Đề thi cao học Đại học Vinh

Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. 1) Giả sử hàm RRf
2
: cho bởi công thức
( )





=+
+
+
=
0 0
0
,
22
22
22
2

yx
yx
yx
yx
yxf
nếu
nếu
a) Xét tính liên tục của f trên
2
R .
b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm
( )
0,0 .
2) Tìm miền hội tụ của chuỗi

n
n
n
x
x






+

+

=
1
1
12
1
0
Câu 2. Kí hiệu
1
l =
{ }






<=


=1
,;:
n
nnn
xNnCxxx
;
( )
,,
1
1

=
=
n
nn
yxyxd
( )
2
1
1
2
2
,





=


=n
nn
yxyxd
với
{ }
n
xx = ;
{ }

n
yy = thuộc
1
l .
Chứng minh rằng
a)
1
d ,
2
d lần lợt là các mêtric trên
1
l ;
b) không gian
( )
11
,dl đầy đủ ; khả li.
c) Không gian
( )
21
,dl không đầy đủ.
Câu 3. Giả sử
[ ]
1,0
C là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên
[ ]
1,0 với chuẩn sup
và A:
[ ]

1,0

C
[ ]
1,0
C biến x thành
Ax
cho bởi
( )( ) ( )
txttAx
2
= với mọi x
[ ]
1,0
C và
[ ]
1,0t
a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính
A
b) Chứng tỏ rằng
[ ]
( )
1,0
CA là không gian con đóng của
[ ]
1,0
C .
Câu 4. ánh xạ YXf : từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y đợc gọi là đóng nếu với
tập đóng A bất kì ta có
( )
Af đóng trong Y. Chứng minh rằng YXf : là đóng khi và chỉ khi
( )

( )
fAfA
với mọi XA .
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
2
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Gọi
1+n
E Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc
n
với hệ số thực. Trong
1+n
E cho các đa thức
( )
xu
k
với
nk 0
đợc xác định nh sau:
0
0
=u ;

( )
xu
k
=
( )( ) ( )
121 + kxxxx L với
nk 0
.
a) Chứng minh rằng các đa thức
{ }
n
k
k
u
0=
lập thành một cơ sở của
1+n
E .
b) Hy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính của
1+n
E tho mn
1+n
điều kiện
( )
k
k
ux = , nk ,,2,1,0 K= . Và là một song ánh.
c) Xác định ánh xạ

:

1+n
E
1+n
E bởi điều kiện

( )
[ ]
( ) ( )
xpxpxp += 1 ;
( )
1n
pxE
+
.
Hy chứng minh

là một ánh xạ tuyến tính . Tìm nhân và ảnh của

. Tìm các đa thức
( )( )
xu
k
; nk ,,2,1,0 K= .
Câu 2. a) Cho G là một nhóm Xyclic. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.
b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G. Hy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng
cấu với G.
c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic.
Câu 3. Ta gọi một trờng là nguyên tố nếu nó không chứa một trờng con thực sự nào.
a) Chứng minh rằng trờng các ssó hữu tỉ và trờng các lớp đồng d
p

 (với p là số
nguuyên tố ) là trờng các số nguyên tố.
b) Cho X là một trờng nguyên tố bất kì. Chứng tỏ rằng X hoặc X
p
 (với p là một số
nguyên tố nào đó).
Câu 4. Giả sử phép biến đổi tuyến tính của không gian R
3
đối với cơ sở đơn vị có ma trn là:

815
231
411
A



=




a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của .
b) Tìm một cơ sở của R
3
mà đối với nó ma trận của có dạng tam giác . Viết ma trận đó.
c) Giá trị riêng của có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
3

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. Cho hàm số
( )





=+
+
+
=
0 0
0
,
22
22
22
2
yx
yx
yx

yx
yxf
nếu
nếu
Khảo sát tính liên tục và tính khả vi của hàm số đ chi trên miền xác định của nó.
Câu 2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm
( )
( )


=



1
1
3
2
1
n
n
n
n
x
.
Câu 3. Giả sử
( ){ }
niRxxxxR
in
n

,,2,1,:,,,
21
LK == } và
( )
1,0p . Vói mỗi tập
( )
n
xxx ,,
1
K= ;
( )
n
yyy ,,
1
K= ta đặt
( )

=
=
n
i
p
ii
yxyxd
1
, ;
( )

=
=

n
i
ii
yxyx
1
, Chứng minh
rằng:
a) ( dR
n
, ) là không gian mêtric đầy đủ.
b) ánh xạ đồng nhất :
d
i ( dR
n
, )
( )
,
n
R liên tục.
Câu 4. Cho hàm :f Ă Ă xác định bởi
()
(
]

+
=

=
nn
Axifn
xif
xf
n
1
,
1
1

1,0 0
, K,2,1=n
Với mỗi

Nn ta đặt

=
=
n
k
An
n

kf
1
(
n
A
là hàm đặc trng của A
n
).
Chứng minh rằng
a) ff
n
trên Ă .
b) f khả tích Lơbe trên Ă và tính tích phân Lơbe
( )
fxdx

Ă
.
c) Hàm
2
f không khả tích Lơ be trên Ă .
Câu 5. Kí hiệu
[ ]
1,0
C là không gian tất cả các hàm liên tục
[ ]
:0,1x Ă với bất kì
yx,
[ ]
1,0

C ta đặt
( )
[ ]
( ) ( )
0,1
,sup
t
dxyxtyt

=. Chứng minh rằng
a) ánh xạ
[ ] [ ]
1,01,0
: CCf cho bởi
()
[ ]
() ()
dssxtxf
t

=
0
, x
[ ]
1,0
C là ánh xạ tuyến tính liên
tục. Tính chuẩn của f.
b)
[ ]
( )

dC ,
1,0
không phải là không gian compact.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
4
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ của chuổi:
1
(1)
ln
n
n
n

=


.
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi:
1
2

n
n
x
n

=

.
c) Tính tổng của chuổi lũy thừa:
2
1
(1)
n
n
nnx


=
+

Câu 2. Ký hiệu
{ }
2
2
1
:
nn
n
lxx

=


=<




C . Đặt
( )
,sup
nn
n
pxyxy

=
N
( )
1
2
2
1
,
nn
n
dxyxy

=

=

với
{ }
n
xx = ;
{ }
n
yy = thuộc
2
l
a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên
2
l .
b) ánh xạ đồng nhất
d
I :
22
(,)(,)ldlp là ánh xạ liên tục.
Câu 3. a) Cho hàm f 0 đo đợc, hữu hạn h. k. n trên tập hợp A, đặt
()
f(x) f(x)n
0 f(x)n
n
fx


=

nếu
nếu
và f
n
f h. k. n
Chứng minh rằng lim()
AnA
x
IfdLIfd
àà

= .
b) Giả sử E là tập con của không gian tôpô X. Chứng minh rằng tập E đóng khi và chỉ khi
E chứa tất cả các điểm giới hạn của nó.
Câu 4. ánh xạ f: E F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F đợc gọi là bị
chặn nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho
()fxC với mọi x E mà 1x . Chứng minh
rằng để f: E F bị chặn, điều kiện cần và đủ là f liên tục.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
5
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Đại số
Ngành: Toán

Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và VVf : là ánh xạ tuyến tính.
a) Chứng minh
( ) ( )
nfimf =+ kerdimdim .
b) Giả sử f đơn cấu. Chứng minh f là tự đẳng cấu của V.
c) Giả sử ff =
2
. Chứng minh Vfimf = ker .
d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f . Chứng minh rằng f
đợc xác định bởi
( )
xxf = ( là số thực cho trớc).
Câu 2. Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n. Chứng minh rằng:
a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic.
b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con.
c) X Y khi và chỉ khi m=n.
d) XìY là nhóm Xyclic cấp mìn khi và chỉ khi (m,n)=1.
Câu 3. Giả s X là một vành giao hoán có đơn vị . Một Iđêan A X của X đợc gọi là Iđêan tối
đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A. Một Iđêan P của X đợc
gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v X thì tích u.v P kéo theo u P hoặc v P . Giả sử I
là Iđêan của X. Chứng minh rằng:
a) X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại.
b) X/I là một trờng khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại .
c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
6
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho chuổi hàm:
( )
( )
1
1
21
3
n
n
n
x
n

=



. (1)
a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1)
b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó.
Câu 2. Cho hàm số
( )
1

y cos 0
,
x
0 0
x
fxy
x



=


=

nếu
nếu
a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f.
b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R
2
nhng mở trong tập
{ }
(0,):yyĂ .
Câu 3. Cho dy hàm

()
[ ] [ ]
[ ]
K,2,1,
1,0 0

1,0
1
=







= n
x
xnx
n
xf
n
nếu
nếu
Chứng minh rằng
a)
( )
lim
n
x
fxx

= với
[ ]
1,0x
b)

1
lim
2
n
x
If

= trong đó
n
If là tích phân Lơbe của
n
f trên R,
[ ]
nx là phần nguyên của nx .
Câu 4. Giả sử

l là tập tất cả cá dy số thực bị chặn ;
0
c là tập tất cả các dy số thực hội tụ tới
0.
a) Chứng minh rằng công thức

sup
n
n
xx

=
N
với

{ }
n
xx =

l xác định một chuẩn trên

l .
b) Chứng minh rằng
0
c là không gian con đóng trong

l với chuẩn nói trên.
c) Cho ánh xạ Rlf

: xác định bởi công thức
()
1
3
n
n
n
x
fx

=
=

, với mọi
{ }
n

xx =

l , Hy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên

l và tính
f .
Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E.
Chứng minh rằng với mọi x E, đều tồn tại y B sao cho
xy = d(x, B).
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
7
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
( )
( )


=
+

1

1
1
n
n
n
xn
.(1)
Xét tính khả vi của tổng chuỗi (1) tại những điểm trong miền hội tụ của nó.
Câu 2. 1) Xét tính liên tục của hàm số
( )





=

=
0 0
0
y
1
sin
,
y
yx
yxf
nếu
nếu
2) Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm f không đóng , không mở trong

2
R nhng mở trong R.
Câu 3. Cho dy hàm

()
[ ] [ ]
[ ]
K,2,1,
1,0 0
1,0
1
=







= n
x
xnx
n
xf
n
nếu
nếu
Chứng minh rằng
a)
( )

lim
n
x
fxx

= với
[ ]
1,0x
b)
1
lim
2
n
x
If

= trong đó
n
If là tích phân Lơ be của
n
f trên R,
[ ]
nx là phần nguyên của
nx .
Câu 4. Giả sử

l là tập tất cả cá dy số thực bị chặn ;
0
c là tập tất cả các dy số thực hội tụ tới
0.

a) Chứng minh rằng công thức
( )
nnNn
yxyxd =

sup, với
{ }
n
xx = ;
{ }
n
yy =

l xác
định một mêtric trên

l và mêtric đợc sinh bởi một chuẩn trên

l .
b)Chứng minh rằng
0
c là tập con đóng trong

l .
c) Cho ánh xạ Rlf

: bởi công thức
()

=
=
1
2
n
n
n
x
xf với mọi
{ }
n
xx = thuộc

l . Hy
chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính , liên tục trên

l và tính
f .
Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn ,

E là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên E và a là một điểm thuộc E. Chứng minh rằng ánh xạ CE
a


: đợc cho bởi công thức
( ) ( )
aff
a
= ;

Ef là ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và a
a
= .
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
8
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho V là không gian tất cả các đa thức một ẩn có bậc
n
với hệ số thực và :
VV
là
ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó.
a) Chứng minh rằng là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V.
b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của .
Câu 2. Cho ánh xạ
23
:f Ă Ă xác định bởi

( ) ( )
myxyxyxyxf ++= 2,,2,
a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính .

b) Tìm fker và
( )
imfdim trong trờng hợp f ánh xạ tuyến tính.
Câu 3. a) Chứng minh rằng mọi vành con của vành số nguyên  đều có dạng
mÂ
với
m Â
.
b) Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành  [5] các số thực có dạng
5ba + với a, b là các
số nguyên.
Câu 4. Cho K là một trờng có đặc số nguyên tố p. Chứng minh ánh xạ
p
xx
( )
Kx là một
tự đồng cấu khác không của trờng K. Từ đó hy chứng minh định lí Fecma bé: Với mọi số
nguyên a và số nguyên tố p ta có
( )
paa
p
mod .
Câu 5. Xét nhóm các số hữu tỉ với phép cộng thông thờng.
a) Chứng minh rằng không phải là nhóm Xyclic.
b)Nhóm thơng / Â có đẳng cấu với hay không?
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
9
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm
( )


=
+
1
22
1
n
xnn
x
.
Câu 2. Cho hàm số
( )
( ) ( )
( ) ( )





=

+=
0,0, 0
0,0,
1
cos
,
22
3
yx
yx
yx
x
yxf
nếu
nếu
a)Xét tính khả vi của hàm f tại điểm
( )
0,0 .
b) Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng của f tại điểm
( )
0,0 .
Câu 3. Khảo sát tính khả tích Rieman, khả tích Lơbe và tính các tích phân đó (nếu có ) đối với
hàm
( )

=
=
n
xe
n
x
yxf
x
1

1
sinx
,
nếu
nếu
, K,3,2,1=n trên đoạn
[ ]
1,0 .
Câu 4. Giả sử
{ }
{ }
<=
nnn
xRxl sup: ;

( ){ }
KKK ,2,1,,0,0,1,0,,0 === neA
n

Chứng minh rằng :
a) Các công thức
( )


=
=
1
1
,
n
nn
yxyxd ,
( )
nnn
yxyxd =

sup, với
{ }
n
xx = ;
{ }
n
yy =
lần lợt xác định mêtric trên
1
l ;

l .
b)

ll
1
nhng
( )

dl ,
1
không đóng trong
( )

dl , .
c) SpanA trù mật trong
( )
11
, dl nhng không trù mật trong
( )

dl , , trong đó SpanA là tập
hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A.
d) ánh xạ
( ) ( )
1
1
,,: ll


với
() { }
,

2
n
n
n
x
xxxl


==


là ánh xạ tuyến tính
liên tục. Tính
(
nn
xx sup=

;


=
=
1
1
n
n
xx ) với
{ }
n
xx = ).

Câu 5. Chứng minh rằng
{ }
n
A là dy các tập mở trong không gian mêtric đầy đủ X sao cho
XA = thì với mọi n thì
I

=
=
1n
n
AX .
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
10
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1. a) Cho phép biến đổi tuyến tính của
3
Ă đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:
815
231
411

Hy tìm giá trị riêng và vectơ riêng của .
b) Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông phần tử thực thỏa mn
2
0AI+= thì A không
có giá trị riêng thực. Từ đó suy ra không tồn tại ma trận vuông A cấp 3 phần tử thực thỏa mn
2
0AI+= (Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A ).
Bài 2. Cho nhóm G và AutG là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G với phép toán nhân ánh xạ.
Với mỗi a G, xét ánh xạ f
a
: G G
x a a
-1
xa
a) Chứng minh rằng f
a
là một tự đẳng cấu của G, và ta gọi đó là tự đẳng cấu trong xác
định bởi a.
b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong của G lập thành một nhóm con, ký
hiệu là IntG của nhóm AutG. Hơn nữa, IntG AutG.
c) Chứng minh rằng một nhóm con H của G là ớc chuẩn của G khi và chỉ khi f
a
(H) = H

với mọi f
a
IntG.
d) Chứng minh rằng nếu G không giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG
cũng không là Cyclic.
Bài 3. Cho tập X =
3
:,
xy
xy
yx








Z
, trong đó
3
 là trờng các lớp đồng d theo
modul 3.
a) Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trờng.
b) Tìm đặc số của trờng X.
Bài 4. a) Chứng minh rằng nếu K là một trờng thì vành đa thức K[x] là một vành chính.
b) Chứng minh rằng miền nguyên P không phải là trờng thì P[x] không là vành chính.
c) Gọi I = <x, 2> là Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x]. Chứng minh rằng I
gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính.

Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
11
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho hàm số
( )





=









+
=

0y 0
0y
y
x
1lny
,
2
2
2
nếu
nếu
yxf
Chứng minh rằng
a) ),(
''
yxf
xy
và ),(
''
yxf
ỹ
khôgnliên tục tại điểm (0,0).
b) )0,0(
''
xy
f = )0,0(
''
yx
f .
Câu 2. a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

( )
nxx
n
n
n
n
+


=
sin
4
2
1
.
b)Tính tổng của chuỗi hàm
( )
2
2
1


=

+
n
n
xnn trong miền hội tụ của nó.
Câu 3. Giả sử (X, d) là không gian mêtric , XXf : là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng
a) Tập hợp

( ){ }
xxfXxA == : là đóng.
b) Nếu X là tập compact và A thì tồn tại số c>0 sao cho xxxfd )),(( với mọi
Xx
.
Câu 4. Giả sử
{ }
n
f là dy các hàm đo đợc trên A A sao cho
+<



=
àdf
n
A
n
1
. Chứng minh
rằng hàm


=1n
n
f khả tíc trên A và
àà dfdf
A
n
n

n
A
n










=

= 11
.
Câu 5. Kí hiệu
[ ]
2
1,0
C là không gian tuyến tính các hàm khả vi liên tục đến cấp hai trên đoạn
[0,1]. Với mỗi x
[ ]
2
1,0
C ta đặt
( ) ( )
[ ]
)(''max1'0

1,0
txxxx
t
++= .
a) Chứng minh rằng công thức trên xác định một chuẩn trên
[ ]
2
1,0
C ;
b) Chứng minh rằng toán tử A:
[ ]
2
1,0
C
[ ]
2
1,0
C cho bởi công thức
( )
)('')(' txtxtAx += với mọi
x
[ ]
2
1,0
C ,
[ ]
1,0t tuyến tính nhng không liên tục.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
12

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho n là số nguyên dơng, P
n
(R) là tập hợp tất cả các đa thức ẩn x với hệ số thực có bậc
không vợt quá n.
a) Chứng minh P
n
(R) cùng với phép cộng đa thức và phép nhân đa thức với một số là một
không gian véc tơ thực.
b) Chứng minh rằng hệ véc tơ
n
xxx )1(,,)1(,1,1
2
K là một cơ sở của P
n
(R). Tìm số
chiều của P
n
(R).
Câu 2. Giả sử V là không gai véc tơ n chiều trên trờng K và V
1
là không gian con của V với số
chiều bằng m,

nm <<0
.
a)Chứng minh rằng tồn tại không gian con V
2
của V sao cho V=
21
VV . Tìm số chiều
của V
2
.
b) Hy nờu cách xây dựng không gian véc tơ thơng
1
/VV và tìm số chiều của không
gian đó.
Câu 3. Giả sử
*
Ê là nhóm nhân các số phức khác không, H là tập hợp các số phức của
*
Ê nằm
trên trục thực và trục ảo , Ă là nhóm cộng các số thực, Â là nhóm cộng các số nguyên.
a) Chứng minh rằng H là ớc chuẩn của
*
Ê .
b) Chứng minh rằng  là ớc chuẩn của Ă .
c) Chứng minh rằng nhóm thơng
*
Ê / H đẳng cấu với nhóm Ă / Â .
Câu 4. Giả sử Â là vành các số nguyên . Lập tích đề các V= Â ì Â .
a) Chứng minh rằng V cúng với phép toán cộng và nhân xác định bởi :
(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)

(a,b).(x,y)=(ax,by) là một vành giao hoán có đơn vị . Tìm ớc của không trong
vành đó.
b) Chứng minh rằng V cựng với phép cộng và phép nhân xác định bởi
(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)
(a,b).(x,y)=(ax,ay+bx+by) là một vành gaio hoán có đơn vị . Tìm ớc của không
trong vành đó.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
13
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi bổ túc thi cao học năm 2005
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. 1) Xét tính liên tục và khả vi của hàm số:
( )
322
22
(;)(0;0)
,
0 (;)(0;0)
xxy
xy
fxy
xy
xy

=
+


=

nếu
nếu
2) Cho chuỗi hàm:
( )
1
1
2
2
n
n
n
x

=
+

(1)
a) Tìm miền hội tụ, hội tụ đều của chuổi (1)
b) Tính tổng của chuổi (1) trong miền hội tụ của nó.
Câu 2. Giả sử
1

l =
{ }






<=


=1
,;:
n
nnn
xNnCxxx
.
a) Chứng minh rằng công thức
1
n
n
xx

=
=

với
{}
n
xx=

1
l xác định một chuẩn trên
1
l.
b) Chứng minh rằng ánh xạ f:
1
l R với
() { }
1
1
f,
2
n
n
n
n
x
xxxl

=
==

là ánh xạ tuyến tính
liên tục. Tính
f.
Câu 3. Gỉa sử X là một không gian metric, K là một tập compact của X, a và b là hai điểm thuộc
X\ K. Chứng minh rằng tồn tại hai tập mở U, V trong X sao cho U V = , K U, {a, b} V.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
14

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. a) Cho hàm số
2
:f Ă Ă xác định bởi
( )
22
22
22
0
,
0 0
xy
xy
xy
fxy
xy

+

+
=

+=

nếu
nếu
Chứng minh rằng hàm f(x, y) liên tục theo biến x khi cố định y và liên tục theo biến y khi
cố định biến x nhng không liên tục theo hai biến (x, y)
b) Giả sử G
2
Ă và :fG Ă . Chứng minh rằng nếu hàm f(x, y)liên tục theo biến x với
mỗi y cố định và có đạo hàm riêng theo biến y bị chặn trên miền G, thì f(x, y) liên tục trên G.
Câu 2. a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
1
2
4
1
1
n
n
n
dx
x
+

=
+


.
b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm:
0

(23)
nnn
n
x

=
+

.
Câu 3. a) Chứng minh rằng tập hợp các số thực Ă với hàm d: Ă ì Ă Ă cho bởi d(x,
y) =
33
xyxy+, với mọi x, y Ă là không gian metric đầy đủ.
b) Chứng minh rằng ánh xạ đồng nhất I
d
: (Ă ,
) (Ă , d) t không gian các số thực
với metric khoảng cách thông thờng vào không gian metric (Ă , d) là ánh xạ liên tục nhng
không liên tục đều.
Câu 4. a) Chứng minh rằng không gian các số thực với tôpô thông thờng là không gian thỏa
mn tiên đề đếm đợc thứ hai.
b) Giả sử f: (0: 1] Ă là hàm bị chặn, đo đợc Lebesgue. Kí hiệu E = (0 ; 1] và E
n
=
(
11
,
1nn+
] với n 1. Chứng minh rằng:
a) Hàm f khả tích Lebesgue trên E và E

n
với mọi n 1.
b)
1
n
n
EE
fdfdàà

=
=


.
Câu 5. a) Giả sử X và Y là hai không gian Banach, Y
*
là không gian liên hợp của Y và A: X
Y là toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng nếu với mọi dy {x
n
} X sao cho x
n
0 và với mọi
f Y
*
ta có f[A(x
n
)] 0 khi n , thì f liên tục.
b) Chứng minh rằng trong không gian định chuẩn
2
l =

{ }
2
1
:;,
nnn
n
xxxnx

=

=<



CN
với chuẩn
1
2
2
1
n
n
xx

=

=

, x = {x
n
}
2
l , hình cầu
đóng B'(0, r) =
{ }
{ }
:
n
xxxr= với r > 0 không là tập compact.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
15
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai A trên trờng các số thực Ă sao cho A
2
= 0.
Câu 2. Cho ánh xạ
32
:f Ă Ă xác định bởi : f(x, y) = (2x - y, x + y, x - 2y + 2a).
a) Tìm a để f là ánh xạ tuyến tính.

b) Tìm Ker(f) và Im(f) trong trờng hợp f là ánh xạ tuyến tính.
Câu 3. Chứng minh rằng:
a) Có duy nhất một đồng cấu từ nhóm cộng các số hữu tỷ đến nhóm cộng các số
nguyên  .
b) Nhóm cộng các số hữu tỷ không phải là nhóm Cyclic.
c) Nhóm thơng / Â không đẳng cấu với nhóm cộng các số hữu tỷ .
Câu 4. Kí hiệu  [i] là vành các số phức dạng a + bi, với a, b là các số nguyên (với phép cộng và
nhân số phức).
a) Chứng minh rằng, ánh xạ f xác định bởi f(a + bi) = a - bi là một tự đẳng cấu của vành
 [i].
b) Tìm tất cả các tự đẳng cấu của  [i].
c) Mô tả vành thơng  [i]/ A, trong đó A là Ideal của vành  [i], gồm các số phức dạng
a + bi, với a, b là các số nguyên chẳn.
Câu 5. Cho X là một miền nguyên. Chứng minh rằng, X là một trờng khi và chỉ khi X chỉ có hai
Ideal tầm thờng là {0} và X.