Phương pháp nội suy và ứng dụng trong bài toán lãi suất (tiểu luận môn phương pháp tính)

lOMoARcPSD|22495817

ĐẠI HỌC UEH
TRƯỜNG CƠNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ
KHOA TỐN-THỐNG KÊ

TIỂU LUẬN
BỘ MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH
CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG
BÀI TOÁN LÃI SUẤT
GVHD: Lê Xuân Trường
Thành viên nhóm:
1. Phan Thị Quỳnh
2. Lê Thị Thương

TP Hồ Chí Minh, ngày 21 tháng 10 năm 2022


lOMoARcPSD|22495817

ĐẠI HỌC UEH
TRƯỜNG CƠNG NGHỆ VÀ THIẾT KẾ
KHOA TỐN- THỐNG KÊ

TIỂU LUẬN
Mơn học: PHƯƠNG PHÁP TÍNH

Chủ đề: PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI
TOÁN LÃI SUẤT.
Giảng viên: Lê Xuân Trường
Mã lớp học phần: 22C1MAT50803401

Nhóm sinh viên:
1. Phan Thị Quỳnh 31201020864 FM001-K46
2. Lê Thị Thương 31201020891 FM001-K46

TP Hồ Chí Minh, ngày 21tháng 10 năm 2022


lOMoARcPSD|22495817

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
……………………………………………………………….………………………………..
TPHCM, ngày 23 tháng 10 năm 2022

GVHD HƯỚNG DẪN
(Ký và ghi rõ họ tên)


lOMoARcPSD|22495817

Phương pháp nội suy và ứng dụng trong bài toán
lãi suất
Phan Thị Quỳnh
Lê Thị Thương
October 2022


lOMoARcPSD|22495817

Mục lục
1 Giới thiệu đề tài
1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lịch sử nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tổng quan và mục đích của phương pháp nội suy .
1.3.1 Tổng quan về phương pháp nội suy . . . . .
1.3.2 Mục đích của phương pháp nội suy . . . . .
1.4 Các phương pháp ứng dụng trong bài toán lãi suất

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
5
5
6

2 Cơ sở lý thuyết
2.1 Các lý thuyết liên quan . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Trái phiếu (Bonds) . . . . . . . . . .
2.1.2 Trái phiếu chính phủ . . . . . . . . .
2.1.3 Lợi suất đáo hạn (Yield to maturity)
2.1.4 Đường cong lợi suất (Yield curve) . .
2.2 Thuật toán giải quyết . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
8
9

11

3 Kết
3.1
3.2
3.3
3.4

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

16
16
17
18
20

quả thực nghiệm
Mục tiêu thực nghiệm
Lập trình trên Python
So sánh kết quả . . . .
KẾT LUẬN . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

1

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


lOMoARcPSD|22495817

2
DANH MỤC BẢNG
Bảng 1: Mối quan hệ của giá trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hiện hành và
lợi suất đáo hạn.
Bảng 2: Lợi suất trái phiếu.

lOMoARcPSD|22495817

3
DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 2.1: Đường cong lợi suất bình thường
Hình 2.2: Đường cong lợi suất đảo ngược
Hình 2.3: Đường cong lợi suất phẳng
Hình 2.4: Kết quả


lOMoARcPSD|22495817

Chương 1
Giới thiệu đề tài
1.1

Lý do chọn đề tài

Bài toán lãi suất dường như đã trở nên quen thuộc đối với các nhà kinh doanh
khi quyết định đầu tư vào một vấn đề gì đó, có thể là một hạng mục hay quyết
định mua cổ phiếu hay trái phiếu tùy vào các loại hình mà họ chọn. Bên cạnh
đó đầu tư dài hạn hay ngắn hạn cũng đóng vai trị quan trọng trong việc thành
công của một quyết định đầu tư. Tuy nhiên không phải lúc nào các số liệu đều
được cơng bố, hay thậm chí bị khuyết, điều này đã tạo nên sự bất cập trong việc
đầu tư hay đưa ra các dự đoán. Và nội suy và các phương pháp của nó được thực
hiện trên Python đã giúp các nhà đầu tư quyết định một cách dễ dàng hơn dựa
vào các đồ thị mà nó đưa ra theo đường cong lợi suất. Bài tiểu luận của nhóm
được làm ra để nghiên cứu và đưa ra cái nhìn tổng quan về nội suy và ứng dụng

của nó lên bài tốn lãi suất đồng thời thực hiện bằng ngơn ngữ lập trình Python
để đưa ra kết quả nhằm so sánh và đánh giá một cách cụ thể hơn.

