới treo quả cầu khối lượng m = 100g. Quả cầu chuyển
động theo phương thẳng đứng và có thể rời ra xa vị trí cân bằng một khoảng lớn nhất là A = 2cm. Bỏ qua sức
cản của không khí.
a) Tính độ dãn của lị xo ở vị trí cân bàng.
b) Tính thế năng của hệ quả cầu, lị xo khi quả cầu ở vị trí cân bằng, vị trí thấp nhất, vị trí cao nhất, nếu:

- Chọn gốc thế năng trọng lực tại vị trí quả cầu ở thấp nhất, gốc thế năng đàn hồi khi lò xo không biến dạng.
- Chọn gốc thế năng trọng lực và đàn hồi đều ở vị trí cân bằng của quả cầu.
Bài giải
a) Độ dãn của lị xo ở vị trí cân bằng
Tại vị trí cân bằng O, lị xo dãn đoạn ∆l , trọng lực của vật cân bằng với lực
đàn hồi (hình vẽ).
Ta có: mg = k∆l
⇒ ∆l 0 =

0

mg 0 ,110
.
=
= 0 ,01m= 1cm
k
100

Vậy: Tại vị trí cân bằng lò xo dãn ra 1 cm.
b) Thế năng của hệ quả cầu và lò xo
* Trường hợp 1: Chọn gốc thế năng trọng lực tại vị trí quả cầu ở thấp nhất, gốc thế năng đàn hồi khi lò xo
không biến dạng. Chọn chiều dương của trục Ox như hình vẽ.
Thế năng của hệ (quả cầu - lị xo) gồm thế năng trọng lực W1t và thế năng đàn hồi của lò xo W2t:
Wt = W1t + W2 t
1
b1) Quả cầu ở vị trí cân bằng (O): Wt = W1t + W2 t = mgA + k∆l
2

2
0

1
⇒ Wt = 0 ,110
. .0 ,02 + .100.0 ,012 = 0 ,025 J
2
b2) Quả cầu ở vị trí thấp nhất (M):
2
2
1
1
Wt = W1t + W2 t = 0 + k ( ∆l 0 + A) = k ( ∆l 0 + A)
2
2

⇒ Wt =

2
1
.100.( 0 ,01 + 0 ,02 ) = 0 ,045 J .
2

b3) Quả cầu ở vị trí cao nhất (N)
Vì A > ∆l nên tại vị trí cao nhất N, lò xo bị nén một đoạn ∆l 1 :

∆l 1 = A − ∆l 0 = 0 ,02 − 0 ,01 = 0 ,01m
1
Wt = W1t + W2 t = mg.2 A + k∆l
2

2

1


1
⇒ Wt = 0 ,110
. .2.0 ,02 + .100.0 ,012 = 0 ,045 J .
2
* Trường hợp 2: Chọn gốc thế năng trọng lực và thế năng đàn hồi đều ở vị trí cân bằng của quả cầu.
* Lưu ý: 
+ Cơng thức tính thế năng đàn hồi của lị xo Wt =

1 2
kx chỉ áp dụng được cho trường hợp chọn gốc thế năng
2

đàn hồi tại vị trí lị xo không biến dạng, với x là độ biến dạng của lò xo.
+ Khi treo vật khối lượng m vào đầu dưới của lị xo, tại vị trí cân bằng, lị xo đã dãn đoạn ∆l 0 và trọng lực
của vật cân bằng với lực đàn hồi của lò xo. Hay nói cách khác thế năng của trọng lực đã bị khử bởi thế năng
đàn hồi với độ dãn lò xo là ∆l 0 .
Ta coi hệ “vật + lò xo” này tương đương với một lị xo khơng treo vật, có chiều dài tự nhiên bằng chiều dài
của lị xo có treo vật khi cân bằng, tức là đã dãn ∆l 0 (độ cứng k không đổi). Như vậy nếu chọn gốc thế năng
đàn hồi tại vị trí cân bằng thì vẫn áp dụng được cơng thức Wt =

1 2
kx , với x là độ biến dạng của lò xo tính từ
2

vị trí cân bằng.
Vì lị xo tương đương khơng treo vật (thế năng trọng lực đã bị cân bằng bởi thế năng đàn hồi) nên trong
trường hợp này thế năng trọng lực luôn bằng 0 và không phụ thuộc vào cách chọn gốc thế năng trọng lực

(W1t = 0). Thế năng của hệ luôn bằng thế năng đàn hồi của lị xo với mốc thế năng tại vị trí cân bằng.
Ta có: Wt = W1t + W2 t = W2 t =

1 2
kx
2

b4) Quả cầu ở vị trí cân bằng (O): Với lưu ý trên ta có x = 0 nên Wt =

1 2
kx = 0
2

b5) Quả cầu ở vị trí thấp nhất (M): Với lưu ý trên ta có x = A = 2cm = 0,02m:
Wt =

1 2 1 2 1
kx = kA = .100.0 ,02 2 = 0 ,02 J .
2
2
2

b6) Quả cầu ở vị trí cao nhất (N); Với lưu ý trên ta có x = -A = -2cm = -0,02m:
Wt =

1 2 1 2 1
kx = kA = .100.0 ,02 2 = 0 ,02 J
2
2
2

3.18. Hai lò xo k1 = 10(N/m), k2 = 15(N/m), chiều dài tự do
l 1 = l 2 = 20 cm. Các lò xo một đầu gắn cố định tại A, B, một đầu
nối với m (hình vẽ).
Biết AB = 50cm.
Bỏ qua kích thước cua m, bỏ qua ma sát.


