NGHIÊN CỨU RỐI LƯỢNG TỬ TRONG ĐỒNG VIỄN TẠO TRẠNG THÁI LƯỢNG TỬ VÀ CHỮ KÍ LƯỢNG TỬ

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy
giáo Nguyễn Văn Hợp, người đã luôn ủng hộ, động viên và cho em những lời
khuyên sâu sắc, quý báu trong suốt q trình thực hiện khóa luận này.
Em xin cảm ơn các thầy, các cơ trong khoa Vật Lí trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội, đặc biệt là các thầy cơ trong tổ Vật Lí Lí Thuyết đã tận tình giảng dạy, chỉ
bảo cho em trong suốt thời gian em học tập tại khoa.
Em xin cảm ơn các anh chị, các bạn trong khoa đã luôn giúp đỡ và cho em
nhiều lời khuyên, lời động viên chân thành, bổ ích, đã cho em được sống, học tập và
làm việc trong một môi trường thân thiện.
Em xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo trường, khoa đã tạo điều kiện tốt cho
chúng em học tập.
Cuối cùng, con xin cảm ơn gia đình đã ln ủng hộ và là chỗ dựa vững chắc
cho con trong suốt thời gian học tập.
Hà Nội, tháng 4, năm 2014
Sinh viên
Trần Thị Hương Thảo


MỤC LỤC


MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Thế kỉ 20, cơ học lượng tử có thể coi là một thành tựu trí tuệ của thời kì này.
Các tính chất của cơ học lượng tử đã giải thích được sự vận hành của laze,
transistor, kính hiển vi điện tử hay đi-ốt…. (các thiết bị điện tử không thể thiếu
trong xã hội hiện nay). Cơ học lượng tử đã tiên đốn về các tính chất của hạt cơ bản
phù hợp với các phép đo thực nghiệm.
Dù vậy, ngay từ đầu, cơ học lượng tử đã khơng được cơng nhận là một lí
thuyết đầy đủ với tất cả các nhà vật lí. Einstein-nhà vật lí lỗi lạc của mọi thời đại đã

phủ nhận tính đầy đủ của lí thuyết này. Đối với ơng ln ln tồn tại một hiện thực
khách quan độc lập với nhận thức của chúng ta dù ở cấp độ vi mô hay vĩ mơ. Ơng
phủ nhận tính xác suất của sự tồn tại các trạng thái lượng tử với quan điểm”Chúa
không chơi xúc sắc”. Đặc biệt năm 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky và
Nathan Rosen thường được gọi là nhóm EPR đã đề xuất nghịch lý EPR (EPR
paradox) trên bài báo mang tên “Can quantum- mechanical description of physical
reality be considered complete?” ( Liệu sự mơ tả thực tại vật lí bằng cơ học lượng
tử có thể xem là đầy đủ hay khơng? ). Nội dung của nghịch lý có thể tóm tắt như
sau: người ta có thể chế tạo một cặp hạt rối lượng tử. Tách hai hạt ra xa nhau, khi
đo tọa độ của hạt thứ nhất thì sẽ biết được tọa độ của hạt thứ hai, vì chúng được rối
với nhau. Ngay sau đó, đo xung lượng của hạt thứ hai ta lại có thể biết được xung
lượng của hạt thứ nhất. Như thế ta có thể đồng thời đo được chính xác tọa độ lẫn
xung lượng của mỗi hạt, điều này trái với nguyên lý bất định Heisenberg của cơ học
lượng tử.
Mãi đến năm 1964, John Bell đưa ra một bất đẳng thức (Bell’s inequality)
chỉ ra rằng dạng tham số ẩn mà EPR nghĩ tới khơng tương thích với những quan sát
của chúng ta.
Tuy nhiên, rối lượng tử lần đầu được đưa ra bởi EPR là một tài nguyên quý
giá trong việc phát triển các công nghệ lượng tử như: mật mã lượng tử (quantum
cryptography), điện toán lượng tử (quantum computing), viễn chuyển trạng thái
lượng tử (quantum teleportation),...Chúng được nhắc đến như những điều kì lạ song
những điều kì lạ này lại xuất hiện như những điều kì diệu trong khoa học và công

1


nghệ thông tin lượng tử, một lĩnh vực đang thực sự thu hút đông đảo các nhà khoa
học trên thế giới trong những thập niên gần đây.[2]
Khoa học thông tin kết hợp và dựa trên các quy luật của vật lí, tốn học,
khoa học máy tính và kĩ thuật. Những nguyên tắc cơ bản của lí thuyết lượng tử

được áp dụng vào đó cho phép thơng tin được mã hóa trong các trạng thái lượng tử
có tính chất kì lạ. Song, những nghiên cứu gần đây về lí thuyết đã mang đến rất
nhiều ngạc nhiên. Sự phát triển bùng nổ của khoa học thơng tin gần đây có thể quy
cho là sự hội tụ của hai yếu tố. Thứ nhất, lí thuyết thơng tin cổ điển do Shannon
phát minh ra năm 1948 là một nhánh của toán học ứng dụng và kĩ thuật điện, ngay
từ những ngày đầu nó đã mở rộng phạm vi ứng dụng ra nhiều hướng khác nhau như
xử lí thơng tin, mật mã học,… tuy đã đạt được thành cơng nhưng khơng thể phủ
nhận rằng nó cịn có rất nhiều hạn chế và chính những hạn chế đó đã đặt nền móng
cho sự ra đời của lí thuyết thơng tin lượng tử. Thứ hai, sự phát triển của khoa học
cơng nghệ kèm theo đó là sự xuất hiện của nhiều phịng thí nghiệm hiện đại, tinh vi
có khả năng thực hiện các thao tác và kiểm chứng các hiệu ứng lượng tử tác động
lên các trạng thái lượng tử đã thực sự có sức lơi cuốn mạnh mẽ các nhà khoa học
tham gia nghiên cứu trên lĩnh vực này. Nổi bật nhất là giải Nobel vật lí năm 2012
giành cho Serge Haroche và David J.wineland, những người đã phát minh ra các
phương pháp để thực hiện các thao tác cần thiết trên các hạt hoặc các hệ lượng tử
riêng lẻ mà vẫn bảo toàn được bản chất lượng tử của chúng, mở ra một kỉ nguyên
mới cho các nghiên cứu sâu rộng về thông tin lượng tử.
Vào năm 1937, George Stibitz đã chế tạo ra chiếc máy vi tính đầu tiên sử
dụng hệ đếm nhị phân, hay mã nhị phân, để thực hiện tính tốn số học. Mã nhị phân
dùng hai con số là 0 và 1. Hiện nay, máy vi tính ngồi khả năng tính tốn phức tạp,
chính là cơ sở hạ tầng của dịch vụ viễn thông. Viễn thông là việc truyền dẫn thông
tin qua một khoảng cách đáng kể về mặt địa lí. Một hệ thống viễn thơng bao gồm ba
thành phần chính: bộ phát nhận thơng tin mã hóa thơng tin thành dạng tín hiệu, mơi
trường truyền dẫn truyền tín hiệu đi và bộ thu nhận tín hiệu giải mã thành thơng tin
ban đầu. Hiện nay, môi trường truyền dẫn đang được sử dụng là vô tuyến, sợi
quang kết hợp với vệ tinh thông tin và internet. Tập hợp các bộ phát, bộ thu thông
tin với nhau được gọi là một mạng. Mạng thông tin bao gồm bộ phận tổng đài dùng

2

để thiết lập kết nối. Khi truyền tín hiệu dưới dạng bit cổ điển thì nó có thể dễ dàng
bị đọc và sao chép trộm một cách y nguyên mà khơng bị phát hiện, thơng qua hệ
thống tổng đài vì vậy truyền thơng cổ điển là một q trình khơng an tồn.
Năm 1982, Feynman đã chỉ ra rằng vật lí lượng tử không thể được mô tả một
cách hiệu quả bởi máy tính cổ điển, ơng nghĩ đến một loại máy tính có hoạt động
trên ngun tắc của cơ học lượng tử sẽ giải quyết được những vấn đề khó mà máy
tính số bình thường khơng thực hiện được. Đến năm 1985 David Deutsch dựa vào
tính chất lượng tử song song đã chỉ ra sự tồn tại của máy tính lượng tử với việc xử lí
thơng tin được mã hóa trong các bit lượng tử một cách hoàn hảo. Hơn thế nữa, lí
thuyết lượng tử cịn cho phép tồn tại một trạng thái đặc biệt của các qubit đó là
trạng thái rối lượng tử, một tính chất lạ lùng, một mối tương quan phi định xứ vô
cùng tinh tế giữa các phần của một hệ lượng tử, điều mà trong lí thuyết cổ điển
khơng có được. Các hạt được rối với nhau có những tính chất thật đặc biệt: Một
phép đo trên hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dù
chúng ở cách xa bao xa. Đáng kinh ngạc hơn, các hạt lượng tử có thể rối với nhau
cho dù trước đó chúng khơng hề có sự tương tác thơng qua hiện tượng tráo rối
lượng tử (entanglement swapping). Cách đây vài thập niên, rối lượng tử trở thành
một chủ đề nghiên cứu chuyên sâu của các nhà khoa học quan tâm đến lí thuyết
lượng tử và trở thành một nguồn tài nguyên vô cùng có giá trị được các nhà khoa
học khai thác một cách hữu ích, nó là điều kiện cần để có thể hồn thành nhiều
nhiệm vụ mang tính chất khơng tưởng, ví dụ như: mật mã lượng tử, Viễn chuyển
trạng thái lượng tử (VCTTLT) hay chia sẻ bí mật thơng tin lượng tử…
Hiện nay, vấn đề bảo mật và truyền tải thơng tin là vơ cùng quan trọng. Cũng
vì đó mà các nhà khoa học đã khơng ngừng tìm kiếm những cách thức để thơng tin
được an tồn tuyệt đối khi truyền đi. Các giao thức bảo mật thông tin đã ra đời.
Giao thức bảo mật hiện đại được khám phá đầu tiên là mật mã lượng tử. Một công
nghệ bảo mật thông tin truyền đi bằng truyền thông quang, thông qua sợi quang
học. Mật mã lượng tử là loại mật mã dựa vào các quy luật của tự nhiên, do đó đây là
loại mật mã khơng thể tấn cơng bằng các sức mạnh tính tốn. Cho dù mục đích ra

đời của nó là chống lại những hiệu ứng của máy tính lượng tử nhưng thật kì diệu
bởi mật mã lượng tử đã được hiện thực hóa thành cơng trước cả sự ra đời của máy

3


tính lượng tử. Giao thức đã được tiến hành thành công vào năm 1991 trên đường
truyền dài 32 cm theo thể thức BB84.[1,10]
Đầu năm 2012, các nhà nghiên cứu châu Âu đã sử dụng laser để truyền thành
công một photon giữa hai hòn đảo, cùng nằm trong quần đảo Canary. Đúng vào lúc
chùm laser mất đi ở quần đảo này thì một chùm laser giống hệt nó lại xuất hiện ở
một quần đảo khác cách đó 143 km, nên người ta thấy rằng chùm sáng đã được di
chuyển tức thời. Các nhà khoa học gọi đó là Viễn chuyển trạng thái lượng tử.
Viễn chuyển trạng thái lượng tử (VCTTLT) là một giao thức được đề xuất
lần đầu tiên bởi Bennet cùng với 5 cộng sự của ông vào năm 1993. Thành phần
chính của VCTTLT là một kênh rối lượng tử và một phép đo Bell, kết hợp với kênh
truyền tin cổ điển. Để hiểu rõ hoạt động của giao thức này chúng ta xét một bài
toán. Alice và Bob là hai người sống ở hai nơi khác biệt, khi còn ở với nhau họ đã
tạo chung với nhau một cặp rối. Nhiều năm sau đó, Alice được giao nhiệm vụ
chuyển cho Bob một trạng thái lượng tử an toàn và nguyên vẹn. Cả Alice và Bob
đều không biết về trạng thái này và Alice cũng không thể gửi trực tiếp trạng thái
này qua kênh truyền cho Bob được vì có thể bị thất lạc hoặc nghe trộm. May mắn
rằng họ đã tạo với nhau một cặp rối từ trước nên nhiệm vụ này có thể hồn thành
bằng việc Alice gửi đi một lượng nhỏ bit cổ điển từ kết quả phép đo của cô ấy. Sau
khi nhận được kết quả, Bob chỉ cần thực hiện các thao tác địa phương là thu được
trạng thái cần gửi. Đến đây, nhiệm vụ của Alice đã hồn thành.
Chúng ta có thể đặt ra tình huống điều gì sẽ xảy ra nếu Alice biết trạng thái
cần gửi? Một giao thức mới đã ra đời, đó là Viễn tạo trạng thái lượng tử (VTTTLT).
Tuy nhiên, trong VTTTLT, mọi thông tin đã được để lộ cho Alice biết, khả năng
thơng tin bị rị rỉ là rất cao. Khắc phục điều này, đảm bảo thông tin được an tồn

tuyệt đối, một ý tưởng mới ra đời đó là ta sẽ thêm người gửi, tức là ít nhất sẽ gồm
hai người gửi, giả sử bao gồm Alice và Charlie. Thông tin của trạng thái cần gửi sẽ
được tách ra làm hai phần theo một quy tắc nhất định nào đó, mỗi một người tham
gia gửi sẽ biết duy nhất một phần thơng tin đó. Trong trường hợp này thay vì thực
hiện phép đo Bell lên qubit của mình. Người gửi sẽ thực hiện các phép đo von
Neumann trên qubit của mình dựa trên hệ cơ sở phụ thuộc vào thông tin của trạng

4


thái gốc. Nhờ vậy thông tin được đảm bảo an toàn tuyệt đối. Giao thức được thực
hiện như trên gọi là Đồng viễn tạo trạng thái lượng tử (ĐVTTTLT).[2]
Để hoàn thành bài toán truyền tin theo phương thức ĐVTTTLT, những
người gửi và người nhận ban đầu cũng phải được chia sẻ với nhau những trạng thái
rối giống như một nguồn tài ngun khơng thể thiếu cho q trình thực hiện. Các
nguồn rối là vơ cùng phong phú, họ có thể tạo với nhau các cặp rối EPR, trạng thái
rối Greenberger-Home-Zeilinger(GHZ) hay trạng thái W,… Việc tạo và phân phối
rối lượng tử là một vấn đề rất khó và thực sự tốn kém. Việc tạo rối đôi đơn giản và
dễ thực hiện hơn rất nhiều so với việc tạo các bộ rối nhiều thành phần hơn, bởi các
thao tác kiểm tra khi phân phối rối cho hai người bao giờ cũng đơn giản và ít tốn
kém hơn, do đó, việc sử dụng nó là đơn giản nhất và có lợi thế hơn về kinh tế.
Người ta cũng thấy rằng việc tạo rối EPR là ít tốn kém về kinh tế hơn các loại rối
khác [1].
Xác suất thành công của giao thức là vấn đề quan trọng, nó phụ thuộc vào loại
rối được chọn. Trong khóa luận này, chúng tơi sẽ trình bày “ Sự phụ thuộc của xác
xuất thành công trong đồng viễn tạo trạng thái lượng tử vào sự lựa chọn nguồn rối ”
Mật mã lượng tử xuất hiện kéo theo sự xuất hiện của nhiều đề án, một trong
các đề án đó là “ chữ kí số ”.
Con người đã sử dụng các hợp đồng dưới dạng điện tử từ hơn 100 năm nay với
việc sử dụng mã Morse và điện tín. Tuy nhiên, chỉ với những phát triển của khoa học

kỹ thuật gần đây thì chữ ký điện tử mới đi vào cuộc sống một cách rộng rãi.
Hiện nay, chữ ký điện tử có thể bao hàm các cam kết gửi bằng email, nhập
các số định dạng cá nhân (PIN) vào các máy ATM, ký bằng bút điện tử với thiết bị
màn hình cảm ứng tại các quầy tính tiền, chấp nhận các điều khoản người dùng
(EULA) khi cài đặt phần mềm máy tính,ký các hợp đồng điện tử online...
Chúng ta có bài tốn sau:
Alice muốn gửi thơng tin cho Bob và muốn Bob biết thơng tin đó thực sự do
chính Alice gửi. Alice gửi cho Bob văn bản kèm với chữ ký số. Chữ ký này được
tạo ra với khóa bí mật của Alice. Khi nhận được văn bản, Bob kiểm tra sự thống
nhất giữa văn bản và chữ ký bằng thuật toán kiểm tra sử dụng khóa cơng khai của
Alice. Bản chất của thuật tốn tạo chữ ký đảm bảo nếu chỉ cho trước văn bản, rất

5


khó (gần như khơng thể) tạo ra được chữ ký của Alice nếu khơng biết khóa bí mật
của Alice. Nếu phép thử cho kết quả đúng thì Bob có thể tin tưởng rằng văn bản
thực sự do Alice gửi.
Thông thường, Alice khơng mật mã hóa tồn bộ văn bản với khóa bí mật mà
chỉ thực hiện với giá trị bất kì của văn bản đó. Điều này khiến việc ký trở nên đơn
giản hơn và chữ ký ngắn hơn. Tuy nhiên, nó cũng làm nảy sinh vấn đề khi hai văn
bản khác nhau lại cho ra cùng một giá trị băm. Đây là điều có thể xảy ra mặc dù xác
suất rất thấp.[3]
Vật lý của các hệ lượng tử sẽ mở ra một cánh cửa về khả năng hấp dẫn cho
mật mã, vẽ ra và truyền tải khoa học trong sự hiện diện của kẻ tấn cơng. Một mục
tiêu chính của mật mã cổ điển là để xác nhận nguồn gốc của văn bản. Giống như
một chữ ký viết tay trên tài liệu giấy, một chữ ký số xác nhận một tài liệu điện tử và
đảm bảo rằng nó đã không bị giả mạo. Tầm quan trọng của kỹ thuật số chữ ký để
thương mại điện tử hiện đại mà Rivest đã viết " chúngcó thể được chứng minh là
một trong những phát minh cơ bản và hữu ích của mật mã hiện đại ". Sự an toàn của

tất cả các cách thức chữ ký kỹ thuật số khóa cơng khai phụ thuộc vào sự bất lực của
kẻ giả mạo, để giải quyết các vấn đề tốn học khó, chẳng hạn như sự phân tích
thành thừa số các số lớn. Khơng may, với một máy tính lượng tử, sự phân tích thành
thừa số trở nên dễ kiểm sốt, do đó cho phép chữ ký bị giả mạo.[8]
Chữ kí số phát triển rất mạnh, một văn bản vừa không bị quên bởi người
nhận, vừa khơng bị tấn cơng. Sự an tồn của chữ kí số phải dựa trên cơ sở là máy
điện tốn phức tạp ví dụ như EIGamal và DSA.Tuy nhiên, nó có thể bị tấn cơng bởi
mối đe dọa vào máy tính số và sự nổi bật của máy tính lượng tử là sự phân phối dễ
dàng. Trong mật mã lượng tử, chúng ta có thể giảm sự phức tạp, ví dụ, vấn đề phân
tích thừa số nhanh hơn, với nguồn năng lượng nhỏ hơn mật mã cổ điển bởi sử dụng
trạng thái lượng tử song song.
Khác với mật mã cổ điển, mật mã lượng tử có cơ sở là những tính chất vật lí,
ví dụ, người nghe trộm có thể dị ra sự đổ sập của trạng thái lượng tử trong q trình
đo. Thơng tin về chữ kí lượng tử (QMS) là một công nghệ mà kết hợp lí thuyết
lượng tử với mật mã cổ điển và tận dụng kết quả đo lượng tử để hoàn thành tuyệt
đối an toàn.

6


Zeng đã nghiên cứu về phân phối thông tin chữ kí lượng tử trên bộ ba trạng
thái GHZ, nhưng đề án của ông thuộc về cách phân xử phân phối chữ kí, đó là một
người trọng tài đáng tin cậy và chỉ có một người kí. Lee đã từng đề xuất đề án chữ
kí lượng tử với phục hồi văn bản, một cách phân chia sử dụng một bảng công khai.
Cách phân chia của ông ta, cung cấp thêm một lợi ích của người trọng tài và có thể
chữ kí chỉ được kí bởi một người. Trong đề án chữ kí này, người trọng tài như một
hệ thống chỉ đạo có thể lấy thơng tin nội dung văn bản. Vì vậy, sự an toàn của
người xác nhận sự phân phối chữ kí phụ thuộc nhiều vào tính chất đáng tin cậy của
người trọng tài. Hơn nữa, sự tồn tại của người trọng tài sẽ giảm bớt hiệu quả truyền
thông tin của phương thức.

Viễn chuyển trạng thái lượng tử có vai trị quan trọng trong cơng nghệ truyền
thơng tin lượng tử, nó phát minh bởi Bennett và phát triển bởi nhiều nhà khoa học
khác. Sự phân phối trong viễn chuyển trạng thái lượng tử được thực hiện một cách
rất thận trọng lần đầu tiên xuất hiện bởi Karlsson và Bourennane. Đó là một ý tưởng
tương tự (giống) với cách chia sẻ bí mật lượng tử, được đưa ra bởi Hillery, tùy theo
sự phân phối của họ, bao gồm ba người tham gia, cho nên kênh lượng tử được quản
lí bởi những người tham gia này, trạng thái ban đầu không thể được chuyển trừ phi
tất cả ba người tham gia cùng đồng ý.[5]
Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày một giao thức cho thơng tin chữ kí
lượng tử với trạng thái GHZ và sự điều khiển của viễn chuyển lượng tử. Điểm đặc
biệt trong giao thức này là văn bản có thể được kí bởi nhiều người và nó khơng dựa
vào người trọng tài.
Tuy được đánh giá cao nhưng giao thức này vẫn bị tấn công bằng nhiều cách
khác nhau trong đó có sự tấn cơng bằng hạt rối phụ trợ [11]. Trong khá luận này
chúng tơi sẽ trình bày phương thức mới đảm bảo sự an tồn của thơng tin trước sự
tấn công của hạt rối phụ trợ.
2. Phương pháp nghiên cứu:
Để giải quyết các vấn đề đặt ra chúng tôi sử dụng các lý thuyết sau:
1/ Cơ học lượng tử.
2/ Định lí khơng thể nhân bản trạng thái lượng tử.
3/ Các cổng logic lượng tử.

7


4/ Phép đo lượng tử.
3. Ý nghĩa thực tiễn:
Đánh giá sự phụ thuộc của xác suất thành công trong đồng viễn tạo trạng thái
lượng tử vào rối lượng tử
Nghiên cứu giao thức viễn chuyển chữ kí lượng tử, cách tấn công bằng hạt

rối phụ trợ và đề xuất giao thức mới đảm bảo sự an toàn của viễn chuyển chữ kí
lượng tử trước sự tấn cơng của hạt rối phụ trợ.
4.Bố cục
Bố cục của khóa luận gồm 3 chương:
● Chương 1: Các khái niệm cơ bản (giới thiệu các khái niệm cơ bản cần
thiết cho việc tính tốn ở các phần sau)
● Chương 2: Sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo
trạng thái lượng tử vào sự lựa chọn nguồn rối ( thế nào là Đồng viễn tạo trạng
thái lượng tử và sự phụ thuộc của xác xuất thành công trong đồng viễn tạo trạng
thái lượng vào sự lựa chọn nguồn rối )
● Chương 3: Viễn chuyển chữ kí lượng tử ( Chúng tơi trình bày về chữ kí
lượng tử, viễn chuyển chữ kí lượng tử và cách tấn công bằng hạt rối phụ trợ, đề xuất
giao thức mới chống lại sự tấn công của giao thức hạt rối phụ trợ ).

8


Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Nguyên lí chồng chất trạng thái
Các nguyên tử và các hạt vật chất có kích thước nguyên tử ( 10 −10 m ) tuân
theo một tập hợp quy tắc gọi là cơ học lượng tử. Sự khác biệt giữa cơ học lượng tử
và cơ học cổ điển là ở chỗ hệ có thể đồng thời tồn tại ở mọi trạng thái có thể có của
chúng. Đó chính là nội dung của ngun lí chồng chất trạng thái.
Nguyên lí chồng chất trạng thái dẫn đến một định lí quan trọng là định lí
khơng nhân bản và cũng ảnh hưởng đến các phép đo lượng tử. Sự chồng chất bị phá
vỡ khi một hệ lượng tử được đo, vì tác dụng đo đã đưa hệ vào một trạng thái cụ thể.
Ví dụ như một nguyên tử hoặc một photon, có thể tồn tại trong hai hoặc nhiều trạng
thái lượng tử cho đến khi có một phép đo được thực hiện trên nó. Hơn nữa, xác suất
đo được hệ ở một trạng thái bằng bình phương modun hệ số của trạng thái đó, điều

này là sự khác biệt cơ bản giữa cơ học lượng tử và cơ học cổ điển. Cụ thể, một hệ
lượng tử có thể ở trạng thái ψ 1 hoặc trạng thái ψ 2 , theo ngun lí chồng chất
trạng thái thì hệ có thể ở trạng thái là chồng chất của hai trạng thái trên
ψ = c1 ψ 1 + c2 ψ 2

Khi ta thực hiện phép đo lên trạng thái ψ , kết quả đo trạng thái ψ 1 là A1
thì xác suất thu được kết quả A1 là P = c1
1

2

và sau phép đo hệ lập tức đổ sập về

trạng thái ψ 1 . Tương tự, khi ta thực hiện phép đo lên trạng thái ψ , kết quả đo
2
trạng thái ψ 2 là A2 thì xác suất thu được kết quả A2 là P2 = c2 và sau phép đo hệ

lập tức đổ sập về trạng thái ψ 2 .
1.2 Bit lượng tử
Bit lượng tử (quantum bit) [1,2] hay qubit được xem là khái niệm cơ bản và
quan trọng nhất trong lĩnh vực khoa học thông tin lượng tử. Qubit sử dụng để lưu
trữ, truyền tải và xử lý thông tin trên nền tảng lý thuyết lượng tử.
Bit lượng tử tuân theo nguyên lí cơ bản của cơ học lượng tử đó là nguyên lý
chồng chập nên tạo ra rối lượng tử. Bit cổ điển chỉ có thể ở một trong hai trạng thái

9


là 0

hoặc 1 nhưng trạng thái của qubit là chồng chập tuyến tính của hai trạng

thái 0 và 1
1
0
0 =  ÷; 1 =  ÷.
0
1

(1.1)

Trạng thái lượng tử của qubit là một vectơ đơn vị trong không gian Hilbert
hai chiều được biểu diễn dưới dạng
Ψ
Ψ

hay

=α 0 0 + β 1 0,

(1.2)

α 
=  ÷,
β 

(1.3)

0

0

với các thơng số α , β là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa

Ψ Ψ = 1 , α 2 + β 2 = 1 và

{ 0 ,1}

làm thành một hệ cơ sở trực chuẩn trong

khơng gian đó.
Do α , β là các số phức, nên ta có thể viết (1.2) dưới dạng:
Ψ

0

= rα eiφα 0 0 + rβ e

iφβ

1 0,

(1.4)

với rα , rβ ,φα , φβ là các thông số thực. Nhân thêm cả hai vế (1.4) với e − iφα :
Ψ'

0

= rα 0 0 + rβ e

(

− i φβ −φα

)

10

= rα 0 0 + rβ e −iφ 1 0 .
Ψ'

0

(1.5)

= z 0 0 + ( x + iy ) 1 0 ,

(1.6)

Sử dụng phép biến đổi trong hệ tọa độ cầu :
 x = r sin θ cosϕ

 y = r sin θ sin ϕ .
 z = r cos θ


(1.7)

với đường tròn đơn vị r = 1.Thay (1.6) vào (1.7) ta có:

Ψ'

0

= cos θ 0 0 + sin θ ( cosϕ + i sin ϕ ) 1 0
= cos θ 0 0 + eiϕ sin θ 1 0 .

(1.8)

10


Mặt khác:
θ =0⇒ ψ'

θ=

π
⇒ ψ'
2

= 0 0,

0

0

(1.9)

= e iϕ 1 0 .

(1.10)

Nên ta biểu diễn trạng thái qubit như sau:
ψ

0

= cos

θ
θ
0 0 + sin eiϕ 1 0 ,
2
2

(1.11)

với các thông số θ , ϕ là những thông số thực.( 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π )
Như vậy, không gian hai chiểu của các trạng thái lượng tử một qubit được
biểu diễn trực quan qua mặt cầu đơn vị, gọi là mặt cầu Bloch.
Các tham số θ , ϕ xác định một điểm trên quả cầu đơn vị gọi là quả cầu
Bloch. Mỗi trạng thái của qubit được biểu diễn bằng một điểm trên mặt quả cầu.
Trạng thái của bit cổ điển chỉ có thể nằm trên hai cực Nam và Bắc của quả cầu
Bloch còn trạng thái của qubit là tổ hợp tuyến tính của cả hai trạng thái đó nên nó
nằm tại mọi điểm trên quả cầu, được minh họa trên hình vẽ (1.1)

Hình 1.1 : Quả cầu Bloch có bán kính đơn vị được dùng để biểu diễn hình học cho
qubit. Vị trí của mỗi qubit được xác đinh thông qua hai tham số θ , ϕ .
Bất kì hệ lượng tử nào có hai trạng thái tồn tại cũng có thể dùng để biểu diễn

qubit trong thực tế. Ví dụ, trong quang lượng tử khi đối tượng nghiên cứu là số hạt

11


photon thì qubit được biểu diễn bởi trạng thái Fock của chúng. Cụ thể, một số hình
thái của qubit được thể hiện trên bảng :

Hệ lượng tử

0

Photon

tính

1

Ngang

Tính chất vật lý
Phân cực tuyến

Dọc

Photon

Trạng thái Fock

Electron

Chấm lượng tử
Nguyên tử Hidro

Hình chiếu spin
Spin
Mức năng lượng

Trạng thái một

Chân khơng
Lên
Xuống
Mức cơ bản

photon
Xuống
Lên
Mức kích thích

Bảng 1.1: Các hình thái vật lý của qubit
1.3 Rối lượng tử
Rối lượng tử (vướng víu lượng tử) [1,2] là một trong những đối tượng thú vị
nhất trong cơ học lượng tử. Sự rối xảy ra khi một cặp hạt, ví dụ như electron và
proton, có liên kết thực chất với nhau. Trong đó, trạng thái lượng tử của hai hay
nhiều vật thể có liên hệ với nhau, dù cho chúng có nằm cách xa nhau. Trong lý
thuyết cổ điển, các hệ con sẽ hoàn toàn độc lập với nhau nếu chúng khơng có sự tác
động của bên ngồi liên kết chúng lại, tính chất này cũng đúng với các hệ lượng tử
khi chúng nằm trong những trạng thái hoàn toàn tách rời. Tuy nhiên, nếu các hệ
lượng tử không bị tách rời hay nói cách khác là chúng được rối với nhau thì chúng
sẽ khơng cịn tồn tại độc lập với nhau nữa, mỗi tác động lên hệ con này sẽ có ảnh

hưởng tức thời đến các hệ con kia. Vậy hệ lượng tử như thế nào được gọi là rối?
Ta xét trạng thái lượng tử của N ( N ≥ 2 ) qubit xác định trong không gian
H = H1 ⊗ H 2 ⊗ .... ⊗ H N có dạng
Φ

12... N

(

= α1 00...00 + α 2 00...01 + ... + α 2N 11...11

)

12... N

,

(1.12)

N
với các thông số α i ( i = 1, 2,..., 2 ) là các số phức thỏa mãn điều kiện chuẩn

hóa

∑

2

α = 1 . Nếu trạng thái Φ
i =1 i

2N

Φ

12... N

= Φ1 1 ⊗ Φ 2

2

12...N

⊗ ... ⊗ Φ n

thỏa mãn điều kiện:
N

12

,

(1.13)


Φ i i ∈ H i thì trạng thái Φ

với

12...N

được gọi là trạng thái tích hay trạng

thái rời của N qubit. Còn ngược lại nếu
Φ

≠ Φ1 1 ⊗ Φ 2

12... N

thì Φ

12...N

2

⊗ ... ⊗ Φ n

,

N

(1.14)

được gọi là trạng thái rối N qubit.

Sau đây ta xét trường hợp trạng thái hai qubit:

{0

1

, 1 1} ,{ 0 2 , 1 2 } lần lượt là các hệ cơ sở trực chuẩn một qubit trong hai

không gian H1 và H2.
Không gian H1 ⊗ H2 xác định trạng thái hai qubit có các vectơ cơ sở như
sau

{0

1

0 2 , 0 1 1 2 , 1 1 0 2 , 1 1 1 2 } . Khi đó trạng thái tổng quát của hai qubit

được viết dưới dạng

ϕ = α 00 + β 01 + γ 10 + δ 11 ,

(1.15)

với α , β , γ , δ là các số phức bất kì thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
2

2

2

2

α + β + γ + δ = 1.
Xét trạng thái (1.15) trong một vài trường hợp cụ thể sau:

Nếu β = γ = 0 , α = δ = 1
•
2
thì trạng thái ϕ sẽ được viết thành:

ϕ =

1
1
00 +
11 .
2
2

(1.16)

Ta dễ dàng chứng minh (1.16) là một trạng thái rối. Thật vậy, giả sử ta viết
trạng thái ϕ dưới dạng tích:

ϕ = (α' 0 + β' 1

)(γ

'

0 +δ ' 1

)

= ( α 'γ ' 00 + α 'δ ' 01 + β 'γ ' 10 + β 'δ ' 11 ) .

Để thỏa mãn đẳng thức ta phải có
13

(1.17)


α 'δ ' = β 'γ ' = 0 .

(1.18)

Tuy nhiên, mọi trường hợp đều không thỏa mãn và
ϕ ≠ (α ' 0 + β ' 1 )(γ ' 0 + δ ' 1 ) .

Nếu γ = δ = 0,α ' = β ' = 1 ,
•
2
thì ta có

ϕ =

1
( 00 + 01 ) .
2

(1.19)

ϕ =

1
0 ⊗( 0 + 1 ) ,

2

(1.20)

Mặt khác:

do vậy (1.19) là một trạng thái rời.
Các hạt được rối với nhau có những tính chất đặc biệt, đó là: một phép đo
trên hạt này ngay lập tức ảnh hưởng đến trạng thái của hạt kia cho dù chúng ở cách
xa nhau.
Xét trạng thái rời có dạng (1.19). Khi ta thực hiện phép đo lên qubit thứ nhất
ở trạng thái 0 . Kết quả này xảy ra với xác suất :
Pr 0 =

1 1
+ = 1.
2 2

(1.21)

Sau phép đo trạng thái (1.19) bị suy sụp thành:

ϕ' =

1

2 00 + 1

2 01

(1 2) + (1 2)
2

2

=

=ϕ

1
( 00 + 01
2

)
(1.22)

'
Do ϕ = ϕ , nên phép đo lên qubit thứ nhất không làm ảnh hưởng phép đo

qubit thứ hai ở trạng thái 0 .
Xét trạng thái rối (1.19), khi ta thực hiện phép đo lên qubit thứ nhất ở trạng
thái 0 . Kết quả này xảy ra với xác suất :

14


Pr 0 =

1
2

(1.23)

Sau phép đo trạng thái (2.24) bị suy sụp thành:

ϕ '' =

1

2 00

(1 2)

2

= 00
(1.24)

Giả sử sau đó ta thực hiện tiếp phép đo trạng thái 1 ở qubit thứ hai thì rõ
ràng xác suất của kết quả này Pr1 = 0 . Vậy ở trạng thái rối (1.19), mỗi phép đo lên
qubit thứ nhất đều ảnh hưởng đến kết quả lên qubit lại, mặc dù chúng ở xa nhau.
Trạng thái (1.19) chính là một trong bốn cặp rối EPR. Bốn trạng thái EPR
được viết đầy đủ ra như sau:
φ+ =

1
( 00 + 11 )
2

(1.25)

φ− =

1
( 00 − 11 )
2

(1.26)

ψ+ =

1
( 01 + 10
2

)

(1.27)

ψ− =

1
( 01 − 10
2

)

(1.28)

Hiện nay, các nhà khoa học đã tìm ra được rất nhiều hệ lượng tử nguyên tử

có thể đưa vào một trạng thái rối với nhau. Hai nhóm vật lí độc lập nhau lần đầu
tiên thành công trong việc làm vướng víu một đơn photon với một spin đơn electron
chứa trong một chấm lượng tử. Thí nghiệm do các nhà vật lí ở Anh tiến hành, được
thực hiện ở nhiệt độ phòng. Hai viên kim cương đặt cách nhau 15 cm đã được đưa
vào một trạng thái rối lượng tử. Các nhà vật lí ở Áo vừa phá kỉ lục về các qubit, làm
rối thành công 14 qubit ion calcium, phá vỡ kỉ lục trước đây của họ làm vướng víu
8 qubit. Những xung ánh sáng gồm khoảng 100.000 photon rối với nhau đã được
tạo ra bởi các nhà vật lí ở Đức và Nga. Một nhóm nghiên cứu quốc tế khẳng định đã
tiến thêm một bước thiết yếu hướng đến sự điện toán lượng tử gốc silicon bằng cách
làm rối 10 tỉ cặp electron và hạt nhân phospho bên trong một tinh thể silicon. Đây là
lần đầu tiên sự rối được chứng minh ở một dụng cụ bán dẫn.[2] Rối lượng tử là yếu
15


tố cơ bản hình thành nên nền tảng của máy tính lượng tử. Những đột phá trên có thể
đưa đến những máy tính lượng tử thực tiễn và những hệ truyền thông lượng tử trong
tương lai.
Sau đây chúng tôi xin trình bày thêm về rối GHZ [1], đó là loại rối của 3 hạt
lượng tử trở lên
GHZ

ABC

1

=

2

( 000

+ 111 ) ABC .

(1.29)

Các trạng thái rối GHZ có thể viết dưới dạng tổng quát như sau:
G k ,m ,n

ABC

=

1

1

∑ ( − 1)
2

lk

k , k ⊕ m, k ⊕ n

.

(1.30)

+ 11......1 ) 12....... N .

(1.31)

k =0

ABC

tạo thành tám vectơ cơ sở cho phép đo GHZ
Đối với rối nhiều thành phần hơn GHZ có dạng
GHZ

12....... N

=

1
2

( 00......0

1.4 Các cổng logic lượng tử
Sự tiến triển theo thời gian của một hệ kín lượng tử là một phép biến đổi
unitary tuân theo phương trình Schrodinger
ih

dϕ
= H ( t) ϕ ,
dt

(1.32)

ở đây H là toán tử tự liên hợp Hamiltonian. Ta cũng có thể biểu diễn phương

trình (2.37) dưới dạng

ϕ ( t2 ) = U ( t2 , t1 ) ϕ ( t1 ) ,

(1.33)

với U ( t2 , t1 ) là toán tử unitary thỏa mãn:
U ( t2 , t1 ) = exp ( −iH ( t2 − t1 ) / h)

(1.34)

Một máy tính cổ điển được tạo nên từ các cổng logic cổ điển khơng thuận
nghịch, điều đó có nghĩa rằng nếu ta xác định kết quả đầu ra của một máy tính thì
khơng thể xác định đầu vào của nó. Máy tính lượng tử được xây dựng bởi hệ thống
các cổng lựợng tử logic thuận nghịch mà thực tế chính là các tốn tử unitary nói ở
trên. Các cổng logic lượng tử bao gồm các cổng đơn và đa qubit, tuy nhiên người ta

16


đã chứng minh được rằng bất kì một cổng đa qubit nào cũng có thể được tạo nên từ
các cổng đơn qubit tổng quát và một cổng hai qubit đặc biệt như controlled-NOT
chẳng hạn. Sau đây, chúng ta sẽ trình bày một vài cổng lượng tử logic phổ biến:
1.4.1.Cổng đơn qubit
Cổng lượng tử đơn qubit U (ϕ , θ ) [1,2,7] với ϕ , θ là các số thực, là một toán tử
chuyển trạng thái biến một qubit đầu vào thành một qubit khác ở đầu ra.
Biểu diễn toán học của nó là một ma trận ( 2 × 2 ) như sau:
 cos ϕ
U ( ϕ , θ ) =  − iθ
 − e sin ϕ



eiθ sin ϕ 

cos ϕ 


(1.35)

Ở đây U +U = 1 , vậy cổng logic lượng tử là thuận nghịch chứ không bất
thuận nghịch như cổng logic cổ điển.
Ta thấy
U 0 = cos ϕ 0 − e −iθ sin ϕ 1
.

iθ
 U 1 = e sin ϕ 0 + cos ϕ 1

(1.36)

Dưới đây ta cụ thể hóa cho các trường hợp cổng lượng tử đơn qubit:
•Tốn tử đơn vị
Đây là tốn tử khơng làm biến đổi trạng thái ở đầu ra. Ma trận biểu diễn của
nó có dạng:
1 0
I =
0 1




•

(1.37)

Tốn tử Pauli σ x

Ma trận biểu diễn của σ x
0 1
σx =
1 0 .




(1.38)

đây là tốn tử σ x có tác dụng lật bit .
σ x 0 = 1

.

σ x 1 = 0

•

(1.39)

Tốn tử Pauli σ y

17


Ma trận biểu diễn của σ y
0 − i
σy =
i 0 .




(1.40)

đây là tốn tử σ y vừa có tác dụng đảo bit vừa đảo pha.
 σy 0 =i 1

.

σ y 1 = −i 0

•

(1.41)

Tốn tử Pauli σ z

Ma trận biểu diễn của σ z
1 0 
σz =
 0 − 1





(1.42)

Tốn tử σ z có tác dụng đảo pha.
σz 0 = 0

.

σ z 1 = − 1


(1.43)

•
Tốn tử Hadamard ( H )
Ma trận biểu diễn của H
H=

1 1 1 

 .


2 1 − 1

(1.44)

Đây là cổng lượng tử Hadamard

( H)

tác động lên một qubit x , với

x = { 0,1} được xác định bởi các công thức sau:
H x =

1
2

( ( −1)

x

)

x + 1− x ,

(1.45)

xét cụ thể ta được:
1

H 0 = 2 ( 0 + 1 ) ≡ +

.

H 1 = 1 ( 0 − 1 ) ≡ −


2


(1.46)

Ta thấy rằng toán tử H thỏa mãn điều kiện
H + = H
.
 2
H =I

(1.47)

Tương tự các toán tử Pauli cũng có một số tính chất sau
18


σ i + = σ i
.
 2
 σi = I

(1.48)

19


Mặt khác chúng cũng thỏa mãn các hệ thức
σ xσ y − σ yσ x = 2iσ z


σ yσ z − σ zσ y = 2iσ x ,
σ σ − σ σ = 2iσ
x z
y
 z x

(1.49)

và tuân theo các hệ thức phản giao hoán

σ xσ y + σ yσ x = σ yσ z + σ zσ y = σ zσ x + σ xσ z = 0 .

(1.50)

1.4.2.Cổng hai qubit
•Cổng lượng tử controlled-not (CNOT)

Hình 1.2 Biểu diễn hình học của cổng CNOT
Đầu vào của cổng CNOT gồm 2 qubit: qubit thứ nhất là qubit điều khiển
(control), qubit thứ hai là qubit mục đích (target). Qubit điều khiển sẽ không bị thay
đổi sau khi qua cổng CNOT. Qubit mục đích sẽ bị đảo ngược khi và chỉ khi qubit
điều khiển là 1. Cách thức hoạt động được biểu diễn bởi công thức sau:
CNOT12 x

1

y

2

= x

1

x⊕ y 2.

(1.51)

Cụ thể xét một số trạng thái cụ thể
CNOT12 0 1 0 2 = 0 1 0 2

 CNOT12 0 1 1 2 = 0 1 1 2
.

 CNOT12 1 1 0 2 = 1 1 1 2
 CNOT12 1 1 = 1 0

1
2
1
2

(1.52)

Cổng CNOT có thể được biểu diễn bằng ma trận sau:

20

1
0
CNOT = 
0

0

0
1
0
0

0
0÷
÷.
1÷
÷
0

0
0
0
1

(1.53)

Ta cũng dễ dàng kiểm tra được:
CNOT + = CNOT
.


2
 CNOT = I

(1.54)

Cổng lượng tử CNOT là một thành phần thiết yếu để xây dựng máy tính
lượng tử. Nó có thể được dùng để gỡ rối lượng tử hoặc tạo ra rối lượng tử [2].
Xét trạng thái rời sau:



1
1
'
ψ =
( 0 + 1 ) 1 = ( 01 + 11 ) = 

2
2





0 
1 ÷
÷
2÷
.
0 ÷

÷
1 ÷
÷
2

(1.55)

Cho hệ đi qua cổng CNOT
1

0
'
CNOT ψ = 
0

0


0
1
0
0

0
0
0
1

0 



0

1 

0 



0  
1  
 
2=
0  
1  
 
2 

0 
1 

2= ψ+
.
0 
1 

2

(1.56)

+
Ta thấy ψ chính là một trong bốn trạng thái EPR. Như vậy hệ (1.55) đã bị

rối sau khi đi qua cổng CNOT.
Xét trạng thái rối (1.16) được biểu diễn như sau:

21





1
ϕ =
( 00 + 11 ) = 

2





1 
2÷
÷
0 ÷
.
0 ÷
÷
1 ÷

÷
2

(1.57)

22


Cho trạng thái đi qua cổng CNOT :
1
0
CNOT ϕ = 
0

0

ψ =

0
1
0
0


0 

0÷ 
÷=
1÷ 
÷ 

0 



0
0
0
1

1  
2÷ 
÷ 
0 ÷ 
=
0 ÷ 
÷ 
1 ÷ 
÷ 
2 

1 
2÷
÷
0 ÷
=ψ .
1 ÷
÷
2÷
0 ÷


(1.58)

1
( 00 + 10 ) = 1 ( 0 + 1 ) 0 .
2
2

(1.59)

Như vậy trạng thái (1.16) đã được gỡ rối, trở thành trạng thái rời.
●

Cổng CROT

Nguyên tắc hoạt động của cổng CROT [4]
CROTCC ' a

C

b

= a

C'

C

b⊕a

,

C'

(1.60)

trong đó :
R 0 (ϑ ) = I .

(1.61)

 − cos ϑ sin ϑ 
R 1 (ϑ ) ≡ R (ϑ ) = 
 sin ϑ cos ϑ  .




(1.62)

Ta có :
+> CROTCC 0

C

+> CROTCC 0

C

'

'

0
1

C'

C'

= 0

C

0

C'

1
= ( R (ϑ ) 0

 − cos ϑ
 sin ϑ

.

(1.63)

)1

C

C'

sin ϑ 

cos ϑ 


=


 − cos ϑ 
 1

 sin ϑ  C

=


1
  1
0
 C

C'

C'

= ( − cos ϑ 0 + sin ϑ 1 ) C 1 C

= − cos ϑ 0
+> CROTCC 1 C 0
'

C'

= 1

C

0

C'

C

1

.

 − cos ϑ sin ϑ 


 sin ϑ cos ϑ 

=


'

0
  1
1
 C

+ sin ϑ 1

C

1

C'

.

(1.64)
(1.65)

1
+> CROTCC 1 C 1 C = ( R (ϑ ) 1 C ) 1 C
'

C'

'

'

C'

23