Untitled (1).Pdf

Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR

BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
CHỦ ĐỀ 3: VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
VẤN ĐỀ 1. VEC TƠ TRONG KHƠNG GIAN
I. CHUẨN KIẾN THỨC

TĨM TẮT GIÁO KHOA.
1. Định nghĩa.
Các khái niện và các phép toán của vec tơ trong khơng gian được định
nghĩa hồn tồn giống như trong mặt phẳng.Ngồi ra ta cần nhớ thêm:
1. Qui tắc hình hộp : Nếu ABCD.A' B'C' D' là
      
hình hộp thì AC'  AB  AD  AA '  a  b  c .

B

C

a
b

A

D

B'
c
2. Qui tắc trọng tâm tứ diện.
C'
G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi một trong hai điều kiện
sau
xảy ra:
A'
D'
   
 GA
 GB  GC  GD  0
    
 MA  MB  MC  MD  4MG, M
  
3. Ba véc tơ a,b,c đồng phẳng nếu giá của chúng song song với một mặt phẳng.
  
Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ a,b,c đồng phẳng là có các số m,n,p không đồng thời bằng 0
   
sao cho ma  nb  pc  0 .

  

Cho hai vec tơ khơng cùng phương khi đó điều kiện cần và đủ để ba vec tơ a,b,c đồng phẳng là



có các số m,n sao cho c  ma  nb .
  


Nếu ba véc tơ a,b,c không đồng phẳng thì mỗi vec tơ d đều có thể phân tích một cách duy nhất

  
dưới dạng d  ma  nb  pc .
II. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
DẠNG 01: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VEC TƠ.
Phương pháp:
Sử dụng qui tắc cộng, qui tắc trừ ba điểm, qui tắc trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm
tam giác, trọng tâm tứ giác, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp…để biến đổi vế này
thành vế kia.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật . Chứng minh rằng
 2

 2

 2

 2

SA  SC  SB  SD .
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD , M và N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB và CD sao cho



 



MA  2MB,ND  2NC ; các điểm I, J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho



 

 



IA  kID,JM  kJN,KB  kKC .



1 
3

2 
3

Chứng minh với mọi điểm O ta có OJ  OI  OK .

THẦY NHẬT

1


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
DẠNG 02: CHỨNG MINH BA VEC TƠ ĐỒNG PHẲNG VÀ BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG.

A

Phương pháp:
  
1) Để chứng minh ba vec tơ a,b,c đồng phẳng ta có thể thực hiện theo
M
P
một trong các cách sau:
  
+C1) Chứng minh giá của ba vec tơ a,b,c cùng song song
với một mặt
B
D
phẳng.
 



+C2) Phân tích c  ma  nb trong đó a,b là hai vec tơ khơngQcùng phương.
N
2) Để chứng minh bốn điểm A, B,C,D đồng phẳng ta có thể chứng
minh
C
  

ba vec tơ AB,AC,AD đồng phẳng. Ngoài ra có thể sử dụng kết quả
quen thuộc sau:
3)Điều kiện cần và đủ để điểm D   ABC  là với mọi điểm O bất kì ta có








OD  xOA  yOB  zOC

trong đó

x  y  z  1 (Các

em tự chứng minh, Thầy sẽ

kiểm tra sau!).
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD , các điểm M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Gọi P,Q lần

  
lượt là các điểm thỏa mãn PA  kPD, QB  kQC  k  1 . Chứng minh M,N,P,Q đồng phẳng.
   
Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD , các điểm M,N xác định bởi MA  xMC,NB  yND  x,y  1 . Tìm
  

điều kiện giữa x và y để ba vec tơ AB,CD,MN đồng phẳng.

Lưu ý : Ta có thể sử dụng điều kiện đồng phẳng của ba vec tơ để xét vị trí tương đối của đường
thẳng với mặt phẳng:
Cho ba đường thẳng d1 ,d2 ,d3 lần lượt chứa ba vec tơ
  

u1 ,u 2 , u 3 trong đó d1 ,d2 cắt nhau và d 3  mp  d1 ,d 2  .

