Bài tập cơ lý thuyết giữa kỳ

Bài Tập Cơ Lý Thuyết 1
Trường đại học BÁCH KHOA thành phố hồ chí minh
GVHD: PGS. TS. Trương Tích Thiện
BK
TP.HCM
PHẦN I : TĨNH HỌC VẬT RẮN
Bài 1/
Cho 1 cơ hệ như hình vẽ (hình
1). Cho biết: , P1, P2.
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng
với mọi loại tải tác động
không? Tại sao?
b. Nếu hệ cân bằng, hãy xác
định các phản lực liên kết của
các liên kết ngoại.
c. Hãy xác định các ứng lực lên
từng thanh thẳng trong hệ.
1
r
P
2
r
P


C
B
A
D
j
k

l
m
Hình 1
Hướng dẫn
1. Hệ đã cho là hệ giàn phẳng vì hệ thỏa mãn tất cả 4 điều
kiện sau đây:
+
Hai đầu cuối của mỗi thanh thẳng có hai khớp bản lề.
+
Tất cả các vật rắn trong hệ đồng phẳng và tải tác động
cùng nằm trong mặt phẳng của hệ.
+
Tất cả các vật rắn trong hệ đều là các thanh thẳng và có
thể bỏ qua trọng lượng của chúng.
+
Tất cả các thanh thẳng trong hệ không chịu tác động của
lực và moment ở giữa thanh mà chỉ chịu tác động của các
lực tập trung tại các đầu cuối của các thanh.
⇒ Hệ thỏa mãn cả 4 điều kiện nêu trên sẽ được gọi là hệ
giàn phẳng.
2. Tính chất của hệ giàn phẳng:
∗
Tất cả các thanh trong hệ giàn phẳng chỉ chịu lực nén
hoặc lực kéo dọc trục.
∗
Hai lực tác động lên 2 đầu cuối của mỗi thanh thỏa
tiên đề 1 của tĩnh học và được gọi là các ứng lực tác
động lên từng thanh trong hệ giàn.
Ứng lực
Thanh chịu nén

1
S
r
2 1
S S= −
r r
Thanh chịu kéo
4 3
S S= −
r r
3
S
r
∗
Nút giàn là nơi nối các thanh trong hệ giàn lại với nhau.
Số khớp bản lề nội k ở mỗi nút giàn có t thanh nối với
nhau được tính theo công thức:
Với k: là số khớp bản lề nội tại
nút khảo sát, t: là số thanh nối
vào nút đó. A, B, C: là các nút
giàn
k = t – 1
L
j
k
l
t
Nút giàn
∗
Mỗi thanh trong hệ giàn sẽ tác động 1 lực lên nút nối với

nó. Lực này có phương trùng với đường thẳng của thanh,
cùng độ lớn với lực do nút tác động lên thanh này nhưng
ngược chiều.
BÀI SỬA
a. Tính bậc tự do của hệ:
Lý thuyết:
+ Nếu dofhệ ≤ 0 thì hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động.
+ Nếu dofhệ > 0 thì hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải.
⇒Vậy hệ luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì dofhệ =
0
4
1
4
1
3
3 4 12 0
4
2 2 122 4
lk
j
j
lk
j
j
dof n R
dof
n
R
=
=


= × −



⇒ = × − =
=






= × + × =




∑
∑
heâ
heäâ
ta coù
&
Ta có 2 khớp bản lề ngoại cố định và 4 khớp bản lề nội.
b. Xác định các phản lực của các liên kết ngoại.
+
Tự do hoá hệ (bỏ hết các liên kết ngoại):
+
Khảo sát sự cân bằng của toàn hệ (hình 2).

