Bài tập tổng hợp về điểm, đường thẳng,mặt phẳng ôn thi thpt

BÀI TOÀN TỔNG HỢP VỀ ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG,
MẶT PHẲNG
Tài liệu được biên soạn từ các thầy (cơ) trong nhóm tốn VD- VDC và các admin
lovebook.
1. Bài toán xác định điểm.
Dạng 1. Tìm điểm M Ỵ (P ) thỏa mãn ĐK cho trước
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (2; 0;1) , B (1; 0; 0) , C (1;1;1)
và mặt phẳng (P ) : x + y + z - 2 = 0 . Điểm M (a ;b; c ) nằm trên mặt phẳng (P ) thỏa
mãn MA = MB = MC . Giá trị của a + 2b + 3c là
A. 5 .
B. 3 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn D.
ìï a + b + c - 2 = 0
ìï M Ỵ (P )
ïï
ïï
2
2
2
ï
Ta có : ïí BM = A M nên ïí (a - 1) + b2 + c 2 = (a - 2) + b2 + (c - 1)
ïï
ïï
ïï (a - 1)2 + b2 + c 2 = (a - 1)2 + (b - 1)2 + (c - 1)2
ïï BM = CM
ỵ
ïỵ
ìï a + b + c = 2
ìï a = 1

ïï
ïï
ï
Û í 2a + 2c = 4 Û ïí b = 0 vậy T = a + 2b + 3c = 4.
ïï
ïï
ïï 2b + 2c = 2
ïï c = 1
ỵ
ỵ

(

D. 4 .

) (

)

Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A - 1;3; - 2 , B - 3;7; - 18

(

)

và mặt phẳng (P ) : 2x - y + z + 1 = 0 . Điểm M a, b, c thuộc (P ) sao cho mặt phẳng

(A B M ) vng góc với (P ) và MA 2 + MB 2 = 246 . Tính S = a + b + c .
A. 0 .

B. - 1 .

C. 10 .

D. 13 .

Lời giải
Chọn D.

uuuur
uuur
Gọi M a;b;c Ỵ (P ). Ta có A B = - 2; 4; - 16 , A M = a + 1;b - 3;c + 2 .
uuuur uuur
é
ù
Þ êA M , A B ú= - 2 8b + 2c - 20; - 8a + c - 6; - 2a - b + 1 là véc-tơ pháp tuyến của mặt
ë
û
phẳng (A B M ).
uuuur uur
Vì mp (A B M ) vng góc với mp (P ) nên n A BM .n P = 0 Þ 2a + 5b + c - 11 = 0 .

(

)

(

(

)

(

)

)

Mặt khác A , B không thuộc (P ) và nằm cùng một phía đối với mp (P ) .


(

)

Ta có A B = 2 69 . Gọi I là trung điểm của A B , ta có I - 2;5; - 10 .
Vì M I là trung tuyến của tam giác A MB Þ MI 2 =

MA 2 + MB 2 A B 2
= 54 .
2
4

ìï
ìï a = 4
ïï 2a - b + c + 1 = 0
ïï
ïï
Û ïí b = 2 .
Khi đó ta có hệ phương trình í 2a + 5b + c - 11 = 0

ïï
ïï
ïï (a + 2)2 + (b - 5)2 + (c + 10)2 = 54
ïï c = - 7
ỵ
ïỵ
Vậy S = a + b + c = 4 + 2 - 7 = - 1 .
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + y + z - 3 = 0 và

hai điểm A (m ;1; 0), B (1; - m ;2). Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A , B lên mặt
phẳng (P ) . S là tập tất cả giá trị của m để EF =
A. - 6 .

B. 2 .

5 . Tổng tất cả các phần tử của S là

C. 3 .
Lời giải

Chọn B.
Gọi D 1 là đường thẳng qua A (m ;1; 0) và vng góc với (P ) .

ìï x
ïï
Khi đó phương trình của D 1 là ïí y
ïï
ïï z
ỵ
Gọi D 2 là đường thẳng qua B (1; -

= m + 2t
= 1+ t
= t
m ;2) và vng góc với (P ) .

ìï x = 1 + 2t
ïï
Khi đó phương trình tham số của D 2 là ïí y = - m + t .
ïï
ïï z = 2 + t
ỵ
Gọi E , F lần lượt là hình chiếu của A , B lên mặt phẳng (P ) .

D. - 3 .


ìï x = m + 2t
ïï
ïï y = 1 + t
Khi đó, tọa độ điêm E là nghiệm của hệ ïí
Û
ïï z = t
ïï
ïïỵ 2x + y + z - 3 = 0
ìï
ïï t = 1 - 1 m ; x = 2 + 1 m
ï
3 3
3 3

í
ïï
4 1
1 1
ïï y = - m ; z = - m
3 3
3 3
ùợ
ổ2 m 4 m 1 m ữ
ử
ữ
. Tng t F m ;1; 0 .
; ị E ỗỗỗ + ; ữ
ố3 3 3 3 3 3 ÷
ø

(

)

2
2
2
4
1
1
m - 1) + (m - 1) + (m - 1) =
(
9
9

9
é
êm = 17
2
15
15
ê 1
2
Û (m - 1) =
Û m- 1=
Û ê
2
2
êm = - 13
ê 2
2
ë
Vậy m 1 + m 2 = 2 .

Theo giả thiết EF =

5 Û

5

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (a ) : x - z - 3 = 0 và điểm
M (1;1;1). Gọi A là điểm thuộc tia Oz , Gọi B là hình chiếu của A lên (a ). Biết rằng tam

giác MA B cân tại M . Diện tích của tam giác MA B bằng
A. 6 3 .

B.

3 3
.
2

C.

3 123
.
2

D. 3 3 .

Lời giải
Chọn B.
Gọi A (0; 0; a ) . Đường thẳng A B qua A và vng góc với (a )có phương trình

ìï x = t
ïï
ïy = 0
.
í
ïï
ïï z = a - t
ỵ
ìï x
ïï
ïï y

B là hình chiếu của A lên (a )nên tọa độ B thỏa mãn h ùớ
ùù z
ùù
ùùợ x
ổa + 3 a - 3 ử
ữ
ữ
B ççç
; 0;
.
÷
÷
2 ø
è 2
Tam giác MA B cân tại M nên

= t
= 0
= a- t
- z- 3= 0

suy ra


éa = 3
5ư
÷
ê
÷
MA = MB Û 1 + 1 + (1 - a )

Û
÷
êa = - 3 .
÷
ø
êë
Nếu a = 3 thì tọa độ A (0; 0; 3), B (3; 0; 0). Diện tích tam giác MA B bằng
2

2

ỉa + 1ử
ữ
ữ
= ỗỗỗ
+ 1+
ữ
ữ
ố 2 ứ

ổa ỗỗ
ốỗ 2

2

1 ộuuur uuur ự 3 3
S =
.
êMA, MB ú =
û

12 ë
2
Nếu a = - 3 thì tọa độ A (0; 0; - 3)và B (0; 0; - 3) trùng nhau, loại.

Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y - z + 2 = 0 và
hai điểm A (3;4;1); B (7; - 4; - 3). Điểm M (a;b;c )(a > 2) thuộc (P ) sao cho tam giác
A BM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị biểu thức T = a + b + c
bằng:

A. T = 6 .

B. T = 8 .

C. T = 4 .

D. T = 0 .

Lời giải
Chọn D.
Ta có: S A BM =

1
A B .MH với H là hình chiếu vng góc của M lên AB.
2

Do A B không đổi nên S ABM nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất.
uuur
ìï
ïï A B = (4; - 8; - 4) uuur uur
Þ A B .n P = 0 Þ A B / / (P )

í uur
ïï n = (1;1; - 1)
ïỵ P
MH nhỏ nhất khi M nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (Q ) và (P ) ;

với (Q ) là mặt phẳng chứa A B và vng góc với mp (P ) .
uuur
ìï
ïï A B = (4; - 8; - 4) uur
Þ nQ = (3; 0; 3) Þ phương trình mp (Q )là x + z - 4 = 0 .
í uur
ïï n = (1;1; - 1)
ïỵ P
M nằm trên giao tuyến của mặt phẳng (Q ) và (P ) nên tọa độ M là nghiệm của hệ

ìï x = t
ïï
ï
í y = 2 - 2t Þ M (t ;2 - 2t ; 4 - t ) với t > 2 .
ïï
ïï z = 4 - t
ỵ
uuuur
uuur
Ta có A M = (t - 3; - 2 - 2t ;3 - t ); BM = (t - 7;6 - 2t ;7 - t ).
ìï x + z - 4 = 0
Þ
phương trình ïí
ïï x + y - z + 2 = 0
ỵ

Tam giác A BM vuông tại M nên
uuuur uuur
A M .BM = 0 Û (t - 3)(t - 7 ) + (- 2 - 2t )(6 - 2t ) + (3 - t )(7 - t ) = 0
ét = 3 (n )
ê
.
Û (t - 3)(t - 7 ) + 2 (t - 3)(t + 1) = 0 Û (t - 3)(3t - 5) = 0 Û ê
êt = 5 (l )
êë
3

+ t = 3 Þ M (3; - 4;1) Þ a + b + c = 3 - 4 + 1 = 0 .
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 3x - 3y - 2z - 15 = 0
và ba điểm A (1; 4;5) , B (0; 3;1) , C (2; - 1; 0). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P ) sao cho

MA 2 + MB 2 + MC 2 có giá trị nhỏ nhất.
A. M (- 4; - 1; 0) .
B. M (4; - 1; 0) .

C. M (0; - 1; - 6).

D.

M (1; - 4; 0).

Lời giải
Chọn B

uur uur uur r
Gọi I a , b , c thỏa mãn IA + IB + IC = 0 Þ I 1;2;2 .

(

)

(

)

uuur 2 uuur 2 uuur 2
Ta có MA 2 + MB 2 + MC 2 = MA + MB + MC
uuur uur 2
uuur uur 2
uuur uur 2
= MI + IA + MI + IB + MI + IC
uuur uur uur uur
= 3MI 2 + 2MI . IA + IB + IC + IA 2 + IB 2 + IC 2

(

) (
(

) (
)

)

= 3MI 2 + IA 2 + IB 2 + IC 2
Do I , A , B ,C cố định nên MA 2 + MB 2 + MC 2 nhỏ nhất khi M I nhỏ nhất hay M là
hình chiếu của I lên mặt phẳng (P ) .
Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (P )

x- 1 y- 2 z- 2
=
=
.
3
- 3
- 2
Có M = d Ç (P ), khi đó tọa độ M là nghiệm của hệ phương trình.
Suy ra d :

ìï x - 1 y - 2 z - 2
ïï
=
=
Þ M 4 ; - 1; 0 .
í 3
3
ïï 3x - 3y - 2z - 15 -= 20
ïïỵ

(

)

Câu 7: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : 2x + 2y - z - 18 = 0 và hai

(

) (

)

(

)

điểm A 2;1;3 , B 4;5; 3 . Gọi điểm M a ;b ;c thuộc (P ) sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ
nhất. Khi đó giá trị a + 2b + 3c bằng:
A. 17 .

B. 13 .

C. - 15 .

D. 21 .

Lời giải
Chọn A

uur uur r
Gọi I là điểm thõa mãn: IA + IB = 0 . Khi đó I là trung điểm của A B nên I 3;3;3 .

(

)

Ta có: MA 2 + MB 2 = IA 2 + IB 2 + 2IM 2 .
Vì IA 2 + IB 2 khơng đổi nên MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất.

Û M là hình chiếu của I lên (P ) .

(

)

Khi đó đường thẳng IM qua I 3;3;3 và vng góc với (P ) nên có phương

ìï x = 3 + 2t
ïï
trình: ïí y = 3 + 2t .
ïï
ïï z = 3 - t
ỵ
Tọa độ giao điểm của đường thẳng IM và (P ) ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 (3 + 2t ) + 2 (3 + 2t ) - (3 - t ) - 18 = 0 Û t = 1

(

)

Vậy M 5;5;2 nên a + 2b + 3c = 21 .
Dạng 2. Tìm điểm M Ỵ d thỏa mãn ĐK cho trước.

ìï x = - 1 + t

ïï
Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng D : ïí y = 1 - t
ïï
ïï z = - 2 + 2t
ỵ

(

) (

)

và hai điểm A x 0 ; y 0 ; z 0 , B 3; - 1;4 . Biết rằng x 0 + 2z 0 = y 0 và x 02 + y 02 + z 02 = 2 . Điểm

(

M x M ;yM ; zM

) thuộc đường thẳng D

tổng x M + y M + z M bằng

sao cho tam giác MA B có chu vi bé nhất. Khi đó


A. 4 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 2 .

Lời giải
Chọn D

r
Ta có D đi qua E - 1;1; - 2 và có một vectơ chỉ phương là u = 1; - 1;2 .