1.2

Lịch sử nghiên cứu

Phép nội suy đã được sử dụng bởi các nền văn minh của loài người kể từ thời
cổ đại, đặc biệt là bởi các nhà thiên văn đầu tiên ở Lưỡng Hà và Tiểu Á hay
Anatolia là một bán đảo của châu Á mà ngày nay thuộc lãnh thổ Thổ Nhĩ Kỳ
cố gắng lấp đầy những khoảng trống trong quan sát của họ về chuyển động của
các hành tinh. Theo thời gian phương pháp nội suy dần được phát triển và hoàn
thiện hơn.

4


lOMoARcPSD|22495817

5

1.3
1.3.1

Tổng quan và mục đích của phương pháp
nội suy
Tổng quan về phương pháp nội suy

Về mặt toán học:
Nội suy là một cơng cụ tốn học cơ bản được ứng dụng rộng rãi trong nhiều

ngành thực nghiệm như công nghệ thông tin, kinh tế, tài chính, dầu khí, xây
dựng, y học, truyền hình, điện ảnh và những ngành cần xử lý dữ liệu số khác...
Giả sử: Chúng ta có một tập dữ liệu rời rạc bao gồm biến độc lập xi và biến phụ
thuộc yi với i = 1,2,..,n. Để tìm một hàm ước lượng mẫu yˆ(x) sao cho yˆ(x) = yi
với mọi điểm trong tập dữ liệu, chúng ta có thể dùng phương pháp nội suy sử
dụng giá trị trung gian yˆ(x∗ ), đây được gọi là phép nội suy hàm số.
Về mặt kinh tế:
Nội suy là một phương pháp thống kê dùng các giá trị liên quan đã biết để ước
tính giá trị chưa xác định hay bị khuyết hay cụ thể hơn là mức lợi nhuận tiềm
năng của một cổ phiếu trên sàn giao dịch chứng khốn. Nói một cách chung nhất:
Nội suy sử dụng các giá trị đã biết để thiết lập dự đoán cho các giá trị chưa biết
nhằm đưa ra mơ hình nối liền theo thứ tự từ các dữ liệu nói trên.
Nội suy về cơ bản là một khái niệm toán học đơn giản. Nếu có một xu hướng
chung nhất quán trên một tập hợp các điểm dữ liệu, người ta có thể ước tính
một cách hợp lý giá trị của tập hợp tại các điểm chưa được tính tốn. Các nhà
đầu tư và nhà phân tích chứng khốn thường xun tạo một biểu đồ đường với
các điểm dữ liệu được nội suy. Các biểu đồ này giúp họ hình dung sự thay đổi
của giá chứng khoán và là một phần quan trọng của phân tích kỹ thuật mà các
nhà phân tích dữ liệu cần quan tâm.

1.3.2

Mục đích của phương pháp nội suy

Bằng cách sử dụng một xu hướng nhất quán trên một tập hợp các điểm dữ liệu,
các nhà đầu tư có thể ước tính các giá trị chưa biết và vẽ các giá trị này trên biểu
đồ thể hiện biến động giá của cổ phiếu theo thời gian. Từ các biến động đó các
nhà đầu tư có thể đưa ra quyết định đầu tư dài hạn hay ngắn hạn nhằm kiếm
được khoản thu chênh lệch tốt nhất.
Ví dụ: giả sử chúng tơi đang theo dõi giá chứng khoán trong một khoảng thời

gian. Chúng ta sẽ gọi dòng mà giá trị của bảo mật được theo dõi là hàm f(x).
Chúng ta sẽ vẽ biểu đồ giá hiện tại của cổ phiếu qua một loạt các điểm đại diện
cho các khoảnh khắc trong thời gian. Vì vậy, nếu chúng ta ghi lại f(x) cho tháng
8, tháng 10 và tháng 12, các điểm đó sẽ được biểu diễn toán học dưới dạng x1 ,
x3 và x5 . Vì một số lý do,mà giá trị của tháng 9 bị bảo mật. Tuy nhiên có thể sử
dụng thuật tốn nội suy tuyến tính để ước tính giá trị của f(x) tại điểm biểu đồ
x2 xuất hiện trong phạm vi dữ liệu hiện có.
Khi đã có đủ các dữ liệu cần biết, phương pháp nội suy sẽ đưa ra biểu đồ hình
học với đường cong lợi suất thể hiện sự giao động của lợi suất qua từng thời kỳ.
Từ đó mà có thể đưa ra quyết định đầu tư đến khoảng thời gian nào thì ngừng


lOMoARcPSD|22495817

6
hay nói cách khác đầu tư dài hạn hoặc ngắn hạn.

1.4

Các phương pháp ứng dụng trong bài tốn
lãi suất

Có rất nhiều cách để nội suy một tập dữ liệu, nhưng để giải quyết các vấn đề về
đường cong lợi suất thì chỉ cần chú ý một vài phương pháp phổ biến:
- Linear interpolation ( Nội suy tuyến tính).
- Cubic spline (Spline khối)
- Dougherty/ Hyman
- Hussian
- Hagan - West
- Lagrange

lOMoARcPSD|22495817

Chương 2
Cơ sở lý thuyết
2.1
2.1.1

Các lý thuyết liên quan
Trái phiếu (Bonds)

Trái phiếu là công cụ nợ và đại diện cho các khoản cho vay đối với tổ chức phát
hành. Chính phủ (các cấp) và các tập đoàn thường sử dụng trái phiếu để vay
tiền. Các chính phủ cần tài trợ cho đường sá, trường học, đập hoặc các cơ sở hạ
tầng khác. Chi phí chiến tranh đột ngột cũng có thể đòi hỏi nhu cầu huy động
vốn. Tương tự, các tập đoàn thường vay để phát triển kinh doanh, mua tài sản
và thiết bị, thực hiện các dự án sinh lời, nghiên cứu và phát triển, hoặc thuê nhân
viên. Vấn đề mà các tổ chức lớn gặp phải là họ thường cần nhiều tiền hơn mức
mà các ngân hàng trung bình có thể cung cấp và trái phiếu cung cấp một giải
pháp bằng cách cho phép nhiều nhà đầu tư cá nhân đảm nhận vai trò của người
cho vay.
Hầu hết các trái phiếu đều có chung một số đặc điểm cơ bản bao gồm:
- Mệnh giá (mệnh giá) là số tiền mà trái phiếu sẽ có giá trị khi đáo hạn; nó cũng
là số tiền tham chiếu mà cơng ty phát hành trái phiếu sử dụng khi tính tốn các
khoản thanh tốn lãi suất. Ví dụ: giả sử một nhà đầu tư mua một trái phiếu với
mức phí bảo hiểm là 1,090 đô la và một nhà đầu tư khác mua trái phiếu tương
tự sau đó khi nó đang giao dịch với mức chiết khấu là 980 đô la. Khi trái phiếu
đáo hạn, cả hai nhà đầu tư sẽ nhận được mệnh giá 1.000 đô la của trái phiếu.
- Lãi suất Coupon là lãi suất mà công ty phát hành trái phiếu sẽ trả trên mệnh

giá của trái phiếu, được biểu thị bằng tỷ lệ phần trăm, được tính bằng cách lấy
tổng các khoản thanh toán coupon hàng năm chia cho mệnh giá của trái phiếu.
- Ngày đáo hạn là ngày trái phiếu đáo hạn và công ty phát hành trái phiếu sẽ
thanh toán cho trái chủ mệnh giá của trái phiếu.
- Giá phát hành là giá mà công ty phát hành trái phiếu bán trái phiếu ban đầu.
Trong nhiều trường hợp, trái phiếu được phát hành ngang giá.

7


lOMoARcPSD|22495817

8

2.1.2

Trái phiếu chính phủ

Trái phiếu chính phủ là những trái phiếu do Chính phủ phát hành nhằm mục
đích bù đắp các thâm hụt của ngân sách nhà nước, tài trợ cho các cơng trình
phúc lợi cơng cộng trung ương và địa phương hoặc làm công cụ điều tiết tiền tệ.
Phát hành trái phiếu chính phủ là phương thức để nhà nước vay vốn (tín dụng
nhà nước). Do đó, trái phiếu ghi nhận nghĩa vụ trả nợ của Nhà nước và quyền
lợi của người sở hữu trái phiếu. Hình thức ban đầu của trái phiếu chính phủ áp
dụng phổ biến là hình thức chứng chỉ, sau đó xuất hiện thêm hình thức bút tốn
ghi sổ.
Trái phiếu chính phủ gồm các loại sau:
- Trái phiếu kho bạc: loại trái phiếu chính phủ được phát hành thông qua hệ
thống kho bạc nhà nước.
- Trái phiếu đầu tư: loại trái phiếu chính phủ phát hành theo phương thức đấu

thầu qua thị trường giao dịch chứng khoán tập trung, bảo lãnh hoặc đại lý phát
hành. Trái phiếu chính phủ được phát hành và thanh tốn bằng đồng Việt Nam
hoặc ngoại tệ. Người sở hữu trái phiếu chính phủ có các quyền lợi cơ bản: được
Chính phủ bảo đảm thanh toán trái phiếu (gốc và lãi) khi đến hạn; được dùng
trái phiếu để bán, tặng, cho, để lại thừa kế hoặc cầm cố; cá nhân được miễn thuế
thu nhập đối với khoản thu nhập từ trái phiếu.

2.1.3

Lợi suất đáo hạn (Yield to maturity)

Lợi suất đáo hạn, lợi tức đáo hạn hay lãi suất đáo hạn là lãi suất hịa vốn trung
bình của một trái phiếu nếu mua trái phiếu ở một thời điểm và giữ lại trái phiếu
đó cho đến ngày đến hạn thanh tốn. Hiểu một cách đơn giản YTM trái phiếu
là tỷ suất lợi nhuận thu được từ trái phiếu nếu nắm giữ trái phiếu này đến khi
đáo hạn.
Ta có cơng thức tính lợi suất đáo hạn:
P = 1+YCT M + (1+YCT M )2 + (1+YCT M )3 + ... + (1+YMT M )n
Hoặc:
P
P = nt=1 (1+YCT M )t + (1+YMT M )n
Trong đó:
C: Số tiền lãi coupon hàng năm
P: Giá thị trường của trái phiếu
n: số năm cho đến khi trái phiếu đáo hạn
Lợi suất đáo hạn nêu trên cũng chính là một lãi suất hồn vốn nên có thể xác
định bằng phương pháp nội suy.
Lợi suất đáo hạn là đại lượng được sử dụng rất thường xuyên để đo lường mức
sinh lời của trái phiếu
Việc tính tốn lợi suất đáo hạn khơng chỉ tính tới tiền lãi hiện tại mà cịn tính tới

bất kỳ khoản lời hay lỗ nào mà nhà đầu tư sẽ gặp phải bằng việc giữ trái phiếu
cho đến ngày thanh tốn.
Lợi suất đáo hạn cịn xem xét tới thời gian của dịng tiền. Trong đó nhà đầu tư
cần chú ý đến mối quan hệ giữa trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hiện hành

Downloaded by hay hay ()


lOMoARcPSD|22495817

9
và lợi suất đáo hạn. Mối quan hệ này thể hiện như sau:
Trái phiếu được bán tại
Mối quan hệ
Mệnh giá
Lãi suất coupon = lợi suất hiện hành = lợi suất đáo hạn
Dưới mệnh giá
Lãi suất coupon < lợi suất hiện hành < lợi suất đáo hạn
Trên mệnh giá
Lãi suất coupon > lợi suất hiện hành > lợi suất đáo hạn
Bảng 1: Mối quan hệ của giá trái phiếu, lãi suất coupon, lợi suất hiện hành và
lợi suất đáo hạn

2.1.4

Đường cong lợi suất (Yield curve)

