Chuong4 Lý thuyết điều khiển tự động

16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 1
LY
LY
Ù
Ù
THUYE
THUYE
Á
Á
T
T
Đ
Đ
IE
IE
À
À
U KHIE
U KHIE
Å
Å
N T
N T
Ự
Ự
Đ
Đ
O
O
Ä
Ä

NG
NG
Giảng viên: ThS Huỳnh Thái Hoàng
Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử
Đại học Bách Khoa TP.HCM
Email:
Môn ho
Môn ho
ï
ï
c
c
16 July 2005 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 2
KHA
KHA
Û
Û
O SA
O SA
Ù
Ù
T
T
T
T
Í
Í
NH O
NH O

Å
Å
N
N
Ñ
Ñ
ÒNH CU
ÒNH CU
Û
Û
A HE
A HE
Ä
Ä
THO
THO
Á
Á
NG
NG
Ch
Ch
ö
ö
ông 4
ông 4
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 3
ỉ
Khái niệm ổn đònh
ỉ

Tiêu chuẩn ổn đònh đại số
Ø
Điều kiện cần
Ø
Tiêu chuẩn Routh
Ø
Tiêu chuẩn Hurwitz
ỉ
Phương pháp quỹ đạo nghiệm số (QĐNS)
Ø
Khái niệm về QĐNS
Ø
Phương pháp vẽ QĐNS
Ø
Xét ổn đònh dùng QĐNS
ỉ
Tiêu chuẩn ổn đònh tần số
Ø
Khái niệm về đặc tính tần số
Ø
Đặc tính tần số của các khâu cơ bản
Ø
Đặc tính tần số của hệ thống tự động
Ø
Tiêu chuẩn ổn đònh Bode
Ø
Tiêu chuẩn ổn đònh Nyquist
No
No
ä

ä
i dung ch
i dung ch
ư
ư
ơng 4
ơng 4
16 July 2005 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 4
Kha
Kha
ù
ù
i nie
i nie
ä
ä
m o
m o
å
å
n
n
ñ
ñ
ònh
ònh
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 5
ỉ
Hệ thống được gọi là ổn đònh BIBO (Bounded Input Bounded
Output) nếu đáp ứng của hệ bò chặn khi tín hiệu vào bò chặn.

Kha
Kha
ù
ù
i nie
i nie
ä
ä
m o
m o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
Đ
Đ
ònh ngh
ònh ngh
ó
ó
a o
a o
å
å
n
n

đ
đ
ònh BIBO
ònh BIBO
Hệ thống
r(t)
c(t)
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 6
ỉ
Cho hệ thống tự động có hàm truyền là:
Kha
Kha
ù
ù
i nie
i nie
ä
ä
m o
m o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
C
C

ự
ự
c va
c va
ø
ø
zero
zero
nn
nn
mm
mm
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
sG
++++
++++
==
−
−
−
−
1
1
10
1
1
10

)(
)(
)(
…
…
nn
nn
asasasasA ++++=
−
−
1
1
10
)( …
mm
mm
bsbsbsbsB ++++=
−
−
1
1
10
)( …
ỉ
Đặt: mẫu số hàm truyền
tử số hàm truyền
ỉ
Zero: là nghiệm của tử số hàm truyền, tức là nghiệm của phương
trình B(s) = 0. Do B(s) bậc m nên hệ thống có m zero ký hiệu là z
i

,
i =1,2,…m.
ỉ
Cực: (Pole) là nghiệm của mẫu số hàm truyền, tức là nghiệm của
phương trình
A(s) = 0. Do A(s) bậc n nên hệ thống có n cực ký hiệu
là
p
i
, i =1,2,…m.
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 7
Kha
Kha
ù
ù
i nie
i nie
ä
ä
m o
m o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
ỉ

Giản đồ cực – zero là đồ thò biểu diễn vò trí các cực và các zero
của hệ thống trong mặt phẳng phức.
Gia
Gia
û
û
n
n
đ
đ
o
o
à
à
c
c
ự
ự
c
c
-
-
zero
zero
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 8
Kha
Kha
ù
ù
i nie

i nie
ä
ä
m o
m o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
ỉ
Tính ổn đònh của hệ thống phụ thuộc vào vò trí các cực.
ỉ
Hệ thống có tất cả các cực có phần thực âm (có tất cả các cực đều
nằm bên trái mặt phẳng phức): hệ thống
ổn đònh.
ỉ
Hệ thống có cực có phần thực bằng 0 (nằm trên trục ảo), các cực
còn lại có phần thực bằng âm: hệ thống ở biên giới ổn đònh.
ỉ
Hệ thống có ít nhất một cực có phần thực dương (có ít nhất một
cực nằm bên phải mặt phẳng phức): hệ thống không ổn đònh.
Đ
Đ
ie
ie
à

à
u kie
u kie
ä
ä
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 9
Kha
Kha
ù
ù
i nie
i nie
ä
ä
m o
m o
å
å
n
n

đ
đ
ònh
ònh
ỉ
Phương trình đặc trưng: phương trình A(s) = 0
ỉ
Đa thức đặc trưng: đa thức A(s)
Ph
Ph
ư
ư
ơng tr
ơng tr
ì
ì
nh
nh
đ
đ
a
a
ë
ë
c tr
c tr
ư
ư
ng (PT
ng (PT

Đ
Đ
T)
T)
ỉ
Chú ý:
0)()(1
=
+ sHsG
Hệ thống hồi tiếp Hệ thống mô tả bằng PTTT
Phương trình đặc trưng
⎩
⎨
⎧
=
+=
)()(
)()()(
ttc
trtt
Dx
B
Ax
x

Phương trình đặc trưng
(
)
0det
=

−
A
I
s
16 July 2005 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 10
Tieâu chua
Tieâu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
ñ
ñ
ònh
ònh
ñ
ñ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 11

Ø
Không ổn đònh
Ø
Không ổn đònh
Ø
Chưa kết luận được
ỉ
Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là tất cả các hệ số của phương
trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu.
ỉ
Thí dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng:
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï

ï
i so
i so
á
á
Đ
Đ
ie
ie
à
à
u kie
u kie
ä
ä
n ca
n ca
à
à
n
n
0123
23
=
+
−
+
sss
0352
24

=
+
+
+
sss
01254
234
=
+
+
+
+
ssss
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 12
ỉ
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh

đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
Qui ta
Qui ta
é
é
c tha
c tha
ø
ø
nh la
nh la
ä
ä
p ba
p ba

û
û
ng Routh
ng Routh
0
1
1
10
=++++
−
−
nn
nn
asasasa …
ỉ
Muốn xét tính ổn đònh của hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước
tiên ta thành lập
bảng Routh theo qui tắc:
Ø
Bảng Routh có n+1 hàng.
Ø
Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẳn.
Ø
Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẻ.
Ø
Phần tử ở hàng i cột j của bảng Routh (i ≥ 3) được tính theo
công thức:
1,11,2
.
+−+−

−
=
jiijiij
ccc
α
1,1
1,2
−
−
=
i
i
i
c
c
α
với
16 July 2005 © H. T. Hoàng - ÐHBK TPHCM 13
Tieâu chua
Tieâu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
ñ
ñ

ònh
ònh
ñ
ñ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tieâu chua
: Tieâu chua
å
å
n Routh
n Routh
Da
Da
ï
ï
ng ba
ng ba
û
û
ng Routh
ng Routh
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 14
ỉ

Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả các phần tử
nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các
phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm của phương trình
đặc trưng nằm bên phải mặt phẳng phức.
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua

å
å
n Routh
n Routh
Pha
Pha
ù
ù
t bie
t bie
å
å
u tiêu chua
u tiêu chua
å
å
n
n
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 15
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ

đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
ỉ
Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Th
Th
í
í
du
du
ï
ï
1

1
01254
234
=
+
+
+
+
ssss
ỉ
Giải: Bảng Routh
ỉ
Kết luận: Hệ thống ổn đònh do tất cả các phần tử ở cột 1 bảng
Routh đều dương.
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 16
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ

đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
ỉ
Xét tính ổn đònh của hệ thống có sơ đồ khối:
Th
Th
í
í
du
du
ï
ï
2
2
ỉ
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
)5)(3(

50
)(
2
+++
=
ssss
sG
2
1
)(
+
=
s
sH
0)().(1
=
+ s
H
sG
0
)2(
1
.
)5)(3(
50
1
2
=
++++
+

sssss
050)2)(5)(3(
2
=+++++ sssss
0503031166
2345
=
+
+
+
+
+ sssss
⇔
⇔
⇔
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 17
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh

đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
Th
Th
í
í
du
du
ï
ï
2 (tt)
2 (tt)
ỉ
Bảng Routh
ỉ
Kết luận: Hệ thống không ổn đònh do tất cả các phần tử ở cột 1

bảng Routh đổi dấu 2 lần.
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 18
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å

n Routh
n Routh
ỉ
Tìm điều kiện của K để hệ thống ổn đònh:
Th
Th
í
í
du
du
ï
ï
3
3
ỉ
Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống là:
⇔
⇔
)2)(1(
)(
2
+++
=
ssss
K
sG
0)(1
=
+ s
G

0
)2)(1(
1
2
=
+++
+
ssss
K
0233
234
=
+
+
+
+
K
ssss
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 19
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ

đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
Th
Th
í
í
du
du
ï
ï
3 (tt)
3 (tt)
ỉ

Bảng Routh
ỉ
Điều kiện để hệ thống ổn đònh:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
>−
0
0
7
9
2
K
K
9
14
0 << K
⇔
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 20
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å

n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
Tr
Tr
ư
ư
ơ
ơ
ø
ø

ng hơ
ng hơ
ï
ï
p
p
đ
đ
a
a
ë
ë
c bie
c bie
ä
ä
t 1
t 1
ỉ
Nếu bảng Routh có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, các hệ
số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta
thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi
số
ε
dương nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục.
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 21
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å

n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
ỉ
Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Th
Th

í
í
du
du
ï
ï
4
4
ỉ
Giải:
Bảng Routh
ỉ
Kết luận: Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu 2 lần nên
phương trình đặc trưng của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải
mặt phẳng phức, do đó
hệ thống không ổn đònh .
03842
234
=
+
+
+
+
ssss
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 22
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o

n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
Tr
Tr
ư
ư
ơ

ơ
ø
ø
ng hơ
ng hơ
ï
ï
p
p
đ
đ
a
a
ë
ë
c bie
c bie
ä
ä
t 2
t 2
ỉ
Nếu bảng Routh có tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0:
Ø
Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàng trước hàng có tất
cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là
A
0
(s).
Ø

Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có
các hệ số chính là các hệ số của đa thức
dA
0
(s)/ds, sau đó quá
trình tính toán tiếp tục.
ỉ
Chú ý: Nghiệm của đa thức phụ A
0
(s) cũng chính là nghiệm của
phương trình đặc trưng.
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 23
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a

ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
ỉ
Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc trưng là:
Th
Th
í
í
du
du
ï
ï
5
5
047884
2355
=
+
+
+

+
+
sssss
ỉ
Giải: Bảng Routh
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 24
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o
å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á

: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Routh
n Routh
ỉ
Đa thức phụ:
Th
Th
í
í
du
du
ï
ï
5 (tt)
5 (tt)
ỉ
Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương trình
đặc trưng):
ỉ
Kết luận:
Ø
Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc
trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
Ø
Phương trình đặc tính có 2 nghiệm nằm trên trục ảo.
Ø
Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 – 2 = 3.

Hệ thống ở biên giới ổn đònh
44)(
2
0
+= ssA
08
)(
0
+= s
ds
sdA
⇒
044)(
2
0
=+= ssA
j
s
±
=
⇔
16 July 2005 © H. T. Hồng - ÐHBK TPHCM 25
ỉ
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng:
Tiêu chua
Tiêu chua
å
å
n o
n o

å
å
n
n
đ
đ
ònh
ònh
đ
đ
a
a
ï
ï
i so
i so
á
á
: Tiêu chua
: Tiêu chua
å
å
n Hurwitz
n Hurwitz
Qui ta
Qui ta
é
é
c tha
c tha

ø
ø
nh la
nh la
ä
ä
p ma tra
p ma tra
ä
ä
n Hurwitz
n Hurwitz
0
1
1
10
=++++
−
−
nn
nn
asasasa …
ỉ
Muốn xét tính ổn đònh của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz,
trước tiên ta thành lập
ma trận Hurwitz theo qui tắc:
Ø
Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n×n.
Ø
Đường chéo của ma trận Hurwitz là các hệ số từ a

1
đến a
n
.
Ø
Hàng lẻ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số có chỉ số lẻ theo
thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở
bên trái đường chéo.
Ø
Hàng chẳn của ma trận Hurwitz gồm các hệsốcóchỉsốchẳn
theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần
nếu ở bên trái đường chéo.