Phương pháp nối suy newton cách đều và không cách đều potx

Bài tiểu luận này được hoàn thành dựa trên kết quả tìm hiểu và học tập hết sức nghiêm túc cùng
với tinh thần ham học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu của cả nhóm chúng em trong suốt thời gian qua. Mặc dù
đã rất cố gắng song do hạn chế về kiến thức nên có thể bài viết của chúng em sẽ còn có nhiều thiếu sót,
NÊN CHÚNG EM RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC ĐÓNG GÓP Ý KIẾN TỪ THẦY VÀ CÁC BẠN!
CHÚNG EM XIN CHÂN THÀNH CÁM ƠN!
Mục lục
A. LÝ THUYẾT
Đa thức nội suy Newton
Ưu điểm của công thức nội suy newton là khi tăng số nút nội suy, ta không cần tính lại mà chỉ cần bổ sung
thêm. Trái lại với công thức lagrange ta phải làm lại hoàn toàn. Với các bảng số liệu quá dài, người ta dùng công
thức nội suy tiến để nội suy ở đầu bảng, công thức nội suy lùi để nội suy ở cuối bảng.
1. Tỷ hiệu
Giả sử hàm số y
i
= f(x), i=0,1,2,… và
∆
x
i
= x
i+1
– x
i
≠0 ( i = 0,1,2,…) không bằng nhau.
[ ]
( )
, )2,1,0(,
)(
,
1
1
1

1
1
=
−
−
=
−
−
=
+
+
+
+
+
i
xx
yy
xx
xfxf
xxf
ii
ii
ii
ii
ii
Tỷ hiệu
Gọi là tỷ hiệu cấp một cảu hàm số f(x).
Tương tự các định nghĩa tỷ hiệu cấp hai của hàm số f(x):
[ ]
[ ] [ ]

, )2,1,0(,
,,
,,
2
121
21
=
−
−
=
+
+++
++
i
xx
xxfxxf
xxxf
ii
iiii
iii
Tổng quát, tỷ hiệu cấp n của hàm số f(x) nhận được từ tỷ hiệu cấp n-1 của hàm số f(x) nhờ công thức truy
hồi:
[ ]
[ ] [ ]
ini
niinix
niniii
xx
xxfxxf
xxxxf

−
−
=
+
−+++
+−++
11
11
, ,,
,, ,,
(n=1,2,…; i = 0,1,2,…)
Chú ý rằng tỷ hiệu là các hàm số đối xứng của các đối số. chẳng hạn
[ ] [ ]
ii
ii
ii
ii
ii
ii
xxf
xx
yy
xx
yy
xxf ,,
1
1
1
1
1

1 +
+
+
+
+
+
=
−
−
=
−
−
=
Một tính chất đáng chú ý cuả tỷ hiệu là: Tỷ hiệu cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số; tỷ hiệu
cấp lớn hơn n của một đa thức bậc n bằng 0. Vì tỷ hiệu cấp 1, giống như đạo hàm cấp 1, tỷ hiệu cấp n
giống như đạo hàm cấp n, nên tỷ hiệu cấp n của một đa thức bậc n bằng hằng số, vì đạo hàm cấp n của
một đa thức bậc n bằng hằng số …
2. Đa thức nội suy newton: trường hợp nội suy không cách đều
( )
niyxf
i
,0;
==
Giả sử trên đoạn [a,b] cho n+1 giá trị khác nhau của các đối số x
0
,x
1,
x
2
,…x

n

( các x
i
không cách đều) và biết, đối với hàm số y = f(x), những giá trị tương ứng:
bây giờ, ta xây dựng đa thức nội suy P
n
(x), bậc không cao hơn n thoả mãn điều kiện:
( )
niyxP
iin
,0;
==

Theo cách của Newton ta có:
[ ]
( )
0
0
0
,
xx
yxf
xxf
−
−
=
B1: tính tỷ hiệu theo công thức:
+ tỉ hiệu cấp 1
( ) ( )

[ ]
000
, xxfxxyxf −+=

[ ]
[ ] [ ]
0
100
10
,,
,,
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
+ Tỷ hiệu cấp 2
Và
[ ] [ ]
( )
[ ]
1011010
,,,, xxxfxxxxfxxf −+=
[ ]
10
, xxf
Thay vào công thức tính tỷ hiệu cấp 2 ở trên ta được
( ) ( )
[ ]

( )( )
[ ]
1101000
,,, xxxfxxxxxxfxxyxf
o
−−+−+=
Tiếp tục quá trình trên ta sẽ tính hết tỷ hiệu của n đối số.
Sau đó ta thay vào công thức sau thì sẽ ra được đa thức cần tìm.
( ) ( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )( ) ( )
[ ]
nn
n
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxyxP
, ,
,,,
10110
210101000
−
−−−+
++−−+−+=
Vậy (1) là đa thức nội suy tiến newton của hàm số f(x)
Chú ý khi khai triển công thức g = (x – a
1
)(x – a
2

)(x – a
3
)…(x – a
n
)
Các hệ số tính theo công thức sau:
X
n
là +1 có
C
n
0
số hạng
X
n-1
là –(a
1
+a
2
+……+ a
n
) có
C
n
1
số hạng
X
n-2
là +( a
1

a
2
+a
1
a
3
+…+ a
n-1
a
n
) có
C
n
2
số hạng
X
n-3
là – (a
1
a
2
a
3
+ a
1
a
2
a
4
+ …+ a

n-2
a
n-1
a
n
) có
C
n
3
số hạng

X
n-i
là (-1)
i
(a
1
a
2
….a
i
+ a
1
a
2
….a
i+1
+… + a
n-i+1
… a

n
) có
C
i
n
số hạng

X
n-n
là (-1)(a
1
a
2
……a
n-1
a
n
) có
C
n
n
số hạng
Vì tính duy nhất của đa thức nội suy nên đa thức này hoàn toàn giống đa thức nội suy lagrange, chỉ khác về
cách xây dựng. cách xây dựng này dựa vào bảng các tỷ hiệu của hàm số f(x), nên các đa thức được thành lập
dần theo các nút nội suy và khi thêm nút nội suy, không phải làm lại từ đầu như đối với đa thức nội suy
lagrange.
Đa thức (1) gọi là đa thức nội suy tiến xuất phát từ nút x
0
của hàm số f(x). R
n

(x) xác định bởi:
( ) ( )( ) ( )( )
[ ]
nnn
n
xxxfxxxxxxxxx
R
, ,,
0110
−−−−=
−

Là sai số nội suy.
Bằng cách làm tương tự ta xây dựng được đa thức nội suy newton lùi xuất phát từ nút x
n
của hàm số f(x)
(1)
(2)
( ) ( )
[ ]
( )( )
[ ]
( )( ) ( ) ( )
[ ]
01111
2111
,, ,,
,,,
xxxxfxxxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxyxP

nninn
nnnnnnnnnn
−−
−−−−
−−−−+
+−−+−+=
Vậy (2) là đa thức nội suy newton lùi của hàm số f(x).
Và đa thức nội suy newton lùi có sai số là:
( ) ( )( ) ( )( )
[ ]
011011
,, ,,, xxxxxfxxxxxxxxx
nnnn
n
R
−−
−−−−=
Chú ý:
• Công thức đa thức nội suy newton tiến thuận lợi cho việc nội suy giá trị của hàm số f(x)
tại các điểm x gần với x
0
còn công thức nội suy newton lùi thường dùng để nội suy giá trị
của hàm số f(x) taị các điểm x gần với x
n
.
• Khi đổi vị trí các đối số trong bảng giá trị thì đa thức thu được vẫn không đổi vì các công
thức tỷ hiệu đã cho là những công thức không có thứ tự như đa thức nội suy cách đều mà
ta sẽ tìm hiểu sau đây.
• Newton tiến hay lùi hoàn toàn giống nhau.
3. Trường hợp đa thức nội suy cách đều

a. Hiệu hữu hạn
Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng
x x
0
x
1
x
2
… x
i
x
i+1
y y
0
y
1
y
2
… y
i
y
i+1
Trong đó y
i
= f(x
i
), i = 0,1,2,… và các nút cách đều nghĩa là x
i
= x
0

+ ih
Hay x
i+1
– x
i
= h ( h là hằng số > 0, i = 0,1,2…)
Khi đó:
∆
y
i
= y
i+1
– y
i
hữu

hạn điểm tiến cấp của một hàm số f(x) tại điểm x
i
.
2
∆
y
i
= y
i+1
– y
i
gọi là hữu hạn tiến cấp hai của hàm số f(x) tại điểm x
i
.

Tổng quát:
n
∆
y
i
=
∆
(
1−
∆
n
y
i
)
1−
∆
n
y
i+1
-
1−
∆
n
y
i
gọi là tỷ hiệu hữu hạn tiến cấp n của hàm số f(x) tại
điểm x
i
.
Bây giờ, ta định nghĩa các hiệu hữu hạn lùi : y

i
= y
i
– y
i-1
gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp 1 của hàm số
f(x) tại điểm x
i

2
y
i
=(y
i
) = y
i
- y
i-1
gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp 2 của hàm số f(x) tại điểm x
i
.
Tổng quát: 
n
y
i
= (
n-1
y
i
) = 

n-1
y
i
- 
n-1
y
i-1
gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp n của hàm số f(x) tại
điểm x
i
.
Giống tỷ hiệu, hiệu hữu hạn có cùng tính chất đáng chú ý sau: hiệu hữu hạn tiến hoặc lùi cấp n của
một đa thức bậc n bằng hằng số; hiệu hữu hạn tiến hoặc lùi cấp lớn hơn n của một đa thức bậc n
bằng không.
Dựa vào định nghĩa các tỷ hiệu, hiệu hữu hạn tiến và hiệu hữu hạn lùi, dễ dàng thiết lập được
những công thức liên hệ sau
[ ]
h
y
h
y
xx
10
10
,
∇
=
∆
=
∫

[ ]
2
2
2
2
0
2
210
!2!2
,,
h
y
h
y
xxx
∇
=
∆
=
∫
[ ]
n
n
n
n
n
n
hn
y
hn

y
xxx
!!
, ,,
0
10
∇
=
∆
=
∫

(các công thức thể hiện :” tiến ở cực trái ,lùi ở cực phải”).
Thật vậy :
[ ]
[ ] [ ]
2
0
2
01
12
1021
210
!22
,,
,,
h
y
h
h

y
h
y
xx
xxxx
xxx
∆
=
∆
−
∆
=
−
−
=
∫ ∫
∫
Chứng minh bằng quy nạp:giả sử công thức đúng với (n-1):
[ ]
[ ] [ ]
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
nn

n
hn
y
hn
yy
hn
y
hn
y
xx
xx
xxxxxx
xxx
!!)!1()!1(
1
, ,,, ,,
, ,,
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0

01
11010
20
∆
=
∆−∆
=






−
∆
−
−
∆
−
=
=
−
−
=
−
−−
−
−
−
−

−
∫ ∫
∫
b. Đa thức nội suy Newton :trường hợp các nút nội suy cách đều
Vì các nút nội suy cách đều chỉ là trường hợp đặc biệt của các nút nội suy cách đều , do đó có thể
xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút (NTCD) x
0


của hàm số f(x) trong tường
hợp các nút nội x
i
suy cách đều :
ihxx
i
+=
0
,
noi ,=
,ta chỉ cần thay trong (4.20):

[ ] [ ]
[ ]
nn
xxxfxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxyxP
, ,,)) ()((
,,))((,)()(
10110
210101000

−
−−−+
++−−+−+=
các tỷ hiệu bằng các hiệu hữu hạn tiến tương ứng của (4.24),ta có :
n
n
ni
n
hn
y
xxxxxxxx
h
y
xxxx
h
y
xxyxp
!
)) () ()((

!2
))(()()(
0
110
2
2
0
10
0
00

∆
−−−−+
++
∆
−−+
∆
−+=
−
Lấy x
0
làm gốc :Bây giờ thay biến x bằng biến t,
htxx +=
0
Ta đặt :
h
xx
t
0
−
=⇒
với h là khoảng cách giữa các nút nội suy.
)()(
000
ithihxxihxxxxhtxx
i
−=−−=+−=−⇒=−
,
Suy ra
it
h

xx
h
i
−=
−
,thế vào trên ta có đa thức NT theo biến t:
0
0
2
000
!
)1) () (2)(1(

!2
)1(
)()(
y
n
ntitttt
y
tt
ytyhtxpxp
n
n
∆
+−−−=
+
++∆
−
+∆+=+=

Đó là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x
0
của hàm số f(x) trong trương hợp các nút nội
suy xách đều .
Hoàn toàn tương tự,ta nhận được công thức của đa thức nội suy Newton lùi (NLCD) xuất
phát từ nút x
n
của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nợi suy cách đều.
[ ] [ ]
[ ]
10111
21110
,, ,,)) () ()((
,,))((,)()(
xxxxfxxxxxxxx
xxxfxxxxxxfxxyxp
nninn
nnnnnnnnn
−−
−−−−
−−−−++
+−−+−+=
n
n
nnnnnn
y
n
ntintttt
y

tt
ytyhtxpxp
∇
−+−+++
+
++∇
+
+∆==+=
!
)1) () (2)(1(

!2
)1(
)()(
2
)( inthxx
i
−+=−
Do biến đổi như sau :lấy x
n
làm gốc :
⇒−+=+−=+= )()(
0
nihxihnhxihxx
nni
Áp dụng công thức này ,thế vào ta có :
),1(,
1
+=−=−
−

thxxhtxx
nn
),(), ,(),2(
12
inthxxinthxxthxx
in
−+=−−+=−+=−
−
c. Sai số của đa thức nội suy Newton trong trường hợp các nút nội suy cách đều
ihxx
i
+=
0
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n + 1 trên
[ ]
ba,
chứa tất cả các nút nội suy cách
đều x
i:
( )
ni ,0=
.
)( ithxx
i
−=−
Như phần nhận xét Lagrange,ta sẽ lấy (4.10) làm sai số sấp sỉ cho Newton ,Đạt
htxx +=
0
,
nghĩa là

h
xx
t
0
−
=
thay vào (4.10) ta nhận được công thức về sai số của đa thức nội suy Newton
tiến xuất phát từ nút x
0
của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều:
)) (1(
)!1(
)(
)(
)1(1
nttt
n
cfh
xR
nn
n
−−
+
=
++
Trong đó: c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x
0
,x
1
,…,x

n
và điểm x.
Tương tự , đạt x = x
n
+ ht ,nghĩa là
h
xx
t
n
−
=
;trong đó (4.10) ta nhận được công thức về sai số của
đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút x
n
của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy
cách đều :
)) (1(
)!1(
)(
)(
)1(1
nttt
n
cfh
xR
nn
n
++
+
=

++
Trong đó c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x
0
,x
1
,…,x
n
và điểm x.
Trong trường hợp
y
n 1+
∆
của hàm số y = f(x) hầu như không đổi và h đủ bé thì do (4.24) Ta có :

),(
)1(
1
1
0
lim
xf
h
y
n
n
n
h
+
+
+

→
=
∆
Nên ta có thể xem:

1
0
1
)1(
)(
+
+
+
∆
≈
n
n
n
h
y
cf
Và (4.27) có dạng tiến :
0
1
)!1(
)) (1(
)( y
n
nttt
xR

n
n
+
∆
+
−−
≈
Tương tự ,(4.28)có thể viết dưới dạng lùi:
n
n
n
y
n
nttt
xR
1
)!1(
)) (1(
)(
+
∇
+
++
≈
B. BÀI TẬP
Bài 1: Từ bảng số liệu sau đây hãy xây dựng đa thức nội suy newton không cách đều.
Tính giá trị nội suy tại x = 0
X -2 -1 2 5
Y 43 -5 -5 51471
Giải

+ Theo phương pháp nội suy newton tiến không cách đều
Vì ta có 4 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 3, vậy ta có tỉ hiệu cấp 3.
Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:
Tỉ hiệu cấp 1:
f[x
0
,x
1
] = (y
1
– y
0
)/(x
1
– x
0
) = -48
f[x
1
,x
2
] = (y
2
– y
1
)/(x
2
– x
1
) = 0

f[x
2
,x
3
] = (y
3
– y
2
)/(x
3
– x
2
) = 492
Tỉ hiệu cấp 2:
f[x
0
,x
1
,x
2
] = (f[x
1
,x
2
] - f[x
0
,x
1
])/(x
2

– x
0
) = 12
f[x
1
,x
2
,x
3
] = (f[x
2
,x
3
] - f[x
1
,x
2
])/(x
3
– x
1
) = 82
tỉ hiệu cấp 3:
f[x
0
,x
1
,x
2
,x

3
] = (f[x
1
,x
2
,x
3
] - f[x
0
,x
1
,x
2
])/(x
3
– x
0
) = 10
tổng hợp lại ta được bảng sau:
n x y
tỉ hiệu
cấp 1
tỉ hiệu
cấp 2
tỉ hiệu
cấp 3
0 -2 43
1 -1 -5 -48
2 2 -5 0 12
3 5 1471 492 82 10

