tổng hợp công thức toán luyện thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.64 MB, 37 trang )
PHÙNG VĂN TOÁN - ĐHBKHN
(Chuyên toán luyện thi CĐ – ĐH – Thi lên lớp 10
Địa chỉ: Bắc Lãm - Phú Lương - Hà Đông - Hà Nội)
*
*
*
www.luyenthi24h.com
C«ng thøc
TO¸N
(THCS – THPT – LUYỆN THI CĐ – ĐH)
(Chỉnh sửa lần thứ 3)
Họ tên: …………………………………………………
Trường: …………………………………………………
Lớp: …………………………………………………
.
x
o
y
z
( , , )
M a b c
a
b
c
LỜI NÓI ĐẦU
Với kinh nghiệm 10 năm chuyên luyện thi Cao Đẳng – Đại Học cho
nhiều thế hệ học sinh, tôi thấy đa số các em học sinh rất cần có một cuốn sổ
tay để tra cứu cũng như tổng hợp lại kiến thức môn Toán. Tài liệu này được tôi
biên soạn với mong muốn tổng hợp toàn bộ lượng kiến môn toán thức từ lớp 7
đến lớp 12 dùng trong kì thi tuyển sinh Đại Học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng tài liệu cũng không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi sẽ bổ sung thường xuyên và đưa lên địa chỉ
www.luyenthi24h.com (Trong mục tài liệu tự biên soạn). Tại đây tôi cũng đưa
lên rất nhiều tài liệu ôn thi và cả các đề thi thử của các trường THPT khác,
giúp cho các bạn học sinh thuận lợi khi tham khảo.
Bạn đọc muốn tìm nơi luyện thi tốt, lớp ít học sinh, có thể liên lạc với
tôi theo địa chỉ dưới đây:
Tác giả: Phùng Văn Toán - ĐHBKHN
Địa Chỉ: Bắc Lãm, Phú Lương, Hà Đông, HN
Điện thoại: 0985.62.99.66
Email:
Website: www.luyenthi24h.com
Bắc Lãm, Ngày… Tháng… Năm…
MỤC LỤC
STT LỚP
TRANG
ĐẠI SỐ
1 Giá trị tuyệt đối 7
2 Tính chất của hai tỉ số bằng nhau 7
3 Hằng đẳng thức đẳng thức đáng nhớ 8
4 Căn bậc hai 9
5 Tam thức bậc hai 10
6 Hệ phương trình bậc nhất 10
7 Phương trình – bất phương trình 10
8 Bất đẳng thức 10
9 Cấp số cộng – cấp số nhân 11
10 Công thức lượng giác 11
11 Tổ hợp – nhị thức Niutơn 11
12 Giới hạn của hàm số 11
13 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 12
14 Đạo hàm 11
15 Nguyên hàm 12
16 Mũ – logarith 12
17 Số phức 12
HÌNH HỌC
1 Công thức trong tam giác 8+9
2 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 10
3 Hình học không gian 11
4 Phương pháp tọa độ trong không gian 12
CÁC CÔNG THỨC KHÁC
1 Công thức tính chu vi, diện tích
2 Các tập hợp số
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
1
1) GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
0
0
x khi x
x
x khi x
| | 0,
x x R
2
2
x x
Với
0
a
ta có
| |
x a
x a
x a
| |
x a a x a
2) TÍNH CHẤT CỦA HAI TỈ SỐ BẰNG NHAU
Nếu
a c
b d
, ,
a c a c a c ma nc
b d b d b d mb nd
a c a b a b
ad bc
b a c d b b
3) HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
2 2 2
( ) 2
a b a ab b
2 2
( )( )
a b a b a b
2 2 2
( ) 2
a b a ab b
3 3 2 2 3
( ) 3 3
a b a a b ab b
3 3 2 2
( )( )
a b a b a ab b
3 3 2 2 3
( ) 3 3
a b a a b ab b
3 3 2 2
( )( )
a b a b a ab b
Các hằng đằng thức mở rộng
4 4 3 2 2 3 4
( ) 4 6 4
a b a a b a b ab b
4 4 3 2 2 3 4
( ) 4 6 4
a b a a b a b ab b
2 2 2 2
( ) 2 2 2
a b c a b c ab bc ca
1 2
1 ( 1)( 1)
n n n
a a a a a
1 2 2 1
( )( )
n n n n n n
a b a b a a b ab b
4) CĂN BẬC HAI
A
có nghĩa
0
A
2
A A
0,
A A
Chú ý quan trọng:
2
| |
A B A B
với
0
B
.
