Sự tương tự giữa số và hàm và ứng dụng trong toán sơ cấp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K
f(x) ∈ K[x]
f(x) = p
α
1
1
p
α
2
2
p
α
n
n
,
p
i
(x) = (x − a
i
), a
i
∈ K.
P + Q = R.
n
0
(f) f

max{degP, degQ, degR} ≤ n
0
(P.Q.R) − 1.
P + Q = R
P
R
+
Q
R
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f =
P
R
g =
Q
R
. f + g = 1
f

+ g

= 0 f

= −g

f

f
g


g
= −
g
f
= −
Q
P
.
P = m

(z −a
i
)
α
i
; Q = n

(z −b
t
)
β
t
; R = l

(z −c
j
)
γ
j

.
P

P
= m

α
i
z −a
i
Q

Q
= n

β
t
z −b
t
R

R
= l

γ
j
z −c
j
.
f


f
=
P

P
−
R

R
,
g

g
=
Q

Q
−
R

R
.
Q
P
= −
m

α
i

z −a
i
− l

γ
j
z −c
j
n

β
t
z −b
t
− l

γ
j
z −c
j
.
D(z) =

(z −a
i
)

(z −b
t
)


(z −c
j
).
D(z) = n
0
(P QR)
D(z)
z −a
i
= n
0
(P QR) −1 =
D(z)
z −b
t
=
D(z)
z −c
j
. 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D(t)
Q
P
= −
m

α
i

z −a
i
− l

γ
j
z −c
j
n

β
t
z −b
t
− l

γ
j
z −c
j
.
D(z)
D(z)
. 1.2
n
0
(P QR) −1.
Q
P
n

0
(P QR) −1.
P Q
Q.(D.
g

g
) = −P.(D.
f

f
).
P Q n
0
(P QR) −1.
R = P + Q R n
0
(P QR) −1.
max{degP, degQ, degR} ≤ n
0
(P QR) −1.
∀n ≥ 3 P, Q, R
P
n
+ Q
n
= R
n
.
P, Q, R

P
n
Q
n
R
n
degP + degQ + degR.
max{degP
n
, degQ
n
, degR
n
} ≤ n
0
(P
n
Q
n
R
n
) − 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇔ max{n.degP, n.degQ, n.degR} ≤ n
0
(P.Q.R) − 1
↔ max{n.degP, n.degQ, n.degR} ≤ degP + degQ + degR −1,
⇒ n.degP ≤ degP + degQ + degR − 1
n.degQ ≤ degP + degQ + degR − 1
n.degR ≤ degP + degQ + degR − 1.

n(degP + degQ + degR) ≤ 3(degP + degQ + degR) − 3.
n ≥ 3 ⇒
P
2008
+ Q
2009
= R
2010
.
max{degP
2008
, degQ
2009
, degR
2010
} ≤ n
0
(P
2008
.Q
2009
.R
2010
) − 1
⇔ max{2008degP, 2009degQ, 2010degR} ≤ degP + degQ + degR −1
⇒ 2008degP ≤ degP + degQ + degR − 1
2009degQ ≤ degP + degQ + degR − 1
2010degR ≤ degP + degQ + degR − 1
⇒ 2008degP + 2009degQ + 2010degR ≤ 3(degP + degQ + degR) − 3
⇔ 2005degP + 2006degQ + 2007degR ≤ −3.

⇒
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
m
+ Q
n
= R
k
,
1
n
+
1
m
+
1
k
< 1.
max{degP
m
, degQ
n
, degR
k
} ≤ n
0
(P
m
.Q
n

.R
k
) − 1,
⇔ max{mdegP, ndegQ, kdegR} ≤ degP + degQ + degR −1,
⇒ mdegP ≤ degP + degQ + degR − 1,
⇐⇒
1
m
≥
degP
degP + degQ + degR − 1
.
1
n
≥
degQ
degP + degQ + degR − 1
,
1
k
≥
degR
degP + degQ + degR − 1
.
1
m
+
1
n
+

1
k
≥
degP + degQ + degR
degP + degQ + degR − 1
> 1.
P, Q P
2
= Q
3
.
deg(P
2
− Q
3
) ≥
1
2
deg(Q) + 1,
deg(P
2
− Q
3
) ≥
1
3
deg(P ) + 1.
R = P
2
− Q

3
⇔ R + Q
3
= P
2
.
max{degR, degQ
3
, degP
2
} ≤ n
0
(P
2
RQ
3
) − 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇒ degP
2
≤ n
0
(P
2
Q
3
R) − 1
degQ
3
≤ n

0
(P
2
Q
3
R) − 1
⇒ 2degP ≤ degP + degQ + degR − 1 1.3
3degQ ≤ degP + degQ + degR − 1 1.4
⇒ 2degP + 3degQ ≤ 2(degP + degQ + degR − 1)
⇒ degR ≥
1
2
degQ + 1
⇔ deg(P
2
− Q
3
) ≥
1
2
degQ + 1.
4degP ≤ 2degP + 2degQ + 2degR − 2 1.5
degP ≤ 3degR − 3
⇒ degR ≥
1
3
degP + 1
⇒ deg(P
2
− Q

