G trình độ đo và tp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC

TRẦN VĂN ÂN, ĐINH HUY HỒNG

BÀI GIẢNG

ĐỘ ĐO - TÍCH PHÂN

VINH - 2017


MỤC LỤC

Mở đầu
Chương 1
1

2

iv
Bổ sung về lý thuyết tập hợp và lực lượng tập hợp

1

Tập hợp, các phép toán trên các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1

Khái niệm về tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Các phép toán trên các tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Lực lượng tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1

Khái niệm về lực lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.2

Bản số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.3

Tập hợp đếm được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.4

Tập hợp không đếm được, lực lượng continum . . . . . . . . . 10

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Chương 2
1

2

3

Độ đo

13

Đại số các tập hợp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Độ đo trên đại số các tập hợp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1

Định nghĩa, ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Độ đo sinh bởi thể tích các hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1

Phân hoạch theo kẻ ô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
i


ii

Bài giảng Độ đo - Tích phân
3.2

4

5

6

Độ đo sinh bởi thể tích các hình hộp . . . . . . . . . . . . . . 22

Độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1

Định nghĩa, ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Tập hợp đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.1

Tập hợp đo được theo Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2

Tập hợp đo được theo Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Độ đo Lebesgue trong Rn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.1

Tập hợp đo được Lebesgue trong Rn . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2

Đặc trưng của tập hợp đo được Lebesgue trong Rn . . . . . . 37

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Chương 3
1

2

3

4

5

Tích phân

41

Tích phân của các hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tích phân Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.1

Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2

Mối liên hệ giữa tổng Darbour và tích phân hàm đơn giản . . 46

Hàm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Tích phân của hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1

Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2

Chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . 54

Tích phân của hàm đo được tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1

Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2

Các tính chất của tích phân hàm đo được tùy ý . . . . . . . . 56


Mục lục
6

7

8

9

10

iii
Tích phân trên các tập đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1

Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.2

Tích phân khơng xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.2

Mối quan hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi . . 62

Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.1

Định lý về sự hội tụ bị chặn của Lebesgue . . . . . . . . . . . 64

8.2

Bổ đề Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Không gian L(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.1

Không gian L(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

9.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Mối quan hệ giữa tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . 68
10.1

So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue . . . . . . 68

10.2

Thuật toán Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Tài liệu tham khảo

75

MỞ ĐẦU

Học phần Độ đo - Tích phân đang được giảng dạy cho sinh viên ngành Toán
học tại Trường Đại học Vinh trong nhiều năm nay, nhưng giáo trình phù hợp với nó
chưa có. Để đáp ứng nhu cầu dạy và học chúng tơi biên soạn Giáo trình này theo
đúng tinh thần đề cương chi tiết đang được nhà trường phê duyệt.
Chương 1 nhằm nhắc lại một số kiến thức về lý thuyết tập hợp mà sinh viên đã
được học trước đây và bổ sung thêm một số khái niệm cần dùng cho các chương
sau. Chương 2 dành cho việc trình bày khái niệm độ đo và giải quyết bài tốn mở
rộng độ đo. Nhờ đó mà xây dựng khái niệm độ đo Lebesgue. Trong chương 3, dựa
vào khái niệm độ đo Lebesgue chúng tơi trình bày việc xây dựng tích phân Lebesgue
bằng việc xuất phát từ tích phân của hàm đơn giản và phương pháp chuyển qua giới
hạn. Sau mỗi chương đều có phần bài tập tương ứng với các vấn đề lý thuyết đạng
học. Hầu hết các bài tập ở đây được lựa chọn tương đối dễ để người học có thể tự
giải quyết được. Việc giải chúng chỉ cần áp dụng lý thuyết một cách trực tiếp. Tuy
nhiên, cúng có một số bài tập tương đối khó, dành cho những sinh viên khá, giỏi
làm quen với việc làm nài tập lớn và tập dượt nghiên cứu khoa học.
Giáo trình này được viết trên cơ sở bài giảng mà chúng tôi đã được giảng dạy
cho sinh viên trong nhiều năm gần đây. Tác giả xin chân thành cám ơn PGS.TS. Tạ
Quang Hải và PGS.TS. Tạ Khắc Cư đã đọc kỹ bản thảo, sửa chữa nhiều lỗi chính
tả và cho nhiều ý kiến quý báu để giáo trình được hồn chỉnh hơn.
Mặc dầu chúng tơi đã dành nhiều thời gian và sức lực cho giáo trình này, song
sự thiếu sót là khơng thể tránh khỏi. rất mong nhận được nhiều góp ý của bạn đọc
và đồng nghiệp.
CÁC TÁC GIẢ


CHƯƠNG 1
BỔ SUNG VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ LỰC

LƯỢNG TẬP HỢP

Chương này dành để trình bày những kiến thức cần thiết như: Tập hợp, các
phép toán trên các tâp hợp, lực lượng của tập hợp, bản số, tập hợp đếm được, tập
hợp không đến được, lực lượng continum cần dùng cho các trình bày ở các chương
sau.

1

Tập hợp, các phép toán trên các tập hợp

1.1

Khái niệm về tập hợp

Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó khơng được định nghĩa. Ta
có thể hiểu khái niệm này thơng qua các ví dụ sau:
Tập hợp các sinh viên trong một lớp;
Tập hợp N các số tự nhiên;
Tập hợp Z các số nguyên;
Tập hợp Q các số hữu tỷ;
Tập hợp R các số thực;
Tập hợp C các số phức;
Tập hợp gồm các bàn học trong một lớp;
Tập hợp các nghiệm của phương trình x2 = 1.
Như vậy, tập hợp được tạo nên bằng cách hợp nhất các đối tượng riêng lẻ thành
một đối tượng mới (gọi là tập hợp). Ta thường ký hiệu tập hợp bởi các chữ cái in
hoa A, B, C, M, N, . . . , X, Y, Z.

2

Giáo trình Độ đo - Tích phân

Các đối tượng riêng lẻ tạo nên tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp. Tập
hợp khơng có phần tử nào cả được gọi là tập hợp rỗng và ký hiệu là ∅.
Nếu a là phần tử của một tập hợp A thì ta viết là a ∈ A và nói là a thuộc tập
hợp A. Ta dùng ký hiệu a ∈
/ A để nói rằng a khơng phải là phần tử của tập hợp A
hay a không thuộc tập hợp A.
Nếu mỗi phần tử của tập hợp A là phần tử của tập hợp B thì ta nói rằng A là
tập hợp con của tập hợp B và ký ký hiệu là A ⊂ B hay B ⊃ A. Nếu tập hợp A là
tập con của tập hợp B và tập hợp B là tập con của tập hợp A, thì ta nói rằng hai
tập hợp A, B bằng nhau và viết là A = B.
Để cho một tập hợp ta có thể mơ tả tập hợp đó bằng cách cho biết đặc trưng
của các phần tử thuộc tập hợp đó hoặc liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp đó
nếu có thể được.
Ví dụ. Tập hợp A gồm 4 phần tử A = {1, 2, a, c};
Tập hợp B = {n ∈ Z : n chia hết cho 3}.

1.2

Các phép toán trên các tập hợp

Cho một họ các tập hợp {Ai }i∈I , với I là tập các chỉ số nào đó.
[
1.2.1 Hợp. Hợp của họ các tập hợp Ai , i ∈ I, kí hiệu bởi
Ai , là tập hợp gồm tất
i∈I

cả các phần tử thuộc ít nhất một trong các tập hợp Ai , i ∈ I, nghĩa là
[

Ai = {x : tồn tại i ∈ I để x ∈ Ai }.

i∈I

Nếu I = {1, 2, . . . , n} với n ∈ N ta dùng kí hiệu

n
[

Ai hay A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An .

i=1

Nếu I = N ta dùng kí hiệu

[

Ai hay

i∈N

∞
[

Ai .

i=1

1.2.2 Giao. Giao của họ các tập hợp Ai , i ∈ I, kí hiệu bởi

\

Ai , là tập hợp gồm

i∈I

tất cả các phần tử cùng thuộc mọi tập hợp Ai , i ∈ I, nghĩa là
\

Ai = {x : x ∈ Ai với mọi i ∈ I}.

i∈I

Nếu I = {1, 2, . . . , n} ta dùng kí hiệu

n
\
i=1

Ai hay A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An .


Chương 1

Bổ sung về lý thuyết tập hợp và lực lượng tập hợp

Nếu I = N ta dùng kí hiệu

\

Ai hay

i∈N

∞
\

3

Ai .

i=1

Các tập hợp {Ai }i∈I được gọi là đôi một rời nhau nếu Ai ∩Aj = ∅ với mọi i, j ∈ I
mà i 6= j.
1.2.3 Hiệu. Cho các tập hợp A và B.
Hiệu của tập hợp A với tập hợp B, kí hiệu bởi A \ B, là tập hợp gồm các phần
tử thuộc A nhưng không thuộc B, nghĩa là A \ B = {x : x ∈ A và x ∈
/ B}.
Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là tập hợp (A \ B) ∪ (B \ A) và kí hiệu
là A4B.
Nếu A là tập con của một tập hợp X cho trước thì X \ A được gọi là phần bù
của tập hợp A (trong X) và kí hiệu là CX A hay Ac .
1.2.4 Định lí. Giả sử A, B là những tập con của tập X cho trước. Khi đó
1. A ⊂ B khi và chỉ khi A ∪ B = B.
2. A ⊂ B khi và chỉ khi A ∩ B = A.
3. A ∪ B = B ∪ A và A ∩ B = B ∩ A.

4. A ∪ B = A ∪ (B \ A).
Chứng minh. Dành cho người đọc như là bài tập.
1.2.5 Định lí. Giả sử A, Ai , i ∈ I là những tập con của tập X cho trước. Khi đó
S

1. X \ (

Ai ) =

i∈I

T

2. X \ (

S

Ai ) =

T

i∈I

S

(X \ Ai ).

i∈I

Ai ) =

i∈I

4. A ∪ (

(X \ Ai ).

i∈I

i∈I

3. A ∩ (

T

S

(A ∩ Ai ).

i∈I

Ai ) =

T

(A ∪ Ai ).

i∈I

Chứng minh. Dành cho người đọc như là bài tập.

1.2.6 Tích của một họ các tập hợp. Cho họ các tập hợp {Ai }i∈I . Nếu với mỗi
i ∈ I ta có thể chọn được một phần tử f (i) ∈ Ai , thì lúc đó ta nói rằng đã xác định
[
được một hàm f từ I vào
Ai sao cho với mỗi i ∈ I, f (i) ∈ Ai .
i∈I


4

Giáo trình Độ đo - Tích phân

Tập hợp tất cả các hàm f như vậy được gọi là tích của họ các tập hợp {Ai }i∈I
Y
và ký hiệu là
Ai , nghĩa là
i∈I

Y

Ai = {f : I →

i∈I

[

Ai : f (i) ∈ Ai , i ∈ I}.

i∈I

Nếu I = {1, 2, . . . , n}, thì mỗi hàm f : I →

n
[

Ai được cho bởi bảng

i=1

1,

2

,...,n

!

a1 , a 2 , . . . , a n

,

trong đó ai ∈ Ai , i = 1, . . . n.
Khi cố định hàng trên, mỗi bộ (a1 , . . . , an ) xác định duy nhất một ánh xạ f : I →
[

Ai . Vì thế ta đồng nhất f với bộ (a1 , a2 , . . . , an ) và xem tích của họ A1 , A2 , . . . , An

i∈I

là tích Đề các A1 × A2 × . . . × An .

Y
[
Nếu Ai = A, i ∈ I, thì tích
Ai là tập hợp tất cả các hàm f : I →
Ai = A.
i∈I
i∈I
Y
Lúc đó ta ký hiệu
Ai = AI .
i∈I

2

Lực lượng tập hợp

2.1

Khái niệm về lực lượng

2.1.1 Định nghĩa. Với mỗi tập hợp A ta kí hiệu |A| là lực lượng của A. Nếu A và
B là tập hợp sao cho tồn tại một song ánh f : A → B từ A lên B thì ta nói rằng
hai tập hợp A và B có cùng lực lượng và viết là |A| = |B|.
Dễ thấy rằng quan hệ A có cùng lực lượng với B là một quan hệ tương đương
và ta cũng kí hiệu là A ∼ B.
2.1.2 Định nghĩa. Tập hợp A được gọi là tập hữu hạn nếu tồn tại số n ∈ N và
một tương ứng 1-1 giữa A và tập hợp {1, . . . , n}. Khi đó ta nói rằng tập hợp A có
n phần tử hay |A| = n.
Ta quy ước tập rỗng là tập hữu hạn và lực lượng của tập rỗng là 0. Nếu A khơng
phải là tập hữu hạn thì nó được gọi là tập vô hạn.

Từ Định nghĩa 2.1.1 và Định nghĩa 2.1.2 ta suy ra nếu A và B là các tập hữu
hạn thì A ∼ B khi và chỉ khi hai tập này có cùng một số phần tử.


Chương 1

Bổ sung về lý thuyết tập hợp và lực lượng tập hợp

5

2.1.3 Định nghĩa. Cho các tập hợp A và B. Nếu tồn tại một đơn ánh f : A → B
từ A vào B thì ta viết là |A| ≤ |B|. Nếu tập hợp A khơng có cùng lực lượng với tập
hợp B, nghĩa là không tồn tại một song ánh từ A lên B nhưng tồn tại một song ánh
từ A lên một tập con thực sự B1 của B thì ta nói rằng lực lượng của A nhỏ hơn lực
lượng của B hoặc lực lượng của B lớn hơn lực lượng của A và kí hiệu là |A| < |B|
hay |B| > |A|.
2.1.4 Nhận xét. Dễ thấy rằng nếu A ⊂ B thì |A| ≤ |B|. Hơn nữa, quan hệ
|A| ≤ |B| là một quan hệ thứ tự bộ phận.
Vấn đề đặt ra là với hai tập hợp A và B cho trước ta có thể so sánh lực lượng
của chúng được hay không?
Các kết quả sau đây sẽ trả lời cho câu hỏi đó mà chứng minh của chúng có thể
tìm thấy trong các sách tham khảo về lí thuyết tập hợp.
2.1.5 Định lí. Nếu A và B là hai tập hợp tùy ý thì bao giờ cũng xảy ra ít nhất
một trong ba quan hệ sau đây |A| = |B|,

|A| < |B|,

|A| > |B|.

2.1.6 Định lí. Khơng thể xảy ra đồng thời |A| < |B| và |A| > |B|.

2.1.7 Hệ quả. Với hai tập hợp A và B bất kì chỉ xảy ra một và chỉ một trong ba
quan hệ sau |A| = |B|, |A| < |B|, |A| > |B|.

2.2

Bản số

2.2.1 Định nghĩa. Lớp tất cả các tập hợp có cùng lực lượng với một tập hợp cho
trước được gọi là một bản số. Nếu A thuộc lớp α thì ta nói rằng A có lực lượng là
α (hoặc A có bản số α) và ký hiệu |A| = α.
Ta có thể so sánh hai bản số bất kỳ bằng cách so sánh lực lượng của hai tập hợp
thuộc hai lớp đó. Do đó hai bản số α và β tùy ý bao giờ cũng xẩy ra một và chỉ một
trong ba quan hệ sau: α = β, α < β, α > β.
Bản số chứa tập hợp hữu hạn được gọi là bản số hữu hạn. Bản số chứa tập hợp
vô hạn được gọi là bản số siêu hạn.
[
2.2.2 Định nghĩa. Nếu A =
Ai trong đó Ai ∩ Aj = φ với i 6= j và Ai 6= φ với
i∈I

mọi i ∈ I, thì ta nói rằng họ {Ai }i∈I là một phân hoạch của A.
Cho hai tập hợp A và B khác rỗng. Nếu tập hợp C có phân hoạch là A0 , B 0 sao
cho tồn tại các tương ứng 1 − 1 giữa A và A0 , giữa B và B 0 , thì C được gọi là tổng
của A và B, và ký hiệu là C = A + B.


6

Giáo trình Độ đo - Tích phân

2.2.3 Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B, theo thứ tự có các bản số là α và β.
Khi đó
Tổng α + β là bản số của tập hợp A + B;
Tích αβ là bản số của tập hợp A × B;
Lũy thừa αβ là bản số của tập hợp AB .
2.2.4 Định lí. Các phép tính đối với các bản số nói ở Định nghĩa 2.2.3 có các tính
chất sau:
(a) Phép cộng và phép nhân có tính chất giao hốn;
(b) Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng;
(c) Đối với phép lũy thừa ta có các đẳng thức sau
αβ .αγ = αβ+γ , αβ .γ β = (α.γ)β , (αβ )γ = αβ.γ .
Chứng minh. Các chứng minh của các khẳng định (a) và (b) dành cho đọc giả. Ở
đây chúng ta chỉ chứng minh của khẳng định (c).
Gỉa sử A, B, C là các tập hợp theo thứ tự có lực lượng là α, β, γ. Khơng mất
tính tổng qt ta có thể giả thiết rằng B và C rời nhau.
Trước hết ta chứng minh rằng αβ .αγ = αβ+γ . Thật vậy, vì αβ .αγ là lực lượng của
tập AB × AC , cịn αβ+γ là lực lượng của tập AB+C . Để chứng minh đẳng thức trên
ta thiết lập tương ứng 1-1 giữa AB × AC với AB+C bằng cách đặt mỗi (fB , fC ) ∈
AB × AC trong đó fB ∈ AB , fC ∈ AC tương ứng với f ∈ AB+C cho bởi công thức
(
f (x) =

fB (x) nếu
fC (x)

x∈B

nếu x ∈ C.

Dễ thấy rằng tương ứng trên là 1-1 và f |B = fB , f |C = fC , nghĩa là |AB+C | =

|AB × AC |, hay αβ .αγ = αβ+γ .
Tương tự ta chứng minh được αβ .γ β = (α.γ)β và (αβ )γ = αβ.γ .
Nhận xét. Nếu α là bản số siêu hạn, thì α + β ≥ α và α.β ≥ α.
2.2.5 Định lí. Nếu α và β là hai bản số khác không và nếu một trong chúng là
bản số siêu hạn, thì α + β và α.β bằng bản số lớn nhất trong hai bản số đã cho.
Chứng minh của định lý này đọc giả có thể tìm đọc trong các sách tham khảo.


Chương 1

Bổ sung về lý thuyết tập hợp và lực lượng tập hợp

7

Định lý sau đây không những chỉ ra rằng có những bản số siêu hạn khác nhau
mà cịn chứng tỏ rằng không tồn tại bản số lớn nhất.
2.2.6 Định lí. Cho A là tập hợp bất kỳ. Ký hiệu P(A) là tập hợp tất cả các tập
con của A. Khi đó ta có |P(A)| > |A|.
Chứng minh. Vì mỗi phần tử a ∈ A tương ứng với một tập con tạo nên bởi chính
phần tử đó là {a} ∈ P(A), nên ta có |A| ≤ |P(A)|. Bây giờ ta sẽ chứng tỏ rằng:
|A| =
6 |P(A)|.
Thật vậy, giả sử rằng |A| = |P(A)|. Khi đó theo định nghĩa tồn tại một tương
ứng 1-1 f : A → P(A). Vì với mỗi x ∈ A ta có f (x) là một tập hợp con của A,
nên có thể xẩy ra hoặc x ∈ f (x) hoặc x ∈
/ f (x). Đặt
E = {x ∈ A : x ∈
/ f (x)}.

(1)

Rõ ràng, E là một tập hợp con của A. Vì f là tương ứng 1-1, nên tồn tại phần
tử xo ∈ A sao cho f (xo ) = E

(2).

Nếu xo ∈ E, thì theo (2) ta suy ra xo ∈ f (xo ) và theo (1) ta lại có xo ∈
/ E.
Nếu xo ∈
/ E, thì theo (2) xo ∈
/ f (xo ). Lại theo (1) ta nhận được xo ∈ E. Điều
mâu thuẫn này chứng tỏ không tồn tại tương ứng 1-1 nào giữa A và P(A). Vậy
|P(A)| > |A|.
2.2.7 Nhận xét. Cho trước một tập hợp A. Khi đó với mỗi tập hợp B ∈ P(A) ta
đặt tương ứng với hàm đặc trưng của tập hợp B được xác định như sau
(
1 nếu
x∈B
χB (x) =
0 nếu x ∈ A \ B.
Dễ thấy rằng χB ∈ {0, 1}A và tương ứng B 7→ χB là một tương ứng 1-1 giữa
P(A) và {0, 1}A . Vì |{0, 1}A | = 2|A| , nên ta suy ra

2.3

|P(A)| = 2|A| .

Tập hợp đếm được

2.3.1 Định nghĩa. Tập hợp X được gọi là tập đếm được nếu tồn tại một song

ánh f : N → X từ N lên X.
Bản số của tập hợp đếm được ký hiệu là ω.
Chú ý. Từ định nghĩa trên ta suy ra một tập hợp là tập đếm được khi và chỉ khi
ta có thể đánh số các phần tử của nó thành một dãy vơ hạn.
2.3.2 Định lí. Một tập vơ hạn bất kì chứa tập vô hạn đếm được.


8

Giáo trình Độ đo - Tích phân

Chứng minh. Giả sử A là một tập hợp vô hạn. Lấy một phần tử bất kì thuộc A và
kí hiệu phần tử đó là a0 . Khi đó tập hợp A1 = A \ {a0 } là một tập vô hạn. Từ tập
A1 ta lấy ra phần tử a1 . Khi đó tập hợp A2 = A1 \ {a1 } là tập hợp vơ hạn. Vì thế
ta lại có thể lấy được phần tử a2 ∈ A2 , . . . Tiếp tục q trình trên ta rút ra được
một dãy vơ hạn {an } những phần tử khác nhau của tập hợp A. Đó chính là tập con
vơ hạn đếm được của A.
Chú ý. - Từ định lý trên ta suy ra ω là bản số siêu hạn nhỏ nhất.
- Mọi tập hợp vô hạn A đều chứa một tập hợp con đếm được E sao cho A \ E
vẫn còn là tập hợp vơ hạn.
2.3.3 Định lí. Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có nω = ω và ω n = ω.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng ω 2 = ω. Thật vậy, các số của N2 có
thể đánh số theo sơ đồ sau
(1, 1) → (1, 2)
.
(2, 1)
↓

(1, 3) → (1, 4) . . .
%

(2, 2)
%

(3, 1)

.
(2, 3)

...
(2, 4) . . .

.
(3, 2)

...
(3, 3)

(3, 4) . . .

.

nghĩa là

...

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

↓
..
.

..
.

..
.

(4, 4) . . .
...
..
.

...

ω 2 = |N2 | = ω.

Với n = 3 ta có ω 3 = (ω 2 ).ω = ω.ω = ω.
Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng với n > 1 ta có ω n = ω.
Để chứng minh rằng nω = ω ta lưu ý rằng với n > 1 thì ω ≤ n.ω ≤ ω.ω = ω,
nghĩa là n.ω = ω.
2.3.4 Định lí. Hợp của một họ hữu hạn hay đếm được các tập hợp có lực lượng
đếm được là một tập hợp có lực lượng đếm được.
Chứng minh. Cho một dãy các tập hợp đếm được A1 , A2 , . . . , An , . . .. Trước hết
giả sử các tập hợp Ai , i = 1, . . . , đôi một rời nhau. Khi đó ta viết các phần tử của

Chương 1

Bổ sung về lý thuyết tập hợp và lực lượng tập hợp

9

mỗi một tập hợp đó thành một dãy theo bảng sau và thực hiện cách đánh số như
hình vẽ
A1 = a11 → a12
.
A2 = a21
↓

%
a22

%

A3 = a31

↓
..
.

a23

a32

A4 = a41

.

.

.

..
.

a13 → a14 . . .
a24 . . .
%
a33

|

...
a34 . . .

%

...

a42

a43

..
.

..
.

a44 . . .

%

...

Cách đánh số trên chứng tỏ mọi phần tử của
∞
[

...

..
.
∞
[

...

Ai đều được đánh số, hay

i=1

Ai | = ω.

i=1

Bây giờ giả sử các tập hợp Ai , i = 1, 2, . . . không rời nhau. Khi đó tập
tương đương với một bộ phận con của bảng trên , nghĩa là
Mặt khác , hiển nhiên ta có |

∞
[

|

∞
[

∞
[

Ai

i=1

Ai | ≤ ω 2 = ω .

i=1

Ai | ≥ ω. Do đó ta nhận được |

i=1

∞
[

Ai | = ω.

i=1

Cuối cùng, nếu A1 , . . . , An là các tập đếm được, thì tương tự như trường hợp
trên ta có
ω≤|

n
[

Ai | ≤ ω 2 = ω.

i=1

Vì thế |

n
[

Ai | = ω.

i=1

2.3.5 Hệ quả. Tập hợp Z các số nguyên và tập hợp Q các số hữu tỉ là những tập
hợp đếm được.
Chứng minh. Vì Z có thể xem như là hợp của hai tập hợp đếm được là tập hợp
các số nguyên không âm và tập hợp các số nguyên âm, nên Z là tập hợp đếm được .
p

|p|
Lại vì mỗi số hữu tỷ có dạng , với
là phân số tối giản, q > 0, nên mỗi số
q
q
hữu tỷ có thể đặt tương ứng với một cặp (p, q) ∈ Z × Z. Tương ứng này là một đơn
ánh từ Q vào Z × Z, nên ta có ω = |Z| ≤ |Q| ≤ |Z2 | = ω 2 = ω.


10

Giáo trình Độ đo - Tích phân

2.3.6 Hệ quả. Tập hợp tất cả các số đại số là đếm được.
Chứng minh. Với n ≥ 1 mỗi đa thức ao + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn bậc n hoàn toàn
được xác định bởi bộ n + 1 số nguyên (ao , a1 , . . . , an ). Do đó nếu gọi Pn là tập hợp
tất cả các đa thức bậc n thì |Pn | ≤ |Zn+1 | = ω.
Bây giờ nếu gọi Ap là tập hợp tất cả các nghiệm thực của đa thức P ∈ Pn , thì
[
Ap khơng có q n phần tử. Do đó |
Ap | ≤ ω.
p∈Pn

Ký hiệu Dn =

[

Ap là tập hợp tất cả các nghiêm thực của tất cả các đa thức

p∈Pn

bậc n. Khi đó ta có |Dn | ≤ ω. Nếu gọi D là tập hợp tất cả các số đại số, thì vì
∞
[
Q ⊂ D, nên ta có ω = | Q| ≤ |D| = |
Dn | ≤ ω.
n=1

2.3.7 Định lí. Nếu A là một tập hợp vơ hạn cịn B là một tập hợp đếm được , thì
|A + B| = |A|, nghĩa là nếu α là một bản số siêu hạn, thì α + ω = α.
Chứng minh. Nhờ Định lý 2.3.2 ta ký hiệu A1 là tập con đếm được của A. Đặt
A2 = A \ A1 . Khi đó ta có
|A + B| = |A| + |B| = |A1 | + |A2 | + |B| =
= |A2 | + ω + ω = |A2 | + ω = |A2 | + |A1 | = |A1 + A2 | = |A|.

2.4

Tập hợp không đếm được, lực lượng continum

2.4.1 Định nghĩa. Tập hợp vô hạn mà không phải là tập đếm được được gọi là
tập hợp khơng đếm được.
2.4.2 Định lí. Tập hợp tất cả các số thực trên đoạn [0, 1] là không đếm được.
Chứng minh. Hiển nhiên đoạn [0, 1] là một tập hợp vơ hạn. Nếu [0, 1] có lực lượng
đếm được thì các điểm của nó có thể đánh số được thành dãy x1 , x2 , . . . , xn , . . ..
1 1 2 2
Ta chia đoạn [0, 1] thành 3 đoạn bằng nhau [0, ], [ , ], [ , 1]. Lúc đó ắt có một
3 3 3 3
đoạn trong 3 đoạn trên không chứa điểm x1 . Ký hiệu đoạn vừa chỉ ra là ∆1 . Lại
chia đoạn ∆1 thành 3 đoạn bằng nhau, thì trong 3 đoạn nhỏ vừa chia ắt có một
đoạn khơng chứa điểm x2 . Ký hiệu đoạn đó là ∆2 . Tiếp tục mãi q trình trên ta

thu được một dãy các đoạn thắt
∆1 ⊃ ∆2 ⊃ ∆3 ⊃ . . . ⊃ ∆n ⊃ . . .


Chương 1

Bổ sung về lý thuyết tập hợp và lực lượng tập hợp

11

trong đó xn ∈
/ ∆n với mọi n ∈ N.
Gọ x∗ là điểm chung duy nhất của mọi đoạn ∆n , n ∈ N. Ta chứng tỏ rằng không
tồn tại một số tự nhiên n nào để x∗ = xn . Vì nếu tồn tại số tự nhiên no sao cho
x∗ = xno , thì từ cách xây dựng các đoạn ∆n ta suy ra x∗ ∈
/ ∆no . Điều này mâu
thuẫn với x∗ ∈ ∆n với mọi n ∈ N. Vậy đoạn [0, 1] là tập hợp không đếm được.
2.4.3 Định nghĩa. Ta ký hiệu c = 2ω và gọi lực lượng c là lực lượng continum.
2.4.4 Định lí. Đoạn [0, 1] có lực lượng continum.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng |[0, 1)| = c. Nhận xét rằng mỗi số
thuộ c [0, 1) theo cách viết thập phân có dạng 0, a1 a2 a3 . . . an . . . trong đó với mọi
n ∈ N, an có thể nhận một trong các giá trị 0, 1, . . . , 9. Mỗi số thập phân đó hồn
tồn xác định một dãy a1 , a2 , . . . , an , . . .. Tập hợp tất cả các dãy trên là một tập
con của tập hợp {0, 1, . . . , 9}N . Lại Vì mỗi dãy a1 , a2 , . . . , an , . . . trong đó tất cả các
ai chỉ nhận một trong 2 giá trị là 0 và 1 ứng với một số thực 0, a1 a2 . . . an . . . thuộc
nửa đoạn [0, 1). Do đó ta có
|{0, 1}N | ≤ |[0, 1)| ≤ |{0, 1, . . . , 9}N |
nghĩa là

2ω ≤ |[0, 1)| ≤ 10ω ≤ (24 )ω = 24ω = 2ω .

Cuối cùng vì |[0, 1]| = |[0, 1) ∪ {1}| = |[0, 1)| ta suy ra |[0, 1]| = c.
2.4.5 Hệ quả. Tập hợp tất cả các số thực có lực lượng là c.
Chứng minh. Suy từ điều là [0, 1] tương đương với (0, 1) và (0, 1) tương đương
với R.
2.4.6 Hệ quả. Tập hợp tất cả các số siêu việt có lực lượng là c.
Chứng minh. Suy từ Hệ quả 2.3.6, Định lý 2.3.7 và Hệ quả 2.4.5.
2.4.7 Định lí. Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có
n.c = ω.c = cn = cω = c.
Chứng minh. Trước hết ta có

2

cω = (2ω )ω = 2ω = 2ω = c. Với n ≥ 2 ta có

c ≤ n.c ≤ ω.c ≤ c2 ≤ cn ≤ cω = c.
Trường hợp n = 1 là hiển nhiên.


12

Giáo trình Độ đo - Tích phân

2.4.8 Hệ quả. Khơng gian Ơclit Rn có lực lượng là c với n = 1, 2, . . ..
2.4.9 Hệ quả. Tập hợp mọi dãy số mà mọi số hạng chỉ nhận một trong hai giá
trị là 0 hoặc 1 có lực lượng c;
Tập hợp các dãy số mà mọi số hạng của nó nhận giá trị thực có lực lượng c.
Chứng minh. Hai loại dãy số trên theo thứ tự là phần tử của tập hợp {0, 1}N và
RN . Do đó lực lượng của chúng theo thứ tự là 2ω = c và cω = c.

Bài tập
Bài 1.1. Hãy tìm các quy luật tương ứng 1-1 của khoảng (0, 1) với
(a) toàn bộ trục số;
(b) nửa đoạn [0, 1);
(c) đoạn [0, 1].
Bài 1.2. Chứng tỏ rằng lực lượng của tập hợp các điểm của một đường tròn tuỳ
ý bằng c.
Bài 1.3. Chứng tỏ rằng lực lượng của tập hợp tất cả các số phức bằng c.
Bài 1.4. Chứng tỏ rằng lực lượng của lớp tất cả các tập hợp con của tập hợp các
số tự nhiên N bằng c, lực lượng của lớp tất cả các tập hợp con vô hạn của N bằng c.
Bài 1.5. Chứng tỏ rằng lực lượng của tập hợp tất cả các điểm có tọa độ hữu tỷ
của Rn là đếm được.


CHƯƠNG 2
ĐỘ ĐO
Độ đo là cơ sở của một khái niệm tích phân tổng qt và có hiệu lực hơn khái
niệm tích phân đã được trình bày trong giải tích cổ điển. Mặt khác khái niệm độ đo
là sự mở rộng của các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích. Việc mở rộng này cịn
làm cơ sở cho việc nghiên cứu nhiều bộ mơn khác và có nhiều ứng dụng trong các
lĩnh vực của toán học. Trong chương này, phần đầu giới thiệu khái niệm về đại số,
σ-đại số, độ đo trên đại số các tập hợp con, độ đo ngồi, tập hợp đo được. Sau đó,
trình bày việc giải quyết bài toán mở rộng độ đo và cuối cùng là trình bày các tính
chất của độ đo Lebesgue trong Rn .
Khi học chương này, yêu cầu người học: Nắm vững các khái niệm và tính chất
của: Độ đo, độ đo ngoài, tập đo được, độ đo Lebesgue, lược đồ xây dựng khái niệm
độ đo Lebesgue. Nắm vững các kĩ năng chứng minh một họ đã cho là đại số, σ-đại số;
chứng minh một hàm tập là độ đo, chứng minh tập đo được, tập đo được Lebesgue.
Giải các bài tập ở cuối chương.

1

Đại số các tập hợp con

1.1

Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X và A là một họ các tập hợp con của X.
1) Họ A được gọi là một đại số trên X nếu thỏa mãn các tiên đề:
(A1 ) φ ∈ A;
(A2 ) Nếu A ∈ A, thì CA ∈ A;
(A3 ) Nếu A ∈ A và B ∈ A thì A ∪ B ∈ A.
2) Họ A được gọi là một σ-đại số trên X nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau:
(σ-A1 ) φ ∈ A;


14

Bài giảng Độ đo - Tích phân

(σ-A2 ) Nếu A ∈ A, thì CA ∈ A;
∞
[

(σ-A3 ) Nếu An ∈ A, n = 1, 2, . . ., thì

An ∈ A.

n=1

1.1.2 Nhận xét. 1) Nếu A là σ-đại số thì A cũng là một đại số.
2) Cho một họ M khơng rỗng các tập hợp con của X. Khi đó M bao giờ cũng
được chứa trong một σ-đại số, đó chính là σ-đại số tất cả các tập hợp con của X.
3) Nếu {A}i∈I là một họ các đại số (hoặc σ-đại số) các tập hợp con của X, thì
\
A=
Ai cũng là một đại số (tương ứng, σ-đại số).
i∈I

1.1.3 Định nghĩa. Cho một họ không rỗng M các tập hợp con của tập hợp X
cho trước. Khi đó giao của tất cả các đại số (σ-đại số) chứa M được gọi là đại số
(tương ứng, σ-đại số) sinh bởi M và ký hiệu là A(M) tương ứng σ-A(M).
1.1.4 Nhận xét. A(M), (σ-A(M)) là đại số (tương ứng , σ-đại số) nhỏ nhất chứa
M.

1.2

Một số tính chất

1.2.1 Định lí. Nếu A là một đại số các tập hợp con của X thì:
(1) A đóng kín đối với giao của hai tập hợp, nghĩa là nếu A ∈ A, B ∈ A, thì
A ∩ B ∈ A;
(2) A đóng kín đối với hiệu và hiệu đối xứng của hai tập hợp, nghĩa là A ∈
A, B ∈ A, thì A \ B ∈ A và A4B ∈ A.
Chứng minh. Nếu A ∈ A và B ∈ A thì
1) CA ∈ A và CB ∈ A. Do đó C(A ∩ B) = CA ∪ CB ∈ A. Vì vậy, A ∩ B ∈ A.
2) A \ B = A ∩ CB ∈ A,

B \ A = B ∩ CA ∈ A. Từ đó ta có A4B =

(A \ B) ∪ (B \ A) ∈ A.
Chú ý. Bằng quy nạp ta suy ra đại số A đóng kín đối với hợp, giao, hiệu và hiệu
đối xứng của một số hữu hạn tập hợp.
1.2.2 Định lí. Nếu A là một σ-đại số các tập hợp con của X thì A đóng kín đối
với giao của đếm được các tập.
Chứng minh. Nếu An ∈ A, n = 1, 2, . . ., thì CAn ∈ A,
∞
∞
∞
\
[
\
C(
An ) =
CAn ∈ A. Vì vậy, ta có
An ∈ A.
n=1

n=1

n=1

n = 1, 2, . . .. Do đó


Chương 2

Độ đo

15

1.2.3 Ví dụ. 1) Trong R1 ta gọi là gian một tập hợp có một trong các dạng sau:
(a, b), [a, b], (a, b] và [a, b), trong đó a ≤ b và a, b có thể là các kí hiệu −∞, +∞. Khi
đó họ A mà mỗi phần tử của nó là hợp của một số hữu hạn các gian đôi một rời
nhau là một đại số.
Thật vậy, trước hết ta có φ = (a, a) ∈ A, vậy tiên đề (A1 ) thỏa mãn.
n
[
Nếu ∆ ∈ A, thì ∆ =
∆i trong đó ∆i là các gian rời nhau. Khi đó C∆ =
n
\

i=1

C∆i .

i=1

Nếu chú ý rằng C∆i là một hoặc vài gian rời nhau, còn giao của hai gian lại là
một gian thì bằng quy nạp ta có thể thấy rằng C∆ là hợp của hữu hạn gian rời
nhau. Vậy A thỏa mãn tiên đề (A2 ).
Cuối cùng, vì hợp của hai gian lại là một hoặc hai gian rời nhau, nên bằng quy
nạp ta suy ra tiên đề (A3 ) cũng được thỏa mãn.
2) Trong Rn ta gọi là gian một tập hợp có dạng ∆ =

n
Y

∆i trong đó ∆i là

i=1

một gian trong R1 , với mọi i = 1, 2, . . . , n. Khi đó, tương tự như trong ví dụ 1) ta
chứng minh được rằng lớp A mà mỗi phần tử là hợp của hữu hạn gian rời nhau là
một đại số.
Chú ý rằng họ M tất cả các đoạn thẳng trong R1 không phải là một đại số. Thật
vậy, nếu hai đoạn thẳng rời nhau thì hợp của chúng khơng phải là một đoạn thẳng.

2

Độ đo trên đại số các tập hợp con

2.1

Định nghĩa, ví dụ

Giả sử X là tập hợp cho trước, A là đại số các tập hợp con của X và
R1 ∪ {−∞; +∞}.

R1 =

2.1.1 Định nghĩa. - Hàm µ : A → R1 được gọi là độ đo trên đại số A nếu thỏa
mãn các tiên đề sau:
(Đ1 ) µ(φ) = 0;
(Đ2 ) µ(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A;
(Đ3 ) Nếu {An } là dãy các phần tử đôi một không giao nhau của A sao cho

16
∞
[

Bài giảng Độ đo - Tích phân

An ∈ A thì

n=1

µ(

∞
[

An ) =

∞
X

n=1

µ(An ).

n=1

Nói cách khác, độ đo là một hàm tập hợp không đồng nhất bằng vô cùng, không
âm và σ-cộng được (hay cộng đếm được).
- Hàm tập hợp µ : A → R1 được gọi là hàm tập hợp cộng được nếu với mọi
k ∈ N ta có

µ(

k
[

An ) =

n=1

k
X

µ(An )

n=1

trong đó các An đơi một rời nhau và An ∈ A, với mọi n = 1, 2, . . . , k.
Rõ ràng là nếu µ thỏa mãn (Đ1 ) và (Đ3 ) thì µ là cộng được.
2.1.2 Ví dụ. 1) Với đại số A bất kỳ trên tập hợp X cho trước, hàm tập hợp
µ : A → R1 cho bởi µ(A) = 0, với mọi A ∈ A là một ví dụ tầm thường về độ đo.
2) Giả sử X là tập bất kỳ khác rỗng cho trước. Ký hiệu A = {∅, X} và µ :
A −→ R sao cho µ(φ) = 0, µ(X) = 1. Khi đó µ là một độ đo trên A.
3)(Độ đo đếm) Giả sử X là một tập hợp vô hạn. Công thức
m : P(X) −→ [0, +∞]
A 7−→

m(A)


|A| nếu A hữu hạn,

=
+∞ nếu A vô hạn,

là một độ đo trên P(X), nó được gọi là độ đo đếm.
4)(Độ đo Dirac) Giả sử a ∈ X. Khi đó
δa : P(X) −→ [0, +∞]
A 7−→

δa (A)


1 nếu a ∈ A,
=
0 nếu a 6∈ A,

là một độ đo trên P(X), nó được gọi là độ đo Dirac.

2.2

Một số tính chất

2.2.1 Định lí. Cho đại số A và hàm tập hợp không âm, cộng được µ : A → R1 ,
A ∈ A, B ∈ A sao cho A ⊂ B. Khi đó


Chương 2

Độ đo

17

(1) µ(A) ≤ µ(B) (tính chất đơn điệu);
(2) Nếu µ(A) < ∞, thì µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) (tính chất trừ được);
(3) Nếu hàm µ cộng đếm được và {Bn } là dãy các phần tử thuộc A và phủ A,
thì
µ(A) ≤

∞
X

µ(Bn )

(tính chất σ-bán cộng).

n=1

Chứng minh. (1) Vì B = A ∪ (B \ A) còn A ∩ (B \ A) = φ, nên nhờ tính chất cộng
được ta có
µ(A) + µ(B \ A) = µ(B).

(2.1)

Vì µ(B \ A) ≥ 0, nên ta suy ra µ(A) ≤ µ(B).
(2) Nếu µ(A) < ∞, thì từ đẳng thức (2.1) ta suy ra
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
n−1
[

(3) Đặt A1 = B1 , A2 = B2 \ B1 , A3 = B3 \ (B1 ∪ B2 ), . . . , An = Bn \ (

Bi ), . . .

i=1

Khi đó các An ∈ A, đơi một rời nhau, An ⊂ Bn với mọi n và
∞
[

An =

n=1

∞
[

Bn ⊃ A.

n=1

Bởi vậy, nhờ µ là cộng đếm được và tính chất đơn điệu ta có
µ(A) = µ(

∞
[

(A ∩ An )) =

n=1

≤

∞
X
n=1

∞
X

µ(A ∩ An ) ≤

n=1

µ(An ) ≤

∞
X

µ(Bn ).

n=1

Từ đây cho đến hết chương này , nếu khơng nói gì khác thì ta ln hiểu A là
đại số các tập con nào đó của một tập hợp X cho trước.
2.2.2 Định nghĩa. Hàm tập hợp khơng âm, cộng được µ : A → R1 được gọi là:
(1) hữu hạn, nếu µ(X) < ∞;
(2) σ-hữu hạn, nếu tồn tại một dãy {Xn } các phần tử của A sao cho µ(Xn ) < ∞
∞
[
với mọi n ∈ N và X =
Xn .

n=1


18

Bài giảng Độ đo - Tích phân

2.2.3 Nhận xét. 1) Từ tính đơn điệu của độ đo, ta suy ra nếu độ đo µ là hữu hạn
thì với mọi A ∈ A ta có µ(A) < ∞.
2) Nếu độ đo µ là σ-hữu hạn, thì ta có thể chọn được dãy {Xn } nói trong Định
nghĩa 2.2.2 sao cho {Xn } là dãy tăng, nghĩa là
X1 ⊂ X2 ⊂ · · · ⊂ Xn ⊂ · · ·
Thật vậy, giả sử {Xn } là dãy được nói tới trong Định nghĩa 2.2.2. Khi đó, ta sẽ
thay dãy đó bởi dãy {Xn0 } với
Xn0

=

n
[

Xi ,

n = 1, 2 . . .

i=1

Lúc đó, với dãy {Xn0 } ta có
µ(Xn0 )

=

µ(X10 )

+ µ(X2 \

X10 )

+ · · · + µ(Xn \

0
Xn−1
)

≤

n
X

µ(Xi ) < ∞.

i=1

2.2.4 Định lí. (1) Nếu µ : A → R1 là hàm tập hợp thỏa mãn các tiên đề (Đ1 ) và
(Đ2 ), thì tiên đề (Đ3 ) tương đương với tiên đề sau:
(Đ03 ) (Tính liên tục dưới của độ đo) µ cộng được và nếu {An } là dãy tăng các
phần tử của A sao cho
An %

∞

[

An ∈ A

n=1

thì
lim µ(An ) = µ(

n→∞

∞
[

An ).

n=1

(2) Nếu µ : A → R1 là hàm tập hợp thỏa mãn các tiên đề (Đ1 ), (Đ2 ) và hữu hạn
, thì tiên đề (Đ3 ) tương đương với tiên đề sau:
(Đ003 ) (Tính liên tục trên của độ đo) µ cộng được và nếu {An } là dãy giảm các
phần tử của A sao cho
An &

∞
\

An = φ

n=1

thì
lim µ(An ) = 0

n→∞

= µ(

∞
\

!
An ) .

n=1

Chứng minh. 1). (Đ3 )⇒ (Đ03 ) Nếu {An } là dãy tăng các phần tử của A sao cho
An %

∞
[
n=1

An ∈ A,


Chương 2

Độ đo

19

thì bằng cách đặt
B1 = A1 , . . . , Bn+1 = An+1 \ An , n = 2, . . .
ta có
An =

n
[

Bk , n = 1, 2, . . .

(2.2)

(2.3)

k=1

và {Bn } thỏa mãn các giả thiết của (Đ3 ). Hơn nữa, ta có
∞
[

An =

n=1

∞
[

Bn .

(2.4)

n=1

Vì µ thỏa mãn điều kiện (Đ3 ) nên ta có
µ(

∞
[

An ) = µ(

n=1

= lim

n
X

n→∞

∞
[

Bn ) =

n=1

µ(Bn ) =

n=1

µ(Bk ) = lim µ(
n→∞

k=1

∞
X

n
[

Bk ) = lim µ(An ).
n→∞

k=1

2). (Đ03 ) ⇒ (Đ3 ) Giả sử {Bn } là dãy thỏa mãn các giả thiết của (Đ3 ). Khi đó,
cơng thức (2.3) cho ta cách xác định dãy {An } thỏa mãn các giả thiết của (Đ03 ). Các
tập An này cùng thỏa mãn (2.4). Nếu µ thỏa mãn các tiên đề (Đ1 ), (Đ2 ) và (Đ03 )
thì
µ(

∞
[

Bn ) = µ(

n=1

= lim µ(
n→∞

∞
[

An ) = lim µ(An ) =
n→∞

n=1

n
[

Bk ) = lim

k=1

n
X

n→∞

µ(Bk ) =

k=1

∞

X

µ(Bk ).

k=1

3. (Đ3 ) ⇒ (Đ3 ) Nếu {An } thỏa mãn giả thiết của (Đ003 ), thì bằng cách đặt
Bn = An \ An+1 , n = 1, 2, . . .
ta có
An =

∞
[

Bk

k=n

và dãy {Bn } thỏa mãn các giả thiết của tiên đề (Đ3 ), nghĩa là
∞
X
k=1

µ(Bk ) = µ(A1 ) < ∞.

(2.5)

(2.6)

20

Bài giảng Độ đo - Tích phân

Từ tính đơn điệu của độ đo ta suy ra
∞ > µ(A1 ) > µ(An ) =

∞
X

µ(Bk ) → 0 khi n → ∞.

k=n

4. (Đ003 ) ⇒ (Đ3 ) Giả sử {Bn } là dãy thỏa mãn các giả thiết của (Đ3 ). Nhờ (2.6)
ta xác định được dãy {An } thỏa mãn các giả thiết của (Đ003 ). Từ giả thiết µ hữu hạn
và thỏa mãn tiên đề (Đ1 ), (Đ2 ) và (Đ003 ) ta có
µ(

∞
[

Bk ) = µ(

k=1

=

n
X

n
[

Bk ) + µ(

k=1

∞
[

Bk ) =

k=n+1

µ(Bk ) + µ(An+1 ) với mọi n ∈ N

k=1

Vì µ hữu hạn, nên µ(An+1 ) < ∞. Từ đó ta suy ra
µ(

∞
[

Bk ) − µ(An+1 ) =

n
X

µ(Bk ) với mọi n ∈ N.

k=1

k=1

Cho n → ∞, từ giả thiết {An } thỏa mãn (Đ003 ) ta suy ra
µ(

∞
[

Bk ) =

∞
X

µ(Bk ).

k=1

k=1

2.2.5 Hệ quả. Giả sử µ là độ đo và {An } là dãy giảm các phần tử của A sao cho
∞
\
An = B ∈ A và µ(A1 ) < ∞ thì µ(B) = lim µ(An ).
n→∞

n=1

Chứng minh. Xét dãy {An \ B}, dãy này thỏa mãn các giả thiết của (Đ003 ) và
µ(A1 \ B) ≤ µ(A1 ) < ∞.
00

Từ cách chứng minh (Đ3 ) ⇒ (Đ3 ) ở trên ta suy ra
µ(B) < ∞, nên từ đó ta có
µ(B).

lim µ(An \ B) = 0. Vì

n→∞

lim [µ(An ) − µ(B)] = 0, tức là

n→∞

lim µ(An ) =

n→∞