(

)

(

r uuur
é
ù
u
uuur
r uuur
ê , BE ú
é
ù
BE = - 4;2; - 6 Þ êu, BE ú= 2; - 2; - 2 Þ d B ; D = ë r û =
ë
û
u

(

)

(

(

)

)

)

2.

x 0 + 2z 0 = y 0 Û x 0 - y 0 + 2z 0 = 0 Þ A Ỵ (P ) : x - y + 2z = 0 là mặt phẳng vng góc
với D .
Tọa độ giao điểm H của đường thẳng D và mặt phẳng (P ) thỏa mãn hệ:
ìï x
ïï
ïï y
ïí
ïï z
ïï
ïïỵ x

= - 1+ t
= 1- t

ìï x = 0

ïï
Þ ïí y = 0 Þ H º O 0; 0; 0 .
ïï
= - 2 + 2t
ïz = 0
- y + 2z = 0 ỵï

(

)

(

)

x 02 + y 02 + z 02 = 2 Û A O 2 = 2 Û d A; D =

(C ) có tâm O

có bán kính bằng

(

)

2 = d B ; D . Tức là A thuộc đường trịn

2 nằm trong mặt phẳng (P ) . Do đó với mỗi điểm

M Ỵ D và với mọi A Ỵ (C ) thì giá trị độ dài A M khơng đổi.

uuur
r
Chọn A 1;1; 0 , khi đó A B = 2; - 2; 4 = 2u nên A B / / D Þ A B , D đồng phẳng.

(

)

(

)

.
Xét mặt phẳng chứa A B và D :


(

)

Gọi A ' là điểm đối xứng của A qua D . Khi đó O 0; 0; 0 là trung điểm của A A ' nên

(

)

A ' - 1; - 1;0 .
Chu vi tam giác MA B bé nhất khi và chỉ khi MA + MB bé nhất.
Ta có MA + MB = MA '+ MB ³ A ' B .
Do đó MA + MB bé nhất khi và chỉ khi M trùng với M 0 là giao điểm của A ' B với D .

ìï x = - 1 - t '
ïï
Đường thẳng A ' B đi qua A ' - 1; - 1;0 , có phương trình: ïí y = - 1
.
ïï
ïï z = t '
ỵ
ìï x = - 1 + t = - 1 - t '
ïï
Þ t = 2 Þ M 0 1; - 1;2 .
Giải hệ phương trình: ïí y = 1 - t = - 1
ïï
ïï z = - 2 + 2t = t '
ỵ

(

)

(

(

)

)

Vậy chu vi tam giác A BC bé nhất khi và chỉ khi M 1; - 1;2 . Do đó x M + y M + z M = 2 .
Dạng 3. Tìm tập hợp điểm thỏa mãn ĐK cho trước.

( ) (

)

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;1;1 , B - 1;2; 0 ,

(

)

C 2; - 3;2 . Tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng
d . Phương trình tham số của đường thẳng d là:
ìï x = - 8 + 3t
ìï x = - 8 - 3t
ìï x = - 8 + 3t
ïï
ïï
ïï
ï
ï
A. í y = t
.
B. í y = t
.
C. ïí y = - t
.
D.
ïï
ïï

ïï
ïï z = - 15 - 7t
ïï z = 15 + 7t
ïï z = 15 - 7t
ỵ
ỵ
ỵ
ìï x = - 8 + 3t
ïï
ïy = t
.
í
ïï
ïï z = 15 + 7t
ỵ
Lời giải
Chọn A.
uuur
uuur
Ta có A B = - 2;1; - 1 ; BC = 3; - 5;2 .
uuur
uuur
Ta thấy A B và BC không cùng phương nên ba điểm A , B , C không thẳng hàng.
M cách đều hai điểm A , B nên điểm M nằm trên mặt trung trực của A B .
M cách đều hai điểm B , C nên điểm M nằm trên mặt trung trực của BC .
Do đó tập hợp tất cả các điểm M cách đều ba điểm A , B , C là giao tuyến của hai mặt
trung trực của A B và BC .

(

)

(

)


Gọi (P ) , (Q ) lần lượt là các mặt phẳng trung trực của A B và BC .

æ1 1 ư
ỉ 3 1ư
÷
÷
là trung điểm A B ; N ççç ; - ;1÷
K ççç0; ; ÷
÷
÷ là trung điểm BC .
÷
è2 2 ÷
è 2 2ø
ø
uuur
(P ) đi qua K và nhận A B = - 2;1; - 1 làm vộct phỏp tuyn nờn

(

ổ

)

3ử
ữ
ữ
ữ
ữ
2ứ

ổ 1ử
ỗỗz - ữ
ữ
= 0 hay (P ) : 2x - y + z + 1 = 0 .
ữ
ữ
2ứ
ố
ốỗ
uuur
(Q ) i qua N v nhn BC = 3; - 5;2 làm véctơ pháp tuyến nên

(P ) : - 2x + ỗỗỗy -

(

ổ

(Q ) : 3 ỗỗỗx ố

)

ổ 1ử

1ử
ữ
ữ
ữ
- 5 ỗỗỗy + ữ
+ 2 (z - 1) = 0 hay (Q ) : 3x - 5y + 2z - 6 = 0 .
÷
÷
÷ è
÷
2ø
2ø

ìï 2x - y + z + 1 = 0
Ta có d : ïí
ïï 3x - 5y + 2z - 6 = 0
ỵ
r
Nên d có véctơ chỉ phương u =

uuur uuur
é
ù
A
ê B , BC ú= - 3;1;7 .
ë
û

(

)

(

)

Cho y = 0 ta sẽ tìm được x = - 8 , z = 15 nên - 8;0;15 Ỵ d .

ìï x = - 8 - 3t
ïï
Vậy ïí y = t
.
ïï
ïï z = 15 + 7t
ỵ
2. Bài tốn xác định đường thẳng
Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng (P ) , đồng thời cắt
và vng góc với đường thẳng d .
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + 2y + z - 4 = 0 và

x+1 y
z+2
= =
. Phương trình đường thẳng  nằm trong mặt
2
1
3
phẳng (P ) , đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng d có dạng
đường thẳng d :

x- 1
=
5
x- 1
=
C.
5
A.

x- 1 y- 1 z- 1
y- 1 z- 1
=
=
=
. B.
.
5
- 1
1
- 3
- 3
y+1 z- 1
x+1 y+ 3 z- 1
=
=
=
. D.
.
- 1
2

5
- 1
3
Lời giải

Chọn A.

r
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P ) là n (P ) = 1;2;1 .

(

)


r
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là ud = 2;1;3 .

(

)

ìï x = - 1 + 2t
ïï
Phương trình tham số của đường thẳng d : ïí y = t
.
ïï
ïï z = - 2 + 3t
ỵ
Xét phương trình: - 1 + 2t + 2t - 2 + 3t - 4 = 0 Û 7t - 7 = 0 Û t = 1.

Suy ra giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P ) là A 1;1;1 . Ta có A Ỵ  .

(

)
3).

r
r ù
ér
Vectơ chỉ phương của đường thẳng  là u  = ên (P ) , ud ú= 5; - 1; ë
û
x- 1 y- 1 z- 1
=
=
Phương trình chính tắc của đường thẳng  :
.
5
- 1
- 3
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − z − 2 = 0 và

(

x = 1− t

đường thẳng d :  y = 2 + 2t ; t 
z = 3 + t


. Lập phương trình tham số của đường thẳng  nằm

trong mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt và vng góc với đường thẳng d .

x = 2 + t

A.  y = −t .
 z = 2 − 3t


x = 2 + t

C.  y = −t .
 z = 1 + 3t


x = 2 + t

B.  y = −t .
 z = 2 + 3t


 x = 2 + 2t

D.  y = −t
 z = 2 + 3t


Lời giải
Chọn B.

Mặt phẳng ( P ) có vecto pháp tuyến là n = ( 2; − 1; − 1) .
Đường thẳng d có vecto chỉ phương là u = ( −1; 2;1) .
Đường thẳng  nằm trong mặt phẳng ( P ) đồng thời vng góc với đường thẳng d
nên có vecto chỉ phương là u =  n, u  = (1; − 1; 3) .
Gọi M = d  ( P ) , khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

x = 1− t
t = −1
 y = 2 + 2t
x = 2



 M ( 2; 0; 2 ) .


z
=
3
+
t
y
=
0


2 x − y − z − 2 = 0
 z = 2
Đường thẳng  qua M có vecto chỉ phương u = (1; − 1; 3) có phương trình tham số là:

x = 2 + t

 y = −t ; t 
 z = 2 + 3t


.

Câu 3: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y - 2z + 2 = 0 và đường thẳng

D1 :

x
y
z- 1
. Đường thẳng D 2 nằm trong mặt phẳng (P ) đồng thời cắt và vng
= =
2
1
- 1

góc với đường thẳng D 1 có phương trình là

ìï x = 2 + 3t
ïï
B. ïí y = 1 - t .
ïï
ïï z = t
ỵ

ìï x = 2 + t
ïï
A. ïí y = 1 - t .
ïï
ïï z = t
ỵ
ìï x = t
ïï
ï y = - 2t .
í
ïï
ïï z = 1 + t
ỵ

ìï x = t
ïï
C. ïí y = - 3t .
ïï
ïï z = 1 - t
ỵ

D.

Lời giải
Chọn C

ìï x = 2t
ïï
Phương trình tham số của đường thẳng D 1 là ïí y = t

.
ïï
ïï z = 1 - t
ỵ
Gọi I (x ; y ; z ) là giao điểm của D 1 và (P ) . Khi đó tọa độ của I l tha món

ỡù x
ùù
ùù y
ùớ
ùù z
ùù
ùùợ x

=
=
=
+

2t
t
ị
1- t
y - 2z + 2 = 0

ìï x =
ïï
ïï y =
ïí
ïï z =

ùù
ùùợ t =

0
0
ị I = (0; 0;1).
1
0

r
r
Mt phng (P ) có VTPT n = (1;1; - 2) ; Đường thẳng D 1 có VTCP u = (2;1; - 1) .

r r
Ta có éêën , u ù
ú
û= (1; - 3; - 1).

Đường thẳng D 2 nằm trong mặt phẳng (P ) đồng thời cắt và vng góc với đường
r r
thẳng D 1 , do đó D 2 đi qua I = (0; 0;1) và nhận éêën , u ù
ú
û= (1; - 3; - 1) làm một VTCP.


ìï x = t
ïï
Vậy phương trình của D 2 là ïí y = - 3t .
ïï
ïï z = 1 - t

ỵ
Dạng 5. Viết phương trình đường thẳng  vng góc với (P ) (hoặc song song với
đường thẳng d ) cắt d1 và d2 .
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng

x- 3 y- 3 z+ 2
x- 5 y+1 z- 2
;
và
mặt
phẳng
d2 :
=
=
=
=
- 1
- 3
- 2
2
1
1
(P ) : x + 2y + 3z - 5 = 0 . Đường thẳng vng góc với (P ) , cắt d1 và d2 có phương

d1 :

trình là
x- 1 y+1 z
=
= .

A.
1
2
3
x- 3 y- 3 z+ 2
=
=
C.
.
1
2
3

x- 2 y- 3 z- 1
=
=
.
1
2
3
x- 1 y+1 z
D.
=
= .
3
2
1
B.

Lời giải

Chọn A.
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường thẳng (P ) :
và

d2 ,

x y z
+ + = 1 cần tìm với d1
a b c
M (3 - t ; 3 - 2t ; - 2 + t ) ,

khi
đó
uuuur
N (5 - 3s; - 1 + 2s;2 + s ) Þ MN = (2 - 3s + t ; - 4 + 2s + 2t ; 4 + s - t ).
uuuur
x y z
Đường thẳng (P ) : + + = 1 vng góc với (P ) suy ra MN cùng phương với
a b c
uur
ìï t = 2
2 - 3s + t
- 4 + 2s + 2t
4+ s- t
n P = (1;2; 3). Do đó
Þ M (1; - 1; 0) .
Û ïí
=
=
ïï s = 1

1
2
3
ỵ
r
Vậy đường thẳng cần tìm qua Þ M (1; - 1; 0) và có vectơ chỉ phương là u = (1;2; 3) là

x- 1 y+1 z
=
= .
1
2
3
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình đường thẳng song song với

x+1 y+1 z- 2
x- 1 y+ 2
z
=
=
=
=
và cắt hai đường thẳng d1 :
;
2
1
- 1
1
1
- 1

x- 1 y- 2 z- 3
d2 :
=
=
là:
- 1
1
3
x+1 y+1 z- 2
x- 1 y
z- 1
=
=
= =
A.
.
B.
.
- 1
- 1
1
1
1
- 1
đường thẳng d :


C.

x- 1 y- 2 z- 3

.
=
=
1
1
- 1

D.

x- 1
y
z- 1
.
=
=
1
- 1
1

Lời giải
Chọn B.
r
Vectơ chỉ phương của d là u = (1;1; - 1).
Gọi

là

D

đường

thẳng

cần

tìm

và

A = D Ç d1 ,

B = D Ç d2 .

Suy

ra:

ìï A (- 1 + 2a; - 1 + a;2 - a )
ï
.
í
ïï B (1 - b;2 + b; 3 + 3b)
ïỵ
uuur
Khi đó: A B = (- b - 2a + 2;b - a + 3; 3b + a + 1) .

uuur
Vì đường thẳng D song song với đường thẳng d nên A B
ìï a = 1
- b - 2a + 2 b - a + 3 3b + a + 1

ùớ
ị
=
=
Suy ra:
ùù b = - 1
1
1
- 1
ợ
Thay A (1; 0;1) vào đường thẳng d ta thấy A Ï d .

r
cùng phương với u .
ìï A (1; 0;1)
ï
.
í
ïï B (2;1; 0)
ïỵ

x- 1 y
z- 1
.
= =
1
1
- 1
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (a ) : y + 2z = 0 và hai
Vậy phương trình đường thẳng D :

ìï x = 2 - t ¢
ìï x = 1 - t
ïï
ïï
ï
đường thẳng: d1 : í y = t
; d2 : ïí y = 4 + 2t ¢. Đường thẳng D nằm trong mặt phẳng
ïï
ïï
ïï z = 4
ïï z = 4t
ỵ
ỵ
(a ) và cắt hai đường thẳng d1 ; d2 có phương trình là
x- 1 y
z
= =
.
7
8 - 4
x- 1 y
z
= = .
7
8 4

A.

B.

x+1
y
z
=
= .
7
- 8 4

C.

x- 1
y
z
=
= .
7
- 8 4

D.

Lời giải
Chọn C.

(

)

(

)

Gọi A = d1 Ç D suy ra A 1 - t ; t ;4t và B = d2 Ç D suy ra B 2 - t ¢;4 + 2t ¢;4 .

ìï t + 2.4t = 0
ị
Mt khỏc A ẻ (a ) ; B Ỵ (a )nên ta có ïí
ïï 4 + 2t Â+ 2.4 = 0
ợ

(

)

(

)

Do ú A 1;0;0 v B 8; - 8;4 .

ìï t = 0
ï
í ¢
ïï t = - 6
ỵ


uuur
Đường thẳng D đi qua A và nhận A B = 7; - 8; 4 làm vectơ chỉ phương có phương

(

trình

)

x- 1
y
z
=
= .
7
- 8 4

(

)

Câu 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M 0; - 1; 2 và hai đường thẳng

x- 1 y+ 2 z- 3
x+1 y- 4 z- 2
, d2 :
. Phương trình đường thẳng đi qua
=
=
=
=
1
2

- 1
- 1
4
2
M , cắt cả d1 và d2 là

d1 :

x

y+1 z+ 3
.
=
9
9
8
2
2
x
y+1 z- 2
=
=
.
- 9
9
16

A.

=

B.

x
y+1 z- 2
.
=
=
3
- 3
4

C.

x
y+1 z- 2
. D.
=
=
9
- 9
16

Lời giải
Chọn C.
Gọi D là đường thẳng cần tìm.

(

(

)

)

D Ç d1 = A t 1 + 1; - t 1 - 2; 2t 1 + 3 ; D Ç d2 = B 2t 2 - 1; - t 2 + 4; 4t 2 + 2 .
uuur
uuur
MA = t 1 + 1; - t 1 - 1; 2t 1 + 1 ; MB = 2t 2 - 1; - t 2 + 5; 4t 2 .

(

)

Ta

(

có:

)

thẳng

M , A, B

ìï
ïï t = 7
ìï t + 1 = k (2t - 1)
ïï 1 2

ìï
ïï 1
2
uuur
uuur
ïï
ïï t = 7
1
ï
hàng Û MA = kMB Û í - t 1 - 1 = k (- t 2 + 5) Û í k = - Þ í 1 2 .
ïï
ïï
ïï t = - 4
2
ïï 2t 1 + 1 = 4kt 2
ïï kt = 2
ùợ 2
ợ
ùù 2
ùùợ
uuur
ị MB = - 9; 9; - 16 .
r
Đường thẳng D đi qua M (0; - 1;2), một VTCP là u = 9; - 9; 16 có phương trình là:

(

)

(

)

x
y+1 z- 2
=
=
.
9
- 9
16
Câu 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng
ìï x = 2 - t
ïï
x- 2 y+2 z- 1
d1 :
=
=
, d2 : ïí y = 3 + 2t và mặt phẳng (P ) : x - 7y + z - 2020 = 0 .
ïï
1
2
- 3
ïï z = 1 - t
ỵ
Đường thẳng D vng góc với (P ) , cắt d1 và d2 có phương trình là:
D:


3- x

y+ 9 -z+ 2
.
=
=
1
7
1
x- 2 y- 2 z- 1
C.
.
=
=
1
- 7
1
A.

x- 1 y- 5 z
=
= .
1
7
1
3- x
y+ 9 -z+ 2
D.
.
=
=
1

- 7
1
Lời giải
Tác giả sáng tác: Huỳnh Chí Dũng- Fb: Huỳnh Dũng
B.

Chọn A
Gọi A (2 + a; - 2 + 2a;1 - 3a ), B (2 - b;3 + 2b;1 - b)lần lượt là giao điểm của D và d1 , d2 .
uuur
A B = (- b - a;2b - 2a + 5; 3a - b) .
uuur
uuur
Vì D vng góc với (P ) nên A B cùng phương với VTPT n (P ) = (1; - 7;1) .

ìï 9a + 5b = 5
- b- a
2b - 2a + 5 3a - b
=
=
ùớ

ùù 19a - 5b = - 5
1
- 7
1
ợ
ị A (2; - 2;1), B (1;5;0).
Þ

Phương trình D :

ìï a = 0
ï
.
í
ïï b = 1
ỵ

x- 1 y- 5 z
=
= .
1
- 7
1

Đáp án B sai vectơ chỉ phương, đáp án C sai vì phải là
đúng, đáp án D có thể viết lại thành
Nhận

thấy

(3; -

9;2) Ỵ D ,

do

x- 2 y+2 z- 1
=
=

mới
1
- 7
1

x- 3 y+ 9 z- 2
=
=
sai vectơ chỉ phương.
- 1
- 7
- 1
đó phương trình D được viết lại thành:

x- 3 y+ 9 z- 2
3- x
y+ 9 -z+ 2
=
=
=
=
hay
trùng với đáp án A.
1
- 7
1
1
7
1
Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng ¢ là hình chiếu của đường thẳng  trên

(P ) .
Câu

1:

Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

đường

thẳng

x- 1 y+1 z- 2
=
=

. Tìm hình chiếu vng góc của D trên mặt phẳng Oxy .
2
1
1
ìï x = 0
ìï x = - 1 + 2t
ìï x = 1 + 2t
ïï
ïï
ïï
ï
ï
A. í y = - 1 - t .
B. í y = - 1 + t .
C. ïí y = 1 + t
.
D.
ïï
ïï
ïï
ïï z = 0
ïï z = 0
ïï z = 0
ỵ
ỵ
ỵ
ìï x = - 1 + 2t
ïï
ïy = - 1+ t .
í

ïï
ïï z = 0
ỵ
D:

( )


Lời giải
Chọn B.

uur
Đường thẳng D qua điểm M 1; - 1; 2 và có vectơ chỉ phương: u D = 2; 1; 1 .
r
Mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến k = 0; 0; 1 .