a) Tính độ dãn của mỗi lị xo tại vị trí cân bằng O.
b) Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm. Tính thế năng đàn hồi của hệ hai lị xo tại vị trí x. Chọn gốc
thế năng tại vị trí cân bằng. 
Bài giải
a) Độ dãn của mỗi lị xo tại vị trí cân bằng
- Tổng chiều dài tự nhiên (tự do) của hai lò xo là: l = l 1 + l 2 = 40 cm.
Vì l < AB và l 1 = l 2 nên khi cân bằng cả hai lò xo đều dãn.
- Tổng độ dãn của hai lò xo khi cân bằng là: a = ∆l

01

+ ∆l

02

= AB − l

⇒ a = 50 − 40 = 10cm (1)

- Điều kiện cân bằng k1∆l

01

− k2 ∆l

02

= 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có:

∆l

01

=

k2
.a; ∆l
k1 + k2

Thay số: ∆l

01

=

02

=

k1

.a
k1 + k2

15
.10 = 6 cm; ∆l
10 + 15

02

=

10
.10 = 4cm
10 + 15

Vậy: Khi cân bằng lò xo 1 dãn 6 cm và lò xo 2 dãn 4 cm.
b) Thế năng đàn hồi của hệ hai lị xo khi vật lệch khỏi vị trí cân bằng 2cm
Khi vật ở trạng thái cân bằng thì cả hai lò xo dãn đoạn tương ứng ∆l

01

và ∆l

02

và lực đàn hồi của hai lị xo

cân bằng nhau. Nói cách khác thế năng đàn hồi của hai lò xo lúc này đã bù trừ lẫn nhau. Vì vậy, ta coi hệ hai
lò xo như trên khi đã biến dạng ở trạng thái cân bằng tương đương với hệ hai lò xo khơng biến dạng
có chiều dài tự nhiên bằng nhau và bằng chiều dài của hai lị xo nói trên khi cân bằng. Như vậy, ta vẫn áp

dụng được công thức Wt =

1 2
kx , với x là độ biến dạng của mỗi lị xo tính từ vị trí cân bằng.
2

Giả sử kéo vật lệch sang phải một đoạn 2cm tính từ vị trí cân bằng thì lị xo 1 dãn thêm đoạn x 1 = 2cm và lò
xo 2 bị nén bớt đoạn x2 = 2cm (tính từ vị trí cân bằng). Chọn chiều dương của trục Ox hướng nằm ngang
sang phải thì x1 = 2cm và x2 = -2cm.
Thế năng đàn hồi của hệ hai lò xo: Wt = W1t + W2 t =
⇒ Wt =

1
1
k1 x12 + k2 x2 2
2
2

2
1
1
.10.0 ,02 2 + .15.( −0 ,02 ) = 0 ,005 J = 5 mJ
2
2

* Lưu ý: Có thể coi hệ hai lò xo mắc song song như trên tương đương với một lị xo có độ cứng k = (k1 + k2)
và có chiều dài tự nhiên bằng chiều dài mỗi lò xo của hệ khi cân bằng. Ta có, thế năng đàn hồi của hệ khi lò
xo biến dạng đoạn 2cm, tức là x = ± 2cm là:

Wt =

2
1 2 1
1
kx = ( k1 + k2 ) x12 = ( 10 + 15 ) .( ±0 ,02 ) = 0 ,005 J = 5mJ
2
2
2

3.19. Hai lò xo k1 = 10(N/m), k2 = 20(N/m), chiều dài tự do
l 1 = 24cm; l 2 = 15cm. Các lò xo một đầu cố định tại A, một đầu nối
với m. Bỏ qua kích thước của m (hình vẽ).
a) Tính độ biến dạng của mỗi lị xo tại vị trí cân bằng O.
b) Kéo m lệch khỏi vị trí cân bằng đoạn x = 2cm. Tính thế năng đàn hồi
của hệ hai lị xo tại vị trí x. Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng.
Bài giải
a) Độ biến dạng của mỗi lị xo tại vị trí cân bằng
Tại vị trí cân bằng, hai lị xo dài bằng nhau, vì chiều dài tự do của lò xo 1 lớn hơn lò xo 2 ( l 1 > l
xo 1 bị nén đoạn ∆l 1 và lò xo 2 bị dãn đoạn ∆l 2 . Lực do hai lò xo tác dụng vào vật như hình vẽ.
ur
ur
- Vì trọng lực P và phản lực Q cân bằng nhau nên:
k1∆l1 = k2 ∆l2 (1)
- Mặt khác: l 1 − ∆l 1 = l 2 + ∆l

2

(2)

- Từ (1) và (2), ta được:

∆l 1 =

k2
.( l 1 − l
k1 + k2

⇒ ∆l 1 =

2

) ; ∆l

2

=

k1
.( l 1 − l
k1 + k2

2

)

20
10
.( 24 − 15 ) = 6 cm; ∆l 2 =
.( 24 − 15 ) = 3cm

10 + 20
10 + 20

Vậy: khi cân bằng lò xo 1 bị nén 6cm và lò xo 2 bị dãn 3cm.
b) Thế năng đàn hồi của hệ 2 lị xo tại vị trí x = 2cm
- Tương tự bài trên, ta có: Wt =

1
1
k1 x12 + k2 x2 2
2
2

Với x1 = x2 = x = 2cm= 0 ,02 m, suy ra:
Wt =

1
1
1
k1 x 2 + k2 x 2 = ( k1 + k2 ) x 2 (3)
2
2
2

⇒ Wt =

1
10 + 20 ) .0 ,02 2 = 6 .10 −3 J = 6 mJ
(
2

* Nhận xét: Đặt k = k1 + k2 thì biểu thức (3) có thể viết lại như sau: Wt =

1 2
kx .
2

Như vậy, hệ hai lị xo nói trên (ghép song song) tương đương với một lị xo có độ cứng

2

)

nên lị