cơ lý thuyết chương 3- động học chất điểm full

PH N ii: Đ NG H CẦ Ộ Ọ
CƠ HỌC LÝ THUYẾT
BK
TP.HCM
Bộ môn Cơ Kỹ Thuật
Tp. Hồ Chí Minh, 01/ 2007
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒ CHÍ MINH
PGS. TS. TRƯƠNG Tích Thiện

Động học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm khảo sát
các quy luật chuyển động của vật rắn trong không gian
theo thời gian mà không quan tâm đến các nguyên nhân
sinh ra các quy luật chuyển động ấy.

Đối tượng của động học gồm có hai loại: chất điểm và hệ
nhiều chất điểm được nối cứng với nhau. Chất điểm là
một thể tích vô cùng bé có chứa vật liệu thuộc vật rắn cho
nên nó sẽ có khối lượng và vật rắn tuyệt đối được xem là
một hệ gồm có vô số chất điểm được nối cứng với nhau.

Khi kích thước của vùng không gian mà vật rắn chuyển
động chiếm được rất lớn so với kích thước của vật hay khi
kích thước của vật không ảnh hưởng đến các đặc trưng
chuyển động của các chất điểm thuộc vật thì toàn vật rắn
sẽ được xem là một chất điểm và được gọi là vật điểm.
Khối lượng của vật điểm bằng khối lượng của toàn vật.
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
3.1. Các đặc trưng chuyển động của chất điểm

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
3.2. Các phương pháp khảo sát chuyển động của điểm
3.3. Bậc tự do và tọa độ suy rộng
Nội dung
Chương 3: Động Học Chất Điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1

Chú ý rằng vật được chọn làm vật quy chiếu phải thỏa
tiên đề quán tính của Galiléo.
∗
Để khảo sát được chuyển động của điểm M, ta cần chọn
trước một vật làm vật quy chiếu.

Với một sai số có thể chấp nhận được, người ta thường
chọn trái đất làm vật quy chiếu để khảo sát các loại
chuyển động thông thường của chất điểm.
3.1. Các đặc trưng chuyển động của chất điểm
+
Vị trí của M sẽ được xác định bởi vectơ định vị (hình 3.1).
r

∗
Trên vật quy chiếu ta chọn một điểm tùy ý làm điểm gốc
O.

hình 3.1
O
x
y
i

j

k

M
)(C
r

a

O
MO
≡
*
v

z
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1

Để xác định đầy đủ chuyển động của một điểm ta cần xác
định ba đặc trưng chuyển động của điểm. Đó là phương
trình chuyển động của điểm, vận tốc của điểm và gia
tốc của điểm.
3.1.1. Phương trình chuyển động của điểm
∗
Định nghĩa: Phương trình chuyển động của điểm là một
phương trình toán giúp xác định vị trí của điểm trong
không gian theo thời gian.
( )
1)(trOMr

==
+
Dạng tổng quát của phương trình chuyển động điểm như
sau:
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
+
Quỹ tích của M trong không gian được gọi là quỹ đạo (C)
của điểm. Phương trình toán biểu diễn đường cong quỹ
đạo (C) được gọi là phương trình quỹ đạo của điểm.
+
Vòng tròn lớn nhất có khả năng tiếp xúc với đường cong,
trên mặt phẳng mật tiếp của đường cong tại điểm đang
xét, về phía lõm của đường cong được gọi là đường tròn

mật tiếp với đường cong tại điểm ấy. Bán kính của đường
tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong
ρ
của quỹ đạo.
+
Ở mỗi điểm trên đường cong quỹ đạo (C) ta sẽ luôn có
một mặt phẳng mật tiếp với đường cong tại điểm đó.
3.1.2. Vận tốc của điểm
∗
Định nghĩa: Vận tốc của điểm là một đại lượng vector
biểu diễn sự biến thiên vector định vị theo t.
r

+
Vector vận tốc của điểm phản ánh phương, chiều và tốc
độ thay đổi vị trí của điểm.
( )
( ) ( / ) 2
dr
v r v t m s
dt
= = =

  
&
∗
Định nghĩa: Gia tốc của điểm là một đại lượng vector biểu
diễn sự biến thiên của vector vận tốc t theo thời gian t.
v


3.1.3 Gia tốc của điểm
+
Vận tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
+
Vận tốc luôn có tính chất tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng
theo chiều chuyển động của điểm trên quỹ đạo.
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
+
Vector gia tốc của điểm có hai tính chất:
( )
2
( ) ( / ) 3= = = =

   
& &&
dv
a v r a t m s
dt
+
Gia tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:
–
Nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm đang
xét.

–
Luôn hướng về phía lõm của quỹ đạo.
3.2. Các phương pháp khảo sát chuyển động của điểm
3.2.1. Phương pháp tọa độ Descartes
∗
Theo phương pháp tọa độ Descartes ta sẽ dựng tại gốc
O tại một hệ trục tọa độ Descartes 3 chiều thuận Oxyz để
khảo sát chuyển động cho điểm M.
3.2.1.1. Phương trình chuyển động của điểm
∗
Vị trí của điểm M sẽ được xác định hoàn toàn nếu ta xác
định được hệ ba phương trình đại số (4). Do đó hệ 3
phương trình (4) được gọi là phương trình chuyển động
của điểm theo phương pháp tọa độ Descartes.
( )
1
2 2 2
2
5r x y⇒ = + +
 
 

z
( )
, ,
. . .
⇒ = = + +
&
uuuu


 

M x y z
r OM x i y j z k
Goi:
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
( )
( )
. . . ( ) 4
( )
x
x y y
r x t
r r i r j r k r y t
r t

=

= + + ⇒ =


=


 

Mà :

z
z
z
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
Phương trình (6) được gọi là phương trình quỹ đạo (C) của
điểm.
( )
0 6=
F(x,y,z)
3.2.1.2. Vận tốc của điểm
∗
Theo định nghĩa (2) ta sẽ biễu diễn vận tốc của điểm theo
phương pháp tọa độ Descartes như sau:
( . . ) . .
= = = + + = + +

 
   
 
&
& &
&
dr d
v r x i y j z k x i y j z k
dt dt
.
.

∗
Khử biến thời gian t trong hệ ba phương trình (4) ta sẽ
được một phương trình ba biến ở dưới dạng (6).
∗
Muốn xác định độ lớn vận tốc ta dùng định lý Pitago.
3.2.1.3. Gia tốc của điểm
( ) ( )
1
2 2 2
2
7 8
 
⇒ = + +
 

& &
&
v x y z
∗
Theo định nghĩa (3) gia tốc của điểm sẽ được xác định
theo phương pháp Descartes như sau:
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
( )
( )
. . . ( ) 7
( )
=



= + + ⇒ =


=

&

 

&
&
x
x y y
v x t
v v i v j v k v y t
v z t
Mà :
z
z
∗
Hệ 3 phương trình (7) được gọi là vận tốc của điểm theo
phương pháp tọa độ Descartes.
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
( )
( )

( ) 9
( )
=


=


=

&&
&&
&&
x
y
a x t
a y t
a z t
Dođó :
z
( ) ( )
1
2 2 2
2
9 10
 
⇒ = + +
 

&& &&

&&
a x y z
. . .
= = = + +


 
 
&
&& &&
&&
dv
a v x i y j z k
dt
. . .
x y
a a i a j a k
= + +

 

Mà :
z
∗
Độ lớn gia tốc a được tính theo định lý Pitago:
∗
Hệ 3 phương trình (9) được gọi là gia tốc của điểm theo
phương pháp tọa độ Descartes.
3.2.2. Phương pháp tọa độ tự nhiên
Phương pháp tọa độ tự nhiên chỉ được sử dụng nếu đã

biết trước quỹ đạo (C) của điểm.
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
∗
Bán kính cong của quỹ đạo:
( )
( )
3
2 2 2
2
1
2 2 2
2
11
+ +
=
 
+ +
 
 
 
&
&& &&
& &
&
& & & &
&
&& && && &&

z
z z
x y z
x y y z x
x y y x
ρ
3.2.2.1. Phương trình chuyển động của điểm
∗
Phương pháp tọa độ tự nhiên sẽ sử dụng quỹ đạo đã biết
của điểm làm trục tọa độ cong. Trên trục cong này ta
chọn tùy ý một điểm làm điểm gốc O* (thường chọn điểm
gốc O* trùng vị trí ban đầu MO của điểm M) (hình 3.2).
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
hình 3.2
M
(C)
a

O
MO
≡
*
v

t
n
O

n
a

τ

a
η

τ

⊕

r
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
∗
Chọn chiều dương cho trục tọa độ cong theo chiều
chuyển động của điểm.
∗
Phương trình chuyển động của điểm là một phương trình
đại số xác định đoạn đường mà điểm đã đi được trên quỹ
đạo.
∗
Quan hệ giữa tọa độ tự nhiên và tọa độ Descartes:
( )
2 2 2
0
. 13

= + +
∫
& &
&
t
s x y z dt
( )
* ( ) 12
≡ =
s O M s t
∗
Để xác định được vector vận tốc và vector gia tốc của
điểm ta cần phải dựng thêm một hệ trục tọa độ vuông
góc Mtn chuyển động cùng với điểm M như sau:
3.2.2.2. Vận tốc của điểm
+
Trục tiếp tuyến t tiếp tuyến với quỹ đạo và có chiều
dương hướng theo chiều chuyển động của điểm. Trên
trục tiếp tuyến này ta dựng một vector đơn vị .
τ

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
+
Điểm gốc là điểm M đang chuyển động.
+ Dựng trục pháp tuyến n đặt tại M, nằm trong mặt phẳng
mật tiếp với quỹ đạo tại M, vuông góc với trục tiếp tuyến t
và có chiều (+) hướng về phía lõm của quỹ đạo. Trên trục

pháp tuyến này ta dựng một vector đơn vị .
η

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
∗
Vận tốc của điểm M sẽ được xác định theo công thức
như sau:
( )
( )
14
. .
( ) 0,
t
v s v
v
v s hc v m s
τ τ
τ





= =
⇒ ↑↑
= = ≥
  

&
 

&
Với:

Chú ý rằng, và sẽ có phương thay đổi theo chuyển
động của điểm M trên quỹ đạo (C).
τ

η

3.2.2.3. Gia tốc của điểm
∗
Theo định nghĩa (3), ta có:
. .
. ( . )
dv d
a v
dt dt
v
v v
τ
τ
τ η
ρ
⇔ = +
= +

 



&
( )
. .
15
n
n
a a a
a a
τ
τ
τ η
⇒ = +
= +

 
 
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
( . )
= =

 
dv d
a v
dt dt
τ

CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
∞→⇔=
⇔>
ρ
ρ
0
0
n
n
a
a
hữu hạn ⇔ (C) là đường cong.
⇔ (C) là đường thẳng.
Với:
: M chuyển động nhanh dần.
: M chuyển động đều.
: M chuyển động chậm dần.
0 0 0
0 0 0
0 0
τ τ
τ τ
τ τ






> ⇔ > ⇔ > ⇔ ↑↑
= ⇔ = ⇔ =
< ⇔ < ⇔ ↑↓
 
& &&


&
 
&
a v s a v
a v a
a v a v
Ta có:





==
===
ηη
ρ
τττ
ττ



&&


&



2
nn
a
v
a
svaa
: thành phần gia tốc tiếp.
: thành phần gia tốc pháp.
3.3. Bậc tự do và tọa độ suy rộng
3.3.1. Bậc tự do (dof)
Bậc tự do của một cơ hệ là
số thông số độc lập cần
dùng để có thể khảo sát được
chuyển động của toàn hệ.
∗
Thí dụ: (hình 3.3)
3.3.1.1. Định nghĩa
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
hình 3.3
y
x
A

B
2
ϕ
1
ϕ
O
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
+
Để có thể khảo sát được chuyển động của toàn hệ ta cần
cần dùng 2 thông số độc lập là φ1 và φ2. Do đó:
of 2D⇒ =
3.3.1.2. Xác định dof của vật rắn tự do hoàn toàn
a. Trong không gian 2 chiều (hình 3.4).
O
1
M
2
M
4
M
3
M
y
x
1
x
1

y
12
d
hình 3.4
∗
Xét hệ có hai chất điểm nối cứng và tự do hoàn toàn
trong không gian hai chiều. Ta cần xác định 4 tọa độ
nhưng ta có một ràng buộc:
+
Do đó số thông số độc lập cần dùng là: 4 - 1 = 3
∗
Xét hệ có một chất điểm M1 tự do hoàn toàn trong không
gian 2 chiều. Cần xác định hai tọa độ x1, y1. Đây là hai
thông số độc lập. Do đó:
⇒ Vậy bậc tự do của hệ gồm hai điểm và tự do hoàn
toàn trong không gian hai chiều là: dofhệ = 3.
( ) ( )
constyyxxd
=−+−=
2
12
2
1212
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
⇒ Vậy dofhệ = 2
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học

chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
∗
Xét hệ có 3 chất điểm không thẳng hàng, được nối cứng
và tự do hoàn toàn trong mặt phẳng chứa 3 điểm. Cần
xác định 6 tọa độ và ta có 3 ràng buộc. Do đó số thông số
độc lập cần dùng: 6 – 3 = 3 hay dofhệ = 3!!!
∗
Khi khảo sát chuyển động của một vật rắn trong không
gian hai chiều ta không cần khảo sát chuyển động của tất
cả các điểm thuộc vật mà chỉ cần khảo sát chuyển động
của một mô hình gồm có hai chất điểm bất kỳ được nối
cứng thuộc vật là đủ.

Kết luận:
∗
Bậc tự do của 1 vật rắn tự do hoàn trong 2D sẽ bằng bậc
tự do của 1 mô hình gồm có 2 chất điểm bất kỳ, được nối
cứng thuộc vật rắn. Do đó DofVR = 3.
b. Trong không gian 3 chiều: 3D (hình 3.5)
∗
Hệ có một điểm tự
do hoàn toàn trong
không gian 3 chiều.
O
1
M
2
M
4

M
3
M
y
x
12
d
z
hình 3.5
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1: Tĩnh Học và Động Học Phần II: Động học
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN Chương 3: Động học
chất Bộ Môn Cơ Kỹ Thuật điểm
CƠ HỌC LÝ THUYẾT 1
+
Do đó hệ có: Dofhệ = 3.
+
Cần xác định 3 tọa
độ cho điểm này.
+
Ba tọa độ này là 3
thông số độc lập.