Trường điện từ - electromagnetic field theory
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (629.12 KB, 94 trang )
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY
Số tiết: 45
Tài liệu tham khảo
1. Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006
2. Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995
3. Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978
Chương 0
MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1. Vector
{ }
zyxzyx
akajaia,a,aa
++==
{ }
zyxzyx
bkbjbib,b,bb
++==
{ }
zyxzyx
ckcjcic,c,cc
++==
•
zzyyxx
bababab.a
++=
•
( )
( )
( )
xyyxzxxzyzzy
zyx
zyx
babakbabajbabai
bbb
aaa
kji
ba
−+−+−==×
•
( )
b,acosbab.a
=
•
cba
=×
Phương:
( )
b,ac
⊥
Chiều: theo qui tắc vặn nút chai
Độ lớn:
( )
b,asinbac
=
•
( )
( )
( )
b.a.cc.a.bcba
−=××
2. Toán tử nabla
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
z
,
y
,
x
3. Gradient
1
z
U
k
y
U
j
x
U
iU.gradU
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
4. Divergence
z
a
y
a
x
a
a.adiv
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
5. Rotary
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=
y
a
x
a
k
x
a
z
a
j
z
a
y
a
i
aaa
zyx
kji
aarot
x
y
zx
y
z
zyx
Số phức
Hàm mũ
( )
ysiniycoseee
xiyxz
+==
+
Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có
1k2sinik2cose
ik2
=π+π=
π
Suy ra
zik2zik2z
ee.ee
==
ππ+
Công thức Euler
e
iy
= cosy +isiny
Khi đó số phức z = r e
i
ϕ
= r(cosϕ +isinϕ)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21
=+
′
+
′′
(1)
Trong đó:
a
1
, a
2
và f(x) là các hàm của biến độc lập x
f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất
f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất
a
1
, a
2
≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất
2
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0yayay
21
=+
′
+
′′
(2)
a
1
, a
2
là các hàm của biến x
Định lí 1. Nếu y
1
= y
1
(x) và y
2
= y
2
(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
(trong đó C
1
, C
2
là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy.
Hai hàm y
1
(x) và y
2
(x) là độc lập tuyến tính khi
( )
( )
const
xy
xy
2
1
≠
, ngược lại là phụ
thuộc tuyến tính
Định lí 2. Nếu y
1
(x) và y
2
(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi
phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C
1
y
1
+ C
2
y
2
(trong đó C
1
, C
2
là 2
hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy.
Định lí 3. Nếu đã biết một nghiệm riêng y
1
(x) của phương trình vi phân từ
trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được một nghiệm riêng y
2
(x) của
phương trình đó, độc lập tuyến tính với y
1
(x) bằng cách đặt y
2
(x) = y
1
(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất
Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:
)x(fyayay
21
=+
′
+
′′
(3)
Trong đó:
a
1
và a
2
là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0
Định lí 1. Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng
nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm
riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3).
