Tải bản đầy đủ (.pdf) (54 trang)

Sự tương tự giữa số và hàm và ứng dụng trong toán sơ cấp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (428.31 KB, 54 trang )

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
K
f(x) ∈ K[x]
f(x) = p
α
1
1
p
α
2
2
p
α
n
n
,
p
i
(x) = (x − a
i
), a
i
∈ K.
P + Q = R.
n
0
(f) f


max{degP, degQ, degR} ≤ n
0
(P.Q.R) − 1.
P + Q = R
P
R
+
Q
R
= 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f =
P
R
g =
Q
R
. f + g = 1
f

+ g

= 0 f

= −g

f

f
g


g
= −
g
f
= −
Q
P
.
P = m

(z −a
i
)
α
i
; Q = n

(z −b
t
)
β
t
; R = l

(z −c
j
)
γ
j

.
P

P
= m

α
i
z −a
i
Q

Q
= n

β
t
z −b
t
R

R
= l

γ
j
z −c
j
.
f


f
=
P

P

R

R
,
g

g
=
Q

Q

R

R
.
Q
P
= −
m

α
i

z −a
i
− l

γ
j
z −c
j
n

β
t
z −b
t
− l

γ
j
z −c
j
.
D(z) =

(z −a
i
)

(z −b
t
)


(z −c
j
).
D(z) = n
0
(P QR)
D(z)
z −a
i
= n
0
(P QR) −1 =
D(z)
z −b
t
=
D(z)
z −c
j
. 1.1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D(t)
Q
P
= −
m

α
i

z −a
i
− l

γ
j
z −c
j
n

β
t
z −b
t
− l

γ
j
z −c
j
.
D(z)
D(z)
. 1.2
n
0
(P QR) −1.
Q
P
n

0
(P QR) −1.
P Q
Q.(D.
g

g
) = −P.(D.
f

f
).
P Q n
0
(P QR) −1.
R = P + Q R n
0
(P QR) −1.
max{degP, degQ, degR} ≤ n
0
(P QR) −1.
∀n ≥ 3 P, Q, R
P
n
+ Q
n
= R
n
.
P, Q, R

P
n
Q
n
R
n
degP + degQ + degR.
max{degP
n
, degQ
n
, degR
n
} ≤ n
0
(P
n
Q
n
R
n
) − 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇔ max{n.degP, n.degQ, n.degR} ≤ n
0
(P.Q.R) − 1
↔ max{n.degP, n.degQ, n.degR} ≤ degP + degQ + degR −1,
⇒ n.degP ≤ degP + degQ + degR − 1
n.degQ ≤ degP + degQ + degR − 1
n.degR ≤ degP + degQ + degR − 1.

n(degP + degQ + degR) ≤ 3(degP + degQ + degR) − 3.
n ≥ 3 ⇒
P
2008
+ Q
2009
= R
2010
.
max{degP
2008
, degQ
2009
, degR
2010
} ≤ n
0
(P
2008
.Q
2009
.R
2010
) − 1
⇔ max{2008degP, 2009degQ, 2010degR} ≤ degP + degQ + degR −1
⇒ 2008degP ≤ degP + degQ + degR − 1
2009degQ ≤ degP + degQ + degR − 1
2010degR ≤ degP + degQ + degR − 1
⇒ 2008degP + 2009degQ + 2010degR ≤ 3(degP + degQ + degR) − 3
⇔ 2005degP + 2006degQ + 2007degR ≤ −3.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
m
+ Q
n
= R
k
,
1
n
+
1
m
+
1
k
< 1.
max{degP
m
, degQ
n
, degR
k
} ≤ n
0
(P
m
.Q
n

.R
k
) − 1,
⇔ max{mdegP, ndegQ, kdegR} ≤ degP + degQ + degR −1,
⇒ mdegP ≤ degP + degQ + degR − 1,
⇐⇒
1
m

degP
degP + degQ + degR − 1
.
1
n

degQ
degP + degQ + degR − 1
,
1
k

degR
degP + degQ + degR − 1
.
1
m
+
1
n
+

1
k

degP + degQ + degR
degP + degQ + degR − 1
> 1.
P, Q P
2
= Q
3
.
deg(P
2
− Q
3
) ≥
1
2
deg(Q) + 1,
deg(P
2
− Q
3
) ≥
1
3
deg(P ) + 1.
R = P
2
− Q

3
⇔ R + Q
3
= P
2
.
max{degR, degQ
3
, degP
2
} ≤ n
0
(P
2
RQ
3
) − 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇒ degP
2
≤ n
0
(P
2
Q
3
R) − 1
degQ
3
≤ n

0
(P
2
Q
3
R) − 1
⇒ 2degP ≤ degP + degQ + degR − 1 1.3
3degQ ≤ degP + degQ + degR − 1 1.4
⇒ 2degP + 3degQ ≤ 2(degP + degQ + degR − 1)
⇒ degR ≥
1
2
degQ + 1
⇔ deg(P
2
− Q
3
) ≥
1
2
degQ + 1.
4degP ≤ 2degP + 2degQ + 2degR − 2 1.5
degP ≤ 3degR − 3
⇒ degR ≥
1
3
degP + 1
⇒ deg(P
2
− Q

3
) ≥
1
3
degP + 1.
P
m
= Q
n
.
deg(P
m
− Q
n
) ≥
m.n − n − m
n
.deg(P ) + 1, 1.6
deg(P
m
− Q
n
) ≥
m.n − m − n
m
.deg(Q) + 1. 1.7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P
3
= Q

4
.
deg(P
3
− Q
4
) ≥
5
3
.deg(P ) + 1,
deg(P
3
− Q
4
) ≥
5
4
.deg(Q).
P
7
= Q
5
.
deg(P
7
− Q
5
) ≥
23
7

.deg(Q) + 1,
deg(P
7
− Q
5
) ≥
23
5
.deg(P ).
X
4
+ Y
4
= Z
2
X = Y = Z = 0
max{deg(X
4
), deg(Y
4
), deg(Z
2
)} ≤ n
0
(X
4
Y
4
Z
2

) − 1.
deg(X
4
) ≤ n
0
(X.Y.Z) − 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
⇔ 4deg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1 1.8.
4deg(Y ) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1, 1.9
2deg(Z) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1. 1.10
deg(Z) ≤ deg(X) + deg(Y ) − 1. 1.11
2[deg(X) + deg(Y )] ≤ 2deg(Z) − 2. 1.12
2[deg(X) + deg(Y )] ≤ 2[deg(X) + deg(Y ) − 1] − 2,
⇐⇒ 0 ≤ −4.
X
p
+ Y
q
= Z
r
.
p = q = r ≥ 3
X
p
+ Y
q
= Z
r
.
pdeg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1,

qdeg(Y ) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
rdeg(Z) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1.
(p − 3)deg(X) + (q −3)deg(Y ) + ( r −3)deg(Z) ≤ −3.
p, q, r ≥ 3.
n ≥ 3
x
n
+ y
n
= 1
1
p
+
1
q
+
1
r
≤ 1
X
p
+ Y
q
= Z
r
X
p
− Y
q

= 1
X(t), Y (t) X
p
− Y
q
= 1.
max{deg(X
p
), deg(Y
q
)} ≤ n
0
(X
p
.Y
q
) − 1.
p.deg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) − 1, 1.13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
q.deg(Y ) ≤ deg(X) + deg(Y ) − 1. 1.14
(p − 2)deg(X) + (q −2)deg(Y ) ≤ −2. 1.15
p, q ≥ 2 (p − 2)deg(X) + (q −2)deg(Y ) ≥ 0.
2 ≤ p ≤ q ≤ r
X(t), Y (t), Z(t)
X
p
+ Y
q
= Z
r

.
a)(p, q, r) = (2, 2, r) r ≥ 2
b)(p, q, r) = (2, 3, r) 3 ≤ r ≤ 5.
X(t), Y (t), Z(t)
max{deg(X
p
), deg(Y
q
), deg(Z
r
)} ≤ n
0
(X
p
.Y
q
.Z
r
) − 1.
pdeg(X) ≤ deg(X) + deg(Y ) + deg(Z) − 1,
⇔ p.a ≤ a + b + c − 1.
q.b ≤ a + b + c − 1,
r.c ≤ a + b + c −1.
p.a + q.b + r.c ≤ 3(a + b + c −1). 1.16
p ≤ q ≤ r
p(a + b + c) ≤ p.a + q.b + r.c. 1.17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
p(a + b + c) ≤ 3(a + b + c) − 3.
p < 3 p ≥ 2 p = 2.
p.a ≤ a + b + c − 1.

2.a ≤ a + b + c − 1.
a ≤ b + c − 1.
q.b ≤ a + b + c − 1.
q.b ≤ 2b + 2c − 2. 1.18
q = 2
(p, q, r) = (2, 2, r); r ≥ 2
q ≥ 3.
q ≤ r,
q(b + c) ≤ q.b + r.c ≤ 2(a + b + c −1) ≤ 4(b + c −1) ≤ 4(b + c) −4.
(q −4)(b + c) ≤ −4.
q ≤ 3. q = 3
b ≤ 2c − 2. 1.19
r.c ≤ a + b + c −1 ≤ 2(b + c −1) ≤ 6(c −6).
r < 6.
3 = q ≤ r (p, q, r) = (2, 3, r) 3 ≤ r ≤ 5.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(t), g(t)
f
2
(t) = g
3
(t) + a f g
f g
f
2
(t) = g
3
(t) + a f
2
− g

3
= a = 0.
m = 2, n = 3
deg(f
2
− g
3
) ≥
1
3
.deg(f) + 1,
⇔ deg(a) ≥
1
3
.deg(f) + 1.
deg(a) = 0 deg(f).0 f g
f(t), g(t) f
m
(t) = g
n
(t) + a,
m, n ≥ 2 f g
f g
deg(f
m
− g
n
) ≥
m.n − m − n
m

.deg(g) + 1. 1.20
m, n ≥ 2 (m − 2)(n − 2) ≥ 0.
m.n − (m + n) + 4 − (m + n) ≥ 0.
m.n − (m + n) ≥ 0 4 − (m + n) ≤ 0
m.n − m − n
m
.deg(g) + 1 ≥ 1 deg(f
m
− g
n
) = deg(a) = 0.
f g
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
f(t) g(t)
(f + g)
3
+ g
4
= f
5
.
(f, g) = 1, gcd(f, g, f + g) = 1.
p = 3 , q = 4, f = 5
f(t) g(t)
(f + g)
3
= g
3
+ f
3

.
(f + g)
3
= g
3
+ f
3
.
⇔ 3f
2
.g + 3f.g
2
= 0,
⇔ 3.f.g(f + g) = 0.
f(t) g(t)
(f + g)
n
= g
n
+ f
n
. 1.21
(f, g) = 1 gcd(f, g, f + g) = 1.
f(t) g(t)
(f + g)
n
= g
n
+ f
n

.
f(t) = −g(t) f g
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(f, g) = h, h = 0, h = f. u, v
f = h.u, g = h.v. (f + g)
n
= g
n
+ f
n
⇔ (u + v)
n
= v
n
+ v
n
. 1.22
(u, v) = 1
f(t) = −g(t) f g
(f, g) = 1 gcd(f, g, f + g) = 1.
f(t) g(t)
(f + g)
n
= g
n
+ f
n
.
f g
(f, g) = h, h = 0. u, v

f = h.u, g = h.v. (f + g)
n
= g
n
+ f
n
⇔ (u + v)
n
= u
n
+ v
n
.
(u, v) = 1
f g
(2
x
− 4)
3
+ (4
x
− 2)
3
= (4
x
+ 2
x
− 6)
3
.