(

)

(

( )

(

)

)

( )

Gọi (P ) là mặt phẳng chứa D và vng góc mặt phẳng Oxy , thì (P ) qua M và có
ur
uur r
é
ù
vectơ pháp tuyến n = êu D ; k ú= 1; - 2; 0 .
ë
û
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P ) là x - 2y - 3 = 0 .

(

)

( )

( )

Gọi d là hình chiếu của D lên Oxy , thì d chính là giao tuyến của (P ) với Oxy .

ìï x = 3 + 2t
ïï
ìï x - 2y - 3 = 0
ï
Suy ra d : í
hay d : ïí y = t
. Với t = - 1, ta thấy d đi qua điểm
ïï z = 0

ïï
ỵ
ïï z = 0
ỵ

(

)

N 1; - 1; 0 .
Câu

2:

Trong

khơng

gian

với

hệ

tọa

độ

Oxyz ,

cho

đường

thẳng

x- 1 y- 2 z+1
=
=
và một mặt phẳng (P ) : x + y + z - 3 = 0 . Đường thẳng d ' là
2
1
3
r
hình chiếu của d theo phương Ox lên (P ) , d ' nhận u = (a ;b;2019) là một vec tơ chỉ
d:

phương . Xác định tổng (a + b)
A. 2019 .

B. - 2020 .

C. 2018 .

D. - 2019 .

Lời giải.
Chọn D
uur
Ta có ud = (2;1; 3) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d .

uur
uur r
é ù
Mặt phẳng (P ') chứa d và hình chiếu d ' có VTPT n P ' = êud ; i ú= (0; 3; - 1) .
ë û
uur
uur uur
é
ù
VTCP ud ' = ên P ' .n P ú= (4; - 1; - 3) = (- 2692;673;2019).
ë
û
Vậy a + b = - 2019 .
Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho
đường thẳng

x- 3 y- 3 z- 3
=
=
. Tìm phương trình đường thẳng D là hình chiếu vng góc
2
2
1
của d trên mặt phẳng (Oyz ) .
d:


ìï x = 0
ïï
A. D : ïí y = 3 - 2t .

ïï
ïï z = 3 - t
ỵ
ìï x = 0
ïï
D : ïí y = 3 + 2t .
ïï
ïï z = 3 - t
ỵ

ìï x = 3 - 2t
ïï
B. D : ïí y = 3 - 2t .
ïï
ïï z = 0
ỵ

ìï x = 3 - 2t
ïï
C. D : ïí y = 0
.
ïï
ïï z = 3 - t
ỵ

D.

Lời giải
Chọn A
Lấy hai điểm thuộc d ta có A (3; 3; 3) và B (1;1;2) . Gọi A ¢, B ¢ lần lượt là hình chiếu

vng góc của A, B lên mặt phẳng (Oyz ) suy ra A ¢(0; 3; 3), B ¢(0;1;2) .
Phương trình đường thẳng hình chiếu của d là phương trình đường thẳng A ¢B ¢.
uuuur
Ta có véc tơ chỉ phương là A ¢B ¢ = (0; - 2; - 1) và D qua A ¢ nên có phương trình
ìï x = 0
ïï
ï y = 3 - 2t .
í
ïï
ïï z = 3 - t
ỵ
Câu 4: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng D ¢ là
ìï x = 1 - t
ïï
hình chiếu của D : ïí y = 2 + 2t trên mặt phẳng (P ) : x - y + z - 1 = 0.
ïï
ïï z = - 1 - t
ỵ

ìï x = t
ïï
A. ïí y = - 3 + 2t .
ïï
ïï z = - 2 + t
ỵ
ìï x = t
ïï
ï y = - 3 + 2t .
í
ïï

ïï z = 2 - t
ỵ

ìï x = t
ïï
B. ïí y = 3 + 2t .
ïï
ïï z = - 2 + t
ỵ

Lời giải
Chọn A

ìï x = t
ïï
C. ïí y = - 3 - 2t .
ïï
ïï z = - 2 + t
ỵ

D.


uur
Đường thẳng D có VTCP là u D = (- 1;2; - 1).
ur
Mặt phẳng (P ) có VTPT là: n (P ) = (1; - 1;1)

ur
uur ur

é
ù
Mặt phẳng (Q )chứa D và vng góc với (P ) có VTPT là: n (Q ) = êud , n (P ) ú= (1; 0; - 1)
ë
û
Một điểm thuộc D và cũng thuộc (Q ) là A (1;2; - 1)
Phương trình mặt phẳng (Q ) có VTPT (1; 0; - 1)và đi qua điểm A (1;2; - 1) có phương
trình là: 1. (x - 1) + 0. (y - 2) - 1. (z + 1) = 0 . Hay x - z - 2 = 0

ìï x - y + z - 1 = 0
Hình chiếu cần tìm D ' = (P ) Ç (Q ) . Do đó D ' : ïí
ïï x - z - 2 = 0
ỵ
ìï y - z = t - 1 ìï y = - 3 + 2t
Chọn x = t Þ ïí
Þ ïí
ïï z = - 2 + t
ïï z = - 2 + t
ỵ
ỵ

ìï x = t
ïï
Vậy D ¢: ïí y = - 3 + 2t .
ïï
ïï z = - 2 + t
ỵ
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ): x + y + z - 3 = 0 và

x

y+1 z- 2
=
=
. Hình chiếu của d trên (P ) có phương trình là
1
2
- 1
đường thẳng d ¢. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d ¢?
đường thẳng d :

A. M (2;5; - 4) .

B. N (1; - 1; 3) .

C. P (1; 3; - 1) .

Q (2; 7; - 6).

Lời giải
Chọn A
ìï ur = (1;2; - 1)
ï d
Vectơ chỉ phương của d và vectơ pháp tuyến của (P ) là ïí r
.
ïï n (P ) = (1;1;1)
ïỵ

D.

ìï x = t
ïï
Phương trình tham số của đường thẳng d là: ïí y = - 1 + 2t .
ïï
ïï z = 2 - t
ỵ
Gọi A = (P ) I d , khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
ìï x
ïï
ïï y
ïí
ïï z
ïï
ïïỵ x

= t
= - 1 + 2t
= 2- t

Þ A (1;1;1).

+ y+ z- 3= 0

Gọi (Q ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vng góc với (P ) . Khi đó (Q ) có vectơ

r
pháp tuyến n (Q ) =

ér r ù
êud , n (P ) ú= (3; - 2; - 1).

ë
û

Đường thẳng D là hình chiếu vng góc của d lên (P ) chính là giao tuyến của (P ) và

(Q ).
r
r ù
ér
Suy ra vectơ chỉ phương của D là u = ên (P ) , n (Q ) ú= (1; 4; - 5).
ë
û
Vậy hình chiếu vng góc của d trên (P ) là đường thẳng qua A (1;1;1)nhận
r
x- 1 y- 1 z- 1
u = (1; 4; - 5) làm véc tơ chỉ phương có phương trình là
=
=
. Thay tọa
1
4
- 5

độ các điểm ở đáp án vào ta được M (2;5; - 4) thỏa mãn.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (–1; 3; –2) , B (–3;7; –18) và
mặt phẳng (P ) : 2x – y + z + 1 = 0 . Phương trình đường thẳng d ¢ là hình chiếu vng
góc của A B lên mặt phẳng (P ) là

ìï x = 1 + t
ïï

A. ïí y = 2 + 3t .
ïï
ïï z = - 1 - 2t
ỵ
ìï x = 1 + t
ïï
ï y = 4 - 2t .
í
ïï
ïï z = 1 - 2t
ỵ

ìï x = 1 + t
ïï
B. ïí y = 3
.
ïï
ïï z = 1 - 2t
ỵ

Lời giải
Chọn C

ìï x = 1 + t
ïï
C. ïí y = 2
.
ïï
ïï z = - 1 - 2t
ỵ

D.


ur
Mặt phẳng (P ) có vectơ pháp tuyến n (P ) = (2; –1;1)

Gọi A ¢và B ¢ lần lượt là hình chiếu vng góc của A và B lên mp (P )

ìï x = - 1 + 2t
ïï
Đường thẳng qua A vng góc với (P ) có phương trình tham số là ïí y = 3 - t
. Tọa
ïï
ïï z = - 2 + t
ợ
Â
A l nghim ca hệ phương trình
ìï x = - 1 + 2t
ïï
ïï y = 3 - t
ïí
Þ 2 (- 1 + 2t ) – (3 - t ) + (- 2 + t ) + 1 = 0 Û t = 1 Þ A ¢(1;2; - 1) .
ïï z = - 2 + t
ïï
ïïỵ 2x – y + z + 1 = 0

ìï x = - 3 + 2t ¢
ïï
Đường thẳng qua B vng góc với (P ) có phương trình tham số là ïí y = 7 - t ¢ . Tọa

ïï
ïï z = - 18 + t Â
ợ
B Âl nghim của hệ phương trình
ìï x = - 3 + 2t ¢
ïï
ïï y = 7 - t ¢
ïí
Þ 2 (- 3 + 2t ¢) – (7 - t ¢) + (- 18 + t ¢) + 1 = 0 Û t = 5 ị B Â(7;2; - 13).
ùù z = - 18 + t Â
ùù
ùùợ 2x y + z + 1 = 0
uuuur
Đường thẳng d ¢ là đường thẳng đi qua hai điểm A ¢ và B ¢, nhận A ¢B ¢ = (6; 0; - 12) làm
ìï x = 1 + t
ïï
vecto chỉ phương, có phương trình tham số là ïí y = 2
.
ïï
ïï z = - 1 - 2t
ỵ
Câu 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P ) : x + y + z - 3 = 0 và
đường thẳng d :

x
y+1 z- 2
=
=
. Hình chiếu vng góc của d trên (P ) có phương
1

2
- 1

trình là
A.

x+1 y+1 z+1
=
=
.
- 1
- 4
5

B.

x- 1 y- 1 z- 1
=
=
.
3
- 2
- 1


C.

x- 1 y- 1 z- 1
.
=

=
1
4
- 5

D.

x- 1 y- 4 z+ 5
.
=
=
1
1
1

Lời giải
Chọn C

ìï x = t
ïï
Phương trình tham số của đường thẳng d là: ïí y = - 1 + 2t .
ïï
ïï z = 2 - t
ỵ
Gọi A là giao điểm của (P ) và d . Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương
ìï x
ïï
ïï y
trình: ïí
ïï z

ïï
ïïỵ x

= t
= - 1 + 2t

. Suy ra A (1;1;1).

= 2- t
+ y+ z- 3= 0

r
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là ud = (1;2; - 1), mặt phẳng (P ) có véc tơ pháp
r
tuyến là n (P ) = (1;1;1).

Gọi (Q ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vng góc với (P ) . Khi đó (Q ) có vectơ

r
pháp tuyến n (Q ) =

ér r ù
êud , n (P ) ú= (3; - 2; - 1).
ë
û

Đường thẳng D là hình chiếu vng góc của d lên (P ) chính là giao tuyến của (P ) và

(Q ).
r

r ù
ér
Suy ra vectơ chỉ phương của D là u = ên (P ) , n (Q ) ú= (1; 4; - 5).
ë
û
Vậy hình chiếu vng góc của d trên (P ) có phương trình là

x- 1 y- 1 z- 1
=
=
.
1
4
- 5

x- 3 y- 1 z+1
=
=
3
1
- 1
và mặt phẳng (P ) : x - z - 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu vng

Câu 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

góc của đường thẳng d trên mặt phẳng (P ) .


ìï x = 3 + 3t
ïï

A. ïí y = 1 + t .
ïï
ïï z = - 1 - t
ỵ
ìï x = 3 - t
ïï
ï y = 1 + 2t .
í
ïï
ïï z = - 1 + t
ỵ

ìï x = 3 + t
ïï
B. ïí y = 1 + t .
ïï
ïï z = - 1 + t
ỵ

ìï x = 3 + t
ïï
C. ïí y = 1
.
ïï
ïï z = - 1 - t
ỵ

D.

Lời giải

Chọn B

O

M

H

r
Đường thẳng d đi qua điểm M (3;1; - 1) và có vtcp u (3;1; - 1).

Ta thấy M (3;1; - 1) ẻ (P ) nờn M = d ầ (P ).
Lấy điểm O (0; 0; 0) Ỵ d , dựng OH ^ (P ), H Ỵ (P ). Khi đó, hình chiếu vng góc của
đường thẳng d trên mặt phẳng (P ) là đường thẳng MH .

ur
ur
Mặt phẳng (P ) có vtpt n 1; 0; - 1 , do OH ^ (P ) nên OH nhận n 1; 0; - 1 làm vtcp.

(

(

)

ìï x = t '
ïï
Suy ra OH : ïí y = 0 .
ïï
ïï z = - t '

ợ

(

)

(

)

H ẻ OH ị H t Â;0; - t  , H ẻ (P )ị t Â+ t Â- 4 = 0 t Â= 2 ị H 2;0; - 2 .

)


ur
uuuur
Ta có MH = (- 1; - 1; - 1), suy ra MH có vtcp u ¢ 1;1;1 . Từ đó suy ra MH

(

)

ìï x = 3 + t
ïï
: ïí y = 1 + t
ïï
ïï z = - 1 + t
ỵ

Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng  qua A , song song với (P ) , cắt đường
thẳng d .
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A (1;2; 3) và mặt phẳng

(P ) :2x + y -

4z + 1 = 0 , đường thẳng d đi qua điểm A , song song với mặt phẳng (P ) ,

đồng thời cắt trục Oz . Viết phương trình tham số của đường thẳng d .
ìï x = t
ìï x = 1 + 5t
ìï x = 1 + 3t
ïï
ïï
ïï
ï
ï
A. í y = 2 - 6t .
B. í y = 2t .
C. ïí y = 2 + 2t .
D.
ïï
ïï
ïï
ïï z = 2 + t
ïï z = 3 + t
ïï z = 3 + t
ỵ
ỵ
ỵ

ìï x = 1 - t
ïï
ï y = 2 + 6t .
í
ïï
ïï z = 3 + t
ỵ
Lời giải
Chọn B.
Gọi B (0; 0;b ) là giao điểm của đường thẳng d và trục Oz .
uur
uuur
Ta có ud = A B = (- 1; - 2;b - 3) . Vì đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) nên:
uuur uur
A B .n P = 0 Û - 2 - 2 - 4 (b - 3) = 0 Û b = 2 .
uur
uuur
Suy ra ud = A B = (- 1; - 2; - 1) = - 1 (1;2;1) .
Dạng 8. Viết phương trình đường phân giác góc tạo bởi hai đường thẳng d1, d2 .
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau
ìï x = 1 - t ¢
ìï x = 2 + t
ïï
ïï
ï
D 1 : í y = 2 + 2t , D 2 : ùớ y = - t  (t , t Âẻ ¡ ). Viết phương trình đường phân giác của góc
ïï
ïï
ïï z = 2t Â
ùù z = - 1 - t

ợ
ợ
nhn tạo bởi D 1 và D 2 .

x+1
y
z
=
= .
2
- 3 3
x- 1
y
z
=
= .
1
- 1 1

A.

B.

x- 1 y
z
= = .
1
1 1

Lời giải

C.

x- 1 y
z
= =
.
2
3 - 3

D.


Chọn C.

r
r
Thấy ngay D 1 Ç D 2 = M 1;0;0 và các VTCP lần lượt là a = 1;2; - 1 và b = - 1; - 1;2 .
r r
r
r r
r
é ù
Ta có a + b = (0;1;1) = u và êa, bú= (3; - 1;1) = v .
ë û
rr
Vì a.b = - 4 < 0 nên góc giữa hai vectơ là góc tù do đó đường phân giác của góc nhọn
ur
r r
é ù

tạo bởi D 1 và D 2 có VTCP n = êu, v ú= (- 2; - 3; 3).
ë û
x- 1 y
z
Vậy phương trình đường phân giác cần tìm:
.
= =
2
3 - 3
Câu 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng cắt nhau

(

)

(

)

(

)

ìï x = 1
ìï x = 5 + 4t ¢
ïï
ïï
ï
D 1 : í y = - 2 + 3t , D 2 : ïí y = 4 + 3t ¢ (t , t ¢Ỵ ¡ ). Viết phương trình đường phân giác của
ïï

ïï
ïï z = - 3 + 4t
ïï z = 1
ỵ
ỵ
góc nhọn tạo bởi D 1 và D 2 .
A.

x- 1 y- 1 z- 1
=
=
.
2
3
2

B.

x+1 y+1 z+1
=
=
.
2
3
2

C.

x- 1 y+ 2 z+ 3
.

=
=
2
3
2

D.

x- 5 y- 4 z- 1
.
=
=
2
3
2

Lời giải
Chọn A

ìï 1 = 5 + 4t ¢
ïï
Cách 1: Xét hệ ïí - 2 + 3t = 4 + 3t ¢ Û
ïï
ïï - 3 + 4t = 1
ỵ

ìï t = 1
ï
. Vậy đường thẳng D 1 cắt D 2 tại I (1;1;1).
ớ Â

ùù t = - 1
ợ

ur
Ta cú vộc t ch phương của D 1 là u 1 = (0; 3; 4) , véc tơ chỉ phương của D 2 là
uur
u 2 = (4; 3; 0).

uur
ìï ur
ïï u 1 = u 2
Và do í ur uur
nên một véc tơ chỉ phương đường phân giác của góc nhọn tạo
ïï u ×u = 9 > 0
ïỵ 1 2
r
ur uur
bởi D 1 và D 2 là u = u 1 + u 2 = (4;6; 4) .


Vậy phương trình đường phân giác của góc nhọn tạo bởi

D1

và

D2 :

x- 1 y- 1 z- 1
.

=
=
2
3
2

ìï 1 = 5 + 4t ¢
ïï
Cách 2: Xét hệ ïí - 2 + 3t = 4 + 3t ¢ Û
ïï
ïï - 3 + 4t = 1
ỵ

ìï t = 1
ï
. Vậy đường thẳng D 1 cắt D 2 tại I (1;1;1).
í ¢
ïï t = - 1
ỵ

Lấy điểm A (5; 4;1) thuộc D 2 ta có IA = 5 .Tìm điểm B (1; - 2 + 3t ; - 3 + 4t ) Ỵ D 1 sao cho
IB = 5 .

ét = 0
2
2
.
02 + (3t - 3) + (4t - 4) = 5 Û 25t 2 - 50t = 0 Û êê
êët = 2
uur uur

IA .IB
- 9
·
· > 90° (loại).
< 0 suy ra góc AIB
Với t = 0 Þ B (1; - 2; - 3) ta có cosA IB = uur uur =
25
IA IB

Û

uur uur
IA
.IB
9
·
> 0 suy ra góc A·IB ' nhọn.
Với t = 2 Þ B ' (1; 4; 5) ta có cosA IB ' = uur uuur =
25
IA IB '