CHUYÊN đề HÌNH KHÔNG GIAN lớp 11

1

CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN LỚP 11
BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN
PHẦN I: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÌNH KHÔNG GIAN
VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA 2 MẶT PHẲNG
Phương pháp: Xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng, giao tuyến là đường
thẳng đi qua hai giao điểm đó
Ví dụ 1) Cho hình chóp
SABCD
có đáy là tứ giác
ABCD
các cạnh đối
,
AB CD
không song
song với nhau.
a) Tìm giao tuyến của
( )
SAC
và
( )
SBD

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SCD

Giải:
Hình vẽ:

a) Ta có
( ) ( )
SAC SBD S
∩ =

Vì
( ), ( )
AC SAC BD SBD
∈ ∈
mà
( ) ( )
AC BD O SAC SBD SO
∩ = ⇒ ∩ =

Vậy
SO
là giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
SBD

b) Ta có
( ) ( )
SAB SBD S
∩ =

Vì
( ), ( )
CD SCD AB SAB
∈ ∈
mà
,
AB CD
không song song với nhau nên
AB CD M
∩ =

M
O
D
C
B
A
S
2

( ) ( )
SAB SBD SM
⇒ ∩ =

Vậy
SM
là giao tuyến của 2 mặt phẳng
( ),( )
SAB SCD

•
Chú ý: Trong bài toán này ta đã dùng kết quả: Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng thuộc một
mặt phẳng mà chúng không song song với nhau thì phải cắt nhau tại một điểm
Ví dụ 2) Cho tứ diện
ABCD
. Trên cạnh
,
AB CD
lần lượt lấy các điểm
,
M N
sao cho
MN

không song song với
BC
. Gọi
I
là một điểm bên trong tam giác
BCD
. Tìm giao tuyến của mặt
phẳng
( )
MNI
với các mặt phẳng
( ),( ),( )
BCD ABD ACD

Giải:

Hình vẽ

•
Tìm giao tuyến của
( )
MNI
và
( )
BCD

Ta thấy
( ) ( )
MNI BCD I
∩ =

Vì
MN
không song song với
BC
nên
MN BC J
∩ =

Vậy giao tuyến của
( )
MNI
và
( )
BCD
là

IJ

•
Tìm giao tuyến của
( )
MNI
và
( )
ABD

F
E
K
J
I
N
A
D
C
B
3

Ta thấy
( ) ( )
MNI ABD M
∩ =

( ), ( ) ( )
IJ MNI IJ BD K MNI ABD MK
∈ ∩ = ⇒ ∩ =

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
MNI
và
( )
ABD
là
MK

•
Tìm giao tuyến của
( )
MNI
và
( )
ACD

Ta thấy
( ) ( )
MNI ACD N
∩ =

Mà
( ), ( ) ( )
IJ MNI IJ CD F MNI ACD NF
∈ ∩ = ⇒ ∩ =

Vậy giao tuyến của
( )

MNI
và
( )
ACD
là
NF

Trong bài toán này các em hs cần chú ý:
- Để việc hình dung điểm
I
được rõ ràng trong mặt phẳng
( )
BCD
ta đã dựng một đường
thẳng
DE
nằm trong
( )
BCD
sau đó xác định một điểm
I
thuộc
DE

- Khi ta đã tìm được một điểm
J
thuộc mặt phẳng
( )
MNI
thì ta có

( ) ( )
MNI MIJ
≡
điều
đã này giúp ta giải quyết câu hỏi sau được dễ dàng hơn.
Ví dụ 3) Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành . Trên cạnh
SD
ta lấy điểm
M
sao cho
1
3
SM SD
=
.
N
là điểm thay đổi trên cạnh
BC
. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng
a)
( )
SBC
và
( )
SAD

b)
( )
AMN
và
( )
SCD

c)
( )
AMN
và
( )
SBC

Giải:
a) Ta thấy
( ) ( )
SBC SAD S
∩ =

Qua điểm
S
ta kẻ đường thẳng
Sx
song song với
BC
thì
Mặt phẳng
( )
SBC

cũng là mặt phẳng chứa
Sx
và
BC

Mặt phẳng
( )
SAD
cũng chính là mặt phẳng chứa
Sx
và
AD

Từ đó suy ra
( ) ( )
SBC SAD Sx
∩ =

b) Giao tuyến của
( )
AMN
và
( )
SCD

Ta thấy
( ) ( )
AMN SCD M
∩ =
.