2
x
− 4 = 0 4
x
− 2 = 0
4
x
+ 2
x
− 6 = 0. x = 2
x = 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
P (t) = (1 − t
2
)
3
− 1.
P (t) t = 0
P (t) + 1 = (1 − t
2
)
3
t = 1 t = −1
P + 1
P + 1
n
0
(P ) ≤
1
2

.deg(P ).
P + 1
n
0
(P + 1) ≤
1
2
.deg(P + 1).
n
0
(P ) + n
0
(P + 1) ≤
1
2
.[deg(P ) + deg(p + 1)].
deg(P ) + deg(P + 1) ≥ 2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)]. 1.23
(P + 1) −P = 1, (P, P + 1) = 1,
P (a) = 0, P (a) + 1 = 0
(P, P + 1) = 1 P + 1
max{deg(P ), deg(P + 1)} ≤ n
0
(P.(P + 1)) −1.
deg(P ) ≤ n
0
(P ) + n

0
(P + 1) − 1,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
deg(P + 1) ≤ n
0
(P ) + n
0
(P + 1) − 1.
deg(P ) + deg(P + 1) ≤ 2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)] − 2. 1.24
2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)] ≤ deg(P ) + deg(P + 1) ≤ 2[n
0
(P ) + n
0
(P + 1)] − 2.
⇔ 0 ≤ −2 .
α
1
, α
2
, α
n
β

1
, β
2
, β
m
deg(P ) ≥ deg(Q).
(P + 1) − P = 1 (P, P + 1) = 1.
max{deg(P ), deg(P + 1)} ≤ n
0
(P.(P + 1)) −1.
deg(P ) ≤ n
0
(P ) + n
0
(P + 1) − 1.
⇔ m + n ≥ deg(P ) + 1 ≥ deg(P − Q) + 1. 1.25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(P + 1) − (Q + 1) = P −Q P + 1
P − Q. m + n ≤ deg(P ).
P − Q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
deg(P.Q) = deg(P ) + deg(Q)
log(a.b) = log(a) + log(b),
n
0
(P )
n
0
(P.Q) ≤ n
0

(P ) + n
0
(Q),
rad(ab) rad(ab) ≤ rad(a).rad(b).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a + b = c. ∀ > 0 C()
max{| a |, | b |, | c |} ≤ C()r(abc)
1+
.
(a, b, c) a + b = c
(a, b) = 1, abc
C() = inf
(a,b,c)∈I
c
(r(abc))
1+
, 2.1
i = {(a, b, c) ∈ N
3
: (a, b) = 1; a + b = c}.
 = 0
 > 0, C()
abc
lim
→0
C() = +∞. (∗)
x
n
y
n

x
n
+ y
n

2 = (3 + 2.

2)
n
.
n ≥ 1; 1 + 2.y
2
n
= x
2
n
n = 2
m
x
2
n
= 1+ 2.y
2
n
n = 2
m
x
2
n
≤ C().(r(x

n
, y
n
))
1+
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
≤ C().(r(x
n
y
n
)/2
m
)
1+
,
≤ C()x
2(1+)
n
/2
m(1+)
.
C() ≥ 2
m(1+)
/x
2
n
lim
→0
C() ≥ 2

m
.
lim
→0
C() = +∞.
1985
C()
[3]
k > 0 (a, b, c)
a + b = c (a, b) = 1
c < exp{k(r(abc))
15
}.
k > 0 (a, b, c)
a + b = c (a, b) = 1
c < exp{k(r(abc))
2/3+k/ log . log r(abc)
}.
rad(abc)
x
n
+y
n
= z
n
n ≥ 3.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

×