Khi đó :
  
 d3   d1 ,d2   u1 ,u2 ,u3 là ba vec tơ đồng phẳng.
  
 d3  mp d1 ,d2   M  u1 ,u2 ,u3 là ba vec tơ khơng đồng
phẳng

u3
d3

d1
d2

A

u2
u1

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' , M,N là các điểm


1  
4

2 
3

thỏa MA   MD , NA'   NC . Chứng minh MN   BC' D  .
.
Ví dụ 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B'C' . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA',CC' và G
là trọng tâm của tam giác A' B'C' .
Chứng minh  MGC'    AB' N  .
DẠNG 03: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA ĐOẠN THẲNG.
THẦY NHẬT

2


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Phương pháp:
Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở
2

2



2

a  a  a  a . Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN ta thực hiện theo các bước sau:

  

 Chọn ba vec tơ không đồng phẳng a,b,c so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc
giữa chúng
có thể tính được.

 Phân tích MN  ma  nb  pc


 2

2

 2

2

 m2 a  n 2 b  p2 c







2

 ma  nb  pc
 
 

 2mncos  a,b   2npcos  b,c   2mpcos  c,a  .

 Khi đó MN  MN  MN 

Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a và các góc

BAA'  
BAD 
DAA'  600 .Tính độ dài đường chéo AC' .
Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có tất cả các mặt đều là hình vng canh a . Lấy M
thuộc đoạn A'D , N thuộc đoạn BD với AM  DN  x 0  x  a 2 . Tính MN theo a và x .





DẠNG 04: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BỐN ĐIỂM ĐỂ GIẢI BÀI
TỐN HÌNH KHƠNG GIAN.
Phương pháp:
Sử dụng các kết quả



 A, B,C,D là bốn điểm đồng phẳng  DA  mDB  nDC

 A, B,C,D là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O bất kì ta có
   
OD  xOA  yOB  zOC trong đó x  y  z  1 .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành . Gọi B',D' lần lượt là
SC'
.
SC
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành. Gọi K là trung điểm của
SB SD

3.
cạnh SC . Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại M,N . Chứng minh
SM SN
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh AB,AC,AD lấy các điểm K,E,F . Các mặt phẳng
 BCF  ,  CDK  ,  BDE  cắt nhau tại M . Đường thẳng AM cắt  KEF  tại N và cắt mặt phẳng

trungđiểm của các cạnh SB,SD . Mặt phẳng  AB' D'  cắt SC tại C' . Tính

NP
MP
3
.
NA
MA
Ví dụ 4. Cho đa giác lồi A1A 2 ...A n  n  2  nằm trong  P  và S là một điểm nằm ngoài  P  . Một

 BCD 

tại P . Chứng minh

mặt phẳng  α  cắt các cạnh SA1 ,SA2 ,...,SAn của hình chóp S.A1A2 ...An tại các điểm B1 ,B2 ,..,Bn sao
cho

SA1 SB2
SAn

 ... 
 a ( a  0 cho trước)
SB1 SB2
SBn

Chứng minh  α  luôn đi qua một điểm cố định.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP(TỰ
LUẬN)

 
1. Cho tứ diện ABCD . Gọi E,F là các điểm thỏa nãm EA  kEB,FD  kFC còn P,Q,R là các
     
điểm xác định bởi PA  lPD,QE  lQF,RB  lRC . Chứng minh ba điểm P,Q,R thẳng hàng.
2. Cho tứ diện ABCD . Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD , G là trung điểm của IJ .
  
a) Chứng minh 2IJ  AC  BD
THẦY NHẬT

3


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
    
www.foxitsoftware.com/shopping
b) GA  GB  GC  GD  0
   
c) Xác định vị trí của M để MA  MB  MC  MD nhỏ nhất.
3. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . Xác định vị trí các điểm M,N lần lượt trên AC và DC' sao
MN
.
BD'
4. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' có các cạnh đều bằng a và các góc

cho MN  BD' . Tính tỉ số


 
B'A'D'  600 ,B'A'A
D'A'A  1200 .

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A'D ; AC' với B' D .
b) Tính diện tích các tứ giác A' B'CD và ACC'A' .
c) Tính góc giữa đường thẳng AC' với các đường thẳng AB,AD,AA' .
5. Chứng minh rằng diện tích của tam giác ABC được tính theo cơng thức

  2
1
AB2 AC 2  AB.AC .

2
6. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD, DA sao cho
 1   2   1   
AM  AB,BN  BC,AQ  AD,DP  kDC .
3
3
2
Hãy xác định k để M,N,P,Q đồng phẳng.



S



7. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a , 
ASB  
BSC  
CSA  α . Gọi β  là mặt phẳng đi qua
A và các trung điểm của SB,SC .

Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng β  .
8. Cho hình chóp S.ABC , mặt phẳng  α  cắt các tia SA,SB,SC,SG ( G là trọng tâm tam giác
ABC ) lần lượt tại các điểm A',B',C',G' .
SA SB SC
SG


3
Chứng minh

.
SA' SB' SC'
SG'
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Một mặt phẳng  α  cắt các cạnh
SA,SB,SC,SD lần lượt tại A',B',C',D' .

SA SC SB SD



.
SA' SC' SB' SD'
10. Cho hình chóp S.ABC có SA  a,SB  b,SC  c . Một mặt phẳng  α  luôn đi qua trọng tâm của

Chứng minh

tam giác ABC , cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A', B',C' . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1
1
1


.
2
2
SA' SB' SC'2
11. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm nằm trong tứ diện. Các đường thẳng AM, BM,CM,DM
cắt các mặt  BCD  ,  CDA  ,  DAB  ,  ABC  lần lượt tại A',B',C',D' . Mặt phẳng  α  đi qua M và

song song với  BCD  lần lượt cắt A' B',A'C',A' D' tại các điểm B1 ,C1 ,D1 .Chứng minh M là

trọng tâm của tam giác B1C1D1 .
12. Cho tứ diện ABCD có BC  DA  a,CA  DB  b,AB  DC  c
Gọi S là diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt) . Chứng minh rằng
1
1
1
9
 2 2 2 2 2 .
2
ab bc ca
S
13. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' và các điểm M,N,P xác định bởi
2







 



MA  kMB'  k  0  ,NB  xNC',PC  yPD' .

Hãy tính x,y theo k để ba điểm M,N,P thẳng hàng.

THẦY NHẬT

4


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
14. Cho hình hộp ABCD.A' B'C' D' . Một đường thẳng Δ cắt các đường thẳng AA', BC,C' D' lần




lượt tại M,N,P sao cho NM  2NP . Tính

MA
.
MA'

15. Giả sử M,N,P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA,SB,SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là
giao điểm của ba mặt phẳng  BCM  ,  CAN  ,  ABP  và J là giao điểm của ba mặt phẳng

 ANP  ,  BPM  ,  CMN  .
Chứng minh S,I,J thẳng hàng và

MS NS PS
JS



1 .
MA NB PC
JI

VẤN ĐỀ 2.HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
I.TĨM TẮT GIÁO KHOA.
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng:
 

Vectơ a  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song
hoặc trùng với đường thẳng d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
 Cho a //a ' , b //b ' và a ' , b ' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a
, b  a
', b '

   

 
 Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và  u, v    .



Khi đó: a
,b  
0
180  
3. Hai đường thẳng vng góc:
 a  b  a

, b  900 .