Đường cong lợi suất là một đường lợi suất (lãi suất) của trái phiếu có chất lượng
tín dụng bằng nhau nhưng khác nhau về ngày đáo hạn. Đường cong lợi suất thể
hiện lợi suất trái phiếu theo các kỳ hạn khác nhau, thể hiện lãi suất kỳ vọng

trong tương lai của thị trường tại một thời điểm hiện tại.
Đường cong lợi suất được sử dụng làm chuẩn cho các khoản nợ khác trên thị
trường, chẳng hạn như lãi suất thế chấp hoặc lãi suất cho vay ngân hàng, và nó
được sử dụng để dự đốn những thay đổi trong sản lượng và tăng trưởng kinh tế.
Các đặc điểm của đường cong lợi suất:
- Đường cong lợi suất đối với các trái phiếu do Chính phủ phát hành được coi là
đường cong lợi suất tham chiếu do rủi ro tín dụng gần như bằng 0.
- Khoảng chênh lệch giữa đường cong lợi suất của một loại trái phiếu nào đó só
với đường cong lợi suất tham chiếu sẽ hình thành nên chênh lệch tín dụng (credit
spread). Mức độ rủi ro của chủ thể phát hành càng cao thì chênh lệch tín dụng
càng lớn và ngược lại.
- Đường cong lợi suất được sử dụng như một công cụ định giá trái phiếu, đồng
thời được các nhà kinh tế sử dụng như một cảnh báo về tình hình kinh tế vĩ mơ
trong tương lai.
Có 3 loại đường cong lợi suất chính:
Đường cong lợi suất thơng thường (normal)
Đường cong lợi đảo ngược (Inverted)
Đường cong lợi suất phẳng
a) Đường cong lãi suất thơng thường (Normal)
Đường cong lợi suất bình thường hoặc dốc lên cho thấy lợi suất của trái phiếu
dài hạn hơn có thể tiếp tục tăng, đáp ứng với các giai đoạn mở rộng kinh tế. Do
đó, một đường cong lợi suất thông thường bắt đầu với lợi suất thấp đối với trái
phiếu có thời hạn ngắn hơn và sau đó tăng đối với trái phiếu có thời gian đáo
hạn dài hơn, dốc lên trên. Đây là loại đường cong lợi suất phổ biến nhất vì trái
phiếu có kỳ hạn dài hơn thường có lợi suất khi đáo hạn cao hơn trái phiếu có kỳ
hạn ngắn hơn.
Ví dụ, giả sử trái phiếu hai năm cung cấp lợi suất 1%, trái phiếu năm năm cung
cấp lợi suất 1,8%, trái phiếu 10 năm cung cấp lợi suất 2,5%, trái phiếu 15 năm
cung cấp lợi suất 3,0 %, và trái phiếu kỳ hạn 20 năm có lợi suất là 3,5%. Khi các
điểm này được kết nối với nhau trên một biểu đồ, chúng có hình dạng của một

đường cong lợi suất bình thường.


lOMoARcPSD|22495817

10

Hình 2.1: Đường cong lợi suất bình thường
b) Đường cong lợi suất đảo ngược (Inverted)
Một đường cong lợi suất ngược lại dốc xuống và có nghĩa là lãi suất ngắn hạn
vượt quá lãi suất dài hạn. Một đường cong lợi suất như vậy tương ứng với các
giai đoạn suy thoái kinh tế, nơi các nhà đầu tư kỳ vọng lợi suất của trái phiếu có
kỳ hạn dài hơn sẽ thậm chí cịn thấp hơn trong tương lai.

Hình 2.2: Đường cong lợi suất đảo ngược
Đường cong lợi suất đảo ngược tương đối hiếm, phần lớn là do khoảng thời gian
dài hơn trung bình giữa các cuộc suy thối kể từ đầu những năm 1990. Ví dụ,
các đợt mở rộng kinh tế bắt đầu vào tháng 3 năm 1991, tháng 11 năm 2001 và
tháng 6 năm 2009 là ba trong số bốn đợt mở rộng kinh tế dài nhất kể từ Thế
chiến thứ hai.
c) Đường cong lợi suất phẳng (Flat)
Đường cong lợi suất phẳng có thể là kết quả của việc lãi suất dài hạn giảm nhiều
hơn lãi suất ngắn hạn hoặc lãi suất ngắn hạn tăng nhiều hơn lãi suất dài hạn.


lOMoARcPSD|22495817

11
Đường cong lợi suất phẳng thường là một dấu hiệu cho thấy các nhà đầu tư và
thương nhân đang lo lắng về triển vọng kinh tế vĩ mơ.

Hình 2.3: Đường cong lợi suất phẳng

2.2

Thuật tốn giải quyết

Nội suy tuyến tính và phương pháp spline khối là hai phương pháp phổ biến nhất
trong quá trình nội suy.
Xét cặp dữ liệu (x0 ,y0 ) và (x1 ,y1 ). Từ cặp dữ liệu này chúng ra quan tâm đến
việc vẽ một đường thẳng từ cặp dữ liệu trên. Nếu như kiến thức trung học phổ
thông cho thấy giá trị y tương ứng với giá trị x cho trước là:
0)
y = y0 + (x − x − x0 ) (yx11 −y
−x0
Thì từ cơng thức này ta có thể mở rộng thành tập dữ liệu bao gồm n điểm. Tuy
nhiên đường cong được tạo ra chỉ liên tục khi các đạo hàm bậc nhất không liên
tục tại các điểm của bộ dữ liệu, do đó đường cong đơi khi có vẻ hơi “ lởm chởm”.
Điều cần lưu ý là nội suy tuyến tính bị giới hạn bởi đạo hàm bậc hai khiến cho
nó bị lỗi gần đúng. Để xử lý lỗi này, xác định hàm f(x) được nội suy và để đa
thức tuyến tính p(x) xấp xỉ với f(x) tại các điểm x=a và x=b.
RT = f (x) − p(x) , a ≤ x ≤ b
Theo định lý Rolle (Widder 1989, Spiegel 1969), chúng ta có thể chỉ ra:
(a)
p(x) = f (a) + f (b)−f
(x − a)
b−a
Thuật toán giải quyết:

lOMoARcPSD|22495817

12
Vd: Tìm phép nội suy tuyến tính tại x = 1.5 dựa trên cặp dữ liệu x = [0,1,2] và
y = [1,3,2]. Xác minh kết quả bằng chức năng SciPy’s interp1d. Vì 1ta sử dụng điểm dữ liệu thứ hai và thứ ba để tính tốn nội suy tuyến tính. Và
thực hiện như sau:
(y i+1)−yi )(x−xi )
yˆ(x) = yi + ( x( i+1)−x
= 3 + (2−3)(1.5−1)
= 2.5
2−1
i
Thực hành trên Python:

from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use("seaborn-poster")
x = [0, 1, 2]
y = [1, 3, 2]
f = interp1d(x, y)
y_hat = f(1.5)
print(y_hat)
plt.figure(figsize = (10,8))
plt.plot(x, y, "-ob")
plt.plot(1.5, y_hat, "ro")
plt.title("Linear Interpolation at x = 1.5")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

Có được mơ hình:

Hình 2.4: Kết quả
Để có được đường cong mượt hơn so với nội suy tuyến tính thì chúng ta có thể
sử dụng Cubic Spline

Downloaded by hay hay ()


lOMoARcPSD|22495817

13
Nếu như nội suy tuyến tính làm việc trên khoảng (a,b) thì với phương pháp Cubic Spline ta giả sử có δ = xj : j = 0, 1, 2, ..., n là một phân hoạch của (a,b) với
a = x0 < x1 < ... < xn = b. Từ đó xác định các giá trị đã cho như sau:
Y = yj : j = 0, 1, ..., n
và xác định số lượng:
h( j + 1) = x( j + 1) − xj , j = 0, 1, ..., n − 1
Từ những điều trên ta có thể xác định cubic spline là một hàm liên tục mà các
phát sinh bao gồm đạo hàm bậc hai tại các điểm bên trong lưới như đã xác định
bên trên. Hơn nữa Spline là một hàm đa thức bậc 3 trên mỗi điểm subinterval.
Để xác định Spline Sδ chúng ta đưa giới hạn điều kiện tại x= a và x = b. Ta có
các lựa chọn loại trừ:
Sδ ”(Y ; a) = Sδ ”(Y ; b) = 0
Sδ′ (Y ; a) = α, Sδ′ (Y ; b) = β, (α, β given)
Trong trường hợp này, đạo hàm bậc hai của hàm spline bằng 0 tại x=a và tại
x=b hoặc đạo hàm bậc nhất của hàm được cho tại tại x=a và x=b và có giá trị
lần lượt là α và β . Theo Stoer và Bulirsch 1980 có thể thấy cubic spline có thể
được diễn giải như sau:
3

