Lagrangian of charged particle in electromagnetic field

Cái này F lục lại trong Source of thì thấy từng làm rồi. Công nhận hùi đó ngây thơ ghê ^^
Trường ĐH Sư phạm Tp.HCM
Khoa Vật Lý – Lớp 3B
Họ và Tên: Phạm Tiến Phát
BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT
- Xét một hạt mang điện q, khối lượng m chuyển động trong trường điện từ đặc trưng bởi thế
tĩnh điện (thế vô hướng) φ và thế từ (thế vector) không phụ thuộc vào vận tốc.
- Bỏ qua tác dụng của trọng lực và các hiệu ứng tương đối tính.
- Biết cảm ứng từ và cường độ điện trường được tính như sau:

với là toán tử hình thức Hamilton
- Tìm hàm Lagrange của hạt mang điện chuyển động trong trường điện từ
BÀI GIẢI
- Chọn hệ tọa độ suy rộng là hệ tọa độ Cartes (q
1
, q
2
, q
3
) ≡ (x, y, z)
- Lực điện từ tác dụng lên hạt mang điện là:
- Phương trình Lagrange loại 2 theo tọa độ x:
- Trong đó, T là động năng của hạt, Q
x
là ngoại lực suy rộng tác dụng lên hạt theo phương x
- Ta có:
Vậy,
A
ur
B rotA B A
hay

A A
E grad E
t t
 
= = ∇×
 
 
∂ ∂
= − ϕ − = −∇ϕ −
 
∂ ∂
 
ur ur ur ur ur
ur ur
ur
: i j k
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r
(A; )ϕ
ur
( )
F q E v B= + ×
r ur r ur
x
d T T
Q
dt x x

∂ ∂
 
− =
 ÷
∂ ∂
 
&
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
e m
x
F F
F A
E v B v rotA
q q t
A A
v A v.A v. .A
t t
A
Q F.i q v.A .i q v. .A .i
t
q qv.A .i q x
 
+
∂
= = + × = −∇ϕ − + ×
 ÷
 ÷

∂
 
∂ ∂
= −∇ϕ − + × ∇× = −∇ϕ − + ∇ − ∇
∂ ∂
 
∂
 
⇒ = = − ∇ϕ−∇ − ∇ +
 
 
∂
 
∂
= −∇ ϕ − −
uur uur
r ur
ur r ur ur r ur
ur ur
ur r ur ur ur ur r ur r ur ur
ur
r r ur ur r ur r r ur ur r
ur r ur r
&
( ) ( )
x
A A A A
y z .i
x y z t
dA dA

q qv.A q i q qv.A q
x dt x dt
 
∂ ∂ ∂
+ + +
 ÷
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 
∂ ∂
= − ϕ− − = − ϕ − −
∂ ∂
ur ur ur ur
r
& &
ur
r ur r r ur
( )
x
x
dA
Q q qv.A q
x dt
∂
= − ϕ− −
∂
r ur
Lại có:
do không phụ thuộc tường minh vào
Vậy,

- Phương trình Lagrange loại 2 cho ta:
So sánh với phương trình Lagrange cho trường thế suy rộng:
Ta suy ra hàm Lagrange của hạt là:
mà nên:
Trọng hệ tọa độ Cartes thì:

và thế năng suy rộng là:
( )
U q A.v
= ϕ −
ur r
.
( )
( )
( )
{
( )
x
0
0
v.A
q
d d d d v A d dA
q qv.A q q A v q A.i q
dt x dt x dt x dt x x dt dt
=
=
 
∂
∂ ϕ

∂  ∂ ∂ ÷
ϕ − = − = − + = − = −
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 ÷
 
r ur
r ur
r ur ur r ur r
& & & & &
1 2 3
( )
q
A
0; 0
x x
∂ ϕ
∂
= =
∂ ∂
ur
& &
; Aϕ
ur
x
&
( )
x
dA d
q q qv.A

dt dt x
∂
− = ϕ −
∂
r ur
&
( ) ( )
( ) ( )
x
d T T
Q
dt x x
d T T d
q qv.A q qv.A
dt x x x dt x
d
T q qv.A T q qv.A 0
dt x x
∂ ∂
 
− =
 ÷
∂ ∂
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
⇔ − = − ϕ − + ϕ−
 ÷
∂ ∂ ∂ ∂
 

∂ ∂
⇔ − ϕ+ − − ϕ+ =
∂ ∂
&
r ur r ur
& &
r ur r ur
&
d L L
0
dt x x
∂ ∂
 
− =
 ÷
∂ ∂
 
&
( )
L T q v.A= − ϕ −
r ur
2
1
T mv
2
=
r
( )
2
1

L mv q A.v
2
= − ϕ −
r ur r
( )
x y z
2 2 2
v (x;y;z)
A (A ;A ;A )
1
T m x y z
2


=

=


= + +


r
& &&
ur
& & &
⇒
( )
( )
2 2 2

x y z
1
L m x y z q A x A y A z
2
 
= + + − ϕ− + +
 
& & & & & &