Không Điểm Của Đạo Hàm Và Đa Thức Vi Phân Của Hàm Phân Hình P-Adic.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM
VÀ ĐA THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thái Ngun, năm 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HOÀNG THỊ HƯƠNG GIANG

KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM
VÀ ĐA THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH p-ADIC
Ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương

Thái Nguyên, năm 2019

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Không điểm của đạo hàm và đa
thức vi phân của hàm phân hình p-adic" khơng có sự sao chép của
người khác. Khi viết luận văn tơi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều
có nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS
Hà Trần Phương. Nếu có vấn đề gì tơi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả luận văn

Hoàng Thị Hương Giang
Xác nhận

Xác nhận

của chủ nhiệm khoa Toán

của người hướng dẫn

PGS. TS Hà Trần Phương

i


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành nhất tới PGS. TS. Hà Trần Phương. Thầy đã dành nhiều thời
gian, công sức để hướng dẫn, trả lời những thắc mắc, kiểm tra bài và giúp
đỡ tơi hồn thành bài luận văn này.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới bố, mẹ và các thành viên

trong gia đình đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian qua.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong trường Đại
học Sư Phạm Thái Ngun đã ln nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tơi trong
suốt q trình học tập, nghiên cứu, đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tơi
hồn thành chương trình học và bảo vệ luận văn.
Bản thân tôi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu đã có nhiều cố
gắng, tuy nhiên những thiếu sót chắc chắn khó tránh được. Tôi rất mong
được thầy cô và các bạn đọc chỉ cho những thiếu sót đó.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Học viên

Hoàng Thị Hương Giang

ii


Mục lục
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

LỜI MỞ ĐẦU

1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Các hàm Nevanlinna p-adic . . . . . .
1.1.1 Hàm phân hình p-adic . . . . . .
1.1.2 Các hàm Nevanlinna và tính chất
1.2 Các định lý cơ bản . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định lý cơ bản thứ nhất . . . . .
1.2.2 Định lý cơ bản thứ hai . . . . . .

.
.
.
.
.
.

3
3
3
12
14
14
15

Chương 2 KHƠNG ĐIỂM CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐA THỨC
VI PHÂN
2.1 Khơng điểm của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Một số bổ đề cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Không điểm của đa thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Một số kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19
19
29
40
40
44

KẾT LUẬN

49

Tài liệu tham khảo

50

iii

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.


LỜI MỞ ĐẦU
Cho K là một trường đóng đại số, có đặc số khơng và đầy đủ với giá trị
tuyệt đối không Acsimet (p-adic) và f là một hàm phân hình trên K. Kí
hiệu f ′ là đạo hàm của hàm f và kí hiệu

F = an f n f (k) + an−1 f n−1 + . . . + a1 f + a0 ,
trong đó aj là các hàm nhỏ đối với f , là một đa thức vi phân của hàm phân
hình f .
Trong trường hợp phức đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về số khơng
điểm của f và F trong các trường hợp khác nhau của hàm f . Đối với trường
hợp hàm phân hình trên trường p-adic, năm 2012, K. Boussaf, A. Escassut,
J. Ojeda ([2]) đã chứng minh nếu Wronskian của hai hàm nguyên là một
hàm đa thức thì cả hai hàm ngun đó là một đa thức. Từ đó các tác giả
đã chứng minh đạo hàm f ′ của một hàm phân hình siêu việt f trên K sẽ
nhận mọi giá trị trên trường K vơ hạn lần nếu f có hữu hạn cực điểm bội.
Dựa trên các nghiên cứu của K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda, năm 2012,
J-P Bézivin, K. Boussaf, A. Escassut ([3]) đã đặt ra giả thuyết nếu đạo hàm
của f ′ của hàm phân hình f có hữu hạn khơng điểm thì f có là hàm hữu
tỷ? Cũng trong bài báo này, một số kết quả tổng quát đã được các tác giả

đã chứng minh. Trong [4], A. Escassut, W. Lă
u, and C. C. Yang ó nghiờn
cu vn nói trên cho trường hợp đa thức vi phân F .
Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề khơng điểm hàm phân hình và đạo
hàm của nó, chúng tơi lựa chọn đề tài "Không điểm của đạo hàm và
1


đa thức vi phân của hàm phân hình p-adic". Mục tiêu của đề tài là
trình bày lại các kết quả nghiên cứu đã được công bố gần đây của các tác
giả K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda, J-P Bézivin, W. Lă
u, and C. C. Yang
trong cỏc bi bỏo [2], [3], [4]. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội
dung chính, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Trong Chương 1, tơi bắt
đầu từ sự trình bày những cơ sở lý thuyết thường được sử dụng về các hàm
phân hình p-adic, các hàm Nevanlinna và tính chất của nó, bao gồm các
định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu, một số mệnh đề và định lý cơ bản. Các kiến
thức cơ bản được tôi tham khảo trong tài liệu [1]. Trong Chương 2, các kết
quả nghiên cứu gần đây của các tác giả K. Boussaf, A. Escassut, J. Ojeda,
J-P Bézivin, W. Lă
u, and C. C. Yang trong cỏc bi bỏo [2], [3], [4] sẽ được
trình bày lại một cách tường minh và tính tốn lại cẩn thận các lập luận.

2


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, tôi sẽ giới thiệu một số định nghĩa, thuật ngữ, ký hiệu

cùng một số mệnh đề và định lý cơ bản. Trong toàn bộ luận văn, chúng ta
luôn ký hiệu các trường số hữu tỷ, số thực, số phức lần lượt là Q, R, C, ký
hiệu vành các số nguyên là Z.

1.1
1.1.1

Các hàm Nevanlinna p-adic
Hàm phân hình p-adic

Cho K là một trường đóng đại số, đầy đủ có đặc số khơng. Chúng ta đã
được biết một hàm |.| : K → R là một giá trị tuyệt đối trên trường K nếu
ba điều kiện sau được thỏa mãn:
1) |x| ≥ 0 với mọi x, |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0;
2) |x.y| = |x|.|y| với mọi x, y ∈ K;
3) |x + y| ≤ |x| + |y| với mọi x, y ∈ K.
Chúng ta đã biết đến giá trị tuyệt đối thông thường |.| được định nghĩa như
sau:


 x nếu x ≥ 0;
|x| =
 −x nếu x < 0.

Với các số x, y ∈ Q, chúng ta ký hiệu d(x, y) = |x − y| thì d chính là một
3


khoảng cách trên tập hợp các số hữu tỷ. Điều đó có nghĩa là khoảng cách
giữa hai số hữu tỉ x và y được xác định bằng giá trị tuyệt đối |x − y|. Một

khoảng cách thì cần thỏa mãn ba điều kiện sau đây:
1) Khoảng cách giữa hai điểm phân biệt phải là một số dương và bằng 0
khi hai điểm đó trùng nhau;
2) Khoảng cách từ điểm x đến điểm y phải bằng khoảng cách từ điểm y
đến điểm x;
3) Khoảng cách giữa hai điểm x và z phải nhỏ hơn hoặc bằng tổng khoảng
cách từ x đến y và khoảng cách từ y đến z (Bất đẳng thức tam giác).
Khoảng cách được xác định như trên không phải là duy nhất. Thật vậy,
trên tập hợp số hữu tỷ cịn có những khoảng cách khác nữa. Với mỗi số
nguyên tố p, ta định nghĩa giá trị tuyệt đối p-adic như sau:
Định nghĩa 1.1. Với x là một số hữu tỷ, nếu x = 0 thì ta định nghĩa
a
|0|p = 0. Nếu x 6= 0, chúng ta viết được x = pα , trong đó α ∈ Z và a, b
b
không chia hết cho p. Ta định nghĩa giá trị tuyệt dối p-adic của x là

|x|p = p−α .
Nhận xét 1.1. Ta có

1
≤ |k|p ≤ 1,
k
với mọi số k là số nguyên dương. Thật vậy, ta viết k = pm k1 , trong đó

m ≥ 0 và p ∤ k1 . Biểu diễn đó là duy nhất và khi đó,
1
1
1
= m ≤ m = |k|p ≤ 1
k

p k1
p
1
⇔
≤ |k|p ≤ 1.
k
Hàm |.|p xác định như trên là một giá trị tuyệt đối không Acsimet trên
trường số hữu tỉ Q, tức là ngoài ba điều kiện của giá trị tuyệt đối, |.|p còn
4


thỏa mãn thêm điều kiện
3’) |x + y)|p ≤ max{|x|p , |y|p }, với mọi x, y ∈ Q.
Trong thực tế, ta có

|x + y|p ≤ max{|x|p , |y|p }, nếu |x|p 6= |y|p ,
và rõ ràng, nếu ta đặt dp (x, y) = |x − y|p thì dp là một khoảng cách trên
trường các số hữu tỷ và dp thỏa mãn thêm điều kiện
3’) dp (x, y) ≤ max{dp (x, y), dp (y, z)}, với mọi x, y, z ∈ Q.
Khoảng cách dp khi đó được gọi là siêu metric (hay cịn gọi là khoảng
cách khơng Acsimet) và ta gọi K là không gian siêu metric.
Ta trang bị cho trường K giá trị tuyệt đối p-adic |.|p . Khi đó |.|p sẽ cảm
sinh trên K một siêu metric dp . Với mỗi số thực r > 0 và một phần tử a
thuộc K, ta ký hiệu hình cầu đóng và mở tâm a, bán kính r lần lượt là

d(a, r) = {z ∈ K||z − a|p ≤ r},
d(a, r− ) = {z ∈ K||z − a|p < r}.
Vành {z ∈ K|r < |z − a|p < R} được ký hiệu là Γ(a, r, R).
Trên không gian siêu metric ta có hai tính chất hình học đặc biệt hơn
so với khơng gian metric thơng thường, đó là mọi tam giác đều cân và mọi

điểm nằm trong một hình cầu đóng hay mở đều là tâm của nó.
Khi mở rộng từ các số hữu tỷ Q đến các số thực R, ta dùng đến các dãy
Cauchy theo |.|, đó là các dãy {an } thỏa mãn với mọi ε > 0, tồn tại một số

N sao cho với mọi m, n > N ta có |an − am | < ε. Chúng ta cũng thêm vào
Q các dãy Cauchy theo |.|p để được trường các số p-adic Qp . Lấy bao đóng

¯ p . Nhưng vì Q
¯ p khơng đóng đại số nên ta lại tiếp tục
của Qp ta sẽ được Q
bổ sung thêm các dãy Cauchy để có được Cp . Đến đây, Cp là một trường
đầy đủ và đóng đại số.
5


Trong các phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chỉ nghiên cứu các vấn đề liên
quan đến giá trị tuyệt đối p-adic. Vì thế, để đơn giản tơi sẽ ký hiệu |.| thay
cho |.|p , ký hiệu K là một trường các số p-adic đóng đại số, đầy đủ có đặc
số không và K∗ = K \ {0}. Sự khác biệt giữa tính chất của chuỗi trong K
với chuỗi các số phức thông thường được thể hiện trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.1. Dãy {an } trong K là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu nó thỏa
mãn

lim |an+1 − an | = 0.

n→∞

Mệnh đề trên cho chúng ta thấy chuỗi vô hạn

∞

P

an với an ∈ K hội tụ

n=0

nếu và chỉ nếu lim |an | = 0. Hơn nữa ta có
n→∞





∞



X




an
≤ max∗ |an |.



n∈N

n=0

Bây giờ, ta xét đến các hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa p-adic.
Định nghĩa 1.2. Cho

∞
P

an (z − z0 )n , an ∈ K là một chuỗi lũy thừa p-adic

n=0

hội tụ trong K. Tại mỗi z ∈ K mà |an (z−z0 )n | → 0 khi n → ∞, ta gán giá trị
∞
∞
P
P
n
của tổng chuỗi
an (z −z0 ) cho f (z). Hàm f (z) =
an (z −z0 )n , an ∈ K
n=0

n=0

được gọi là hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa.

Tương tự như trường hợp phức, hàm chuỗi

∞

P

an (z − z0 )n có bán kính

n=0

hội tụ

ρ=

1
1 .
lim sup |an | n
n→∞

Định nghĩa 1.3. Cho D ⊂ K là một tập mở. Ta nói hàm f : D → K liên
tục tại z0 ∈ K nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho

|f (z) − f (z0 )| < ε, với mọi z ∈ d(z0 , δ).
6


f (z0 + h) − f (z0 )
tồn tại hữu hạn thì
h→0
h
đạo hàm của hàm f , ký hiệu là f ′ (z0 ) được định nghĩa là

Định nghĩa 1.4. Nếu giới hạn lim

f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f ′ (z0 ) = lim

Khi đó ta nói hàm f khả vi tại z0 .
Trước khi tìm hiểu về hàm phân hình p-adic, ta bắt đầu với khái niệm
hàm giải tích tồn cục.
Cho D là một miền trong K. Ký hiệu R(D) là tập hợp các hàm hữu tỷ
P (z)
với
khơng có cực điểm trong D, nghĩa là h(z) ∈ R(D) thì h(z) =
Q(z)
P (z) và Q(z) là hai đa thức ngun tố cùng nhau và Q(z) khơng có nghiệm
trong D. Ta đặt

||h||D = sup |h(z)|
z∈D

thì khi đó ||.||D là một chuẩn trên R(D). Ký hiệu H(D) là bổ sung của

R(D) với topo sinh bởi ||.||D .
Định nghĩa 1.5. Ta gọi mỗi phần tử thuộc H(D) là hàm giải tích toàn
cục trên D.
Định lý 1.1. Với mỗi r ∈ R+ , ta có H(d(0; r) = A(d(0, r− )).
Định nghĩa 1.6. Hàm f : D → K là hàm giải tích địa phương nếu với mỗi

a ∈ D tồn tại một số ρ ∈ R+ và các hằng số an ∈ K sao cho

f (z) =

∞
X

an (z − z0 )n , với mọi z ∈ D ∩ d(0, ρ).

n=0

Tập hợp các hàm giải tích địa phương trên D ký hiệu là Hol(D).
Cho hàm giải tích địa phương f trên D, z0 ∈ D và r ∈ R+ sao cho

d(0, r− ) ⊂ D. Theo Định lý 1.1 thì
f (z) =

∞
X

an (z − z0 )n , z ∈ d(z0 , r).

n=0

7


Cho f là một hàm không đồng nhất bằng 0 trong d(z0 , r− ). Nếu f (z0 ) = 0
thì tồn tại duy nhất một số nguyên dương q sao cho an = 0 với mọi n < q
và aq 6= 0. Trường hợp q = 1 thì ta gọi z0 là không điểm đơn của f , với

q ≥ 2 thì ta nói z0 là khơng điểm bội (bội q ) của hàm f . Trong trường

1
hợp này f (z) = (z − z0 )q g(z), với g(z) 6= 0. Những không điểm của hàm
f
được gọi là cực điểm của hàm f .
Định nghĩa 1.7. Cho D ⊂ K là một tập mở khơng có điểm cơ lập. Ta gọi
hàm f : D → K là hàm giải tích tại a ∈ D nếu ρ ∈ R+ ∪ {∞} và các hằng
số an ∈ K sao cho d(a, ρ− ) ⊂ D, d(a, ρ− ) \ D 6= ∅ và

f (z) =

∞
X

an (z − z0 )n , z ∈ d(0, ρ− ).

n=0

Hàm f giải tích trên D nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D. Ký hiệu H(D)
là tập hợp các hàm giải tích trên D. Hiển nhiên một hàm giải tích trên D
thì khả vi trên D. Hơn nữa, ta có H(D) ⊂ H(D) ⊂ Hol(D).
Định nghĩa 1.8. Trường các hàm phân thức của H(D) ký hiệu là M(D).
Ta gọi mỗi phần tử f ∈ M(D) là một hàm phân hình trên D.
Định nghĩa 1.9. Nếu f ∈ M(D) khơng có cực điểm thì ta gọi f là hàm
chỉnh hình trên D. Nếu f chỉnh hình trên K thì ta gọi f là hàm nguyên.
Trong các phần tiếp theo chúng tôi sẽ dùng một số ký hiệu như sau:
Ký hiệu 1.1. A(d(0, r− )) là vành các chuỗi lũy thừa f (z) =

z0 )n , an ∈ K thỏa mãn điều kiện lim |an |rn = 0.
n→∞

∞
P

an (z −

n=0

Ký hiệu 1.2. M(d(0, r− )) là trường phân thức của các hàm thuộc A(d(0, r− )).
u
Với mỗi f ∈ M(d(0, r− )) thì f = với u, v ∈ A(d(0, r− )).
v
Ký hiệu 1.3. A(K) là tập hợp các hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa f (z) =
∞
P
an (z − z0 )n , an ∈ K có bán kính hội tụ bằng +∞ trên K, mỗi phần tử
n=0

thuộc A(K) là một hàm nguyên trên K.
8


Ký hiệu 1.4. M(K) là tập hợp các hàm f =
thuộc M(K) là một hàm phân hình trên K.

g
với g, h ∈ K, mỗi phần tử
h

Ký hiệu 1.5. K[z] là tập hợp các hàm đa thức f (z) =

n
P

an (z − a)k , an ∈

k=0

K, n < +∞.

Ký hiệu 1.6. K(z) là tập hợp bao gồm các hàm hữu tỷ trên K, mỗi phần
P
tử thuộc K(z) được viết dưới dạng
với P, Q ∈ K[z], Q 6= 0.
Q
Mỗi phần tử trong tập hợp M(K) \ K(z) là một hàm siêu việt trên K.
Ký hiệu 1.7. Mu (d(0, r− )) là tập hợp các hàm phân hình giới nội trên

d(0, r− ).
Ta thấy rằng miền hội tụ của chuỗi
miền hội tụ của chuỗi

∞
P

∞
P

an (z − z0 )n có thể nhận được từ

n=0

an z n qua một phép tịnh tiến. Do đó, từ nay trở

n=0

đi chúng ta sẽ chỉ nghiên cứu hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa

∞
P

an z n .

n=0

Cho f là một hàm nguyên, khi đó tồn tại một cách biểu diễn khác của
hàm f , đó là nội dung của Định lý 1.2 sau đây.
Định lý 1.2. Cho f là một chuỗi lũy thừa xác định một hàm nguyên trên
trường K. Nếu f khơng phải là một đa thức thì có thể biểu diễn f dưới dạng
tích vơ hạn

f (z) = az

m

∞ 
Y

n=1

z

1−
zn



trong đó a ∈ K, m là một số nguyên không âm, {zn } là tập các nghiệm khác

0 của f (z) và zn → ∞ khi n → ∞.
Định lý 1.2 cho chúng ta hai tính chất về số không điểm của hàm f .
Hệ quả 1.1. Nếu hàm nguyên f không phải là đa thức trên K thì f có vơ
số khơng điểm trên K.
9


Hệ quả 1.2. Hàm nguyên f là hàm hằng nếu f khơng có khơng điểm trên
K.
Bây giờ, ta xét chuỗi lũy thừa f (z) =

∞
P

an z n có bán kính hội tụ là ρ

n=0

với 0 < ρ ≤ +∞. Với mỗi số thực r thỏa mãn 0 < r < ρ, ta định nghĩa

|f |(r) = max |an |rn ,
n∈N

|f |(r) được gọi là số hạng lớn nhất. Chỉ số trung tâm được định nghĩa là
ν(r, f ) = max{n : |an |rn = |f |(r)}.
n≥0

Ta cũng viết

|f |(0) = lim+ |f |(r);
r→0

ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ).
r→0

Hiển nhiên, với mỗi hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa f và với mỗi số thực

r, (0 < r < ρ), nếu z ∈ K mà |z| < r thì
|f (z)| ≤ max |an ||z|n ≤ max |an |rn = |f |(r).
n∈N

n∈N

Vì thế nên |f |(r) ln tồn tại hữu hạn. Hơn nữa, hàm |f |(r) là hàm liên
tục theo r và A(d(0, r− )) là không gian đầy đủ với chuẩn |.|(r).
Chỉ số trung tâm ν(r, f ) tăng theo r khi r → ρ và với mỗi 0 < r < ρ ta
có

log |f |(r) = log |aν(0,f ) | +

Zr

ν(t, f ) − ν(0, f )

dt + ν(0, f ) log r.
t

0

Vì {pq : q ∈ Q} là trù mật trong R và |f |(r) là hàm liên tục theo r nên
ta thu được nguyên lý module cực đại:

|f |(r) = max |an |rn = sup |f (z)| =
n∈N

|z|≤r

10

lim

|z|→r,|z|6=r

|f (z)|.