Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 1
1.
1.1.
1. Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy tuyến tính với hệ số hằng số.


1.1 Bài tập cụ thể.
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
0
1
0
1
0
1
0
1

0
1
1;
2, 1.
3
2;
2 , 1
2
3 1
3; 1
3 1, 1
2 2
2
4; 3 3 6 2 3 1 6
2 3 , 1
3 2 1 , .
2
5;
khác hệ số nên ta vẫn giữ nguyên bậc:
n n
n n
n n
n n
u
CSC
u u n
u
CSN
u u n
u

u u n
u
n n n
u u n n
n g n g n g n an b
u
u




=



=

=



=

=

= +

=

=

= + + +


= +

= = +
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
1
2
0
1
1
1
0
1
1
2 1 2 1 2 1
2 1, 1
2 1 1 , .
1
6; 2 2.2 3.2.2
3 2 , 1
2 2 3 2
1

7;
2 2 , 1
2 2 1 2
cùng hệ số nên phải nâng bậc:
n n
n n n
n
n n
n n n
n
n n
n n n
n n n n n
u n n
n g n g n g n an bn
u
u u n
a a
u
u u n
n n

+ = + +



= + +

+ = = +
=


= +

= +


=
=



= +


= +
( ) ( ) ( ) ( )
0 1
1 2
0 1
1 2
0 1

2 2
1
2
1 2
0 1
1 2
0
1; 2
8;
5 6 0, 2
1; 3
9;
4 4 0, 2
1; 3
10; 2 2 1 5 1 6 2 ,
5 6 2 2 1, 2
1; 4
11;
3 2 2 1, 2
1
12;
n n n
n n n
n
n n n
n n n
u u
u u u n
u u
u u u n

u u
n n g n g n g n g n an b c
u u u n n n
u u
u u u n n
u





= =


+ =

= =


+ =

= =


+ + = + = + +

+ = + +


= =

+ = +

=
1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
0 1
1 2
; 4
2 2 1, 2
1; 3
13;
5 6 2.5 , 2
1; 3
14;
5 6 2.3 , 2
1; 4
15;
4 4 2 , 2
n n n
n
n n n
n
n n n
n

n n n
u
u u u n n
u u
u u u n
u u
u u u n
u u
u u u n




=


+ = +

= =



+ =


= =



+ =

= =



+ =



Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 2
1.2 Xác lập phơng pháp (Phơng pháp sai phân).
1.2.1 Loại thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
0, 1
k
n k n k k n

x x x
a x a x a x n
+ +





+ + + =


(1)
Đầu tiên giải phơng trình đặc trng:
(
)
1
0 1
0, *
k k
k
a a a


+ + + =

Các trờng hợp xảy ra là:
(i) Nếu
(
)
*

có k nghiệm thực phân biệt
1 2
, , ,
k

thì nghiệm của (1) là
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c c c n

= + + =

( với
1 2
, , ,
k
c c c
là các hằng số ).
(ii) Nếu
(
)
*
đợc viết lại nh sau
(
)
(
)
(

)
(
)
1
0 1 0 1 2 3
0
s h
k k
k q
a a a a

+ + + = =
,
với các
1 2 3
, , , ,
q

là khác nhau đôi một. Tức là
(
)
*
có

1
là nghiệm bội s, và

2
là nghiệm bội
h, và

3
, ,
q
là các nghiệm đơn, và
( 2)
s h q k
+ + =
, thì (1) có nghiệm là
(
)
1
3 3 11 12 1 1

n n s n
n q q s
x c c c c n c n


= + + + + + + +

(
)
1
21 22 2 2
, 1,2,
h n
h
c c n c n n

+ + + + =

( với
11 12 1 21 22 2 3
, , , , , , , , , ,
s h q
c c c c c c c c
là hằng số)
(iii) Nếu
(
)
*
có k-2 nghiệm phân biệt
1 2 2
, , ,
k


và
(
)
cos sin
k
a bi r i

= + = +
(với
2 2
,

k k
r a b Arg

= = + =
)
là nghiệm phức thì số phức liên hợp
(
)
cos sin
k
a bi r i

= =
cũng là nghiệm của
(
)
*
. Khi đó
(1) có nghiệm là
(
)
1 1 2 2 2 2
cos sin , 1,2,
n n n n
n k k
x c c c r A n B n n


= + + + + =

( với
1 2 2
, , , , ,
k
c c c A B

là các hằng số ).
(4i) Nếu
(
)
*
có s nghiệm thực phân biệt

1 2
, , ,
s
và
(
)
cos sin
q
a bi r i

= + = +
(với
2 2
,
q q
r a b Arg

= = + =
)
là nghiệm phức bội h, thì số phức liên hợp
(
)
cos sin
q
a bi r i

= =

cũng là nghiệm phức bội h của
(
)
*
. Khi đó (1) có nghiệm tổng quát là

= + + +
1 1 2 2

n n n
n s s
x c c c

(
)
(
)

+ + + + + + + + =


1 1
1 2 1 2
cos sin , 1,2,
n h h
h h
r A A n A n n B B n B n n n

( với

1 2 1 1 2 1 2
, , , , , , , , , , ,
k h h
c c c A A A B B B
là các hằng số ).

T
TT
Tóm lại
óm lạióm lại
óm lại là c
là c là c
là cần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn
ần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn ần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn
ần phải biết cách ghi nghiệm đơn thực, nghiệm bội thực, nghiệm đơn
phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của (1).
phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của (1).phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của (1).

phức, nghiệm bội phức trong công thức nghiệm của (1).



VD: Giải lại các bài tập trong phần trớc.

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 3
1.2.2 Loại không thuần nhất:
1 2
0 1 1
, , ,
, 1
k
n k n k k n n
x x x
a x a x a x f n
+ +

+ + + =


(2)
B1: Tìm nghiệm của loại thuần nhất tơng ứng. Gs:
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c c c n

= + + =

B2: Ta thay
(
)
(
)
(
)
*
1 1 2 2
, 1,2,
n n n
n k k
x c n c n c n n

= + + =
vào (2) để xđ các hàm
(
)
i
c n
.
B3: Nghiệm của (2) là:
*
n n n
x x x
= +


Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm
Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làmĐể không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm
Để không sử dụng kiến thức ngoài chơng trình thì ta nên làm theo hớng: Làm
theo hớng: Làm theo hớng: Làm
theo hớng: Làm
nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui
nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui
nháp bằng phơng pháp sai phân để tìm nghiệm rồi ta sẽ chứng minh bằng qui
nạp.
nạp.nạp.
nạp.


VD: Tìm số hạng tổng quát của dãy:
{ }
1

n
n
x
+
=
:
1 1
0, sin , 1,2,
n n
x x x nx n
+
= = + =


Nháp: Giải phơng trình đặc trng
1 0

=
tìm đợc
1

=
.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho có dạng
*
n n n
x x x
= +
. Trong đó
, 1,2,

n
n
x c c n

= = =
( c
là hằng số sẽ tìm sau), và
*
n
x
đợc tìm nh sau:
Ta xem c là một hàm theo n và tìm
*
n n
x c
=
. Thay
*
n n
x c
=
vào
1
sin , 1,2,
n n
x x nx n
+
= + =
, ta
đợc

1
sin , 1,2,
n n
c c nx n
+
= + =
1
sin , 1,2,
n n
c c nx n
+
= =

Suy ra
2 1
sin
c c x
=
,
3 2
sin 2
c c x
=
,


1
sin( 1)
n n
c c n x

=

Cộng lại ta đợc
1
sin sin 2 sin( 1)
n
c c x x n x
= + + +

Vậy
[
]
*
1
sin sin 2 sin( 1) , 1,2,
n n
x c c x x n x n
= = + + + + =

Vì
*
n n
x c
=
thỏa
1
sin , 1,2,
n n
x x nx n

+
= + =
nên
1 1
0
c x
= =
. Vậy
[
]
*
sin sin 2 sin( 1) , 1,2,
n
x x x n x n
= + + + =

Nếu
sin 0
2
x
=
thì
*
0 0, 1,2,
n n
x x n=
= =
. Còn nếu
sin 0
2

x

thì với mọi
1,2,
n
=
, ta có
*
1
sin sin sin sin 2 sin sin( 1)
2 2 2
sin
2
n
x x x
x x x n x
x

= + + + =



3 3 5 ( 2) ( 1)
cos cos cos cos cos cos
2 2 2 2 2 2
2sin
2
x x x x n x n x
x

+ +


=

( 2)
sin sin
1 ( 1)
4 4
cos cos
2 2
2sin sin
2 2
nx n x
x n x
x x



= =


.
Vậy
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 4
( 2)
sin sin
4 4
, 1,2,
sin
2
n
nx n x
x c n
x

= + =

Vì
1
0
x
=
nên
sin sin sin
1
4 4 4
0 tan

2 4
sin 2cos
2 4
x x x
x
c c c
x x

= + =

=
. Bởi vậy
( 2)
sin sin
1
4 4
tan , 1,2,
2 4
sin
2
n
nx n x
x
x n
x

= + =

Lời giải: Ta sẽ chứng minh với mọi
1,2,

n
=
thì

( 2)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
n
nx n x
x
x
x

= +
(1)
bằng phơng pháp quy nạp.
Theo giả thiết ta có
1
sin sin sin sin
1 1
4 4 4 4
0 tan tan
2 4 2 4
2sin cos sin
4 4 2

x x x x
x x
x
x x x
= = =

vậy (1) đúng khi n=1.
Giả sử (1) đúng khi n=k, tức là
( 2)
sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
k
kx k x
x
x
x

= +

khi đó
1
( 2)
sin sin
1
4 4

sin tan sin
2 4
sin
2
k k
kx k x
x
x x kx kx
x
+

= + = + + =

( 2)
sin sin sin sin
1
4 4 2
tan
2 4
sin
2
kx k x x
kx
x
x

+
= + =

( 1) ( 1)

sin sin
1
4 4
tan
2 4
sin
2
k x k x
x
x
+
= +

Bài toán đợc giải xong.

Giải lại các bài phần trớc.

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 5
1.3 Ta sẽ giải một số dãy đặc biệt gọi là dãy số tuần hoàn.

Định nghĩa. Dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
đợc gọi là dãy số tuần hoàn nếu tồn tại số
k N

sao cho

, 1,2,
n k n
x x n
+
= =
. (1)
Số k bé nhất thỏa mãn (1) đợc gọi là chu kỳ của dãy số tuần hoàn
{ }
1
n
n
x
+
=
.
Sử dụng phơng trình sai phân ta sẽ xác định đợc các dãy số tuần hoàn.

Bài toán 1. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 2)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x
+
=
biết
1 2
2
,
, 1,2,
n n
x x
x x n

+

= =


= =



Lời giải
Phơng trình đặc trng của dãy số đã cho là

{
}
2
1 1,1

=
. Do đó
.1 ( 1) , 1,2,
n n
n
x A B n= + =
. Bởi vậy từ giả thiết
1 2
,x x

= =
, ta có
2
2
A
A B
A B
B




+
=

=



+ =


=


.
Do đó

+
= + =
( 1) , 1,2,
2 2
n
n
x n

Bài toán 2. (dãy số tuần hoàn chu kỳ 3)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x

+
=
biết
3
, 1,2,
n n
x x n
+
= =
và
1 2 3
, ,
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
3
1

=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
+
1 3 1 3
1, ,
2 2
i i
( hay
2 2 2 2
1, cos sin , cos sin
3 3 3 3

i i

+
)
Do đó

= + + =
2 2
cos sin , 1,2,
3 3
n
n n
x A B C n
,
trong đó các hằng số A, B, C sẽ đợc xác định khi biết
1 2 3
, ,
x x x
.
Bài toán 3. (dãy số tuần hoàn chu kỳ k


bất kỳ)
Tìm dãy số
{
}
1
n
n
x

+
=
biết
, 1,2,
n k n
x x n
+
= =
và
1 2
, , ,
k
x x x
cho trớc.
Lời giải
Phơng trình đặc trng
1
k

=
của dãy số đã cho có các nghiệm là
2 2
cos sin ,

+
h h
i
k k
với
0,1,2, , 1

=
h k

Hay viết cụ thể là
2 2 4 4 2( 1) 2( 1)
1, cos sin , cos sin , ,cos sin
k k
i i i
k k k k k k


+ + +

Do đó




= + + + + +





1 1 2 2
2 2 4 4
cos sin cos sin
n
x c A B A B
k k k k

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 6






+ + + =





1 1
2( 1) 2( 1)
cos sin , 1,2,
k k
k k

A B k
k k

Mà
2 2( 1) 4 2( 2)
cos cos ,cos cos ,
k k
k k k k


= =

và
2 2( 1) 4 2( 2)
sin sin ,sin sin ,
k k
k k k k


= =

nên ta có thể viết lại nh sau



=



= + =

1
0
2 2
cos sin , 1,2,
k
n h
h
h h
x n
k k
,
trong đó các hằng số
0 1 1
, , ,
k


sẽ đợc xác định khi biết
1 2
, , ,
k
x x x
.
2.

2.2.
2. Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Dãy phân tuyến tính với hệ số hằng số.


2.1. Định nghĩa.
Cho
, , ,
a b c d


sao cho
0
ad bc

và
0
c

. Xét dãy số
(
)
n
x
nh sau:
1
x R

và với mọi

1,2,
n
=
thì
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, nếu nó tồn tại. Khi đó dãy số
1
( )
n n
x
+
=
gọi là dãy phân tuyến tính.
Chú ý rằng nếu cho
( )
1
n
n
x
+

=
là dãy phân tuyến tính thì ta hiểu rằng với mọi n=1,2, luôn
tồn tại
n
x
.
2.2. Số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
a) Xét dãy phân tuyến tính
{
}
n
x
xác định bởi
1
1
, 1
n
n
n
x p
ax b
x n
cx d
+
=


+

=

+

, trong đó a, b, c, d, và p
là các hằng số cho trớc.
Giả sử
n
n
n
y
x
z
=
. Khi đó:
1 1
1
1 1
n
n n n n n n
n
n
n n n n n
n
y
a b
ax b y z y ay bz
x
y
cx d z z cy dz
c d

z
+ +
+
+ +
+
+ +
= = =
+ +
+

Nh vậy, nếu ta xác định đợc hai dãy
(
)
(
)
,
n n
y z
:
1 1
1
1
, 1
, 1
, 1
n n n
n n n
y p z
y ay bz n
z cy dz n

+
+
= =


= +


= +

thì coi nh đã xác
định đợc số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính.
b)Ta xét
(
)
(
)
,
n n
y z
:
1 1
1
1
, 1
, 1
, 1
n n n
n n n
y p z

y ay bz n
z cy dz n
+
+
= =


= +


= +

.
Cách 1:

(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 1 1 1
1
1 1 1
2 1


n n n n n n
n n n
n n n n n n
n n n
y ay bz ay b cy dz

ay bcy bdz
ay bcy d y ay a d y bc ad y
y a d y bc ad y
+ + + +
+
+ + +
+ +
= + = + +
= + +
= + + = + +
= + +

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 7
Tìm đợc
n n
y z


Cách 2:

( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
*)
chọn
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
y ay bz y ay bz
y z a c y b d z
z cy dz z cy dz
b d b d
y z a c y z
c a c





+ +
+ +
+ +
+ +
= + = +

= +

= + = +



= =



( ) ( )
( )
1 1
1 1
1 1
1 1
*)
chọn
n n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
a
y ay bz y ay bz
y z a c y b d z
z cy dz z cy dz
b d b d
y z a c y z
a c a

+ +
+ +
+ +
+ +

= + = +

+ = + + +

= + = +


+ +
+ = + + =

+ +

c


c) Theo trên, ta có thể xét sự hội tụ và tìm giới hạn của dãy số
(
)
n
x
, với
n

n
n
y
x
z
=
,
1
y
và
1
z

cho trớc và
1 1
,
n n n n n n
y ay bz z cy dz
+ +
= + = +

2.3. Bài tập
0 0
1 1
1 1
0
1
1
0
1

1
2; 1
1; 2 , 1
2 , 1
1
2;
2
, 1
3 4
2
3;
9 24
, 1
5 13
n n n
n n n
n
n
n
n
n
n
u v
u u v n
v u v n
u
u
u n
u
u

u
u n
u






= =


= +


= +

=



=

+

=

=

+


Tuy nhiên ta có một cách khác để tìm số hạng tổng quát của dãy phân tuyến tính đơn giản
nh sau:
( )
0
1
1
1
1 1
0
1
1
2
1
1
1 1
2
1
1;
2
, 1
3 4
3 4
1 1 3 1
*) 2.
2 2

2
2;
9 24
, 1
5 13
9 5 5 22 24
9 9 24
*)
5 5 13 5 5 13
*) : 5 22 24 0
Đặt
Chọn
n
n
n
n
n n n n
n
n
n
n
n
n n n n
n n
u
u
u n
u
u
u u u u

u
u
u n
u
t x t t
x t
u x t x t x
x t x t
t t t









=



=

+

+
= = +
=

=

+



= + + = =
+ + + +
=
1
1 1
2
1 1
*) 3. 5
5 3
n
n
n n n
t
x
x
x x x


=
= = +
+

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 8
Sau đây ta xét thêm một số tính chất của dãy này.

2.4. Tính chất.
Định lí 1. Cho
, , , 0, 0
a b c d R sao cho ad bc c

. Cho
1
x


và với mọi
1,2,
n
=
, đặt

1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, nếu nó tồn tại. Xét hàm số f(x) nh sau:
: \ \
d a
f
c c
ax b
x
cx d







+
+

a) Chứng minh f là song ánh.

b) Cho dãy số
(
)
n
t
đợc định nghĩa bởi:
1
1
1
( ), 1,2,
n n
d
t
c
t f t n

+


=



= =


(Dãy này có thể không xác định kể từ một thứ tự nào đó.) Chứng minh rằng
1
( )
n n

x
+
=
là dãy phân
tuyến tính khi và chỉ khi
1
, 1,2,
n
x t n =

Chứng minh.
Với mọi
, , ,
d a
x y x y
c c


ta có
ax b b dy
y cyx dy ax b x
cx d cy a
+
= + = + =
+

Vậy f là song ánh.
b)
{
}

1
n
n
x
+
=
là dãy phân tuyến tính khi và chỉ khi
1 1
2 2 1
3 3 1
,
,
x t
x R x t
x R x t












Điều này quy về
1
n

x t

với mọi n mà
n
t
xác định.

Xét dãy (x
n
) :
1
, 1,2,
n
n
n
ax b
x n
cx d
+
+
= =
+
Khi đó ta có các định lí sau:
Định lí 2. Nếu dãy
{
}
n
x
hội tụ đến L thì
2

( ) 0
cL d a L b
+ =

Chứng minh
Từ
1
, 1,2,
n
n
n
ax b
x n cho n
cx d
+
+
= = +
+
ta đợc
2
( ) 0
aL b
L cL d a L b
cL d
+
= + =
+

Định lí 3. Khi
2

( ) 4
d a bc
= +
<0 thì dãy phân kì (không hội tụ)
Định lí 4. Giả sử
2
( ) 4
d a bc
= +
>0. Gọi
,

là hai nghiệm của phơng trình (ẩn là x)
2
( ) 0
cx d a x b
+ =
. Khi đó:
a)

1
, 1,2,
n
x x n

= = =

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 9
b) Giả thiết
1
x


, đặt
*
, ,
n
n
n
x
c d
X n N
x c d





+

= =
+
. Khi đó:
1
, 1,2,
n n
X X n

+
= =

c) Nếu
1
c d
c d



+
= <
+
thì
lim
n
n
x


=
.

Nếu
1
c d
c d



+
= >
+
thì
lim
n
n
x


=

Nếu
1

=
và
1
x

=
thì
lim

n
n
x


=

Nếu
1

=
và
1
x


thì dãy
{
}
n
x
phân kỳ với các giá trị
1
x
và
n
x
xen kẽ.
Trờng hợp
1

=
không thể xảy ra.
Chứng minh
Vì
,

là nghiệm của phơng trình
aL b
L
cL d
+
=
+
nên
,
a b a b
c d c d



+ +
= =
+ +

a) Ta chỉ cần chứng minh nếu
1
x

=

thì
, 1,2,
n
x n

= =
vì chiều ngợc lại là hiển nhiên.
Ta dùng phơng pháp quy nạp. Giả sử
1
x

=
. Khi đó
1
2
1
ax b a b
x
cx d c d



+
+
= = =
+ +
.
Giả sử
n
x

=
. Khi đó
1
n
n
n
ax b
a b
x
cx d c d



+
+
+
= = =
+ +
. Vậy theo nguyên lý quy nạp suy ra nếu
1
x

=
thì
, 1,2,
n
x n

= =

b)Ta có
1
1
1
:
n n n
n
n n n
x ax b ax b
a b a b
X
x cx d c d cx d c d



+
+
+

+ +
+ +
= =

+ + + +

,
1
. , 1,2,
n

n n
n
x
c d
X X n
c d x




+

+
= = =
+

c) Theo kết quả câu (b) suy ra
1
1
, 1,2,
n
n
X X n


= =

Nếu
1

<
thì
1
lim 0
n
n



=
. Do đó
1
1
lim lim 0
n
n
n n
X X



= =
. Từ
n
n
n
x
X
x

=

ta có
lim lim
1 1
n n
n n
n n
n n
X X
x x
X X




= = =

.
Nếu
1

>
thì
1
lim
n
n

=
. Do đó
1
1
lim lim
n
n
n n
X X



= =
. Do đó
1 0
lim 0 lim lim lim
1
1 1 0
1
n n
n
n n n x
n n
n
X X
x
X X

X









= = = = =


.
Ta có
1
1
1
x
X
x



=

. Do đó nếu
1
x

=
thì
1
0
X
=
. Theo kết quả câu (b) suy ra
0, 1,2,
n
X n= =
Suy ra
lim 0
n
n
X

=
. Tơng tự nh trên suy ra
lim
n
n
x


=
.
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 10
Nếu
1

=
và
1
x


thì
1
0
X

và
1 1
( 1) , 1,2,
n
n
X X n
+
= =

. Ta sẽ chứng minh dãy số
(
)
n
y

với
( 1)
n
n
y
=
, với mọi n=1, 2,, không hội tụ.
Ta có
2 1 2
lim lim( 1) 1 1 lim
n n
n n n
y y


= = =
. Vậy dãy
(
)
n
y
phân kỳ. Dãy
(
)

n
y
không hội tụ mà
1 1
, 1,2,
n n
X y X n
+
= =
nên dãy
{
}
n
X
cũng không hội tụ.
Từ
n
n
n
x
X
x



=

suy ra dãy
{
}

n
x
không hội tụ ( vì nếu
lim
n
n
x v

=

thì
lim
n
n
v
X
v




=

, nghĩa
là dãy
{
}
n
X
hội tụ, đến đây ta gặp mâu thuẫn).

Trờng hợp
1

=
không thể xảy ra bởi vì nếu
1

=
thì
1
c d
c d


+
=
+
. Suy ra
c d c d c c

+ = + = =
. Mà điều này không thể xảy ra đợc do
2
( ) 4
d b bc
= +
>0.
Định lí 5. Giả thiết
2
( ) 4 0

d a bc
= + =
và đặt
2
a d
g
c

=
. Khi đó
a)
1
x g
=
khi và chỉ khi
, 1,2,
n
x g n= =

b) Giả thiết
1
x g

, đặt
1
, 1,2,
n
n
X n
x g

= =

, đặt
2
c
a d
à
=
+
. Khi đó
1
, 1,2,
n n
X X n
à
+
= + =

c)
lim
n
n
x g

=
.
Chứng minh
a) Vì

=0 nên phơng trình

2
( ) 0
cL d a L b
+ =
( tức là phơng trình
aL b
L
cL d
+
=
+
) có
nghiệm kép là
2
a d
g
c

=
.
b) Với mọi n = 1, 2, , ta có
1
2
1
2 ( )
1
1:
2 ( ) 2
n n
n

n n n
ax b c cx d
a d
X
x g cx d c c a d x bc ad d
+
+

+ +

= = =

+ + + +


Vì
2
( ) 4
d a bc
= +
=0, nên
2
( )
2
2
d a
bc

=
. Do đó

( )
2
2 2 2 2 2
( ) 1
2 2 2 2
2 2
d a
bc ad d ad d d ad a ad d

+ = + = + + =

2 2
1 1 1
( ) ( )( ) .2 ( ) ( )
2 2 2
d a a d a d gc a d c a d g
= = + = + = +

Từ đó
1
2 ( ) 2( )
( ) ( ) ( )( )
n n
n
n n
c cx d cx d
X
c a d x c a d g a d x g
+
+ +

= =
+ + +

2 ( ) 2 2
( )( )
n
n
c x g cg d
a d x g
+ +
= =
+
2 ( )
2( )
( )( ) ( )( )
n
n n
c x g
cg d
a d x g a d x g

+
+
+ +

2 ( ) 2 1
( )( )
n
n n
c a d c

X
a d a d x g a d x g
à
+
= + = + = +
+ + +

(
2( )
cg d a d
+ = +
Vì
(
)
2 2 2 2 )
cg d cg d a d d a d
+ = + = + = +

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 11

c) Nếu
1
x g
=
thì theo định lý (5a) suy ra
, 1,2,
n
x g n= =
do đó
lim
n
n
x g

=
. Nếu
1
x g

thì
theo định lý (5b) ta có
1
, 1,2,
n n
X X n
à
+
= + =

suy ra

{
}
n
X
là cấp số cộng có công sai là
à
và số hạng đầu là
1
X
. Do đó
1
( 1) , 1,2,
n
X X n n
à
= + =

Vì
2
0
c
a d
à
=
+
nên
[
]
1
lim lim ( 1)

n
n n
X X n
à

= + =
. Do đó
lim
n
n
x g

=
. Vậy trong mọi trờng hợp ta
đều có
lim
n
n
x g

=
.
2.5. Các bài tập.
Bài tập 1. Xét dãy
(
)
n
v
xác định bởi
0

1
v
=
và
1
1
, 1,2,
3
n
n
v n
v


= =
+
.Chứng minh rằng dãy
đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
(
)
n
v
là dãy phân tuyến tính,
1
n
n
n
av b
v

cv d
+
+
=
+
, với
0
a
=
,
1
b
=
,
1
c
=
và
3
d
=

(
1 0, 0
ad bc c
=
). Phơng trình
2
3 1 0
x x

+ + =
có hai nghiệm phân biệt là
1
3 5
2
x


= =
và
2
3 5
2
x

+
= =
.
Ta có
0 2
3 5
2
v x
+
=
,
14 6 5
1 1
4
c d

c d



+ +
= = >

>
+

Vậy
3 5
lim
2
n
n
v


+
= =
.
Bài tập 2. Cho dãy
{
}
n
v
nh sau:
1
v

=
và
1
, 1,2,
n
n
a
v n
b cv
+

= =
+
(với
, ,
a b c
là các số dơng,
2
4 0,
2
b
b ac
c

+
= >
). Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ và tính
lim
n

n
v

.
Lời giải
Ta có *)
2 2 2
b b b
c c c

+
>

*)
2
1
2
b
b c
b
b
c
b b
b
b c
c

+

= = <
+ +
+
+

Vậy
lim
2
n
n
b
v
c

+
=
.
Bài tập 3. Cho dãy số
{
}
n
x
định nghĩa truy hồi bởi:
1
1
( 1,2, )
4 3
n
n
x n

x
+
= =


Hãy tìm các giá trị của
1
x
để dãy trên hội tụ và trong các trờng hợp đó hãy tính
lim
n
n
x

.
Bài tập 4 ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng B, năm học 2002-2003)
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 12
Cho số thực
0

và dãy số thực
{
}
, 1,2,3,
n
x n =
, xác định bởi:
(
)
1 1
0, ( ) 1 1,2,
n n
x x x n

+
= + = + =

a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
b) Chứng minh dãy số
(
)
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n
+
. Hãy tìm
giới hạn đó.

Lời giải
Trờng hợp 1:
1

=
. Khi đó
0, 1,2,
n
x n= =

Trờng hợp 2:
1


. Khi đó
, 1,2,
n
x n

=
. Do đó ta có

1
1
, 1,2,
n
n
x n
x

+
+
= =
+
(1)
Vậy
1
n
x
+
có dạng
1
n
n
n
ax b
x
cx d
+
+
=
+
, với
0
a
=
,
1
b

= +
,
1
c
=
,
d

=
,
0
c

và
(
)
1 0 1
ad bc do

= +

Xét hai dãy số
(
)
n
y
và
(
)

n
z
thõa mãn điều kiện sau:
(
)
1
1
1
n n
n n n
y z
z y z


+
+
= +


= +


,
1 1 1
0, 1
y x z
= = =
.
Khi đó
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1
1 1 1 1 1
n n n n n n n n
y z y z y z y y

+ + +
= + = + + = + + + = + +
.
Vậy phơng trình đặc trng của dãy số
{
}
n
y
là
( )
2
1
1 0
1

=

+ =

= +


Trờng hợp 2a:
2

=
. Khi đó phơng trình
(
)
2
1 0

+ =
có nghiệm kép
1 2
1

= =
.
Suy ra
( )( )
1 , 1,2,

n
n
y C Dn n= + =
( với C và D là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
0
y
=
nên
0
C D
+ =
.
Vì
(
)
2 1
1 1 1
y z

= + = + =
nên
2 1
C D
+ =
.
Từ hệ
0
2 1

C D
C D
+ =


+ =

ta có
1
1
D
C
=


=

.
Vậy
( )( )
1 1 , 1,2,
n
n
y n n= =
và
( )
1
1
1 , 1,2,
1

n
n
n
y
z n n

+
+
= = =
+

Ta có
1
, 1,2,
n
n
n
y
n
x n
z n

= = =

Trờng hợp 2b:
2


. Khi đó số hạng tổng quát của dãy số
{

}
n
y
là:
( ) ( )
1 . 1 , 1,2,
n n
n
y A B n

= + + =

( A và B là các hằng số sẽ tìm sau )
Vì
1
0
y
=
nên
(
)
. 1 0
A B

+ + =
.
Vì
(
)
2 1

1 1
y z

= + = +
nên
( )
2
. 1 1
A B

+ + = +

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 13
Từ
(
)
( )
2
. 1 0

. 1 1
A B
A B


+ + =



+ + = +


ta có
1
2
1
2
A
B



+

=


+

=

+

. Vậy với mọi n=1, 2, ta có
( ) ( )
1 1
1 1 , 1,2,
2 2
n n
n
y n



+
= + + =
+ +

( ) ( )
1
1
1 1
, 1,2,
1 2 2
n n
n
n
y
z n

+
+
+
= = + =
+ + +

Tơng tự trờng hợp 2a, bằng quy nạp ta chứng minh đợc:
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1 1
1 1 1
1 1 1
, 1,2,
1 1 1 1
n n
n n
n
n
n n n n
n
y
x n
z

+ +

+ + +
+ + +

= = = =
+ + + +

c) Theo kết quả câu (a) suy ra:
Nếu
1

=
thì
0, 1,2,
n
x n= =
. Do đó
lim 0
n
n
x

=

Nếu
2

=
thì
1
, 1,2,
n
n
x n
n

= =
. Do đó
1 1
lim lim lim 1 1
n
n n n
n
x
n n



= = =



Nếu
2


thì

( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 1 1
, 1,2,
1 1
n n
n
n n
x n



+

+ + +

= =
+ +

Ta có
( ) ( )
( )
( )
( )
2 1 2 2
2 1
2 1
2 1

1
1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1
1
1
n n
n
n
n
x n







+
+ + +
= = =
+ +
+
+

( )
( )
( )

( )
2 2 1
2
2
2
1
1
1 1 1
, 1,2,
1
1 1
1
1
n n
n
n
n
x n




+
+ + + +
= = =
+

+

Do đó nếu

1 1

+ >
thì
2 2 1
lim lim 1 lim 1
n n n
n n n
x x x


= =

=
. Nếu
1 1

+ <
thì
(
)
(
)
2 2 1
lim 1 lim lim 1
n n n
n n n
x x x

= + = = +
.
Bài tập 5 ( đề thi học sinh giỏi quốc gia, bảng A, năm 2004)
Xét dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
nh sau:
1
1
x
=
và với mọi n = 1, 2 ,, thì
(
)
( )
2
1
2 cos2 cos
2 2cos2 2 cos2
n
n
n
x
x

x


+
+ +
=
+
,
trong đó

là một tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của

để dãy số
{
}
n
y
, với
1
1
, 1,2,
2 1
n
n
k
k
y n
x
=
= =

+

có giới hạn hữu hạn khi
n
+
. Hãy tìm giới hạn của dãy số
{
}
n
y
trong
các trờng hợp đó.
Bài giải
Dễ chứng minh
0, 1,2,
n
x n> =
. Với mọi n = 1, 2, , ta có:
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 14

(
)
( )
2
1
2 2 cos2 2cos
2 1 1
2 2cos2 2 cos2
n
n
n
x
x
x


+
+ +
+ = + =
+

(
)
(
)
( )
2
2 2 cos2 2cos 2 2cos2 2 cos2
2 2cos2 2 cos2
n n

n
x x
x


+ + + +
= =
+

(
)
( )
( )
( )
2 2
6 2cos 2 2cos 1
3 2 1
2 2cos2 2 cos2 2 2cos2 2 cos2
n
n
n n
x
x
x x


+ +
+
= =
+ +

Do đó
(
)
( )
1
2 2cos2 2 cos2
1
2 1 3 2 1
n
n n
x
x x

+
+
= =
+ +

( ) ( )
(2 1) 1 2cos2 . 2 cos2 (1 cos2 )(2 1) 1
3 2 1 3 2 1
n n n
n n
x x x
x x

+ + + +
= =
+ +

Bởi vậy
(
)
2
2
1
2sin 2 1 1
1 1 1 1
. 2sin , 1,2,
2 1 3 2 1 3 2 1
n
n n n
x
n
x x x


+
+ +

= = + =

+ + +


Suy ra
2 2
1
1 1 1

sin sin , 1,2,
2 1 3 2 1
n n
n
x x

+

= =

+ +


Gọi
2
1
sin , 1,2,
2 1
n
n
u n
x

= =
+
. Khi đó
1
1
, 1,2,
3

n n
u u n
+
= =
. Nh thế
(
)
n
u
là một cấp số
nhân với số hạng đầu
2
1
1
sin
3
u

=
và công bội
1
3
q
=
. Do đó
2 2
1
1
1
1 3 1 1

3
sin . sin 1
1
3 2 3 3
1
3
n
n
k
n
k
u

=


= =




. Suy ra
2 2 2
1 1
1 3 1 1
( sin ) sin 1 sin
2 1 2 3 3
n n
n
n

k k
n
u n
x

= =

= + = +

+


.
Vì dãy số
1
3
n



hội tụ nên dãy số
(
)
n
y
hội tụ khi và chỉ khi dãy số
{
}
2
1

sin
n
n

+
=
hội tụ
2
sin 0 ,
k k Z

= =
. Khi đó:
3 1 1 3 1 1
lim lim 0 1 .
2 3 3 2 3 2
n
n
n n
y


= = =


.
Bài tập 6: Cho dãy
{ }
1
n

n
x
+
=
nh sau:
1 1
2(2 1)
1, , 1,2,
3
n
n
n
x
x x n
x
+
+
= = =
+
. Chứng minh rằng dãy số đã
cho hội tụ và tìm giới hạn của dãy số đó.
Đáp số
lim 2
n
n
x

=

Bài tập 7 ( Đề thi vô địch sinh viên Moskva, 1982 ).

Cho dãy
{
}
n
x
nh sau:
0 1
1
1982, ( 0,1, )
4 3
n
n
x x n
x
+
= = =

. Hãy tìm
lim
n
n
x

.
Bài tập 8 ( Đề thi vô địch Tiệp ).
Cho dãy số
(
)
n
a

đợc xác định nh sau:
1 1
3
2, 4 ( 1,2, )
n
n
a a n
a
+
= = =
.
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 15
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tính giới hạn của dãy số đó.
Đáp số:
lim 3
n
n
a

=
.
Bài tập 9
Cho dãy số
{
}
n
x
nh sau:
(
)
( ) ( )
1
0 1
2 3 2
2 1 1
2 1, , 0,1,2,
2 1 3 2 1
n
n
n
n n
n
x
x x n
x
+
+
+ +
+ +

= = =
+ + +
.
Chứng minh rằng dãy
{
}
n
x
hội tụ và tìm
lim
n
n
x

.
3. phơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạpphơng pháp quy nạp
phơng pháp quy nạp

Việc dự đoán công thức rồi dùng phơng pháp qui nạp để chứng minh cũng là một phơng pháp
mạnh cho dãy số vì các công thức trong phần dãy số đều phụ thuộc vào các số tự nhiên.
( )
1 2
2
1
2
1 2
1 2
1
1; :

2
, 3
0, 3
3,4,5 4; 1; 0 4 , 3
Ta hy vọng rằng sẽ đa đợc về dãy tuyến tính:
Ta dùng qui nạp để chứng minh công thức vừa dự đoán.
n
n
n
n
n n n
n n n
u u
u
u
u n
u
u au bu c n
n a b c u u u n




= =


+

=

+ + + =
= = = = =

Tổng quát dãy số có dạng
( )
1 2
2
1
2
;
:
n
n
n
n
u a u b
u
u c
u
u


= =


+

=

có thể tuyến tính hóa.
( )
0
1
1
2; :
3
, 0,1,2,
1 3
n
n
n
n
u
u
u
u n
u
+
=


+

= =

Tìm
1997
u
.
HD:
Ta hy vọng rằng dãy này sẽ tuần hoàn. Tính trực tiếp ta thấy
3 0
u u
=
. Do đó ta dự đoán:
3 0
, 0,1,2,
n
u u n= =
Bằng quy nạp ta chứng minh điều đó.
1997
3 2
u
=
.
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1
0
3
1
3 3
3

3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
1
3
3;
3 , 0,1,2,
*) .
3 3 3 3
3
Xét dạng: Khi đó,

n n
n
n n n n n n n n n n
n
n
n n n
n n
n n
n
u
u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+

=


= =

= +
= + + = + + + +
= + +
( ) ( )
3 3 3
3
n n n
b a b +

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 16
0
3 3
*) 1
3 3.

3
3 5 3 5
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công t
hức truy hồi.
n n
n
ab
u a b
a b
u
ab
=
= + =

+ =

+
= +


=



( ) ( )
( )
( ) ( )

( )
1 1
0
3
1
3 3
3
3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3
1
3
4;
3 , 0,1,2,
*) .
3 3 3 3
3
Xét dạng: Khi đó,

n n
n
n n n n n n n n n n
n
n
n n n
n n
n n
n
u

u u u n
u u a b
u u a b a b a b ab a b a b
u ab a
+ +
+
+
=


= + =

= +
+ = + + + = + + + + +
= + +
( ) ( )
3 3 3
0
3 3
3
*) 1
3 3.
3
3 13 3 13
*) .
1
2 2
Nh vậy, nếu ta chọn thì đã thỏa công thức truy hồi.
n n n
n n

n
b a b
ab
u a b
a b
u
ab
+ +
=
= + =

+ =

+
= +


=



Lu ý:
Mọi đa thức bậc ba ta đều có thể đa về hai dạng trên.
1
3 2
1
2
5;
3 3, 1,2,
n n n

u
u u u n
+
=


= + =




Đặt
1( 1,2, )
n n
v u n= + =

1
3
1
3
3 , 1,2,
n n n
v
v v v n
+
=


= =

Lu ý: M
ột số phép đổi biến
+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
thì ta dời gốc tọa độ về đỉnh
( , ( ))
2 2
b b
A f
a a

của Parabol. Tức là ta đổi biến
2
b
X x
a
= +
.
+) Nếu ta gặp hàm đa thức bậc ba
3 2
( )
f x ax bx cx d
= + + +
thì ta dời gốc tọa độ về điểm uốn
( , ( ))
3 3

b b
A f
a a

của đồ thị của f(x). Tức là ta đổi biến
3
b
X x
a
= +
.
+) Nếu ta gặp hàm số tổng quát thì ta đổi biến sao cho hàm số đó trở thành hàm số lẻ
hoặc hàm số chẵn.
1
3 2
1
3
6
6;
24 12 6 15 6, 1
n n n n
u
u u u u n
+

=



= +

Đặt
1
3
1
2
6 1
4 3 ( 1,2, )
n n
n n n
v
v u
v v v n
+
=

=

= + =

(Đây là ta mới là mất bậc chẵn, giống chứng
minh hàm lẻ đó mà)
Tiếp theo ta làm mất hệ số của
3
n
v
.
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân

Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 17
3 3 3 2
1 1
1
4 3 3 4 1
2
n n n n n n
av a v av v v v a a
+ +
= + = + = =

Đặt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
1
3
1
3 3 3 3 3 3
4
1
2

3
1 1 1
2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5
2
2 6 6
n n n n n n
n n n
n n n
n n n
x
v ax x
x x x
x v u

+
=

= =

= +


= + + = + + = + + +


1
3
1
2
7;

9 3 , 1,2,
n n n
u
u u u n
+
=


= + =

(đề nghị thi OLYMPIC 30/04/1999)

HD:Đặt
1
3
1
6
3
3
n n
n n n
v
u v
v v v
+
=

=

= +

4. phơng pháp lợng giác
phơng pháp lợng giácphơng pháp lợng giác
phơng pháp lợng giác
Khi công thức truy hồi xuất hiện những yếu tố gợi đến các công thức lợng giác thì ta có thể thử
với phép thế lợng giác.
1
2
1
1
1
1
1; 2
2 1, 2
*) cos cos2
1
*) cos
2 3
n n
n n
u
u u n
u u
u

=



=

= =
= =

1
2
*) cos , 1
3
. Chứng minh bằng qui nạp
n
n
u n


=

1
1
1
2
1
1
1 1
2
1 1

2
2;
2 1, 2
*) 1 cos cos2
1 1 1 1
*) 1
2 2
n
n
n n
n
n
n
u
u u n
u u u
u u a u a
a
a







=

= =

> = + = +





TQ:
0
2
1
, 2
, 0
n n
u c
ab
u au b n
+
=

=

=


2
1
*) 2 1
n n n n
u bv v v

+
= =

Và ta cũng biết rằng mọi tam thức bậc hai bất kỳ ta đều có thể đổi biến về đỉnh của nó để ta
đợc hàm chẵn, tức là mất đi bậc nhất:
2
ax b
+
. Tuy nhiên, nó có thỏa tính chất trên hay không
thì ta cần phải kiểm tra cụ thể.
Huúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©nHuúnh Thanh Lu©n
Huúnh Thanh Lu©n



X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè
X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sèX¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè
X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè


Trang 18
1
3
1 1
1
1 1
1
1 1
1

1
3
1 1
1
1
1
1
3 2
1 1 1
3;
4 3 , 2
*) 1 cos cos3
1 1 1 1
*) 1
2 2
4;
4 3 , 2
1 1 1 1
*)
2 2
5;
, 2
§
n n n
n
n
n
n
n
n n n

n
n
n
n n n n
u
u u u n
u u u
u u a u a
a a
u
u u u n
u a u a
a a
u
u au bu cu d n
α α
− −
−
−
−
− −
−
−
− − −


= − ∀ ≥

≤ → = → =
   

> → = + → = +
   
   


= + ∀ ≥

   
= − → = −
   
   


= + + + ∀ ≥

−a vÒ hai d¹ng trªn.

1
1
2
1
1 1 1
1 1
1
2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2

2
1
2
6; sin
2 2 1
, 2
2
;
2
7; ;0
;
2
*) cos cos ; cos
2 2
*) cos .cos ; cos .cos
2 2 2 2
*) cos .cos cos
2 2 2
n
n
n
n n
n n n n
n n
n
u
u
u
u n
a b

u v bu
a b
u v
u v u v
a
u b v b
b
u b v b
u v b
α
α α
α
α α α α
α α α
−
−
− −
−

=


→ =

− −

= ∀ ≥


+


= =


< <

+

= =


= → = =
= =
= =

( )
1
1
3
8;
2 1
, 1,2,
1 1 2
n
n
n
u
u
u n
u

+

=


+ −

= ∀ =

+ −



T×m
2003
u
( §Ò thi chÝnh thøc OLYMPIC 30/04/2006 ).
HD:
1
1
tan
8
*) 2 1 , 1,2,
8
1 .tan
8
*) tan tan
8
n
n

n
n n
u
tg u n
u
u u
π
π
π
π
α α
+
+
+
= − ⇒ = ∀ =
−
 
= → = +
 
 

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Trang 19
( )
1
1
3
3
9;
2 3
, 1,2,
1 3 2
n
n
n
u
u
u n
u
+

=



+

= =

ĐS:
( 1) , 1,2,
6 12
n
u tg n n


= + =



1
1
1
10;
, 2
1
n
n
n
u
u b
u n
bu

+

=




1
1
2
1
2
1
1 1
2
2
1 1
1
2
1
3
11;
, 2
1 1
1 1 1
*) 1 1
1 1
1 cos 1
*) 1 cot
sin sin 2

n
n
n
n
n n n n
n n n
n
n n
u
u
u n
u
u
u x x x
u u u
u
x cot x cot cot cot











=

=

+ +

= = + + = + +
+ +
+
= = + + = + = =

5.
5.5.
5. một vài Dãy số khác.
một vài Dãy số khác.một vài Dãy số khác.
một vài Dãy số khác.


3.1 Dãy số có dạng:
( )
1 1
1
1 1 2
1 2 1
n n
n(n ) (n k )
x , x x , n , ,
(n k ) (n k )

+
+ +

= = + =
+ + + +

Bài toán 1. Tìm
n
x
biết rằng
( )
1 1
0 1
1
*
n n
n
x , x x , n N
n
+
= = +
+

Lời giải
Từ giả thiết ta có
1
1
n n
(n )x nx n
+
+ = +
. Đặt
n n

u nx
=
, ta có
1
1 2
n n
u u n, n , ,
+
= + =

Vậy
2 1
1
u u
= +

3 2
2
u u
= +

4 3
3
u u
= +



1n n
u u n

+
= +

Cộng lại và rút gọn ta đợc:
( )
1 1
1
1 2 1 2
2
n
n(n )
u u n , n , ,
+
+
= + + + + = =

Vậy
1
1 2
2
n
n(n )
u , n , ,

= =
. Suy ra
1
1 2
2
n

n
x , n , ,

= =

Bài toán 2. Tìm
n
x
biết rằng
1
0
x
=
và

( )
1
1
1
2 3
*
n n
n(n )
x x , n N
(n )(n )
+
+
= +
+ +
(1)

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 20
Hớng dẫn giải
Từ giả thiết (1), ta có
( )
2
1
2
1 2
1
1 2 3
*
n n
n(n ) (n )
x x , n N
(n )(n ) (n )
+
+ +
= +
+ + +

Do đó
2 2 2
1
1 2 3 1 2 1 2
n n
(n )(n ) (n )x n(n ) (n )x n(n ) (n )
+
+ + + = + + + + +

Đặt
2
1 2
n n
n(n ) (n )x u
+ + =
, thay vào trên ta đợc
2
1
1 2 1 2
n n
u u n(n ) (n ), n , ,
+
= + + + =

Từ đây ta tìm đợc
n
u
, sau đó ta tìm đợc
1 2 1

10 1
n
(n )( n )
x
(n )
+
=
+

Nhận xét. Việc giải bài toán tổng quát đợc tiến hành tơng tự.
3.2 Dãy số dạng:
1
1
0
( ) , 1
k
n n
x a
x g n x n
+

= >




=


, trong đó

( ) 0,
g n
>
*
,
n N k R

.
Lời giải
Ta có
1
ln ln ( ) ln
n n
x g n k x
+
= +
. Đặt
ln
n n
x y
=
, khi đó:

1
ln ( ), 1,2,
n n
y ky g n n
+
= =
(1)

Đặt
1n
n n
y k u

=
, thay vào (1) ta đợc
1
ln ( )
n n
n
g n
u u
k
+
=
. Suy ra
2 1
ln (1)
g
u u
k
= +

3 2
2
ln (2)
g
u u
k

= +



1
1
ln ( 1)
n n
n
g n
u u
k



= +

Cộng lại ta đợc
1
1
1
ln ( )
n
n
i
i
g i
u u
k

=
= +


Suy ra với mọi
1,2,
n
=
, thì
1 1
1 1
1
1
1 1
ln ( ) ln ( )
ln
n n
n n
i i
n
i i
n n
g i g i
k u k a
k k
y k u
n
x e e e e

= =





+ +









= = = =

3.3 Dãy số dạng:
( )
1
* *
1
0
( 1)
, ( ) 0, ;
, 1
( )
trong đó

k
n n
k
x a
f n
f n n k
x x n
f n
+

= >




+
>

=







Hớng dẫn giải
Ta có
(
)

1
( 1)
( )
k
n
n
k
x
x
f n
f n
+
=
+
. Đặt
( 1)
n
n
x
v
f n
=
+
, khi đó
1
k
n n
v v
+
=

. Vì
0
n
v
>
, nên từ
1
k
n n
v v
+
=
ta có
1
ln ln
n n
v k v
+
=
. Gọi
ln
n n
u v
=
. Khi đó
1
, 1,2,
n n
u ku n
+

= =

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 21
Vậy
{
}
1
n
n
u
+
=
tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là
1
u
, công bội là k, do đó
1
1
, 1,2,

n
n
u u k n

= =
. Sau đó thế ngợc trở lại ta tìm đợc
{
}
1
n
n
x
+
=
.
3.4 Dạng:
2
1
1
1 2
n
n
n
x a
x
x
x b, x c
+

=



= =


Cách giải. Từ
2
1
1
n
n
n
x a
x
x
+


=
, ta có

2
1 1n n n
x x x a
+
= +
(1)

Tơng tự ta cũng có

2
2 1
n n n
x x x a

= +
(2)
Trừ (1) cho (2) theo vế ta đợc
2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 2
n n n n n n n n n n n n
x x x x x x x x x x x x
+ +
= + = +

( ) ( )
1
1 1 1 2
1 1 2
n n
n n n n n n
n n n n
x x
x x x x x x
x x x x

+
+

+ = + =
+ +
.
Bởi vậy
1
2
2
1 1 2 1 3
n n
n n n n
x x
x
c

c a
x x x x x x
b
b


+
= = = = =
+
+ + +
+

Suy ra
(
)
1 1 1 1

0
n n n n n n
x x x x x x

+ +
= + + + =
. Từ đây ta tìm đợc số hạng tổng quát của dãy số
đã cho.
3.5 Dãy số dạng:
1 1
2 2
1 1
1 1
;
2
n n n
n n n
u v
u u av
v u v




= =




= +

=



HD:
(
)
( )
2
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
2
1 1
1 1
1 1
1
2
2

n n n n
n n n
n n n
n n n

n n n
n n n n
n n
u av u av
u u av
u u av
v u v
av au v
u av u av
u av u a








+ = +




= +

= +

=
=


=




+ = +

( )
(
)
1
2
1
2
1 1
;
n
n n
n n
v
u v
u av u av

=




VD:
1 1
2 2
1 1
1 1
2; 1
2
2
n n n
n n n
u v
u u v
v u v



= =

= +




=



3.6 Dãy số dạng:
0
2
1
1
, 1
2
n
n
n
x
x a
x n
x

=




+

=





Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 22
HD: Đặt
n
n
n

u
x
v
=
ta sẽ đa về dạng 3.5 (Lu ý phơng pháp chuyển về hệ này nhé, cũng khá
mạnh đấy)
3.7 Dãy số dạng:
1
2
2
1 1
, 1
, 2
với
n n n
u
a b
u au bu c n



=



=


= + +

HD:
(
)
( )
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2
1 1
2
2 2
1 1
2 2
1 1 2 2
2 2 0
2 0
2
2 0
2 0
n n n n n n n n n
n n n n n n n n n
n n n n
n n
n n n n
n n n n

u au bu c u au bu c u au bu c
u au u a u bu c u au u a b u c
u au u u c
u au
u au u u c
u au u u c






= + + = + = +
+ = + + =
+ =



+ =




+ =


( )
( )
( )
2

1 1
2
2 2
2 1 2 1
2 2
1 1
2 1
0
,
2 0
2 0
2
là hai nghiệm của pt:
t
n n
n n
n n n n
n n
n n n
u u c
u u
u au u u c
au t u c
u u au

+ =





+ =



+ =
+ =

3.8 Dãy số dạng:
1
2
1
2
1
, 0; 1; 1
, 2
trong đó:
n
n
n
u
u
a a b
u n

a cu b





=




> > =

=



+ +



HD:
2
1
2
1 1
1
1 1 1
1
Đặt sẽ chuyển về dạng trên.

n
n
n n n
n
n
n
u
u a b c
u u u
a cu b
x
u







= = + +






+ +
=

3.9 Dãy số dạng:

( ) ( )
1 2
2 1 1
;
. , 1
n n n n n n n n
u u
u p q u p q u f n
+ +



+ + =



HD:

(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 1 2 1 1 1 1
1 1
2 1 1 1
3 2 2 2

1 1 1
*) .
*)

Với v


n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n
n n n n
u p q u p q u u p u q u p u v q v
u p u
v q v f
v q v f
v q v f
+ + + + + +
+

+ + = =
=
=
=
=

( )
( )
( )
2 1 1 1
1 1
3 2 2 2

2 2
1 1 1
1 1
.
.

.


n n n n
n n
a a
v q v f
q q
a a
v q v f
q q
a a
v q v f
q q


=
=
=

Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 23
1 1
1 1 1
1 1
1
.
n n
i i
n n n
i i
n i i
f f
a
v av a v q v
q q q


= =


= = +

Trờng hợp đặc biệt của dạng này hay gặp là khi một trong hai hàm trên là một hàm
hằng.
( ) ( )
1 2
2 1
;
. , 1
n n n n n n
u u
u q u q u f n

+ +



+ + =


, tức là pt đặc trng có hai nghiệm là:
;
n
q


VD:
( )( )
1 2
1 2

1; 2
1 , 3
n n n
u u
u n u u n

= =



= +



( ) ( )
1 2
1 1 2
1 1
*) ! 0
1
*) 1;
1
*) 0
Đặt
có hai nghiệm
n n n n n
n n n n
n
u n v v v v
n n

Pt
n
v v v v
n



= =

+ =

Luyện tập:
Luyện tập:Luyện tập:
Luyện tập:


Baứi taọp 1 :
1
1
2
3 0, 1
n n
u
u u n
+
=


+ =

Baứi taọp 2 :
1
1
2
3 2, 1
n n
u
u u n
+
=


+ =


Baứi taọp 3 :
1
1
2
2, 1
n n
u
u u n
+
=


=

Baứi taọp 4 :
1
1
1
3 4 5, 1
n n
u
u u n n
+
=


+ = +


Baứi taọp 5 :
1
1
1
4 5, 1
n n
u
u u n n
+
=


= +

Baứi taọp 6 :
1
1
2
3 2 , 1
n
n n
u
u u n
+
=


+ =


Baứi taọp 7 :
1
1
1
1
7 7 , 1
n
n n
u
u u n
+
+
=

=


Baứi taọp 8 :
1 2
2 1
2, 3
3 2 0, 1
n n n
u u
u u u n
+ +
= =


+ =


Baứi taọp 9 :
1 2
2 1
9, 45
2 8 27.5 , 1
n
n n n
u u
u u u n
+ +

= =


+ =


Baứi taọp 10 :
1 2
2
2 1
9, 45
2 8 2 , 1
n n n
u u
u u u n n n
+ +
= =


+ = +


Baứi taọp 11 :
1 2
2
2 1
9, 45
2 3 2 , 1
n n n
u u

u u u n n n
+ +
= =


+ = +


Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân



Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 24
Baứi taọp 12 :
1 2 3
3 2 1
1, 2, 3
6 11 6 0, 1
n n n n
u u u
u u u u n
+ + +
= = =

+ =


Baứi taọp 13 :
1 2 3
2
3 2 1
4, 26, 74
6 11 6 6 4 8, 1
n n n n
u u u
u u u u n n n
+ + +
= = =



+ =



Baứi taọp 14 :
1 1
1
1
1, 1
6
6

n n n
n n n
u v
u u v
v u v
+
+
= =


=


= +


Baứi taọp 15 :
1
1
1
1
3
n
n
n
u
u
u
u
+

=


+

=

+


Baứi taọp 16 :
(
)
n
x
:
1
2
1
2
3 1, 1,2,
n n
x
x x n n
+
=


= + + =

Baứi taọp 17 :
{ }
0
n
n
x
+
=
:
0 1
99, 2 1, 0,1,2,
n n
x x x n n
+
= = =

Đáp số.
2
99 , 0,1,2,
n
x n n= =

Baứi taọp 18 :
(
)
n
x
:
1

1
1
3 2 , 1,2,
n
n n
x
x x n
+
=


= + =


Đáp số:
3 2 , 1,2,
n n
n
x n= =

Baứi taọp 19 :
{ }
1
n
n
x
+
=
:
1

1 1
101, 7 7 , 1,2,
n
n n
x x x n
+
+
= = + =

Baứi taọp 20 :
{ }
1
n
n
x
+
=
:
0 1
1 1
1, sin , 0,1,2,
4
2 2
n n
n
x x x n

+
= = =

Đáp số.
cos , 0,1,2,
4
n
n
x n

= =

Baứi taọp 21 :
2 *
1 1
1, 2 2.2 ,
n
n n
u u u n n N
+
= = + +
.
ĐS:
1 2
5.2 2 3 .2 , 1,2,
n n
n
u n n n n

= + =

Baứi taọp 22 :
1 2 1 1

1, 0, 0, 2,3,
n n n
x x x x x n
+
= = + = =

ĐS:
3
cos sin , 1,2,
3 3 3
n
n n
x n

= + =

Baứi taọp 23 :
1 2 1 1
0, 1, 2 0, 2,3,
n n n
x x x x x n
+
= = = =

Đáp số.
1 1
( 1) 2 , 1,2,
3 6
n n
n

x n= + =

Baứi taọp 24 :
Cho dãy số
{
}
( )
p n
đợc xác định nh sau:
(1) 1, ( ) 1. ( 1) 2. ( 2) ( 1) (1)
p p n p n p n n p
= = + + +
.
Hãy xác định p(n) với mỗi n=1,2,
Baứi taọp 25 :
1 2 1 1
1, 0, 2 2.2 , 2,3,
n
n n n
x x x x x n
+
= = + = =

Đáp số:
1
2 9 2.2 , 1,2,
n
n
u n n
+

= + =

Baứi taọp 26 :
+
+

= =

=


= +

1 1
1
1
1, 1
4 2 , 1
, 1
n n n
n n n
x y
x x y n
y x y n
.
Huỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh LuânHuỳnh Thanh Luân
Huỳnh Thanh Luân

Xác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy sốXác định số hạng tổng quát của dãy số
Xác định số hạng tổng quát của dãy số


Trang 25
Đáp số. Với mọi
1,2,
n
=
, thì
1 1
2 , 2
n n
n n
x y

= =

Baứi taọp 27 :
(
)
n
u
;
(
)
n
v

:
(
)
2 2
0 0 1 1
0, cos , 2 sin , 2 cos
n n n n n n
u v u u v v v u n N

+ +
= = = + = +

ĐS:
( ) ( )
( ) ( )
1
sin 1 sin 2 1 sin 2
2
, 0,1,2,
1
cos 1 sin 2 1 sin 2
2
n n
n
n n
n
u
n
v

= +



=



= + +




Baứi taọp 28 :
Cho dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
đợc xác định nh sau:
1 1
2
, ( 1,2, )
3 2(2 1) 1

n
n
n
x
x x n
n x
+
= = =
+ +
.
Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số
{ }
1
n
n
x
+
=
( Đề thi HSG quốc gia năm
học 2000-2001, bảng B ).
ĐS:
1 2 2001
1 4002
1
4003 4003
x x x+ + + = =
.
Baứi taọp 29 :
1
2

1
3
2
2 , 2
n n
u
u u n


=



=


2 2 2 2
1 1 1
*) 2 2 2 1 2 , 2
n n n n n n n n
u u au a u a v v u v

= = = = =

Baứi taọp 30 :
( )
1
2 1
2 2
1

3 3
2
2.3 3 , 1
n
n
n
n n
u
u u n
+
+

=



=


1
2 2
1
3 2 1
Đặt
n
n n n n
u v v v

+
= =

Baứi taọp 31 :
1
2 2
1
6
2.6 , 1
n
n n
u
u u n
+
=



=



2
2 2 2
1 1
2
2.6
*) 2. 2 ln 6 2 1
2.
Đặt chọn
n
n

n
c
n n n n n n
c
u e v v v c v v
e
+ +
= = = =

Baứi taọp 32 :
0
1
0
1
, 0
2
n n
n
x a c
c
x x n
x
+

= > >


= +

( )
2
1
1
2
log
1 1
*)
2
n n
n n
arit
n n n n
x c x c
x c x c
y y u u
+
+
+ +


=


+ +

= =

Baứi taọp 33 :
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
1 2
2
2 1
1 2
;
2 3
3 2 2 1 2 2
, 1
1 2 3 3
n n n
x x
n n n n n
x x x n
n n n n n
+ +

= =



+ + + +

+ =

+ + + +


2 1
2 1
2
*) , 3 2
2 1
3
3 2 1
3 2
Chia hai vế cho ta đợc:
n n n
n n n
x x x
n
n
n n n
n
n n n
u u u n
+ +
+ +
+
+ =
+ +
+
+ + +
+ =