toán cấp 3 - bài tập hệ phương trình luyện thi đại học

WWW.ToanCapBa.Net
Hệ phơng trình trong các đề thi tuyển sinh đại học.
Các ví dụ
Bài 1:Giải hệ phơng trình
a)



=++
=+
42
3)2(
2
yxx
xxy
b)
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
+ + =



+ + =

Ă
H K B 2009
c)
2
2

x(x y 1) 3 0
5
(x y) 1 0
x
+ + =



+ + =


(x, y R) H K D 2009
Bài 2: Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình



=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy
a. Giải hệ khi m=12 b.Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
2 2 2
1 1
2
a

x y
x y a

+ =



+ = +

Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m

+ =


+ =


Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ phơng trình



=+

=+
222
6 ayx
ayx

a) Giải hệ khi a=2
b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ
5) Cho hệ phơng trình





+=+
+=+
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6)





=+
=+

22
22
xy
yx

7)





=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a.Giải hệ khi m=6 b.Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:





=+
=+
358
152
33
22

yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 3:





=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

( )
tttf 3
3
=
trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình (1)
Bài 4: HVQY 1995 .CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất

+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx
xét
23

2)( xxxf =
lập BBT suy ra KQ
Bài 5





=+
=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 6





=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8

Bài 7:





+=
=
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
HD : Rut ra
y
yy
y
x +=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+= y
y
x

20
2
x
theo (1)
20
2
x
suy ra x,y
Bài 8:





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: từ (1) đặt
2,1 +=+= yvxu
đợc hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài 9:

+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 10:





=
=
19
2.)(
33
2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
Bài 11:



=++

=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
Bài 12:





=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx
đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1)
Bài 13:





=+
=+
22

333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
=++ xx
vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
Bài 14:





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 15:

=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế
Bài 16:





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x

y
y
x
HD nhân 2 vế của (1) với
xy
Bài tập 17:Giải hệ phơng trình





=+++
=+
6xyyxyx
3yxxy
22
.
Bài tập 18:Giải hệ phơng trình





=++
=++
1xyyx
3yxyx
22
.
Bài tập 19: Tìm m để hệ phơng trình

=+
=++
4yx
2y)1m(mx
22
.có nghiệm
Bài tập 20:Giải hệ phơng trình





=
=
2y3xy2
2x3yx2
22
22
.
Bài tập 21: Tìm a để hệ phơng trình



=+
=+

1ayx
3y2ax
có nghiệm duy nhất thoả mãn x >1, y > 0 .
Bài tập 22:Giải hệ phơng trình





=+
=+
5yx
2
1
y
1
x
1
22
.
Bài tập 23:Giải hệ phơng trình





=
=
49yxyx5
56y2xyx6

22
22
.
Bài tập 24:Giải hệ phơng trình :





++=+
+=
6y3x3yx
)xy(239
22
3
2
log)xy(
2
log
.
Bài tập 25:Giải hệ phơng trình





+=+
=+
3a2ayx
1a2yx

222
. Xác định a để tích P = xy lớn nhất .
Bài tập 26:Giải hệ phơng trình





=+
=+
m31yyxx
1yx
.
Bài tập 27:Giải hệ phơng trình







+
=
+
=
2
2
2
2
y

2x
x3
x
2y
y3
.
Bài tập 28 : Tìm k để hệ bất phơng trình sau có nghiệm





+
<
1)1x(log
3
1
xlog
2
1
0kx31x
3
2
2
2
3
.
.
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

Bài tập 29:Giải hệ phơng trình





++=+
=
2yxyx
yxyx
3
Các đề thi những năm gần đây về hệ phơng trình .
Bài tập 1: ĐHCĐ B 2002 Giải hệ phơng trình
3
2
x y x y
x y x y

=


+ = + +


.
Bài tập 2:ĐHCĐ D 2002 Giải hệ phơng trình:
3x 2
x x 1
x
2 5y 4y

4 2
y
2 2

+

=


+
=

+
Bài tập 3: ĐHCĐ DB 2002 Giải hệ phơng trình:
4 2
x 4 | y | 3 0
log x log y 0
+ =



=


Bài tập 4: ĐHCĐ DB 2002 Giải hệ phơng trình:
( )
( )
3 2
x
3

y
log x 2x 3x 5y 3
log y 2y 3y 5x 3

+ =


+ =


Bài tập 5: ĐHCĐ A 2003 . Giải hệ phơng trình:
3
1 1
x y
x y
2y x 1

=



= +

Bài tập 6: ĐHCĐ DB 2003 . Giải hệ phơng trình:
y x
x y
log xy log y
2 2 3

=

+ =


Bài tập 7: ĐHCĐ B 2003 . Giải hệ phơng trình:
2
2
2
2
y 2
3y
x
x 2
3x
y

+
=



+

=


Bài tập 8: ĐHCĐ A 2004 Giải hệ phơng trình
( )
1 4

4
2 2
1
log y x log 1
y
x y 25

=



+ =

Bài tập 9: ĐHCĐ D 2004 Tìm m để hệ phơng trình sau có nghiệm
x y 1
x x y y 1 3m

+ =


+ =


Bài tập 10: CĐ A 2002 . Cho hệ phơng trình:
x my 3
mx y 2m 1
+ =


+ = +

a) Giải và biện luận hệ phơng trình đã cho.
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
b) Trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất, hãy tìm những giá trị của m sao cho nghiệm
( )
0 0
x , y
thỏa mãn
điều kiện
0
0
x 0
y 0
>


>

Bài tập 11: CĐSP Hà Tĩnh Giải hệ phơng trình:
( )
3 3
2 2
x y 7 x y
x y x y 2

=


+ = + +

Bài tập 12: ĐH Hùng Vơng 2004 Giải hệ phơng trình:
( )
( )
2
2
log 3
log xy
2 2
9 3 2 xy
x y 3x 3y 6

= +


+ = + +


Bài tập 13: Giải hệ phơng trình:
( )
2 2
2
4 2
log x y 5
2log x log y 4

+ =

+ =


Bài tập 14: CĐGTVT 2004 . Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
6x xy 2y 56
5x xy y 49

=


=


Bài tập 15: CĐGTVT 2004 Giải hệ phơng trình:
2 2
1 1 1
x y 2
x y 5

+ =



+ =

Bài tập 16: CĐKT A 2004 Cho hệ phơng trình:
ax 2y 3
x ay 1

+ =


+ =

Tìm a để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất và thỏa mãn điều kiện
x 0,y 0> >
Bài tập 17: Giải hệ phơng trình:
2 2
3 3
2x y xy 15
8x y 35

+ =


+ =


Bài tập 18: CĐYTTB 2004 Giải hệ phơng trình:
2 2
2 2
2x y 3x 2
2y x 3y 2

=


=

Bài tập 19: CĐCN Hà Nội Giải hệ phơng trình
x x
y y
x x
y y
2A 5C 90
5A 2C 80

+ =


+ =


(trong đó
k
n
A
là chỉnh hợp chập k của n phần tử,
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử).
Bài tập 20: CĐ Đà Nẵng Giải hệ phơng trình:
2 2
xy x y 3
x y x y xy 6
+ =

+ + + =

Bài tập 21: ĐHCĐ B 2005 Giải hệ phơng trình:
( )
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log 9x log y 3

+ =


=


Bài tập 22 : ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phơng trình
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + + =


+ =


WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

Bài tập 23: ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phơng trình
( ) ( )
2 2
4
1 1 2
x y x y
x x y y y

+ + + =


+ + + + =


Bài tập 24: ĐHCĐ A 2006. Giải hệ phơng trình
. 3
1 1 4
x y x y
x y

+ =


+ + + =


Bài tập 25: ĐHCĐ DB 2006 . Giải hệ phơng trình
2
2
1 ( ) 4

( 1)( 2)
x y y x y
x y x y

+ + + =

+ + =

Bài tập 26: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình
( )
3 3
2 2
8 2
3 3 1
x x y y
x y

= +


= +


Bài tập 27: ĐHCĐ D 2006 chứng minh với mọi a > 0
hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất
( ) ( )
ln 1 ln 1
x y
e e x y
y x a

= + +

=

Bài tập 28: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình
2 2
2 2 2
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y

+ =

+ + =

Bài tập 29: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình
2 2
ln(1 ) ln(1 )
12 20 0
x y x y
x xy y
+ + =


+ =

Bài tập 30: ĐHCĐ DB 2006 Giải hệ phơng trình
( )

( )
( )
( )
2 2
2 2
13
25
x y x y
x y x y

+ =


+ =


Bài tập 31 : CĐ Bách Khoa 2006 Giải hệ phơng trình
2 2
5
2
21
x y
y x
x y xy

+ =



+ + =

Bài tập 32 : ĐHCĐ DB 2005 Giải hệ phơng trình
2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
+

+ = +

=

Bài tập 32: ĐHCĐ D 2007 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm thực
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =

+ + + =


Bài tập 33: ĐHCĐ DB A 2007 Giải hệ phơng trình
2 1
2 1
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y



+ + = +


+ + = +


Bài tập 34: ĐHCĐ DB A 2007 Giải hệ phơng trình
4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy

+ =

+ =

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập 35: ĐHCĐ DB B 2007 chứng minh
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y
e
y
x
e
x

=





=

có đúng 2 nghiệm x > 0; y > 0.
Bài tập 36: ĐHCĐ DB B 2007 Giải hệ phơng trình
2
3 2
2
2
3
2
2 9
2
2 9
xy
x x y
x x
xy
y y x
y y

+ = +

+



+ = +

+

Bài tập 37: ĐHCĐ DB D 2007 Tìm m để hệ phơng trình
2 0
1
x y m
x xy
=



+ =


có nghiệm duy nhất.
Bài tập 38: ĐHCĐ A 2008 Giải hệ phơng trình
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

+ + + + =




+ + + =

Bài tập 39: ĐHCĐ B 2008 Giải hệ phơng trình
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x

+ + = +

+ = +

Bài tập 40: ĐHCĐ D 2008 Giải hệ phơng trình
2 2
2
2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y

+ + =


=


Bài tập 41 : Giải hệ phơng trình:

=+
++=+++
36
97
1
6
13
6
131
22
yx
y
yyx
x
y

Bài tập 42 : Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:





+=
+=
myyyx

mxxxy
232
232
4
4

Bài tập 43: Cho hệ phơng trình:
( ) ( )



+=++
=+
21
2
ymxyyx
myx
1) Giải hệ phơng trình với m = 4.
2) Tìm m để hệ phơng trình có nhiều hơn hai nghiệm.
Bài tập 44: Giải và biện luận hệ phơng trình:





+=+
+=+
xmyxyy
ymxxyx
2

2
2
2
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập 45: Giải hệ phơng trình:
( )
( )
( )
(
)
( )







=++
+
=
+

+
+
01123
23
2
0123

23
122
23
1
2
2
2
22
2
y
xx
y
xx
y
xx
Bài tập 46: Giải hệ phơng trình:



=
=+
222
1
yx
yx
Bài tập 47: Chứng minh rằng với m hệ sau luôn có nghiệm:
( )

+=+
+=++
mmyxxy
mxyyx
2
12

Bài tập 48: Giải hệ phơng trình:
( )
( )



=+
=+
223
223
xylog
yxlog
y
x
Bài tập 49: Cho hệ phơng trình:



=+
=+
32
2
222

ayx
ayx
Gọi (x, y) là nghiệm của hệ. Xác định a để tích xy là nhỏ nhất
Bài tập 50: Giải hệ phơng trình:
( ) ( )





+=
=
+
yxlogyxlog
x
y
y
x
33
1
324
Bài tập 51: Cho hệ phơng trình:
( )
( )





=+

=+
1
1
2
2
xmyxy
ymxxy
1) Giải hệ phơng trình với m = -1.
2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập 52: Tìm m để hệ sau có nghiệm:



=+
=+
445
1
xy)yx(
mxyyx

Bài tập 53: Giải hệ phơng trình:
(
)
( ) ( )
( )
( )

=+++
+=++
142241
312
4
2
44
44
22
4
y
x
logxyylogxylog
yxlogxlogyxlog
Bài tập 54: Cho hệ phơng trình:



=+
=+
0
0
22
aayx
xyx
1) Giải hệ phơng trình khi a = 1.
2) Tìm a để hệ phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
3) Gọi (x
1

; y
1
), (x
2
; y
2
) là các nghiệm của hệ đã cho. Chứng minh rằng:

( ) ( )
1
2
12
2
12
+
yyxx

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập 55: Giải hệ phơng trình:
( )
( )
( ) ( )





=+++
=

111
239
22
3
2
2
yx
xy
log
xylog
Bài tập 56: Cho hệ phơng trình:





=+
=+
1
1
22
2
yxtg
xsinyaax
.
Tìm a để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất
Bài tập 57: Giải hệ phơng trình:

+=
=
+
xlogxlog
xlog
yy
y
2
1
2
2
233
1532

Bài tập 58: Cho hệ phơng trình:
( )



+=++
+=+
323
44
2
mymx
mymx
1) Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x y.
2) Với các giá trị của m đã tìm đợc, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.

Bài tập 59: Cho hệ phơng trình:
( ) ( )



=++
=+++
myxxy
yxyx
11
8
22
1) Giải hệ phơng trình với m = 12.
2) Xác định m để hệ có nghiệm.
Bài tập 60: 1) Giải hệ phơng trình:





=++
=++
222
932
22
22
yxyx
yxyx

2) Tìm a để hệ phơng trình sau có nghiệm với x:

(
)
(
)





=++
=+++
1
211
2
22
yxbxya
bx
ya
Bài tập 61: Cho hệ phơng trình:
(
)
(
)
( ) ( )





=

=
22
22
4343
4343
mmxy
mmyx
1) Giải hệ phơng trình với m = 1.
2) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm.
3) Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập 62: Cho hệ phơng trình:



=+
=+
myx
yx
2
84
22
1) Giải hệ phơng trình với m = 4.
2) Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m.
Bài tập 63: Cho hệ phơng trình:



+=+
+=++
1

2
22
mxyyx
myxyx
1) Giải hệ phơng trình với m = -3
2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập 64: 1) Cho hệ phơng trình:
( )



+=+
=
126
2
cbyxb
acybx
Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với b.
2) Giải hệ phơng trình:





+=++
=+
++
113

2322
2
3213
xxyx
.
xyyx
Bài tập 65: Giải và biện luận theo m hệ phơng trình:



=+
=+
mxy
myx
12
12
Bài tập 66: Tìm a để hệ sau có nghiệm:
( )



=+++
+
212
2
ayxyx
yx

Bài tập 67: ) Xác định a để hệ phơng trình sau đây có nghiệm duy nhất:

=+
++=+
1
2
22
2
yx
axyx
x

Bài tập 68: Giải hệ phơng trình:
( )



=+++
=++
283
11
22
yxyx
xyyx
Bài tập 69: Giải hệ phơng trình:

=++
=++
=++
2
2
2
16164
993
442
ylogxlogzlog
xlogzlogylog
zlogylogxlog

Bài tập 70: Cho hệ phơng trình:
( ) ( )



+=++
=+
21
2
ymxyyx
myx

1) Giải hệ khi m = 4
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm.
Bài tập 71: Giải hệ phơng trình:

( )
( )
( )





=

++
=++
3
2
1
2
026452
2
22
2
yx
yx
yxyxyx

Bài tập 72: Giải hệ phơng trình:



=+
=+

222
11
yyx
yx

Bài tập 73: Giải hệ phơng trình:







=
=
y
x
xy
x
y
yx
43
43
Bài tập 74: Giải hệ phơng trình:



=+
=
1023

122
xyyx
xyyx
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bµi tËp 75: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:





=+−
=+
13
5
4224
22
yyxx
yx
Bµi tËp 76: §HNT A 1999 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )
(
)








=








++
=






++
49
1
1
5
1
1
22
22
yx
yx
xy
yx

Bµi tËp 77: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:







=+
=+
2
2
3
2
3
2
y
xy
x
yx
Bµi tËp 78: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:





=
=+
9
3

411
xy
yx
Bµi tËp 79: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )



=+
=
−
5
115223
22
logyxlog
yx

Bµi tËp 80: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:





π
−=
π
−
=+
22
1

22
y
y
x
x
ysinxsin

Bµi tËp 81: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:





++=
++=
22
22
3
3
yxy
xyx
Bµi tËp 82: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )
( )





=−++

=++
095
1832
2
2
yxx
yxxx

Bµi tËp 83: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )





+=+
+=+
yxyx
yyxx
3
22
22

Bµi tËp 84: T×m a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
( )
( )






−=+
−=+
1
1
2
2
xayxy
yaxxy

Bµi tËp 85: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:





+=−
+=−
432
432
22
22
yxy
xyx
Bµi tËp 86: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
( )






++=+
−=−
2
7
22
33
yxyx
yxyx

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Bài tập 87: Giải hệ phơng trình:
( )
( )
( )
( )





=++
=
15
3
22
22
yxyx
yxyx

Bài tập 88: Giải hệ phơng trình:





=+
=
322
yx
xy
ylogxylog

Bài tập 89: Tìm giá trị của tham số m để hệ phơng trình sau có nghiệm thực:
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
x y

+ + + =

+ + + =


Bài tập 90: ĐHNN 1997 Cho hệ phơng trình
2 2
8
( 1)( 1)
x y x y
xy x y m

+ + + =

+ + =

a. Giải hệ phơng trình khi m = 12
b. Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm .
Bài tập 91: ĐH Y Dợc 1998 Tìm a để hệ sau có đúng 2 nghiệm
( )
2 2
2
2(1 )
4
x y a
x y

+ = +


+ =

Bài tập 92: ĐHQG A 1999 chứng minh với mọi m hệ phơng trình
2
2 1
( )
x xy y m
xy x y m m
+ + = +


+ = +

.Tìm m để hệ phơng
trình có nghiệm duy nhất.
Bài tập 93: ĐHNN 2001 Giải hệ phơng trình
2 2
3 3
1
1
x y
x y

+ =

+ =

Bài tập 94: ĐHTCKT 2001 Giải hệ phơng trình
4 4
6 6
1

1
x y
x y

+ =

+ =

Bài tập 95: ĐHGTVT 1998 Giải hệ phơng trình
5 5
3 3
1
1
x y
x y

+ =

+ =

Bài tập 96: ĐHAN 1997 Giải hệ phơng trình
2 2 5 5
3 3
1
x y x y
x y

+ = +

+ =

Bài tập 97: ĐH Mỏ - Địa chất 1997 Giải hệ phơng trình
2 2
2 2
2 ( ) 3
.( ) 10
y x y x
x x y y

=

+ =

Bài tập 98: ĐHNN I A 2001 Giải hệ phơng trình
2
3 3
( ) . 2
19
x y y
x y

=

=

Bài tập 99: ĐHCĐ 2000 Giải hệ phơng trình
2 3
2
12
( ) 6

x x
y y
xy yx


+ =

ữ ữ



+ =

Bài tập 100: ĐHVH D 2001 Giải hệ phơng trình
1 7 4
1 7 4
x y
y x

+ + =


+ + =


Bài tập 101: SP 1 2000 A Giải hệ phơng trình
2 2
2 2 2
. 6
1 5

y x y x
x y x

+ =

+ =

Bài 2
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
2 2 2 2 2 2
3 3
2 2 2
26
4
1 2 3
5
. . . .
( )(1 ) 1 2
24 0
y x x
x y
x y x y xy x y xy
x y y
e f g h
x y xy xy xy yx
x y x xy y

 
+ = + + =


+ + = + + + =
  
   
− + = − + =

  
− = + − =
 

2 2
2 2
2
4
2
3
2 6
. . . .
1 1
11 1
4
4
2 6 0
x y
x y
x y
x
x y x y xy
x y
y x

y x
y
i j k l
xy
x y
x y
x y
x xy y
x y
x y
y x



+ + + =
+ =

+ + =



− + =
   
   
+ − =
   
+ + + =
+ + + =
− − =


  



Bµi
tËp 2: Bµi
Bµi 3
Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh .
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
3 3 2 2 3
1
1 1
1 1 4
3
2
. . .
1 1
1 4
3 1
x y
x x
x y xy x y
a b c
y y
y x

x y xy x y
x y xy x y y
xy x y


 
+ =
+ + + =

+ + =


 ÷
+ +
  
 
+ − =

 
+ + + =
= + +


Bµi tËp 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh .
( )
( )
( )
( )
2 2
3 2 2 3 3 3

3 2 2 2 2 2
2 2
7
3 4 4 2 3 1 2
. . . .
3 4 2 2 2
175
x y x y
x y x x xy x y y
a b c d
y xy y xy x y x y
x y x y


− − =
 
+ = + = + =
 
   
+ = + = − + =
+ + =
 
 


Bµi tËp 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh .
Bµi 1: Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n
8) Cho hÖ ph¬ng tr×nh




=+++
=++
8
)1)(1(
22
yxyx
myxxy

a) Gi¶i hÖ khi m=12
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
9) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a

+ =



+ = +


T×m a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt
10) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
2 2
2 2

1
3 2
x xy y
x xy y m

− + =


− + =



T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
11) Cho hÖ ph¬ng tr×nh



−=+
=+
222
6 ayx
ayx

a) Gi¶i hÖ khi a=2
b) T×m GTNN cña F=xy+2(x+y) biÕt (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ
12) Cho hÖ ph¬ng tr×nh






+=+
+=+
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(

T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
13)





=−+
=−+
22
22
xy
yx

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
14)

=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:







+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3

y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm
Bài 3:





=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:

=+
=
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: từ (2) : -1 x , y 1 hàm số :

( )
tttf 3
3
=
trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất







+=
+=
x
a

xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:



=
=
223
2 axx
yx
xét
23
2)( xxxf =
lập BBT suy ra KQ
Bài 6:





=+

=+
22
22
xy
yx
HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:





=+
=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:





+=
=

)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
HD : Rut ra
y
yy
y
x +=
+
=
55
2
Cô si
52
5
+= y
y
x

20
2
x
theo (1)
20
2

x
suy ra x,y
Bài 9:





++=+
=
2
)1(
3
yxyx
yxyx
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:





=+
=++
ayx
ayx
3
21
Tìm a để hệ có nghiệm

HD: từ (1) đặt
2,1 +=+= yvxu
đợc hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
1)





=
=
495
5626
22
22
yxyx
yxyx
2.





+=+
+=+
)(3
22
22

yxyx
yyxx
KD 2003
3,





=++
=++
095
18)3)(2(
2
2
yxx
yxxx
4





++=+
=
2
)(7
22
33
yxyx

yxyx
.
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
2)





+=
=
mxyx
yxy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
3)






=
=
19
2.)(
33

2
yx
yyx
dặt t=x/y có 2 nghiệm
4)



=++
=++
64
9)2)(2(
2
yxx
yxxx
đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
5)






=++
=+
4
)1(2
2222
yxyx
yxyx

đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1)
6)





=+
=+
22
333
6
191
xxyy
xyx
Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
7)






+=
=
12
11
3
xy
y

y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM
02
4
=++ xx
vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
8)





+=+
+=+
axy
ayx
2
2
)1(
)1(
xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
9)

=+
=+
3
3
22
xyyx
x
y
y
x
HD bình phơng 2 vế
10)





=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xy
x
y
y

x
HD nhân 2 vế của (1) với
xy
H PHNG TRèNG I XNG LOI I
Gii cỏc h phng trỡnh sau :
1,
+ + =



+ =

2 2
1
( 99)
6
x xy y
MTCN
x y y x
2,

+ =



+ =


2 2
4 2 2 4

5
( 98)
13
x y
NT
x x y y
3,

+ =



+ =


2 2
3 3
30
( 93)
35
x y y x
BK
x y
4,

+ =



+ = +

3 3
5 5 2 2
1
( 97)
x y
AN
x y x y
5,

+ + =



+ + =


2 2
4 4 2 2
7
( 1 2000)
21
x y xy
SP
x y x y
6,
+ + =

+ + + =

2 2
11
( 2000)
3( ) 28
x y xy
QG
x y x y
7,

+ = +




+ =

7
1
( 99)
78
x y
y x
xy
HH
x xy y xy
8,

+ + =





+ + =


2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
( 99)
1
( )(1 ) 49
x y
xy
NT
x y
x y
9,

+ + + =





+ + + =

2 2
2 2
1 1
4
( 99)
1 1
4
x y
x y
AN
x y
x y
10,
+ + =



+ + =

2
( 2)(2 ) 9
( 2001)
4 6
x x x y
AN
x x y
1)

=++
=++
2
4
22
yxxy
yxyx
2)
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + =


+ =

3)



=+
=++
30
11
22
xyyx

yxxy
4)



=+++
=+
092)(3
13
22
xyyx
yx
5)





=+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
6)

=+
=+
20
6
22
xyyx
xyyx
7)





=+
=+
4
4
xyyx
yx
8)



=+
=+
2
34
44

yx
yx

1) (0;2); (2;0) 2)
(2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10) + +
3)
(1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
4)
10 10 10 10
(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
2 2 2 2
+ +
5)
(2;3);(3;2)
6)
(1;4),(4;1)
7) (4;4) 8)
(1 2;1 2),(1 2;1 2) + +
9.
2 2
x y xy 5
x y xy 7
ỡ
+ + =
ù
ù
ớ
ù
+ + =
ù

ợ
. ỏp s:
x 1 x 2
y 2 y 1
ỡ ỡ
= =
ù ù
ù ù

ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ ợ
.
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
10.
2 2
x xy y 3
2x xy 2y 3
ì
ï + + =
ï
í
ï
+ + = -
ï
î
. Đáp số:

x 1 x 3 x 3
y 1
y 3 y 3
ì ì
ì
ï ï
= - = = -
ï
ï ï
ï ï ï
Ú Ú
í í í
ï ï ï
= -
= - =
ï ï ï
î
ï ï
î î
.
11.
3 3
x y 2xy 2
x y 8
ì
+ + =
ï
ï
í
ï

+ =
ï
î
. Đáp số:
x 2 x 0
y 0 y 2
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
12.
3 3
x y 7
xy(x y) 2
ì
ï - =
ï
í
ï
- =
ï
î
. Đáp số:

x 1 x 2
y 2 y 1
ì ì
= - =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= - =
ï ï
î î
.
13.
2 2
x y 2xy 5
x y xy 7
ì
- + =
ï
ï
í
ï
+ + =
ï
î
.Đápsố:
1 37 1 37
x x
x 2 x 1

4 4
y 1 y 2
1 37 1 37
y y
4 4
ì ì
ï ï
- +
ï ï
= =
ï ï
ì ì
= = -
ï ï
ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
ï ï ï ï
= = -
- - - +
ï ï ï ï
î î
= =
ï ï
ï ï
ï ï
î î
.
14.

2 2
2 2
1
(x y)(1 ) 5
xy
1
(x y )(1 ) 49
x y
ì
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
í
ï
ï
+ + =
ï
ï
ï
î
. Đáp Số:
x 1 x 1
7 3 5 7 3 5
x x
2 2
7 3 5 7 3 5
y y

y 1 y 1
2 2
ì ì ì ì
= - = -
ï ï ï ï
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
ï ï ï ï
Ú Ú Ú
í í í í
- +
ï ï ï ï
= =
ï ï ï ï
= - = -
ï ï ï ï
ï ï ï ï
î î î î
.
15.
x y y x 30
x x y y 35
ì
ï
+ =
ï
ï
í

ï
+ =
ï
ï
î
. Đáp số:
x 4 x 9
y 9 y 4
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
16.
x y 7
1
y x
xy
x xy y xy 78
ì
ï
ï
+ = +
ï

ï
í
ï
ï
+ =
ï
ï
î
(chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số:
x 4 x 9
y 9 y 4
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
17.
( )
2 2
3 3
3
3
2(x y) 3 x y xy
x y 6

ì
ï
+ = +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
ï
î
. Đáp số:
x 8 x 64
y 64 y 8
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Ú
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
.
18.



=++−+

−=+−
6
3
22
xyyxyx
yxxy
19.



=−−
=−−+
36)1()1(
12
22
yyxx
yxyx
20.
2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y

− + − =


− − + =



21.
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y

+ + + =


+ + − =



18. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình :
2 2 2
x y z 8
xy yz zx 4
ì
ï + + =
ï
í
ï
+ + =
ï
î
. Chứng minh
8 8
x,y,z
3 3

- £ £
.
19. Tìm m để hệ phương trình :
2 2
x xy y m 6
2x xy 2y m
ì
ï + + = +
ï
í
ï
+ + =
ï
î
có nghiệm thực duy nhất.
20. Tìm m để hệ phương trình ::
2 2
x xy y m 1
x y xy m
ì
+ + = +
ï
ï
í
ï
+ =
ï
î
có nghiệm thực x > 0, y > 0.
WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net
21. Tỡm m h phng trỡnh :
x y m
x y xy m
ỡ
ù
+ =
ù
ù
ớ
ù
+ - =
ù
ù
ợ
cú nghim thc.
22. Tỡm m h phng trỡnh :
2 2
2
x y 2(1 m)
(x y) 4
ỡ
ù + = +
ù
ớ
ù
+ =
ù
ợ
cú ỳng 2 nghim thc phừn bit.

23. Cho x, y l nghim ca h phng trỡnh :
2 2 2
x y 2m 1
x y m 2m 3
ỡ
+ = -
ù
ù
ớ
ù
+ = + -
ù
ợ
. Tỡm m P = xy nh nht.
24. Tỡm m h phng trỡnh : cú nghim:





=+
=+
myyxx
yx
31
1
25.Tỡm m h phng trỡnh : cú nghim:
x 2 y 3 5
x y m

+ + =


+ =


Bài tập hệ phơng trình
Giải các hệ phơng trình sau :

+ + =



+ =

2 2
1
( 99)
6
x xy y
MTCN
x y y x

+ =



+ =

2 2
4 2 2 4
5
( 98)
13
x y
NT
x x y y

+ =



+ =


2 2
3 3
30
( 93)
35
x y y x
BK
x y

+ =



+ = +

3 3
5 5 2 2
1
( 97)
x y
AN
x y x y

+ + =



+ + =


2 2
4 4 2 2
7
( 1 2000)
21
x y xy
SP
x y x y
+ + =



+ + + =

2 2
11
( 2000)
3( ) 28
x y xy
QG
x y x y

+ = +




+ =

7
1
( 99)
78
x y
y x
xy
HH
x xy y xy

+ + =

+ + =


2 2
2 2
1
( )(1 ) 5
( 99)
1
( )(1 ) 49
x y
xy
NT
x y
x y

+ + + =





+ + + =


2 2
2 2
1 1

4
( 99)
1 1
4
x y
x y
AN
x y
x y
+ + =



+ + =

2
( 2)(2 ) 9
( 2001)
4 6
x x x y
AN
x x y

+ + + + + + + + + =



+ + + + + + + =

2 2
2 2
1 1 18
( 99)
1 1 2
x x y x y x y y
AN
x x y x y x y y
+ + =



+ + =

2
(3 2 )( 1) 12
( 97)
2 4 8 0
x x y x
BCVT
x y x

+ =



+ =


2 2

2 2 2
6
( 1 2000)
1 5
y xy x
SP
x y x
+ =



+ + =

2 2 3 3
4
( 2001)
( )( ) 280
x y
HVQHQT
x y x y

=



=


2 2
2 2

2 3 2
( 2000)
2 3 2
x x y
QG
y y x

=



=


2
2
3
( 98)
3
x x y
MTCN
y y x

+ =





+ =

1 3
2
( 99)
1 3
2
x
y x
QG
y
x y

= +



= +


3
3
3 8
( 98)
3 8
x x y
QG
y y x

+ =

+ =


2
2
3
2
( 2001)
3
2
x y
x
TL
y x
y

+ + =



+ + =


5 2 7
( 1 2000)

5 2 7
x y
NN
y x

+
=




+

=


2
2
2
2
2
3
( 2003)
2
3
y
y
x
KhốiB
x

x
y
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

− =

−

− − =


2
2 2
3 2 16
( )
3 2 8
x xy
HH TPHCM
x xy x

+ =

−

+ = −


3 3 3
2 2

1 19
( 2001)
6
x y x
TM
y xy x

− + =

−

− + =


2 2
2 2
2 3 9
( )
2 13 15 0
x xy y
HVNH TPHCM
x xy y

− =

−

+ =



2 2
2 2
2 ( ) 3
( § 97)
( ) 10
y x y x
M C
x x y y
P hần I: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
1. giải phương trình:
a)
4 3 2
8 7 36 36 0x x x x− + + − =
b)
5 1 3 2 1x x x− − − = −
c)
2 2
2( 2 ) 2 3 9 0x x x x− + − − − =
d)
2 1
25 10 2 ( 1998)
x x x
HVNHKD
+
+ = −
e)
3
3
4
27

x y
xy

+ =


=


f)
( ) ( )
2 2 3 3
4
( 2000)
280
x y
HVQHQT
x y x y
+ =


−

+ + =


g)
3 2
3 3 0x x x+ − − =
h)

( )
2 2
1 3 3 1 0x x x x+ + − − − =
i)
4 2
6 8 0x x x+ + − =
j)
4 3 2
2 3 16 3 2 0x x x x+ − + + =
k)
( 1)( 1)( 3)( 5) 9x x x x− + + + =
l)
4 4
( 1) ( 3) 12x x+ + + =
m)
4 3 2
4 3 8 10 0x x x x− + + − =
n)
2 2
1 1 2x x x x− − + + − =
2. giải các hệ phương trình:
a)
2 2
9 4 36
2 5
x y
x y

+ =


+ =

b)
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy

− + =


− =


c)
2 2
1
3
x xy y
x y xy

+ + =

− − =

d)
2 2
58

10
x y
x y

+ =

+ =

e)
2 2
28
4
x y
xy

+ =

=

f)
2 2
4
2
x xy y
x xy y

+ + =

+ + =


g)
13
6
5
x y
y x
x y

+ =



+ =

h)
2 2
164
2
x y
x y

+ =

− =

i)
2 2
8
5
x x y y

x xy y

+ + + =

+ + =


2 2
11
(DHQG-2000)
3( ) 28
x y xy
x y x y
+ + =


+ + + =

j)
2 2
13
2
x xy y
x y

− + =

+ = −

k)

2 2
2( ) 31
11
x xy y x y
x xy y

− + − + = −

+ + =

l)
2 2
2
1
x y x y
xy x y

+ − + =

+ − = −

l)
90
9
xy
x y
=


− =


m)
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x x y y
x x y y y

+ − + =

− + + − =

n)
2 2
6
3
x xy y x y
xy x y

+ + − + =

− + = −

o)
1 1 7
2
2( ) 3
xy
x y
x y xy


+ + =



+ =

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
p)
2 2
2 2
2 3 2
( 2000)
2 3 2
x x y
DHQGKB
y y x

− = −

−

− = −


q)
3 4
( 1997)
3 4

y
x y
x
DHQGKA
x
y x
y

− =


−


− =


r)
2 2
2 2
2 2
2 2
x y x y
y x y x

− = +


− = +



2
2
2 3
2 3
x xy x
y xy y

+ =


+ =


s)
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x

=


−



=

−

t)
2
2
2
2
1
1
1
1
y
x
y
x
y
x

−
=

+



−

=

+

u)
2 2
2 2
2 3 15
2 8
x xy y
x xy y

+ + =


+ + =


v)
2 2
2 2
2 3 9
( , 2000)
2 2 2
x xy y
DHSPTPHCMKA B
x xy y


+ + =

−

+ + =


w)
2 2
2 2
2 4 1
3 2 2 7
x xy y
x xy y

− + = −


+ + =


WWW.ToanCapBa.Net
3. giải các hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2 17
3 2 2 11
x xy y
x xy y


+ + =


+ + =


a)
2
2 2
3 2 160
3 2 8
x xy
x xy y

− =


− − =



2 2
2 2
6 2 56
5 49
x xy y
x xy y

− − =



− − =


b)
2 2
5
2 5 2
2
x xy y
y x
x y xy

+ − =

−

− = −


c)
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y

+ − =



+ = −


d)
2
2
13 4
13 4
x x y
y y x

= +


= +


e)
1 1
2 2
1 1
2 2
y
x
x
y

+ − =





+ − =