Định lí 2. Cho phương trình không thuần nhất
)x(f)x(fyayay
2121
+=+
′
+
′′
(4)
Nếu y
1
(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay
121
=+
′
+
′′
(5)
và y
2
(x) là nghiệm riêng của phương trình
)x(fyayay
221
=+
′
+
′′
(6)
3
thì y(x) = y
1
(x) + y
2
(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi
Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:
0qyypy
=+
′
+
′′
(7)
p, q là các hằng số
Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng
kx
ey
=
(8)
Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định
Suy ra
kx
key
=
′
,
kx2
eky
=
′′
(9)
Thay (8) và (9) vào (7) ta có
( )
0qpkke
2kx
=++
(10)
Vì e
kx
≠ 0 nên
0qpkk
2
=++
(11)
Nếu k thoả mãn (11) thì y = e
kx
là một nghiệm riêng của phương trình vi
phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi
phân (7)
Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k
1
và k
2
như sau
- k
1
và k
2
là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình
vi phân (7) là
xk
1
1
ey
=
,
xk
2
2
ey
=
(12)
Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì
( )
conste
y
y
xkk
2
1
21
≠=
−
(13)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
xk
2
xk
121
21
eCeCyyy
+=+=
(14)
- k
1
và k
2
là 2 số thực trùng nhau: k
1
= k
2
Hai nghiệm riêng độc lập từ trường:
xk
1
1
ey
=
,
xk
2
1
xey
=
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
4
( )
xk
21
xk
2
xk
1
111
exCCxeCeCy
+=+=
(15)
- k
1
và k
2
là 2 số phức liên hợp: k
1
= α + iβ và k
2
= α - iβ
Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là
( )
( )
xixxi
2
xixxi
1
eeey
eeey
β−αβ−α
•
βαβ+α
•
==
==
(16)
Theo công thức Euler ta có
xsinixcose
xsinixcose
xi
xi
β−β=
β+β=
β−
β
(17)
Suy ra
( )
( )
xsinixcoseeey
xsinixcoseeey
xxix
2
xxix
1
β−β==
β+β==
αβ−α
•
αβα
•
(18)
Nếu
•
1
y
và
•
2
y
là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm
xsine
i2
yy
y
xcose
2
yy
y
x
21
2
x
21
1
β=
+
=
β=
+
=
α
••
α
••
(19)
cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì
constxtg
y
y
2
1
≠β=
(20)
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là
( )
xsinCxcosCexsineCxcoseCy
21
xx
2
x
1
β+β=β+β=
ααα
(21)
5
Chương 1
CÁC ĐỊNH LUẬT
VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ
1.1.1. Vector cường độ điện trường
• Điện trường được đặc trưng bởi lực tác dụng lên điện tích đặt trong điện
trường
EqF
=
(1.1)
Hay:
q
F
E
=
(1.2)
• Cđđt
E
tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số
bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó
• Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q
2
0
0
r
r
4
F
πεε
=
(1.3)
-
m/F10.854,8
12
0
−
=ε
- hằng số điện
- ε - độ điện thẩm tương đối
-
0
r
- vector đơn vị chỉ phương
• Hệ đt điểm
n21
q,...,q,q
∑∑
==
πεε
==
n
1i
2
i
i0i
0
n
1i
i
r
rq
4
1
EE
(1.4)
i0
r
- các vector đơn vị chỉ phương
• Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó:
∫
ρ
πεε
=
l
2
l
0
l
r
r
dl
4
1
E
(1.5)
∫
ρ
πεε
=
S
2
S
0
S
r
r
dS
4
1
E
(1.6)
∫
ρ
πεε
=
V
2
V
0
V
r
r
dV
4
1
E
(1.7)
1.1.2. Vector điện cảm
6
• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử
dụng vector điện cảm
D
ED
0
εε=
(1.8)
1.1.3. Vector từ cảm
• Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển
động hay dòng điện theo định luật Lorentz
BvqF
×=
(1.9)
• Từ trường do phần tử dòng điện
lId
tạo ra được xác định bởi định luật
thực nghiệm BVL
( )
rlId
r4
Bd
2
0
×
π
µ µ
=
(1.10)
-
m/H10.257,110.4
67
0
−−
=π=µ
- hằng số từ
- µ - độ từ thẩm tương đối
• Từ trường của dây dẫn có chiều dài l
∫
×
π
µµ
=
l
2
0
r
rlId
4
B
(1.11)
1.1.4. Vector cường độ từ trường
• Để đơn giản khi tính toán đối với các môi trường khác nhau, người ta sử
dụng vector cường độ từ trường
H
0
B
H
µµ
=
(1.12)
1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích
1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân
• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện
tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian
dt
dq
I
−=
(1.13)
Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm
7
• Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn
điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện
EvvenJ
0
σ=ρ==
(1.14)
dạng vi phân của định luật Ohm
- n
0
- mật độ hạt điện có điện tích e
- ρ - mật độ điện khối
-
v
- vận tốc dịch chuyển của các hạt điện
- σ - điện dẫn suất
• Dòng điện qua mặt S được tính theo
∫∫∫
σ===
SSS
SdESdJdII
(1.15)
• Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp
U, ta có
(lưu ý: áp dụng c/t S = L
2
và
LS
L
R
ρ
=ρ=
)
R
U
LU)EL)(L(ESEdSI
S
=σ=σ=σ=σ=
∫
(1.16)
dạng thông thường của định luật Ohm
Vì
E
và
Sd
cùng chiều, đặt
RL
1
=σ
(1.17)
σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm
1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích
• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng
không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng
điện.
• Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện
tích giảm đi từ thể tích V đó.
• Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có
∫
ρ=
V
dVQ
(1.18)
8
sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ
∫
ρ−=−=
V
dV
dt
d
dt
dQ
I
(1.19)
Mặt khác
∫
=
S
SdJI
(1.20)
Suy ra
∫∫
∂
ρ∂
−=
VS
dV
t
SdJ
(1.21)
Theo định lý OG
( )
∫∫∫
∂
ρ∂
−=∇=
VVS
dV
t
dVJ.SdJ
(1.22)
Suy ra
0
t
J.
=
∂
ρ∂
+∇
(1.23)
Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên
tục.
1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường
• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ
• Các phương trình:
ED
0
εε=
(1.24)
µµ
=
0
B
H
(1.25)
gọi là các phương trình vật chất
• ε, µ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính
• ε, µ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng
• ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường
không đẳng hướng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng
số. Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường
không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ
• ε, µ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất
Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính.
9
Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến
µ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N,
không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm
µ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na
+
, Cl
-
có các lớp
electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO
2
, H
2
O,
thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ
µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các
nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ
lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần.
• Căn cứ vào độ dẫn điện riêng σ: chất dẫn điện, chất bán dẫn và chất cách
điện hay điện môi
Chất dẫn điện: σ > 10
4
1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng
Chất bán dẫn: 10
-10
< σ < 10
4
Chất cách điện: σ < 10
-10
, σ = 0 : điện môi lý tưởng
Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0
1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường
• Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell
• Thông lượng của vector điện cảm
D
qua mặt S là đại lượng vô hướng được
xác định bởi tích phân
∫
=Φ
S
E
SdD
(1.26)
10
Sd
: vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài
dS.cos(
D
,
Sd
) : hình chiếu của S lên phương
D
• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của
D
do q
tạo ra qua mặt kín S, ta có
( )
Ω
π
=
π
==Φ
d
4
q
r4
Sd,Dcos.dS.q
SdDd
2
(1.27)
dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS
Thông lượng của
D
qua toàn mặt kín S là
qd
4
q
SdD
S
=Ω
π
==Φ
∫∫
Ω
(1.28)
• Xét trường hợp điện tích điểm q nằm ngoài mặt kín S. Từ điện tích q nhìn
toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S'
(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau.
Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu. Khi đó thông
lượng của
D
qua toàn mặt kín S bằng 0.
D
Sd
S
dΩ
r
q
11
• Xét hệ điện tích điểm q
1
, q
2
, ..., q
n
đặt trong mặt kín S, ta có
∑
=
=
n
1i
i
DD
(1.29)
Thông lượng của
D
do hệ q
1
, q
2
, ..., q
n
gây ra qua toàn mặt kín S
QqSdDSdD
n
1i
i
n
1i
S
i
S
====Φ
∑∑
∫∫
==
(1.30)
Vậy: Thông lượng của vector điện cảm
D
qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng
đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S
Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q
1
, q
2
, ..., q
n
, do đó Φ có thể âm
hoặc dương
• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được
tính theo
QdVSdD
VS
E
=ρ==Φ
∫∫
(1.31)
Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-
Gauss đối với điện trường.
Nguyên lý liên tục của từ thông
• Thực nghiệm đã chứng tỏ đường sức từ là khép kín dù nguồn tạo ra nó là
dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này
• Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm
B
. Thông
lượng của
B
qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này.
Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số
đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của
B
được tính
theo
D
Sd
A
B
q
12
0SdB
S
M
==Φ
∫
(1.32)
Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương
trình cơ bản của trường điện từ
1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday
Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này
xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường
E
có chiều
là chiều của dòng điện cảm ứng đó.
Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện
nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải
là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt
của điện trường đó. Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì
đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm
cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì
hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng
điện !).
Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng
điện thì công phải khác 0, có nghĩa là
0ldEq
l
≠
∫
(1.33)
và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy.
Phát biểu luận điểm I: Bất kì một từ trường nào biến đổi theo thời gian
cũng tạo ra một điện trường xoáy.
Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:
Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh
trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi
qua diện tích của vòng dây
dt
d
e
c
Φ
−=
(1.34)
13
Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện
cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ
∫
=Φ
S
SdB
(1.35)
là thông lượng của vector từ cảm
B
qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra
∫∫∫
∂
∂
−=
−=−=
Φ
−=
SSS
c
Sd
t
B
Sd
dt
Bd
SdB
dt
d
dt
d
e
(1.36)
Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e
c
theo lưu số của vector cường độ
điện trường
E
∫
=
l
c
ldEe
(1.37)
Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn
của
B
Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta
có
∫∫
∂
∂
−=
Sl
Sd
t
B
ldE
(1.38)
Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng tích phân, cũng là một
phương trình cơ bản của trường điện từ.
Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường
cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo
thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)
Sd
B
ld
S
14
( )
∫∫
×∇=
Sl
SdEldE
(1.39)
Theo các phương trình (1.38) và (1.39)
t
B
E
∂
∂
−=×∇
(1.40)
Đây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng
đối với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên.
1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere
Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường
xoáy. Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để
đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell
đưa ra luận điểm II:
Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ
trường.
(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)
Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không
gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II
sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có
sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.
Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:
Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace,
Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:
Lưu số của vector cường độ từ trường
H
dọc theo một đường cong kín bất
kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này
IIldH
n
1i
i
l
==
∑
∫
=
(1.41)
15
Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn.
Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện
J
thì
∫∫
=
Sl
SdJldH
(1.42)
Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường
điện từ
Khái niệm về dòng điện dịch
Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện
toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ
giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch.
Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức
dP0d0d
JJ
t
P
t
E
t
D
J
+=
∂
∂
+
∂
∂
ε=
∂
∂
=
(1.43)
Trong đó:
t
P
J
dP
∂
∂
=
- mật độ dòng điện p.cực trong điện môi do sự xê dịch của các
điện tích
t
E
J
00d
∂
∂
ε=
- điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ
dòng điện dịch
Để chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt
kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ
điện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên
E
và dòng điện biến thiên chạy
J
ld
Sd
I
i
S
16
qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản
tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:
t
E
SI
00d
∂
∂
ε
′
=
(1.44)
Theo định luật Gauss
SESdEq
0
S
0
′
ε=ε=
∫
(1.45)
SSd
S
′
=
∫
vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ
Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1
Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng
t
E
SSdE
dt
d
dt
dq
I
0
S
0
∂
∂
ε
′
=ε==
∫
(1.46)
Suy ra
I = I
d0
(1.47)
Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch
ngoài tụ điện.
Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta
có
(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương
dòng điện dẫn)
∫∫∫
∂
∂
+=
SSl
Sd
t
D
SdJldH
(1.48)
S
S'+q
-q
E
~
17
Hay
∫∫
∂
∂
+=
Sl
Sd
t
D
JldH
(1.49)
Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân
Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)
( )
∫∫
×∇=
Sl
SdHldH
(1.50)
Suy ra
d
JJ
t
D
JH
+=
∂
∂
+=×∇
(1.51)
Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng vi phân, cũng là một
phương trình cơ bản của trường điện từ
Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không)
thì do
0EJ
=σ=
, ta có:
0d0
J
t
E
H
=
∂
∂
ε=×∇
(1.52)
Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra
từ trường như dòng điện dẫn.
1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell
Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra
điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ
trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại
và có liên hệ chặt chẽ với nhau
Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một
trường thống nhất gọi là trường điện từ.
Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các
hạt mang điện.