YD = 0
1
r
P
2
r
P
C
B
A
D
x
y
r
D
X
r
A
X
r
D
X
r
D
Y
r
A
Y
Hình 2
⊕

(2)⇒ YA = P2 > 0
(3)⇒ XD = – (P1 + P2) < 0
(1)⇒ XA = – P1 – XD = – P1 – [–(P1 + P2)] = P2 > 0
( )
( )
( )
( )
1
2
2 1
0 1
0 2
. . . 0 3
jx A D
jy A
A j D
F X P X
F Y P
M F P P X

∑ = + + =


∑ = − =


∑ = − − − =


r

  
⇒ Do XD < 0 nên chiều đúng của XD ngược chiều đã chọn.
c. Dùng phương pháp tách nút:
Để tính được ứng lực tác động lên các thanh trong hệ giàn
thông thường người ta dùng phương pháp tách nút.
+
Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực:
+
Giải hệ (1), (2), (3) ta nhận được:
+
Ứng lực tác dụng lên thanh CD – thanh l (hình 3)
⇒ SC,l = XD ⇒ SC,l = (P1 + P2)
+
Khảo sát sự
cân bằng của
nút C.(hình 3b)
Nghĩa là tách riêng từng nút trong hệ giàn để khảo sát sự
cân bằng của nút đó.
Hình 3b
1
r
P
2
r
P
C
x
y
0
45

,C
S
r
k
,C
S
r
m
,C
S
r
l
r
D
X
,C
S
r
l
Hình 3a
l
⇒ Ứng lực tác dụng lên k & m:
Ta có:
1 ,
, ,
,
2
2
0
2

2
0
2
C
C
C
y C
jx
j
F P S
F P
S
S S

∑ = − − × =




∑ = − − − × =


m
k m
l
[ ]
, 1 , 1 1 2 2
, 2 , 2 2
( ) 2 ( ) 2 2
2 2

( ) ( 2 ) 0
2 2
C C
C C
S P S P P P P
S P S P P

= − × = − + × = −

⇒

= − − × = − − − × =


m l
k m
k
,C
S
r
m
,A
S
r
m
+
Khảo sát sự cân bằng nút B (hình 4).
, , 2
2.⇒ = = =
m m mA C C

S S S P
,
Ta có:
j
A
B
, ,
0 0
jx B B
F S S∑ = − = ⇒ =
j j
B
x
y
,B
S
r
j
Hình 4
Bài 2.
Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, , α.
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi loại tải tác động hay
không? Tại sao?
b. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A và C?
2
M=q
α


A

B
C
q
Hình 1
BÀI SỬA
Vậy hệ luôn cân với mọi loại tải tác động vì dofhệ ≤ 0.
b. Xác định các pllk tại A và C.
∗
Khảo sát sự cân bằng của thanh ABC.
( )
2
ˆ
1
. 3
3.1 2 1 0
lk
j
he
j
a dof n R
=
= × −
= − + =
∑
&
r
A
Y
C
N

r
2
M=q
r
A
X
Q
r
A
B
C
q
C
N
r
y
x
r
X
A
2

⊕
α
Hình 2
∗
Tự do hóa thanh ABC (hình 2):
d
.= Q q
( )

( )
( )
( )
.sin 0 1
.cos 0 2
0 3
2
jx A C
jy A C
A j C
F X N
F Y Q N
M F Q M N d
α
α

∑ = − =


∑ = − + =


∑ = − × + + × =


r

( )
3 0
4cos

C
q
N
α
−
⇒ = <

( )
1 0
4
α
−
⇒ = <

A
q
X tg
( )
5
2 0
4
A
Y q⇒ = >
∗
Viết các phương trình cân bằng cho hệ lực tác động:
∗
Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ta thu được các kết quả:
Các kết quả NC < 0 và XA < 0
chứng tỏ các chiều đúng của
2 phản lực này ngược với

các chiều đã chọn cho chúng.
.cos 2 cosACd
α α
= = ×
Bài 3
Cho cơ hệ như hình vẽ (hình 1). Cho: q, , α.
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi tải tác động không?
Tại sao?
b. Tìm điều kiện của moment M để hệ cân bằng.
c. Hãy xác định các phản lực liên kết tại A và C ứng với 2
trường hợp của moment M như sau:
c.1 M = q2
c.2 M = 2q2

q


2
A
B
C
D
E
α
M
P q= 
Hình 1
BÀI SỬA
Vậy hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải vì dofhệ > 0.
b. Điều kiện để hệ cân bằng là thanh DE phải cân bằng hay

thanh DE phải tựa vào C. Nghĩa là NC > 0.
∗
Khảo sát sự cân bằng của thanh DE (Hình 2).
3
ˆ
1
. 3.
lk
j
he
j
a dof n R
=
= −
∑
&
3
1
2
3 0,5 2 5,5
lk
j
j
n
R
=
=




= + + =


∑
ˆ
0,5 0
⇒ =+ >
&
he
dof
( )
3
. . 0
2
E C
M F P N CE M∑ = − − =
r

sin sin
EH
CE
α α
= =Vôùi:

C
D
E
α
M
r

P
d
⊕
y
x
r
C
N
r
E
Y
r
E
X
H
Hình 2
K
3
2
EK = 
⇔
2
3
2
C
q M
N
CE
−
=


∗
Điều kiện để hệ cân bằng là thanh DE phải cân bằng.
Nghĩa là liên kết tựa tại C phải tồn tại hay NC > 0 hay:
c.1 M = q2: điều kiện (1) thoả ⇒ NC >0 ⇒ Hệ cân bằng.
1
.sin
2
C
N q
α
= 
∗
Khảo sát sự cân bằng của khung ABC (Hình 3).
2 2
3 3
0
2 2
q M q M− > ⇔ > 
(1)
c. Xác định các phản lực liên kết tại A và C ứng với 2 trường
hợp của moment M:
Thay M = q2 vào công thức tính NC, ta có:
q
2
A
B
C
α
⊕

y
x
A
X
r
Q q= 
C
N
′
r
A
X
r
A
Y
r
Hình 3
.cos
Cy Cy C
N N N
α
′
= =
.sin
Cx Cx C
N N N
α
′
= =
A

M
c.2 M = 2q2 ⇒ Điều kiện (1) không thỏa nên hệ không
cân bằng ⇒ NC = 0 !!!
( )
sin 0
cos 0
. ( sin ). ( cos ). 0
2
jx A C
jy A C
A j A C C
F X Q N
F Y N
M F M Q N N
α
α
α α
∑ = + − =



∑ = − =


∑ = − + − =


r

 

2 2
2 2
1 1
(1 sin ) ( cos ) 0
2 2 2 2
A
q q
M sin2 sin2
α α α α
⇒ = + − = + >
 
1
cos sin 2 0
4
A C
Y N q
α α
⇒ = = >
2
1
sin sin 0
2
A C
X N Q q q
α α
⇒ = − = − < 
Vì XA < 0 nên chiều đúng của XA ngược chiều đã chọn.
Vì XA < 0 nên chiều đúng của XA ngược chiều đã chọn.
( )
0

0
. 0
2
jx A
jy A
A j A
F X Q
F Y
M F M Q
⇒ ∑ = + =



∑ = =


∑ = − =


r

2
0
2
A
A
A
X q
Y
q

M
⇒ = −


=



=




Khảo sát lại sự cân bằng của khung ABC với N’C = NC = 0,
ta có:
Bài 4
a. Hệ đã cho có luôn cân bằng với mọi loại tải hay không?
Tại sao?
b. Tìm điều kiện của lực P để cho hệ cân bằng?
c. Xác định phản lực liên kết của khớp trượt B lên con
trượt B, phản lực của thanh AB lên con trượt B, phản lực
của thanh AB và khớp bản lề O lên thanh OA.
<Bỏ qua trọng lượng các vật và ma sát trong hệ>
0
(
30 ;
OA
Cho
M
α

=


=

hình 1)

a. Tính bậc tự do:
BÀI SỬA
ˆ
3 3 3 8 1
3
2 2 2 2 8
lk
he
lk
dof n R
n
R
= − = × − =
=



= + + + =


∑
∑
Vôùi:

&

A
O
M
P
r
α
B
j
k
Hình 1
3
Vậy hệ không luôn cân bằng với mọi loại tải tác động vì
dofhệ > 0.
b. Dùng phương pháp tách vật.
∗
Khảo sát sự cân bằng của thanh OA (hình 2).
* Tự do hoá thanh OA.
* Thiết lập phương trình
cân bằng cho thanh
OA.
Thanh AB là 1 liên kết thanh trong hệ.
A
O
M
α
j
,
R

r
k j
⊕
y
x
O
Y
r
O
X
r
Hình 2
d
α
cosd
α
= ×