chuyên đề tiếp tuyến rất hay

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
………………………………………………………………………………………………………
Bài 1 : Chuyên Đề Tiếp Tuyến








Ví dụ 1:
Cho hàm số
3 2
3 2 5 ( )
y x x x C
    . viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1
Bài giải :
Với x = 1
y
 
- 4
(1, 5)
M
 

( )
C


' 2 '
3 6 2 (1) 1
y x x y
     
; vậy tiếp tuyến tại M có dạng :
1( 1) 5 4
y x y x
       

Ví dụ 2 : (Dự bị D2006)
cho hàm số
3
( )
1
x
y C
x



. cho m
0 0
( , ) ( )
M x y C
 . tiếp tuyến tại M cắt các tiện cận của đồ thị hàm số
(C) tại hai điểm A, B . chứng minh rằng M là trung điểm AB .
bài giải:

0
0 0

0
3
( , ) ( )
1
o
x
M x y C y
x

  

,
'
2 2
0
4 4
( 1) ( 1)
y k
x x
 
  
 
, tiếp tuyến tại M có dạng (d) :
2
0 0 0
0 0 0
2 2 2 2
0 0 0 0 0
3 5 3
4 4 4

( ) ( )
( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x x
y x x y y x x y x
x x x x x
  
  
         
    

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến (d) và tiệm cận đứng x = 1 . suy ra tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
2
0 0
2 2
0
0 0
0
0
0
1
5 3
4
7
(1, )
( 1) ( 1)
7
1
1
1
x

x x
y x
x
A
x x
x
y
x
x
x


 
 
 

 
 
 

 


 





Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến và tiệm cận ngang y = 1 , suy ra tọa độ của B là nghiệm của hệ :

2
0 0
0
2 2
0
0 0
5 3
4
2 1
(2 1,1)
( 1) ( 1)
1
1
x x
y x
x x
B x
x x
y
y

 

 
 


  
 
 







Nhận xét :
0
0
0
0 0
0
1 2 1
2 2
7
à trung diem AB
1
1 3
2 2 1
A B
M
A B
M
x
x x
x x
x
M l
x xy y
y

x
 


  







 
  



(đpcm)
Ví dụ 3 : (D2005)
Cho hàm số
3 2
1 1
( )
3 2 3
m
m
y x x C
   . cho M
( )
m

C
 , biết rằng
1
M
x
 
, tìm m để tiếp tuyến tại M
song song với đường thẳng 5x - y = 0
Bài giải :
' 2
y x mx
  
hệ số góc tiếp tuyến tại M
'
( 1) 1
k y m
   
, để tiếp tuyến song song với đường thẳng 5x –
y = 0
1 5 4
k m m
     

Nha Trang 8/2009
Dạng 1 : Viết Phương Trình Tiếp tuyến tại điểm
0 0
M( , ) ( ): ( )
x y C y f x
 
Cách giải :

* tính
' '
( )
y f x
 ; tính
'
0
( )
k f x
 ( hệ số góc của tiếp tuyến )
* tiếp tuyến tại M có dạng :
0 0
( )
y k x x y
  


Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 4 : (ĐH Thương Mại 2000)
Cho hàm số
3
3 1 ( )
y x x C
   , và điểm
0 0
( , )
A x y


(C) , tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A cắt (C) tại
điểm B khác điểm A . tìm hoành độ điểm B theo
0
x

Bài giải :
Vi điểm
0 0
( , )
A x y

(C)
3
0 0 0
3 1
y x x
   
,
' 2 ' 2
0 0
3 3 ( ) 3 3
y x y x x
    

Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng :
' 2 3 2 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
( )( ) (3 3)( ) 3 1 (3 3)( ) 2 1 ( )
y y x x x y y x x x x x y x x x x d
                phương trình

hoành độ giao điểm của (d) và (C) :

3 2 3 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
2
0
0
0
0
0
3 1 (3 3)( ) 2 1 3 2 0 ( ) ( 2 ) 0
( ) 0
( 0)
2
2 0
x x x x x x x x x x x x x x
x x
x x
x
x x
x x
              

 

  


 
 





Vậy điểm B có hoành độ
0
2
B
x x
 
















Khi sử lý các bài toán dạng này thông thường hệ số góc k cho ở dạng gián tiếp thông thường bài toán cho
tiếp tuyến song với đường thẳng :
1
y k x m

 


hệ số góc của tiếp tuyến
1
k k

. Nếu bài toán cho tiếp
tuyến vuông góc với đường thẳng :
2
y k x m
 


hệ số góc của tiếp tuyến
2
2
1
( . 1)
k do k k
k

  
.
Nếu bài toán cho tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
'
y k x m
 
một góc là


, các em có thể dùng công
thức sau để tìm k :
'
'
tan
1
k k
kk




( tuy nhiên các em phải chứng minh khi sử dụng , xem cuốn: giúp trí
nhớ Toán học , Nguyễn Dương 2008)
Một số ví Dụ Điển Hình
Ví Dụ 1 : (ĐH Ngoại Ngữ 2001)
cho hàm số
3
1 2
3 3
y x x
  
, viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1 2
( )
3 3
y x d
  
Nha Trang 8/2009
Dạng 2 : Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số

( )
y f x

(C) khi biết trước hệ số góc của nó
Nếu hệ số góc của tiếp tuyến là k ta có thể lập tiếp tuyến bằng 2 cách sau
Cách 1 :
Tiếp tuyến (d) có dạng
y kx m
 
( k đã biết )
(d) tiếp xúc (C )
'
( ) (1)
( ) (2)
f x kx m
f x k
 





có nghiệm
Từ phương trình 2 ta giải ra được
0
x x

( hoành độ tiếp điểm ) thế vào (1) ta tìm được k

tiếp

tuyến
Cách 2 :
Gọi
0 0
( , )
M x y
là tiếp điểm , giải phương trình
'
0 0
( )
f x k x x
  
,
0 0
( )
y f x

Đến đây trở về dạng một ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thi :
0 0
( )
y k x x y
  

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Bài giải :
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)

tiếp tuyến có dạng : 3

y x m
 

Điều kiện tiếp xúc :
3
2
1 2
3 (1)
3 3
1 3 (2)
x x x m
x

   



 

có nghiệm
3
3
2
1 2
4
1 2
14
4 3 3
2,
3 3

3
2
2, 6
4
2
x x m
x x m
x m
x
x m
x
x

  



  
  
 

  
 



 
  





 



Với
14
3
m
 
tiếp tuyến có dạng
14
3
3
y x
 

Với m = 6 tiếp tuyến có dạnh y = 3x +6
Ví dụ 2 : (ĐH cảnh sát 1998)
Cho hàm số
2
3 3
2
x x
y
x
 



; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng :
y = -3x +2
Bài giải :
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 2

tiếp tuyến có dạng y = -3x + m
Điều kiện tiếp xúc
2
2
2
3 3
3 (1)
2
4 3
3 (2)
( 2)
x x
x m
x
x x
x

 
  




 


 



có nghiệm
2
x
 
(2)
2
3
2
4 16 15 0
5
2
x
x x
x

 

    


 



Với
3

3
2
x m
    
tiếp tuyến có dạng :
3 3
y x
  

Với
5
11
2
x m
    
tiếp tuyến có dạng :
3 11
y x
  

Ví dụ 3 :
Cho hàm số
3
3 4
y x
 
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d) :
3 6 0
y x
  

một góc
0
30

Hướng dẫn giải:
(d)
1
2 3
3
y x  
có hệ số góc
1
1
3
k 
; tiếp tuyến có hệ số góc
2
k

Áp dụng công thức (*) :
0
1 2
1 2
tan30
1
k k
k k




dễ dàng tính được
2
k

Sau đó áp dụng dạng 2 lập tiếp tuyến khi biết trước hệ số góc ta tìm được 3 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu của
bài toán đó là :
1 2 2
11 3 11 3
( ): 4 ; ( ): 3 ; ( ): 3
3 3
d y d y x d y x
 
    
Ví dụ 4 : (ĐH Ngoại Thương 1998)
Cho hàm số
3 2
3 9 5 ( )
y x x x C
    . trong tất cả các tiếp tuyến của (C ) tìm tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất

Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
TXĐ:
D R


Ta có :

, 2
3 6 9
y x x
  
; gọi
0 0
( , ) ( )
M x y C


hệ số góc tiếp tuyến của (C ) tại M :

2
0 0 0
' '
0 0 0 0
( ) 3 6 9
( ) 6 6 ; ( ) 0 1
k f x x x
f x x f x x
   
     

( 1)
f
  
-12
Bảng biến thiên :
x
0


-1


f’(x
0
)
- 0 +
f(x)


-12

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy
0 0 0
min ( ) 12 1 , 16
f x x y
     

Vậy tại điểm có
( 1,16)
M

thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị )
Cach khác :
Ta có :
2 2
0 0 0 0
( ) 3 6 9 3( 1) 12 12 min 12,

k f x x x x k
           
đạt được khi

0 0
1 12
x y
    

Vậy tại điểm có
( 1,16)
M

thì tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất ( chính là điểm uốn của đồ thị)












Một số ví Dụ Điển Hình
Ví dụ 1 : (ĐH Ngoại Thương 1999)
Cho hàm số
2

2
x
y
x



; viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm
( 6,5)
A


Bài giải :
Tiếp tuyến đi qua
( 6,5)
A

có dạng :
( 6) 5
y k x
  

Điều kiện tiếp xúc :
2
2
( 6) 5 (1)
2
4
(2)
( 2)

x
k x
x
k
x


  









có nghiệm
2
x


Thế (2) vào (1) ta được :
2
2
0
2 4
( 6) 5 6 0
6
2 ( 2)

x
x
x x x
x
x x



       


 


Với x = 0
1
k
  
tiếp tuyến có dạng :
1
y x
  

Nha Trang 8/2009


+


Dạng 3: viết phương trình tiếp tuyến biết nó đi qua một điểm cho trước

Bài toán : cho hàm số :
( )
y f x

và điểm
0 0
( , )
A x y
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi
qua điểm A
Cách giải :
bước 1 : tiếp tuyến đi qua
0 0
( , )
A x y
có dạng :
0 0
( )
y k x x y
  

bước 2: điều kiện tiếp xúc
0 0
'
( ) ( ) (1)
ó
( ) (2)
f x k x x y
c
f x k

  




nghiệm
bước 3: giải hệ này ta tìm được k

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………


Với x = 6
1
4
k
  
tiếp tuyến có dạng :
1 7
4 2
y x
  

Như vậy ta kẻ được hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 : (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998)
Cho hàm số :
3 2

1
2 3
3
y x x x
  
viết phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến đi qua
4 4
( , )
9 3
A
Bài giải :
Tiếp tuyến đi qua A có dạng :
4 4
( )
9 3
y k x
  

Điều kiện tiếp xúc :
3 2
2
1 4 4
2 3 ( ) (1)
ó
3 9 3
4 3 (2)
x x x k x
c
x x k


    



  

nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được :
3 2 2 3 2
0
1 4 4 8
2 3 ( 4 3)( ) 3 11 8 0
3 9 3 3
1
x
x x x x x x x x x x
x




            





Với x = 0
3
k

 
tiếp tuyến có dạng :
3
y x


Với x =
8 5
3 9
k
  
tiếp tuyến là :
5 128
9 81
y x  
Với x = 1
0
k
 
tiếp tuyến có dạng : y =
4
3

Vậy từ A vẽ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

Ví dụ 3 : (dự bị B 2005)
Cho hàm số :
2
2 2
( )

1
x x
y C
x
 


, chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua giao điêm I
của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (C )
Bài giải:

2
2 2 1
1
1 1
x x
y x
x x
 
   
 
tiệm cận đứng x = -1 ; tiệm cận xiên y = x +1 . gọi I là giao điểm của hai
đường tiệm cận trên
( 1,0)
I
 

Đường thẳng (d) qua I có dạng :
( 1)
y k x

 

(d) là tiếp tuyến của (C )
2
2
2
2 2
( 1) (1)
1
2
(2)
( 1)
x x
k x
x
x x
k
x

 
 












có nghiệm
1
x
 

Thay (2) vào (1) ta được :
2 2
2
2 2 2
( 1) 2 0
1 ( 1)
x x x x
x
x x
  
   
 
(vô nghiệm ) vậy từ I không kẻ được tiếp
tuyến nào tới đồ thị hàm số (đpcm)

Nha Trang 8/2009
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………




Một số ví dụ điển hình :

Ví dụ 1 : (D2007)
Cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x


tìm điểm M
( )
C

sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M cắt hai trục tọa độ
tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
1
4

Bài giải :

0
0 0 0
0
2
( , ) ( )
1
x
M x y C y

x
  

,
2
2
'
( 1)
y
x



Tiếp tuyến tại M có dạng :
2
0 0
0 0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
2 2
2 2
'( )( ) ( ) ( )
( 1) 1 ( 1) ( 1)
x x
y y x x x y y x x y x d
x x x x
         
   

Gọi

( ) ox
A d
 


tọa độ điểm A là nghiệm của hệ :
2
0 2
2
02 2
0
0 0
2
2
( ,0)
( 1) ( 1)
0
0
x
y x
x x
A x
x x
y
y

 

 


  
 
 






Gọi
( ) oy
B d
 


tọa độ điểm B là nghiệm của hệ :
2
0
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
0 0
2
2
0
2 2
(0, )
( 1) ( 1)

( 1) ( 1)
0
x
y x
x
x x
B
x x
y
x x
x

 



 
 
 

 





Tam giác OAB vuông tại O ; OA =
2 2
0 0
x x

 
; OB =
2 2
0 0
2 2
0 0
2 2
( 1) ( 1)
x x
x x

 

Diện tích tam giác OAB : S =
1
2
OA.OB
=
2 2
4
0 0 0 0
0 0
4 2
0
0 0
2
2 2
0
0 0 0 0
0 0

1
2 1 2 1 0
2
21 1
. 4 ( 1)
2
2 ( 1) 4
2 1 2 1 1( )
1 1
x x x x
x y
x
x x
x
x x x x vn
x y

 
    
    

      
 


    
 
 
  


Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán :
1 2
1
( ; 2) ; (1,1)
2
M M 
Vi Dụ 2 : (A2009)

Cho hàm số
2
(1)
2 3
x
y
x




1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt
tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ .


Nha Trang 8/2009
Dạng 4 : Một Số Bài Toán Nâng Cao Về Tiếp Tuyến Luyện Thi Đại
H
ọc

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Ví dụ 3 : (dự bị D 2007)
Cho hàm số
1
x
y
x


(C ) ; viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C ) ; sao cho (d) cắt hai đường tiệm cận
của (C) tạo thành một tam giác cân

Ví dụ 4: (dự bị B2007)
Cho hàm số
1 ( )
2
m
m
y x C
x
   

tìm m để hàm số có cực đại tại A và tiếp tuyến của
( )
m
C
tại A cắt
trục oy tại B mà tam giác OAB vuông cân

Ví dụ 5: (học viện BCVT 1998)
Cho hàm số
3
12 12 ( )
y x x C
   . tìm trên đường thẳng y = - 4 những điểm mà từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến
phân biệt tới đò thị ( C)
Bài giải :
Điểm
M
nằm trên đường thẳng y = -4 nên M( m , - 4)
Tiếp tuyến qua M có dạng :
( ) 4
y k x m
  

Điều kiện tiếp xúc :
3
2
12 12 ( ) 4 (1)
3 12 (2)
x x k x m
x k

    


 



có nghiệm
Thế (2) vào (1) ta được :
3 2 3 2
2 2
2
12 12 (3 12)( ) 4 12 16 (3 12)( )
( 2)( 2 8) 3( 2)( 2)( ) ( 2) 2 (4 3 ) 8 6 0
2
( ) 2 (4 3 ) 8 6 0
x x x x m x x x x m
x x x x x x m x x m x m
x
g x x m x m
           
 
              
 




     


Để từ M có thể kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
2


2 2

4
(4 3 ) 8(8 6 ) 0 3 8 16 0
4
(2) 24 12 0 24 12 0
3
2
m
m m m m
m
g m m
m
  



 
       


  

  
    

 






Vậy M (m , -4) với
4
( , 4) ( , ) & 2
3
m m
      
là điểm cần tìm
Ví dụ 5 : ( học viện BCVT 199)
Cho hàm số
3 2
3 2 ( )
y x x C
    . Tìm cá điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp
tuyến với đồ thị hàm số (C )
Bài giải :
3 2 2
0 0 0 0 0
( , ) ( ) 3 2 ; ' 3 6
M x y C y x x y x x
        
Tiếp tuyến qua M :
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) 3 2
y k x x y k x x x x
       

Điều kiện tiếp xúc :

3 2 3 2
0 0 0
2
3 2 ( ) 3 2 (1)
3 6 (2)
x x k x x x x
x x k

       


  


( có nghiệm )
Thế (2) vào (1) ta được :

Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

3 2 2 3 2 3 2 3 2
0 0 0 0 0 0 0
0
(2)
2
0 0
0

3 2 ( 3 6 )( ) 3 2 2 3( 1) 6 3 0 (1)
( )(2 3) 0
3
2
x x x x x x x x x x x xx x x
x x
x x x x
x
x
                



     





Để từ M vẽ được 1 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (2) phải có một nghiệm
0
0 0 0
3
1 0
2
x
x x y

     
vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : M ( 1, 0)

Lời bàn :
( vì tiếp tuyến có tọa độ tiếp điểm là M nên (1) luôn có nghiệm kép
0
x x

, dùng sơ đồ horney chia ra
ta được phương trình (2) thôi )

Ví dụ 6 :
Cho hàm số :
3
3 ( )
y x x C
  . tìm trên đường thẳng : x = 2 những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến với đồ thị hàm (C )
Bài giải :
Điểm
M

đường thẳng x = 2
(2, )
M a


Tiếp tuyến qua M có dạng :
( 2)
y k x a
  

Điều kiện tiếp xúc :

3
2
x 3 ( 2) (1)
3 3 (2)
x k x a
x k

   


 


có nghiệm
Thay (2) vào (1) ta được phương trình :
3 2 3 2 3 2
3 (3 3)( 2) 2 6 6 6 0 2 6 6
x x x x a x x x a a x x
               
(*)
Xét hàm số :
3 2
( ) 2 6 6 ,
f x x x    TXĐ : D = R ;
2
'( ) 6 12
f x x x
  

2

0
'( ) 0 6 12 0
2
x
f x x
x


     




Bảng biến thiên:
x


0 2



y’ - 0 + 0 -
y
2

-6
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến tới đồ thị hàm số thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt . dựa vào
bảng biến thiên ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt
6 2
a

   


Kết luận : vậy điểm M (2, a ) với
( 6,2)
a
 
là điểm nằm trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được 3 tiếp
tuyến tới đồ thị hàm (C )
Ví dụ 7 : (ĐH Y dược TP HCM 1998 )
Cho hàm số
4 2
2 1
y x x
   
(C ) . tìm trên trục tung những điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến
đến đồ thị hàm số (C)
Ví dụ 8 : (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001 )
Cho hàm số
2
( )
2
x
y C
x



, cho điểm A ( 0 , a ) tìm a để từ A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến
(C) đồng thời 2 tiếp điểm nằm về trục ox

Nha Trang 8/2009





Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Bài giải :
Phương trình tiếp tuyến qua A có dạng : y = kx + a

Điều kiện tiếp xúc :
2
2
(1)
1
3
(2)
( 1)
x
kx a
x
k
x


 










có nghiệm
1
x


Thay (2) vào (1) ta được :
2
2
2 3
( ) ( 1) 2( 2) 2 ( 1)
1 ( 1)
x x
a g x a x a x a x
x x
 
         
 
(*)
Để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới (C ) thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 :

2
( 2) ( 1)( 2) 3 6 0
1
1 0

2
(1) 3 0
a a a a
a
a
a
g

       



   


 


  


(**)
Giả sử hai tiếp điểm lần lượt là :
1 1 2 2
( , ) ; ( , )
A x y B x y
là tọa độ hai tiếp điểm thì
1 2
,
x x

là nghiệm của (*)
Và
1 2
1 2
1 2
2 2
;
1 1
x x
y y
x x
 
 
 
; áp dụng định lý Vi-et ta được :
1 2
1 2
2( 2)
1
2
1
a
x x
a
a
x x
a


 












Để A, B nằm về 2 phía trục ox thì y
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( 2) ( 2) 2( ) 4
0 . 0 0
( 1) ( 1) ( ) 1
x x x x x x
y y
x x x x x x
    
    
    

2 2( 2)
2. 4
2
1 1
0 3 2 0

2 2( 2)
3
2. 1
1 1
a a
a a
a a
a a
a a
 
 
 
       
 
 
 

Dối chiếu với điêu kiện (**) thì ta tìm được :
2
; 1
3
a a
  

Lời bàn :
Nếu bài toán yêu cầu tìm a để từ a kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị , sao cho tiếp điểm nằm về 2 phía trục
oy thì chỉ cần phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x

sao cho
1 2
0
x x
 

Ví dụ 9 :
Cho hàm số :
3 2
3 2 ( )
y x x C
   . tìm trên đường thẳng : y = -2 những điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ
thị hàm số (C ) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau ?
Hướng dẫn giải :
Diểm
M

đường thẳng : y = -2
( , 2)
M m
 

Sau đó các em lập phương trình tiếp tuyến qua M , sử dụng điều kiện tiếp xúc ta đưa ra được phương trình
sau :

2
2
2
( 2) 2 (3 1) 2 0
( ) 2 (3 1) 2 0

x
x x m x
g x x m x


 
     

 
    


Với x = 2 thì tiếp tuyến : y = 2 ; không tìm được tiếp tuyến nào của (C ) vuông góc với đường thẳng trên
Vậy để từ M có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau thì g(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt
1 2
, 2
x x

và
1 2
1
k k
 
làm tương tự như ví dụ trên ta tìm được
55 55
( , 2)
27 27
m M
  

Nha Trang 8/2009


Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………



Ta đã biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên đồ
thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị, còn tại điểm uốn của đồ thị thì tiếp
tuyến xuyên qua nên ta có nhận xét sau
Nhận xét: Nếu là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm
( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm sao cho hoặc
. Đẳng thức xảy ra khi
Bây giờ ta vận dụng nhận xét này để chứng minh một số bất đẳng thức
Bài toán 1: Cho và . Cmr :

Lời giải:
*Nhận xét: Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và Bđt cần chứng minh có dạng :

Trong đó với .Nên ta đánh giá f(x) và tiếp tuyến tại điểm có hoành độ
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
Ta có:
đpcm
Chú ý: Nếu là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm thì ta luôn phân tích được

Bài toán 2 :Cho và . Cmr :

Lời giải : Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và Bđt đã cho có dạng
trong đó với Nha Trang 8/2009

Dạng 5 : Ý Nghĩa Hình Học của Tiếp Tuyến ( tham khảo thêm)
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là:
Tiếp theo ta sẽ đánh giá . Thật vậy
điều này luôn đúng với mọi x và đẳng
thức xảy ra khi . Vậy ta có:
Mặt khác : nên suy ra đpcm

Ta thấy rằng yếu tố quan trọng nhất để chúng ta có thể sử dụng phương pháp này là ta chuyển được Bđt về
dạng
hoặc và thỏa mãn điều
kiện nào đó.
Bài toán 3: Cho .Cmr : Cmr:
2 2 2
9
( ) ( ) ( ) 4( )
a b c
b c a c a b a b c
  
    

Lời giải: Vì nếu Bđt đúng với bộ số thị cũng đúng với bộ số nên ta có thể giả sử
.Khi đó Bđt đã cho trở thành

với
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là
Ta có:

Suy ra : đpcm

Bài toán 4:Cho .
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
( ) ( ) ( ) 5
a b c b a c c b a
a b c b a c c b a
  
  
     
Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
(Trích đề thi Olympic 30-4 Lớp 11 năm 2006)
Lời giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử
Khi đó bđt đã cho trở thành:
Hay
với với 0<x<1
Ta thấy đẳng thức xảy ra khi và tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
là:

Ta có:
Vậy đpcm
Bài tập về tiếp tuyến


Vấn Đề 5: Tiếp Tuyến Của Đồ Thị
bài 1: cho hàm số
2
2 10

2( 1)
x x
y
x
 


. viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -1.

bài 2 : cho hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
 


. viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox
bài 3: cho hàm số
3
1
x
y
x



(C) , cho điểm

0 0 0
( , ) ( )
M x y C
 . tiếp tuyến của
( )
C
tại
0
M
cắt các ti
ệm cận của (C)
tại A và B . chứng minh rằng
0
M
là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào v
ị trí của
điểm
0
M
. (Dự Bị D 2006)
bài 4: cho hàm số
2 1
1
x
y
x



(C) , gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận . tìm điểm

( )
M C


sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M vuông góc với đường thẳng
IM
( Dự Bị B2003)
bài 5 : cho hàm số
2
3
x
y
x




( )
C
. viết phương trình tiếp tuyến của
( )
C
, biết rằng tiếp tuyến cắt hai đường tiêm

Nha Trang 8/2009

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………
cận của
( )

C
tại hai điêm A, B sao cho tam giác
OAB
vuông tại O ( Khối A 2009)
Bài 6: cho hàm số
3 2
2 3 5
y x x
  
viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến đi qua
19
( ,4)
12
A ( ĐH Quốc Gia Thành Phố HCM 2001)
Bài 7: cho hàm số
2
2
x
y
x




