các bài tập hệ thống hóa phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
  










ĐỀ TÀI:





GVHD:
TS. Nguyễn Văn Hoa
SVTH: Võ Mạnh Hùng





Thaønh Phoá Hoà Chí Minh 2008

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn, em đã nhận được nhiều sự quan tâm, động
viên, giúp đở của quý thầy cô, gia đình và bạn bè.
Xin cho phép em được bày tỏ lòng biết ơn đến:
TS. Nguyễn Văn Hoa, người thầy đã định hướng, tận tình chỉ bảo và tạo cho em
lòng tự tin trong thời gian thực hiện luận văn. Người thầy đã truyền cho em sự say mê
trong nghiên cứu khoa học, trực tiếp hướng dẫn, dìu dắt em thực hiện những bước đi
đúng đắn trong tiến trình làm luận văn.
Quý t
hầy, cô trong khoa Vật Lý trường đại học sư phạm Tp. HCM đã truyền đạt
cho em những kiến thức, kỹ năng và phương pháp sư phạm tạo nền tảng cho tương lai
nghề nghiệp. Đặc biệt TS. Thái Khắc Định trưởng khoa Vật Lý, đã tạo nhiều điều kiện
thuận lợi để em
hoàn thành tốt luận văn.
Các bạn lớp lý K30, đặc biệt là bạn Đỗ Thùy Linh đã luôn sát cánh, động viên và
giúp đỡ mình trong những giai đoạn khó khăn nhất của việc thực hiện luận văn.
Xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến ba mẹ và gia đình đã luôn ủng hộ, tạo mọi điều
kiện tốt nhất cho con hoàn thành luận văn.

Tp. H
CM: Ngày 10 tháng 05 năm 2008.

Võ Mạnh Hùng












PHẦN MỞ ĐẦU:

1. Lý do chọn đề tài:
Một hệ lượng được đặc trưng bởi Halmitonien

H . Đòi hỏi xác định hàm
riêng và trị riêng của toán tử Hamilton

H đó. Thực ra bài toán tìm trị riêng và
hàm riêng của một toán tử là vô cùng phức tạp và có thể giải chính xác với một
số trường hợp rất đơn giản như “Hố thế”, “dao động tử điều hòa”, “nguyên tử
Hidro” hoặc các “ion tượng tự hidro”…
Nhưng bên cạnh đó, cơ học lượng tử còn có rất nhiều những hệ lượng tử
phức tạp mà ta không thể giải chính xác một cách hoàn toàn. Chính vì vậy,
phương pháp gần đúng được đưa v
ào sử dụng nhằm giải quyết vấn đề trên.
Trong lý thuyết có nhiều phương pháp gần đúng nhưng trên thực tế và giới

hạn chương trình hai phương pháp gần đúng được sử dụng phổ biến và áp dụng
nhiều cho nhiều dạng bài toán là: Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và
phương pháp biến phân.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
Luận văn nghiên cứu hai phương pháp gần đúng trong cơ học lượng tử:
Phương pháp sử dụng lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp biến phân. Mỗi
phương pháp bao gồm một hệ thống bài tập được phân loại, sắp xếp theo mức
độ và giải một cách chi tiết.
Phương pháp nghiê
n cứu: Phân tích nội dung chương trình (lý thuyết nhiễu
loạn và phương pháp biến phân); Thực hành giải bài tập và phân loại bài tập.

3. Cấu trúc luận văn:
Phần mở đầu:
Chương I: Cơ sở lý thuyết.
Chương II: Hệ thống bài tập.
Kết luận_Hướng phát triển.



Chương I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
[2],[8]


I.1. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

I.1.1. Công thức tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng.

Hamiltonien:




0
HH V


Với:

0
H : Toán tử Hamilton khi không có nhiễu loạn.

V : Toán tử nhiễu loạn.
Phương trình Schrodinger:

HE


 : Khi nhiễu loạn. (1)

(0) (0) (0)
0 nnn
HE

 : Khi không nhiễu loạn. (2)
Khai triển:
()
x

theo
(0)

()
n
x


(0)
() ()
nn
n
x
Cx




(3)
Thay (3) vào (1):

(0) (0)
() ()
nn nn
nn
HC xEC x



(4)
Nhân vào bên trái của (4) với
*
(0)

()
n
x

và lấy tích phân theo x:

mn n m
n
HHCEC

(5)
Trong đó H
mn
là phần tử ma trận trận của toán tử

H trong “ E
0
”_biểu diễn.







**
**
00 0 0
0
00 00 0

0

mn m m m m
mm mm nmnmn
H H dx H V dx
Hdx VdxE V
  
  





0
mn n mn mn
HE V

  (6)
Trong đó V
mn
là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn trong “
0
E ” biểu diễn.


*
00
mn m m
VVdx




(7)
Thay (6) vào (5) ta được:



0
nmn mn n m
n
HE VCEC




0
0
mmn m mnn
mn
EV EC VC


  


(8)
Để biểu thị độ nhỏ của

V ta đặt:


Vw

 (9)


là một tham số đặc trưng cho độ nhỏ của năng lượng nhiễu loạn.
[2],[8]: Tài liệu tham khảo số 2, số 8
Thay (9) vào (8):
0
0
mmn m mnn
mn
EwEC VC



  


(10)
Phương trình (10) chính là phương trình tổng quát của lý thuyết nhiễu loạn dừng.
I.1.2. Nhiễu loạn khi không có suy biến.

Từ công thức (10) ta khai triển C
m
và E dưới dạng chuổi:
(0) (1) 2 (2)
(0) (1) 2 (2)

mm m m
CC C C
EE E E


  
  
(11)
Các số hạng
(0) (1) (0) (1)
, ; ,
mm
CC EE tương ứng với các bổ chính của hàm sóng và và
năng lượng trong gần đúng bậc 1, bậc 2…
Thay (11) vào (10) và tập hợp các số hạng cùng bậc của lũy thừa

, ta có:
0 0 (0) (1) (0) 0 0 (1) (0)
2(1)(1)(2)(0)00(2) (1)
3 (1)(2)(3)(0)(2)(1)
w w

w w

w
mm mn mmmmnn
mn
mn m m m m mn n
mn
mn m m m

EEC EC EEC C
EC EC EEC C
EC EC EC E






  
 

  



 


 







00(3) (1)
w 0
mm mnn

mn
EC C









(12)
 Phép gần đúng bậc không:
Với
0

 , phương trình (12):
00(0)
0, m = 1,2,3, k,
mm
EEC




00(0)
, C
mm mk
EE


 
(13)
Ta quan tâm đến mức năng lượng
0
k
E
và hàm sóng
0
k


00(0)
, C 1
kk
EE (14)
Nghiệm (14) được gọi là nghiệm gần đúng bậc không. (không nhiễu loạn)

 Phép gần đúng bậc nhất:
Thay (13) vào (12) và bỏ qua các số hạng có chứa bậc cao hơn
2

:

(1) 0 0 (1)
ww0
mn k mk m m mn nk
mn
EEEC




 


(15)
Lấy phương trình thứ m = k trong các phương trình (15), ta tìm được bổ chính bậc
nhất cho năng lượng:

(1) (1)
w0w
kk k k kk
EE kVk : (16)

Lấy phương trình thứ
mk trong các phương trình (15) ta sẽ tìm được số hạng bổ
chính bậc nhất đối với hàm sóng.
00(1)
w0
mmmk
EEC





Từ đây ta tìm được bổ chính bậc nhất cho hàm sóng:
(1)
00
w
mk

m
km
C
EE


(17)
 Phép gần đúng bậc 2:
Thay (16) và (17) vào phương trình (12) và bỏ qua các số hạng chứa bậc
3

trở lên:


2(2)00(2)
(0) (0) (0) (0)
ww
ww w 0
nk nk
mn kk nk m m mn
mn
km km
nk
EEEC
EE EE







 






(18)
Lấy phương trình thứ m = k trong (18):
(2)
(0) (0)
w
w0
nk
kkn
nk
kn
E
EE

 



Ta tìm được bổ chính bậc 2 cho năng lượng:
(2)
(0) (0)
ww
0

kn nk
k
nk
kn
E
EE




(19)
Lấy phương trình
mk trong (18) và thế giá trị của
(2)
k
E vào:

(2) 0 0 (2)
(0) (0) (0) (0)
ww
ww w 0
nk nk
mn kk nk m m mn
mn
km kn
nk
EEEC
EE EE





 



(20)
Bây giờ ta gộp số hạng
(0) (0)
ww
mm mk
km
EE
vào trong tổng, khi đó:

(0)(0) (0)(0) (0)(0)
www w
ww0
nk mm mk nk
mn mn
nmn
km km kn
nk nk
EE EE EE


 
 

(21)

Phương trình (20) trở thành:
00(2)
(0) (0) (0) (0)
ww
ww0
nk nk
kk m m mn
n
km km
nk
EEC
EE EE


 



(22)
Từ đây suy ra
(2)
m
C
:

 
00(2)
(0) (0) (0) (0)
(2)
(0) (0) (0) (0)

00
(2)
(0) (0) (0) (0)
00 00
ww
ww
ww
1
ww
ww w w
11
nk nk
mmkk mn
n
km km
nk
nk nk
mkk mn
n
km km
mk
nk
kk nk mn nk
m
n
km km
mk m
nk
EEC
EE EE

C
EE EE
EE
C
EE EE
EE EE




 




 





 






Từ đây ta tìm được số hạng bổ chính bậc hai cho hàm sóng:



(2)
2
00 00
00
ww ww
1
kk nk mn nk
m
n
kn km
mk
nk
C
EE EE
EE

 



;
,mknk


(23)

Một cách hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được bổ chính bậc ba và các bậc cao hơn.

I.1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.

Đa số các bài toán của lý thuyết nhiễu loạn là trường hợp suy biến, tức ứng với
một mức năng lượng có nhiều trạng thái.

Phương trình (3) được đặt lại:
(0)
,
() ()
nn
n
x
Cx







Phương trình (8) được viết lại:
0
,,
0
mmn m mnn
mn
EV EC V C
   


  



(24)
Trong đó:

*
00
,mn m n
VVdx
  



(25)
Là phần tử ma trận của năng lượng nhiễu loạn.
Từ (24) ta có: Nghiệm bậc không ứng với hàm sóng mức k.
0
( 0), 1,2, ,
0 ( )
k
k
n
CC f
Cnk





 






(26)
Thay (22) vào (20) và lấy phương trình thứ m = k.
0(0)0
,
0
kkk k
EV EC VC
   



  



0(0)0
0
k
f
k
EV EC VC
   





  


(27)
Phương trình (23) tương đương với một hệ phương trình bâc nhất đối với
(0)
C

:




00(0)
11 1 12 2 1
00 (0)
21 1 22 2 2
0(0) 0 (0)
11 22
0
0
.
.
0
k
k
kk kkk
kf
kf

ff kfff
EV ECVC V
VC E V EC V
VC VC E V EC

   


 









(28)

Hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường khi:



0
12
1
11
0
11

2
21
0
1
11


. 0
.

k
k
k
f
k
k
f
f
k
V
V
EV E
EV E
V
V
V
EV E





(29)
Đây là một phương trình đại số bậc k đối với E. Người ta thường gọi là phương trình
thế kỉ. giải phương trình này ta tìm ra các nghiệm:
123
, , , , .
k
kk k kf
E
EEE EE


Với các giá trị của E vừa tìm được, thay vào phương trình (28) ta tìm được các nghiệm
C
k
Nhận xét.
Khi có nhiễu loạn thì mức năng lượng suy biến
0
k
E được tách thành f
k
mức sát
nhau. Suy biến bị khử hoàn toàn. Nếu có các nghiệm trong (29) trùng nhau thì suy
biến bị khử mất một phần.
Nhiễu loạn có suy biến là một bài toán khá phức tạp, chính vì vậy ta chỉ giới
hạn xét đến nghiệm gần đúng bậc nhất của năng lượng và bậc không đối với hàm
sóng.
I.1.4. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.

Toán tử Halmiton:

 
0
(,)
H
HWxt

Với:

0
H : Toán tử Hamilton khi không nhiễu loạn.

(,)Wxt: Toán tử nhiễu loạn phụ thuộc thời gian.
Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian:

0
(,)
(,) (.)
xt
iHWxtxt
t








(30)
Khi không nhiễu loạn:


0
0
(,)
(.)
xt
iHxt
t






(31)
Nghiệm riêng của (31) có dạng:
0
1
0
2
0
(0) (0)
11
(0) (0)
22
(0) (0)
(,) ()
(,) ()

(,) ()

n
Et
i
Et
i
Et
i
nn
xt xe
xt xe
xt xe
















Nghiệm của (31) là sự tổ hợp của các nghiệm riêng:
(0)
1

(0) (0) (0) (0) (0)
(,) (,) ()
Et
i
nn nn
nn
xt C xt C xe






(32)
Ta tìm nghiệm của (31) dưới dạng:
(0)
(,) () (,)
nn
n
x
tCtxt




(33)
Tìm ()
n
Ct:
Thay (33) vào (30):


(0) (0)
0
() (,) (,) () (,)
nn nn
nn
i CtxtHWxtCtxt
t








(0) (0)
(,) () () (,)
nnnn
nn
ixtCtCtixt
tt









(0) (0)
0
() ( ,) () ( ,) ( ,)
nn n n
nn
CtH xt CtWxt xt



(34)
Từ (34) và (31) ta thu được phương trình sau:


(0) (0)
(,) () () (,) (,)
nnn n
nn
i xt C t C tW xt xt
t





 (35)
Nhân vào 2 vế của (35) với
*
(0)
m


và lấy tích phân theo x, ta được:
() ( ,) ()
mn mn
it it
m
mn n n
nn
dC
i WeCt mWxtneCt
dt



 (36)
Trong đó:


*
(0) (0)
,(,)() ()(,)
mn
it
mn m m mn n
n
Wxt Wxt xdx eCt mWxtn






(37)
Là phần tử ma trận của toán tử nhiễu loạn trong “E
0
” biễu diễn và:
(0) (0)
mn
mn
EE




(38)
Gọi là sự chuyển dời lượng tử.

Phép gần đúng bậc không:
Giả sử khi t = 0,

(,)Wxt
=0: khi đó phương trình (37) trở thành:
0
0
()
0 ( ) onst
m
m
dC t
iCtc
dt

 

Chọn hàm sóng ở trạng thái dừng thứ k
(0)
.
(0)
().
n
i
Et
k
xe



là hàm sóng của bài toán không
nhiễu loạn.
Do đó:
(0) (0) (0) (0)
(0) ( , ) ( ) ( , )
knn mn
nn
CxtCtxt

 
 



1,

() (0)
0,
mnmk
mk
Ct C
mk







(39)

Phép gần đúng bậc nhất:

Đặt nghiệm (39) vào phương trình (36):
(1) (1)
() ()
w
mn mk
it it
mm
mn nk mk
n
dC t dC t
iWei e
dt dt






(1) (1)
0
() (,) (0)
mk
it
mm
CmWxtnedtC



 

(40)
Vì các hệ số C
m
(0) không phụ thuộc thời gian và luôn bằng
mk

nên
(1)
0
m
C 

Nghiệm gần đúng bậc nhất:
(1)

0
() (,)
mk
it
m
CmWxtnedt






 Phép gần đúng bậc 2:
Nghiệm gần đúng chính xác đến bậc 1:
(1)
() ()
nnkn
Ct C t


Thay giá trị của C
n
(t) vào phương trình (36):
(1)
(1)
()
(,) (,) ()
mn mn
it it
m

n
n
dC t
imWxtnemWxtneCt
dt




(2)
(1)
0
()
1
(,) (,) ()
mk mn
t
it it
m
n
n
dC t
i mWxt ne mWxt ne nWkC t
dt i

 





(41)
Giải phương trình (41) ta được:


(2)
2
0 0
11
() ( ,) ( ,)
mk mn mk
t
it it it
m
n
C t mW xt ne dt mW xt n e nW ke dt
i
i





















Và cứ theo quy trình này, ta có thể tìm được nghiệm gần đúng bậc ba, bậc
bốn vv. Nhưng trong nhiễu loạn phụ thuộc thời gian chúng ta chỉ cần quan tâm đến
nghiệm gần đúng bậc nhất.
I.1.5: Xác suất chuyển dời lượng tử.
Thực tế trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian ta không cần quan tâm đến
năng lượng và trạng thái ở mức m = k mà ta chỉ quan tâm đến xác suất dời chuyển dời
giữa 2 trạng thái.

Kí hiệu xác suất dời chuyển từ trạng t
hái
km là P
mk
:
2
2
(1)
2
0
1
() () (,)
mk m
PC mWxtkdt






(42)



I.2. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN.
Trong trường hợp lý thuyết nhiễu loạn không thuận lợi khi áp dụng giải bài toán
cơ học lượng tử, người ta còn sử dụng phương pháp gần đúng khác gọi là phương pháp
biến phân.
Phương pháp biến phân xuất phát từ nhận xét đơn giản rằng năng lượng trung
bình của một hệ luôn lớn hơn hoặc bằng năng lượng trạng thái cơ bản của hệ lượng tử.
Việc tính năng lượng trạng thái cơ bản dẫn đến việc chọn các “hàm thử” chứa một số
thông số chưa biết nào đó. Sa
u đó tìm cực tiểu của năng lượng trung bình cho phép ta
xác định được các thông số. Nghĩa là xác định được năng lượng trạng thái cơ bản của
hệ.
Khai triển vector trạng thái của hệ lượng tử

theo các vector riêng
n

của
toán tử Halmitonian

H
:
nn

n
C




(43)
Trị trung bình của năng lượng của hệ ở trạng thái đã cho có dạng:


2
2
nn
n
n
n
CE
H
H
C





(44)
Gọi E
0
là năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ lượng tử, từ (2) ta có:


2
0
0
2
n
n
n
n
EC
HE
C



(45)
Nếu chọn vector trạng thái

là một hàm của các thông số chưa biết nào đó
1

,
2

,…, sao cho trùng với vector trạng thái cơ bản của hệ.
12
( , , )




Và thực hiện cực tiểu hóa năng lượng trung bình:

0
i
H





Cho phép xác định được các thông số
i

. Bằng cách đó ta sẽ tính được giá trị của
năng lượng:

01 02 01 02
01 02 01 02
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
H
E
   
   

Gần với giá trị năng lượng trạng thái cơ bản E
0
của hệ.

Chương II. LỜI GIẢI VÀ PHÂN TÍCH CÁC BÀI TẬP

II.1.
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỄ NHIỄU LOẠN ĐỐI VỚI HẠT TRONG HỐ THẾ
Bài 1.
Hạt ở trong giếng thế sâu vô hạn có bề rộng a. Hãy tính các bổ chính bậc 1 và
bậc 2 cho năng lượng theo lý thuyết nhiễu loạn.
a.


0
() 2
V
Vx a x a
a


b.

0
, b < x < a - b
()
0 , 0 < x < b, a - b < x < a
V
Vx





c.

2
0
() cos
x
Vx V
a



Lời giải.
Áp dụng kết quả của bài toán hạt trong hố thế sâu vô hạn có bề rộng a:
Hàm sóng:
2
sin
n
nx
aa


 (1.1)
Năng lượng:
222
2
2
n
n
E
ma




, n = 1, 2, 3, …
Câu a.


0
() 2
2
V
Vx a x a








* Bổ chính bậc 1:


(1) 2
0
0
222
0
2
11(1)

|| sin 2 =
2
a
n
V
nx
EnVn axadxV
aa n




   



(1.2)
* Bổ chính bậc 2:

2
(2)
(0) (0)
n
kn
nk
kV n
E
EE








22
0
22 22
21(1) 2 sin sin 2os os
22 22
|| 4
()
n
kn kn
kn k n knc c
kVn V
kn




 






(1.3)
V

0

()Ux ()Ux


()Ux
a 0 a/2 x
Hình 1. Hàm thế năng
22
22
(2)
0
23
32 2
1(1) sin sin 2 os os
128
22 2 2
nk
n
kn k n
kn k n knc c
ma V
E
kn








  


















(1.4)



Câu b.

0
, b < x < a - b
()
0 , 0 < x < b, a - b < x < a

V
Vx







* Bổ chính bậc 1:

(1) 2
00
2
2
| | sin 2 sin
ab
b
VV
nx a nb
EnVn dx ab
aaa na





   






(1.5)
* Bổ chính bậc 2:

2
(2)
(0) (0)
n
kn
nk
kV n
E
EE







0
2
0
22
2
|| sin( )sin( )
1(1) sin cos (1) sin cos
2

=
()

ab
b
nk nk
V
kx nx
kVn dx
aaa
kb nb nb kb
nk
V
aa aa
ank








  




(1.6)
2

(2)
2
22
0
1(1) sin cos (1) sin cos
8
nk nk
n
kb nb nb kb
nk
aa aa
EmV
nk







  
















(1.7)


Câu c.

2
0
() cos
x
Vx V
a






* Bổ chính bậc 1:

(1) 2 2
00
0
2
|| sin os

2
a
VV
nx x
EnVn c dx
aaa

  

(1.8)

* Bổ chính bậc 2:
()
Ux
()Ux ()Ux


()Ux
a
V
0
a/2 x
0
Hình 3. Hàm thế năng
V
0

()
Ux
()

Ux


a 0 a-b x
b
Hình 2. Hàm thế năng

2
(2)
(0) (0)
n
kn
nk
kV n
E
EE






0
2
0
0
; 2
4
2
| | sin . os .sin =

0 ; 2
a
V
nk
V
kx kx nx
kVn c dx
aa aa
nk














(nk ) (1.9)
 
 
22
(2)
(0) (0) (0) (0)
22

22 22 22
000
22 22
222

; 1
84 4 84 4
16 1
n
nk nk
nk nk
kV n kV n
E
EE EE
ma V ma V ma V
k
kk
k


 
 
 
 
 

 
 
 


 





(1.10)
Phân tích.
1. Nhận xét.
Bài toán nhằm mục đích tính toán, kiểm tra lại các công thức đã học về bổ
chính năng lượng bậc 1, bậc 2.
2. Kiến thức.
Để làm được bài toàn này cần nắm vững một số kiến thức sau: Lý thuyết
về hạt trong hố thế sâu vô hạn, các công thức về năng lượng và hàm sóng (1).
Cách tính các tích phân từng phần, công thức hạ bậc, hàm sin, hàm cosin. Công
thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2 trong lý thuyết nhiễu loạn.
3. Phương pháp_kỹ năng giải toán.
Áp dụng các công thức bổ chính bậc 1, bổ chính bậc 2.
Thực tế các tích phân (1.3), (1.6), (1.9) là những tích phân khó, cần tính
một cách tỉ mỉ hoặc có t
hể dùng một số phần mềm tính toán như
mathemmatical, maple…ở đây tôi dùng maple. (phần phụ lục)
4. Kết luận.
Bài toán này tương đối dễ về mặt kiến thức nhưng hơi dài dòng về mặt
tính toán, thường đư
ợc giảng dạy ở đại học như một ví dụ để cho sinh viên biết
áp dụng các công thức bổ chính năng lượng.


Bài 2.

Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:




 
0
0 0, , 0,
(, )
0, , 0,
Ly L
Vxy
Ly L





 


x
x

Giả sử nhiễu loạn:






 
x 0, , 0,
()
0 0, , 0,
Ly L
Vx
Ly L









x
x

a. Hãy xác định hàm sóng bậc không và năng lượng cho trạng thái cơ bản và
trạng thái kích thích thứ nhất tính đến bậc một theo lý thuyết nhiễu loạn.
b. Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn. Nhận xét sơ đồ.
Lời giải.
Câu a.
Hàm Halmiton:









00 0
()
x
yxy
HHVH VxH H H    (2.1)
Phương trình Schrodinger:

HE


 (2.2)
Phương pháp tách biến:

xx
HE


 : Nhiễu loạn một chiều không suy biến. (2.3)

yy
HE


 : Không nhiễu loạn.

Hàm sóng:
12

2
(, ) sin sin
nx n y
xy
LL L



 (2.4)
Năng lượng:
2222
12
12
2
()
, 1,2,3
2
nn
Enn
mL




(2.5)
 Trạng thái cơ bản:
12
1nn

 : Không suy biến. f = 1.

Năng lượng:
Năng lượng khi chưa có nhiễu loạn:
22
0
11
2
E
Lm



. (2.6)
Bổ chính bậc 1:

2
(1) 2 2
11
00
2
11| |11 sin sin
2
LL
xy
L
EV xdx dy
LLL





  



(2.7)
Năng lượng ở trạng thái cơ bản:
22
(1) (0) (1)
11 11 11
2
2
L
EE E
mL


 

(2.8)
Hàm sóng:
2
(, ) sin sin
x
y
xy
LL L





 Trạng thái kích thích thứ nhất:


12
1, 2nn
(0)
11212
22
(, ) (, ) () () sin( )sin( )
x
y
xy xy x y
LL L




  
(2.9)

12
2, 1nn.

(0)
22121
22
(, ) (, ) () () sin( )sin( )
x
y

xy xy x y
LL L




 
(2.10)

Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:
22
(0) (0)
12 21
2
5
2
EE
mL



(2.11)
Mức năng lượng này có bậc suy biến bằng 2.
*Xét nhiễu loạn suy biến:
Phương trình thế kỉ:
(1)
11 12 12
(1)
21 22 12
0

VE V
VVE



(2.12)

Với:

22
11 22
2
00
42L
12 | |12 sin sin y =
2
LL
xy
VV xdx d V
LLL


 



12
2
00
42 2

12 | | 21 sin sin sin sin y = 0
LL
xx yy
VV x dx d
LLLLL
 




Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (2.12) ta sẽ tìm
được bổ chính năng lượng nhiễu loạn bậc 1:
2
(1) (1)
12 12
LL
0
22
EE



 


(2.13)

Năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất:
22
(1) (1) (0) (1)

12 21 12 12
2
5L
22
EEE E
mL


 

(2.14)
* Hàm sóng bậc không:
(0) (0) (0)
11 2 2
CC



(2.15)
C
1
, C
2
thỏa:



(1)
11 12 1 12 2
(1)

21 1 11 12 2
0
0
VECVC
VC V E C

  


 


(2.16)
Điều kiện chuẩn hóa:
22
12
1CC (2.17)
Từ (2.13), (2.16) và (2.17):
1
(0)
2
1
(0)
2
0
22
sin sin
1
1
22

sin sin
0
C
x
y
C
LL L
C
x
y
C
LL L


























(2.20)

Câu b. Vẽ giản đồ năng lượng:
Trạng thái cơ bản:









Trạng thái kích thích thứ nhất:

Nhận xét: hình 4, hình 5 cho thấy rằng mức năng lượng ở cả hai trạng
thái, trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất bị dịch lên một khoảng
2
L

khi có nhiễu loạn nhưng không làm tách mức năng lượng. Chính vì vậy
trong trường hợp này không khử suy biến.
Bài 3.

Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:




 
0
0 0, , 0,
(, )
0, , 0,
Ly L
Vxy
Ly L





 



x
x

Giả sử nhiễu loạn:
f = 1

0V



0V


2
L


Hình 4. Dịch mức năng lượng trạng thái cơ bản
f = 2

0V 


0V


2
L


Hình 5. Dịch mức năng lượng trạng thái kích thích thứ nhất





 
xy 0, , 0,
(, )
0 0, , 0,
Ly L
Vxy
Ly L









x
x

a. Hãy xác định hàm sóng trạng thái dừng ở gần đúng bậc không và năng
lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái cơ bản và trạng thái
kích thích thứ nhất.
b. Vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có nhiễu loạn. Hãy chỉ rõ trạng
thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên hệ với nhau như thế nào.

Lời giải.
Câu a.
Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng:

22
0
22
(, ) (, ) ( ) (, ) (, )
2
HxyExy xyExy
mx y
 

 


(3.1)

Dùng phương pháp tách biến:

(, ) ().()
x
yXxYy


(3.2)
Ta thu được:
222
11
1

2
222
22
2
2
2
() sin( ) ;
2
2
() sin( ) ;
2
nx n
Xx E
L
LmL
ny n
Yy E
L
LmL














(3.3)

Hàm sóng:
12
2
( , ) sin( )sin( )
nx n y
xy
LL L




(3.4)
Năng lượng:
2222
12
12
2
()
, 1,2,3
2
nn
Enn
Lm





(3.5)
*Trạng thái cơ bản:
12
1nn: không suy biến. f = 1.
Năng lượng:
Năng lượng khi không nhiễu loạn:
22
(0)
11
2
E
Lm



. (3.6)
Bổ chính bậc 1:

2
2
(1) 2 2
11
00
2
11| |11 sin ( ) sin ( )
4
LL
xy
L

E V x y dxdy
LLL




  



(3.7)
Năng lượng tính đến bổ chính bậc 1:
22 2
(1) (0) (1)
11 11 11
2
4
L
EE E
mL


 

(3.8)

*Trạng thái kích thích thứ nhất:


12

1, 2nn
(0)
11212
22
(, ) (, ) () () sin( )sin( )
x
y
xy xy x y
LL L




 


12
2, 1nn.

(0)
221 21
22
( , ) ( ) ( ) sin( )sin( )
x
y
xy x y
LL L





 

Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất khi chưa tính đến nhiễu
loạn:
22
(1) (1)
12 21
2
5
2
EE
mL



(3.9)
suy biến có bậc bằng 2.
*Xét nhiễu loạn suy biến:
Phương trình thế kỉ:
(1)
11 12 12
(1)
21 22 12
0
VE V
VVE




(3.10)
Với:

2
22
11 22
2
00
42
12 | |12 sin sin y =
4
LL
xyL
VV xdxy d V
LL L


 



2
12 21
2 4
00
4 2 2 256
12 | | 21 sin sin sin sin y =
81
LL
xx yy L

VV x dxy d V
LLL LL
  


 


Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (3.10):
(1) 2 2
12
4
1 256
481
EL L



  (3.11)
Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:
22
22
24
(1) (1) (0) (1)
12 21 12 12
22
22
24
5 1 256
2481

5 1 256
2481
LL
mL
EEE E
LL
mL





















(3.12)
* Hàm sóng bậc không:

(0) (0) (0)
11 2 2
CC



(3.13)
C
1
, C
2
thỏa:



(1)
11 12 1 12 2
12
12
(1)
(1)
11
21 1 11 12 2
0
0
VECVC
V
CC
EV
VC V E C


  




 


(3.14)
Điều kiện chuẩn hóa:
22
12
1CC (3.15)
Từ (3.12), (3.14) và (3.15) ta thu được các giá trị của C
1
và C
2
.
*
(1) 2
4
1 1 512
()
2281
EL


 


(0) (0) (0)
12 1 2
11
22
CC

   
(3.16)
*
(1) 2
4
1 1 512
()
2281
EL


 

(0) (0) (0)
12 12
11
22
CC

    
(3.17)
Câu b. Vẽ giản đồ năng lượng:
Trạng thái cơ bản:

Trạng thái kích thích thứ nhất:















Nhận xét. Hình 6, hình 7 cho thấy rằng khi có nhiễu loạn, ở trạng thái cơ
bản mức năng lượng được dịch lên một lượng
2
(1)
11
4

L
E

 , ở trạng thái kích thích
thứ nhất mức năng lượng bị tách thành 2 mức, ứng với 2 hàm sóng, tính suy
biến bị khử hoàn toàn.

0V 


0V

(0)
11
E

(1)
E

(1) (0) (1)
EE E


Hình 6. Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản

0V 


0V


(0)
E

(1) (0) (1)
EE E



(1) (0) (1)
EE E


(1) 2
4
1256
481
EL







(1) 2
4
1256
481
EL








Hình 7. Tách mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất
Bài 4.
Xét hạt chuyển động trong trường thế 2 chiều:






  
0
0 0, , 0, , 0,
(, )
0, , 0, , 0,
Ly Lz L
Vxy
Ly Lz L





  



x
x


Hãy xác định năng lượng đến bậc 1 theo lý thuyết nhiễu loạn cho trạng thái
cơ bản và trạng thái kích thích thứ nhất. Nhận xét về tính suy biến và sự khử suy
biến. Giả sử nhiễu loạn:
a.





1
x 0,
()
0 0,
L
VVx
L










x
x


b.






 
2
xy 0, , 0,
(, )
0 0, , 0,
Ly L
VVxy
Ly L









x

x


c.








  
3
xyz 0, , 0, , 0,
(, )
0 0, , 0, , 0,
Ly Lz L
VVxy
Ly Lz L









x

x

Trong mỗi trường hợp hãy vẽ sơ đồ năng lượng khi không có và khi có
nhiễu loạn. Hãy chỉ rõ trạng thái không nhiễu loạn và trạng thái nhiễu loạn liên
hệ với nhau như thế nào.
Lời giải.
Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng:

222
0
222
(,) (,,) ( ) (,,) (,,)
2
H xy E xyz xyz E xyz
mx y z
  

 


(4.1)
Dùng phương pháp tách biến:
(, ,) ().(). ()
x
yz XxY y Zz


(4.2)
Ta thu được:
222

11
1
2
222
22
2
2
222
33
3
2
2
( ) sin ;
2
2
() sin ;
2
2
( ) sin ;
2
nx n
Xx E
LL mL
ny n
Yy E
LL mL
nz n
Zz E
LL mL






























(4.3)
Hàm sóng:

3/2
3
12
2
(, ) sin sin sin
nz
nx n y
xy
LLLL







(4.4)
Năng lượng:
22222
(0)
123
123
2
()
, , 1,2,3
2
n
nnn
Ennn
mL





(4.5)
 Trạng thái cơ bản:
123
1nnn

: không suy biến. f = 1.
Năng lượng ở trạng thái cơ bản khi chưa có nhiễu loạn:

22
(0)
111
2
3
2
E
mL



. (4.6)
Câu a.






1
x 0,
()
0 0,
L
VVx
L









x
x

Bổ chính bậc 1:

3/2
(1) 2 2 2
111
000
2
111| |111 sin sin sin
2
LLL
xy

zL
EV xdxdydz
LLLL




  



(4.7)
Năng lượng tính đến bổ chính bậc 1:
22
(1) (0) (1)
111 111 111
2
2
L
EE E
mL


 

(4.8)
 Trạng thái kích thích thứ nhất:

123
1, 1, 2nnn

3/2
1 112 1 1 2
22
( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) sin sin sin
x
yz
xyz xyz x y z
LLLL





 




12 3
1, 2, 1nn n .
3/2
121 121 1 2 1
22
(, ) (, ,) () () () sin sin sin
x
yz
xy xyz x y z
LLLL






 




123
2, 1, 1nnn.
3/2
3 211 2 1 1
22
(,) (,,) ()()() sin sin sin
x
yz
xy xyz x y z
LLLL





 



Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất khi chưa có nhiễu loạn:
22
(0)(0)(0)(0)

1 112 121 211
2
3
EEEE
Lm



(4.9)
Có bậc suy biến bằng 3.

*Xét nhiễu loạn suy biến:

Phương trình thế kỉ:
  
  
  
(1)
(1)
(1)
112 | 112 112 | 121 112 | 211
121 | 112 121 | 121 121 | 211 0
211 | 112 211 | 121 211 | 211
VE V V
VVEV
VVVE





(4.10)
Với:

 
3
22 2
000
22
112 | |112 sin sin sin =
2
121| |121 211| | 211
LLL
x
yzL
V x dx dy dz
LLLL
VV











    
3

22
00 0
22
112 | |121 sin sin sin y sin 0
112 | | 211 121| |111 112 | | 211 211| |112 211| |121
LL L
xyy z
Vxdxddz
LLLLL
VVVVV
 






 

Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (1):
3
(1) (1)
0
22
LL
EE



 



(4.11)
Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:
22
(1) (1) (1) (1) (0) (1)
1 112 121 211 1
2
5
22
L
EEEEE E
mL


 

(4.12)
Vẽ giản đồ năng lượng:
Trạng thái cơ bản:









Trạng thái kích thích thứ nhất:

Nhận xét: Mức năng lượng ở cả hai trạng thái, trạng thái cơ bản và trạng
thái kích thích thứ nhất đều bị dịch lên một khoảng
2
L

khi có nhiễu loạn


1
()VVx nhưng không làm tách mức năng lượng. Chính vì vậy trong trường hợp
này không khử suy biến.
Hình 8. Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản.
f = 1

0V 


0V


2
L



f = 2

0V



0V


2
L


Hình 9. Dịch mức năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất.
Câu b.






 
2
xy 0, , 0,
(, )
0 0, , 0,
Ly L
VVxy

Ly L









x
x

Bổ chính bậc 1:

3/2
2
(1) 2 2 2
111
00 0
2
111| |111 sin sin sin
4
LL L
xy
zL
EV xdxydydz
LLLL





  


 
(4.13)
Năng lượng tính đến bổ chính bậc 1:
22 2
(1) (0) (1)
111 111 111
2
4
L
EE E
mL


 

(4.14)
 Trạng thái kích thích thứ nhất:


123
1, 1, 2nnn
3/2
1 112 1 1 2
22
(, ,) (,,) () () () sin sin sin

x
yz
xyz xyz x y z
LLLL





 




12 3
1, 2, 1nn n .
3/2
121 121 1 2 1
22
(, ) (, ,) () () () sin sin sin
x
yz
xy xyz x y z
LLLL





 





123
2, 1, 1nnn.
3/2
3 211 2 1 1
22
(,) (,,) ()()() sin sin sin
x
yz
xy xyz x y z
LLLL





 



Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:
22
(0) (0) (0)
112 121 211
2
3
EEE

Lm



(4.15)
Trạng thái có bậc suy biến bằng 3

*Xét nhiễu loạn suy biến:
Phương trình thế kỉ:
  
  
  
(1)
(1)
(1)
112 | 112 112 | 121 112 | 211
121 | 112 121 | 121 121 | 211 0
211 | 112 211 | 121 211 | 211
VE V V
VVEV
VVVE




(4.16)
Với:

 
3

2
222
00 0
22
112 | |112 sin sin sin =
4
121| |121 211| | 211
LL L
x
yzL
Vxdxydydz
LLLL
VV








 



  
3
22
00 0
22

112 | |121 sin sin sin y sin 0
121| |112 112 | | 211 211| |112
LL L
xyy z
Vxdxddz
LLLLL
VVV
 






 




3
2
2
4
000
2 2 2 256
121| | 211 sin sin sin sin y sin
81
211| |121
LLL
x

xyyz L
V x dx y d dz
LLLLLL
V

 








Thay các phần tử ma trận vừa tính được vào phương trình (4.16):
22
(1)
4
22
222 2
(1) (1) (1)
4
22
(1)
4
256
481
256
0
4481 4

256
481
L
L
E
LLL L
EE E
L
L
E



 





 





   









 


(4.17)
Năng lượng của hạt ở trạng thái kích thích thứ nhất:
22 2 2
24
22 2
(1) (1) (1) (0) (1)
112 121 211 112
2
22 2 2
24
3 256
481
3
4
3 256
481
LL
mL
L
EEEE E
mL
LL
mL













 









(4.18)
Vẽ giản đồ năng lượng:
Trạng thái cơ bản:

Trạng thái kích thích thứ nhất:








0V 


0V

(0)
E

(1)
E

(1) (0) (1)
EE E



Hình 10. Dịch mức năng lượng ở trạng thái cơ bản