NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN
77
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG TRỊ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2021 - 2022
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2.0 điểm) Bằng các phép biến đổi đại số, rút gọn các biểu thức sau:
a) A 2 8 5 18 4 32.
b)
B
Bài 2:
a a
. 1 a , với a 1.
a 2 a 1
2
(1.5 điểm) Cho hàm số y 1 m x . (1)
a) Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến khi x 0.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x 3 tại điểm có tung độ bằng 2?
Bài 3: (1.5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) x 2 2mx 2m 1 0.
a)
Giải phương trình khi
m 3.
1
2
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x sao cho biểu thức
A
4 x1x 2 1
x1 x 2 2 2 2 x1x 2 đạt
2
giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: (1,0 điểm). Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn là 8,25 điểm. Kết
quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ơ bị mờ không đọc được (đánh dấu *):
Điểm số của mỗi lần bắn
10
9
8
7
Số lần bắn
7
*
15
*
Hãy tìm lại các số trong hai ơ đó.
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vng góc với BC tại
E. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt (O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC
tại H.
a) Chứng minh ABEF là tứ giác nội tiếp.
·
·
b) Chứng minh BCA
BDA.
c) Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
d) Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H
thẳng hàng.
Bài 6: (0,5 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 0 x, y, x 1. Chứng minh rằng:
x y z 2 xy yz zx 4xyz 1.
-------------------------------------------HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (2.0 điểm) Bằng các phép biến đổi đại số, rút gọn các biểu thức sau:
a) A 2 8 5 18 4 32.
b)
B
a a
. 1 a , với a 1.
a 2 a 1
Giải:
/>
NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN
78
a) A 2 8 5 18 4 32.
Ta có:
A 2 8 5 18 4 32
2 4.2 5 9.2 4 16.2
4 2 15 2 16 2
5 2
Vậy A 5 2
a a
. 1 a , với a 1.
a 2 a 1
Với a 1, ta có:
b)
B
B
a a
1 a
a 2 a 1
a
a 1
a 1
2
a 1
a
Vậy B a
Bài 2:
2
(1.5 điểm) Cho hàm số y 1 m x . (1)
a) Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến khi x 0.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x 3 tại điểm có tung độ bằng 2?
Giải:
a) Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến khi x 0.
Hàm số đồng biến khi x 0 nếu hệ số 1 m 0 m 1.
Vậy hàm số đồng biến khi x 0 thì m 1.
b) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x 3 tại điểm có tung độ bằng 2?
Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x 3 tại điểm có tung độ bằng 2 nên điểm đó thỏa mãn phương
trình đường thẳng y x 3
Hay 2 x 3 x 1. Điểm đó là A 1; 2 .
2
Thay tọa độ A và (1) ta được: 2 1 m .1 m 1 2 m 1
Vậy m 1 thì đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y x 3 tại điểm có tung độ bằng 2.
Bài 3: (1.5 điểm) Cho phương trình (ẩn x) x 2 2mx 2m 1 0.
a)
Giải phương trình khi
m 3.
1
2
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x sao cho biểu thức
giá trị nhỏ nhất.
Giải:
a)
Giải phương trình khi
Thay
m3
m 3.
vào phương trình đã cho ta được:
6 4.5 16 0
x 2 6x 5 0
2
Ta có:
nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
/>
A
4 x1x 2 1
x1 x 2 2 2 2 x1x 2 đạt
2
NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN
79
6 16
5
x1
2
6 16
1
x 2
2
Vậy phương trình có tập nghiệm là
S 1;5
1
2
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x , x sao cho biểu thức
A
4 x1x 2 1
x1 x 2 2 2 2 x1x 2 đạt
2
giá trị nhỏ nhất.
Phương trình: x 2 2mx 2m 1 0 có: ' m 2 2m 1 m 1 0 x R nên phương trình ln có
2
nghiệm.
x1 x 2 2m
Theo định lí Vi-ét ta có:
x1.x 2 2m 1
Khi đó ta có:
4 x1x 2 1
A 2
x 1 x 2 2 2 2 x1 x 2
4 x1x 2 1
x1 x 2 2x1x 2 4 2x1x 2
4 x1x 2 1
2
x1 x 2 4
4 2m 1 1
2
4m 2 4
2m
2
m 1
Ta có m 1 0 m m 2 1 2m m
2
2m
m
m2 1
A 1 m A min 1. Dấu “=” xảy ra khi m 1 0 m 1.