( )
C
. viết phương trình tiếp tuyến tuyến với đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến đi qua
điểm A ( -6,5) ( ĐH Ngoại Thương TPHCM 1995)
Bài 8 : cho hàm số y =
1

1
x
x


, CMR có thể kẻ từ A( 1,-1) tới đồ thị hai tiếp tuyến vuông góc với nhau (ĐH
Bách Khoa 1996)
Bài 9: cho hàm số sau :
4 2
1 3
3
2 2
y x x
  
. viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua
3
(0, )
2
A
Bai10: cho hàm số :
3 2
1
2 3
3
y x x x
  
. qua điểm
4 4
( , )
9 3

A kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ thị hàm s
(ĐH Ngoại Ngữ 1998)
Bài 11 : cho hàm số
2
2 2
( 1)
x x
y
x
 


. chứng minh rằng từ giao điểm của hai đường tiệm cận không kẻ được ti
ếp
tuyến nào tới đồ thị của hàm số (B 2005)
Bài 12: cho hàm số
2
3 3
( )
2
x x
y C
x
 


. Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng (d) :
3 6 0
y x

  
(ĐH Cảnh Sát 1998)
Bài 13 : cho hàm số
3
3 4 ( )
y x C
  . viết phương trình tiếp tuyến ,biết rằng tiếp tuyến tạo với đư
ờng thẳng (d) :
3 6 0
y x
  
một góc
0
30

Bài 14 : cho hàm số :
3 2
3 9 5 ( )
y x x x C
    . trong các tiếp tuyến với đồ thị tìm tiếp tuyến có hệ số góc
nhỏ nhất ( ĐH Ngoại Thương 1998)
Bài 15 : cho hàm số
2 1
1
x
y
x




, gọi I là tâm đối xứng của đồ thị . tìm điểm M thuộc đồ thị ,sao cho ti
ếp tuyến tại
M vuông góc với đường thẳng
IM
( Dự bị B2003)
Bài 16: cho hàm số :
3
1 2
( )
3 3
y x x C
   tìm trên đồ thị những điểm mà từ đó kẻ đư
ợc tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng
1 2
3 3
y x
  
(ĐH Ngoại Ngữ 2001)
Bài 17: cho hàm số
1
( )
1
x
y C
x



. Tìm m để đường thẳng ( ): 2

d y x m
 
cắt đồ thị hàm số
( )
C
tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau (CĐSP 2005)

Bài 18: cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x


, tìm điểm
( )
M C

, biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M tại hai diểm A, B v
à
tam giác OAB có diện tích bằng
1
2
(D2007)
Bài 19: cho hàm số
( )
1

x
y C
x


, Viết phương trình tiếp tuyến
( )
d
của đồ thị cắt hai đư
ờng tiệm cận tại A,B sao
cho tam giác IAB cân , I là giao điểm của hai đường tiệm cận ( D2007_dự bị)
Nha Trang 8/2009





Luyện thi ĐH chất lượng cao ths. Ng Dương 093 252 8949
……………………………………………………………………………………………………………

Bài 20: cho hàm số
3
12 12 ( )
y x x C
   tìm trên đường thẳng y = 4 mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến phân
biệt tới đồ thị
( )
C
( HV Bưu Chính Viễn Thông 1998)

Bài 21: cho hàm số
3 2
3 2 ( )
y x x C
    Tìm trên
( )
C
những điểm mà từ đó kẻ được duy nhất m
ột tiếp tuyến với
đồ thị hàm số
( )
C
( HV Bưu Chính Viễn Thông 1999)
Bài 22: cho hàm số
2
( )
1
x
y C
x



. và điểm A(0, a ) . tìm a để từ điểm A có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến
( )
C
.
sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía trục ox (ĐH Sư Phạm TP HCM 2001)
Bài 23 : cho hàm số
3 2

3 2 ( )
y x x C
   tìm trên đường thẳng
2
y
 
các điểm mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị
hàm số (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau
Bài 24 cho hàm số
3 2
3 ( )
y x x C
  Tìm trên đường thẳng
2
x

những điểm mà từ đó có thể kẻ đúng 3 tiếp
tuyến tới đồ thị hàm số
Bài 25: cho hàm số
4 2
2 1 ( )
y x x C
    tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ đư
ợc 3 tiếp
tuyến tới đồ thị
( )
C
(ĐH Y Dược TP HCM 1998)

Nha Trang 8/2009