kiến thức toán cao cấp dùng cho xác suất thống kê

1




- Trung tâm ôn luyện XSTK, KTL, TCC


Lời tựa: Công thức của môn Xác suất thống kê, bên cạnh cộng trừ nhân chia
còn 1 ít nhỏ kiến thức toán cao cấp 2 được sử dụng, có trong đề thi. Bài viết dựa
trên kinh nghiệm đi dạy và tổng hợp đề của mình 2 năm trở lại đây (những dạng
mình nghĩ đủ dùng để hoàn thành 10 điểm cuối kì :v)
Nói sơ qua:
+/ Tích phân:
- Chương 2: dùng cho tính hàm phân bố, E(X), E(
2
X
), E(g(x)), mode,
median, P(a<X<b)…của biến ngẫu nhiên liên tục X
- Chương 3: chứng minh hàm phân bố của các phân phối khi biết hàm mật độ
- Chương 4: E(g(x)) tích phân 2 lớp ít dùng trong đề thi nên mình sẽ không
đề cập
+/ Đạo hàm:
- Chương 2: từ hàm phân bố tìm hàm mật độ
- Chương 6: chứng minh ước lượng hiệu quả nhất
+/ ln,log: biến đổi cho phần chứng minh ước lượng hiệu quả nhất

Chi tiết:
I. Tích phân hay được sử dụng
1/
1

. . . . .
1
b
bb
n
nn
aa
a
x
c x dx c x dx c
n





VD1:
33
3 3 3 3
3 3 6
2 2 5 2 5
0 0 0 0
00
1 1 1
(1 ) ( . ). . .
3 3 3 3 3 6
x x x
x dx x x dx x dx x dx      
   

=
3 3 6 6
3 0 1 3 0
( ) .( ) 31.5
3 3 3 6 6
    

2/
b
xx
a
e dx e


VD2:
a.
0
0
00
0
11
5 5. . ( ) 5. 5. 5. 5. 5. 0 5 5
x x x
e dx e d x e e e
ee

 
    

             



2




- Trung tâm ôn luyện XSTK, KTL, TCC


b.
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
1
1 1 1 1
1
13
(1 3. ) 3. 3. . (2 ) 1 . 69.81
22
x x x x
e dx dx e dx x e d x e        
   

3/
cos . sin ; sin . cosx dx x x dx x  


VD3:

a.
2
2 2 2
2
2
3
3
3 3 3
( cos ) cos . sin 0.69 0.5 0.19
2
x
x x dx xdx x dx x
  




  
       
  

b.
2
2 2 2 2
2
3
3 3 3 3
( sin .cos ) sin cos . sin . (sin )
2
x

x x x dx xdx x x dx xd x
   


   
    
   

=
2
2
3
sin
0.69 0.69 0.375 0.315
2
x


   






II. Đạo hàm:
1/
'1
( ) .
nn

x n x



VD1:
13
''
4
44
3
4
1 1 1
( ) ( ) . .
44
x x x
x

  

2/
' 1 '
{[ ( )] } .[ ( )] .[ ( )]
nn
f x n f x f x



VD2:
1 5 3
2 5 ' 2 5 ' 2 ' 2 2 '

2 2 2
5
[( 1 ) ] {[(1 ) ] } [(1 ) ] .(1 ) .(1 )
2
x x x x x       

=
33
22
22
5
.(1 ) .(0 2 ) 5 (1 )
2
x x x x    

3/
''
(sin ) cos ;(cos ) sinx x x x  

' ' ' '
[sin ( )] cos ( ). ( );[cos ( )] sin . ( )f x f x f x f x x f x  

VD3:
2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 '
[sin (1 )] 2sin(1 )[sin(1 )] 2sin(1 )cos(1 ).[(1 ]x x x x x x       

=
22
2sin(1 )cos(1 ).(0 2 )x x x  
=

22
4 sin(1 )cos(1 )x x x  

4/
''
11
(ln ) ;[ln ( )] .[ ( )]
()
x f x f x
x f x


3




- Trung tâm ôn luyện XSTK, KTL, TCC


VD4:
11
' 3 ' 3 '
55
1
5
3
3
5
11

[ln(1 )] [ln(1 (1 ) ] .[1 (1 ) ]
1
1 (1 )
xx
x
x


      



3 3 '
1
3
5
11
.[0 .(1 ).(1 ) ]
5
1 (1 )
xx
x

   

=
32
1
3
5

11
. .(1 ). 3
5
1 (1 )
xx
x




=
23
1
3
5
3 (1 ) 1
.
5
1 (1 )
xx
x




III. Cách tìm x hàm mũ, ln
ln(ab)=ln a + ln b; ln(a/b)=ln(a) – ln(b) ;
ln .ln
b
a b a

VD:
Tìm x bít
a/
2
ln(8 ) 2x
b/
5 3125
()
6 7776
x


Giải:
a/
2
ln(8 ) 2x

22
8 xe

22
8xe
x=0.78 hoặc x= - 0.78
b/

5 3125
()
6 7776
x


5 3125
ln[( ) ] ln
6 7776
x


5 3125
ln ln
6 7776
x 

3125
ln
7776
5
ln
6
x 
=5