Tài liệu Môn tấm và vỏ - Chương 6 Lý thuyết phi mô men

Chương 6
LÝ THUYẾT PHI MÔ MEN
6.1. KHÁI NIỆM CHUNG
Trong thực tế kỹ thuật thường gặp các trường hợp trong vỏ, nhóm lực mô
men uốn, mô men xoắn và lực cắt nhỏ đến mức có thể bỏ qua so với nhóm lực
màng. Khi đó, có thể xem trong vỏ chỉ tồn tại nhóm lực màng và trạng thái ứng
suất, biến dạng là trạng thái phi mô men. Trong trạng thái này, ứng suất phân bố
đều theo chiều dày vỏ.
6.1.1. Trạng thái nội lực, biến dạng
Trong trạng thái phi mô men, nội lực trong vỏ chỉ tồn tại nhóm lực màng.
1
N
,
2
N
và
0S ≠
còn
1 2 1 2
0M M H Q Q= = = = =
(6.1)
Biến dạng trong vỏ chỉ tồn tại trong mặt cong:
1
ε
,
2
ε
và
0γ ≠
còn
1 2

0χ = χ = χ =
(6.2)
6.1.2. Điều kiện tồn tại trạng thái phi mô men
Trong kết cấu vỏ, trạng thái cân bằng phi mô men tồn tại phụ thuộc vào tải
trọng tác dụng lên vỏ, vào cấu tạo liên kết giữa vỏ và liên kết tựa. Dưới đây nêu
ra một số nguyên tắc để đảm bảo dưới tác dụng của tải trọng, trong vỏ chỉ xuất
hiện nhóm lực màng, hình 6-1:
1. Hình học của vỏ trơn, không gãy góc, độ cong cũng như chiều dày vỏ
thay đổi liên tục và đều đặn;
2. Tải trọng tác dụng lên vỏ là tải trọng phân bố liên tục và đều đặn, không
chịu lực và mô men tập trung;
3. Tại vị trí gãy khúc, khi liên kết các vỏ cần gia cường bằng vành tăng
cứng để ngăn cản biến dạng lớn hoặc ngăn cản sự tập trung ứng suất, hình 6-1a;
4. Liên kết nối đất phải đảm bảo phản lực theo phương tiếp tuyến với mặt
vỏ, hình 6-1b;
5. Liên kết biên vỏ cho phép dịch chuyển tự do theo phương pháp tuyến với
mặt vỏ, hình 6-1c.

Hình 6-1a.
91
Hình 6-1b.
Hình 6-1c.
6.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA LÝ THUYẾT VỎ PHI
MÔ MEN
6.2.1. Phương trình cân bằng
Từ hệ phương trình cân bằng của lý thuyết mô men tổng quát (5.36), chú ý
đến (6.1), hệ phương trình cân bằng theo lý thuyết phi mô men có dạng:
1 1 2 2 3
0k N k N p+ − =
(6.3a)

( )
( )
2
1
2 1
1
0
A S
BN
B
N ABp
A
∂
∂
∂
+ − + =
∂α ∂β ∂α
(6.3b)
( )
( )
2
2
1 2
1
0
B S
AN
A
N ABp
B

∂
∂
∂
+ − + =
∂β ∂α ∂β
(6.3c)
trong đó:
1
N
,
2
N
- lực dọc phân bố theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ
α

và
β
;
S
- lực trượt;
1
p
,
2
p
- tải trọng phân bố theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ
α

và
β

;
3
p
- tải trọng phân bố theo phương pháp tuyến;
1
k
,
2
k
- độ cong của đường cong tọa độ
α
và
β
.
Hệ phương trình cân bằng theo lý thuyết vỏ phi mô men có 03 phương trình,
trong đó có 02 phương trình đạo hàm riêng và 01 phương trình đại số.
6.2.2. Phương trình hình học và vật lý
Từ quan hệ biến dạng - chuyển vị và quan hệ biến dạng - nội lực của vỏ,
chú ý đến (6.1) và (6.2), phương trình hình học và phương trình vật lý được suy
92
từ (5.6)
÷
(5.11) và (5.39) có dạng:
( )
1 1 2
1
1 1u v A w
N N
A AB r E
∂ ∂

ε = + + = −µ
∂α ∂β δ
(6.4a)
( )
2 2 1
2
1 1v u B w
N N
B AB r E
∂ ∂
ε = + + = − µ
∂β ∂α δ
(6.4b)
1B v A u
S
A B B A G
∂ ∂
   
γ = + =
 ÷  ÷
∂α ∂β δ
   
(6.4c)
6.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT PHI MÔ MEN
ĐỐI VỚI VỎ XOAY
Khảo sát vỏ xoay trong hệ tọa độ cầu, hình 4-6. Chọn tọa độ cong
α = ϑ
,
β = ϕ
(góc theo đường cong kinh tuyến và đường cong vĩ tuyến).

Từ hình 4-6:

1 1
dS dS Ad rd r d
ϑ ϑ
= = α = ϑ = ϑ
rút ra:
A r
ϑ
=
(6.5a)
2 2
dS dS Bd rd r sin d r sin d
ϕ ϕ
= = β = ϕ = ϑ ϕ = ϑ ϕ
rút ra:
B r r sin
ϕ
= = ϑ
(6.5b)
trong đó:
( )
1 1
r r r
ϑ
= ϑ =
là bán kính cong của đường cong kinh tuyến;
( )
2 2
r r r

ϕ
= ϑ =
là bán kính cong của đường cong vĩ tuyến;
( )
r r= ϑ
- bán kính vòng tròn vĩ tuyến;
Do
( )
1 1
r r= ϑ
,
( )
2 2
r r= ϑ
nên các tham số Lame chỉ phụ thuộc vào biến
ϑ
,
nghĩa là:
( )
A A= ϑ
,
( )
B B= ϑ
. Như vậy, các tham số hình học của vỏ xoay không
phụ thuộc biến tọa độ cong
ϕ
theo phương vòng.
6.3.1. Phương trình cân bằng
Đối với vỏ xoay, ký hiệu các thành phần nội lực, tải trọng trên hình 6-2:

1
N N
ϑ
=

2
N N
ϕ
=

S S S
ϑ ϕ
= =

1
r r
ϑ
=

2
r r
ϕ
=

1
p p
ϑ
=

2

p p
ϕ
=

3 r
p p=
Thay các tham số Lame
A
,
B
vào hệ phương trình cân bằng của lý thuyết vỏ phi
mô men (6.3), nhận được hệ phương trình cân bằng đối với vỏ xoay:
r
N
N
p
r r
ϕ
ϑ
ϕ ϑ
+ =
(6.6a)
( )
S
N r sin r N r cos p r r sin
ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ
∂ ∂
ϑ + − ϑ = − ϑ
∂ϑ ∂ϕ
(6.6b)

( )
N
r Sr sin Sr cos p r r sin
ϕ
ϑ ϕ ϑ ϕ ϕ ϑ
∂
∂
+ ϑ + ϑ = − ϑ
∂ϕ ∂ϑ
(6.6c)
93
Hình 6-2. Nội lực của phân tố vỏ.
6.3.2. Phương trình hình học và vật lý
Thay các tham số Lame
A
,
B
vào các phương trình hình học và vật lý (6.4)
nhận được phương trình hình học và phương trình vật lý của vỏ xoay:
( )
1 1u w
N N
r r E
ϑ ϑ ϕ
ϑ ϑ
∂
ε = + = −µ
∂ϑ δ
(6.7a)
( )

1 1v u w
cos N N
r r r E
ϕ ϕ ϑ
ϕ
∂
ε = + ϑ+ = −µ
∂ϕ δ
(6.7b)
1 1 1v u u
S
r r r A G
ϑ
∂ ∂
   
γ = + =
 ÷  ÷
∂ϑ ∂ϕ δ
   
(6.7c)
6.4. TÍNH VỎ XOAY CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG TRỤC
6.4.1. Các dạng tải trọng đối xứng trục
Các dạng tải trọng đối xứng trục thường gặp trong thực tế tính toán thiết kế:
1. Áp lực pháp tuyến tác dụng lên vỏ bình chứa khí
0p p
ϑ ϕ
= =
và
r
p const=

,
2
/N m
 
 
(6.8)
2. Áp lực thủy tĩnh tác dụng lên vỏ trong bình chứa chất lỏng
0p p
ϑ ϕ
= =
và
.
r
p h= γ

2
/N m
 
 
(6.9)
trong đó:
γ
- trọng lượng riêng chất lỏng,
3
/N m
 
 
.
h
- chiều cao chất lỏng trong bình chứa,

[ ]
m
.
3. Tải trọng bản thân
Ký hiệu
V
p
là tải trọng bản thân kết cấu vỏ trên một đơn vị diện tích,
94
2
/N m
 
 
. Tải trọng
V
p
được phân tích thành 2 thành phần theo phương pháp
tuyến và tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến, hình 6-3:
r V
p p cos= − ϑ
(6.10a)
V
p p sin
ϑ
= ϑ
(6.10b)
0p
ϕ
=
(6.10c)

Hình 6-3. Tải trọng bản thân Hình 6-4. Tải trọng không phụ thuộc
hình dạng vỏ
4. Tải trọng phân bố theo phương thẳng đứng không phụ thuộc hình dạng vỏ,
hình 6-4. Ký hiệu
S
p
,
2
/N m
 
 
là tải trọng phân bố trên một đơn vị diện tích
theo phương thẳng đứng không phụ thuộc hình dạng vỏ.
Tải trọng
S
p
được phân tích thành 2 thành phần theo phương pháp tuyến và
tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến:
2
r S
p p cos= − ϑ
(6.11a)
S
p p sin cos
ϑ
= ϑ ϑ
(6.11b)

0p
ϕ

=
(6.11c)
Như vậy, khi vỏ chịu tải trọng đối xứng trục, thành phần tải trọng tiếp tuyến
với đường cong vĩ tuyến
0p
ϕ
=
, còn các thành phần tải trọng pháp tuyến
r
p
và
thành phần tải trọng theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến
p
ϑ

không phụ thuộc biến tọa độ cong
ϕ
.
6.4.2. Xác định nội lực của vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục
Trong trường hợp vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, rút ra các nhận xét:
- Lực trượt
0S
=
- Đạo hàm theo biến
ϕ
bằng không. Nội lực
N
ϑ
,
N

ϕ
không thay đổi theo
phương vòng, nghĩa là không phụ thuộc biến tọa độ cong
ϕ
;
- Phương trình (6.6c) của hệ phương trình cân bằng đồng nhất bằng không.
95
Từ các nhận xét trên, hệ 02 phương trình cân bằng của vỏ xoay chịu tải
trọng đối xứng trục có dạng (6.12) và (6.13):
r
N
N
p
r r
ϕ
ϑ
ϑ ϕ
+ =
(6.12)
( )
d
rN N r cos p rr
d
ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ
− ϑ = −
ϑ
(6.13)
Từ (6.12) rút ra:
r
N

N p r
r
ϑ
ϕ ϕ
ϑ
 
= −
 ÷
 
(6.14)
Thay (6.14) vào (6.13):
( )
r
r
d
N r r cos p r N rr p
d r
ϕ
ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ
ϑ
 
= ϑ − −
 ÷
ϑ
 
(6.15)
Chú ý
r
r
sin

ϕ
=
ϑ
và nhân hai vế của (6.15) với
sinϑ
nhận được:
( ) ( )
r
d
sin N r N rcos rr p cos p sin
d
ϑ ϑ ϑ ϑ
ϑ + ϑ = ϑ− ϑ
ϑ
(6.16)
Để xác định
( )
d
sin N r
d
ϑ
ϑ
ϑ
lấy đạo hàm tích:
( ) ( )
d d
N rsin sin N r N rcos
d d
ϑ ϑ ϑ
ϑ = ϑ + ϑ

ϑ ϑ
rút ra:
( )
( )
d d
sin N r N rsin N rcos
d d
ϑ ϑ ϑ
ϑ = ϑ − ϑ
ϑ ϑ
(6.17)
Thay (6.17) vào (6.16):
( ) ( )
r
d
N rsin rr p cos p sin
d
ϑ ϑ ϑ
ϑ = ϑ− ϑ
ϑ
lấy tích phân từ
0
ϑ → ϑ
, hình 6-5, nhận được:
( )
.
o
r
N r sin rr p cos p sin d C
ϑ

ϑ ϑ ϑ
ϑ
ϑ = ϑ− ϑ ϑ+
∫
Nhân hai vế với
2π
( )
.2 2 . 2
o
r
N sin r p cos p sin r r d C
ϑ
ϑ ϑ ϑ
ϑ
ϑ π = ϑ− ϑ π ϑ+ π
∫
(6.18)
Từ (6.18) và hình 6-5 có nhận xét:
96
- Vế trái của (6.18):
.2N sin r
ϑ
ϑ π
là hợp lực của
N
ϑ
lên phương thẳng đứng
tại tiết diện khảo sát
ϑ
;

- Vế phải của (6.18) là hình chiếu lên phương thẳng đứng của tải trọng tác
dụng trên vỏ, trong đó:
( )
r
p cos p sin
ϑ
ϑ− ϑ
là thành phần thẳng đứng của tải trọng
p
ϑ
,
r
p
;

2 . 2 .r r d r dS
ϑ ϑ
π ϑ = π
là diện tích vành tròn phân tố tại tiết diện khảo sát
ϑ

có chiều cao phân tố
dS
ϑ
. Do đó, biểu thức tích phân là hợp lực của tải trọng theo
phương thẳng đứng tác dụng lên vỏ từ
0
ϑ → ϑ
;
Thành phần

2 C
π
là hợp lực lên phương thẳng đứng của tải trọng
q
tác
dụng tại biên
o
ϑ
, tương ứng bán kính
b
.
Hình 6-5. Vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục.
Biểu thức (6.18) đối với biên vỏ hở (
0
0ϑ ≠
) dưới dạng rút gọn:

,1 ,2
.2
td td td
N sin r Q Q Q
ϑ
ϑ π = = +
(6.19)
trong đó:

( )
,1
2 .
o

td r
Q p cos p sin r r d
ϑ
ϑ ϑ
ϑ
= ϑ− ϑ π ϑ
∫
(6.20)

,2
2 2
td
Q C bq= π = π
(6.21)
Nếu biên kín
0 ,2
0 0
td
Qϑ = → =
Từ (6.19):
2
2 2
td td
Q Q
N
rsin r sin
ϑ
ϕ
= =
π ϑ π ϑ

(6.22)
Nội lực
N
ϕ
xác định theo (6.14).
Nếu xét trong hệ tọa độ trụ với tọa độ cong
zα =
,
β = ϕ
thì
( )
( )
1/ 2
2
1 'A r= +
97
và
( )
B r z=
, tiến hành tương tự như trên nhận được:
( )
( )
( )
( )
1/ 2
2
1 '
'
o
z

r
z
r
N z r p r p dz C
r
ϑ ϑ
+
 
= − − +
 
 
 
∫
(6.23)
( )
( )
( )
( )
''
1/ 2
2
2
.
1 '
1 '
r
r r
N z N r r p
r
ϕ ϑ

= − + +
+
(6.24)
trong đó:
( )
r r z=
- phương trình đường cong kinh
tuyến;
o
z
- tọa độ biên vỏ;
'r
,
''r
- đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của
r
;
C
- hằng số tích phân xác định tại biên
o
z

khi có tải trọng tác dụng tại biên, nếu không có
tải trọng tác dụng tại biên thì
0C =
.
6.4.3. Tính vỏ cầu chịu tải trọng đối xứng trục
Để xác định tổng tải trọng
td
Q

lên phương thẳng đứng do tải trọng bản thân
và trọng lượng chất lỏng, trước hết cần xác định diện tích và thể tích của vỏ cầu.
Thể tích
V
và diện tích
U
của chỏm
cầu, hình 6-6, được xác định theo công thức:

( )
2
0
1
3
3
V h r h= π −
(6.25)

( )
2 2
0
2U r h r h= π = π +
(6.26)
Với toàn bộ vỏ cầu:
3
0
4
3
V r= π
(6.27)

2
0
4U r= π
(6.28)
Dưới đây, xác định lực màng của vỏ cầu trong một số trường hợp:
1. Vỏ cầu chịu tải trọng bản thân
Ký hiệu
V
p
là tải trọng bản thân kết cấu vỏ trên một đơn vị diện tích,
2
/N m
 
 

thì tổng tải trọng
td
Q
của chỏm cầu, hình 6-7, được xác định bằng công thức:
( )
2
0 0
2 2 1
td V V V
Q p U p r h p r cos= − = − π = − π − ϑ
(6.29)
thay vào (6.22) và chú ý
0
r r sin= ϑ
:

98
Hình 6-6. Vỏ cầu.
Hình 6-7. Vỏ chóp cầu.

( )
2
0
0
2 1
2 2 1
V
td V
p r cos
Q p r
N
rsin rsin cos
ϑ
π − ϑ
= = − = −
π ϑ π ϑ + ϑ
(6.30)
Từ (6.14), lực dọc
N
ϕ
theo phương tiếp tuyến với đường cong vĩ tuyến
được xác định bằng công thức:
0
1
1
V

N p r cos
cos
ϕ
 
= − ϑ−
 ÷
+ ϑ
 
(6.31)
Nhận xét:
- Từ (6.30), lực dọc
N
ϑ
theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến
luôn luôn là lực nén với mọi giá trị
ϑ
, tăng từ đỉnh vòm đến đáy, trừ khi
0
180ϑ =

thì
0N
ϑ
=
.
- Từ (6.31), lực dọc
N
ϕ
có thể mang dấu (-) chịu nén hoặc mang dấu (+)
chịu kéo. Khi

ϑ
thay đổi từ
0
0ϑ =
đến
0 '
51 49ϑ =
, lực dọc
N
ϕ
là lực nén và khi
0 '
51 49ϑ >
lực dọc
N
ϕ
là lực kéo. Nhận xét này cần chú ý đến khi vỏ được chế tạo
bằng vật liệu bê tông.
- Khi
0
90ϑ =
thì
0V
N p r
ϑ
= −
và
0V
N p r
ϕ

=
. Tại
đỉnh vòm cầu
0ϑ =
nên
0
2
V
p r
N N
ϑ ϕ
= = −
.
2. Vỏ cầu chứa chất lỏng
Xét vỏ cầu chứa chất
lỏng đặt trên vành tựa tại
0
ϑ = ϑ
, hình 6-8.
a. Xét vỏ cầu phía trên vành tựa
0
ϑ < ϑ
Trước hết cần xác định tổng tải trọng
td
Q
từ
0ϑ = → ϑ
theo phương thẳng
đứng. Tải trọng pháp tuyến do chất lỏng gây ra, hình 6-8:
( )

0
1
r
p h r cos= γ = γ − ϑ
(6.32)
Từ (6.20),
( )
0 0 0
0
1 2
td
Q r cos cos r sin r d
ϑ
= γ − ϑ ϑ π ϑ ϑ =
∫
99
Hình 6-8.
( )
3 3 2
0 0
0
1 2
2 1 1
3 3
r cos cos sin d r cos cos
ϑ
 
 
= πγ − ϑ ϑ ϑ ϑ = πγ − ϑ − ϑ
 ÷

 
 
 
∫
(6.33)
thay vào (6.22):
2
2
0
2
1
2 6 1
td
Q r
cos
N
rsin cos
ϑ
 
γ
ϑ
= = −
 ÷
π ϑ + ϑ
 
(6.34)
thay
r
p
và

N
ϑ
vào (6.14)
2
2
0
2
5 6
6 1
r
cos
N cos
cos
ϕ
 
γ
ϑ
= − ϑ+
 ÷
+ ϑ
 
(6.35)
b. Xét vỏ cầu phía dưới vành tựa
0
ϑ ≥ ϑ
Tổng tải trọng
td
Q
, hình 6-9, được xác
định bằng công thức:

,0 0td td
Q Q R= +
(6.36)
trong đó:
,0td
Q
- tổng tải trọng từ
0ϑ = → ϑ
xác định
theo (6.33);
0
R
- tổng phản lực ở liên kết tựa, chính là
trọng lượng chất lỏng chứa trong vỏ.
3
0 0
4
3
R r= γπ
(6.37)
Thay (6.33) và (6.37) vào (6.36):

3 2 3
,0 0 0 0
1 2 4
1
3 3 3
td td
Q Q R r cos cos r
 

 
= + = π γ − ϑ − ϑ + π γ
 ÷
 
 
 
(6.38)
Thay (6.38) vào (6.22):
2
2
0
0
2
5
2 6 1
td
Q r
cos
N
r sin cos
ϑ
 
γ
ϑ
= = −
 ÷
π ϑ − ϑ
 
(6.39)
Từ (6.14),

( )
2
2
2
0
0
2
1 1 6
6 1
r
cos
N r cos N cos
cos
ϕ ϑ
 
γ
ϑ
= γ − ϑ − = − ϑ−
 ÷
− ϑ
 
(6.40)
Lực dọc
N
ϑ
có bước nhảy
N
ϑ
∆

tại
0
ϑ = ϑ
. Biểu thức
N
ϑ
∆
có thể nhận trực tiếp từ (6.39) hoặc (6.34) tại
0
ϑ = ϑ

hoặc từ (6.22):
0
0
2
R
N
rsin
ϑ
∆ =
π ϑ
, thay
0
R
từ (6.37) và
0 0
r r sin= ϑ
, nhận được:
100
Hình 6-9.

Hình 6-10.
2
0
2
0
2
3
r
N
sin
ϑ
γ
∆ =
ϑ
(6.41)
Từ hình 6-10, thành phần phản lực theo phương thẳng đứng
V
trên một đơn
vị dài theo chu vi:

2
0 0 0
0 0 0
2
2 2 3
R R r
V
r r sin sin
γ
= = =

π π ϑ ϑ
(6.42)
Bước nhảy
N
ϑ
∆
trên một đơn vị dài:

2
0
2
0 0
2
3
r
V
N
sin sin
ϑ
γ
∆ = =
ϑ ϑ
(6.43)
Thành phần phản lực
H
theo phương ngang tác
dụng lên vành, hình 6-11:
2
0 0
0

0
2
3
r cotg
H Vcotg
sin
γ ϑ
= ϑ =
ϑ
(6.44)
gây nên lực dọc trong vành:
3
0
0
2
.
3
r
N H r cotg
γ
= − = − ϑ
(6.45)
ứng suất trong vành tựa:
N
A
σ = −
(6.46)
với
A
là diện tích tiết diện vành tựa. Vành tựa chịu nén nên cần đảm bảo điều

kiện ổn định.
Đối với vỏ có đáy lồi, hình 6-12, bằng cách giải tương tự:
( )
0
0 0
1
3 1 2
6 1
r
cos
N h r cos
cos
ϑ
γ
− ϑ
 
= − + + ϑ
 
+ ϑ
 
(6.47)
( )
0
0 0
1
3 5 4
6 1
r
cos
N h r cos

cos
ϕ
γ
− ϑ
 
= + + ϑ
 
+ ϑ
 
(6.48)
Kết cấu này không gây mất ổn định cho vành tựa.
6.4.4. Tính vỏ nón chịu tải trọng đối xứng trục
Khi tính vỏ chịu trọng lượng bản thân và chất lỏng cần tính thể tích và diện
tích của vỏ. Thể tích
V
và diện tích
U
vỏ nón, hình 6-13, được xác định bằng
công thức:
2
1
3
V a h= π
(6.49)
101
Hình 6-11.
Hình 6-12.
Hình 6-13.
U al= π
(6.50)

Đối với vỏ nón
const
ϑ =
, bán kính cong
r
ϑ
tương ứng với đường sinh bằng
∞
. Từ phương trình thứ 3 của (6.3), lực dọc
N
ϕ
theo phương vòng:
1
r r
N p r p r
sin
ϕ ϕ
= =
ϑ
(6.51)
Lực dọc
N
ϑ
theo phương đường sinh được tính theo (6.22).
Dưới đây xét một số trường hợp:
1. Xét vỏ nón chịu tải trọng bản thân, hình 6-13.
Thay
r V
p p cos= − ϑ
theo (6.10a) vào (6.51) và chú ý

.r s cos= ϑ
, nhận được:
2
.
V V
cos
N p r cotg p s
sin
ϕ
ϑ
= − ϑ = −
ϑ
(6.52)
Từ (6.22)

.
2 2 2
td V V
Q rsp p s
N
rsin rsin sin
ϑ
π
= = − = −
π ϑ π ϑ ϑ
(6.53)
2. Xét vỏ nón cụt chịu tải trọng bản thân vỏ và
trọng lượng vành tựa, hình 6-14.
a. Do tải trọng bản thân vỏ
Lực dọc

N
ϕ
theo phương vòng xác định theo (6.52). Tổng tải trọng
td
Q
do
tải trọng bản thân vỏ với chú ý
r scos
= ϑ
và
0 0
r s cos= ϑ
:
( )
( )
2 2
0 0 0
. .
td V V
Q p r s r s p cos s s= −π − = −π ϑ −
(6.54)
thay vào (6.22),

2 2
0
2 2
td V
V
Q p s s
N

rsin sin s
ϑ
−
= = −
π ϑ ϑ
(6.55)
b. Do trọng lượng bản thân vành tựa
Từ (6.51), tải trọng bản thân vành tựa
F
không gây lực dọc
N
ϕ
, nghĩa là
0
F
N
ϕ
=
. Lực dọc
N
ϑ
được xác định từ (6.22):
2 . 2
D
F F
N
rsin s sin
ϑ
= − = −
π ϑ π ϑ

Lực dọc tổng do tải trọng bản thân vỏ và vành tựa:
102
Hình 6-14.
Hình 6-15.
2 2
0
2 . 2
V
V D
p s s
F
N N N
sin s s sin
ϑ ϑ ϑ
−
= + = − −
ϑ π ϑ
(6.56)
2
.
V V
cos
N p r cotg p s
sin
ϕ
ϑ
= − ϑ = −
ϑ
(6.57)
Tính tải trọng tác dụng trên một đơn vị chu vi của vành tựa phía trên và

phía dưới, hình 6-15:
- Ở vành tựa trên:
0
2
h
F
p qcotg cotg
r
= ϑ = ϑ
π
nên lực nén trong vành tựa:

0
2
h h
F
N p r cotg= − = − ϑ
π
(6.58)
- Ở vành tựa dưới:
d
p N cos
ϑ
= ϑ
nên lực kéo trong vành tựa:
2 2
0
2 . 2
V
d d d d d

p s s
F
N p r N r cos r cos
sin s s sin
ϑ
 
−
= = ϑ = + ϑ
 ÷
ϑ π ϑ
 
(6.59)
6.5. TÍNH VỎ XOAY CHỊU TẢI TRỌNG TỔNG QUÁT
Trong trường hợp vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, tải trọng và nội lực
chỉ phụ thuộc biến
ϑ
(theo đường cong kinh tuyến) mà không phụ thuộc biến
ϕ

theo phương vòng. Với trường hợp tải trọng không đối xứng trục, tải trọng và nội
lực phụ thuộc cả biến
ϑ
và
ϕ
.
Dưới đây giới thiệu cách giải bài toán vỏ xoay chịu tải trọng tổng quát với
tải trọng và nội lực được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier.
6.5.1. Phương trình cân bằng và nội lực
Hệ phương trình cân bằng của vỏ xoay, chịu tải trọng tổng quát được thiết
lập bằng cách rút

N
ϕ
từ phương trình đại số (6.6a), thay vào phương trình (6.6b),
(6.6c), nhận được:
( )
( )
r
N
S
r sin r r N cos r r r p sin p cos
ϑ
ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ ϑ ϑ
∂
∂
ϑ+ + ϑ+ = − ϑ− ϑ
∂ϑ ∂ϕ
(6.60a)
2
r
N
pS
r sin r Scos r r r p sin
ϑ
ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ
∂  
∂∂
ϑ+ ϑ− = − ϑ+
 ÷
∂ϑ ∂ϕ ∂ϕ
 

(6.60b)
Để tránh việc giải phương trình đạo hàm riêng bậc 2 khi khử lực trượt
S
,
tải trọng và nội lực được khai triển dưới dạng chuỗi Fourier:
0 1
r rn rn
n n
p p cosn p sinn
∞ ∞
= =
= ϕ+ ϕ
∑ ∑
(6.61a)
0 1
n n
n n
p p cosn p sinn
∞ ∞
ϑ ϑ ϑ
= =
= ϕ+ ϕ
∑ ∑
(6.61b)
103
1 0
n n
n n
p p sinn p cosn
∞ ∞

ϕ ϕ ϕ
= =
= ϕ + ϕ
∑ ∑
(6.61c)
trong đó
rn
p
,
n
p
ϑ
,
n
p
ϕ
và
rn
p
,
n
p
ϑ
,
n
p
ϕ
chỉ là hàm của biến
ϑ
; tổng thứ nhất biểu

diễn tải trọng đối xứng, tổng thứ hai biểu diễn tải trọng phản đối xứng qua mặt
phẳng kinh tuyến tại
0ϕ =
, hình 6-16.
Tương tự cho nội lực:

0 1
n n
n n
N N cosn N sinn
∞ ∞
ϑ ϑ ϑ
= =
= ϕ+ ϕ
∑ ∑
(6.62a)

0 1
n n
n n
N N cosn N sinn
∞ ∞
ϕ ϕ ϕ
= =
= ϕ+ ϕ
∑ ∑
(6.62b)

1 0
n n

n n
S S sinn S cosn
∞ ∞
= =
= ϕ+ ϕ
∑ ∑
(6.62c)
Thay (6.61), (6.62) vào (6.60) nhận
được hệ phương trình cân bằng vi phân
thường, ví dụ cho trường hợp tải trọng
đối xứng với thành phần thứ
n
:
( )
1
n n
n n rn
r r
dN S
N cotg n r p p cotg
d r r sin
ϕ ϕ
ϑ
ϑ ϕ ϑ
ϑ ϑ
 
+ + ϑ+ = − + ϑ
 ÷
ϑ ϑ
 

(6.63a)
2
n n
n n rn
r
dS N
n
S cotg n r p p
d r sin sin
ϕ
ϑ
ϕ ϕ
ϑ
 
+ ϑ+ = − +
 ÷
ϑ ϑ ϑ
 
(6.63b)
Trường hợp tải trọng phản đối xứng, hệ phương trình cân bằng có dạng
tương tự (6.63) với việc thay tải trọng, nội lực là các thành phần phản đối xứng,
ví dụ
rn rn
p p→
,
n n
N N
ϑ ϑ
→
,

Việc giải (6.63) đối với vỏ cầu, vỏ trụ và vỏ nón dễ dàng. Dưới đây chỉ
nghiên cứu tính vỏ xoay với 01 thành phần chuỗi của tải trọng. Nghiệm của bài
toán xác định bằng phương pháp chồng nghiệm.
6.5.2. Trạng thái màng của vỏ cầu chịu tải trọng tổng quát
Xét trường hợp tải trọng đối xứng, thay
0
r r r
ϑ ϕ
= =
vào (6.63), sau khi biến
đổi nhận được:
( )
0
2
n
n n n rn
dN
n
N cotg S r p p cotg
d sin
ϑ
ϑ ϑ
+ ϑ+ = − + ϑ
ϑ ϑ
(6.64a)
0
2
n
n n n rn
dS

n n
S cotg N r p p
d sin sin
ϑ ϕ
 
+ ϑ+ = − +
 ÷
ϑ ϑ ϑ
 
(6.64b)
Đổi biến và đặt:
n n n
U N S
ϑ
= +

n n n
V N S
ϑ
= −
(6.65)
104
Hình 6-16.
thay vào (6.64) nhận được 2 phương trình độc lập với
n
U
và
n
V
:

0
2 0
n
n n n rn
dU
n n cos
cotg U r p p p
d sin sin
ϑ ϕ
+ ϑ
   
+ ϑ+ + + − =
 ÷  ÷
ϑ ϑ ϑ
   
(6.66a)
0
2 2 0
n
n n n rn
dV
n n cos
cotg V r p p p
d sin sin
ϑ ϕ
− ϑ
   
+ ϑ− + − + =
 ÷  ÷
ϑ ϑ ϑ

   
(6.66b)
Cả 2 phương trình của (6.66) có dạng:
( ) ( )
'
0y P x y Q x+ + =
(6.67)
nghiệm của (6.67) có dạng:
( ) ( )
( )
P x dx P x dx
y C Q x e dx e
−
 
∫ ∫
= −
 
 
∫
(6.68)
với
C
là hằng số tích phân.
Sử dụng (6.68) cho (6.66), ví dụ cho phương trình (6.66a) và so sánh với
(6.67):
2
n
P cotg
sin
= ϑ+

ϑ

0 n n rn
n cos
Q r p p p
sin
ϑ ϕ
+ ϑ
 
= + −
 ÷
ϑ
 
chú ý là:
lg /2
2
d
n
n tg n
sin
e e tg
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
∫
= =
và
2
2lg 2

cotg d
sin
e e sin
ϕ ϕ
ϕ
∫
= = ϕ
sau khi biến đổi nhận được:
2
0
2
2
2
n
n
n Un n n rn
cotg
n cos
U C r p p p sin tg d
sin sin
ϑ ϕ
ϑ
 + ϑ ϑ 
 
= − + − ϑ ϑ
 ÷
 
ϑ ϑ
 
 

∫
(6.69a)
2
0
2
2
2
n
n
n Vn n n rn
tg
n cos
V C r p p p sin cotg d
sin sin
ϑ ϕ
ϑ
 − ϑ ϑ 
 
= − − − ϑ ϑ
 ÷
 
ϑ ϑ
 
 
∫
(6.69b)
trong đó,
Un
C
,

Vn
C
là hằng số tích phân. Từ (6.65):
2
n n
n
U V
N
ϑ
+
=

2
n n
n
U V
S
−
=
(6.70)
Dưới đây sử dụng các công thức trên, xét trường hợp vỏ cầu chịu tải trọng
gió. Trong trường hợp này, có thể xem tải trọng là đối xứng qua mặt phẳng kinh
tuyến tại
0ϕ =
, tính gần đúng với 1 thành phần của chuỗi:
0p p
ϑ ϕ
= =
;
1r r V

p p cos p sin cos= ϕ = − ϑ ϕ
(1)
So sánh với (6.61):
1n
=
,
1rn r V
p p p sin= = − ϑ
(2)
Tải trọng
V
p
là tích áp lực gió và diện tích đón gió. Thay (1) vào (6.69):
105
( )
2
1 1 0
2
2
1
2
U V
cotg
U C r p cos sin tg d
sin
ϑ
ϑ
 
= − + ϑ ϑ ϑ
 

ϑ
 
∫
(3)
( )
2
1 1 0
2
2
1
2
V V
tg
V C r p cos sin cotg d
sin
ϑ
ϑ
 
= + − ϑ ϑ ϑ
 
ϑ
 
∫
(4)
chú ý
1
2 1
cos
tg
cos

ϑ − ϑ
=
+ ϑ
thì từ (3):
( )
2
3
1 1 0
3
1
1
1
U V
cos
cos
cos
U C r p sin d
sin
+ ϑ
− ϑ
− ϑ
 
= − ϑ ϑ
 
ϑ
∫
Sau khi tích phân và biến đổi:
3
1 1 0
3

1
3
U V
cos cos
U C r p cos
sin
 
 
+ ϑ ϑ
= + ϑ−
 
 ÷
ϑ
 
 
(5)
tiến hành tương tự:
3
1 1 0
3
1
3
V V
cos cos
V C r p cos
sin
 
 
− ϑ ϑ
= − ϑ−

 
 ÷
ϑ
 
 
(6)
thay (5), (6) vào (3.70):
1 1
1
2
U V
N N cos cos
ϑ ϑ
+
= ϕ = ϕ =
( ) ( )
3
0
3
2
2 3
U V U V V
cos cos
C C C C cos r p cos cos
sin
 
 
ϕ ϑ
= + + − ϑ+ ϑ ϑ−
 

 ÷
ϑ
 
 
(7)
1 1
1
2
U V
S S sin sin
−
= ϕ = ϕ =

( ) ( )
3
0
3
2
2 3
U V U V V
sin cos
C C C C cos r p cos
sin
 
 
ϕ ϑ
= − + + ϑ+ ϑ−
 
 ÷
ϑ

 
 
(8)
Do tải trọng phân bố liên tục và có giá trị hữu hạn nên
N
ϑ
và
S
phải có giá
trị hữu hạn ở tất cả các điểm trên mặt vỏ, kể cả tại điểm
0ϑ =
. Do đó, từ (7), biểu
thức trong
[ ]
của
N
ϑ
khi
0
ϑ =
phải bằng không:
( ) ( )
3
0
0
2 0
3
U V U V V
cos
C C C C cos r p cos cos

ϑ=
 
 
ϑ
+ + − ϑ+ ϑ ϑ− =
 
 ÷
 
 
rút ra:
0
2
3
U V
C r p= −
(9)
đạo hàm bậc nhất biểu thức trong
[ ]
:
106
[ ]
( )
3
3
0
2
3
U V V
d cos
C C sin r p sin cos cos sin

d
 
 
ϑ
 
= − ϑ− ϑ ϑ− + ϑ ϑ
 
 ÷
ϑ
 
 
 
với
0
ϑ =
, biểu thức trên bằng không nên không xác định được hằng số tích phân.
Đạo hàm tiếp:
[ ]
( )
2 3
4 2 2
0
2
2 2 3
3
V U V
d cos
C C cos r p cos cos sin cos sin
d
 

 
ϑ
 
= − ϑ− ϑ ϑ − − ϑ+ ϑ ϑ
 
 ÷
ϑ
 
 
 
với
0ϑ =
, nhận được:
[ ]
( )
2
0
2
0
1
2 1
3
V U V
d
C C r p
d
ϑ=
 
= − − −
 ÷

ϑ
 
rút ra
0
4
3
V U V
C C p r− =
, thay
U
C
theo (9), nhận được:
0
2
3
V V
C p r=
(10)
thay
U
C
và
V
C
vào (7), (8):
2 4
0
3
2 3
2 2

V
p r
cos
N cos cos cos
sin
ϑ
ϕ
 
= − ϑ− ϑ+ ϑ
 
ϑ
(11)
3
0
3
2 3
2 2
V
p r
sin
S cos cos
sin
ϕ
 
= − − ϑ+ ϑ
 
ϑ
(12)
Do
0r

N N p r
ϑ ϕ
+ =
nên
0r
N p r N
ϕ ϑ
= −
, thay
r
p
từ (1) nhận được:
( )
2 4
0 0
3
1
2 3
2
V V
N p r sin cos N p r cos cos cos cos sin
sin
ϕ ϑ
 
= − ϑ ϕ− = ϕ ϑ− ϑ+ ϑ − ϑ
 
ϑ
 
(13)
Tại

0ϑ =
biểu thức xác định nội lực có dạng vô định
0
0
, sử dụng qui tắc
Lopitan, nhận được:
0N N S
ϑ ϕ
= = =
.
6.5.3. Trạng thái màng của vỏ nón chịu tải trọng tổng quát
Xét vỏ nón chịu tải trọng tổng quát, hình 6-17, với thay biến
sϑ →
và:
r
ϑ
→ ∞
,
constα = ϑ =
,
.r s cos= ϕ
,
.r s cotg
ϕ
= ϑ
,
r d ds
ϕ
ϑ =
Với các tham số hình học của vỏ nón, hệ phương trình cân bằng theo lý

thuyết phi mô men (6.6) có dạng, [21]:
r
N p scotg
ϕ
= α
(6.71a)

( )
1
0
s
s
N s
S
N p s
s cos
ϕ
∂
∂
+ − + =
∂ ∂ϕ α
(6.71b)
( )
.
1
0
N
S s
S p s
s cos

ϕ
ϕ
∂
∂
+ + + =
∂ ∂ϕ α
(6.71c)
107
Hình 6-17.
Từ (6.71a) rút ra: lực màng
N
ϕ
theo phương vòng có thể tính trực tiếp không
phụ thuộc
s
N
và
S
.
Nghiệm của (6.71) tìm dưới dạng chuỗi (6.62) tương ứng với tải trọng khai
triển ra chuỗi Fourie (6.61), khi đó hệ phương trình cân bằng (6.71) chỉ phụ
thuộc biến s.
Lực màng
N
ϕ
theo phương vòng tương ứng với thành phần tải trọng thứ
n
,
từ (6.71a) có dạng:
n rn

N p scotg
ϕ
= α
(6.72)
thay (6.72) vào phương trình (6.71b), (6.71c) nhận được hệ 2 phương trình vi
phân thường chỉ phụ thuộc biến
s
:
1
.
sn
sn n sn rn
dN
n
N S p p cotg
ds s s cos
+ + = − + α
α
(6.73a)
2
n
n n rn
dS
n
S p p
ds s sin
ϕ
+ = − +
α
(6.73b)

Áp dụng (6.68), từ (6.73b) suy ra:
2 2ds ds
s s
n n n rn
n
S e A p p e ds
sin
−
ϕ
 
 
 
 
∫ ∫
= − −
 
 
 ÷
α
 
 
 
 
∫
Sau khi tích phân
2
2
1
n n n rn
n

S A p p s ds
s sin
ϕ
 
 
= − −
 
 ÷
α
 
 
∫
(6.74)
Tương tự cho (6.73a):
1
sn n n sn rn
n
N B S sp sp cotg ds
s cos
 
 
= − + − α
 ÷
 
α
 
 
∫
(6.75)
Trình tự tính toán như sau: tính

n
S
theo (6.74), thay vào (6.75) xác định
sn
N
. Các hằng số tích phân
n
A
,
n
B
xác định từ điều kiện biên.
Xét vỏ nón chịu tải trọng pháp tuyến (tải trọng gió)
rn
p psin cos= − α ϕ
(
rn
p psin= − α
,
1n =
). Từ (6.72):
. . .
n rn
N p s cotg p s cos
ϕ
= α = − α
(1)
từ (6.74), lực trượt:
( )
2 3

1 1
2 2
1 1 1
3
n
S A p s ds A ps
s s
 
= − = −
 ÷
 
∫
(2)
thay vào (6.75):
2
1 1 1
1
2 2
1 . 1 1 1
. . . .
3 3 2
sn
A B Ap s
N B p s cos ds p s sin
s s cos cos s cos s
   
 
 
= − − + α = − − + − α
 ÷

 ÷
   
α α α
  
  
∫
(3)
108
Các hằng số tích phân
1
A
,
1
B
được xác định từ điều
kiện biên.
- Xét vỏ có liên kết như trên hình 6-18. Lực
màng
N
ϕ
tính theo (1) theo phương vòng không
đổi và không phụ thuộc liên kết tựa. Hằng số tích
phân
1
A
trong (2) nhận được từ điều kiện tại đỉnh
nón,
0s
=
(điểm kỳ dị), lực trượt

n
S
có giá trị hữu
hạn nên
1
0A =
. Tương tự, từ (3):
1
0B =
.
Từ (6.62) và (2), (3):
1
. .
3
n
S S sin p s sin= ϕ = − ϕ
(4)
( )
2
.
2 3
6
s sn
p s
N N cos sin cos= ϕ = − − α ϕ
(5)
- Xét vỏ có liên kết như trên hình 6-19. Lực màng
N
ϕ
theo phương vòng

không đổi và không phụ thuộc liên kết tựa. Từ điều kiện biên, tại
s l=
lực trượt
0
n
S =
nên từ (2) rút ra:
3
1
1
3
A pl=
, thay vào (2) và chú ý (6.62):
3 3
2
1
3
n
l s
S S sin p sin
s
−
= ϕ = ϕ
(6)
thay
s l=
vào (3) và chú ý
( )
0
sn

N l =
, rút ra:
2 2
1
1
2
B pl sin
cos
= − α
α
, thay vào (3), sau khi biến đổi:
3 3 2 2
2
2
3 2
s sn
p l s l s
N N cos sin cos
cos s s
 
− −
= ϕ = − α ϕ
 ÷
α
 
(7)
Tại
0s
=
là điểm kỳ dị bậc 2, tương ứng tại đỉnh, lực nằm ngang và mô

men xác định từ điều kiện cân bằng với ngoại lực và điều kiện liên kết giữa vỏ và
cột.
6.6. XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG CỦA VỎ XOAY
6.6.1. Quan hệ biến dạng chuyển vị
Trong tính toán thiết kế, ngoài việc xác định trạng thái ứng suất, nội lực cần
xác định biến dạng và chuyển vị của vỏ.
Chuyển vị của vỏ gồm 03 thành phần:
109
Hình 6-18.
Hình 6-19.
- Chuyển vị
u
theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ
α = ϑ

(đường cong kinh tuyến);
- Chuyển vị
v
theo phương tiếp tuyến với đường cong tọa độ
β = ϕ

(đường cong vĩ tuyến);
- Chuyển vị
w
theo phương pháp tuyến được qui ước dương như trên
hình 6-20.
Để xác định biến dạng và chuyển vị, giả thiết đã biết
N
ϑ
,

N
ϕ
,
S
. Từ định
luật Hook theo lý thuyết đàn hồi, các thành phần biến dạng trong trạng thái màng
được xác định qua nội lực bằng công thức:
( )
1
N N
E
ϑ ϑ ϕ
ε = −µ
δ
( )
1
N N
E
ϕ ϕ ϑ
ε = −µ
δ
( )
2 1
S
E
+µ
γ =
δ
(6.76)

Hình 6-20.
Trước hết cần xác định quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, sau đó sử
dụng (6.76) có thể xác định chuyển vị qua các thành phần nội lực.
Ký hiệu chiều dài phân tố theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh
tuyến là
AC ds
ϑ
=
và chiều dài phân tố theo phương tiếp tuyến với đường cong vĩ
tuyến là
AB ds
ϕ
=
. Sau biến dạng điểm A chuyển dịch đến điểm A’ tương ứng
với các thành phần chuyển vị:
u
,
v
,
w
.
Nếu điểm A chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường kinh tuyến là
u

thì điểm C có chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến:
u
u d u ud
∂
+ ϑ = + ϑ
∂ϑ

&
(dấu chấm (
.
*
) là đạo hàm theo biến
ϑ
).
110
Nếu điểm A chuyển vị theo phương pháp tuyến là
w
thì điểm C có chuyển
vị theo phương pháp tuyến:
w
w d w wd
∂
+ ϑ = + ϑ
∂ϑ
&
1. Xác định biến dạng
ϑ
ε
: Để biểu diễn biến dạng
ϑ
ε
theo phương tiếp tuyến với
đường cong kinh tuyến qua chuyển vị
w
và
u
, cần tìm

'
ds
ϑ
(sau biến dạng) biểu
diễn qua các thành phần biến dạng này. Từ hình 6-20, nếu bỏ qua chuyển vị
3 'C

so với bán kính cong
r
ϑ
thì từ 02 tam giác đồng dạng
( )
012∆
và
( )
0 ' 'A C∆
:
( )
'
12
ds r w
r
ϑ ϑ
ϑ
+
=
Đoạn
( )
12
bằng

ds u ud u ds ud
ϑ ϑ
+ + ϑ− = + ϑ
& &
, thay biểu thức này vào biểu thức
trên, rút ra:
( ) ( )
'
1
r w
w
ds ds ud ds ud
r r
ϑ
ϑ ϑ ϑ
ϑ ϑ
 
+
= + ϑ = + + ϑ
 ÷
 
& &
Biến dạng
'
ds ds ds
ds ds
ϑ ϑ ϑ
ϑ
ϑ ϑ
∆ −

ε = =
, thay
'
ds
ϑ
vào và chú ý
ds r d
ϑ ϑ
= ϑ
, sau khi biến
đổi nhận được:
1
1
w
w u
r r
ϑ
ϑ ϑ
 
 
ε = + +
 
 ÷
 
 
&
bỏ qua
w
r
ϑ

(nhỏ so với đơn vị) thì:

( )
1 1 u
w u w
r r
ϑ
ϑ ϑ
∂
 
ε = + = +
 ÷
∂ϑ
 
&
(6.77)
2. Xác định thành phần biến dạng
ϕ
ε

theo phương tiếp tuyến với đường cong
vĩ tuyến (phương vòng).
Hình chiếu chuyển vị
r∆
của điểm
A (dịch chuyển đến điểm A’) lên phương
vuông góc với trục vỏ, hình 6-21 là:
. .r u cos w sin∆ = ϑ+ ϑ
(6.78)
Để xác định

'
ds
ϕ
sử dụng 02 tam
giác đồng dạng
( )
12S∆
và
( )
' '
SA B∆
, hình 6-20, rút ra:
'
. .
12
ds
r u cos w sin
r
ϕ
+ ϑ+ ϑ
=
.
Từ hình 6-21, chiều dài đoạn
12
bằng
'
v
ds d ds v d
ϕ ϕ
∂

+ ϕ = + ϕ
∂ϕ
, suy ra:
111
Hình 6-21.
( )
' '
1
u w
ds ds v d cos sin
r r
ϕ ϕ
 
= + ϕ + ϑ+ ϑ
 ÷
 
. Sau khi biến đổi và bỏ qua
u
r
và
w
r
so với
đơn vị và chú ý
.r r sin
ϕ
= ϑ
nhận được:
( ) ( )
'

' '
1 1
. . .
ds ds
v u cos w sin v w u cotg
ds r r
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
−
ε = = + ϑ+ ϑ = + + ϑ
(6.79)
(dấu phảy
( )
'
*
là đạo hàm * theo biến
ϕ
)
3. Xác định biến dạng trượt
γ
: Để xác định biến dạng trượt
γ
, khảo sát sự thay
đổi của góc vuông của phân tố trước và sau biến dạng giữa các cạnh
AB ds
ϕ
=
và
AC ds

ϑ
=
của phân tố vỏ, hình 6-22.
Khi điểm A chuyển vị đến A’, chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong
vĩ tuyến là
v
(phương vòng), chuyển vị theo phương tiếp tuyến với đường cong
kinh tuyến là
u
. Điểm
B chuyển vị đến điểm
B’ với chuyển vị
'v v d+ ϕ
và
'u u d+ ϕ
.
Tương tự, điểm C
chuyển vị đến điểm
C’ với chuyển vị
'v v d+ ϑ
và
'u u d+ ϑ
.
Biến dạng trượt
γ
là tổng góc xoay
của các cạnh
ds
ϕ
và

ds
ϑ
:
1 2
γ = γ + γ
Từ hình 6-22:
'
' '
1
'
'
1
u
u d u
r
v
rd v d r
r
ϕ
γ = =
ϕ+ ϕ
+
B
(6.80)
Trong biểu thức này bỏ qua
'
v
r
so với đơn vị. Tương tự:
2

r dr
v vd v
v v dr
r
r d r r r d
ϑ ϑ ϑ
+
+ ϑ−
γ = = −
ϑ ϑ
&
&
(6.81)
112
Hình 6-23.
Hình 6-22.
Từ hình 6-23,
dr ds cos r cos d
ϑ ϑ
= ϑ = ϑ ϑ
, rút ra,
dr
r cos
d
ϑ
= ϑ
ϑ
(6.82)
Thay (6.82) vào (6.81), nhận được:
2

v v
cos
r r
ϑ
γ = − ϑ
&
(6.83)
Biến dạng trượt
γ
bằng tổng (6.80) và (6.83):
'
1 2
v v u
cos
r r r
ϑ
γ = γ + γ = − ϑ+
&
(6.84)
Với chú ý
r r sin
ϕ
= ϑ
, từ (6.84):
'
1 2
1v v u
cotg
r r r sin
ϑ ϕ ϕ

γ = γ + γ = − ϑ+
ϑ
&
(6.85)
Các biểu thức (6.77), (6.79) và (6.85) xác định các thành phần biến dạng
qua các chuyển vị
u
,
v
,
w
. Sử dụng (6.76) xác định được các thành phần nội lực
N
ϑ
,
N
ϕ
,
S
qua các chuyển vị
u
,
v
,
w
.
6.6.2. Chuyển vị của vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục
Giải hệ phương trình (6.6) xác định được nội lực
N
ϑ

,
N
ϕ
,
S
và từ (6.76)
xác định được các thành phần biến dạng
ϑ
ε
,
ϕ
ε
,
γ
sau đó sử dụng (6.77), (6.79)
và (6.85) sẽ xác định được các thành phần chuyển vị.
Trong mục này dẫn ra biểu thức xác định chuyển vị của vỏ xoay chịu tải
trọng đối xứng trục.
Với vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục, rút ra các nhận xét:
- Đường tròn vĩ tuyến sau biến dạng vẫn có dạng hình tròn nên chuyển vị
theo phương tiếp tuyến với đường tròn vĩ tuyến
0v
=
- Góc trượt
0 0Sγ = → =
- Đạo hàm theo biến
ϕ
bằng không. Chuyển vị
u
,

w
và nội lực
N
ϑ
,
N
ϕ
không thay đổi theo phương vòng, nghĩa là không phụ thuộc biến tọa độ cong
ϕ
.
Từ (6.77) và (6.79),
1 du
w
r d
ϑ
ϑ
 
ε = +
 ÷
ϑ
 
(6.86)
( )
1
.w u cotg
r
ϕ
ϕ
ε = + ϑ
(6.87)

Khử
w
từ (6.86) và (6.87):
113
2
1 1
.
r r
du du cos d u
u cotg u
sin sin d sin d sin d sin
ϑ ϑ ϕ ϕ
ε − ε
ϑ
 
= − ϑ = − =
 ÷
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ
 
và rút ra:
r r
u sin d C
sin
ϑ ϑ ϕ ϕ
ε − ε
 
= ϑ ϑ+
 
ϑ
 

∫
(6.88)
Thay vào (6.87)
.
r r
w r u cotg r cos d C
sin
ϑ ϑ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ε − ε
 
= ε − ϑ = ε − ϑ ϑ+
 
ϑ
 
∫
(6.89)
Thí dụ xác định chuyển vị của vỏ cầu chịu áp lực khí
p
. Trong trạng thái
phi mô men, lực màng của vỏ cầu
0
2
pr
N N= =
ϑ ϕ
nên biến dạng
=
ϑ ϕ
ε ε

, nên giá
trị biểu thức tích phân trong (6.88) bằng không, do đó:
u Csin
=
ϑ
. Biểu thức
này xác định với mọi giá trị của
ϑ
. Hằng số tích phân
C
được xác định từ điều
kiện tại
0
=
ϑ
, chuyển vị
0u
=
nên
0C
=
và
0u
=
. Thay
u
vào (6.89) và chú ý
đến (6.76b), nhận được:
( ) ( )
2

0 0
0
1
1 . 1
2 2
pr pr
w r r
E E
= = − = −
ϕ ϕ
ε µ µ
δ δ
(6.90)
6.6.3. Xác định
r∆
và góc xoay
α
của vỏ xoay chịu tải trọng đối xứng trục
Trong tính toán vỏ, ngoài việc xác định nội lực
cần xác định gia số bán kính
r∆
và góc xoay
α
tiếp
tuyến với đường cong kinh tuyến, hình 6-24.
1. Xác định
r∆
Gia số bán kính
r
ϕ

∆
đối với vỏ xoay, chịu tải
trọng đối xứng trục được xác định trực tiếp từ biến
dạng:
r
r
ϕ
ϕ
ϕ
∆
ε =
. Gia số
r∆
là hình chiếu của
r
ϕ
∆
lên
phương vuông góc với trục vỏ, hình 6-24, nên:
r
r
∆
ε =
. Do vậy, rút ra:
.r r
ϕ
∆ = ε
, với
ϕ
ε

xác định qua nội lực, nhận được:
( )
r
r N N
E
ϕ ϑ
∆ = −µ
δ
(6.91)
2. Xác định góc xoay
α
Góc xoay
α
là góc hợp bởi tiếp tuyến với đường cong kinh tuyến tại điểm
A trước biến dạng và điểm A’ sau biến dạng, hình 6-20. Khi điểm A chuyển vị
114
Hình 6-24.
đến điểm 1 tương ứng với góc xoay
u
r
ϑ
và từ điểm 1 đến điểm A’ tương ứng với
góc xoay
dw dw
ds r d
ϑ ϑ
=
ϑ
. Góc xoay này ngược chiều với góc xoay
u

r
ϑ
theo chiều
dương của chuyển vị
dw
. Do đó:
1u dw dw
u
r r d r d
ϑ ϑ ϑ
 
α = − = −
 ÷
ϑ ϑ
 
(6.92)
Góc
α
là dương khi pháp tuyến hợp với trục vỏ góc:
α +ϑ > ϑ
. Ví dụ góc
α
trên hình 6-24 mang giá trị âm. Thay chuyển vị
u
,
w
từ (6.88), (6.89) vào
(6.92), nhận được:
( )
( )

1 1
d r
r r
dw
u sin d C r r cotg
r d r sin d
ϕ ϕ
ϑ ϑ ϕ ϕ
ϑ ϑ ϕ ϕ
ϑ ϑ

ε
 ε − ε
 

 
α = − = ϑ ϑ+ − − ε − ε ϑ +


 ÷
 ÷
ϑ ϑ ϑ
 


 


∫

( )
( )
1
d r
r r
sin d C r r cotg
sin r d
ϕ ϕ
ϑ ϑ ϕ ϕ
ϑ ϑ ϕ ϕ
ϑ
 
 ε
ε − ε 
 

+ ϑ ϑ+ = ε − ε ϑ−
 


 ÷
ϑ ϑ
 
 



 
∫
(6.93)

Biểu diễn qua nội lực:
( ) ( ) ( )
1 d
r N N r N N cotg r N N
E r d
ϑ ϑ ϕ ϕ ϕ ϑ ϕ ϕ ϑ
ϑ
 
   
α = −µ − −µ ϑ− −µ
 
   
δ ϑ
 
(6.94)
* Thí dụ 1: Xét vỏ cầu bán kính
0
r
chịu tải trọng pháp tuyến
p
, hình 6-25. Lực
màng xác định bằng công thức:
0
2 2
pr
pr
N N
sin
ϕ ϑ
= = =

ϑ
.
Thay vào (6.91),

( )
2
1
2
pr
r
E sin
∆ = −µ
δ ϑ
(6.95a)
Thay vào (6.94):
0
α =
(6.95b)
* Thí dụ 2: Xét với vỏ cầu chịu tải trọng bản thân
V
p
,
lực màng xác định theo công thức:
0
1
V
p r
N
cos
ϑ

= −
+ ϑ

0
1
1
V
N p r cos
cos
ϕ
 
= − ϑ−
 ÷
+ ϑ
 
Thay vào (6.91), (6.94) với chú ý
0
r r r
ϕ ϑ
= =
, nhận được:
( )
0
1
1
V
p rr
r
r N N cos
E E cos

ϕ ϑ
+µ
 
∆ = −µ = − − ϑ
 ÷
δ δ + ϑ
 
(6.96)
115
Hình 6-25.