Sau khi tính được các tỉ hiệu ta thay vào công thức sau:
f(x) = y
0
+ (x-x
0
)f[x
0
,x
1
] + (x-x
0
)(x-x
1
)f[x
0
,x
1
,x
2
] + (x-x
0
)(x-x
1
)(x-x
2
)f[x
0
,x
1
,x

2
]
+(x-x
0
)(x-x
1
)(x-x
2
)(x-x
3
)f[x
0
,x
1
,x
2
,x
3
]
= 43 - (x+2)48 + (x+2)(x+1)12 +(x+2)(x+1)(x-2)10
= 10x
3
+ 22x
2
– 52x -69
 f(0) = -69
{ ta có thể sử dụng excel để khai triển các đa thức, tính các hệ số như sau:
Hệ số
bậc 0
Hệ số

bậc 1
Hệ số
bậc 2
Hệ số
bậc 3
Các tỉ
hiệu
1 0 0 0 43
2 1 0 0 -48
2 3 1 0 12
-4 -4 1 1 10
-69 -52 22 10
Hoặc ta có thể dùng vinacal để tính nội suy tại điểm x
0
= 0 sau khi đã có các tỉ hiệu
Sau khi đã tính các tỉ hiệu xong ta có bảng sau:
n x y
tỉ hiệu
cấp 1
tỉ hiệu
cấp 2
tỉ hiệu
cấp 3
0 -2 43
1 -1 -5 -48
2 2 -5 0 12
3 5 1471 492 82 10
Rồi ta áp dụng thuật toán:
Gán ban đầu 1B, 0A, điểm cần tínhD. rồi thực hiện vòng lặp:
0: X=Ans : 1: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC

số 0 chính là X=x
i
, số 1 chính là C= tỉ hiệu tương ứng.
Cuối cùng A + y
0
sẽ là giá trị f(x
0
) cuối cùng cần tìm.
Áp dụng cho ví dụ trên ta có:
Ta gán 1B, 0A, 0D
-2: X=Ans : -48: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC =
-1 = 3 lần bấm 12 = 4 lần
2 = 3 lần bấm 10 = 4 lần
A =A+43 thì ta sẽ được kết quả là -69
+ Theo phương pháp nội suy newton lùi không cách đều
Vì ta có 4 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 3, vậy ta có tỉ hiệu cấp 3.
Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:
Tỉ hiệu cấp 1:
f[x
3
,x
2
] = (y
2
– y
3
)/(x
2
– x
3

) = 492
f[x
2
,x
1
] = (y
1
– y
2
)/(x
1
– x
2
) =0
f[x
1
,x
0
] = (y
0
– y
1
)/(x
0
– x
1
) =-48
Tỉ hiệu cấp 2:
f[x
3

,x
2
,x
1
] = (f[x
3
,x
2
] - f[x
2
,x
1
])/(x
1
– x
3
) =82
f[x
0
,x
1
,x
2
] = (f[x
2
,x
1
] - f[x
1
,x

0
])/(x
0
– x
2
) = 12
Tỉ hiệu cấp 3:
f[x
3
,x
2
,x
1
,x
0
] = (f[x
4
,x
3
,x
2
] - f[x
3
,x
2
,x
1
])/(x
0
– x

3
) = 10
Tổng hợp lại ta được bảng sau:
x y
-2 43 -48 12 10
-1 -5 0 82
2 -5 492
5 1471

Tỉ hiệu
cấp 1
Tỉ hiệu
cấp 2
Tỉ hiệu
cấp 3
Sau đó ta thay các tỉ hiệu vào công thức nội suy lùi ta được:
f(x) = y
4
+ (x-x
3
)f[x
3
,x
2
] + (x-x
3
)(x-x
2
)f[x
3

,x
2
,x
1
] + (x-x
3
)(x-x
2
)(x-x
1
)f[x
3
,x
2
,x
1
,x
0
]
= 1471 + (x-5)492 + (x-5)(x-2)82 + (x-5)(x-2)(x+1)10
= -69 - 52x + 22x
2
+ 10x
3
 f(0) = -69
cách bấm máy Vinacal
Ta gán 1B, 0A, 0D
5: X=Ans : 492: C=Ans : B = B(D-X) : A=A+BC =
2 = 3 lần bấm 82 = 4 lần
-1 = 3 lần bấm 10 = 4 lần

A =A+1471 thì ta sẽ được kết quả là -69
Bài 2: từ bảng số liệu sau đây:
Hãy xây dựng đa thức nội suy không cách đều. Tính điểm nội suy tại x = 4
x 2 4 6 8
y 12 4 5 7
Giải
Vì ta có 4 nút nội suy nên ta có hàm nội suy cấp 3
+ Nội suy newton cách đều tiến
Ta tính các tỉ hiệu như sau:
∆
1
y
0
= y
1
– y
0
= -8
∆
2
y
0
= y
2
– y
1
= 9
∆
3
y

0
= y
3
– y
2
= -8
Tổng hợp lại ta được bảng số liệu sau:
x y

∆
1
y
0

∆
2
y
0

∆
3
y
0

2 12
4 4 -8
6 5 1 9
8 7 2 1 -8
Thay vào công thức của nội suy newton cách đều tiến ta có:
f(t) = y

0
+ t
∆
y
0
+ t(t-1)
!2
0
2
y
∆
+ t(t-1)(t-2)
!3
0
2
y
∆
= 7 – 8t + t(t-1)
!2
9
- t(t-1)(t-2)
!2
8

hệ số
bậc 0 hệ số bậc 1
hệ số
bậc 2
hệ số bậc
3

1 0 0 0 12
0 1 0 0 -8
0 -1 1 0 9/2!
0 2 -3 1 -8/3!
12 -15,1667 8,5 -1,33333
= 12 – 15,1667t + 8,5t
2
-1,333333t
3
với x = 4 
h
xx
t
0
−
=
với x
0
= 2 và h = 2  t = 1  f(t) = 4
+ Nội suy newton lùi cách đều
Ta có các tỉ hiệu:
∆
1
y
0
= y
2
– y
3
= -2

∆
2
y
0
= y
1
– y
2
= 1
∆
3
y
0
= y
0
– y
1
= -2
Tổng hợp lại ta được bảng sau:
x y
2 12 -2 -1 -2
4 4 -1 1
6 5 -2
8 7

∆
1
y
0

∆
2
y
0

∆
3
y
0

Thay vào công thức của nội suy newton cách đều tiến ta có:
f(t) = y
0
+ t
∆
y
0
+ t(t-1)
!2
0
2
y∆
+ t(t-1)(t-2)
!3
0
2
y∆
= 7 – 2t + t(t-1)
!2
5.0

- t(t-1)(t-2)
!3
33333.0

hệ số
bậc 0
hệ số
bậc 1
hệ số
bậc 2
hệ số
bậc 3
0 2 -3 1 0,333333
0 -1 1 0 2
0 1 0 0 -3
1 0 0 0 7
7
-
4,33333 1 0,333333
= 7 – 3,16667t + 1,5t
2
-0,333333t
3
với x = 4 
h
xx
t
0
−
=

với x
0
= 2 và h = 2  t = 1  f(t) = 4
Bài 3: Từ Bảng số liệu sau đây:
Hãy xây dựng đa thức nội suy tiến newton , lùi newton (không cách đều) xuất phát từ nút x
0
=-1 ;x
0
=9
Tính giá trị nội suy tại x = 3. Và tính sai số.
x -1 0 4 6 9
y 6 5 7 3 8
Giải
+ Theo phương pháp nội suy newton tiến không cách đều. xuất phát từ nút x
0
=-1
Vì ta có 5 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 4, vậy có tỷ hiệu cấp 4.
Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:
Tỉ hiệu cấp 1:
f[x
0
,x
1
] = (y
1
– y
0
)/(x
1
– x

0
) =(5-6)/(0+1) = -1
f[x
1
,x
2
] = (y
2
– y
1
)/(x
2
– x
1
) = (7-5)/(4-0) = 0.5
f[x
2
,x
3
] = (y
3
– y
2
)/(x
3
– x
2
) = (3-7)/(6-4) = -2
f[x
3

,x
4
] = (y
3
– y
2
)/(x
3
– x
2
) = (6-4)/(3-2) = 1.6666667
Tỉ hiệu cấp 2:
f[x
0
,x
1
,x
2
] = (f[x
1
,x
2
] - f[x
0
,x
1
])/(x
2
– x
0

) = 0.3
f[x
1
,x
2
,x
3
] = (f[x
2
,x
3
] - f[x
1
,x
2
])/(x
3
– x
1
) = -0.41667
f[x
2
,x
3
,x
4
] = (f[x
3
,x
4

] - f[x
2
,x
3
])/(x
4
– x
2
) = 0.733333
tỉ hiệu cấp 3:
f[x
0
,x
1
,x
2
,x
3
] = (f[x
1
,x
2
,x
3
] - f[x
0
,x
1
,x
2

])/(x
3
– x
0
) = 0.11238
f[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
] = (f[x
2
,x
3
,x
4
] - f[x
1
,x
2
,x
3
])/(x
4
– x
1
) = 0.12778

tỉ hiệu cấp 4:
f[x
0
,x
1
,x
2
,x
3
,x
4
] = (f[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
] - f[x
0
,x
1
,x
2
,x
3
])/(x
4
– x

0
) = 0.0.23016
tổng hợp lại ta được bảng sau đây:
n x y
tỉ hiệu
cấp 1
tỉ hiệu
cấp 2
tỉ hiệu
cấp 3
tỉ hiệu
cấp 4
0 -1 6
1 0 5 -1
2 4 7 0.5 0.3
3 6 3 -2 -0.41667 -0.10238
4 9 8 1.666667 0.733333 0.127778 0.023016
Sau đó ta thay vào công thức của đa thức nội suy không cách đều ta được:
P(x) = 6 + (x+1)-1 + (x+1)(x-0).0.3 + (x+1)x(x-4) 0.10238 + (x+1)x(x-4)(x-6).0.23016
Thông qua gài công thức trong excel ta được
HS 0 HS1 HS2 HS3 HS4
1 0 0 0 0 6
1 1 0 0 0 -1
0 1 1 0 0 0,3
0 -4 -3 1 0 -0,102380952
0 24 14 -9 1 0,023015873
5 0,261905
0,92936
5 -0,30952 0,023016
= 0,23016x

4
– 0,30952x
3
+ 0,929365x
2
– 0,261925x + 5
Vậy giá trị nội suy tại x = 3 là : f(3) = 7,657142857
Hoặc ta có thể dùng vinacal để giải
-1 : X=Ans : -1 : C=Ans :B=B(D-C): A=A+BC =
0 = 2 lần bấm 0,3 = 4 lần
4 = 2 lần bấm -0,10238 = 4 lần
6 = 2 lần bấm 0,23015738 = 4 lần
A=A+6 ta sẽ được kết quả là 7,65713132
Ta tính sai số theo công thức
R
n
(x) = (x – x
0
) (x – x
1
)… (x – x
n-1
) (x – x
n
)f[x
0
,x
1
,x
2

,…x
n-1
,x
n
]
ở đây ta có n = 4 nên R
4
(3) = (3+1)(3-0)(3-4)(3-6)(9/319) = 216/319
+ Theo phương pháp nội suy newton lùi không cách đều
Vì ta có 5 điểm nội suy nên hàm nội suy là cấp 4, vậy có tỷ hiệu cấp 4.
Áp dụng công thức tính tỉ hiệu ta có:
Tỉ hiệu cấp 1:
f[x
4
,x
3
] = (y
3
– y
4
)/(x
3
– x
4
) =(3-8)/(6-9) = 1,66667
f[x
3
,x
2
] = (y

2
– y
3
)/(x
2
– x
3
) = (7-3)/(4-6) = -2
f[x
2
,x
1
] = (y
1
– y
2
)/(x
1
– x
2
) = (5-7)/(0-4) = 1/2
f[x
1
,x
0
] = (y
0
– y
1
)/(x

0
– x
1
) = (6-5)/(-1-0) = -1
Tỉ hiệu cấp 2:
f[x
4
,x
3
,x
2
] = (f[x
4
,x
3
] - f[x
2
,x
1
])/(x
2
– x
4
) = 0,733333
f[x
3
,x
2
,x
1

] = (f[x
3
,x
2
] - f[x
2
,x
1
])/(x
1
– x
3
) = -4,41667
f[x
0
,x
1
,x
2
] = (f[x
2
,x
1
] - f[x
1
,x
0
])/(x
0
– x

2
) = 3/10
Tỉ hiệu cấp 3:
f[x
4
,x
3
,x
2
,x
1
] = (f[x
4
,x
3
,x
2
] - f[x
3
,x
2
,x
1
])/(x
1
– x
4
) = 0,127778
f[x
3

,x
2
,x
1
,x
0
] = (f[x
3
,x
2
,x
1
] - f[x
2
,x
1
,x
0
])/(x
0
– x
3
) = -0,10238
Tỉ hiệu cấp 4:
f[x
4
,x
3
,x
2

,x
1
,x
0
] = (f[x
4
,x
3
,x
2
,x
1
] - f[x
3
,x
2
,x
1
,x
0
])/(x
0
– x
1
) = 0,023015873
Tổng hợp lại ta được bảng sau:
n x y
0 -1 6 -1 0,3 -0,10238 0,023015873
1 0 5 0,5 -0,41667 0,127778
2 4 7 -2

0,73333
3
3 6 3 1,666667
4 9 8
∇
y
∇
2
y
∇
3
y
∇
4
y
Ta được đa thức sau:
f(y) = 9 + (y-9)1,666667 + (y-9)(y-6)0,7333333 +
+ (y-9)(y-6)(y-4)0,127778 +(y-9)(y-6)(y-4)y0,13015873
Ta có thể sử dụng excel để tính các hệ số
HS 0 HS 1 HS 2 HS 3 HS 4
1 8
-9 1 1,666666667
54 -15 1 0,733333333
-216 114 -19 1 0,127777778
0 -216 114 -19 1 0,023015873
5 0,261905 0,929365
-
0,30952 0,023016
f(y) = 0,023016y
4

+ 0,30952y
3
+ 0,929365y
2
+ 0,261905y + 5
 f(3) = 7,657142857
Hoặc ta có thể dùng vinacal để giải
9 : X=Ans : 1,666667 : C=Ans :B=B(D-C): A=A+BC =
6 = 2 lần bấm 0,7333333 = 4 lần
4 = 2 lần bấm 0,127778 = 4 lần
0 = 2 lần bấm 0,23015738 = 4 lần
A=A+9 ta sẽ được kết quả là 7,65713132
Ta tính sai số theo công thức
R
n
(x) = (x – x
n
) (x – x
n-1
)… (x – x
1
) (x – x
0
)f[x,x
n
,x
n-1
…,x
1
,x

0
]
ở đây ta có n = 4 nên R
4
(3) = (3-9)(3-6)(3-4)3(3+1)(9/319) = 216/319
Bài 2: cho bảng nội suy của một hàm như sau:
x -2 -1 0 1 2
y 5 3 6 10 7
Hãy xây dựng đa thức nội suy newton của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy
newton tiến (lùi) cách đều.
Tính f
T
(2)=?
Giải
+ Nội suy Newton tiến cách đều
Vì có 5 nút nội suy nên ta có hàm nội suy cấp 4
Ta tính các tỉ hiệu như sau:
∆
1
y
0
= y
1
– y
0
= -2
∆
2
y
0

= y
2
– y
1
= 5
∆
3
y
0
= y
3
– y
2
= -4
∆
4
y
0
= y
4
– y
3
= -4
Tổng hợp lại ta được bảng sau:
y
∆
1
y
0

∆
2
y
0

∆
3
y
0

∆
4
y
0
5
3 -2
6 3 5
10 4 1 -4
7 -3 -7 -8 -4
Sau đó ta áp dụng công thức đa thức nội suy newton cách đều tiến ta được
!4
4
)3()1)(2(
!3
4
)1)(2(
!2
5
)1(
!1

2
5)(
−−−−−−−−+−=
tttttttttttf
T
= -0.16667t
4
-t
3
+ 0.666667t
2
+ 4.5t + 6
f
T
(2) = 7
+ Nội suy newton lùi cách đều
∇
4
y = y
3
– y
4
= 3
∇
3
y = y
2
– y
3
= -7

∇
2
y = y
2
– y
1
= 8
∇
y = y
1
– y
0
= -4
Tổng hợp lại ta được bảng sau:
x y
-2 5 2 5 4 -4
-1 3 -3 1 8
0 6 -4 -7
1 10 3
2 7
∇
4
y
∇
3
y
∇
2
y
∇

1
y
 f
T
(t) = 7 +(x-2)
!1
3
+ (x-2)(x-1)
!2
7−
+ (x-2)(x-1)(x-0)
!3
8
+ (x-2)(x-1)(x-0)(x+1)
!4
4
−
= -0.16667t
4
+1.666667t
3
– 7.333333t
2
+ 15.83333t -6
 f
T
(2) = 7
Như vậy qua những ví dụ trên ta khẳng định được một điều: Tuy đa thức nội suy cách đều tiến
hay nội suy lùi dù khác nhau về cấu trúc nhưng giá trị của hàm thì như nhau.