3
) ≥
1
3
degP + 1.
P
m
= Q
n
.
deg(P
m
− Q
n
) ≥
m.n − n − m
n
.deg(P ) + 1, 1.6
deg(P
m
− Q
n
) ≥
m.n − m − n
m
.deg(Q) + 1. 1.7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
3
= Q

4
.
deg(P
3
− Q
4
) ≥
5
3
.deg(P ) + 1,
deg(P
3
− Q
4
) ≥
5
4
.deg(Q).
P
7
= Q
5
.
deg(P
7
− Q
5
) ≥
23
7

.deg(Q) + 1,
deg(P
7
− Q
5
) ≥
23
5
.deg(P ).
X
4
+ Y
4
= Z
2
X = Y = Z = 0
max{deg(X
4
), deg(Y
4
), deg(Z
2
)} ≤ n
0
(X
4
Y
4
Z
2

) − 1.
deg(X
4
) ≤ n
0
(X.Y.Z) − 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇔ 4deg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1 1.8.
4deg(Y ) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1, 1.9
2deg(Z) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1. 1.10
deg(Z) ≤ deg(X) + deg(Y ) − 1. 1.11
2[deg(X) + deg(Y )] ≤ 2deg(Z) − 2. 1.12
2[deg(X) + deg(Y )] ≤ 2[deg(X) + deg(Y ) − 1] − 2,
⇐⇒ 0 ≤ −4.
X
p
+ Y
q
= Z
r
.
p = q = r ≥ 3
X
p
+ Y
q
= Z
r
.
pdeg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1,

qdeg(Y ) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
rdeg(Z) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1.
(p − 3)deg(X) + (q −3)deg(Y ) + ( r −3)deg(Z) ≤ −3.
p, q, r ≥ 3.
n ≥ 3
x
n
+ y
n
= 1
1
p
+
1
q
+
1
r
≤ 1
X
p
+ Y
q
= Z
r
X
p
− Y
q

= 1
X(t), Y (t) X
p
− Y
q
= 1.
max{deg(X
p
), deg(Y
q
)} ≤ n
0
(X
p
.Y
q
) − 1.
p.deg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) − 1, 1.13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q.deg(Y ) ≤ deg(X) + deg(Y ) − 1. 1.14
(p − 2)deg(X) + (q −2)deg(Y ) ≤ −2. 1.15
p, q ≥ 2 (p − 2)deg(X) + (q −2)deg(Y ) ≥ 0.
2 ≤ p ≤ q ≤ r
X(t), Y (t), Z(t)
X
p
+ Y
q
= Z
r

.
a)(p, q, r) = (2, 2, r) r ≥ 2
b)(p, q, r) = (2, 3, r) 3 ≤ r ≤ 5.
X(t), Y (t), Z(t)
max{deg(X
p
), deg(Y
q
), deg(Z
r
)} ≤ n
0
(X
p
.Y
q
.Z
r
) − 1.
pdeg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1,
⇔ p.a ≤ a + b + c − 1.
q.b ≤ a + b + c − 1,
r.c ≤ a + b + c −1.
p.a + q.b + r.c ≤ 3(a + b + c −1). 1.16
p ≤ q ≤ r
p(a + b + c) ≤ p.a + q.b + r.c. 1.17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p(a + b + c) ≤ 3(a + b + c) − 3.
p < 3 p ≥ 2 p = 2.
p.a ≤ a + b + c − 1.

2.a ≤ a + b + c − 1.
a ≤ b + c − 1.
q.b ≤ a + b + c − 1.
q.b ≤ 2b + 2c − 2. 1.18
q = 2
(p, q, r) = (2, 2, r); r ≥ 2
q ≥ 3.
q ≤ r,
q(b + c) ≤ q.b + r.c ≤ 2(a + b + c −1) ≤ 4(b + c −1) ≤ 4(b + c) −4.
(q −4)(b + c) ≤ −4.
q ≤ 3. q = 3
b ≤ 2c − 2. 1.19
r.c ≤ a + b + c −1 ≤ 2(b + c −1) ≤ 6(c −6).
r < 6.
3 = q ≤ r (p, q, r) = (2, 3, r) 3 ≤ r ≤ 5.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(t), g(t)
f
2
(t) = g
3
(t) + a f g
f g
f
2
(t) = g
3
(t) + a f
2
− g

3
= a = 0.
m = 2, n = 3
deg(f
2
− g
3
) ≥
1
3
.deg(f) + 1,
⇔ deg(a) ≥
1
3
.deg(f) + 1.
deg(a) = 0 deg(f).0 f g
f(t), g(t) f
m
(t) = g
n
(t) + a,
m, n ≥ 2 f g
f g
deg(f
m
− g
n
) ≥
m.n − m − n
m

.deg(g) + 1. 1.20
m, n ≥ 2 (m − 2)(n − 2) ≥ 0.
m.n − (m + n) + 4 − (m + n) ≥ 0.
m.n − (m + n) ≥ 0 4 − (m + n) ≤ 0
m.n − m − n
m
.deg(g) + 1 ≥ 1 deg(f
m
− g
n
) = deg(a) = 0.
f g
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(t) g(t)
(f + g)
3
+ g
4
= f
5
.
(f, g) = 1, gcd(f, g, f + g) = 1.
p = 3 , q = 4, f = 5
f(t) g(t)
(f + g)
3
= g
3
+ f
3

.
(f + g)
3
= g
3
+ f
3
.
⇔ 3f
2
.g + 3f.g
2
= 0,
⇔ 3.f.g(f + g) = 0.
f(t) g(t)
(f + g)
n
= g
n
+ f
n
. 1.21
(f, g) = 1 gcd(f, g, f + g) = 1.
f(t) g(t)
(f + g)
n
= g
n
+ f
n

.
f(t) = −g(t) f g
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(f, g) = h, h = 0, h = f. u, v
f = h.u, g = h.v. (f + g)
n
= g
n
+ f
n
⇔ (u + v)
n
= v
n
+ v
n
. 1.22
(u, v) = 1
f(t) = −g(t) f g
(f, g) = 1 gcd(f, g, f + g) = 1.
f(t) g(t)
(f + g)
n
= g
n
+ f
n
.
f g
(f, g) = h, h = 0. u, v

f = h.u, g = h.v. (f + g)
n
= g
n
+ f
n
⇔ (u + v)
n
= u
n
+ v
n
.
(u, v) = 1
f g
(2
x
− 4)
3
+ (4
x
− 2)
3
= (4
x
+ 2
x
− 6)
3
.

2
x
− 4 = 0 4
x
− 2 = 0
4
x
+ 2
x
− 6 = 0. x = 2
x = 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P (t) = (1 − t
2
)
3
− 1.
P (t) t = 0
P (t) + 1 = (1 − t
2
)
3
t = 1 t = −1
P + 1
P + 1
n
0
(P ) ≤
1
2

.deg(P ).
P + 1
n
0
(P + 1) ≤
1
2
.deg(P + 1).
n
0
(P ) + n
0
(P + 1) ≤
1
2
.[deg(P ) + deg(p + 1)].
deg(P ) + deg(P + 1) ≥ 2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)]. 1.23
(P + 1) −P = 1, (P, P + 1) = 1,
P (a) = 0, P (a) + 1 = 0
(P, P + 1) = 1 P + 1
max{deg(P ), deg(P + 1)} ≤ n
0
(P.(P + 1)) −1.
deg(P ) ≤ n
0
(P ) + n

0
(P + 1) − 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
deg(P + 1) ≤ n
0
(P ) + n
0
(P + 1) − 1.
deg(P ) + deg(P + 1) ≤ 2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)] − 2. 1.24
2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)] ≤ deg(P ) + deg(P + 1) ≤ 2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)] − 2.
⇔ 0 ≤ −2 .
α
1
, α
2
, α
n
β

1
, β
2
, β
m
deg(P ) ≥ deg(Q).
(P + 1) − P = 1 (P, P + 1) = 1.
max{deg(P ), deg(P + 1)} ≤ n
0
(P.(P + 1)) −1.
deg(P ) ≤ n
0
(P ) + n
0
(P + 1) − 1.
⇔ m + n ≥ deg(P ) + 1 ≥ deg(P − Q) + 1. 1.25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(P + 1) − (Q + 1) = P −Q P + 1
P − Q. m + n ≤ deg(P ).
P − Q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
deg(P.Q) = deg(P ) + deg(Q)
log(a.b) = log(a) + log(b),
n
0
(P )
n
0
(P.Q) ≤ n
0

(P ) + n
0
(Q),
rad(ab) rad(ab) ≤ rad(a).rad(b).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a + b = c. ∀ > 0 C()
max{| a |, | b |, | c |} ≤ C()r(abc)
1+
.
(a, b, c) a + b = c
(a, b) = 1, abc
C() = inf
(a,b,c)∈I
c
(r(abc))
1+
, 2.1
i = {(a, b, c) ∈ N
3
: (a, b) = 1; a + b = c}.
 = 0
 > 0, C()
abc
lim
→0
C() = +∞. (∗)
x
n
y
n

x
n
+ y
n
√
2 = (3 + 2.
√
2)
n
.
n ≥ 1; 1 + 2.y
2
n
= x
2
n
n = 2
m
x
2
n
= 1+ 2.y
2
n
n = 2
m
x
2
n
≤ C().(r(x

n
, y
n
))
1+
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
≤ C().(r(x
n
y
n
)/2
m
)
1+
,
≤ C()x
2(1+)
n
/2
m(1+)
.
C() ≥ 2
m(1+)
/x
2
n
lim
→0
C() ≥ 2

m
.
lim
→0
C() = +∞.
1985
C()
[3]
k > 0 (a, b, c)
a + b = c (a, b) = 1
c < exp{k(r(abc))
15
}.
k > 0 (a, b, c)
a + b = c (a, b) = 1
c < exp{k(r(abc))
2/3+k/ log . log r(abc)
}.
rad(abc)
x
n
+y
n
= z
n
n ≥ 3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên