Báo cáo bài tập lớn đại số tuyến tính

lOMoARcPSD|20597457

ĐẠI HỌC QUỐỐC GIA THÀNH PHỐỐ HỐỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
GVHD: NGUYỄN XUÂN MỸ
NHÓM: ĐSTT_L08_03

TP HCM, 15/4/2022

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

DANH SÁCH NHÓM 3
Sốố thứ tự

Họ và tên

Mã sốố sinh viên

1

Trương Đức Dũng

2113080

2

Cao Đức Dương

2110971

3

Thái Thanh Duy

4

Nguyêễn Hà Giang

5

Nguyêễn Hoàng Hương Giang

2113254

6

Hoàng Văn Hải

2111134

7

Lê Hữu Hải

2113294

2113038
2110139

Đềề tài 3:
1. Nêu cơ sở lí thuyêốt của phân tch băằng phương pháp Gram-Schmidt.
2. Viêốt chương trình dùng để phân tch băằng phương pháp Gram-Schmidt.
3. Tìm các ứng dụng của phân tch .

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

LỜI CẢM ƠN

Kính gửi CBGD: Cơ Nguyễễn Xn Myễ,
Cơ Bùi Thị Khuyễn
Chung em không thê hoan thanh bai t ập l ớn nễ́u không nh ận đ ươc s ư ch i b ao giup đ ơ
tư rất nhiễ̀u ng ươi. Vi vậy chung em muốn danh ra m ột phần riễng đ ê g ưi đễ́n l ơi c am
ơn chân thanh nhất.
Lơi đầu tễn, chung em xin gưi lơi cam ơn chân thanh sâu sắc đễ́n thầy cô Nguyễễn Xuân
Myễ va cô Bùi Thị Khuyễn, ngươi đa tr ưc tễ́p giang d ay chung em trong môn Đ ai số tuyễ́n
tnh, những ngươi đa cung cấp cho chung em rất nhiễ̀u kiễ́n th ưc ma nh ơ đo nhom
chung em mới co th ê ap d ung vao bai t ập lớn nay, va chính cac cơ cũng luô la ng ươi
đồng hanh cùng chung em trong suốt hoc ki v ưa qua. Cac cô luôn la nh ững ng ươi đang
kính đới với chung em.
Mộ t lần nữ a, chung em xin gửi lơi cam ơn chân thanh va vô cùng sâu sắc đễ́n tất c a m ọi
ngươi. Tuy nhiễn, dù đa rất cố gắng nhưng vâễn không th ể tranh kh ỏi nh ững sai sot,
nhom 03 rất mong nhận được những ý kiễ́n đong gop cũng nh ư ph an hồi t ừ quý thầy cô

va cac ban để nhom co thể hoan thiện đễ̀ tai va đồng th ơi co th ể b ổ sung, nâng cao kiễ́n
thức của minh.
Nhom 03 xin chân thanh cam ơn!

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

MỤC LỤC

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

DANH MỤC
(HÌNH ẢNH, BẢNG BIỂU…)
Sốố thứ tự

Chỉ sốố

Nội dung

Downloaded by hong chinh ()

Trang


lOMoARcPSD|20597457

I. Nêu cơ sở lý thuyêốt của phân tch A=QR bằằng phương pháp
Gram-Schmidt:
Định nghĩa 1: Tập hợp con được gọi là họ trực giao, nêốu , , thì .
Định nghĩa 2: Tập hợp con được gọi là họ trực chuẩn, nêốu là họ trực giao và , thì
||x|| = 1.
Định lý 3: Cho là cơ sở trực chuẩn của khống gian V.
1/ ∀x ∈ V. Giả sử .
Khi đó ∀i = 1 · · · n,
2/ Giả sử 

x  E   x1; x 2 ;· · ·; x n 

T

và

.

Khi đó: .
Định lý 4: Cho là một họ độc lập tuyêốn tnh. Khi đó từ E có th ể xây d ựng m ột h ọ
trực giao sao cho khống gian con được sinh ra bởi trùng với khống gian con đ ược
sinh ra bởi .



Phân tch ma trận A () thành A = QR với Q là ma trận trực giao (tức là Q-1 =
QT) và R là ma trận phía trên (tức là rij = 0, j).
Giả sử họ véctơ cột của A: là họ độc lập tuốn tnh.
Dùng q trình trực giao hóa Gram Schmidt ta được họ trực giao và chia mốễi véctơ

cho độ dài của nó ta có họ trực chuẩn .
Lập ma trận trực giao Q có các cột là các véctơ trực chuẩn vừa tm được.

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

Theo định nghĩa, ta có ma trận chuyển cơ sở từ sang là:
= ()
Theo cách xây dựng họ trực giao, ma trận R là ma trận phía trên.
Mặt khác ma trận chuyển cơ sở từ sang là .
Suy ra .
Phép phân rã có thể áp dụng được tâốt cả ma trận vuống thực A



Cách phân rã băằng phương pháp Gram-Schmidt được áp dụng cho các cột



của ma trận xêốp hạng cột đâằy đủ , với sản phẩm bên trong〈 v,w 〉 = vTw (hoặc
là〈u,w〉=v*w đốối với trường hợp phức tạp).
Xác định phép chiêốu:
Proju (v)=u
Sau đó:
u1=a1,

e1=

u2=a2-proju1a2,

e2=

u3=a3-proju1a3-projuu2a3,

e3=

⋮
uk=ak

⋮
a,

ek=

u1 k

Bây giờ chúng ta có thể thể hiện ai dựa trên cơ sở chuẩn mực mới được tnh toán:
a1=〈e1,a1〉e1
a2=〈e1,a2〉e1 + 〈e2,a2〉e2

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

a3=〈e1,a3〉e1 + 〈e2,a3〉e2 + 〈e3,a3〉e3
⋮
ak=ej,ak〉ejỞ đâu 〈ei,ai〉=||ui||. Điêằu này có thể được viêốt dưới dạng ma trận:

Ở đâu:
Q=[e1,…,en]
Và
R=

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

II. Viêốt chương trình dùng để phân tch bằằng phương pháp
Gram-Schmidt.
Code:
function [Q,R] = Gram(A);
[m,n] = size(A);
Q = A; R = zeros(n);
for k = 1:n
for i = 1:k-1
R(i,k) = Q(:,i)'*A(:,k);
Q(:,k) = Q(:,k) - Q(:,i)*R(i,k);
end
Q(:,k) = Q(:,k)/norm(Q(:,k));
R(k,k) = Q(:,k)'*A(:,k);
end

Giải thích:
function [Q,R] = Gram(A);
// Tạo 1 function mang tên Gram để phân tích A = QR bằng phương pháp GramSchmidt
[m,n] = size(A);

//Lấy số hàng và số cột của ma trận A
Q = A; R = zeros(n);
//Gán giá trị của ma trận A cho Q và gán ma trận không nxn cho R
for k = 1:n
for i = 1:k-1
R(i,k) = Q(:,i)'*A(:,k);
// R1k = e1*ak
R2k = e2*ak
....

R(k-1)k = ek-1*ak
Q(:,k) = Q(:,k) - Q(:,i)*R(i,k);
//uk = ak – e1(e1*ak) – e2(e2*ak) - … - ek-1(ek-1*ak)
end
Q(:,k) = Q(:,k)/norm(Q(:,k));
// ek =
R(k,k) = Q(:,k)'*A(:,k);
// Rkk = ek*ak
end

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

Bài toán: ……………………………………………………….
-

-

Nhập vào:

In ra:

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

III. Tìm các ứng dụng của phân tch .
3.1 Giải quốt vâốn đêằ bình phương tốối thiểu tuốn tnh:

Bài tốn bình phương tốối thiểu (LS) là một trong những bài
tốn trọng tâm trong đại sốố tuyêốn tnh sốố. Giả sử chúng ta có
một hệ phương trình , trong đó , và . Ta muốốn tm sao cho .
Nói chung, chúng ta khống thể duy trì được đẳng thức này
nêốu ! Chúng ta chỉ có thể mong đợi để tm ra một nghiệm
sao cho. Vêằ mặt hình thức, vâốn đêằ LS có thể được định nghĩa
là tm sao cho:

nhỏ nhâốt.
Phương pháp:
Giả sử với . Khi đó khống thay đổi chuẩn của vectơ. Nêốu xoay hoặc phản chiêốu một
vectơ thì độ dài của vectơ seễ khống thay đổi.

Hãy xem xét cách một ma trận trực giao có thể hữu ích trong bài tốn bình ph ương nh ỏ
nhâốt truằn thốống của chúng ta

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

Mục têu của chúng ta là tm một sao cho là tam giác trên.
Nêốu , thì

Chúng ta gọi đây là sự phân hủy toàn bộ . Bâốt kể câốu trúc của A, ma trận R seễ luốn là hình
vuống.
Thực têễn: Đốối với xử lý radar thời gian thực, chúng ta râốt mong muốốn có một thu ật tốn
khống giả định các thốống kê hạn chêố của dữ liệu đâằu vào và có thể được thực hiện để x ử
lý tốốc độ cao (mà khống tốốn kém chi phí cao) để đáp ứng các yêu câằu thời gian thực. Do
đó, chúng ta áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhâốt dựa trên phân tch để dự
đoán tuyêốn tnh cho vâốn đêằ tnh toán hệ sốố phản xạ của một cống cụ dự báo mạng tnh
thể.

Ví dụ:
Tìm hàm bậc hai với tập hợp
Phương pháp:
Giả sử ta có tập hợp các điểm . Câằn tm hàm sao cho đốằ thị của nó đi qua (ho ặc gâằn) tâốt c ả
các điểm của .
Xét trường hợp hàm
Tìm để nhỏ nhâốt. Phương pháp này gọi là bình phương cực tểu.

Downloaded by hong chinh ()

lOMoARcPSD|20597457

Ta tm cực trị của hàm có ba biêốn . Để cho gọn, ta ký hiệu ,.
Điểm dừng của hàm là:

Hệ phương trình trên được ghi ở dạng ma trận .
Giải hệ phương trình trên ta được , suy ra .
Nêốu , thì ta có đa thức bậc nhâốt .
Nêốu , thì ta có đa thức bậc hai .
Trong trường hợp tổng quát, ta có hàm , ta làm tương tự.
Lời giải cho bài toán trên: Ta đặt

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

Giải hệ phương trình ( với và như kêốt quả của chương trình) Ta được nghiệm
Hàm câằn tm là .

3.2 Giải quyêốt các bài toán tm giá trị riêng:
a) Các bước tm trị riêng băằng phương pháp :
- B1: Tìm s từ ma trận đã cho, ta có ma trận .
- B2: Từ ma trận Ma trận quay .
- B3: Tính .
- B4: Tìm các giá trị riêng của ma trận đã cho.
b) Cống thức câằn lưu ý:
-

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

- Dạng tổng quát của :

-

Dạng tổng quát của :

c) Ví dụ:
Cho ma trận là ma trận 3 đường chéo, đốối xứng. Tìm trị riêng của A? Gi ải:
- Tính băằng cách tm trị riêng ma trận vuống 2×2 tạo bởi dòng thứ 2,3 và cột th ứ 2,3

Ma trận này có 2 trị riêng và
Chọn trị riêng gâằn với giá trị Chọn
- Ta có:

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

-

Dạng của

-

Dạng của

-

Ma trận
Tương tự như trên ta có:

Nhận thâốy = 0.030396964 đã đủ nhỏ, ta đi tnh các giá trị riêng:

- Bỏ đi hàng 3 cột 3 ma trận A(3), ta được:
+ 2 trị riêng của ma trận trên là: = 2.7802140 và = 1.3654218
+ 2 trị riêng còn lại của ma trận A là:

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

Ta dùng phép lặp (n=20 lâằn) cho đêốn khi các giá trị ngồi đường chéo chính hội tụ dâằn vêằ
0 với chương trình được tạo như trên băằng thuật tốn sau :

So sánh với ma trận D chứa trị riêng năằm trên đường chéo chính được tạo bởi hàm trong
matlab và kêốt quả của ví dụ trên ta thâốy phép phân tch có thể sử dụng để tnh trị riêng
của ma trận với điêằu kiện lặp đủ sốố lâằn

3.3 Ứng dụng trong MIMO:

Downloaded by hong chinh ()

lOMoARcPSD|20597457

Trong radio, nhiêằu đâằu vào và nhiêằu đâằu ra, hay MIMO, là việc sử dụng nhiêằu ăng-ten ở
cả máy phát và máy thu để cải thiện hiệu suâốt truyêằn thống.
 MIMO là một trong nhiêằu dạng cống nghệ ăng ten thống minh.
 MIMO cung câốp sự gia tăng đáng kể vêằ thống lượng dữ liệu và phạm vi liên kêốt mà
khống câằn thêm băng thống hoặc cống suâốt truyêằn.
 MIMO là một phâằn quan trọng của các têu chuẩn truyêằn thống khống dây hiện đại như
IEEE 802.11n (Wifi) và 4G.
 Trong hệ thốống MIMO, một máy phát seễ gửi nhiêằu luốằng băằng nhiêằu ăng-ten phát. Các
luốằng truyêằn đi qua một kênh ma trận bao gốằm tâốt cả các đường dâễn NtNr gi ữa các ăng
ten phát Nt ở máy phát và Nr ăng-ten thu ở máy thu.
 Sau đó, máy thu nhận các vectơ tn hiệu đã nhận bởi nhiêằu ăng-ten thu và giải mã các
vectơ tn hiệu nhận được thành thống tn ban đâằu.

Mố tả toán học
Cho x = (x1,..., xn)T là một vectơ được truyêằn qua một kênh nhiêễu.
Mốễi xi được chọn từ một bảng chữ cái có kích thước hữu hạn X
Một hệ thốống MIMO chung được mơ hình hóa như
là kênh ma trận xêốp hạng cột đâằy đủ (bộ thu đã biêốt)
ξ = (ξ1,..., ξm)T là vectơ nhiêễu Gaussian màu trăống trong đó E (ξξ*) = σ2I
r = (r1,..., rm)T là vectơ nhận được quan sát.
Nhiệm vụ của chúng ta là phát hiện / ước lượng vectơ x^ = (xˆ1, . . . , xˆn)T∈ Xn với quan
sát nhiêễu r.

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

Sự phân hủy của ma trận kênh H có thể được sử dụng để tạo thành bộ dò hủy
ngược.
Đặt , là phương trình phân rã của ma trận hệ thốống với m hàng, n cột.
Q = Ma trận trực giao
R = Ma trận tam giác trên
 r = Hx + ξ ⇒ Q∗ r = Rx + Q∗ ξ
Đặt
= Q∗ r, = Q∗ ξ

Phương pháp chính thức:
Giả sử ước tnh xn băằng cống thức:

Với Quant(t) là phân tử X gâằn nhâốt với t.
Phân Hủy
Quay lại cống thức:

Thuật toán vêằ cơ bản là phương pháp bình phương cực tểu
Nhận xét:
- Sự phân rã cung câốp một cách thay thêố để giải hệ phương trình mà khống câằn nghịch
đảo ma trận A. Thực têố là là trực giao có nghĩa là , do đó tương đương v ớ, dêễ gi ải h ơn vì
là ma trận tam giác.
- Việc sử dụng các phép biêốn đổi Householder vốốn dĩ là đơn giản nhâốt trong sốố các thuật
toán phân rã QR ổn định vêằ sốố lượng do sử dụng phản xạ làm cơ chêố tạo ra các sốố 0 trong

Downloaded by hong chinh ()


lOMoARcPSD|20597457

ma trận R. Tuy nhiên, thuật toán phản chiêốu Householder nặng vêằ băng thống và khống

thể song song hóa, vì mọi phản xạ tạo ra phâằn tử 0 mới seễ thay đổi toàn bộ ma trận Q và
R.

Downloaded by hong chinh ()