AB A B
nếu
0
0
A
B
.
AB A B
nếu
0
0
A
B
A A
B
B
nếu
0
0
A
B
A A
B
B
nếu
0
0
A
B
SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
2
5) TAM THỨC BẬC HAI
1) Nghiệm của phương trình bậc hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
Đặt
2
4
b ac
Nếu
0
thì phương trình vô nghiệm
Nếu
0
thì phương trình có nghiệm kép
2
b
x
a
Nếu
0
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
Đặc biệt: Nếu
0
a b c
phương trình có hai nghiệm
1 2
1,
c
x x
a
Nếu
0
a b c
phương trình có hai nghiệm
1 2
1,
c
x x
a
2) Định lí Vi-ét
Gọi
1 2
,
x x
là hai nghiệm của phương trình
2
0 ( 0)
ax bx c a
ta có
1 2
b
S x x
a
1 2
c
P x x
a
Một số trường hợp áp dụng Vi-ét
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 2
x x x x x x S P
3 3 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
( )( ) ( ) ( ) 3 ( 3 )
x x x x x x x x x x x x x x S S P
2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) 2( ) ( ) 2 2( ) ( 2 ) 2
x x x x x x x x x x x x S P P
1 2
1 2 1 2
1 1
x x S
x x x x P
2 2 2 2
1 2
2 2 2
1 2 1 2
1 1 2
2
( )
x x S P S
x x x x P P
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
| | ( ) ( ) 4 4
x x x x x x x x S P
3) Dấu của nghiệm
Phương trình bậc hai:
2
0
ax bx c
(
0
a
) có hai nghiệm phân biệt:
Cùng dấu
1 2
0
0
P x x
Trái dấu
1 2
0
P x x
Hai nghiệm dương
1 2
1 2
0
0
. 0
S x x
P x x
Hai nghiệm âm
1 2
1 2
0
0
. 0
S x x
P x x
4) Dấu của tam thức bậc hai
2
( ) ( 0)
f x ax bx c a
Nếu
0
thì
( )
f x
cùng dấu với hệ số a,
x
Nếu
0
thì
( )
f x
cùng dấu với hệ số a,
2
b
x
a
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
3
Nếu
0
, gọi hai nghiệm là
1 2
,
x x
(
1 2
x x
) thì
( )
f x
cùng dấu với hệ số a
1 2
( ; ) ( ; )
x x x
và
( )
f x
trái dấu với hệ số a
1 2
( ; )
x x x
Từ đó suy ra
0
( ) 0,
0
a
f x x
0
( ) 0,
0
a
f x x
0
( ) 0,
0
a
f x x
0
( ) 0,
0
a
f x x
5) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai
Cho tam thức bậc hai
2
0 ( 0)
ax bx c a
và hai số
1 2
( ) 0
x x af
1 2
0
( ) 0
2
x x af
S
1 2
0
( ) 0
2
x x af
S
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
1 2
( ) 0
( ) 0
af
x x
af
1 2
0
( ) 0
( ) 0
2
af
x x
af
S
6) HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
1 1
1 2 2 1
2 2
a b
D a b a b
a b
1 1
1 2 2 1
2 2
x
c b
D c b c b
c b
1 1
1 2 2 1
2 2
y
a c
D a c a c
a c
Nếu
0
D
hệ có nghiệm duy nhất
x
D
x
D
,
y
D
y
D
Nếu
0
D
+ Nếu
0
x
D
hoặc
0
y
D
thì hệ vô nghiệm
+ Nếu
0
x y
D D
thì hệ có vô số nghiệm
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
4
7) PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1) Phương trình chứa căn
2
0
B
A B
A B
0
0
A
A B
B
A B
2) Bất phương trình chứa căn
2
0
0
A
A B B
A B
2
0
0
A
A B B
A B
2
0
0
0
A
B
A B
A B
B
2
0
0
0
A
B
A B
A B
B
0
B
A B
A B
3) Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
0
B
A B
A B
A B A B
4) Bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
0B
A B
B A B
0B
A B
B A B
0
0
B
B
A B
A B
A B
0
0
B
B
A B
A B
A B
2 2
A B A B
5) Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
2
A B A B
6) Bất phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
2
A B A B
2
A B A B
2
0
A
A B
A B
2
0
A
A B
A B
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
5
7) Các bất phương trình khác
0
0
. 0
0, 0
0, 0
A
B
A B
A B
A B
0
1 1
0
0
B A
A B
A B
A B
8) BẤT ĐẲNG THỨC
1) Bất đẳng thức Cosi (AM-GM)
Cho
, 0
x y
thì
2
x y xy
. Dấu “=” xảy ra
x y
Mở rộng:
Cho
1 2
, , , 0
n
x x x
thì
1 2 1 2
.
n
n n
x x x n x x x
Dấu “=” xảy ra
1 2
n
x x x
2) Bất đẳng thức Bunhiacopski
Cho 4 số thực
1 2
,
a a
và
1 2
,
b b
. Ta có
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2
a a
b b
Mở rộng: Cho hai bộ số thực
1 2
, , ,
n
a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
, mỗi bộ gồm
n
số
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
n n n n
a b a b a b a a a b b b
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2
n
n
a a a
b b b
3) Bất đẳng thức Trêbưsep (Chebyshev)
Cho hai dãy
1 2
n
a a a
và
1 2
n
b b b
thì
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
n a b a b a b a a a b b b
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2
n
n
a a a
b b b
Nếu
1 2
n
a a a
và
1 2
n
b b b
thì bất đẳng thức đổi chiều.
4) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
| | | | | | | | | |
x y x y x y
| | | | | | | | | |
x y x y x y
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
6
9) CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
( )
n
u
là csc, công sai d
( )
n
u
là csn, công bội q
Định nghĩa
1n n
u u d
1
.
n n
u u q
Số hạng thứ n
1
( 1)
n
u u d n
1
1
.
n
n
u u q
3 số hạng liên tiếp
1 1
2
n n
n
u u
u
2
1 1
.
n n n
u u u
Tổng n số hạng đầu
Tổng của một số dãy số có quy luật
( 1)
1 2 3
2
n n
n
2 2 2
( 1)(2 1)
1 2
6
n n n
n
2
3 3 3
( 1)
1 2
2
n n
n
( 1)( 2)
1.2 2.3 ( 1)
3
n n n
n n
10) TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIUTƠN
Số các hoán vị
! 1.2.3
n
P n n
Số các chỉnh hợp
!
( )!
k
n
n
A
n k
Số các tổ hợp
!
!( )!
k
k
n
n
k
n A
C
k n k P
Tính chất của tổ hợp
1
1 1
k n k k k
n n n n
C C C C
Nhị thức Niutơn
0
( )
n
n k n k k
n
k
a b C a b
0 1 1 1 1
n n k n k k n n n n
n n n n n
C a C a b C a b C ab C b
12) GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
Các phép toán về giới hạn
Cho f(x) và g(x) là hai hàm số có giới hạn khi
0
x x
. Khi đó
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x
0 0 0
lim ( ) ( ) lim ( ).lim ( )
x x x x x x
f x g x f x g x
1 2
1
1
( )
2
[2 ( 1) ]
2
n n
n
S u u u
n u u
n u n d
1 2
1
1
1
n n
n
S u u u
q
u
q
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
7
0
0 0
0
lim ( )
( )
lim lim ( ) 0
( ) lim ( )
x x
x x x x
x x
f x
f x
g x
g x g x
0
0 0
lim ( )
( )
lim ( ) lim ( )
x x
g x
g x
x x x x
f x f x
Một số giới hạn cơ bản
0
sin
lim 1
x
x
x
0
1
lim 1
x
x
e
x
1
lim 1
x
x
e
x
Tính liên tục của hàm số
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng
( ; )
a b
. Hàm số f được gọi là liên tục tại
điểm
0
( ; )
x a b
nếu
0 0
0
lim lim ( )
x x x x
f x
Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng
( ; )
a b
nếu nó liên tục tại mọi điểm trên
khoảng đó.
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
8
11) CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức cơ bản
2 2
sin cos 1
x x
sin
tan
cos
x
x
x
cos
cot
sin
x
x
x
2
2
1
1 tan
cos
x
x
2
2
1
1 cot
sin
x
x
tan .cot 1
x x
Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
x x x
2
2tan
tan2
1 tan
x
x
x
2
cot 1
cot2
2cot
x
x
x
2
2
2 2
cos2 1 2sin
2cos 1
cos sin
x x
x
x x
Công thức nhân ba
3
sin3 3sin 4sin
x x x
3
cos3 4cos 3cos
x x x
3
2
3tan tan
tan3 tan .tan .tan
1 3tan 3 3
x x
x x x x
x
3
2
3cot cot
cot3
1 3cot
x x
x
x
sin 2sin( 1) .cos sin( 2)
n n n
cos 2cos( 1) .cos cos( 2)
n n n
Công thức hạ bậc
2
1 cos2
sin
2
x
x
2
1 cos2
cos
2
x
x
3
3sin sin3
sin
4
x x
x
3
3cos cos3
cos
4
x x
x
4
cos4 4cos2 3
sin
8
x x
x
4
cos4 4cos2 3
cos
8
x x
x
2
1 cos2
tan
1 cos2
x
x
x
2
1 cos2
cot
1 cos2
x
x
x
Biểu diễn
sin , cos , tan , cot
x x x x
theo
2
tan
x
t
2
2
sin
1
t
x
t
2
2
1
cos
1
t
x
t
2
2
tan
1
t
x
t
2
1
cot
2
t
x
t
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
9
Công thức cộng
sin( ) sin .cos cos .sin
x y x y x y
cos( ) cos .cos sin .sin
x y x y x y
sin( ) sin .cos cos .sin
x y x y x y
cos( ) cos .cos sin .sin
x y x y x y
tan tan
tan( )
1 tan .tan
x y
x y
x y
cot .cot 1
cot( )
cot cot
x y
x y
y x
tan tan
tan( )
1 tan .tan
x y
x y
x y
cot .cot 1
cot( )
cot cot
x y
x y
y x
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin .sin [cos( ) cos( )]
2
x y x y x y
1
cos .cos [cos( ) cos( )]
2
x y x y x y
1
sin .cos [sin( ) sin( )]
2
x y x y x y
1
cos .sin sin( ) sin( )
2
x y x y x y
tan tan
tan .tan
cot cot
x y
x y
x y
Công thức biến đổi tổng thành tích
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
cos cos 2cos cos
2 2
x y x y
x y
sin sin 2cos sin
2 2
x y x y
x y
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
sin( )
tan tan
cos .cos
x y
x y
x y
sin( )
cot cot
sin .sin
x y
x y
x y
sin( )
tan tan
cos .cos
x y
x y
x y
sin( )
cot cot
sin .sin
y x
x y
x y
Công thức đặc biệt khác
sin cos 2sin 2cos
4 4
x x x x
sin cos 2sin 2 cos
4 4
x x x x
2
1 sin 2cos
4 2
x
x
2
1 sin 2sin
4 2
x
x
2
1 sin2 (sin cos )
x x x
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
10
Các cung liên kết: Đối – Bù – Phụ - Hơn kém
;
2
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
sin cos
2
x x
cos sin
2
x x
sin cos
2
x x
cos sin
2
x x
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
sin( ) sin
x x
cos( ) cos
x x
Công thức nghiệm
2
sin sin
2
x k
x
x k
tan tan
x x k
cos cos 2
x x k
cot cot
x x k
Đặc biệt
sin 0
x x k
cos 0
2
x x k
sin 1 2
2
x x k
cos 1 2
x x k
sin 1 2
2
x x k
cos 1 2
x x k
Giá trị lượng giác
Công thức chuyển đổi đơn vị từ
0
sang x radian và ngược lại
0
0
180
x
0 0
180
x
Độ 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
Góc
Rad
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
Sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
Cos
1
3
2
2
2
1
2
0
-
1
2
-
2
2
-
3
2
-1
Tan
0
1
3
1
3
-
3
-1
-
1
3
0
Cot
3
1
1
3
0
-
1
3
-1
-
3
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
11
12) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Đồng biến, nghịch biến
Định nghĩa
Cho hàm số
( )
y f x
xác định trên khoảng
( ; )
a b
Nếu
1 2
1 2
( ) ( )
x x
f x f x
1 2
, ( ; )
x x a b
thì
( )
f x
đồng biến trên
( ; )
a b
Nếu
1 2
1 2
( ) ( )
x x
f x f x
1 2
, ( ; )
x x a b
thì
( )
f x
nghịch biến trên
( ; )
a b
Định lý
Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm trên (a;b)
Nếu
'( ) 0
f x
( ; )
x a b
thì
( )
f x
đồng biến trên
( ; )
a b
Nếu
'( ) 0
f x
( ; )
x a b
thì
( )
f x
nghịch biến trên
( ; )
a b
2) Cực trị
Cho hàm số
( )
y f x
có đạo hàm cấp I và cấp II tại
0
x x
Hàm số đạt cực trị tại x
0
0
0
'( ) 0
'( )
f x
f x doidau khi xdiqua x
(1)
Hàm số đạt cực đại tại x
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
(2)
Hàm số đạt cực tiểu tại x
0
0
0
'( ) 0
''( ) 0
f x
f x
(3)
Chú ý: Điều kiện để hàm số bậc ba
3 2
y ax bx cx d
( 0)
a
có cực trị là
phương trình y’=0 có hai nghiệm phân biệt.
3) Tiếp tuyến
Cho hàm số
( )
y f x
có đồ thị (C). Gọi
0 0
( ; )
M x y
là điểm thuộc (C). Phương
trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng
0 0 0
'( )( ) ( )
y f x x x f x
Trong đó
0
'( )
f x
là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc M
Điều kiện để hàm số
( )
y f x
tiếp xúc với hàm số
( )
y g x
là hệ phương trình sau
có nghiệm
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
4) Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: Cho hàm số
( )
y f x
có đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị của hàm số (C
1
):
1
( )
y f x
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
12
Ta có
1 1
0
( ): | |
0
y neu y
C y y
y neu y
Do đó đò thị
1
( )
C
:
1
( )
y f x
gồm 2 phần đồ thị:
+ Phần 1: Là phần đồ thị
( ): ( )
C y f x
nằm phía trên
Ox
+ Phần 2: Là phần đồ thị
( ): ( )
C y f x
nằm phía dưới
Ox
lấy đối xứng
qua
Ox
Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm số (C):
( )
y f x
. Từ đó suy ra đồ thị của hàm số
2 2
( ): (| |)
C y f x
Nhận xét:
2 2
( ): (| |)
C y f x
là hàm số chẵn nên nhận
Oy
làm trục đối xứng
Ta có:
2 2
( ) 0
( ): (| |)
( ) 0
f x neu x
C y f x
f x neu x
Do đó
2 2
( ): (| |)
C y f x
có 2 phần đồ thị:
+ Phần 1: Là phần đồ thị của
( ): ( )
C y f x
nằm bên phải
Oy
+ Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua
Oy
Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số
( ): ( )
C y f x
suy ra đồ thị của hàm số
3 3
( ): ( )
C y f x
Nhận xét: Nếu
0 0 3 0 0 3
( ; ) ( ) ( ; ) ( )
M x y C M x y C
Nên
3 3
( ): ( )
C y f x
nhận
Ox
làm trục đối xứng
Ta có
3 3 3
( ):
C y y y y
nếu
0
y
Do đó đồ thì
3
( )
C
gồm có 2 phần đồ thị
+ Phần 1: Là phần đồ thị của
( ): ( )
C y f x
nằm phía trên
Ox
+ Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua
Ox
5) Bổ sung lý thuyết
Phân giác góc phần tư thứ I, III là
y x
. Phân giác góc phần tư thứ II, IV là
y x
. Phương trình trục
: 0
Ox y
, phương trình trục
: 0
Oy x
Cho hai đường thẳng
1
1 1
:
d y k x b
và
2
2 2
:
d y k x b
1 2 1 2
. 1
d d k k
1 2
1 2
1 2
/ /
k k
d d
b b
Góc tạo bởi hai đường thẳng
1
d
và
2
d
:
1 2
1 2
tan( )
1
k k
k k
Cho đường thẳng d:
0
ax by c
. Hai điểm
( ; )
A A
A x y
và
( ; )
B B
B x y
Nằm về hai phía trục
Ox
. 0
A B
y y
Nằm về hai phía trục
Oy
. 0
A B
x x
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
13
Nằm về hai phía đường thằng d
0
A A B B
ax by c ax by c
Nằm cùng phía trục
Ox
. 0
A B
y y
Nằm cùng phía trục
Oy
. 0
A B
x x
Nằm cùng phía đường thẳng d
0
A A B B
ax by c ax by c
Cách đều trục
Ox
| | | |
A B
y y
Cách đều trục
Oy
| | | |
A B
x x
Cách đều đường thẳng d
( / ) ( / )
A d B d
d d
Cách đều điểm I
IA IB
Đối xứng nhau qua d
d
I d
AB u
Đối xứng nhau qua phân giác I, III
A B
A B
x y
y x
Đối xứng nhau qua phân giác II, IV
A B
A B
x y
y x
Đối xứng nhau qua điểm M
M là trung điểm A, B
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
14
13) ĐẠO HÀM
Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b),
0
,
x a b
. Cho x
0
một số gia
x
. Đặt
0 0
( )
y f x x f x
. Nếu tồn tại giới hạn
0 0
0 0
( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm
số y = f(x) tại điểm x
0
.
Ký hiệu:
0 0
0
0 0
( )
lim lim
x x
f x x f x
y
f x
x x
Các quy tắc tính đạo hàm
. onst
cu cu c c
( )' ' '
u v u v
( . )' ' '
u v u v uv
'
2
' '
u u v uv
v v
Bảng đạo hàm
1
( )'
n n
x nx
1
( )' . '
n n
u nu u
(sin )' cos
x x
(sin )' '.cos
u u u
(cos )' sin
x x
(cos )' '.sin
u u u
2
2
1
(tan )' 1 tan
cos
x x
x
2
2
'
(tan )' (1 tan ). '
cos
u
u u u
u
2
2
1
(cot )' (1 cot )
sin
x x
x
2
2
'
(cot )' (1 cot ). '
sin
u
u u u
u
( )'
x x
e e
( )' . '
u u
e e u
( )' .ln
x x
a a a
( )' '. .ln
u u
a u a a
1
(ln )'
x
x
'
(ln )'
u
u
u
1
(log )'
ln
a
x
x a
'
(log )'
ln
a
u
u
u a
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
15
14) NGUYÊN HÀM
Định nghĩa
Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của
f(x) trên khoảng (a, b) nếu
( ) ( )
F x f x
,
x a b
.
Ký hiệu:
( ) ( )
f x dx F x C
(C là hằng số)
Tính chất
( ) ( )
kf x dx k f x dx
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
Công thức tích phân từng phần
b
b b
a a
a
udv uv vdu
Bảng nguyên hàm
1
( 1)
1
n
n
x
x dx C n
n
1
1 ( )
( ) ( 1)
1
n
n
ax b
ax b dx C n
a n
1
ln | |
dx x C
x
1 1
ln | |
dx ax b C
ax b a
sin cos
xdx x C
1
sin( ) cos( )
ax b dx ax b C
a
cos sin
xdx x C
1
cos( ) sin( )
ax b dx ax b C
a
2
1
cot
sin
dx x C
x
2
1 1
cot( )
sin ( )
dx ax b C
ax b a
2
1
tan
cos
dx x C
x
2
1 1
tan( )
cos ( )
dx ax b C
ax b a
x x
e dx e C
1
ax b ax b
e dx e C
a
ln
x
x
a
a dx C
a
( )
1
ln
mx n
mx n
a
a dx C
m a
Bảng nguyên hàm mở rộng
2 2
1dx x
arcTan c
x a a a
2
2 2 2 2
2 2
x a x
a x dx a x arcSin c
a
2 2
dx x
arcSin c
a
a x
2 2 2
2 2
x h
x h dx x h Ln x x h c
2
2
dx
ln x x h c
x h
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
16
15) MŨ - LOGARIT
Kí hiệu viết tắt
m
m
m
n
n n
x x x
log log
n
n
a a
x x
10
lg log log
x x x
ln log
e
x x
Từ đó: lg10 log10 ln
n n n
e n
1) Công thức mũ
Điều kiện xác định:
n
x
xác định
0
x
.
n m n m
x x x
n
n m
m
x
x
x
.
( )
n m n m
x x
1
n
n
x
x
1
n
n
x x
( ) .
n n n
xy x y
n
n
n
x x
y y
2) Công thức logarit
Điều kiện xác định:
log
a
x
xác định
0
0, 1
x
a a
log
b
a
x b x a
log 1 0
a
log 1
a
a
log log
n
a a
x n x
1
log log
n
a
a
x x
n
log log
b b
c a
a c
1
log
log
a
b
b
a
log log .log
a a c
b c b
log
log
log
c
a
c
b
b
a
log ( ) log log
a a a
xy x y
log log log
a a a
x
x y
y
Chú ý quan trọng
2
log 2 log | |
n
a a
x n x
với n nguyên dương và
0
x
2
| |
1
log log
2
n
a
a
x x
n
với n nguyên dương và
{0;1}
a
3) Chiều biến thiên
x
y a
log
a
y x
1
a
Đồng biến Đồng biến
1
a
Nghịch biến Nghịch biến
4) Phương trình, bất phương trình
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
17
Phương trình, bất phương trình mũ
( ) ( )
0 1
( ) ( )
f x g x
a
a a
f x g x
hoặc
1
( ), ( )
a
f x g x xacdinh
( ) ( )
0
( 1) ( ) ( ) 0
f x g x
a
a a
a f x g x
Phương trình, bất phương trình logarith
0 1
log ( ) log ( ) ( ) 0 ( ( ) 0)
( ) ( )
a a
a
f x g x f x hoac g x
f x g x
0 1
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) 0
( 1) ( ) ( ) 0
a a
a
f x
f x g x
g x
a f x g x
16) SỐ PHỨC
1) Định nghĩa
Cho số phức
z a bi
, với
2
1
i
Phần thực:
a
Modul:
2 2
z a b
Phần ảo:
b
Số phức liên hợp:
z a bi
Chú ý:
4
1
n
i
4 1n
i i
4 2
1
n
i
4 3n
i i
Các phép tính
Cho hai số phức
1 1 1
z a bi
và
2 2 2
z a b i
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
z z a a b b i
1 2 1 2 1 2
( ) ( )
z z a a b b i
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( ) ( )
z z a a bb a b a b i
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2
( ) ( )
z a a bb a b a b i
z a b
2) Dạng lượng giác của số phức
Với
z a bi
, đặt
2 2
r z a b
và góc
(rad) thỏa mãn
cos
sin
a
r
b
r
Ta có:
(cos sin )
z r i
là dạng lượng giác của số phức trên.
Các phép tính
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
18
Cho hai số phức
1 1 1 1
(cos sin )
z r i
và
2 2 2 2
(cos sin )
z r i
1 2 1 2 1 2 1 2
cos( ) sin( )
z z rr i
1 1
1 2 1 2
2 2
cos( ) sin( )
z r
i
z r
1 2
1 2
1 2
( )
2
r r
z z k Z
k
1 1
1 1
cos( ) sin( )
i
z r
Công thức Moa-vrơ
(cos sin ) (cos sin )
n
n
r i r n i n
n Z
Căn bậc n của số phức
2 2
cos sin
n n
k k
z r i
n n
với
0, 1
k n
3) Các công thức khác
2
z z a
2
.
z z z
2
1
z
z
z
1 2 1 2
z z z z
1 2 1 2
. .
z z z z
1 1
2
2
z z
z
z
1 2 1 2
. .
z z z z
1
1
2 2
z
z
z z
1 2 1 2
arg( . ) arg arg
z z z z
1
1 2
2
arg arg arg
z
z z
z
Mở rộng: Căn bậc hai của số phức
Cho số phức
z a bi
. Nêu có số phức
sao cho
2
z
thì
được gọi là căn
bậc hai của z
Nếu
0
b
, các căn bậc hai của z là
2 2 2 2
2 2
a b a a b a
i
Nếu
0
b
, các căn bậc hai của z là
2 2 2 2
2 2
a b a a b a
i
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
19
1) CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC
Kí hiệu
, ,
a b c
: Độ dài các cạnh
, ,
BC CA AB
R
,
r
: Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp
p
: Nửa chu vi
,
a a
m h
Độ dài đường trung tuyến, đường cao kẻ từ A
1) Hệ thức lượng trong mọi tam giác
2 2 2
2 cos
a b c bc A
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
2 2 2 2
1 1
2 4
a
m b c a
2) Hệ thức lượng trong tam giác vuông
2
.
AB BH BC
2
.
AC CH BC
2 2 2
BC AB AC
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
2
.
AH BH CH
. .
AB AC BC AH
A
C
B
c
b
a
a
m
a
h
C
B
A
H
1 1 1
. . .
