Tổng hợp công thức môn Toán 9 ôn thi vào 10

Họ và tên:
…………………………………………………….

FILE ƠN TẬP TỐN
9 THI VÀO 10
(Kiến thức cơ bản)

Lớp: 9…… Trường THCS
…………………………………

Phần I - ĐẠI SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1. Điều kiện để căn thức có nghĩa
√ A có nghĩa khi A ≥ 0
2. Các cơng thức biến đổi căn thức
a) √ A 2=| A|
b) √ AB=√ A ⋅ √ B (A ≥ 0; B ≥ 0)
c)

√

A √A
=
(A ≥ 0; B > 0)
B √B

d) √ A 2 B=| A|. √ B (B ≥ 0)

f)

√

A 1
= ⋅ √ AB (AB ≥ 0; B ≠ 0)
B |B|
A A √B
=
g)
(B > 0)
√B B
C (√ A ∓ B )
C
=
h)
(A ≥ 0; A ≠ B2)
2
√A± B
A−B
C (√ A ∓ B )
C
=
i)
(A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B)
2
√A± B
A−B

e) A √ B=√ A 2 B (A ≥ 0; B ≥ 0)
A √ B=−√ A 2 B (A < 0; B ≥ 0)
3. Hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
a: Hệ số góc; b: Tung độ gốc

- Tính chất:
+ Hàm số ĐB trên R  a > 0
+ Hàm số NB trên R  a < 0

−b

- Đồ thị: là đường thẳng đi qua điểm A (0; b) và B ( a ; 0¿
4. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)
- Tính chất:
+ Hàm số ĐB  a và x cùng dấu
+ Hàm số NB  a và x khác dấu
- Đồ thị: là một đường cong Parabol đi qua gốc tọa độ O (0;0)
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hồnh
5. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Xét đường thẳng (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b
(d) ∩ (d’)  a ≠ a’
(d) // (d’)  a = a’ và b ≠ b’
(d) ≡ (d’)  a = a’ và b = b’

Trang 1


6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong
Xét đường thẳng (d): y = ax + b và (P): y = ax2
(d) ∩ (P) tại 2 điểm
(d) tiếp xúc với (P) tại 1 điểm
(d) và (P) khơng có điểm chung
7. Phương trình bậc hai
Xét PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Công thức nghiệm (*)
△ = b2 – 4ac
Nếu △ > 0 -> PT có 2 nghiệm phân
biệt
−b+ √ Δ
−b−√ Δ
x =
;x =
1

2a

2

2a

Nếu △ = 0 -> PT có nghiệm kép

Cơng thức nghiệm thu gọn
b

△’ = b’2 – ac (b’ = 2 )
Nếu △’ > 0 -> PT có 2 nghiệm phân
biệt
−b ' + √ Δ'
−b '−√ Δ'
x =
;x =

−b

x1 = x2 = 2 a

Nếu △ < 0 -> PT vô nghiệm

1

a

2

a

Nếu △’ = 0 -> PT có nghiệm kép
−b '

x1 = x2 = a
Nếu △’ < 0 -> PT vô nghiệm

8. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
- Hệ thức Vi-ét:
Nếu x1, x2 là nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì:

{

−b
a
c
P=x 1 . x 2=
a

S=x 1 + x 2=

- Một số ứng dụng:
+ Tìm 2 số u và v biết u + v = S; uv = P ta giải PT:
x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P ≥ 0)
+ Nhẩm nghiệm của PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

c

Nếu a + b + c = 0 => PT có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 = a

−c

Nếu a – b + c = 0 => PT có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 = a
9. Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT
Bước 1: Lập phương trình:
- Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Trang 2


 Bước 2: Giải phương trình.
 Bước 3: Trả lời: Chọn các nghiệm thỏa mãn điều kiện của ẩn rồi kết
luận.

*MỞ RỘNG
a) Dạng toán chuyển động
*Tốn chuyển động có 3 đại lượng: Qng đường (s), Vận tốc (v), Thời

gian (t).
- Mối liên hệ của 3 đại lượng trên:
s = v.t
v = s/t
t = s/v
- Toán chuyển động dịng chảy:
+ Vận tốc xi dịng = Vận tốc riêng của ca nơ + Vận tốc dịng
nước
+ Vận tốc ngược dịng = Vận tốc riêng của ca nơ – Vận tốc dịng
nước
b) Dạng tốn năng suất
*Bài tốn về năng suất có 3 đại lượng: khối lượng cơng việc, năng suất
và thời gian.
- Mối quan hệ giữa 3 đại lượng:
Khối lượng công việc = Năng suất x Thời gian
Năng suất = Khối lượng công việc : Thời gian
Thời gian = Khối lượng cơng việc : Năng suất
- Bài tốn về cơng việc làm chung, làm riêng, hay vịi nước chảy chung,
chảy riêng thì ta thường coi tồn bộ cơng việc là 1 đơn vị.
1

Suy ra năng suất là thời gian
Lập phương trình theo: Tổng các năng suất riêng = Năng suất
chung.
c) Dạng toán về số và chữ số
1. Nếu A hơn B k đơn vị thì A – B = k hoặc A = B + k.
2. Hai số liên tiếp thì hơn kém nhau 1 đơn vị.
3. Nếu A gấp k lần B thì A = B.k
1

1

4. Nếu A bằng 2 B thì A = B. 2
5. Số có hai chữ số  xy=10 x + y với x, y ϵ N; 0 < x ≤ 9; 0 ≤ y ≤ 9
d) Toán phần trăm
Trang 3


- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi vượt mức a% là
(100 + a)%.x (sp)
- Nếu gọi tổng số sản phẩm là x thì số sản phẩm khi giảm a% là (100 –
a)%.x (sp)

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Dạng: BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI PT BẬC HAI
Bài toán 1: Giải PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
- Phương pháp 1: Phân tích đưa về PT tích
- Phương pháp 2: Dùng kiến thức về căn bậc hai x 2=a → x=± √ a
- Phương pháp 3: Dùng công thức nghiệm (Bảng trang 2)
- Phương pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn (Bảng trang 2)
- Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-ét (Trang 2)
Bài tốn 2: Tìm điều kiện của tham số m để PT bậc hai ax 2 + bx
+c=0
(Trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m)
−b

*Ghi chú: S (Tổng) = x1 + x2 = a
c

P (Tích) = x1.x2 = a

Có nghiệm

biệt

dấu

2 nghiệm phân
1 nghiệm

dấu

a ≠ 0, △ hoặc △’ > 0

Nghiệm kép

a = 0, b ≠ 0
hoặc
a ≠ 0, △ hoặc △’ = 0
a ≠ 0, △ hoặc △’ = 0

Vô nghiệm

a ≠ 0, △ hoặc △’ < 0

2 nghiệm cùng

2 nghiệm
dương
âm

a = 0, b ≠ 0
hoặc
a ≠ 0, △ hoặc △’ ≥ 0

△ hoặc △’ > 0
P>0
△ hoặc △’ > 0
S và P đều > 0

2 nghiệm

△ hoặc △’ ≥ 0
S < 0, P > 0

2 nghiệm trái

△ hoặc △’ > 0
P<0
hoặc
Trang 4


a và c trái dấu
Bài tốn 3: Tìm điều kiện của tham số m để PT bậc hai ax 2 + bx
+ c = 0 (1) có
1 nghiệm x = x0
(Trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m)
- Thay x = x0 vào PT (1) ta có: ax12 + bx1 + c = 0 -> m
- Thay giá trị của m vào PT (1) -> x1, x2
P

- Hoặc tính x2 = S – x1 hoặc x2¿ x 1
Bài tốn 4: Tìm điều kiện của tham số m để PT bậc hai ax 2 + bx
+ c = 0 có 2 nghiệm
x1, x2 thỏa mãn các điều kiện:
(Trong đó a, b, c phụ thuộc vào tham số m)
α
x
+
β
x
=γ
a) 1
b) x 21+ x22 =k
e) x 31+ x32 =t
2
1

1

c) x + x =n
d) x 21+ x22 ≥ h
1
2
*Điều kiện chung: △ hoặc △’ ≥ 0 (*)

−b

c

Theo định lí Vi-ét ta có: S = x1 + x2 = a (1) và P = x1.x2 = = a (2)
1. Trường hợp a: α x 1 + β x 2=γ

{

−b
a -> x1, x2
- Giải hệ PT
α x 1+ β x 2=γ
x 1 + x 2=

- Thay x1, x2 vào hệ PT (2) -> m
- Chọn các giá trị của m để thỏa mãn ĐK (*)
2. Trường hợp b: x 21+ x22 =k  (x1 + x2)2 – 2x1x2 = k
−b

c

Thay x1 + x2 = S = a và x1.x2 = P = a vào ta có:
S2 – 2P = k -> Tìm được giá trị của m để thỏa mãn ĐK (*)
1

1

3. Trường hợp c: x + x =n  x1 + x2 = nx1.x2 <-> -b = nc
1
2
Giải PT -b = nc ta tìm được giá trị của m thỏa mãn ĐK (*)
4. Trường hợp d: x 21+ x22 ≥ h  S2 – 2P – h ≥ 0
Giải bất PT S2 – 2P – h ≥ 0 chọn m để thỏa mãn ĐK (*)

5. Trường hợp e: x 31+ x32 =t  S3 - 3PS = t
Giải bất PT S3 - 3PS = t chọn m để thỏa mãn ĐK (*)
Bài tốn 5: Tìm 2 số u và v biết tổng S = u + v và P = u.v của
chúng
Ta có u và v là nghiệm của PT: x2 – Sx + P = 0 (2) (ĐK: S2 – 4P
≥ 0)
Giải PT (2) ta tìm được 2 số u và v cần tìm

Trang 5


Phần II – HÌNH
HỌC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.

1. Hệ thức lượng trong △ vuông.
Hệ thức 1: AB2 = BH. BC
AC2 = CH. BC
Hệ thức 2: AH2 = BH. CH
Hệ thức 3: AH. BC = AB. AC
Hệ thức 4:

1
1
1
=
+
2
2

AH
A B A C2

2. Tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Hình vẽ:

sin = đối/huyền
cos = kề/huyền
tan = đối/kề
cot = kề/đối
*Mở rộng:
2

2

Sin α + Co s α =1
sin α
tan α=
cos α

Sin α = Cos β =

AC
BC

Cos α = Sin β =

AB
BC

Tan α = Cot β =

AC
AB

Cot α = Tan β =

AB
AC

tan α . cot α =1
cos α
cot α =
sin α

*Tỉ số lượng giác của góc phụ nhau: α + β = 90O
Sin α = Cos β
Tan α = Cot β
*Một số hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vng:
Dựa vào tỉ số lượng giác ta suy ra:
- Theo Sin và Cos (Liên quan đến cạnh góc vng & cạnh
huyền)
AB = BC. Cos α = BC. Sin β
AC = BC. Sin α = BC. Cos β
- Theo Tan và Cot (Liên quan đến 2 cạnh góc vng)
AB = AC. Cot α = AC. Tan β
AC = AB. Tan α = AB. Cot β
3. Đường tròn.
- Cách xác định: + Qua 2 điểm phân biệt ta vẽ được vơ số đường trịn
+ Qua 3 điểm không thẳng hàng ta vẽ được duy nhất 1

đường tròn

Trang 6


- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đường trịn có 1 tâm đối xứng; có vơ
số trục đối xứng
- Quan hệ vng góc giữa đường kính và dây: Trong 1 đường trịn
+ Đường kính ⊥ 1 dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
+ Đường kính đi qua trung điểm của 1 dây khơng đi qua tâm thì ⊥
dây ấy
- Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây: Trong 1
đường trịn
Hình vẽ

Tính chất
OH = OK  AB = CD

OH < OK  AB > CD

- Liên hệ giữa cung và dây: Trong 1 đường tròn hay 2 đường tròn
bằng nhau
+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường trịn:
Vị trí tương đối

Số điểm chung

Hệ thức liên hệ
giữa d và R

2

d
Cắt nhau

Trang 7


Tiếp xúc nhau

nhau

1

d=R

0

d>R

Khơng giao

- Vị trí tương đối của 2 đường trịn:

4. Tiếp tuyến của đường trịn.

- Tính chất: Tiếp tuyến vng góc với bán kính đi qua tiếp điểm
- Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:
+ Đường thẳng và đường trịn chỉ có một điểm chung
+ Khoảng cách từ tâm của đường trịn đến đường thẳng bằng bán kính
+ Đường thẳng đi qua một điểm nằm trên đường tròn và vng góc với
bán kính đi qua
điểm đó.
- Tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau
 MA = MB
Trang 8
 MO là tia phân giác của


- Tính chất của 2 tia tiếp tuyến cắt nhau:
Tiếp tuyến chung ngồi

Tiếp tuyến chung trong

5. Góc với đường trịn.
Loại góc

Hình vẽ

Cơng thức tính số
đo

GĨC Ở TÂM

⏜
^

AOB = sđ ABnhỏ

GĨC NỘI TIẾP

1 ⏜
^
BAC = BC nhỏ
2

Trang 9


GÓC TẠO BỞI TIA
TIẾP TUYẾN VÀ DÂY
CUNG

1 ⏜
^
BAx= AB nhỏ
2

GÓC CĨ ĐỈNH BÊN
TRONG ĐƯỜNG
TRỊN

⏜
⏜
1
^
AEC = ( sđ AC + sđ BD )

2

⏜

⏜

1
^
BED= ( sđ BD −sđ AC )
2

GÓC CÓ ĐỈNH BÊN
NGỒI ĐƯỜNG
TRỊN

6. Độ dài đường trịn/cung trịn – Diện tích hình trịn/hình quạt
trịn.
- Độ dài đường trịn: C = 2 πR = πd
- Diện tích hình trịn: S = π R 2
πRn

- Độ dài cung tròn: C = 180

- Diện tích hình quạt trịn: S =

2

π R n lR
=
360

2

7. Các loại đường tròn.
Đường tròn nội tiếp
△

Đường tròn ngoại
tiếp △

Đường tròn bàng
tiếp △

Tâm của đường tròn
Trang 10


Tâm của đường tròn là
giao điểm của 3 đường
phân giác trong của
tam giác

là giao điểm của 3
đường trung trực của
tam giác

(Giảm tải – Tự tìm hiểu
thêm)

8. Các loại hình khơng gian.
Ghi chú: C: Chu vi

S: Diện tích
l: đường sinh
R: Bán kính h: Chiều cao

S xung
quanh
S tồn
phần
Thể tích
(V)

Hình trụ
Cđáy x h

Hình nón
πR l

Sxq + 2.Sđáy

Sxq + Sđáy

Sđáy x h

1
.Vhình trụ
3

V: Thể tích
d: Đường kính

Hình nón cụt
π (r1 + r2). l

Hình cầu
4 π R2 = π d 2
4
π R3
3

1
π h. (r12 + r22 +
3

r1r2)

9. Tứ giác nội tiếp.
*Dấu hiệu nhận biết:

Tổng 2 góc đối nhau =
180o (H1)

Góc ngồi của 1 đỉnh =
góc trong của đỉnh đối
diện (H2)

Hai điểm liên tiếp của tứ
giác nhìn 1 cạnh dưới 1 góc
bằng nhau (H4)

Tứ giác có 4 đỉnh

cách đều 1 điểm
(H3)

M là giao điểm của AC và BD
=> Nếu MA.MB = MC.MD
(H5)

Trang 11


B. CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Dạng : Công thức mở rộng

Bài tốn 1: Diện tích hình viên phân và hình vành khăn

- S
- S

= S hình quạt trịn – S
hình vành khăn = S (O;R) – S (O;r)
hình viên phân

△AOB

Bài tốn 2: Các cơng thức liên quan tới đường trịn và tam giác
đều.
a) Đường trịn nội tiếp △.

R=

S
P

=

2S
a+b+ c Trong đó: S – Diện tích △; P – Nửa chu vi

b) Đường trịn ngoại tiếp △.
abc

R = 4S

c) Hình vng cạnh a.

Độ dài đường chéo d = a √ 2
(Tính theo tam giác vng ABC -> Tính AC là đường chéo theo định lí Py-ta-go
=> AC = a √ 2 )
Bán kính đường trịn nội tiếp hình vng r =

a
2

(2 đường chéo của đường trịn nội tiếp hình vng cắt nhau => r =

1
1
AB = a)
2

2
Trang
12


Bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng R =
(Tính theo tam giác vuông ABC => R =

a √2
2

1
1
1
.d = . AC = . a √ 2 )
2
2
2

d) Tam giác đều cạnh a.

a √3
2
(Tính theo tam giác vng AHB => Tính AH = h theo định lí Py-ta-go)

Đường cao: h =

2
h (Tính theo tam giác vng AHB -> AH
3

2
là đường trung tuyến và O là trọng tâm => OA = R = AH)
3

Bán kính đường trịn ngoại tiếp △: R =

1
h(Tính theo tam giác vng AHB -> AH là
3
1
đường trung tuyến và O là trọng tâm => OH = r = AH)
3

Bán kính đường trịn nội tiếp △: r =

Trang 13