Chương 4. Định lí Thales Toán 8 Chương trình mới
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.04 MB, 25 trang )
CHƯƠNG 4. ĐỊNH LÍ THALÈS
Bài 1. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC.
I. LÝ THUYẾT.
1) Đoạn thẳng tỉ lệ.
Ví dụ 1: Cho các đoạn thẳng ở Hình .
1
A
B
C
D
Nếu chọn độ dài đoạn trên cùng là . Thì tỉ số
Hình 1
Kết luận:
Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
Ví dụ 2: Cho bốn đoạn thẳng
Khi đó ta có hai tỉ số
và
. Thấy rằng hai tỉ số này bằng nhau
Nên tạo thành một tỉ lệ thức
.
Kết luận:
Hai đoạn thẳng
và
gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng
và
nếu có tỉ lệ
thức
hay
2) Định lí Talès trong tam giác.
Ví dụ 3: Cho
Như Hình
, từ điểm
vẽ đường thẳng song song với
cắt
tại
Khi đó hãy tính các tỉ số sau
a)
và
b)
và
c)
và
A
M
B
Giải
a) Ta được
và
b) Ta được
và
N
Hình 2
C
c) Ta được
và
Kết luận:
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh cịn lại thì nó
định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. ( Định lí Talès thuận)
1
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh cịn lại. ( Định lí Talès
đảo)
Ví dụ 4: Cho
và
Lập các tỉ số theo định lí Talès.
Giải
có
như Hình .
A
D
nên
Ví dụ 5: Cho Hình
B
Hình 3
Chứng minh rằng
Giải
Ta có
A
và
M
có
II. LUYỆN TẬP.
Bài 1: Tìm trong các hình sau
B
2
B
B
x
E
EF // BC
1
C
B
x
4
3
C
A
Hình 5
M
N
M
2
1
3
x
2
H
F
1
Hình 6
A
C
Hình 7
Giải
Hình
C
N
Hình 4
A
có
Hình
Vì
Hình
Vì
.
mà
Khi đó
Bài 2: Cho
cắt
C
E
so le trong
.
có trung tuyến
lần lượt tại
Qua trọng tâm
kẻ đường thẳng song song với
A
( Hình
a) Chứng minh
D
b) Chứng minh
Giải
B
G
M
Hình 8
E
C
2
a)
có
b)
có
Bài 3: Cho Hình
B
Biết
Chứng minh
Giải
có
9
và
6
I
K
A
12
Hình 9
Nên
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Viết các hệ thức theo Định lí Talès trong các hình sau:
B
C
8
A
B
E
Q
N
A
C
D
B
Hình 1
Bài 2: Cho Hình
C
M
Hình 3
Chứng minh
C
A
4
3
M
10
D
B
3
4
6 I
B
E
3,5
C
A
7
Bài 3: Cho Hình
Chứng minh
Bài 4: Cho Hình
Chứng minh
Bài 5: Cho hình thang
cắt
2
N
5
Hình 4
song song với
A
H
Hình 2
A
6
C
có
lần lượt tại
4
B
C
Hình 5
. Lấy điểm
và
trên cạnh
I
từ
Hình 6
kẻ đường thẳng
( Hình
A
a) Chứng minh
O
B
O
K
b) Chứng minh
D
Hình 7
C
3
c) Chứng minh
M
Bài 6: Cho Hình
a) Trên tia
Trên tia
lấy
sao cho
lấy
sao cho
N
2
Chứng minh
A
6
4
b) Chứng minh
B
Bài 7: Cho
đoạn
.
cắt
là đường trung tuyến,
là điểm nằm trên
tại
Lấy điểm
tia đối của tia
sao cho
( Hình
Bài 8: Cho
. Điểm
từ
cắt
tại
trên
E
F
M
nằm trong tam giác. Lấy điểm
trên
B
C
D
và
A
a) Chứng minh
C
Hình 8
A
Chứng minh
kẻ
3
N
Hình 9
( Hình
D
b) Chứng minh
O
E
c) Chứng minh
C
B
Bài 9: Cho
có
Trọng tâm là điểm
đường thẳng song song với
a) Chứng minh
Hình 10
là trung tuyến.
đường thẳng đi qua
cắt
cắt
lần lượt tại
lần lượt tại
lượt tại
Chứng minh
Từ
, trọng tâm
kẻ các
A
F
E
B
và
( Hình
G
có trung tuyến
Từ
A
.
b) Chứng minh
Bài 10: Cho
F
M
M
D
N
G
C
H
B
C
O
N
K
Hình 11
Hình 12
đường thẳng đi qua
kẻ các đường thẳng song song với
cắt
cắt
lần
lần lượt tại
( Hình
4
5
Bài 2. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
I. LÝ THUYẾT.
1) Định nghĩa đường trung bình của tam giác.
Ví dụ 1: Cho
, Lấy
là trung điểm của
A
là trung điểm của
( Hình
M
Khi đó đoạn thẳng
gọi là đường trung bình của
Kết luận:
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm
Hai cạnh của tam giác.
Ví dụ 2: Hãy chỉ ra đường trung bình của tam giác trong các hình sau
Giải
A
Hình
là đường trung bình
Hình
B
là đường trung bình
B
C
Hình 1
B
I
là đường trung bình
N
K
H
M
E
C
A
C
D
Hình 2
Hình 3
là đường trung bình
2) Tính chất đường trung bình của tam giác.
Kết luận:
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó
Cụ thể:
có
là đường trung bình thì
và
( Hình
Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trong điểm một cạnh và song song với
cạnh thứ hai thì nó đi qua trong điểm của cạnh thứ ba.
A
Cụ thể:
có
Lúc này
,
E
D
sẽ là đường trung bình
Ví dụ 3: Cho
Từ
( Hình
lần lượt là trung điểm của
kẻ đường thẳng song song với
a) Chứng minh
b) Chứng minh
cắt
tại
( Hình
B
A
là hình bình hành.
Giải
M
a)
có
hay
có
D
C
Hình 5
là đường trung bình
b) Tứ giác
II. LUYỆN TẬP.
N
là trung điểm
B
Nên
C
Hình 4
nên là hình bình hành.
6
7
Bài 1: Tìm số đo
trong các hình sau:
A
A
3
M
N
I
12
D
9
x
x
x
B
A
B
C
Hình 6
C
E
B
C
K
Hình 8
Hình 7
Giải
Hình
có
Hình
có
Hình
là đường trung bình
là đường trung bình
Ta có
mà
đồng vị nên
có
Bài 2: Cho
song với
hay
cân tại
cắt
đường cao
tại
là đường trung bình
là trung điểm của
. Từ
( Hình
kẻ tia
A
song
E
x
a) Chứng minh
b) Chứng minh
N
c) Chứng minh
a)
cân tại
nên
Giải
vừa là đường cao cũng là
B
C
M
Hình 9
trung tuyến
b)
có
c) Tứ giác
là đường trung bình
có
Bài 3: Cho
nên
có trung tuyến
sao cho
a) Chứng minh
Trên
cắt
tại
là hình thang.
hay
là hình bình hành
A
lấy điểm
E
( Hình
O
F
b) Chứng minh
Giải
B
M
C
Hình 10
a)
có
là đường trung bình
8
Nên tứ giác
b)
là hình thang.
có
nên
là đường trung bình
mà
III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Cho hình thang
M
A
Lấy
B
lần lượt là
trung điểm các cạnh
. ( Hình
N
Q
a) Chứng minh
b) Tứ giác
Bài 2: Cho
nhau tại
D
là hình gì?
có hai đường trung tuyến
Gọi
a) Chứng minh
b) Tứ giác
có
là trung điểm của
và
là giao điểm của
a) Tính
.
với
Gọi
và
và
D
sao cho
D
C
Từ
B
K
E
C
F
Hình 4
có hai đường chéo
tại
C
O
N
K
cắt
K
A
Hình 3
,
M
Hình 2
B
I
G
I
B
( Hình
A
Bài 4: Cho hình bình hành
N
lần lượt
Biết
M
tại
A
lần lượt
Gọi
b) Chứng minh
cắt
( Hình
là hình gì?
Bài 3: Cho hình thang
lấy điểm
Hình 1
cắt
lần lượt là trung điểm của
C
P
cắt nhau tại
Trên cạnh
kẻ đường thẳng song song với
( Hình
a) Chứng minh
là đường trung bình
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 5: Cho
nhọn, đường cao
lần lượt vng góc với
là trung điểm của
điểm của
Lấy điểm
điểm
là điểm điểm của
A
Kẻ
sao cho
sao cho
là trung
( Hình
N
I
M
F
E
B
H
Hình 5
C
9
a) Chứng minh
cân.
b) Chứng minh
c) Chứng minh
Bài 6: Cho hình thang
của
trên
có
và
,
và
Gọi
lần lượt là trung điểm của
a) Chứng minh
b) Chứng minh
A
H
N
C
Hình 6
. Kẻ
lần lượt là trung điểm của
tại
M
D
Bài 7: Cho hình chữ nhật
cắt
B
( Hình
là hình bình hành.
c) Chứng minh
và
là hình chiếu
Lấy
A
Kẻ
( Hình
a) Chứng minh
b) Chứng minh
K
là hình bình hành.
D
có
Vẽ
A
lần lượt là trung điểm của
a) Chứng minh
B
là hình bình hành. ( Hình
b) Chứng minh
c) Gọi là trung điểm của
và
,
J
là giao điểm
D
có
Gọi
và
sao cho
Gọi
và
để
M
A
B
E
F
D
là giao
điểm của
với
Chứng minh
d) Tìm điều kiện của hình bình hành
. Lấy các điểm
C
Hình 8
b) Chứng minh
Bài 10: Cho
H
P
lần lượt là trung điểm của
( Hình
a) Chứng minh
là hình thoi.
là giao điểm của
N
I
M
Chứng minh
Bài 9: Cho hình bình hành
c) Gọi
C
N
Hình 7
Bài 8: Cho hình chữ nhật
của
E
M
c) Chứng minh
Gọi
B
I
C
N
Hình 9
là hình vng.
A
lần lượt trên
lần lượt là trung điểm của
( Hình
I
D
a) Chứng minh
E
N
M
b) Chứng minh
B
K
Hình 10
C
10
Bài 11: Cho
Gọi
cân tại
là hình chiếu của
đường cao
trên
lần lượt là trung điểm của
A
Lấy
. ( Hình
a) Chứng minh
D
b) Chứng minh
B
Bài 12: Cho đoạn thẳng
vng
và
J
I
và một điểm
C
H
thay đổi trên Hình
đoạn11
về cùng một phía đối với
. Vẽ các hình
( Hình
E
a) Chứng minh
b) Gọi
F
N
lần lượt là trung điểm của
. Chứng minh
D
C
là hình vng
K
I
A
M
G
B
Hình 12
11
Bài 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
I. LÝ THUYẾT.
1) Tính chất đường phân giác của tam giác.
Ví dụ 1: Cho
, tia phân giác
Khi đó ta có các tỉ số sau
A
cắt
tại
hoặc
C
B
D
Kết luận:
Hình 1
Trong một tam giác, đường phân giác của một góc
chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng đó.
Trong
nếu
Ví dụ 2: Cho
có
Tìm tỉ số bằng với tỉ số
là phân giác
Ví dụ 3: Cho Hình
có
và thỏa mãn
thì
là đường phân giác của
A
là tia phân giác
E
.
Giải
B
nên
C
Hình 2
Tìm số đo
Giải
A
x
là đường phân giác
D
3
Nên
Đường phân giác góc ngồi của một tam giác cũng có
tính chất tương tự. Cụ thể: ( Hình
có
là tia phân giác góc ngồi.
3
B
C
5
Hình 3
A
1
2
hoặc
D
II. LUYỆN TẬP.
Bài 1: Cho
phân giác
Hình 4
cân tại
có
Đường
cắt đường trung tuyến
tại
A
( Hình
M
a) Tính tỉ số
B
b) Tính tỉ số
Giải
a) Ta có
C
B
và
cân tại
I
D
Hình 5
C
nên
12
b)
có
là đường phân giác nên
có
là đường phân giác nên
Bài 2: Cho
cắt
, trung tuyến
tại
, tia phân giác
. Vẽ tia phân giác
cắt
tại
A
( Hình
a) Chứng minh
N
M
b) Chứng minh
B
C
D
Hình 6
c) Chứng minh
Giải
a)
có
là đường phân giác nên
b)
có
là đường phân giác nên
Mà
.
. Từ
A
c)
có
Bài 3: Tìm
trong Hình
Giải
có
là đường phân giác nên
6
5
B
y
x
C
M
6
Hình 7
II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bài 1: Tìm trong các hình sau
A
B
6
A
x
N
x
5
7
C
D
4
3
A
Hình 1
Bài 2: Cho
cắt
, phân giác
tại
Hình 2
. Trên tia đối của tia
M
B
3,5
B
C
Hình 3
C
lấy
D
sao cho
E
. ( Hình
a) Tính tỉ số
13
b) Tính tỉ số
Bài 3: Cho
vng tại
là đường phân giác
có
là đường cao,
với
A
cắt
tại
D
I
a) Tính tỉ số
và
b) Chứng minh
( Hình
B
cân tại
Hình 4
A
c) Chứng minh
Bài 4: Cho
cắt
C
H
vng tại
tại
đường cao
D
Tia phân giác
( Hình
B
Hình 5
a) Tính tỉ số
b) Từ
hạ
cắt
vng tại
phân giác
vẽ đường thẳng vng góc với
tại
C
. Chứng minh
Bài 5: Cho
Từ
C
E
H
cắt
tại
E
D
, đường thẳng này
( Hình
B
A
a) Chứng minh
Hình 6
b) Chứng minh
Bài 6: Cho
có đường trung tuyến
đường phân giác
với
cắt
Từ
tại
và
là
kẻ đường thẳng song song
( Hình
B
b) Chứng minh
Trên tia đối của tia
E
D
a) Chứng minh
Bài 7: Cho
A
Hình 7
là đường phân giác
. Trên tia đối của tia
lấy điểm
là tia phân giác của
C
M
A
lấy điểm
sao cho
và
B
là tia phân giác
C
K
H
M
Hình 8
14
N
Chứng minh
( Hình
Bài 8: Cho
cắt
có
kéo dài tại
cắt
tại
là góc tù. Tia phân giác góc ngồi tại
Từ
A
kẻ đường thẳng song song với
N
( Hình
a) Chứng minh
C
M
B
Hình 9
b) Chứng minh
CHƯƠNG 4.
Bài 1. ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC.
Bài 1:
B
A
B
E
Q
N
A
C
D
B
Hình 1
Hình
C
Hình 3
đồng vị nên
mà
Hình
A
H
Hình 2
mà
Hình
C
M
. Ta có các hệ thức sau
so le nên
Ta có các hệ thức sau
. Ta có các hệ thức sau
A
3
Bài 2: ( Hình
6
có
và
B
D
E
3,5
C
7
Nên
Hình 4
C
Bài 3: ( Hình
4
có
10
và
A
M
2
N
5
B
Hình 5
15
Nên
A
Bài 4: ( Hình
Ta có
B
3
4
6 I
O
4
có
và
C
Hình 6
Nên
A
Bài 5: ( Hình
a)
có
b)
có
I
c) Từ
( đối đỉnh)
A
6
B
C
Hình 7
M
N
2
và
có:
( giả thiết)
K
O
D
M
Bài 6: ( Hình
a) Xét
B
2
3
A
E
4
Hình 8
N
C
B
3
D
C
Hình 8
( giả thiết)
( hai góc tương ứng) mà
b)
có
so le trong nên
và
Từ
Bài 7: ( Hình
A
Tứ giác
có hai đường chéo
cắt nhau tại
Là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành
E
F
M
có
có
B
C
D
N
Hình 9
Từ
Bài 8: ( Hình
A
D
16
E
O
F
C
a)
có
b)
có
c) Từ
Bài 9: ( Hình
A
a)
có
b)
có
Xét
F
G
và
( giả thiết)
E
có:
B
M
C
D
N
Hình 11
( đối đỉnh)
( so le trong)
( hai cạnh tương ứng)
Khi đó
Bài 10: ( Hình
Xét
và
( giả thiết)
có:
A
( đối đỉnh)
( so le trong)
( hai cạnh tương ứng)
N
G
M
C
B
H
C
O
K
có
Hình 12
có
Khi đó
17
Bài 2. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC
Bài 1: ( Hình
M
A
a)
có
b)
có
là đường trung bình
B
N
Q
D
là đường trung binh
C
P
Hình 1
.
Từ
Mặt khác
nên tứ giác
là hình bình hành.
Bài 2: ( Hình
A
a)
có
là đường trung bình
N
có
I
B
là đường trung binh
G
M
K
C
Hình 2
Từ
b) Tứ giác
có
nên là hình bình hành.
Bài 3: ( Hình
a)
A
có
Hay
b)
B
M
là đường trung bình
D
N
K
I
C
Hình 3
có
Hay
là đường trung bình
Bài 4: ( Hình
a)
là hình bình hành nên
. Vậy
A
là trung điểm
B
O
của hai đường chéo
K
D
E
Hình 4
F
C
18
Hay
có
là đường trung bình
b) Vì
Mà
c)
hay
có
A
Bài 5: ( Hình
a)
có
Nên
có
Nên
vừa là đường cao vừa là trung tuyến
cân tại
vừa là đường cao vừa là trung tuyến
M
F
E
cân tại
Từ
b)
N
I
B
cân tại
có
C
H
Hình 5
là đường trung binh
Nên
c)
cân tại
nên
là trung tuyến cũng là đường cao
mà
Bài 6: ( Hình
a)
có
A
là đường trung bình
H
Mà
b) Ta có
Lại có
B
N
mà
M
C
D
là hình bình hành.
Hình 6
c) Vì
có hai đường cao
Mà
Bài 7: ( Hình
a)
có
cắt nhau tại
nên
là trực tâm
hay
là trực tâm nên
A
Mà
E
M
K
D
B
I
N
Hình 7
19
C
có
b) Ta có
Lại có
. Vậy
c) Vì
là hình bình hành.
là hình bình hành nên
Bài 8: ( Hình
a)
có
mà
.
A
B
là đường trung bình
J
D
Mà
Khi đó
C
Hình 8
nên
là trực tâm nên
mà
có
mà
là hình bình hành nen hai đường chéo
c)
H
P
nên
là hình bình hành.
b) Vì
N
I
M
cắt nhau tại trung điểm
của mỗi đường
có
là đường trung bình nên
Bài 9: ( Hình
a) Ta có
E
Tứ giác
có
D
b) Tứ giác
có
Lại có
Để
F
N
C
là hình bình hành
c) Vì
là hình bình hành nên
Tương tự
là trung điểm của
có
B
Hình 9
Nên là hình bình hành. Lại có
Vậy
là hình thoi.
d) Ta có
M
A
là trung điểm của
là đường trung bình nên
là hình bình hành
là hình bình hành.
là hình thoi nên
là hình chữ nhật.
là hình vng thì
hay
vng tại
20