2 2 2
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
4
( )( )( )
ABC a b c
S a h bh c h
ab C ac B bc A
abc
R
pr
p p a p b p c
HÌNH HỌC
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
20
3) Tính chất các đường trong tam giác
G là trọng tâm tam giác ABC
1
2
GM
GA
1
3
GM
AM
2
3
AG
AM
D, E là chân đường phân giác trong và ngoài
của tam giác ABC
DB AB
DC AC
EB AB
EC AC
4) Một số định nghĩa
Trọng tâm: là giao điểm của ba đường trung tuyến trong tam giác.
Trực tâm: là giao điểm của ba đường cao trong tam giác.
Tâm đường tròn nội tiếp: là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác.
Tâm đường tròn ngoại tiếp: là giao điểm của ba đường trung trực trong tam
giác. Nếu tam giác vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh
huyền.
A
B
C
M
G
C
B
A
D
E
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
21
2) PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng
(1;0)
i
(0;1)
j
1
i j
. 0
i j
2) Vecto
Cho hai vecto
1 2
( ; )
a a a
và
1 2
( ; )
b b b
Định nghĩa
1 2 1 2
( ; )
a a a a a i a j
Tính chất
Độ dài vecto
2 2
1 2
a a a
Tổng, hiệu hai vecto
1 1 2 2
( ; )
a b a b a b
Nhân với số thực k
1 2
( ; )
ka ka ka
Hai vecto bằng nhau
1 1
2 2
a b
a b
a b
a
cùng phương
b
k R
sao cho
a kb
1 2 2 1
a b a b
Tích vô hướng hai vecto
1 1 2 2
. . .cos ,
a b a b a b a b a b
Góc giữa hai vecto
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos ,
.
a b a b a b
a b
a b
a a b b
Ứng dụng
Hai vecto vuông góc
. 0
a b a b
A, B, C thẳng hàng
AB
cùng phương
AC
AB k AC
ABCD là hình bình hành
AB DC
Diện tích tam giác ABC
1
2
B A B A
ABC
C A C A
y y x x
S
y y x x
3) Tọa độ của điểm
Cho hai điểm
( ; )
A A
A x y
và
( ; )
B B
B x y
Định nghĩa ( ; )
A A A A
A x y OA x i y j
Tính chất
Tọa độ
AB
( ; )
B A B A
AB x x y y
Độ dài đoạn AB
2 2
( ) ( )
B A B A
AB AB x x y y
O
x
y
i
j
Biên soạn: Phùng Văn Toán – 0985.62.99.66 – www.luyenthi24h.com
22
Trung điểm I của AB
;
2 2
A B A B
x x y y
I
Tọa độ trong tâm
ABC
;
3 3
A B C A B C
x x x y y y
G
M chia AB theo tỉ số k
MA kMB
;
1 1
A B A B
x kx y ky
M
k k
4) Phương trình đường thẳng
Định nghĩa
Vecto
( ; ) 0
n a b
có giá vuông góc với đường thẳng
là vecto pháp tuyến của
Vecto
( ; ) 0
u a b
có giá song song với đường thẳng
là vecto chỉ phương của
Phương trình tổng quát đường thẳng
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
và có VTPT
( ; )
n a b
0 0
: ( ) ( ) 0
a x x b y y
Phương trình tổng quát đường thẳng
0
ax by c
(với
2 2
0
a b
)
Phương trình tham số đường thẳng
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
có VTCP
( ; )
u a b
0
0
:
x x at
y y bt
Phương trình chính tắc đường thẳng
đi qua điểm
0 0
( ; )
M x y
có VTCP
( ; )
u a b
0 0
:
x x y y
a b
(với
0
ab
)
Nếu
0
a
hoặc
0
b
thì đường thẳng không có phương trình chính tắc
Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng
đi qua hai điểm
( ;0)
A a
,
(0; )
B b
: 1
x y
a b
(với
0
ab
)
Các trường hợp đặc biệt
Trục
Ox
/ /
Ox
Trục
Oy
/ /
Oy
PT tổng quát
0
y
:
y m
0
x
:
x n
PT Chính tắc
0
x t
y
:
x t
y m
0
x
y t
:
x n
y t
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1 1 1 1
: 0
a x b y c
và
2 2 2 2
: 0
a x b y c
Tọa độ giao điểm của
1
và
2
là nghiệm của hệ phương trình
1 1 1
2 2 2
0
0
a x b y c
a x b y c
Từ đó:
