phuong trinh laplace va phuong trinh truyen nhiet

Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Vật lý











Bài tập
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
&
PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE

Biên soạn: Lee Ein



Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2013
Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 1

Phương trình truyền nhiệt
Bài 1: Tìm nhiệt độ

(
)
ux,t
trên một thanh dẫn nhiệt dài L mét không chứa nguồn nhiệt, biết
rằng hai đầu thanh được giữ ở 0 và nhiệt độ ban đầu tại các điểm
(
)
Mx
trên thanh được cho bởi
hàm số
(
)
fx
với
0xL
££
. Áp dụng kết quả này hãy tìm
(
)
ux,t
khi biết thanh dài 2 mét với
(
)
fxx
=
khi
0x1
££
và
(

)
fx2x
=-
khi
1x2
££

Phương trình truyền nhiệt:
2
2
2
uu
a
tx
¶¶
=
¶¶
với
0xL
t0
££
ì
í
³
î

Điều kiện ban đầu:
(
)
t0

ufx
=
= với
[
]
x0;L
"Î
Điều kiện biên:
x0xL
uu0
==
==
với
t0
"³

Tách biến:
(
)
(
)
(
)
ux,tXx.Tt
=
(
)
(
)
(

)
(
)
2
XxTtaXxTt
¢¢¢
Þ=
(
)
()
(
)
()
2
XxTt
const
XxaTt
¢¢¢
Þ==-l=

(
)
(
)
()()
2
XxXx0 (1)
TtaTt0 (2)
¢¢
ì

+l=
ï
Þ
í
¢
+l=
ï
î

Điều kiện biên:
(
)
(
)
X0XL0
==
(3)
Giải phương trình (1)
- Trường hợp 1:
0
l=

(
)
XxAxB
Þ=+

Thay điều kiện (3)
(
)

()
X0A.0B0
AB0
XLA.LB0
ì
=+=
ï
ÞÞ==
í
=+=
ï
î

(
)
(
)
Xx0ux,t0
Þ=Þ=
(loại)
- Trường hợp 2:
0
l<
(
)
xx
XxAeBe
a-a
Þ=+ với
a=-l

Thay điều kiện (3)
(
)
()
LL
X0AB0
AB0
XLAeBe0
a-a
ì
=+=
ï
ÞÞ==
í
=+=
ï
î

(
)
(
)
Xx0ux,t0
Þ=Þ=
(loại)
- Trường hợp 3:
0
l>
(

)
XxAcosxBsinx
Þ=a+a
với
a=l

Thay điều kiện (3)
(
)
()
X0A00
sinL0
XLABsinL0
ì
=+=
ï
ÞÞa=
í
=+a=
ï
î

Lk
Þa=p
với k = 1, 2, 3,…
k
L
p
Þa=
Phương trình (1) có vô số nghiệm:

()
k
kx
XxBsin
L
p
=
Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 2

Giải phương trình (2), ta có nghiệm:
()
2
2
ka
t
at
L
k
TtC.eC.e
p
æö
-
ç÷
-l
èø
== với
2
2
k

L
p
æö
l=a=
ç÷
èø

Suy ra:
()
2
ka
t
L
k
k1
kx
ux,tCesin
L
p
æö
+¥
-
ç÷
èø
=
p
=
å

Dựa vào điều kiện đầu:

(
)
t0
ufx
=
=
()
k
k1
kx
fxCsin
L
+¥
=
p
Þ=
å

()
L
k
0
2kx
Cfxsindx
LL
p
Þ=
ò

Áp dụng:
Ta có:
() () ()
212
k
001
kxkxkx
Cfxsindxfxsindxfxsindx
222
ppp
==+
òòò

()
()
() () ()
12
k
01
2
1
12
0
01
1
12
01
222
kxkx
Cxsindx2xsindx

22
2x2
2xkx2kxkx2kx
coscosdxcoscosdx
k2k2k2k2
2k22kx2k22kx
cossincossin
k2kk2k2kk2
4k4k8k
sinsinsin
222
kkk
pp
Þ=+-
-
-pppp
=++-
pppp
-pppp
=++-
pppppp
ppp
=+=
ppp
òò
òò

Đáp số:
()
()

2
ka
t
2
2
k1
8kkx
ux,tsinesin
22
k
p
æö
+¥
-
ç÷
èø
=
pp
=
p
å


Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 3

Bài 2: Tìm nhiệt độ
(
)
ux,t

trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết
rằng đầu
x0
=
của thanh được giữ ở
0
u
, còn đầu kia được giữ ở
1
u
, nhiệt độ ban đầu tại các
điểm
(
)
Mx
trên thanh là
2
u

Phương trình truyền nhiệt:
2
2
2
uu
a
tx
¶¶
=
¶¶
với

0x1
t0
££
ì
í
³
î

Điều kiện ban đầu:
2
t0
uu
=
=
với
[
]
x0;1
"Î
Điều kiện biên:
01
x0x1
uu, uu
==
==
với
t0
"³

Đặt

(
)
(
)
(
)
001
vx,tux,tuuux
=-+-
(
)
()
001
x0x0
001
x1x1
vuuuu.00
vuuuu.10
==
==
ì
=-+-=
ï
Þ
í
=-+-=
ï
î

Với

(
)
(
)
(
)
010
ux,tvx,tuuux
=++- . Phương trình truyền nhiệt trở thành:
2
2
2
vv
a
tx
¶¶
=
¶¶

Với điều kiện đầu:
(
)
2001
t0
vuuuux
=
=-+-
Và điều kiện biên:
x0x1
vv0

==
==

Tách biến:
(
)
(
)
(
)
vx,tXx.Tt
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
XxTtaXxTt
¢¢¢
Þ=
(
)
()
(
)
()

2
XxTt
const
XxaTt
¢¢¢
Þ==-l=

(
)
(
)
()()
2
XxXx0 (1)
TtaTt0 (2)
¢¢
ì
+l=
ï
Þ
í
¢
+l=
ï
î

Điều kiện biên:
(
)
(

)
X0X10
==
(3)
Giải phương trình (1)
- Trường hợp 1:
0
l=

(
)
XxAxB
Þ=+

Thay điều kiện (3)
(
)
()
X0A.0B0
AB0
X1A.1B0
ì
=+=
ï
ÞÞ==
í
=+=
ï
î

(
)
(
)
Xx0vx,t0
Þ=Þ=
(loại)
- Trường hợp 2:
0
l<
(
)
xx
XxAeBe
a-a
Þ=+ với
a=-l

Thay điều kiện (3)
(
)
()
X0AB0
AB0
X1AeBe0
a-a
ì
=+=
ï
ÞÞ==

í
=+=
ï
î

(
)
(
)
Xx0vx,t0
Þ=Þ=
(loại)
- Trường hợp 3:
0
l>
(
)
XxAcosxBsinx
Þ=a+a
với
a=l

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 4

Thay iu kin (3)
(
)
()
X0A00

sin0
X1ABsin0
ỡ
=+=
ù
ịịa=
ớ
=+a=
ù
ợ

k
ịa=p
vi k = 1, 2, 3,
k
ịa=p

Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim:
(
)
k
XxBsinkx
=p

Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim:
()
()
2
2
kat

at
k
TtC.eC.e
-p
-l
== vi
(
)
2
2
k
l=a=p

Suy ra:
()
()
2
kat
k
k1
vx,tCesinkx
+Ơ
-p
=
=p
ồ

()
1
k2001

0
C2uuuuxsinkxdx
ộự
ị=-+-p
ởỷũ

ỏp s:
()()
()
2
kat
010k
k1
ux,tuuuxCesinkx
+Ơ
-p
=
=+-+p
ồ


Bi 3: Tỡm nhit
(
)
ux,t
trờn mt thanh dn nhit di L một khụng cha ngun nhit, bit
rng hai u thanh cỏch nhit v nhit ban u ti cỏc im
(
)
Mx

trờn thanh c cho bi
hm s
(
)
fx
vi
0xL
ÊÊ
. p dng kt qu ny hóy tỡm
(
)
ux,t
khi bit thanh di 2 một vi
(
)
0
fxu
=
khi
0x1
ÊÊ
v
(
)
fx0
=
khi
1x2
ÊÊ

Phng trỡnh truyn nhit:
2
2
2
uu
a
tx
ảả
=
ảả
vi
0xL
t0
ÊÊ
ỡ
ớ

ợ

iu kin ban u:
(
)
t0
ufx
=
= vi
[
]
x0;L
"ẻ

iu kin biờn:
x0xL
uu
0
xx
==
ảả
==
ảả
vi
t0
"

Tỏch bin:
(
)
(
)
(
)
ux,tXx.Tt
=
(
)
(
)
(
)
(
)

2
XxTtaXxTt
ÂÂÂ
ị=
(
)
()
(
)
()
2
XxTt
const
XxaTt
ÂÂÂ
ị==-l=

(
)
(
)
()()
2
XxXx0 (1)
TtaTt0 (2)
ÂÂ
ỡ
+l=
ù
ị

ớ
Â
+l=
ù
ợ

iu kin biờn:
(
)
(
)
X0XL0
ÂÂ
==
(3)
- Trng hp 1:
0
l=

(
)
XxAxB
ị=+

Thay iu kin (3):
(
)
X0A0
Â
ị==

(
)
0
XxB0
ị=ạ

T phng trỡnh (2), ta cú:
(
)
(
)
0
Tt0TtC0
Â
=ị=ạ

Vy
()
0
0
a
ux,tBC
2
==

- Trng hp 2:
0
l<
(

)
xx
XxAeBe
a-a
ị=+ vi
a=-l

(
)
xx
XxAeBe
a-a
Â
ị=a-a
Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 5

Thay iu kin (3)
(
)
()
LL
X0AB0
AB0
XLAeBe0
a-a
Â
ỡ
=-=
ù

ịị==
ớ
Â
=-=
ù
ợ

(
)
(
)
Xx0ux,t0
ị=ị=
(loi)
- Trng hp 3:
0
l>
(
)
XxAcosxBsinx
ị=a+a
vi
a=l

(
)
XxAsinxBcosx
Â
ị=-aa+aa

Thay iu kin (3)
(
)
()
X00B0
sinL0
XLAsinL00
Â
ỡ
=+=
ù
ịịa=
ớ
Â
=-aa+=
ù
ợ

Lk
ịa=p
vi k = 1, 2, 3,
k
L
p
ịa=
Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim:
()
k
kx
XxAcos

L
p
=
Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim:
()
2
2
ka
t
at
L
k
TtC.eC.e
p
ổử
-
ỗữ
-l
ốứ
== vi
2
2
k
L
p
ổử
l=a=
ỗữ
ốứ

Suy ra:
()
2
ka
t
L
0
k
k1
a
kx
ux,tCecos
2L
p
ổử
+Ơ
-
ỗữ
ốứ
=
p
=+
ồ

Vi
()
L
0
0
2

afxdx
L
=
ũ
v
()
L
k
0
2kx
Cfxcosdx
LL
p
=
ũ

p dng:
Ta cú:
()()()
212
0
001
afxdxfxdxfxdx
==+
ũũũ
1
1
0000
0
0

audxuxu
ị===
ũ

V:
1
1
00
k0
0
0
2u2u
kxkxk
Cucosdxsinsin
2k2k2
ppp
===
pp
ũ

ỏp s:
()
2
ka
t
2
00
k1
u2u
kkx

ux,tsinecos
2k22
p
ổử
+Ơ
-
ỗữ
ốứ
=
pp
=+
p
ồ


Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 6

Bài 4: Tìm nhiệt độ
(
)
ux,t
trên một thanh dẫn nhiệt dài 1 mét không chứa nguồn nhiệt, biết
rằng đầu
x0
=
của thanh cách nhiệt, còn đầu kia được giữ ở nhiệt độ
1
u
, nhiệt độ ban đầu tại

các điểm
(
)
Mx
trên thanh là
(
)
1
ux,0ux
= với
0x1
££

Phương trình truyền nhiệt:
2
2
2
uu
a
tx
¶¶
=
¶¶
với
0x1
t0
££
ì
í
³

î

Điều kiện ban đầu:
1
t0
uux
=
= với
[
]
x0;1
"Î
Điều kiện biên:
x0
u
0
x
=
¶
=
¶
và
1
x1
uu
=
=
với
t0
"³

Đặt
(
)
(
)
1
vx,tux,tu
=-
1
x1x1
x0x0
111
t0t0
vuu0
vu
0
tt
vuuuxu
==
==
==
ì
=-=
ï
¶¶
ï
Þ==
í
¶¶

ï
ï
=-=-
î

Với
(
)
(
)
1
ux,tvx,tu
=+
. Phương trình truyền nhiệt trở thành:
2
2
2
vv
a
tx
¶¶
=
¶¶

Tách biến:
(
)
(
)
(

)
vx,tXx.Tt
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
XxTtaXxTt
¢¢¢
Þ=
(
)
()
(
)
()
2
XxTt
const
XxaTt
¢¢¢
Þ==-l=

(
)

(
)
()()
2
XxXx0 (1)
TtaTt0 (2)
¢¢
ì
+l=
ï
Þ
í
¢
+l=
ï
î

Điều kiện biên:
(
)
()
X00
X10
¢
ì
=
ï
í
=
ï

î
(3)
- Trường hợp 1:
0
l=

(
)
XxAxB
Þ=+

(
)
XxA
¢
Þ=

Thay điều kiện (3):
(
)
()
X0A0
AB0
XLAB0
¢
ì
==
ï
Þ==
í

=+=
ï
î

(
)
(
)
Xx0vx,t0
Þ=Þ=
(loại)
- Trường hợp 2:
0
l<
(
)
xx
XxAeBe
a-a
Þ=+ với
a=-l

(
)
xx
XxAeBe
a-a
¢
Þ=a-a
Thay điều kiện (3)

(
)
()
X0AB0
AB0
X1AeBe0
a-a
¢
ì
=-=
ï
ÞÞ==
í
=+=
ï
î

(
)
(
)
Xx0vx,t0
Þ=Þ=
(loại)
- Trường hợp 3:
0
l>
(
)
XxAcosxBsinx

Þ=a+a
với
a=l

(
)
XxAsinxBcosx
¢
Þ=-aa+aa

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 7

Thay iu kin (3):
(
)
()
X00B0
cos0
X1Acos0
Â
ỡ
=+=
ù
ịịa=
ớ
=a=
ù
ợ

(
)
2k1
2
+p
ịa= vi k = 0, 2, 3,
Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim:
()
(
)
k
2k1x
XxAcos
2
+p
=
Gii phng trỡnh (2), ta cú nghim:
()
()
2
2
2k1a
t
2
at
k
TtC.eC.e
ộự
+p
-

ờỳ
-l
ởỷ
==
vi
()
2
2
2k1
2
ộự
+p
l=a=
ờỳ
ởỷ

Suy ra:
()
()
()
2
2k1a
t
2
k
k1
2k1x
vx,tCecos
2
ộự+p

+Ơ
-
ờỳ
ởỷ
=
+p
=
ồ

Da vo iu kin u:
11
t0
vuxu
=
=-

(
)
11k
k1
2k1x
uxuCcos
2
+Ơ
=
+p
ị-=
ồ

()

(
)
1
k11
0
2k1x
C2uxucosdx
2
+p
ị=-
ũ


Bi 5: Tỡm nhit
(
)
ux,t
trờn mt thanh dn nhit di L một cú cha ngun nhit (cho bi
hm s
(
)
gx,t
), bit rng hai u thanh c gi 0 v nhit ban u ti cỏc im
(
)
Mx

trờn thanh c cho bi hm s
(
)

fx
vi
0xL
ÊÊ
. p dng kt qu ny hóy tỡm
(
)
ux,t
khi
bit thanh di 2 một vi
(
)
2
gx,tx2x
=-
vi
0x2
ÊÊ
, nhit ban u ti cỏc im
(
)
Mx

trờn thanh l 0
Phng trỡnh truyn nhit:
()
2
2
2
uu

agx,t
tx
ảả
=+
ảả
vi
0xL
t0
ÊÊ
ỡ
ớ

ợ

iu kin biờn:
x0xL
uu0
==
==
vi
t0
"

Ta xột nghim:
()()
k
k1
kx
ux,tTtsin
L

+Ơ
=
p
=
ồ

iu kin ban u:
()()
k
t0
k1
kx
ufxT0sin
L
+Ơ
=
=
p
==
ồ
vi
[
]
x0;L
"ẻ
() ()
L
k
0
2kx

T0fxsindx
LL
p
ị=
ũ
(*)
Ta vit:
()()
k
k1
kx
gx,tGtsin
L
+Ơ
=
p
=
ồ

() ()
L
k
0
2kx
Gtgx,tsindx
LL
p
ị=
ũ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 8

Phng trỡnh truyn nhit:
() () ()
2
2
kkk
k1k1k1
kxkkxkx
TtsinaTtsinGtsin
LLLL
+Ơ+Ơ+Ơ
===
pppp
ổử
Â
=-+
ỗữ
ốứ
ồồồ

() ()()() ()()
22
kkkkkk
kaka
TtTtGtTtTtGt
LL
pp
ổửổử

ÂÂ
ị=-++=
ỗữỗữ
ốứốứ

Nghim ca phng trỡnh vi phõn:
() ()
2
ka
t
L
kR
TtC.eTt
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
=+ vi
(
)
R
Tt
l nghim riờng.
T iu kin (*):
(
)
(
)
(

)
(
)
kRkR
T0CT0CT0T0
ị=+ị=-
Suy ra:
() ()
2
ka
t
L
R
k1
kx
ux,tC.eTtsin
L
p
ổử
+Ơ
-
ỗữ
ốứ
=
ộự
p
ờỳ
=+
ờỳ
ởỷ

ồ

p dng:
()
2
k
0
kx
T00.sindx0
1
p
==
ũ

()
()
()
()
()
()
()
()
()
2
2
21
2
k
00
0

2
2
2
3
0
0
0
k
3
22xx
kxkx4kx
Gtx2xsindxcosx1cosdx
2k2k2
2x1
4kx2kx422kx16
0sinsindx0coscosk1
kk2k2kkk2
k
1611
k
-
ppp
=-=+-
pp
ộự
ổử
-
ppp
ờỳ
=+-=+=p-

ỗữ
ỗữ
pppppp
ờỳ
p
ốứ
ởỷ
ộự

ởỷ
=
p
ũũ
ũ
Ta cú:
() ()
()
()
k
2
kk
3
1611
ka
TtTt
2
k
ộự

p

ổử
ởỷ
Â
+=
ỗữ
ốứ
p

Nghim phng trỡnh vi phõn:
() ()
2
ka
t
2
kR
TtC.eTt
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
=+
(
)
R
TtDconst
ị==
()
()
()

()
kk
2
35
2
16116411
ka
0DD
2
kka
ộựộự

p
ổử
ởỷởỷ
ị+=ị=
ỗữ
ốứ
pp

Ngoi ra, ta cú:
()
()
()
k
k
5
2
6411
T0C0

ka
ộự

ởỷ
=+=
p

Nu
k
chn
C0
ị=
(loi). Suy ra
k
phi l
()
()
()
55
22
k
kaka
C
128
6411
pp
ị==
ộự

ởỷ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 9

Vy:
()
()
()
2
ka
t
5
2
2
k
5
2
kae
128
Tt
128
ka
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
p
=-
p

ỏp s:
()
()
()
2
ka
t
5
2
2
5
2
k1
kae
128kx
ux,tsin
128L
ka
p
ổử
-
ỗữ
ốứ
+Ơ
=
ộự
ờỳ
p
p

=-
ờỳ
p
ờỳ
ờỳ
ởỷ
ồ



Bi 6: Tỡm nhit
(
)
ux,t
trờn mt thanh dn nhit di 1 một khụng cha ngun nhit, bit
rng u
x0
=
ca thanh c gi nhit 0, cũn u kia ca thanh cú nhit cho bi
()
t
1
u1,t
e
=
(
t0
"
), nhit ban u ti cỏc im
(

)
Mx
trờn thanh l
(
)
ux,0x
=
vi
0x1
ÊÊ

Phng trỡnh truyn nhit:
2
2
2
uu
a
tx
ảả
=
ảả
vi
0x1
t0
ÊÊ
ỡ
ớ

ợ

iu kin ban u:
t0
ux
=
=
vi
[
]
x0;1
"ẻ
iu kin biờn:
t
x0x1
u0, ue
-
==
==
vi
t0
"

t
(
)
(
)
t
vx,tux,tex
-
=-

t
x0x0
t
x1x1
t0t0
vue00
vue10
vux0
-
==
-
==
==
ỡ
=-ì=
ù
ị=-ì=
ớ
ù
=-=
ợ

Vi
(
)
(
)
t
ux,tvx,tex
-

=+. Phng trỡnh truyn nhit tr thnh:
()
222
t22t2
222
vvvvvv
exaaexagx,t
txtxtx

ảảảảảả
-==+ị=+
ảảảảảả
vi
(
)
t
gx,tex
-
=


Vi iu kin u:
t0
v0
=
=
v iu kin biờn:
x0x1
vv0
==

==

Ta xột nghim:
()()
k
k1
vx,tTtsinkx
+Ơ
=
=p
ồ

iu kin ban u:
()
k
t0
k1
v0T0sinkx
+Ơ
=
=
==p
ồ
vi
[
]
x0;1
"ẻ
()
1

k
0
T020sinkxdx0
ị=p=
ũ
(*)
Ta vit:
()()
k
k1
gx,tGtsinkx
+Ơ
=
=p
ồ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 10

()
()
1
11
tt
k
0
00
k1
1
t

t
t
0
x1
Gt2exsinkxdx2.ecoskxcoskxdx
kk
2.e1
cosk112.ecosk
2.esinkx
kkkkk

+
-
-
-
ổử
-
ị=p=p+p
ỗữ
ỗữ
pp
ốứ
ổử
-
-p-p
=+p==
ỗữ
ỗữ
ppppp
ốứ

ũũ

Phng trỡnh truyn nhit:
()()()()
2
2
kkk
k1k1k1
TtsinkxakTtsinkxGtsinkx
+Ơ+Ơ+Ơ
===
Â
p=-pp+p
ồồồ

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
22
kkkkkk
TtkaTtGtTtkaTtGt
ÂÂ
ị=-p++p=
()()()
()
k1
t
2
kk
2.e1
TtkaTt
k
+
-
-
Â
ị+p=
p

Nghim ca phng trỡnh vi phõn:
()
()
()
2
kat
kR
TtC.eTt

-p
=+ vi
(
)
t
R
TtDe
-
=.
()
() ()
()
k1k
t
2
tt
2
2.e121
DekaDeD
k
k1ka
+
-


ị-+p==
p
ộự
p-p
ởỷ

T iu kin (*):
()()
()
()
k
kR
2
21
T0CT0C0D
kka1
-
ị=+ị=-=
ộự
pp-
ởỷ

Suy ra:
()
()
()
()
()
()
2
kk
kat
t
22
k1

2121
vx,teesinkx
kka1k1ka
+Ơ
-p
-
=
ộự

ờỳ
=+p
ờỳ
ộựộự
pp-p-p
ờỳ
ởỷởỷ
ởỷ
ồ

ỏp s:
()
()
()
()
()
()
2
kk
kat
tt

22
k1
2121
ux,teesinkxex
kka1k1ka
+Ơ
-p

=
ộự

ờỳ
=+p+
ờỳ
ộựộự
pp-p-p
ờỳ
ởỷởỷ
ởỷ
ồ




Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 11

Bi 7: Tỡm nhit
(
)

ux,t
trờn mt thanh dn nhit di 1 một khụng cha ngun nhit, bit
rng u
x0
=
ca thanh cú nhit cho bi
(
)
u0,t3t
=
(
t0
"
), cũn u kia ca thanh c
gi nhit 0, nhit ban u ti cỏc im
(
)
Mx
trờn thanh l
(
)
ux,00
=
vi
0x1
ÊÊ

Phng trỡnh truyn nhit:
2
2

2
uu
a
tx
ảả
=
ảả
vi
0x1
t0
ÊÊ
ỡ
ớ

ợ

iu kin ban u:
t0
u0
=
=
vi
[
]
x0;1
"ẻ
iu kin biờn:
x0x1
u3t, u0
==

==
vi
t0
"

t
(
)
(
)
vx,tux,t3t3tx
=-+
x0x0
x1x1
t0t0
vu3t3t.00
vu3t3t.10
vu3.03.0.x0
==
==
==
ỡ
=-+=
ù
ị=-+=
ớ
ù
=-+=
ợ

Vi
(
)
(
)
ux,tvx,t3t3tx
=+- . Phng trỡnh truyn nhit tr thnh:
() ()
222
222
222
vvvvvv
33xaa3x3agx,t
txtxtx
ảảảảảả
+-==+-ị=+
ảảảảảả
vi
(
)
gx,t3x3
=-

Vi iu kin u:
t0
v0
=
=

v iu kin biờn:

x0x1
vv0
==
==

Ta xột nghim:
()()
k
k1
vx,tTtsinkx
+Ơ
=
=p
ồ

iu kin ban u:
()
k
t0
k1
v0T0sinkx
+Ơ
=
=
==p
ồ
vi
[
]
x0;1

"ẻ
()
1
k
0
T020sinkxdx0
ị=p=
ũ
(*)
Ta vit:
()()
k
k1
gx,tGtsinkx
+Ơ
=
=p
ồ

()()()
11
k
00
1
1
1
0
0
0
Gt23x3sinkxdx6x1sinkxdx

1x11116
6coskxcoskxdx6sinkx
kkkkkk
ị=-p=-p
ổử

ổử
=p+p=+p=-
ỗữ
ỗữ
ỗữ
pppppp
ốứ
ốứ
ũũ
ũ

Phng trỡnh truyn nhit:
()()()()
2
2
kkk
k1k1k1
TtsinkxakTtsinkxGtsinkx
+Ơ+Ơ+Ơ
===
Â
p=-pp+p
ồồồ

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
kkkkkk
TtkaTtGtTtkaTtGt
ÂÂ
ị=-p++p=
Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 12

()()()
2
kk
6
TtkaTt
k

Â
ị+p=-
p

Nghim ca phng trỡnh vi phõn:
()
()
()
2
kat
kR
TtC.eTt
-p
=+ vi
(
)
R
TtD
=
.
()
()
2
3
2
66
kaDD
k
ka
ịp=-=-

p
p

T iu kin (*):
()()
()
kR
3
2
6
T0CT0C0D
ka
ị=+ị=-=
p

Suy ra:
()
()
()
2
kat
3
2
k1
6
vx,te1sinkx
ka
+Ơ
-p
=

ộự
=-p
ờỳ
ởỷ
p
ồ

ỏp s:
()
()
()
2
kat
3
2
k1
6
ux,te1sinkx3t3tx
ka
+Ơ
-p
=
ộự
=-p+-
ờỳ
ởỷ
p
ồ

Bi 8: Tỡm nhit
(
)
ux,y,t
trờn mt hỡnh ch nht dn nhit (chiu di L v chiu rng m)
khụng cha ngun nhit, bit rng nhit trờn 4 cnh ca hỡnh ch nht c gi 0 v nhit
ban u ti cỏc im
(
)
Mx,y
trờn hỡnh ch nht c cho bi hm s
(
)
fx,y
vi
0xL
ÊÊ
v
0ym
ÊÊ
. p dng kt qu ny hóy tỡm
(
)
ux,y,t
ca mt hỡnh vuụng cú cnh 2
một vi
(
)
(

)
(
)
fx,yxyx2y2
=
vi
0x2
ÊÊ
v
0y2
ÊÊ

Phng trỡnh truyn nhit:
2
u
au
t
ả
=D
ả
hay
22
2
22
uuu
a
txy
ổử
ảảả
=+

ỗữ
ảảả
ốứ
vi
0xL
0ym
t0
ÊÊ
ỡ
ù
ÊÊ
ớ
ù

ợ

iu kin ban u:
(
)
t0
ufx,y
=
= vi
[
]
x0;L
"ẻ v
[
]
y0;m

"ẻ
iu kin biờn:
x0xL
y0ym
uu0
uu0
==
==
ỡ
==
ù
ớ
==
ù
ợ
vi
t0
"

Tỏch bin:
(
)
(
)
(
)
ux,y,tVx,yTt
=
(
)

(
)
(
)
(
)
2
Vx,yTtaVx,yTt
Â
ị=D
(
)
()
(
)
()
2
Vx,yTt
const
Vx,yaTt
Â
D
ị==-l=

(
)
(
)
()()
2

Vx,yVx,y0 (1)
TtaTt0 (2)
ỡ
D+l=
ù
ị
ớ
Â
+l=
ù
ợ


Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 13

Xột
(
)
(
)
(
)
Vx,yXxYy
= l nghim, phng trỡnh (1) tr thnh:
(
)
(
)
(

)
()()()
XxXx0 3
YyYy0 4
ÂÂ
ỡ
+a=
ù
ÂÂ
+b=
ớ
ù
a+b=l
ợ

Vi iu kin biờn:
(
)
(
)
()()
X0XL0
Y0YL0
ỡ
==
ù
ớ
==
ù
ợ

Gii phng trỡnh (3):
- Trng hp 1:
0
a=

(
)
XxAxB
ị=+

Thay iu kin biờn
(
)
()
X0A.0B0
AB0
XLA.LB0
ỡ
=+=
ù
ịị==
ớ
=+=
ù
ợ

(
)
(

)
(
)
Xx0Vx,y0ux,y,t0
ị=ị=ị=
(loi)
- Trng hp 2:
0
a<
(
)
xx
XxAeBe
j-j
ị=+ vi
j=-a

Thay iu kin biờn
(
)
()
LL
X0AB0
AB0
XLAeBe0
j-j
ỡ
=+=
ù
ịị==

ớ
=+=
ù
ợ


(
)
(
)
(
)
Xx0Vx,y0ux,y,t0
ị=ị=ị=

(loi)
- Trng hp 3:
0
a>
(
)
XxAcosxBsinx
ị=j+j
vi
j=a

Thay iu kin biờn
(
)
()

X0A00
sinL0
XLABsinL0
ỡ
=+=
ù
ịịj=
ớ
=+j=
ù
ợ

Lk
ịj=p
vi k = 1, 2, 3,
k
L
p
ịj=
Phng trỡnh (3) cú vụ s nghim:
()
k
kx
XxBsin
L
p
= vi
2
k
L

p
ổử
a=
ỗữ
ốứ

Gii tng t cho phng trỡnh (4), ta cú v s nghim:
()
n
ny
YxBsin
m
p
Â
= vi
2
n
m
p
ổử
b=
ỗữ
ốứ

T phng trỡnh (2) cho ta nghim:
(
)
2
at
kn

TtC.e
-l
= vi
22
kn
Lm
pp
ổửổử
l=a+b=+
ỗữỗữ
ốứốứ

Suy ra:
()
22
kana
t
Lm
kn
k1n1
kxny
ux,y,tCesinsin
Lm
ộự
pp
ổửổử
-+
ờỳ
+Ơ+Ơ
ỗữỗữ

ốứốứ
ờỳ
ởỷ
==
pp
=
ồồ

Da vo iu kin u:
(
)
t0
ufx,y
=
=
()
kn
k1n1
kxny
fx,yCsinsin
Lm
+Ơ+Ơ
==
pp
ị=
ồồ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 14

()
Lm
kn
00
22kxny
Cfx,ysinsindxdy
LmLm
pp
ị=
ũũ

p dng:
()()
22
kn
00
kxny
Cxyx2y2sinsindxdy
22
pp
ị=
ũũ

() ()
22
22
00
kxny
x2xsindx.y2ysindy
22

pp
=
ũũ

Ta cú:
()
(
)
()
2
2
21
2
00
0
22xx
kxkx4kx
x2xsindxcosx1cosdx
2k2k2
-
ppp
-=+-
pp
ũũ

()
()
()
()
()

2
2
2
3
0
0
0
k
3
2x1
4kx2kx422kx16
0sinsindx0coscosk1
kk2k2kkk2
k
1611
k
ộự
ổử
-
ppp
ờỳ
=+-=+=p-
ỗữ
ỗữ
pppppp
ờỳ
p
ốứ
ởỷ
ộự

ởỷ
=
p
ũ
Tng t:
()
()
()
n
2
2
3
0
1611
ny
y2ysindy
2
n
ộự

p
ởỷ
-=
p
ũ

Suy ra:
()
()

()
()
()()
()
knkn
kn
333
6
161116112561111
C
knkn
ộựộựộựộự

ởỷởỷởỷởỷ
==
ppp

ỏp s:
()
()()
()
22
kn
kana
t
Lm
3
6
k1n1
2561111

kxny
ux,y,tesinsin
Lm
kn
ộự
pp
ổửổử
-+
ờỳ
+Ơ+Ơ
ỗữỗữ
ốứốứ
ờỳ
ởỷ
==
ộựộự

pp
ởỷởỷ
=
p
ồồ



Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 15

Bi 9: Tỡm nhit
(

)
ux,t
trờn mt thanh dn nhit di vụ hn khụng cha ngun nhit, bit
rng nhit ban u ti cỏc im
(
)
Mx
trờn thanh c cho bi hm s
(
)
fx
vi
xR
"ẻ
.
p dng kt qu ny hóy tỡm
(
)
ux,t
khi bit nhit ban u ti cỏc im
(
)
Mx
trờn thanh l
(
)
0
fxu
=
khi

0x1
ÊÊ
v
(
)
fx0
=
khi
x0
<
hoc
x1
>

Phng trỡnh truyn nhit:
2
2
2
uu
a
tx
ảả
=
ảả
vi
x
t0
-Ơ<<+Ơ
ỡ
ớ

ợ

iu kin ban u:
(
)
t0
ufx
=
= vi
xR
"ẻ

Tỏch bin:
(
)
(
)
(
)
ux,tXx.Tt
=
(
)
(
)
(
)
(
)

2
XxTtaXxTt
ÂÂÂ
ị=
(
)
()
(
)
()
2
XxTt
const
XxaTt
ÂÂÂ
ị==-l=

(
)
(
)
()()
2
TtaTt0 (1)
XxXx0 (2)
ỡÂ
+l=
ù
ị
ớ

ÂÂ
+l=
ù
ợ

Gii phng trỡnh (1), ta cú nghim:
(
)
2
at
TtCe
-l
=
- Trng hp 1: Nu
0
l<

2
at
t
lime
-l
đ+Ơ
ị=+Ơ

(
)
()
Tt nếu C0
Tt0 nếu C0

ộ
đ+Ơạ
ị
ờ
==
ở
(loi)
ị
Khụng nhn
0
l<

- Trng hp 2: Nu
0
l
thỡ phng trỡnh (2) cú nghim:

(
)
(
)
(
)
XxAcosxBsinx
=aa+aa

vi
2
l=a

R
ịaẻ

ị
cú vụ s nghim:
(
)
(
)
(
)
XxAcosxBsinx
a
=aa+aa

Vy ta cú vụ s nghim:
(
)
(
)
(
)
22
at
ux,tAcosxBsinxe
-a
a
ộự
=aa+aa
ởỷ

()()()
22
at
ux,tAcosxBsinxed
+Ơ
-a
-Ơ
ộự
ị=aa+aaa
ởỷũ

T iu kin u:
(
)
t0
ufx
=
=
()()()
fxAcosxBsinxd
+Ơ
-Ơ
ộự
ị=aa+aaa
ởỷ
ũ

() ()
() ()

1
Afzcoszdz
2
1
Bfzsinzdz
2
+Ơ
-Ơ
+Ơ
-Ơ
ỡ
a=a
ù
p
ù
ị
ớ
ù
a=a
ù
p
ợ
ũ
ũ

() () ()
22
at
11
ux,tfzcoszdzcosxfzsinzdzsinxed

22
+Ơ+Ơ+Ơ
-a
-Ơ-Ơ-Ơ
ộự
ị=aa+aaa
ờỳ
pp
ởỷ
ũũũ

()()
22
at
1
coszcosxsinzsinxfzedzd
2
+Ơ+Ơ
-a
-Ơ-Ơ
=aa+aaa
p
ũũ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 16

() ()()
22
at

1
ux,tcoszxfzedzd
2
+Ơ+Ơ
-a
-Ơ-Ơ
ộự
ị=a-a
ởỷ
p
ũũ

Xột tớch phõn:
()
22
at
1
Pcoszxed
2
+Ơ
-a
-Ơ
ộự
=a-a
ởỷ
p
ũ

t
()

d
atd
at
zx
zx
at
s
ỡ
s=aịa=
ù
ù
ớ
-
ù
ws=a-ịw=
ù
ợ


()
2
1
Pcosed
2at
+Ơ
-s
-Ơ
ị=wss
p
ũ

. t
()()
2
Icosed
+Ơ
-s
-Ơ
w=wss
ũ

Xột
(
)
()()
2
dI
Isined
d
+Ơ
-s
-Ơ
w
Â
=w=-swss
w
ũ

t
(
)

(
)
2
2
sindcosd
e
dvedv
2
-s
-s
ỡ
=wsị=wwss
ù
ớ
=-ssị=
ù
ợ
JJ

()
()
() () ()
2
22
esin
IecosdecosdI
2222
+Ơ
-s
+Ơ+Ơ

-s-s
-Ơ-Ơ
-Ơ
ws
www
Â
ịw=-wss=-wss=-w
ũũ

(
)
()
()
2
4
I
ICe
I2
w
-
Â
w
w
ị=-ịw=
w

Cho
0
w=

(
)
I0C
ị=

2
Ced
+Ơ
-s
-Ơ
ị=s
ũ
m
2
0
ed
2
+Ơ
-s
p
s=
ũ
2
Ced
+Ơ
-s
-Ơ
ị=s=p
ũ

()
()
2
2
2
2
zx
zx
at
444at
Ieee
-
ổử
ỗữ
-
w
ốứ
-

ịw=p=p=p
() ()
22
22
zxzx
4at4at
11
Pee
2at2at

ị=p=
pp

()()
ux,tPfzdz
+Ơ
-Ơ
ị=
ũ

Vy
() ()
()
2
2
zx
4at
1
ux,tfzedz
2at
-
+Ơ
-
-Ơ
=
p
ũ

p dng:
Ta cú:

() ()
() ()
22
22
zxzx
1
0
4at4at
0
u
1
ux,tfzedzedz
2at2at

+Ơ

-Ơ
==
pp
ũũ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 17

t
zxdz
ddz2atd
2at2at
-
a=ịa=ị=a

i cn:
1
2
x
z0
2at
1x
z1
2at
-
ỡ
=ịa==a
ù
ù
ớ
-
ù
=ịa==a
ù
ợ

()
()()
22
22
11
212
2222
1

00
0
0000
12
000
uu
ux,te2atded
2at
uuuu
22
edededed
22
aa
-a-a
aa
aaa
-a-a-a-a
a
ị=a=a
pp
ổử
ộự
=a+a=-a+a=-Fa+Fa
ỗữ
ởỷ
ỗữ
pppp
ốứ
ũũ
ũũũũ

ỏp s:
()
0
u
1xx
ux,t
2
2at2at
ộự

ổửổử
=F-F
ờỳ
ỗữỗữ
ốứốứ
ởỷ
(hm
F
c tớnh gn ỳng)


Bi 10: Tỡm nhit
(
)
ux,t
trờn mt thanh dn nhit na vụ hn khụng cha ngun nhit cú
u
x0
=
cỏch nhit v nhit ban u ti cỏc im

(
)
Mx
trờn thanh c cho bi hm s
(
)
fx
vi
x0

. p dng kt qu ny hóy tỡm
(
)
ux,t
khi bit nhit ban u ti cỏc im
(
)
Mx
trờn thanh l
(
)
0
fxu
=
khi
0x1
ÊÊ
v
(
)

fx0
=
khi
x1
>

Xột thanh dn nhit di vụ hn:
Phng trỡnh truyn nhit:
2
2
2
uu
a
tx
ảả
=
ảả
vi
x
t0
-Ơ<<+Ơ
ỡ
ớ

ợ

iu kin ban u:
(
)
t0

ufx
=
= vi
xR
"ẻ

Tỏch bin:
(
)
(
)
(
)
ux,tXx.Tt
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2
XxTtaXxTt
ÂÂÂ
ị=
(
)
()

(
)
()
2
XxTt
const
XxaTt
ÂÂÂ
ị==-l=

(
)
(
)
()()
2
TtaTt0 (1)
XxXx0 (2)
ỡÂ
+l=
ù
ị
ớ
ÂÂ
+l=
ù
ợ

Gii phng trỡnh (1), ta cú nghim:
(

)
2
at
TtCe
-l
=
- Trng hp 1: Nu
0
l<

2
at
x
lime
-l
đ+Ơ
ị=+Ơ

(
)
()
Tt0 nếu C0
Tt0 nếu C0
ộ
đạ
ị
ờ
==
ở
(loi)

ị
Khụng nhn
0
l<

- Trng hp 2: Nu
0
l
thỡ phng trỡnh (2) cú nghim:

(
)
(
)
(
)
XxAcosxBsinx
=aa+aa

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 18

vi
2
l=a

R
ịaẻ

ị

cú vụ s nghim:
(
)
(
)
(
)
XxAcosxBsinx
a
=aa+aa

Vy ta cú vụ s nghim:
(
)
(
)
(
)
22
at
ux,tAcosxBsinxe
-a
a
ộự
=aa+aa
ởỷ

()()()
22
at

ux,tAcosxBsinxed
+Ơ
-a
-Ơ
ộự
ị=aa+aaa
ởỷũ

T iu kin u:
(
)
t0
ufx
=
=
()()()
fxAcosxBsinxd
+Ơ
-Ơ
ộự
ị=aa+aaa
ởỷ
ũ

() ()
() ()
1
Afzcoszdz
2
1

Bfzsinzdz
2
+Ơ
-Ơ
+Ơ
-Ơ
ỡ
a=a
ù
p
ù
ị
ớ
ù
a=a
ù
p
ợ
ũ
ũ

() () ()
22
at
11
ux,tfzcoszdzcosxfzsinzdzsinxed
22
+Ơ+Ơ+Ơ
-a
-Ơ-Ơ-Ơ

ộự
ị=aa+aaa
ờỳ
pp
ởỷ
ũũũ

()()
22
at
1
coszcosxsinzsinxfzedzd
2
+Ơ+Ơ
-a
-Ơ-Ơ
=aa+aaa
p
ũũ

() ()()
22
at
1
ux,tcoszxfzedzd
2
+Ơ+Ơ
-a
-Ơ-Ơ
ộự

ị=a-a
ởỷ
p
ũũ

Xột tớch phõn:
()
22
at
1
Pcoszxed
2
+Ơ
-a
-Ơ
ộự
=a-a
ởỷ
p
ũ

t
()
d
atd
at
zx
zx
at
s

ỡ
s=aịa=
ù
ù
ớ
-
ù
ws=a-ịw=
ù
ợ


()
2
1
Pcosed
2at
+Ơ
-s
-Ơ
ị=wss
p
ũ
. t
()()
2
Icosed
+Ơ
-s
-Ơ

w=wss
ũ

Xột
(
)
()()
2
dI
Isined
d
+Ơ
-s
-Ơ
w
Â
=w=-swss
w
ũ

t
(
)
(
)
2
2
sindcosd
e
dvedv

2
-s
-s
ỡ
=wsị=wwss
ù
ớ
=-ssị=
ù
ợ
JJ

()
()
() () ()
2
22
esin
IecosdecosdI
2222
+Ơ
-s
+Ơ+Ơ
-s-s
-Ơ-Ơ
-Ơ
ws
www
Â
ịw=-wss=-wss=-w

ũũ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 19

(
)
()
()
2
4
I
ICe
I2
w
-
Â
w
w
ị=-ịw=
w

Cho
0
w=

(
)
I0C
ị=

2
Ced
+Ơ
-s
-Ơ
ị=s
ũ
m
2
0
ed
2
+Ơ
-s
p
s=
ũ
2
Ced
+Ơ
-s
-Ơ
ị=s=p
ũ

()
()
2
2

2
2
zx
zx
at
444at
Ieee
-
ổử
ỗữ
-
w
ốứ
-

ịw=p=p=p
() ()
22
22
zxzx
4at4at
11
Pee
2at2at


ị=p=
pp

()()

ux,tPfzdz
+Ơ
-Ơ
ị=
ũ

Vy
() ()
()
2
2
zx
4at
1
ux,tfzedz
2at
-
+Ơ
-
-Ơ
=
p
ũ

Ta cú phng trỡnh truyn nhit ca thanh na vụ hn khụng cha ngun:
2
2
2
uu
a

tx
ảả
=
ảả
vi
0x
t0
Ê<+Ơ
ỡ
ớ

ợ

iu kin ban u:
(
)
t0
ufx
=
= vi
)
x0;
ộ
"ẻ+Ơ
ở

Kộo di thanh thnh thanh vụ hn cú iu kin u:
(
)
(

)
Fxfx
= khi
)
x0;
ộ
ẻ+Ơ
ở

Khi ú,
(
)
ux,t
ca thanh vụ hn l:
() ()
()
2
2
zx
4at
1
ux,tFzedz
2at
-
+Ơ
-
-Ơ
=
p
ũ

Ta cú:
()
()
()
2
2
zx
4at
2
2zx
u1
Fzedz
x4at
2at
-
+Ơ
-
-Ơ
-
ả
=
ả
p
ũ

Vi iu kin biờn:
x0
u
0

x
=
ả
=
ả
vi
t0
"

()
2
2
z
4at
zFzedz0
+Ơ
-
-Ơ
ị=
ũ
vi
t0
"

(
)
Fx
ị l hm s chn
ị
Kộo di

(
)
fx
thnh
(
)
Fx
chn.
() ()
()
()
()
22
22
zxzx
0
4at4at
0
11
ux,tfzedzfzedz
2at2at
+-
+Ơ

-Ơ
ị=+
pp
ũũ

Cui cựng ta c:

() ()
() ()
22
22
zxzx
4at4at
1
ux,tfzeedz
2at
+-
+Ơ

-Ơ
ộự
ờỳ
=+
pờỳ
ởỷ
ũ

p dng:
Ta cú:
() ()
() () () ()
2222
2222
zxzxzxzx
1
0
4at4at4at4at

0
u
1
ux,tfzeedzeedz
2at2at
+-+-
+Ơ

-Ơ
ộựộự
ờỳờỳ
=+=+
pờỳpờỳ
ởỷởỷ
ũũ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 20

Tớnh tớch phõn:
()
2
2
zx
1
0
4at
1
0
u

Iedz
2at
-
-
=
p
ũ

t
zxdz
ddz2atd
2at2at
-
a=ịa=ị=a

i cn:
1
2
x
z0
2at
1x
z1
2at
-
ỡ
=ịa==a
ù
ù
ớ

-
ù
=ịa==a
ù
ợ

()()
22
22
11
212
2222
1
00
1
0
0000
12
000
uu
Ie2atded
2at
uuuu
22
edededed
22
aa
-a-a
aa
aaa

-a-a-a-a
a
ị=a=a
pp
ổử
ộự
=a+a=-a+a=-Fa+Fa
ỗữ
ởỷ
ỗữ
pppp
ốứ
ũũ
ũũũũ
Tớnh tớch phõn:
()
2
2
zx
1
0
4at
2
0
u
Iedz
2at
+
-
=

p
ũ

t
zxdz
ddz2atd
2at2at
+
ÂÂÂ
a=ịa=ị=a

i cn:
1
2
x
z0
2at
1x
z1
2at
ỡ
Â
=ịa==a
ù
ù
ớ
+
ù
Â
=ịa==a

ù
ợ

()()
22
22
11
212
2222
1
00
1
0
0000
12
000
uu
Ie2atded
2at
uuuu
22
edededed
22
ÂÂ
aa
ÂÂ
-a-a
ÂÂ
aa
ÂÂÂ

aaa
ÂÂÂÂ
-a-a-a-a
Â
a
ÂÂ
ị=a=a
pp
ổử
ÂÂÂÂÂ
ộự
=a+a=-a+a=-Fa+Fa
ỗữ
ởỷ
ỗữ
pppp
ốứ
ũũ
ũũũũ
ỏp s:
()
0
12
u
1xx1xx
ux,tII
2
2at2at2at2at
ộự
+

ổửổửổửổử
=+=F-F+F-F
ờỳ
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứốứ
ởỷ

(hm
F
c tớnh gn ỳng)

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyễn Lê Anh (k36.102.012) Trang 21

Phương trình Laplace
Bài 1: Tìm nhiệt độ dừng
(
)
ux,y
trên một hình chữ nhật (chiều dài L và chiều rộng m) với
nhiệt độ trên 2 biên
x0
=
và
xL
=
giữ ở 0, còn nhiệt độ trên 2 biên
y0
=
và

ym
=
lần lượt
là
(
)
fx
và
(
)
Fx
với
0xL
££
. Áp dụng kết quả này hãy tìm
(
)
ux,y
trên một hình vuông có
cạnh 1 mét với
(
)
fxsin5x
=p
và
(
)
Fx0
=
với

0x1
££

Phương trình Laplace:
(
)
ux,y0
D=

22
22
uu
0
xy
¶¶
Þ+=
¶¶

22
22
uu
xy
¶¶
Þ=-
¶¶

Điều kiện biên:
x0xL
uu0
==

==


(
)
y0
ufx
=
= ,
(
)
ym
uFx
=
=
Tách biến:
(
)
(
)
(
)
ux,yXxYy
=
(
)
(
)
(
)

(
)
XxYyXxYy
¢¢¢¢
Þ=-
(
)
()
(
)
()
XxYy
const
XxYy
¢¢¢¢
Þ==-l=
-
(
)
(
)
(
)
()()()
XxXx0 1
YyYy0 2
¢¢
ì
+l=
ï

Þ
í
¢¢
-l=
ï
î

Với điều kiện biên:
(
)
(
)
X0XL0
==
,
(
)
(
)
Y0fx
= ,
(
)
(
)
YmFx
=
Giải phương trình (1):
- Trường hợp 1:
0

l=

(
)
XxAxB
Þ=+

Thay điều kiện biên
(
)
()
X0A.0B0
AB0
XLA.LB0
ì
=+=
ï
ÞÞ==
í
=+=
ï
î

(
)
(
)
Xx0ux,t0
Þ=Þ=
(loại)

- Trường hợp 2:
0
l<
(
)
xx
XxAeBe
a-a
Þ=+ với
a=-l

Thay điều kiện biên
(
)
()
LL
X0AB0
AB0
XLAeBe0
a-a
ì
=+=
ï
ÞÞ==
í
=+=
ï
î

(

)
(
)
Xx0ux,t0
Þ=Þ=
(loại)
- Trường hợp 3:
0
l>
(
)
XxAcosxBsinx
Þ=a+a
với
a=l

Thay điều kiện biên
(
)
()
X0A00
sinL0
XLABsinL0
ì
=+=
ï
ÞÞa=
í
=+a=
ï

î

Lk
Þa=p
với k = 1, 2, 3,…
k
L
p
Þa=
Phương trình (1) có vô số nghiệm:
()
k
kx
XxBsin
L
p
=
Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 22

Vi
2
2
k
L
p
ổử
l=a=
ỗữ
ốứ

v k = 1, 2, 3, thỡ phng trỡnh (2) cú nghim:
()
kyky
LL
k
YyCeDe
pp
-
=+
Vy:
()()()
kyky
LL
kkkk
k1
kx
ux,yXxYyAeBesin
L
pp
+Ơ
-
=
ổử
p
==+
ỗữ
ốứ
ồ

M

(
)
y0
ufx
=
=
()()
kk
k1
kx
fxABsin
L
+Ơ
=
p
ị=+
ồ
()
L
kk
0
2kx
ABfxsindx
LL
p
ị+=
ũ
(*)
V
(

)
ym
uFx
=
=
()
kmkm
LL
kk
k1
kx
FxAeBesin
L
pp
+Ơ
-
=
ổử
p
ị=+
ỗữ
ốứ
ồ

()
L
kmkm
LL
kk
0

2kx
AeBeFxsindx
LL
pp
-
p
ị+=
ũ
(**)
Gii (*) v (**) tỡm c
k
A
v
k
B

p dng:
Ta cú:
1
kk
kk
0
AeBe20sinkxdx0
p-p
+=p=
ũ

Ta cng cú:
()()
11

kk
00
AB2sin5xsinkxdxcos5kxcos5kxdx
ộự
+=pp=-p-+p
ởỷ
ũũ

- Trng hp 1:
k5
ạ

()()
1
kk
0
ABcos5kxcos5kxdx
ộự
ị+=-p-+p
ởỷ
ũ

()
()
()
()
11
00
sin5kxsin5kx
0

5k5k
-p+p
=-=
-p+p

Ta cú h phng trỡnh:
kk
kk
k
kk
kkk
k
AB
AB0
1
Be0
AeBe0
e
p
p-p
p
=-
ỡ
+=
ỡ
ù
ị
ớớ
ổử
-=

+=
ợ
ỗữ
ù
ốứ
ợ

kk
AB0
ị==
(loi vỡ
(
)
ux,t0
=
)
- Trng hp 1:
k5
=

()
1
1
1
55
0
0
0
sin10x
AB1cos10xdxx1

10
p
ị+=-p=-=
p
ũ

Ta cú h phng trỡnh:
()
55
55
55
55
55
55
A1B
AB1
1BeBe0
AeBe0
p-p
p-p
=-
+=
ỡ
ỡ

ớớ
-+=
+=
ợ
ợ

5
5
5510
55
555
510
55
5
5510
e1
A
A1B
eee1
eBeBe0
ee
B
eee1
-p
p-pp
pp-p
pp
p-pp
ỡ
-
=-=
ù
=-
ỡ
ù

ớớ
-+=
ợ
ù
==
ù
ợ

Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 23

ỏp s:
()
5y105y
1010
ee
ux,ysin5x
1ee1
pp-p
pp
ổử
=+p
ỗữ

ốứ


Bi 2: Tỡm nhit dng

(
)
ux,y
trờn mt hỡnh ch nht vụ hn vi nhit trờn 2 biờn
x0
=

v
x1
=
gi 0, cũn nhit trờn 2 biờn
y0
=
v
y
đ+Ơ
ln lt l
(
)
fx1x
=-
v
(
)
Fx0
=
vi
0x1
ÊÊ
.

Phng trỡnh Laplace:
(
)
ux,y0
D=

22
22
uu
0
xy
ảả
ị+=
ảả

22
22
uu
xy
ảả
ị=-
ảả

iu kin biờn:
x0x1
uu0
==
==

y0
u1x
=
=-
,
y
limu0
đƠ
=

Tỏch bin:
(
)
(
)
(
)
ux,yXxYy
=
(
)
(
)
(
)
(
)
XxYyXxYy
ÂÂÂÂ
ị=-

(
)
()
(
)
()
XxYy
const
XxYy
ÂÂÂÂ
ị==-l=
-
(
)
(
)
(
)
()()()
XxXx0 1
YyYy0 2
ÂÂ
ỡ
+l=
ù
ị
ớ
ÂÂ
-l=
ù

ợ

Vi iu kin biờn:
(
)
(
)
X0X10
==
,
(
)
Y01x
=-
,
y
limY0
đ+Ơ
=

Gii phng trỡnh (1):
- Trng hp 1:
0
l=

(
)
XxAxB
ị=+

Thay iu kin biờn
(
)
()
X0A.0B0
AB0
X1AB0
ỡ
=+=
ù
ịị==
ớ
=+=
ù
ợ

(
)
(
)
Xx0ux,t0
ị=ị=
(loi)
- Trng hp 2:
0
l<
(
)
xx
XxAeBe

a-a
ị=+ vi
a=-l

Thay iu kin biờn
(
)
()
X0AB0
AB0
X1AeBe0
a-a
ỡ
=+=
ù
ịị==
ớ
=+=
ù
ợ

(
)
(
)
Xx0ux,t0
ị=ị=
(loi)
- Trng hp 3:
0

l>
(
)
XxAcosxBsinx
ị=a+a
vi
a=l

Thay iu kin biờn
(
)
()
X0A00
sin0
X1ABsin0
ỡ
=+=
ù
ịịa=
ớ
=+a=
ù
ợ

k
ịa=p
vi k = 1, 2, 3,
Phng trỡnh (1) cú vụ s nghim:
(
)

k
XxBsinkx
=p

Vi
(
)
2
2
k
l=a=p
v k = 1, 2, 3, thỡ phng trỡnh (2) cú nghim:
(
)
kyky
k
YyCeDe
p-p
=+
Methods of Mathematical Physics
SV: Nguyn Lờ Anh (k36.102.012) Trang 24

()()()
()
kyky
kkkk
k1
ux,yXxYyAeBesinkx
+Ơ
p-p

=
ị==+p
ồ

Ta cú:
y
limu0
đƠ
=

k
A0
ị=
vỡ
ky
y
ky
y
lime
lime0
p
đ+Ơ
-p
đ+Ơ
ỡ
=+Ơ
ù
ớ
=
ù

ợ

Vy:
()
ky
k
k1
ux,yBesinkx
+Ơ
-p
=
=p
ồ

M
y0
u1x
=
=-
k
k1
1xBsinkx
+Ơ
=
ị-=p
ồ
()
1
k
0

B21xsinkxdx
ị=-p
ũ


Bi 3: Tỡm nhit dng
(
)
ur,
j
trờn mt hỡnh trũn tõm O bỏn kớnh
R2
=
bit rng nhit
trờn biờn cho bi:
a)
(
)
u2,3sin
j=+j
vi
02
ÊjÊp

b)
(
)
u2,3
j=
vi

0
ÊjÊp
v
(
)
u2,0
j=
vi
2
p<jÊp

Phng trỡnh Laplace:
(
)
ur,0
Dj=
vi
[
]
0;2
0r2
ỡ
"jẻp
ớ
ÊÊ
ợ
v
r2
u3sin
=

=+j

Trong ta cc:
()
2
22
1u1u
ur,0r0
rrrr
ảảả
ổử
Dj=ị+=
ỗữ
ảảảj
ốứ

Xột
(
)
(
)
(
)
ur,Vr
j=Fj

Ta cú:
()()
u
Vr

r
ả
Â
=Fj
ả

()()
u
rrVr
r
ả
Â
ị=Fj
ả

()()()()()()()
u
rVrrVrVrrVr
rr
ảả
ổử
ÂÂÂÂÂÂ
ộự
ị=Fj+Fj=+Fj
ỗữ
ởỷ
ảả
ốứ

Phng trỡnh Laplace tr thnh:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
VrrVr
Vr
0
rr
ÂÂÂ
ộự
+Fj
ÂÂ
Fj
ởỷ
+=

(
)
()
(
)
(
)

()
rVrrVr
Vr
ÂÂÂ
ộự
+
ÂÂ
Fj
ởỷ
ị=
Fj-
(
)
()
(
)
(
)
()
2
rVrrVr
const
Vr
ÂÂÂÂÂ
Fj+
ị==-l=
Fj-

(
)

(
)
(
)
()()()()
2
0 1
rVrrVrVr0 2
ÂÂ
ỡ
Fj+lFj=
ù
ị
ớ
ÂÂÂ
+-l=
ù
ợ

Ta cú:
(
)
(
)
ur,ur,2
j=j+p

(
)
(

)
2
ịFj=Fj+p

ị
Hm
(
)
Fj
tun hon cú chu k
T2
=p

Gii phng trỡnh (1):