(x j+1)−x)3
j)
Yδ (Y, x) = Mj (6h( j+1) + M( j + 1) (x−x
+ Aj (x − xj ) + bj
6h( j+1)
Tại
h2 j+1)
y j+1)−y
h j+1)
Aj = (h( j+1) j − ( 6 (M( j + 1) − Mj ) Bj = yj − Mj ( 6 , j = 0, 1, ..., n
Trong đó tất cả tham số và hệ số đều đã biết, ngoại trừ(Mj )nj = 0 . Tuy nhiên
chúng ta có thể giải quyết bằng cách viết bài toán dưới dạng ma trận tam giác:
AM=d Tại

Trong đó các phần tử của ma trận A phụ thuộc vào các điều kiện biên, cụ thể là
giá trị đạo hàm cấp 2 trường hợp (a) hoặc giá trị cho trước đạo hàm bậc 1 trường
hợp (b). Cụ thể:
Trường hợp (a) λ0 = 0, d0 = 0, µ0 = 0, dn = 0
Trường hợp (b)
0
− α)
λ0 = 1, d0 = h61 ( y1h−y
1
µ0 = 1, dn =

6
(β
hn

−

yn −y( n−1)
hn

Downloaded by hay hay ()


lOMoARcPSD|22495817

14
h j+1)

λj = hj (h( ( j+1))
µj = 1 − λj
y j+1)−y
dj = hj +h6( j+1) ( (h( j+1) j −
Thuật toán giải quyết:

yj −y( j−1)
)
hj

j = 1, 2, ..., n − 1

Vd: Sử dụng Cubic Spline để vẽ biểu đồ nội suy spline khối của tập dữ liệu
x = [0, 1, 2] và y = [1, 3, 2] cho 0 ≤ x ≤ 2
Trong Python:
from scipy.interpolate import CubicSpline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

plt.style.use("seaborn-poster")
x = [0, 1, 2]
y = [1, 3, 2]
# use bc_type = "natural" adds the constraints
f = CubicSpline(x, y, bc_type="natural")
x_new = np.linspace(0, 2, 100)
y_new = f(x_new)
plt.figure(figsize = (10,8))
plt.plot(x_new, y_new, "b")
plt.plot(x, y, "ro")
plt.title("Cubic Spline Interpolation")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.show()

Downloaded by hay hay ()


lOMoARcPSD|22495817

15

Downloaded by hay hay ()


lOMoARcPSD|22495817

Chương 3
Kết quả thực nghiệm
3.1

Mục tiêu thực nghiệm

Nhóm sử dụng đường cong lợi suất nội suy để vẽ biểu đồ đại diện cho lợi suất của
trái phiếu kho bạc Hoa Kỳ phát hành gần đây hoặc trái phiếu có kỳ hạn cụ thể.
Loại nội suy này giúp có được cái nhìn sâu sắc về nơi mà thị trường trái phiếu
và nền kinh tế có thể hướng tới trong tương lai. Nhóm sẽ sử dụng phép nội suy,
để biết được lợi suất của trái phiếu mà tại điểm đó khơng có dữ liệu.
Nó khơng chỉ là thị trường hiện tại các nhà đầu tư muốn đánh giá. Đường cong
lợi suất cũng cho một dấu hiệu tốt về những gì sẽ xảy ra trong tương lai. Như
phần sau sẽ được giải thích, đường cong lợi suất có thể có các hình dạng khác
nhau cho biết thị trường tương lai sẽ như thế nào. Một ví dụ về điều này là dự
đốn các cuộc suy thối trong tương lai. Có một mối tương quan rõ ràng giữa
hình dạng của đường cong và độ lõm, có thể được chỉ ra theo kinh nghiệm. Ví
dụ, nếu một chính phủ muốn giảm tốc nền kinh tế vì họ dự đốn suy thối, họ
sẽ làm phẳng đường cong lợi suất. Một ví dụ điển hình về điều này là xem xét
các đường cong lợi suất do Bộ Tài chính Hoa Kỳ ban hành trước, trong và sau
cuộc khủng hoảng tài chính 2008.
Để thực nghiệm, nhóm thu thập dữ liệu lợi tức kho bạc của Hoa Kỳ từ Asian
Edition Bloomberg, với hai biến x là thời gian đáo hạn và y là lợi tức.
manturity yield
0.25
0.0395
0.5
0.0443
1
0.0458
2
0.0461
5

0.0445
10
0.0425
30
0.0426
Bảng 2: Lợi suất trái phiếu

16

Downloaded by hay hay ()