Bài 4: (1,0 điểm). Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 40 lần bắn là 8,25 điểm. Kết
quả cụ thể được ghi trong bảng sau, trong đó có hai ơ bị mờ khơng đọc được (đánh dấu *):
Điểm số của mỗi lần bắn
10
9
8
7
Số lần bắn
7
*
15
*
Hãy tìm lại các số trong hai ơ đó.
Giải:
Gọi số lần bắn trong ô với điểm số là 9 là a (a N* )
m 2 1 2m m 1
Gọi số lần bắn trong ô với điểm số là 7 là b (b N* )
Tổng số lần bắn của vận động viên đó là 40 nên ta có: 7 a 15 b 40 a b 18 (1)
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 40 phát bắn là 8,25 nên ta có phương trình:
10.7 9a 8.15 7b
8, 25 9a 7b 140 (2)
40
a b 18
a 7
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
(thỏa mãn)
9a 7b 140
b 11
/>
NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN
80
Vậy số lần bắn trong ơ điểm 9 là 7 lần, số lần bắn trong ô điểm 7 là 11 lần.
Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vng góc với BC tại
E. Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF. Đường thẳng BF cắt (O) tại điểm thứ hai là D, DE cắt AC
tại H.
a) Chứng minh ABEF là tứ giác nội tiếp.
·
·
b) Chứng minh BCA
BDA.
c) Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
d) Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H
thẳng hàng.
Giải:
a)
Chứng minh ABEF là tứ giác nội tiếp.
·
Ta có FAB
900 (vì tam giác ABC vng tại A)
·
FEB
90 0 (vì FE BC).
·
·
FAB
FEB
900 900 1800
ABEF là tứ giác nội tiếp
·
·
b) Chứng minh BCA
BDA.
·
·
Ta có BDC
FDC
900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
·
BDC
BAC
900
ABCD là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BC (tứ giác có 2 đỉnh A, D cùng nhìn BC dưới 1
góc 900)
·
·
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
BCA
BDA
c) Chứng minh hai tam giác AEO và EHO đồng dạng.
·
1800 EOD
·
·
OD
OE
ODE
Ta có:
cân tại O OED ODE
(tổng 3 góc trong một tam giác)
2
·
·
·
Mà EOD
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung DE)
2ECD
2BCD
0
·
180 2BCD
·
·
·
·
·
(do tam giác BCD vuông tại D)
OED
ODE
900 BCD
CBD
EBF
2
·
·
Lại có: EBF
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF của tứ giác nội tiếp ABEF)
EAF
·
·
·
·
EAO
EAF
OED
OEH
Xét tam giác OEH và tam giác OAE ta có:
/>
NHĨM WORD HĨA ĐỀ TỐN
81
·
chung;
EOA
·
·
(cmt)
EAO
OEH
OEH ” OEH (g.g)
d) Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là G, FG cắt CD tại I, CG cắt FD tại K. Chứng minh I, K, H
thẳng hàng.
·
Ta có: FGC
900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính CF) FG CK.
Mà CD KF và I là giao điểm của CD và GF nên I là trực tâm của tam giác CFK.
KI là đường cao thứ 3 của tam giác CFK KI CF (1)
·
·
·
Ta có OAE
(cmt)
OEH
ODE
OEAD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
·
·
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)
ADE
AOE
·
·
·
Mà AOE
(góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung EF)
2FCE
2FDE
1·
·
·
·
·
·
ADE
2FDE
DF là phân giác của ADE ADF FDE ADE
2
·
·
·
Ta lại có FDA
(góc ngồi và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp CFDG)
GCA
KCH
·
·
HDF
KCH
CHDK là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngồi bằng góc trong tại đỉnh đối diện)
·
·
KHC
CDK
900 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK) hay KH CF (2)
Từ (1) và (2) ta có I, K, H thẳng hàng.
Bài 6: (0,5 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 0 x, y, x 1.
x y z 2 xy yz zx 4xyz 1.
Giải:
xy z 1 0
Vì 0 x, y, z 1 yz x 1 0
xz y 1 0
3xyz xy yz zx 3xyz xy yz zx 0 (1)
Lại có x 1 y 1 z 1 0 xyz xy yz zx x y z 1 0 (2)
Cộng vế theo vế của (1) và (2) ta được:
4xyz 2 xy yz zx x y z 1 0
x y z 2 xy yz zx 4xyz 1 (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi x; y; z 1;1;1 hoặc x; y; z 0;1;1 và các hốn vị của nó.
/>
Chứng minh rằng: