Phương pháp giải toán đại số bồi dưỡng tham khảo
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (355.33 KB, 31 trang )
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Nguyễn Phú Khánh
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ðẠI SỐ
(Tài liệu bồi dưỡng giáo viên PTTH)
Tp Hồ Chí Minh, 2007
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Hãy xác ñịnh m sao cho tổng bình phương các nghiệm phương trình sau ñạt giá trị nhỏ nhất:
x
2
- (3m + 2)x – 3 - 2m = 0
ðS
−=
=
⇒
++=
∀
⇔
−+=+=
≥∆
9
8
9
26
)(min
10169)(
2)()(
0
2
21
2
21
2
2
2
1
m
mf
mmmf
m
xxxxxxmf
Giải phương trình và bất phương trình:
1.
22
4324 xxxx −+=−+
2.
(
)
(
)
54141 =−++−++ xxxx
3.
11414
2
=−+− xx
4.
(
)
(
)
06log52log1
2
1
2
2
1
≥++++ xxxx
ðS:
1. ðặt
2;4
2
≤−+= xxxt
có 20';
4
1'
2
=⇔=
−
−= xt
x
x
t
[
]
22;2−∈⇒ t :
pt
3
142
,2,00823
2
−−
===⇔=−−⇔ xxxtt
2.
[
]
[
]
10;50'4;1;41 ∈⇒=⇒−∈−++= ttxxxt
pt
305
2
5
2
=∨=⇔=
−
+⇔ xx
t
t
3.
>−+−=
≥
0)(';1414)(
2
1
2
xfxxxf
x
2
1
)
2
1
(1)( =⇒==⇒ xfxf
4.
( ) ( ) ( )
1
12
2
1
3
12);(06521
log;0
21
2
1
2
2
2
+
−
=−⇒
=
+
=
⇒
−=∆∗≥++−+
=>
x
x
tt
t
x
t
xtxtx
xtx
•
)(0:
2
1
,0 ∗⇒<
∈ tx
ñúng
•
( )
≥
>
+
+=
⇔
≥
≤
+
−=
⇔
≥
≤
⇒>
4
0
1
3
ln
1
)('
2log
0
1
3
log)(
2
1
2
2
2
2
2
1
x
x
x
xf
x
x
xxf
tt
tt
x
)(xf
⇒
tăng trên
2
2
1
)2()(;
2
1
≤<⇔≤⇒
+∞ xfxf
Vậy
420
≥
∨
≤
<
xx
=
≥
⇔=
2
0
BA
B
BA
<≤
>
⇔<
2
0
0
BA
B
BA
=
≥
⇔=
BA
A
BA
0
≤≤
≥
⇔≤
2
0
0
BA
B
BA
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
3
3
BABA =⇔=
>
≥
∨
≥
<
⇔>
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA
≥
=
=
=
++
0
22
1212
AB
BA
BA
BA
nn
nn
≥
>
∨
≥
≤
⇔≥
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA
3
3
0
BABA
BABA
<⇔<
<≤⇔<
22
BABA
AB
AB
BA
BABBA
=⇔=
−<
<
⇔>
<<−⇔<
=−<
=≥
⇔=
=
≥
⇔=
BAA
BAA
BA
BA
B
BA
;0
;0
0
22
Cho hệ phương trình :
++=
++=
myxy
mxyx
2
2
3
3
;
m
: tham số
1.
Giải hệ khi
m
= 2
2.
Xác ñịnh
m
ñể hệ cho có nghiệm duy nhất.
Hệ
( )
( )
01
2
2
2233
3
3
=+++−⇔−=−⇒
++=
++=
yyxxyxxyyx
myxy
mxyx
y
x
=
⇔
vì 01
22
=+++ yyxx vô nghiệm (do 043
2
<−=∆ y
x
)
Khi ñó hệ cho
)(
32
33
∗
=
=−
⇔
=
++=
⇔
yx
mxx
yx
mxyx
1.
Khi
m
= 2 hệ cho
=
=
∨
−=
−=
⇔
=
=−
⇔
2
2
1
1
23
3
y
x
y
x
yx
xx
2.
ðể hệ có nghiệm duy nhất
⇔
pt : mxx =− 3
3
có nghiệm duy nhất
xxxf 3)(
3
−=⇔ có 33)('
2
−= xxf ; 10)('
±
=
⇔
=
xxf
x
∞
−
-1 1
∞
+
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 2
∞
+
∞
−
-2
22
>
∨
−
<
⇒
mm
Nguyn Phỳ Khỏnh 063.27.78.79 0989.80.78.79
Ti liu xut bn nm 2007
Gii h phng trỡnh
=+
=+
=+
025
025
025
xxz
zzy
yyx
Nhn xột : 000
=
=
=
zyx khụng tha h
H cho vit li
==
==
==
)(
2
5
)(
2
5
)(
2
5
xf
x
z
zf
z
y
yf
y
x
Xột
0
1
)('
5
2
5)(
3
>==
t
tftf
nờn )(tf tng
z
y
x
=
=
nờn ta cú phng trỡnh 025
=+
xxx
122
== xx
Vy h cho cú nghim :
2234
======
zyxzyx
)(xf liờn tc trờn D
1.
a thc bc n cú nhiu hn n nghim
mi h s ủu bng 0
2.
0),(
=
mxf ủỳng , Dx
(vi D l tp vụ hn)
mi h s ủu bng 0
3.
)()( mgxf
=
cú nghim DxxMGTfmgDx
);()(
4.
)()( mgxf
=
vụ nghim DxxMGTfmgDx
);()(
5.
)()( mgxf
=
cú ủỳng n nghim
Dx ủng thng )(mgy
=
ct ủ th
Dxxfy
=
),( ti ủỳng n ủim.
6.
0)(
=
xf cú nghim 0)().();(
<
bfafbax
7.
a
b
afbf
xf
=
)()(
)(' cú nghim
b)(a, trong haứmẹaùo
b]
[a,
treõn
tuùc
lieõn
)(
);(
xf
bax
Cho phng trỡnh :
axx =++
2
1
2
1
1.
Gii phng trỡnh khi 1
=
a
2.
nh a ủ phng trỡnh cho cú nghim.
S : 1)
2
1
=
x 2) 21
a
Cho phng trỡnh :
(
)
03651172
234
=+++
kxkxxx (1) , k: tham s.
1.
Chng minh rng phng trỡnh (1) cú 1 nghim thc khụng ph thuc k.
2.
Bin lun tham s k s nghim phng trỡnh (1).
1)
D thy 1,
=
xk luụn tha phng trỡnh (1). Do ủú (1) cú mt nghim khụng ph thuc
tham s k.
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
2)
Do 1
=
x là 1 nghiệm (1) nên (1)
(
)
(
)
0361521
23
=−+−−⇔ kxxxx
=+−=
=
⇔
)2()(36152
1
23
xfxxxk
x
∗
1
=
x là nghiệm (2) 231.361.151.2
23
=⇔+−=⇔
kk
Với 23
=
k thì (2)
(
)
(
)
10361521
23
=⇔=−+−−⇔
xkxxxx
Vậy 23
=
k thì (1) có nghiệm duy nhất.
∗
23
≠
k thì 1
=
x không là nghiệm của (1). Khi ñó
(
)
656)('
2
+−=
xxxf
.320)('
=
∨
=
⇔
=
⇔
xxxf
x
∞
−
2 3
∞
+
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 28
∞
+
∞
−
27
o 272328
<
≠
∨
>
kk thì (2) có nghiệm duy nhất
⇒
(1) có 2 nghiệm phân biệt.
o 2728
=
∨
=
kk thì (2) có 2 nghiệm phân biệt
⇔
(1) có 3 nghiệm (2 ñơn,1 kép)
o 2827
<
<
k thì (1) có 4 nghiệm phân biệt
Phương trình cho
(
)
(
)
mxxxxx
=−−−++⇔
4512
X ét
(
)
(
)
( )
(
)
( )
xhxg
xxxxxxf
−−−++
4512 ;
[
]
4,0∈D
(
)
(
)
12
++=
xxxxg : ñồng biến trong D
( ) ( ) ( ) ( )
:0
42
1
52
1
' xhxgxfDx
xx
xh
=⇒∈∀>
−
+
−
−
=
ñồng biến mọi
∈
x
D
⇒
phương trình có nghiệm
(
)
(
)
(
)
(
)
12453240
≤≤−⇔≤≤
mfxff
Tìm m ñể phương trình
(
)
3log3loglog
2
4
2
2
1
2
2
−=−+ xmxx có nghiệm thuộc khoảng
[
)
+∞,32
Phương trình cho
( )
3log3log2log
22
2
2
−=−−⇔ xmxx
[
)
[
)
( )
( )
5;
3
32
332
,5,32;log
2
2
2
≥=
−
−−
=⇔
−=−−
+∞∈⇒+∞∈−
⇔ ttf
t
tt
m
tmtt
txxt
( )
( )
[
)
+∞∈<
−−−
−
= ,5; 0
323
26
'
2
2
t
ttt
t
xf
Tìm các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm:
(
)
xxmxxx −+−=++ 4512
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
t 5
∞
+
f’(t) -
31 ≤<⇒ m
f(t)
3
1
Tìm m ñể phương trình có nghiệm:
(
)
1 sin21cos21 mxx =+++
ðiều kiện cần: 0
>
m
ðiều kiện :
π
π
π
π
2
3
2
2
6
2
1
sin
2
1
cos
kxk
x
x
+<<+−⇔
−>
−>
Phương trình (1)
(
)
(
)
(
)
2
4sin21cos212cossin22 mxxxx =+++++⇔
(
)
(2) 2cossin4cossin21cossin1
2
mxxxxxx =++++++⇔
ðặt
1
2
13
3
2
;
6
;
4
sin2cossin ≤<
−
⇒
−
∈
+=+= txxxxt
πππ
Khi ñó (2) viết lại
(
)
22
212211 mttt =−++++
ðặt
−
∈−+++= 1;
2
13
; 1221)(
2
tttttf
. Có f’(t)>0
t
∞
−
2
13 −
1
∞
+
f’(t) +
f(t)
32 +
2
13 +
322
2
13
2
+<<
+
⇒ m
2
3
10
2
13
+≤<∨
+
>⇒ mm
Cho : (1) 2cos2sinsin6
222
xmxx =−
1.
Giải phương trình (1) khi 3
=
m
2.
Tìm m ñể phương trình (1) có nghiệm.
ðặt
[
]
1;1 ; 2cos −∈= txt
. Khi ñó )2( 23)1(
22
mttt =+−⇔
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
1.
2
2
1
0232 (2) thì3
2
−=∨=⇔=−+⇔= ttttm
Ζ∈+±=⇔=⇔= kkxxt ,
6
2
1
2cos
2
1
π
π
2.
ðể (1) có nghiệm x
⇔
(2) có nghiệm
[
]
1;1−∈t
Nhận xét 0
=
t thì
⇔
=
⇔
0.2)2( m không có m.
Khi
[ ]
[
)
+∞∈∈
≠−∈=
+−
=
⇔≠
0;D )(
0 ; 1;1 ; )(
23
)2( thì0
2
2
tfMGTm
tttf
t
tt
m
t
Có
3
4
0)(' ;
43
)('
4
2
=⇔=
−
= ttf
t
tt
tf
t
∞
−
-1 0 1
3
4
∞
+
)(' tf + -
∞
+
∞
+
)(tf
6 0
00)(
≥
⇒
≥
⇒
mtf
Cho phương trình :
(1) cottan
cos
1
sin
1
cossin axx
x
x
xx =+++++
1)
Giải phương trình khi 2
−
=
a
2)
ðịnh a ñể phương trình có nghiệm.
ðiều kiện : 0cos ; 0sin
≠
≠
xx
a
x
x
x
x
x
x
xx
xx =++
+
++⇔
sin
cos
cos
sin
cos
.
sin
cossin
cossin)1(
(2)
cos
.
sin
1
cos
.
sin
cossin
cossin a
x
x
x
x
xx
xx =+
+
++⇔
ðặt
2 ;
4
sin2cossin ≤
+=+= txxxt
π
Khi ñó
( ) ( ) ( )
1 ; (3) 0121
1
2
1
2
)2(
22
±≠=−−+−⇔=
−
+
−
+⇔ ttatta
t
t
t
t
1. Với
(
)
(
)
001221(3) thì2 =⇔=−++−⇔−= tttta
π
ππ
kxx +−=⇔=
+⇔
4
0
4
sin
2. Với
)(
1
2
(3) thì1 và2
2
xf
t
tt
att =
−
+−
=⇔±≠≤
( )
210)(' ;
1
12
)('
2
2
±=⇔=
−
−−
= ttf
t
tt
tf
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
t
2−
21−
1
2
21+
f’(t) + 0 - - - 0
221−
∞
+
f(t)
232 −
∞
−
232 +
ðể (1) có nghiệm thì (3) có nghiệm
[
]
1 t; 2;2 ±≠−∈t
232221 +≥∨−≤⇔ aa
Cho 2 hàm số :
(
)
(
)
xx
xx
xx
xx
xg
xxxxxf
sincos2
cossin2
cossin2
sincos2
)(
sincos2cossin2)(
−
−
+
+
+
=
−+=
1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f(x)
2)
Xác ñịnh mọi giá trị của tham số m ñể phương trình sau có nghiệm
(
)
[
]
mxfxgm −=− )(3)(3
1.
( )( )
(*) 2cos22sin
2
3
sincos2cossin2)( xxxxxxxf +=−+=
ðể (*) có nghiệm
[ ]
2
5
)()(2
2
3
2
2
2
≤⇒≥+
⇔ xfxf
−=+⇔−=
=+⇔=
⇔
2
5
2cos2sin2x
2
3
2
5
)(min
2
5
2cos2x sin2x
2
3
2
5
)(max
xxf
xf
Hàm số có thể dùng bất ñẳng thức Bunnhiacopsky
2.
)(
3
sincos2
cossin2
cossin2
sincos2
)(
xfxx
xx
xx
xx
xg =
−
−
+
+
+
=
Khi ñó :
( )
[ ]
( )
[ ]
mxf
xf
mmxfxgm −=−⇔−=− )(3
)(
3
3)(3)(3
ðặt
2
5
: )( ≤= txft . Ta có :
( ) ( )
mt
t
m −=− 3
3
3
( )
2
22
1
32
)(' ; 0 ; 1 ; )(
1
3
+
−+
=≠−≠=
+
+
=⇔
t
tt
tftttf
t
t
m
t -3
2
5
−
-1 0 1
2
5
f’(t) + 0 - - - - 0 +
6
37
−
∞
+
f(t) 3
∞
−
2
6
37
2 −≤∨≥⇒ mm
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
(1)
2
1
2sincossin
44
−=+ xmxx
1.
Giải phương trình (1) khi 1
=
m
2.
Chứng minh rằng với mọi tham số thực m thỏa ñiều kiện
1≥m
thì phương trình
(1) luôn có nghiệm.
1.
Khi 032sin22sin
2
1
2sincossin(1) thì1
244
=−+⇔−=+⇔= xxxxxm
Ζ∉+=⇔=⇔ kkxx ,
4
12sin
π
π
2.
Phương trình (1) 032sin22sin
2
=−+⇔ xmx
=−+
≠≤=
−
=⇔≤=
⇔
032
0,1 ; )(
3
21 ; 2sin
2
2
tt
tttf
t
t
mtxt
0,1 ; 0
3
)('
2
2
≠≤<
−−
= tt
t
t
tf
t -1 0 1
f’(t) - -
f(t) -2
∞
+
∞
−
2
1
22
22
≥⇔
−≤
≥
⇒ m
m
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Cho phương trình :
(
)
)1( 12sin
4
4
msìnxx =−+
1.
Giải phương trình khi
8
1
=m và các nghiệm của nó thỏa mãn 105
lg5lg
≤+
x
x
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm
−∈
2
;
6
ππ
x
.
ðặt
2
1
2sin −= xt ;
−∈
2
1
;
2
35
t
Phương trình (1)
)2(
8
1
32
2
1
2
1
24
44
mttmtt =++⇔=
−+
+⇔
1. Khi
8
1
=m thì
0032)2(
24
=⇔=+⇔ ttt Ζ∈
+=
+=
⇔=⇔ k
bkx
akx
x
)(
12
5
)(
12
2
1
2sin
π
π
π
π
Xét :
100
55
0
105
lg
lg5lg
≤<⇔
≤
>
⇔≤+ x
x
x
x
x
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
(a) thỏa mãn 1,3083,010
12
0 ≤<−⇔≤+<⇔ kk
π
π
{ }
=⇒∈⇒
12
37
,
12
25
,
12
13
,
12
3,2,1,0
ππππ
xk
(b) thỏa mãn khi
76,242,010
12
5
0 ≤<−⇔≤+< kk
π
π
{ }
=⇒∈⇒
12
29
,
12
17
,
12
5
3,2,1
πππ
xk
=⇒
12
37
,
12
29
,
12
25
,
12
17
,
12
13
,
12
5
,
12
πππππππ
x
2.
=++=
+
−∈⇒
−∈−=
⇔
)(
8
1
32
2
1
;
2
13
2
,
6
;
2
1
2sin
)2(
24
tfttm
txxt
ππ
00)(' ; 68)('
3
=⇔=+= ttftttf
t
( )
13
2
1
+−
0
2
1
f’(t) - 0 +
f(t)
2
37
8
53
+
1
8
1
2
37
8
53
8
1
+≤≤⇒ m
Cho phương trình : )1( 4cos2cos21cos xxxa
+
+
=
1.
Giải phương trình khi 4
=
a
2.
ðịnh a ñể phương trình cho không ít hơn 2 nghiệm
−∈
3
;
3
2
ππ
x
(1) xxxxxa
22
cos.2cos42cos22cos2cos =+=⇔
(
)
(
)
0cos4cos8cos0cos1cos2cos4
322
=−−⇔=−−⇔ axxxxaxx
=−−
=
⇔
)2( 0cos4cos8
0cos
2
axx
x
1.
Khi 4
=
a phương trình cho
=
+=
⇔
=
=
⇔
=−−
=
⇔
π
π
π
2
2
1cos
0cos
04cos4cos8
0cos
3
kx
kx
x
x
xx
x
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
2.
=−=
−∈⇒
−∈=
⇔
)3( 48)(
1,
2
1
3
;
3
2
; cos
)2(
3
atttf
txxt
ππ
Có
6
1
0)(' ; 424)('
2
±=⇔=−= ttfttf
t
∞
−
2
1
−
6
1
−
6
1
1
∞
+
f’(t) + 0 - 0 +
f(t)
63
8
4
1
63
8−
4
63
8
≤≤
−
⇒ m
Cho phương trình :
(
)
(
)
(
)
(
)
0cos34cos.sin22sin123sin322
23
=−−−+−+− xmxxmxmxm
1.
Giải phương trình khi 2
=
m
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 1 nghiệm
∈
4
,0
π
x
Vì 0cos
=
x không là nghiệm phương trình nên chia 2 vế phương trình cho x
3
cos
ta ñược :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
01344213664
2223
=+−−−++−+− xtgmxtgmxtgtgxmxtgm
(
)
(
)
(*) 03421
2
=−+−−⇔ mmtgxxtgtg
1. Với 2
=
m thì
(
)
(
)
0541(*)
2
=+−−⇔ tgxxtgtgx
π
π
kxtgx +=⇔=⇔
4
1
2, Phương trình (*)
[ ]
=
−
−
=
∈⇒
∈=
=⇒=
⇔
)1( 2
2
3
)(
1,0
4
,0 ;
nhân
4
1
2
m
t
t
tf
txtgxt
xtgx
π
π
( )
310)('
2
34
)('
2
2
=∨=⇔=⇒
−
+−
= tttf
t
tt
tf
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
t
∞
−
0 1 3
∞
+
f’(t) +
f(t) 2
2
3
Phương trình cho luôn có 1 nghiệm
mx ∀= ,
4
π
, nên ñể phương trình cho có ñúng 1
nghiệm
∈
4
,0
π
x
thì (1) thỏa :
•
Hoặc có ñúng 1 nghiệm
(
)
11 ; 1 =⇔== mttgx
Ngược lại 10121
2
=⇔=+−⇒= tgxtgxxtgm (thỏa)
•
Hoặc vô nghiệm
>
<
⇔
>
<
⇔
1
4
3
22
2
3
2
m
m
m
m
Vậy
4
3
1 <∨≥ mm
Cho phương trình :
(
)
)1( cossincos.sincos.sin2cos2
22
xxmxxxxx +=++
1.
Giải (1) khi 2
=
m
2.
Tìm m ñể phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
2
;0
π
Ta có :
(
)
(
)
[
]
xxxxxxxxxxx cossinsincos2cossincos.sincos.sin2cos2
22
+−+=++
Khi ñó (1)
(
)
(
)
[
]
0cos.sinsincos2cossin =−+−+⇔ mxxxxxx
(*)
1.
Khi 2
=
m phương trình
(
)
xxxxxxx cossin2cos.sincos.sin2cos2)1(
22
+=++⇔
−=
=
⇔
=+
=+−
≤
+=−=
⇔
1
1
0cossin
034
2t ;
4
cos2sincos
2
tgx
t
xx
tt
xxxt
π
+−=
+−=∨=
⇔
+−=
=
+
⇔
π
π
π
π
π
π
π
π
kx
kxkx
kx
x
4
2
2
2
4
1
4
cos2
2.
Tìm m ñể (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
2
;0
π
Ta có :
[ ]
1;1
2
,0 −∈⇒
∈ tx
π
với xxt sincos
−
=
+=
4
cos2
π
x
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
(*)
[ ]
−∈
=−+−
=+
⇔
1;1
(3) 0122
(2) 0cossin
2
t
mtt
xx
Nhận xét (2) có nghiệm
π
π
kx +−=
4
; không thuộc
2
;0
π
Do ñó ñể (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
2
;0
π
khi phương trình (3) có nghiệm t thuộc
[
]
1;1−
. Khi ñó
(3) mtt 214
2
−=−⇔ . Xét tttf 4)(
2
−= ;
[
]
1;1−∈t
042)('
<
−
=
ttf ;
[
]
)(1;1 tft ⇒−∈∀
giảm trên
[
]
1;1−
t -1 1
f’(t) -
f(t) 5
-3
5213
≤
−
≤
−
⇒
m
[
]
2;2−∈⇔ m
Cho : )1( cossin
33
mxx =−
1.
Giải phương trình (1) khi 1
−
=
m
2.
Tìm m ñể phương trình (1) có ñúng 2 nghiệm
−∈
4
;
4
ππ
x
ðặt
+=−=
4
cos2sincos
π
xxxt
;
2
1
cos.sin và2||
2
t
xxt
−
=≤
Pt
(
)
(
)
mtttfmxxxx 23)(sin.cos1sincos
3
=+−=⇔=+−⇔
1.
Khi 1
−
=
m thì 21023)(
3
=∨−=⇔=−+−= tttttf
πππ
ππ
22
2
1
4
cos21 kxkxxt +−=∨+=⇔−=
+⇔−=
2.
Với
[
]
2;0
4
;
4
∈⇒
−∈ tx
ππ
ðể (1) có ñúng 2 nghiệm
−∈
4
;
4
ππ
x
thì f(t) có ñúng 2 nghiệm
[
]
2;0∈t
Có 10)('33)('
2
±=⇔=⇒+−= ttfttf
t
∞
−
-1 0 1
2
∞
+
f’(t) - 0 + + 0 - -
f(t) 2
0
2
1
2
2
≤≤⇒ m
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình : )1( 2cos73cos.2cos.cos2 mxxxx
−
=
1.
Giải phương trình khi 7
−
=
m
2.
ðịnh m ñể phương trình có nhiều hơn một nghiệm
−∈
8
;
8
3
ππ
x
1)
(
)
)2( 02cos82cos2cos202cos72cos4cos2cos)1(
23
=+−+⇔=+−+⇔ mxxxmxxxx
7
−
=
m ; pt (2)
π
kxt
ttt
txt
=⇔=⇔
=−−+
≤=
⇔
1
0782
1|| ; 2cos
23
2)
∈
=−+=−=
⇒
−∈
1;
2
1
-t
(3) )(82 ; 2cos
8
;
8
3
23
tftttmxt
x
ππ
3
4
10)('826)('
2
−=∨=⇔=⇒−+= tttftttf
t
2
1
−
2
1
1
f’(t) - - 0
f(t)
2
127 +
2
271 −
-5
Ứng với 1 nghiệm
−∈
2
1
;
2
1
t hoặc 1
=
t thì phương trình xt 2cos
=
có
ñúng nghiệm x
Ứng với 1 nghiệm
∈ 1;
2
1
t thì phương trình xt 2cos
=
có ñúng 2 nghiệm x
Vậy, ñể (1) có nhiều hơn 1 nghiệm thì (3) có nghiệm
1;
2
1
ðể thỏa mãn yêu cầu bài toán thì
5
2
127
2
271
5 <≤
−
⇔
−
≤−<− mm
Với giá trị nào của m thì phương trình :
1
5
1
24
34
2
+−=
+−
mm
xx
có 4 nghiệm phân
biệt.
Vì mmm ∀>+− 01
24
, nên phương trình cho axfxx ==+−⇔ )(34
2
2
2
4 3 nêu 1 3
( )
-x 4 3 nêu 1 3
x x x x
f x
x x
− + ≤ ∨ ≥
=
+ − ≤ ≤
có
<<+−
><−
=
31;42
3,1,42
)('
xx
xxx
xf
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
x
∞
−
1 2 3
∞
+
f’(x) - + 0 - +
f(x)
∞
+
1
∞
+
0 0
10
<
<
⇒
a phương trình có 4 nghiệm phân biệt
(
)
11
5
1
11log0
2424
<+−<⇔<+−<⇔ mmmm
1||0
0
01
0
2
24
<<⇔
≠
<−
⇔<−⇔ m
m
m
mm
Cho phương trình :
2
222
4log6log2log
3.24.
xx
xm =− (1)
Giải phương trình khi 1
=
m
Tìm m ñể phương trình cho có nghiệm.
2
222
4log6log2log
3.24.
xx
xm =− ; 0
>
x
Ta có :
xxx
222
loglog12log
4.444 ==
+
;
x
x
22
log6log
6=
xxx
22
2
2
loglog224log
9.933 ==
+
Khi ñó (1)
xxx
m
222
logloglog
9.1864.4. =−⇔
=−
>
=
⇔
=
−⇔
(2) 184
0 ;
2
3
4
9
18
2
3
4
2
log
loglog
2
22
ttm
tt
m
x
xx
1
=
m thì
9
4
2
3
9
4
184)2(
2
log
2
=
⇔=⇔=−⇔
x
ttt
4
1
2log
2
=⇔−=⇔ xx
0 ; )(184)2(
2
>=+=⇔ ftfttm
0 0136)('
>
∀
>
+
=
tttf 0biên ñông )(
>
∀
⇒
ttf
t 0
∞
+
f’(t) + 004
>
⇒
>
⇒
mm
f(t)
0
∞
+
Tìm các giá trị của tham số m ñể phương trình :
(
)
0log1log
25
2
25
=++++
−+
xmmxx có nghiệm duy nhất.
Nhận xét :
(
)
1
25
25
1
25
−
+=
+
=−
Phương trình cho
(
)
0log1log
25
2
25
=−+++⇔
++
xmmxx
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
=
+
−+−
=
>
⇔
=+++
>
⇔
)(
1
1
0
1
0
2
2
xf
x
xx
m
x
xmmxx
x
( )
310)(' ;
1
22
)('
2
2
±−=⇔=
+
+−−
= xxf
x
xx
xf
x 0
31+−
∞
+
f’(x) + 0 -
f(x)
323 − 3231 −=∨−≤⇒ mm
-1
∞
−
Xác ñịnh m ñể phương trình :
(
)
(
)
0156
2
=−−++− xxmxx
có nghiệm.
ðS :
(
)
(
)
17
4
19
5
40 ; 15
2
≤≤⇒
+−=
≤≤−−=
m
ttm
txxt
Tìm m ñể phương trình :
mxxxx =−+−+
22
sin2sinsin2sin
có nghiệm.
ðS :
[ ]
2;0
2
2
'
1|| ; sin
sin2sin
2
2
2
∈⇒
−
−−
=⇒
≤=
−+=
t
z
zz
t
zxz
xxt
[ ]
31
2;0
)(222
2
2
sin2sin
2
2
2
≤≤−⇒
∈
=−+=
⇒
−
=−⇒ m
t
tfttm
t
xx
Cho phương trình :
( )( )
m
x
x
xmxx =
+
−
+++−++
sin1
sin1
sin31sin3sin3
1.
Giải phương trình khi 2
=
m
2.
ðịnh m ñể phương trình cho có nghiệm.
Cho phương trình :
mxxxx =++++−
22
cossin1sinsin2
1.
Giải phương trình khi
22=m
2.
ðịnh m ñể phương trình cho có nghiệm
−∈
2
;
2
ππ
x
ðS :
∈⇒−=⇒
≤=
−+=
4
9
;021'
1|| ; sin
sinsin2
2
tzt
zxz
xxt
222
14)(
4
9
;0
≤≤⇒
=+−=
∈
⇒ m
mttf
t
Cho phương trình :
mxxxx =−+−+
22
cos2coscos2cos
1.
Giải phương trình khi
2=m
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm
∈
2
;0
π
x
Tìm m ñể phương trình :
mxx 2sin21cos21 =−+− có nghiệm.
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
mxxxx =++++
2
cos2sin32cossin
1.
Giải phương trình khi 2
=
m
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm.
Tìm m ñể phương trình
2cos2 2sin 1 0
x x m
− + + =
có nghiệm.
ðS :
13
3
4
m
− ≤ ≤
Cho phương trình :
( )
1 1 1
sin cos 1 tan cot 0
2 sin cos
m x x x x
x x
+ + + + + + =
1.
Giải phương trình khi
1
2
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm .
ðS :
( )
1 1 sin cos
sin cos 1 0
2 sin cos
x x
pt m x x
x x
+ +
⇔ + + + =
( )
2 2
2
0; 1 2
sin cos ; | | 2
2
0
1
( ) 1 2
1
x t
t x x t
mt t t t t
t
m f t m
t
π
∈ ⇒ < ≤
= + ≤
⇒
− + + =
+
= = ⇒ ≤ − −
−
Cho phương trình :
( )
4
4
sin 1 sin
x x m
+ − =
1.
Giải phương trình khi
1
8
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm.
ðS :
4 2
1 3 1
sin ; ;
1
2 2 2
17
8
1
2 3 ( )
8
t x t
m
m t t f t
= − ∈ −
⇒ ≤ ≤
= + + =
Cho phương trình :
6 6
2 2
sin cos
2 tan
cos sin
x x
m x
x x
+
=
−
1.
Giải phương trình khi
1
8
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm.
Cho phương trình :
( )
2
1
cot tan cot 2 0
cos 2
x m x x
x
+ + + + =
1.
Giải phương trình khi
5
2
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm.
Cho phương trình :
cos 1 2cos2 cos4
a x x x
= + +
1.
Giải phương trình khi
4
a
=
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
2.
ðịnh a ñể phương trình có nghiệm
;
3 4
x
π π
∈ −
.
Cho phương trình :
( )
4 4 2 2
1
sin cos sin 4 2 1 sin .cos 0
4
x x m x m x x
+ + − + =
1.
Giải phương trình khi
2
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm
;
4 4
π π
∈ −
Cho phương trình :
( )
2
2
2 1
2 tan 2 3 tan 4 0
sin tan
x m x
x x
+ + + + + =
1.
Giải phương trình khi
1
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
0;
4
x
π
∈
Cho phương trình
(
)
6 6
4 sin cos 3.sin 6 4
m x x x m
+ = +
1.
Giải phương trình khi
4
m
= −
2.
Biện luận theo m số nghiệm
;
4 4
x
π π
∈ −
của phương trình.
Cho phương trình :
6 6
sin cos sin 2
x x a x
+ =
1.
Giải phương trình khi
1
a
=
2.
ðịnh a ñể phương trình có ñúng 3 nghiệm
5
;
12 12
x
π π
∈ −
3.
ðịnh a ñể phương trình tương ñương với phương trình :
3cos sin2x=1+cos2x+3sinx
x
+
ðịnh m ñể phương trình :
cos3 cos2 cos 1
x x m x
− + =
có ñúng 7 nghiệm
;2
2
x
π
π
∈
Cho phương trình :
(
)
(
)
2 2
2sin 1 2cos 2sin 3 4cos
x x x m x
− + + = −
1.
Giải phương trình khi
1
m
=
2.
Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
[
]
0;
x
π
∈
Cho phương trình : 2cos .cos 2 .cos3 3.cos2
x x x x m
= −
1.
Giải phương trình khi
5
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm duy nhất
0;
2
x
π
∈
Cho phương trình :
2
8tan
cos 4 2
1 tan
x
x m
x
+ =
+
1.
Giải phương trình khi
3
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 4 nghiệm
;
6 2
x
π π
∈ −
.
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
3 3
sin cos 1 sin .cos
x x m x x
+ = + sin
1.
Giải phương trình khi
1
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 4 nghiệm
3
;
2
π
π
∈
ðS :
)
| | 2. Không tôn tai m(?!)
sin cos ;
3
; 2; 1
2
t
t x x
x t
π
π
≤
= +
∈ ⇒ ∈ − −
Cho phương trình :
(
)
(
)
4 4 6 6 2
4 sin cos 4 sin cos sin 4
x x x x x m
+ − + − =
1.
Giải phương trình khi
1
2
m
= −
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 3 nghiệm
;
12 8
π π
∈ −
ðS :
[ ]
2
1
cos4 ; ; 0;1
-
12 8
2
0
2 2 1 ( )
t x x t
m
m
m t t f t
π π
= ∈ − ⇒ ∈
=
⇔
=
= − − =
Tìm m ñể phương trình :
(
)
sin 3 cos 2 1 sin 0
x m x m x m
− − + + =
có ñúng 8 nghiệm
(
)
0;3
x
π
∈
ðS :
2
sin 0
sin ; | | 1
2
2
3
4 2
( )
2 1
x
t x t
m
t
m f t
t
=
= ≤
⇒ − < <
−
= =
−
Tìm m ñể phương trình
2 2 2
sin sin 3 cos 2 0
x x m x
+ − =
có nghiệm
0;
4
x
π
∈
ðS :
(
)
2
cos 2 ; 0;1
0
1 1
2 ( )
t x t
m
m t f t
t t
= ∈
⇒ >
= + − =
Tìm m ñể phương trình :
cos3 cos2 cos 1 0
x x m x
− + − =
có ñúng 7 nghiệm phân biệt
;2
2
x
π
π
∈ −
Cho phương trình :
3 3
cos sin
x x m
− =
1.
Giải phương trình khi
1
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
;
4 4
x
π π
∈ −
.
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
(
)
(
)
2 3 2 3
8 1 sin 4 1 sin 2 cos 0
a x a x a x
+ − + + =
1.
Giải phương trình khi
1
2
a
=
2.
ðịnh a ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
;
4 4
x
π π
∈ −
.
Tìm m ñể phương trình :
4sin 2 cos cos3
x m x x
+ =
có ñúng 5 nghiệm
0;
3
2
x
π
∈
ðS : Không tồn tại m.
Cho phương trình :
2 2
cos 4 cos 3 sin
x x a x
= +
1.
Giải phương trình khi
1
a
=
2.
ðịnh a ñể phương trình có ñúng một nghiệm
0;
12
x
π
∈
ðS :
1 3
a a
= ∨ < −
Cho phương trình :
2
cos2 1 tan .cos
x m x x
= +
1.
Giải phương trình khi
1
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm
0;
3
x
π
∈
ðS :
2
1
( )
2
1
1
1 3
tan ; 0; 0; 3
3
t
m f t
t
m
t x x t
π
−
= =
+
⇒ − ≤ ≤
+
= ∈ ⇒ ∈
ðịnh m ñể phương trình :
1 1 1
sin cos 1 tan cot
2 sin cos
x x x x m
x x
+ + + + + + =
có nghiệm
0;
4
x
π
∈
ðS :
( )
( )
sin cos 2 sin ; 0; 1; 2
4 4
2 2 1
1
1 ( )
1
t x x x x t
m
m t f t
t
π π
= + = + ∈ ⇒ ∈
⇒ > +
= + + =
−
Cho phương trình :
3 3
sin cos 1
x x m
− = +
1.
Giải phương trình khi
0
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
;
4 4
x
π π
∈ −
Cho phương trình :
(
)
6 6 4 4
sin cos sin cos
x x m x x
+ = +
1.
Giải phương trình khi
3
4
m
=
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
2.
ðịnh m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm
;
12 2
π π
∈
Cho phương trình :
1
4 2 2 0
x x
m m
+
− + =
; m : tham số
1.
Giải phương trình khi
2
m
=
2.
Tìm m ñể phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho
1 2
1
x x
+ =
ðS : 1.
1
x
=
2.
4
m
=
Cho phương trình :
1 1
2.4 5.2 0
x x
m
− −
− + =
1.
Giải phương trình khi
2
m
=
2.
Giải m ñể phương trình cho có nghiệm.
ðS : ðặt
1
1
2 ; 0 1 1
2
x
t x x t
−
= ≥ ⇒ − ≥ − ⇒ ≥
2
1
pt 2 5 0 ;
2
t t m t
⇔ − + = ≥
1.
0 4
x x
= ∨ =
2.
2
25
( ) 2 5
8
f t t t m m= − + = ⇒ ≤
Cho phương trình :
(
)
4
16cos 8 cos2 3 0
x m x
− + − =
1.
Giải phương trình khi
4
m
=
2.
Tìm m ñể phương trình có 2 nghiệm x phân biệt trên ñoạn
0;
2
π
ðS : 1.
6
x k
π
π
= ± + 2.
[ ]
2
cos 2 ; 0; 1;1
2
4 1
( ) ; 0
t x x t
t
m f t t
t
π
= ∈ ⇒ ∈ −
+
= = ≠
5 4 4 5
m m
⇔ − ≤ < − ∨ < ≤
Cho phương trình :
(
)
2 2
2cos2 sin .cos sin .cos sin cos (1)
x x x x x m x x+ + = +
1.
Giải phương trình (1) khi
2
m
=
2.
Tìm m ñể phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc
0;
2
π
ðS : 1.
2
2
2
x k
x k
π
π
π
=
= − +
2.
[ ]
2
sin 0 vô nghiêm 0;
4 2
cos sin 2 cos ; 1;1
4
1 1
( ) 2
2 2
x x
t x x x t
f t t t
π π
π
+ = ∈
= − = + ∈ −
= − + +
2 2
m
⇒ − ≤ ≤
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Cho phương trình :
(
)
sin cos 1 1 2sin .cos (1)
m x x x x+ + = +
. Xác ñịnh các giá trị của tham
số m ñể phương trình (1) có nghiệm thuộc ñoạn
0;
2
π
.
ðS :
( )
2
sin cos 2 sin ; 1; 2
14
2 2 1
2
( )
1
t x x x t
m
t
f t m
t
π
= + = + ∈
⇒ ≤ ≤ −
= =
+
Xác ñịnh các giá trị của tham số m ñể hệ
2
2
sin tan
tan sin
x m y m
y m x m
+ =
+ =
có nghiệm.
Hệ
2 2 2
2 2
sin tan sin tan tan sin 0
tan sin sin tan
x m y m x y m y m x
y m x m x m y m
+ = − + − =
⇔
+ = + =
(
)
(
)
2 2
2
sin tan sin tan 0
sin tan 0 sin tan 0
( ) ( )
sin tan sin tan
sin tan
x y x y m
x y x y m
I II
x m y m x m y m
x m y m
− + − =
− = + − =
⇔ ⇔ ∨
+ = + =
+ =
( I ) có nghiệm
[
]
( )
2
2
sin ; 1;1
1
0
t x t
m t t
t mt m
= ∈ −
⇔ ⇔ − =
+ − =
có nghiệm
[
]
1;1
t ∈ −
Nếu
1
t
=
thì phương trình cho .0 1m m
⇔ = ⇔ ∈∅
Nếu
1
t
≠
phương trình cho
[ ]
[
)
2
( ) ; 1;1
1
MGT ( ) ; D 0;
t
m f t t
t
m f t
= = ∀ ∈ −
⇔
−
∈ = +∞
Có
( )
2
2
2
'( ) '( ) 0 0 2
1
t t
f t f t t t
t
− +
= ⇒ = ⇔ = ∨ =
−
t
−∞
-1 0 1 2
+∞
f’(t) - 0 + + 0 -
f(t)
1
2
+∞
0
m
⇒ ≥
0
(II) có nghiệm
[
]
2 2
sin ; 1;1
4
0
4
3
0 ; D 0;
3
t x t
m
t mt m m
= ∈ −
⇔ ⇒ ≤ ≤
− + − = =
Vậy
0
0
4
0
3
m
m
m
≥
⇒ ≥
≤ ≤
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Xác ñịnh mọi giá trị của tham số m ñể hệ sau có 2 nghiệm phân biệt
(
)
(
)
( )
2
3
3 3
2
2
2 5
log 1 log 1 log 4 (1)
log 2 5 log 2 5 (2)
x x
x x
x x m
− +
+ − − >
− + − =
1.
Xét (1)
2
3 3
1
1
2log log 4
4
1 3
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
+
+
>
>
⇔ ⇔ ⇔ < <
−
−
>
>
2.
Xét (2). ðặt
2
2 5 ; 1 3
t x x x
= − + < <
thì
' 2 2
t x
= −
' 0 1
t x
= ⇔ =
x 1 3
t’ - 0 + +
t 8
(
)
(
)
1;3 4;8
x t∈ ⇒ ∈
4
ðặt
(
)
2
2
log 2 5
y x x
= − +
; với
(
)
(
)
4;8 2;3
t y∈ ⇒ ∈
Khi ñó (2)
( )
2
5 ; 2;3 5 (3)
m
y y y y m
y
⇔ − = ∈ ⇔ − =
Xét hàm số
(
)
2
( ) 5 ; 2;3 có ' 2 5
f y y y y y y
= − ∈ = −
y 2
5
2
3
y’ - 0 +
y -6 -6
25
6
4
m
⇒ − < < −
25
4
−
Tìm m ñể phương trình
6 6 2
sin cos cos 4
x x m x
+ = có nghiệm.
ðS :
[
]
2
cos 2 ; 1;1 ; 0
1
3 5
4
8 ( )
t x t t
m
t
m f t
t
= ∈ − ≠
⇒ ≥
+
= =
.
Cho :
(
)
2
cos 2 1 cos 2 1 0 (1)
x m x m+ − + − =
1.
Giải phương trình khi
1
2
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình (1) có nghiệm.
ðS : 1.
; 2
2
x k x k
π
π π π
= + = +
2.
[
]
2
cos ; 1;1
2 2
2 1
( )
2 2
t x t
m
t t
m f t
t
= ∈ −
⇒ ≤ −
+ −
= =
−
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Tìm m ñể phương trình :
2
cos 2 4sin .cos 2 0
m x x x m
− + − =
có nghiệm trong
0;
4
π
.
ðS :
(
)
2
sin2x ; 0;1
1 4
2 2
( )
2
t t
m
t
m f t
t
= ∈
⇒ < <
+
= =
−
Cho phương trình :
(
)
8 8 10 10
sin cos 2 sin cos cos 2
x x x x m x
+ − + =
1.
Giải phương trình với
7
3
m
=
2.
ðịnh m ñể phương trình có nghiệm
4 2
x k
π π
≠ + .
ðS : 1. Vô nghiệm 2.
3
cos2 ; | | 1, 0
2 ( )
t x t t
pt
m t t f t
= ≤ ≠
⇔
= − − =
| | 1 và 0
m m
⇒ = ≠
ðịnh a ñể phương trình sau có nghiệm :
6 6
sin cos sin2x
x x a+ =
.
ðS :
[
]
2
sin2x ; 0;1
1
4 3
4
( )
4
t t
a
t
a f t
t
= ∈
⇒ ≥
−
= =
Cho :
4 3.2 0 (1)
x x
m+ − = ; (m: tham số)
1.
Giải phương trình (1) khi
4
m
=
2.
Xác ñịnh tham số m ñể phương trình (1) có nghiệm.
ðS : 1.
0
x
=
2.
2
2 ; 0
0
3 0
x
t t
m
t t m
= >
⇒ >
+ − =
Cho :
7 8
7
x
x
m
+ =
(2) ; (m: tham số)
1.
Giải phương trình (2) khi
7
m
=
2.
Xác ñịnh tham số m ñể phương trình (2) có nghiệm.
ðS : 1.
0 1
x x
= ∨ =
2.
2
7 ; 0
16
8 0
x
t t
m
t t m
= >
⇒ ≤
− + =
Tìm m ñể phương trình :
(
)
(
)
sin cos 2 2 1 sin cos sin cos
m x x x x x x
+ + = + + +
có nghiệm.
ðS :
2
sin cos ; | | 2
2 2
0
2 1
2
( )
2
t x x t
m
t t
m f t
t
= + ≤
+
⇒ ≤ ≤
+ +
= =
+
Nguyễn Phú Khánh – 063.27.78.79 – 0989.80.78.79
Tài liệu xuất bản năm 2007
Xác ñịnh theo m số nghiệm phương trình :
4 44
4 4 6
x x m x m m
+ + + + + =
ðS :
4 44
4 ; ( ) 4 16
t x x m f x x x m
= + + = − − + =
19
m
>
: vô nghiệm ;
19
m
=
: 1 nghiệm ;
19
m
<
: 2 nghiệm
Tìm m ñể phương trình
(
)
(
)
2
lg 2 lg 1 0
x mx x
+ − − =
có nghiệm duy nhất.
ðS :
2
1 1
( ) ; 1
2 2
x x
m g x x m
x
− + −
= = > ⇒ < −
Tìm tất cả các giá trị của tham số a ñể hệ sau có nghiệm (x , y) thỏa mãn ñiều kiện
4
x
≥
3
5 3
x y
x y a
+ =
+ + + ≤
ðS :
2 2 2
2
; 2 3
( ) 5 6 12
6 9
t x t
x t f t t t t a
y t t
= ≤ ≤
= ⇒ = + + − + ≤
= − +
2
15 135
'( ) 2 30 45 ; ; 5 min ( ) 5
2
f t t t t f x a a
±
= − + = = ≤ ⇒ ≥
2 3
t
≤ ≤
Cho hệ :
1 2
1 2
x y m
y x m
+ + − =
+ + − =
Giải hệ phương trình khi
9
m
=
Xác ñịnh m ñể hệ có nghiệm.
ðS : Bình phương 2 vế ñi ñến
2 : ( ) 1 2
x y pt f x x x m
= ≥ ⇒ = + + − =
1.
9 3
m x y
= ⇒ = =
2.
( ) 3 ; 2 3
f x x m
≥ ∀ ≥ ⇒ ≥
( )
f x
liên tục trên tập D thì :
1.
( ) ( )
f x g m
≤
ñúng , max ( ) ( ) ;
x D f x g m x D
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈
2.
( ) ( )
f x g m
≤
có nghiệm min ( ) ( ) ;
x D f x g m x D
∈ ⇔ ≤ ∀ ∈
3.
( ) ( )
f x g m
≤
vô nghiệm
( ) ( )
x D f x g m
∈ ⇔ >
ñúng ,
x D
∀ ∈
4.
( ) ( )
f x g m
≥
ñúng , min ( ) ( ) ;
x D f x g m x D
∀ ∈ ⇔ ≥ ∀ ∈
5.
( ) ( )
f x g m
≥
có nghiệm max ( ) ( ) ;
x D f x g m x D
∈ ⇔ ≥ ∀ ∈
6.
( ) ( )
f x g m
≥
vô nghiệm
( ) ( )
x D f x g m
∈ ⇔ <
ñúng ;
x D
∀ ∈
7.
( ) ( )
f x g x
≤
ñúng max ( ) min ( ) ;
x D f x g x x D
∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈
Tìm tất cả các giá trị của m ñể bất phương trình :
2
4 3 1 0
mx x m
− + + >
nghiệm ñúng với mọi
giá trị
0
x
>
.
( )
2
0;
4 1
4 3 1 0 ; ( ) ; 0 max ( )
3
x
x
mx x m x m f x x m f x
x
2
∈ +∞
−
− + + > ∀ ⇔ > = > ⇔ >
+
Có
(
)
( )
2
2
2
2 2 6
'( ) ; '( ) 0
3
x x
f x f x
x
− − −
= =
+