4

Mặt khác
AN
không song song với
CD
nên
AN CD E
∩ =

Vậy iao tuyến của
( )
AMN
và
( )
SCD
là
ME

c) Giao tuyến của
( )
AMN
và
( )
SBC

Ta thấy
( ) ( )
AMN AME
≡

Vì
( ) ( )
AMN SBC N
∩ =
;
( ) ( )
ME SC F AMN SBC NF
∩ = ⇒ ∩ =

Vậy giao tuyến của
( )
AMN
và
( )
SBC
là
NF

Hình vẽ:


Trong bài toán này học sinh cần chú ý: Hai đường thẳng song song luôn xác định một mặt
phẳng
VẤN ĐỀ 2: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, XÁC ĐỊNH
THIẾT DIỆN KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG CHO TRƯỚC
•
Để tìm giao tuyến của đường thẳng
( )
∆

và mặt phẳng
( )
P
ta làm như sau:
+ Tìm mặt phẳng
( )
Q
chứa đường thẳng
∆

+ Tìm giao tuyến
( )
d
của mặt phẳng
( )
P
và mặt phẳng
( )
Q

F
E
x
N
M
D
C
B
A
S

5

+ Giao điểm của đường thẳng
( )
d
và đường thẳng
∆
chính là giao điểm của đường thẳng
( )
∆

và mặt phẳng
( )
P
.
•
Để xác định thiết diện của một khối chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng
( )
P
ta tìm giao
tuyến của mặt phẳng
( )
P
với các mặt của hình chóp ( nếu có). Khi đó các đoạn thẳng có được từ
giao của
( )
P
với các mặt của hình chóp sẽ tạo thành một đa giác được gọi là thiết diện của hình
chóp, lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng
( ).

P

Ví dụ 1) Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình thang với đáy lớn
AD
. Gọi
M
là trung
điểm của
SA
,
N
là một điểm thuộc cạnh bên
SC
(
N
không phải là trung điểm của
SC
)
a) Tìm giao tuyến của
( )
ABN
và
( )
CDM

b) Xác định giao điểm của

MN
với
( )
SBD

c)
P
là một điểm thuộc cạnh
AB
. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
( )
MNP

Giải: Ta có ( ) ( )
AB CD O
ABN CDM OQ
AN CM Q
∩ =

⇒ ∩ =

∩ =



a) Tìm giao điểm của
MN
và
( )
SBD

Q
O
M
N
D
C
B
A
S
6

Ta có
+
( )
MN SAC
∈
,
+
( ) ( )
SAC SBD SO
∩ =

+
( )
MN SO K MN SBD K
∩ = ⇒ ∩ =


b) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng

( )
PMN

+ Ta có
( ) ( )
MN AC R MNP MPR
∩ = ⇒ ≡

+ Nối
,
P R
cắt
,
BC AD
lần lượt ở
,
U T

+ Nối
,
T M
cắt
SD
ở
V

Thiết diện là ngũ giác
PMVNU

O

K
M
S
A
B
C
D
N
7


Ví dụ 2) Cho tứ diện
ABCD
. Gọi
,
I J
lần lượt là trung điểm của
,
AC BC
. Ttên cạnh
BD
ta lấy
điểm
K
sao cho
2
BK KD
=

a) Tìm giao điểm

E
của
CD
và
( )
IJK
. Chứng minh
DE DC
=

b) Tìm giao điểm
F
của
AD
và
( )
IJK
. Chứng minh
2
FA FD
=

c) Gọi
,
M N
là hai điểm bất kỳ thuộc
,
AB CD
. Tìm giao điểm của
MN

và
( )
IJK

Giải:
a) Tìm giao điểm
E
của
CD
và
( )
IJK
. Chứng minh
DE DC
=

Ta thấy
( )
CD BCD
∈
mà
( ) ( )
BCD IJK JK
∩ =

Kéo dài
JK
cắt
CD
tại

E
thì
( )
CD IJK E
∩ =

Ta có
K
là trọng tâm của tam giác
BCE
nên
BD
chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
B
, do đó
D
là trung điểm của
EC
hay
DE DC
=

b) Ta thấy rằng
( ) ( )
IJK IJE
≡

Vì
( )
AD ACD

∈
mà
( ) ( )
ACD IJK IE
∩ =

Ta có
( )
IE AD F AD IJK F
∩ = ⇒ ∩ =
.
V
T
U
P
R
M
S
A
B
C
D
N
8

Dễ thấy
F
là trọng tâm tam giác
ACE
nên

2
FA FD
=

c) Ta có
( )
MN MCD
∈

Vì
, ( ) ( )
MC IJ U MD FK T MCD IJK UT
∩ = ∩ = ⇒ ∩ =

( )
UT MN P MN IJK P
∩ = ⇒ ∩ =


Ví dụ 3) Cho hình chóp
SABCD
,
M
là trung điểm của
SB
,
N
là điểm thuộc
SC
sao cho

2
3
SN SC
=

a) Xác định giao điểm của
CD
với mặt phẳng
( )
AMN

b)
P
là một điểm thuộc mặt phẳng
( )
SAD
. Xác định giao tuyến của
( )
AMN
và
( )
PBD

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
( )
MNP

Giải:
a) Xác định giao điểm của
CD

với mặt phẳng
( )
AMN

Xét
( )
CD ABCD
∈
. Ta có
( ) ( ) ;
MN BC H AMN ABCD AH AH CD K
∩ = ⇒ ∩ = ∩ =

Suy ra giao điểm của
CD
với mặt phẳng
( )
AMN
là điểm
K

b)
P
là một điểm thuộc mặt phẳng
( )
SAD
. Xác định giao tuyến của
( )
AMN
và

( )
PBD

P
T
U
N
M
F
E
K
J
I
D
C
B
A
9


Kẻ một đường thẳng
DL
thuộc mặt phẳng
( )
SAD
. Trên
DL
ta lấy một điểm
P

Như vậy
( ) ( )
BPD BDL
≡
, theo câu a ta có
( ) ( )
AMN AMH
≡

Giả sử
, ( ) ( )
AM BL I AH BD J BDL AMH IJ
∩ = ∩ = ⇒ ∩ =

c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
( )
MNP

Trong mặt phẳng
( )
SAD
,
,
SP AD E
∩ =

Trong mặt phẳng
( )
ABCD
,

HE CD F
∩ =

Trong mặt phẳng
( )
SEH
,
SF HP G
∩ =

Ta có hai trường hơp sau:
Trường hợp 1: Trong mặt phẳng
( )
SCD
,
NG SD Q
∩ =
( điểm
Q
có thể trùng vào
)
D

Khi đó trong mặt phẳng
( )
SAD
có
QP SA R
∩ =
(

QP
không thể cắt
AD
ở giao điểm bên trong
đoạn
AD
vì nếu
QP
cắt
AD
ở giao điểm
O
bên trong thì
( )
HO CD MNP CD
∩ ⇒ ∩
tại một
điểm bên trong. Điều này vô lý vì
( )
MNP
đã cắt
,
SB SC
tại
, )
N Q

Ta thấy
( ) ( )
Q HP MNP Q SD MNP

∈ ⊂ ⇒ = ∩
;
( ) ( )
R QP MNP R SA MNP
∈ ⊂ ⇒ = ∩

I
J
H
L
P
N
D
C
B
A
S
M
10

Thiết diện là tứ giác
MNQR



Trường hợp 2: Trong mặt phẳng
( )
SCD
,
NG CD T HT AD U

∩ = ⇒ ∩ =


Trong mặt phẳng
( )
SAD
,
UP SA V
∩ =
(
UP
không thể cắt
SD
vì
( )
MNP
đã cắt
,
SC CD
tại
, )
N T

R
Q
G
F
E
K
H

L
P
N
D
C
B
A
S
M
V
U
T
G
N
M
P
F
E
H
C
D
B
A
S
11

Ta có
( ) ( ), ( ) ( )
T NG MNP T CD MNP U HT MNP U AD MNP
∈ ⊂ ⇒ = ∩ ∈ ⊂ ⇒ = ∩

( ) ( )
V HT MNP V SA MNP
∈ ⊂ ⇒ = ∩

Vậy thiết diện chính là ngũ giác
MNTUV

Chú ý: Đây là bài toán khó .
1) Điểm mấu chốt trong bài toán là sự cố định của các điểm
, ,
M N H
và như vậy hình dạng
thiết diện phụ thuộc vào giao điểm
G
của
HP
và mặt bên
( )
SCD
. Rõ ràng việc biện
luận theo
NG
là tự nhiên nhất vì điểm
G
là giao điểm dễ phát hiện nhất.
2) Khi xác định một điểm
( )
P SAD
∈

ta phải dựng một đường thẳng
( )
SE SAD
∈
sau đó
chọn điểm
P SE
∈
điều này giúp ta dễ hình dung điểm
P
và phát hiện ra các giao điểm
khác

VẤN ĐỀ 3.
CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, HOẶC 3
ĐƯỜNG THẲNG ĐÔI MỘT SONG SONG
Kiến thức cần nhớ:
1) Điều kiện để 3 điểm
, ,
A B C
thẳng hàng là tồn tại số
0
k
≠
sao cho
AB k AC
=
 

Hoặc tồn tại hai số

,
m n
thỏa mãn
OA mOB nOC
= +
  
sao cho
1,
m n O
+ =
là điểm bất kỳ
2) Điểm
M
được gọi là chia đoạn
AB
theo tỷ số
k

( 1)
k
≠
nếu
MA kMB
=
 


•
Khi đó với mọi điểm
O

bất kỳ ta có:
1
OA kOB
OM
k
−
=
−
 



•
Cho tam giác
ABC
. Các điểm
, ,
M N P
lần lượt chia các đoạn
, ,
AB BC CA
theo tỷ số
, ,
m n p
đều khác
1

a)
, ,
M N P

thẳng hàng khi và chỉ khi
. . 1
m n p
=
( Định lý Menelauyt)
b)
, ,
AN CM BP
đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi
. . 1
m n p
= −
(Định lý Ceva)
3) Nếu ba mặt phẳng
( ),( ),( )
P Q R
đôi một cắt nhau theo giao tuyến là 3 đường thẳng
, ,
a b c

thì
, ,
a b c
hoặc đôi một song song hoặc cắt nhau tại một điểm ( đồng quy).
12

4) Nếu các điểm
1 2
; ; ,
n

A A A
thuộc đồng thời hai mặt phẳng
( ),( )
P Q
thì
1 2
; ; ,
n
A A A

thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Tức là
1 2
; ; ,
n
A A A
thẳng hàng.
Ví dụ 1) Cho hình chóp
SABC
. Một mặt phẳng
( )
α
cắt
, ,
SA SB SC
lần lượt tại
', ', '
A B C
. Giả
sử
' ' , ' ' , ' '

B C BC M C A AC N A B AB P
∩ = ∩ = ∩ =
.
a) Chứng minh
, ,
M N P
thẳng hàng.
b) Giả sử
', ', '
A B C
lần lượt là trung điểm của
, ,
SA SB SC
. Gọi
, '
G G
lần lượt là trọng tâm
của các tam giác
, ' ' '
ABC A B C
. Chứng minh
, , '
S G G
thẳng hàng
Giải:

a) Vì
, ,
M N P
cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt là

( )
α
và
( )
ABC
nên
, ,
M N P
thuộc
giao tuyến của hai mặt phẳng
( )
α
và
( )
ABC
. Do đó
, ,
M N P
thẳng hàng.
b) Gọi
, , ', '
E F E F
lần lượt là trung điểm của các cạnh
, , ' ', ' '
AB BC A B B C
.
Dễ thấy các điểm
, , '
S E E
và

, , '
S F F
thẳng hàng và
( ) ( )
SAF SEC SG
∩ =

Mặt khác
' ' ', ' ' ' ' ( ), ' ( )
G A F G C E G SAF G SEN
∈ ∈ ⇒ ∈ ∈
. Suy ra '
G SG
∈
. Hay
, , '
S G G
thẳng
hàng.
Ví dụ 2) Cho tứ diện
ABCD
. Hai điểm
,
M N
lần lượt thuộc
,
BC CD
sao cho
MN
không song

song với
BD
. Mặt phẳng
( )
α
thay đổi qua
,
M N
cắt
,
AB CD
lần lượt tại
,
P Q
. Giả sử
,
MQ NP I MP NQ J
∩ = ∩ =

a) Chứng minh
J
thuộc đường thẳng cố định
b) Chứng minh
I
thuộc đường thẳng cố định
E
G'
G
F
E'

F'
C'
B'
A'
C
B
A
S
P
N
M
C'
B'
A'
C
B
A
S
13

c) Chứng minh
PQ
luôn đi qua một điểm cố định.
Giải:

a) Ta có ba mặt phẳng
( ),( ),( )
ABC BCD
α
đôi một cắt nhau theo các giao tuyến

, ,
AC MP NQ
nên theo tính chất về giao tuyến ta suy ra
, ,
AC MP NQ
cắt nhau tại một điểm. Suy
ra
J AC
∈

b) Vì
I MQ NP
= ∩
mà
( ), ( ) ( ) ( )
MQ MAD NP NAB I d MAD NAB
∈ ∈ ⇒ ∈ = ∩

c) Giả sử
MN BD K
∩ =
. Khi đó
, ,
K P Q
cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
( ),( )
ABD
α

Nên

, ,
K P Q
thẳng hàng. Hay
PQ
đi qua điểm
K
cố định
Ví dụ 3) Cho tứ diện
ABCD
có
M
là trung điểm của
,
AB N AC
∈
sao cho 2
NA NC
=
. Mặt
phẳng
( )
α
thay đổi đi qua
,
M N
cắt các cạnh
,
BD CD
ở
,

P Q

a) Chứng minh
, ,
MN PQ BC
đồng quy
b) Gọi
K
là giao điểm của
,
MQ NP
. Chứng minh
K
thuộc một đường thẳng cố định
K
I
J
Q
N
M
P
A
D
C
B
14

c) Gọi
I
là giao điểm của

,
MP NQ
. Biết
ID AD
=
. Tính các tỷ số ;
PB QC
PD QD

Giải:

a) Kéo dài
MN BC H
∩ =
. Nối
HQ BD P
∩ =
.
Ta thấy ba mặt phẳng
( ),( ),( )
ABC BCD MNQP
đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là
, ,
MN PQ BC
. Suy ra
, ,
MN PQ BC
đồng quy tại
H

b) Ta có điểm
( )
K MQ MCD
∈ ∈
;
( )
K NP NBD
∈ ∈
suy ra điểm
K
thuộc giao tuyến của 2
mặt phẳng cố định
( ),( )
MCD NBD

c) Ta thấy ba mặt phẳng
( ),( ),( )
ABC ACD MNQP
đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là
, ,
MP NQ AD
nên ba giao tuyến này đồng quy tại
.
I

Ta có
1
; ;
2
MA MB HB kHC NC NA

= − = = −
     

I
K
Q
P
H
N
M
D
C
B
A
15

Vì
, ,
M N H
thẳng hàng nên theo định lý Menelauyt ta có:
( )
1
1 . . 1 2
2
k k
 
− − = ⇒ =
 
 

Vậy 2
HB HC
=

Trong tam giác
ACD
ta có:
2
NA NC
= −
 
,
QC kQD
=
 
,
1
2
ID IA
=
 
. Mà
, ,
N Q I
thẳng hàng nên
theo định lý Menelauyt ta có:
( )
1
2 . . 1 1 1
2

QC
k k
QD
− = ⇒ = − ⇔ =

Xét tam giác
BCD
ta có
2
HB HC
=
 
,
QC QD
= −
 
,
1
2.( 1). 1
2
PD kPB k k
= ⇒ − = ⇒ = −
 

Suy ra
2 .
PB PD
=

PHẦN II: QUAN HỆ SONG SONG

VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, MỘT ĐƯỜNG
THẲNG SONG SONG VỚI MỘT MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp:
•
Để chứng minh hai đường thẳng song song với nhau ta có thể dùng các cách:
* Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ 3
* Hai đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ 3
* Dùng định lý Talet
* Dựa vào tính chất: Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song với nhau thì giao
tuyến nếu có sẽ song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
•
Để chứng minh đường thẳng
( )
d
song song với mặt phẳng
( )
Q
ta có thể làm theo các cách
sau:
* Chứng minh
/ / '; ' ( )
d d d P
∈

* Tìm mặt phẳng
( )
Q
chứa
d
sao cho

( ) / /( )
Q P
dựa vào tính chất nếu hai mặt phẳng song
song song thì mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. Suy ra
/ /( )
d P

* Tìm mặt phẳng
( )
Q
chứa (d). Tìm giao tuyến
∆
của
( ),( )
P Q
. Chứng minh đường thẳng
( )
d

song song với giao tuyến
∆
của
( ),( )
P Q

16

•
Chứng minh hai mặt phẳng song song.
* Tìm trong mặt phẳng

( )
P
hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với
( )
Q

* Tìm trong mặt phẳng
( )
P
hai đường thẳng cắt nhau
,
a b
tìm trong
( )
Q
hai đường thẳng cắt
nhau
,
c d
sao cho
/ / ; / /
a c b d

* Dựa vào tính chất bắc cầu:
( ) / /( );( ) / /( ) ( ) / /( )
P R Q R P Q
⇒

Ví dụ 1) Cho hình chóp
SABCD

có đáy
ABCD
là hình thang
( / / )
AD BC
. Gọi
M
là trọng tâm
tam giác
SAD
.
N
là điểm thuộc
AC
sao cho
1
2
NA NC
=
,
P
là điểm thuộc
CD
sao cho
1
2
PD PC
=

a) Chứng minh

/ /( )
MN SBC

b) Chứng minh
( ) / /( )
MNP SBC

Giải:

a) Gọi
I
là trung điểm của
AD
thì
( )
MN SIN
∈

Kéo dài
IN
cắt
BC
tại
K
thì
( ) ( )
SIN SBC SK
∩ =

Ta có

1
/ / / /( )
3
IN AN IM
MN SK MN SBC
IK AC IS
= = = ⇒ ⇒

P
K
N
I
M
D
C
B
A
S
17

b) Ta có
2 / / / /
NC PC
NP AD BC
NA PD
= = ⇒
. Kết hợp với câu a) ta có
( ) / /( )
MNP SBC

Ví dụ 2) Cho hình hộp
' ' ' '
ABCDA B C D
. Gọi
I
là trung điểm của
'
AB

a) Chứng minh
' / /( ')
C I ACD

b)
M
là một điểm thuộc cạnh
'
DD
. Xác định giao tuyến các mặt phẳng
( ' ),( ')
C IM ACD
.
Tìm vị trí của điểm
M
để giao tuyến này đi qua trung điểm của
'
AD

c)
N

là một điểm thuộc
' '
C D
. Xác định giao điểm của
,
AB AD
với mặt phẳng
( )
IMN

Giải:

a) Ta có
' ( ' ')
C I ADC B
∈
. Gọi
J
là giao điểm của
', '
DC D C

Ta có
( ' ') ( ')
ADC B ACD AJ
∩ =
. Vì
/ / ' ' / /( ')
AJ C I C J ACD
⇒

b) Vì hai mặt phẳng
( ' )
C MI
và
( ')
ACD
chứa hai đường thẳng
' / /
C I AJ
nên giao tuyến
của nó là đường thẳng song song với
AJ
. Giả sử
' '
C M CD H
∩ =
. Trong mặt phẳng
( ')
ACD

qua
H
kẻ đường thẳng
/ /
HK AJ
thì
HK
chính là giao tuyến của hai mặt phẳng
( ' )

C MI
và
( ')
ACD
.
Do
' '
KD HD
KA HJ
=
nên
K
là trung điểm của
'
AD
khi
H
là trung điểm của
'
D J
.
E
R
Q
P
N
K
H
M
J

I
C'
D'
D
C
A'
B'
B
A
18

Suy ra
' ' ' 1
' ' 3
MD MD HD
DD CC HC
= = =

c) Do hai mặt phẳng
( ' ')
ABB A
và
( ' ')
DCC D
song song với nhau nên hai mặt phẳng đó sẽ
cắt mặt phẳng
( )
MNI
theo hai giao tuyến song song với nhau.
Qua

I
kẻ đường thẳng song song với
MN
cắt
, '
AB AA
tại
,
P R
thì
PR
là giao tuyến của
( )
IMN
với
( ' ')
ABB A
,
P
là giao điểm của
AB
và
( )
IMN

Trong mặt phẳng
( ' ')
ADD A
đường thẳng
( )

RM AD Q AD IMN Q
∩ =
⇒
∩ =

Ví dụ 3) Cho hình chóp
SABCD
có đáy là hình bình hành. Hai điểm
M
và
N
lần lượt thay đổi
trên các đoạn thẳng
,
SB AC
sao cho
( )
0 1
BM NC
x x
MS NA
= = < ≠
. Gọi
G
là trọng tâm tam giác
SCD
.
a) Chứng minh rằng
MN
luôn song song với một mặt phẳng cố định khi

x
thay đổi.
b) Tìm
x
để
(
)
(
)
/ /
GMN SAD

c) Tìm
x
để
(
)
/ /
NG SAB
.
Giải:

a) Gọi
P
là giao điểm của
BN
với
AD
. Ta có :
BM NC BN

MS NA NP
= =

P
H
T
N
Q
G
M
D
C
A
B
S
19

Do đó
/ /
MN SP
. Vậy
MN
song song với mặt phẳng
(
)
SAD
cố định.
b) Do
/ /
MN SP

nên hai mặt phẳng
(
)
GMN
và
(
)
SAD
song song với nhau khi và chỉ khi
(
)
/ /
NG SAD
. Gọi
Q
là trung điểm của
DC
. Suy ra ba điểm
, ,
S G Q
thẳng hàng.
Đường thẳng
NQ
lần lượt cắt
AD
và
AB
tại
T
và

H
.
Ta có:
( )
1
/ / / /
2
NQ GQ
NG SAD NG ST
NT GS
⇔ ⇔ = = ⇔
N
là trọng tâm tam giác
TCD
.
2
NC
x
NA
⇔ = =

c)
( )
1 1 1
/ / / /
2 2 2
NQ GQ NC
NG SAB NG SH x
NH GS NA
⇔ ⇔ = = ⇔ = ⇔ =

.
Ví dụ 4) Cho lăng trụ
' ' '
ABCA B C
. Gọi
, ,
I K G
lần lượt là trọng tâm các tam giác
, ' ' ', ' '
ABC A B C A CC
. Chứng minh rằng
a)
( ) / /( ' ')
IKG BCC B

b) Gọi
H
là trung điểm của
'
BB
. Chứng minh
( ) / /( ' )
AIH A KG

Giải:

L
N
M
G

K
I
H
C'
B'
A'
C
B
A
20

a) Gọi
, ,
M N L
lần lượt là trung điểm của
', ' ',
CC B C BC

Mặt phẳng
( ' )
A MN
có
/ /
KG MN
mà
( ' ') / /( ' ')
MN BCC B KG BCC B
∈
⇒

Trong mặt phẳng
( ' )
AA NL
có
/ /
KI NL
mà
( ' ') / /( ' ')
NL BCC B IK BCC B
∈
⇒

Mặt phẳng
( )
IKG
chứa hai đường thẳng
,
KG IK
cùng song song với
( ' ') ( ) / /( ' ')
BCC B IKG BCC B
⇒

b) Ta thấy
( ) ( )
AIH AIL
≡
.
Nhưng ta có
/ / ' , / / ( ) / /( ' ) ( ) / /( ' )

AL A K HL NM AHL A KM AHI A KG
⇒
⇔


VẤN ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN KHI CẮT HÌNH CHÓP, LĂNG TRỤ BỞI MẶT
PHẲNG CHO TRƯỚC
Khi xác định thiết diện ta cần nắm chắc các tính chất.
- Hai đường thẳng song song thì luôn xác định một mặt phẳng
- Nếu mặt phẳng
( )
P
song song với đường thẳng
( )
d
thì mặt phẳng
( )
P
sẽ cắt các mặt
phẳng chứa
( )
d
(nếu có) theo giao tuyến song song hoặc trùng với
( )
d

- Hai mặt phẳng
( ),( )
P Q
song song với nhau khi mặt phẳng

( )
P
chứa hai đường thẳng cắt
nhau cùng song song với
( )
Q

Để tính diện tích thiết diện ta cần nhớ:
-
1 1
sin
2 2 4
ABC
abc
S ah ab C pr
R
∆
= = = =
( Tương tự ta có công thức theo các cạnh còn lại)
-
2
; ;
hv hcn
S a S ab
= =

- Diện tích hình thang
1
( )
2

S a b h
= +
(trong đó
, ,
a b h
lần lượt là độ dài hai cạnh đáy,
đường cao).
- Nếu
ABCD
là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau có độ dài
1
,
2
m n S mn
⇒ =

- Nếu đáy là hình đa giác bất kỳ ta cần khéo léo chia nhỏ để tạo các hình đặc biệt rồi cộng
hoặc trừ các diện tích.
- Khi giải các bài toán liên quan đến
,
GTLN GTNN
ta cần nhớ các bất đẳng thức cơ bản:
3
2 ; 3
a b ab a b c abc
+ ≥ + + ≥
;
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( )( )
ax by cz a b c x y z

+ + ≤ + + + +
sin ,cos [ 1;1]
x x
∈ −
….
21

- Định lý cosin:
2 2 2
2 cos
a b c bc A
= + −

- Công thức tính đường trung tuyến
2 2 2
2
2( )
4
a
b c a
m
+ −
= , ……
Ví dụ 1) Cho hình chóp
SABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Gọi
, ,
M N I

là trung điểm
các cạnh
, ,
AB CD SA
.
a) Chứng minh
(
)
/ /
SC MNI

b)
P
là một điểm thuộc cạnh
SB
. Xác định giao tuyến của các mặt phẳng
(
)
CIM
và
(
)
APN
.
c)
Q
là một điểm thuộc mặt bên
(
)
SAD

. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng
(
)
CPQ
.
Giải:
a) Gọi
J
là trung điểm của
SD
. Ta có
/ /
IJ MN
nên
, , ,
I J M N
cùng thuộc một mặt
phẳng. Mặt khác
/ / ,
SC JN
suy ra
(
)
/ /
SC IMN
hoặc có thể thấy
(
)
(

)
/ /
SBC IMN
nên
(
)
/ /
SC IMN



Ta cũng có thể chứng minh theo cách:
( )
SC SAC
∈
,
( ) ( )
SAC MNI IO
∩ =

Mà
/ / / /( )
IO SC SC MNI
⇒

J
H
O
I
N

M
D
C
B
A
S
22

b) Trong mặt phẳng
(
)
,
SAB IM
cắt
AP
tại
K
. Vì hai mặt phẳng
(
)
CIM
và
(
)
APN
.
Chứa hai đường thẳng
/ /
CM AN
nên giao tuyến của nó là đường thẳng song song với

CM
.
Trong mặt phẳng
(
)
CIM
kẻ đường thẳng đi qua
K
và song song với
CM
cắt
CI
tại
H
thì
đường thẳng
HK
là giao tuyến cần tìm.

c) Dựa vào tính chất.
+ Nếu mặt phẳng
( )
P
song song với đường thẳng
( )
d
thì
( )
P
cắt tất cả các mặt phẳng chứa

( )
d

theo giao tuyến song song hoặc trùng với
( )
d

+ Ba mặt phẳng đôi một cắt nhau thì 3 giao tuyến sẽ song song hoặc đồng quy với nhau.
•
Ta thấy rằng hai mặt phẳng
( ),( )
SBC SAD
cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng qua
S

song song với
BC

•
Kéo dài
CP
cắt giao tuyến nói trên tại điểm
T

Ta có 2 khả năng sau:
+ Trong mp
(
)
,
SAD TQ

cắt các cạnh
,
SA AD
tại
,
U V
. Thiết diện là tứ giác
CPUV
.
S
A
B
C
D
M
N
I
O
P
H
K
23


+ Trong mp
(
)
,
SAD TQ
cắt các cạnh

,
SA SD
tại
,
U V
. Thiết diện là tứ giác
CPUV
.


Ví dụ 2) Cho lăng trụ
' ' '
ABCA B C
. Gọi
I
là trung điểm cạnh
AB
và
(
)
α
là mặt phẳng đi qua
I
và song song với
', '
AB BC
.
a) Xác định giao tuyến của các mặt phẳng
(
)

α
. Chứng minh
(
)
α
là trung điểm của
'
AC
.
R
U
Q
P
T
O
N
D
C
B
A
S
Q
R
U
T
S
A
B
C
D

N
P
24

b)
J
là điểm trên đoạn
'
AC
sao cho
4
'
AJ
C J
=
. Kí hiệu
(
)
β
là mặt phẳng đi qua
J
và
song song với
' , '
A I BC
. Xác định thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng
(
)
β
.

Giải:
a) Hình vẽ

Xác định giao tuyến của các mặt phẳng
(
)
α
. Chứng minh
(
)
α
là trung điểm của
'
AC
.
Do
(
)
'/ /AB
α
nên trong mp
(
)
' '
ABB A
, đường thẳng qua
I
và song song với
'

AB
và
', '
AA BB

tại
,
M K
thì
,
M K
là giao điểm của
', '
AA BB
với
(
)
α

Do
(
)
'/ /BC
α
nên trong mp
(
)
' '
BB CC
, đường thẳng qua

K
và song song với
'
BC
cắt
'
CC
tại
N
thì đường thẳng qua
KN
là giao tuyến của
(
)
α
và
(
)
' '
BB CC

N
M
I
K
C'
B'
A'
C
B

A
25

Để ý
,
I K
là trung điểm
, '
AB BB
nên
'
'
2
BB
AM BK C N= = =
, do đó tứ giác
'
AMC N
là hình
bình hành; mà
MN
lại là giao tuyến của
(
)
α
và
(
)
' '
AA C C

suy ra
(
)
α
đi qua trung điểm của
'
AC
.
b) Hình vẽ

Trong mp
(
)
'
ABC
, qua
J
kẻ đường thẳng song song với
'
BC
cắt
AB
tại
P
thì
P

là giao điểm của
AB
với

(
)
β
.
Trong mp
(
)
' '
ABB A
, qua
P
kẻ đường thẳng song song với
'
A I
cắt
' '
A B
tại
Q
,cắt
', '
AA BB

tại
,
R S
.
Trong mặt phẳng
( ' ')
ACC A

ta có
RJ
cắt
' ', '
A C CC
tại
,
T U
.
Trong mp
(
)
' ' ,
BB C C SU
cắt
BC
tại
V
.
Ta có ngũ giác
PQTUV
là thiết diện cần tìm.
Chú ý: Nếu gọi
O
là trung điểm
'
AC
thì
/ / '
IO BC

và
(
)
α
có thể xem là mặt phẳng đi qua
J

và song song với
(
)
'
A IC
và yêu cầu trở thành xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng
(
)
β
đi qua
J
và song song với
(
)
'
A IC
.
V
R
Q
T
S
P

J
I
A
B
C
A'
B'
C'