- Phương trình Maxwell-Faraday
Dạng tích phân
∫∫
∂
∂
−=
Sl
Sd
t
B
ldE
(1.53)
18
Dạng vi phân
t
B
E
∂
∂
−=×∇
(1.54)
Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến
thiên và điện trường xoáy.
- Phương trình Maxwell-Ampere
Dạng tích phân
∫∫
∂
∂
+=
Sl
Sd
t
D
JldH
(1.55)
Dạng vi phân
t
D
JH
∂
∂
+=×∇
(1.56)
Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh ra
từ trường như dòng điện dẫn.
- Định lí OG đối với điện trường
Dạng tích phân
qSdD
S
=
∫
(1.57)
Theo giải tích vector:
∫∫
∇=
VS
dVD.SdD
và
∫
ρ=
V
dVq
, ta có
Dạng vi phân
ρ=∇
D.
(1.58)
Diễn tả tính không khép kín của các đường sức điện trường tĩnh luôn từ các
điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn
- Định lí OG đối với từ trường
Dạng tích phân
0SdB
S
=
∫
(1.59)
Dạng vi phân
0B.
=∇
(1.60)
Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn
Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình
Maxwell
19
t
B
E
∂
∂
−=×∇
t
D
JH
∂
∂
+=×∇
(1.61)
ρ=∇
D.
0B.
=∇
- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài
Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian.
Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập
với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn
ngoài. Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện. Để đặc trưng cho
nguồn ngoài của trường điện từ ta có khái niệm mật độ dòng điện ngoài
O
J
.
Đ.luật Ohm dạng vi phân:
( )
OO
EEJJ
+σ=+
(1.62)
Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại
những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường
điện từ tự do. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại
t
B
E
∂
∂
−=×∇
t
D
JJH
O
∂
∂
++=×∇
(1.63)
ρ=∇
D.
0B.
=∇
Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là
môi trường điện môi:
ED
0
εε=
môi trường dẫn điện:
EJ
σ=
môi trường từ hoá:
HB
0
µµ=
, ta có
t
H
E
0
∂
∂
µµ−=×∇
t
E
JEH
0O
∂
∂
εε++σ=×∇
(1.64)
0
E.
εε
ρ
=∇
0H.
=∇
- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell
20
• Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện
dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài
0JJ
O
=ρ==
t
H
E
0
∂
∂
µµ−=×∇
t
E
H
0
∂
∂
εε=×∇
(1.65)
0E.
=∇
0H.
=∇
Nhận xét:
E
và
H
đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau
• Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối
xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức
M
J
- mật độ dòng từ ngoài
ρ
M
- mật độ từ khối
Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không
điện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài
t
H
JE
0M
∂
∂
µµ−−=×∇
t
E
JH
0E
∂
∂
εε+=×∇
, J
E
≡
J
O
(1.66)
0
E.
εε
ρ
=∇
0
M
H.
µµ
ρ
=∇
Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì
sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn
điện), mà không cần phải giải cả hai.
- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà
Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc ω nên có thể
biểu diễn dưới dạng phức, ta có
•
=
EreE
•
=
HreH
(1.67)
•
=
JreJ
•
ρ=ρ
re
21
Với:
Trong đó:
( )
z
y
x
i
mz
i
my
i
mx
mm
eEkeEjeEiz,y,xEE
ϕ
ϕ
ϕ
••
++=≡
gọi là biên độ phức
của
•
E
; ϕ
x
, ϕ
y
, ϕ
z
là các pha ban đầu
Khi đó
m
0
m
HiE
••
ωµµ−=×∇
Em
m
0
m
JEiEH
••••
+ωεε+σ=×∇
(1.69)
0
m
m
E.
εε
ρ
=∇
•
•
0H.
=∇
•
1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ
Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián
đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được
- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường
D
1n
- D
2n
= ρ
S
ρ
S
mật độ điện mặt
Khi ρ
S
= 0 ta có: D
1n
= D
2n
hay
1
2
n2
n1
E
E
ε
ε
=
(1.70)
- đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường
E
1
τ
= E
2
τ
,
1
2
2
1
D
D
ε
ε
=
τ
τ
(1.71)
- đối với thành phần pháp tuyến của từ trường
B
1n
= B
2n
,
1
2
n2
n1
H
H
µ
µ
=
(1.72)
- đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường
H
1
τ
- H
2
τ
= I
S
I
S
dòng điện mặt
(1.73)
ti
m
e
ω
••
ρ=ρ
;
ti
m
eEE
ω
••
=
;
ti
m
eHH
ω
••
=
;
ti
m
eJJ
ω
••
=
(1.68)
22
Khi I
S
= 0 ta có: H
1
τ
= H
2
τ
hay
1
2
2
1
B
B
µ
µ
=
τ
τ
- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn
lí tưởng có σ
2
= ∞. Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa
là
0HE
22
==
.
Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ
0H;E
22
≠
thì dưới tác
dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó
cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả
trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0. Trên bề mặt S của vật dẫn lí
tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn.
Khi đó ta được
E
1n
=
1
S
ε
ρ
E
1
τ
= 0
H
1n
= 0
H
1
τ
= I
S
(1.74)
Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành
phần pháp tuyến của
E
và thành phần tiếp tuyến của
H
1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting
- Năng lượng của trường điện từ
W = W
E
+ W
M
=
( )
∫
ω+ω
V
ME
dV
=
∫
µµ
+
εε
V
2
0
2
0
dV
2
H
2
E
- Định lí Umov Poynting
Đã chứng minh được
Ot
S
PP
dt
dW
Sd
−−−=Π
∫
(1.75)
Trong đó
HE
×=Π
(W/m
2
) vector Poynting
23
Phương trình =
∫∫
σ=
V
2
V
dVEdVEJ
công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện
dẫn
J
gây ra trong V
P
O
=
∫
V
E
dVEJ
công suất của nguồn ngoài trong thể tích V
(1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ
trong thể tích V
Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn
hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của
vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó.
Vector Poynting
Π
biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ.
1.10. Định lí nghiệm duy nhất
Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn
các điều kiện sau
1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t
0
= 0 ở tại bất
kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu,
tức là
( )
0,z,y,xEE
0
=
khi t = 0
( )
0,z,y,xHH
0
=
(1.76)
2. Biết thành phần tiếp tuyến của
E
và thành phần tiếp tuyến của
H
tại
mặt giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞
hay còn gọi là điều kiện biên
E = E
τ
|S
hoặc H = H
τ
|S
với 0 < t < ∞
(1.77)
Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào
đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các
điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất.
1.11. Nguyên lí tương hỗ
Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và
các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian.
1. Bổ đề Lorentz
24
Dạng vi phân
−−
−−=
×∇−
×∇
••••
••••••••
m1
m2M
m2
m1M
m1
m2E
m2
m1E
m1m2m2m1
HJHJ
EJEJHE.HE.
(1.78)
Dạng tích phân
∫
∫
−−
−=
=
×−
×
••••••••
••••
V
m1
m2M
m2
m1M
m1
m2E
m2
m1E
S
m1m2m2m1
dVHJHJEJEJ
dSHEHE
(1.79)
V → ∞, ta có
0dVHJHJEJEJ
V
m1
m2M
m2
m1M
m1
m2E
m2
m1E
=
−−
−
∫
••••••••
(1.80)
2. Nguyên lí tương hỗ
Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân
bố trong V
1
, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V
2
và 2 thể tích này không có
miền chung. Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V → ∞
chia thành 3 miền V
1
, V
2
và miền còn lại. Tuy nhiên tích phân trong miền còn lại
bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được viết
lại
∫∫
−=
−
••••••••
2V
m1
m2M
m1
m2E
1V
m2
m1M
m2
m1E
dVHJEJdVHJEJ
(1.81)
gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác
nhau.
1.12. Nguyên lí đồng dạng điện động
Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định
mối quan hệ giữa trường điện từ. Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và
môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau.
Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ
665544M33E2211
at;al;aJ;aJ;aE;aH
α=α=α=α=α=α=
(1.82)
4321
a;a;a;a
là các vector đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của
cường độ trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian
25