 

 0    90 
 90    180 
0

0

0

0

 

THẦY NHẬT

5


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
 To
 remove
 this notice, visit:
 

0
 Giả sử u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a  b  u.vwww.foxitsoftware.com/shopping
 Cho a //b . Nếu a  c thì b  c .
 Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhauNếu
, b  00 .
a //b hoặc a  b thì a

 

II. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
DẠNG 1: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.
PHƯƠNG PHÁP:
Để tính góc giữa hai đường thẳng d 1 ,d 2 trong khơng gian ta có thể thực hiện theo hai
cách
1)Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng d 1 ,d 2 bằng cách chọn một
điểm O thích hợp ( O thường nằm trên một trong hai đường
thẳng).

d1
d'1
O

'
1

d'2

'
2

Từ O dựng các đường thẳng d ,d lần lượt song song ( có thể trịng

d2

nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng) với d1 và d 2 . Góc
giữa hai đường thẳng d'1 ,d'2 chính là góc giữa hai đường thẳng d 1 ,d 2
.
Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác
cos A 

b2  c 2  a 2
.
2bc

 

2)Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương u1 ,u2 của hai đường thẳng d 1 ,d 2
 
u1 .u 2

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d 1 ,d 2 xác định bởi cos  d1 ,d2     .
u1 u 2

  

  

Lưu ý 2: Để tính u1 u 2 , u1 , u 2 ta chọn ba vec tơ a, b,c khơng đồng phẳng mà có thể tính được độ
 

  

dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ u1 ,u2 qua các vec tơ a, b,c rồi thực hiện các
tính tốn.
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD , biết
AB  CD  a,MN 

a 3
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
2

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng m . Các điểm M,N lần lượt là trung điểm
của AB và CD . Tính góc gữa đường thẳng MN với các đường thẳng AB,BC và CD .

THẦY NHẬT

6


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
DẠNG 02: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC.
Phương pháp:
Để chứng minh d1  d2 ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau:



 

 Chứng minh d1  d2 ta chứng minh u1 u2  0 trong đó u1 ,u2 lần lượt là các vec tơ chỉ phương
của d1 và d2 .
b  c

 Sử dụng tính chất 

a  c

a  b.

 Sử dụng hình học phẳngđịnh lí Pitago hoặc xác định góc giữa d1 ,d2 và tính trực tiếp góc đó .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi O là tâm đường tròn noại tiếp tam giác BCD .
Chứng minh AO  CD .
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
4
3

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD có CD  AB . Gọi I, J,K lần lượt là trung điểm của BC,AC, BD .

5
6

Cho biết JK  AB . Tính góc giữa đường thẳng CD với các đường thẳng IJ và AB .
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD có AB  AC  AD . Gọi O là điểm thỏa mãn OA  OB  OC  OD và
G là trọng tâm của tam giác ACD , gọi E là trung điểm của BG và F là trung điểm của AE .
Chứng minh OF vng góc với BG khi và chỉ khi OD vng góc với AC .
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................
THẦY NHẬT

7

Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP CỦA VẤN ĐỀ 2:
Tự luận
16. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều
a) Chứng minh AB  CD .
b) Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC,BC,BD,DA . Chứng minh MNPQ là
hình chữ nhật.
17. Cho hình lập phương ABCD.A' B'C' D' cạnh a . Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M
và N sao cho MD  NB  x  0  x  a  . Chứng minh
a) AC'  B' D'
b) AC'  MN .
18. Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a và BC  a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB
và SC .
19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, SA  AB và SA  BC .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC .
b) Gọi I,J lần lượt là các điểm thuộc SB và SD sao cho IJ  BD . Chứng minh góc giữa
AC và IJ khơng phụ thuộc vào vị trí của I và J .
20. Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác
nhau.
a) Chứng minh AD  BC .


b) Gọi M,N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho MA  kMB,



ND  kNB . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC .
21. Cho hình hộp thoi ABCD.A' B'C' D' có tất cả các cạnh đều bằng a và

ABC  
B'BA  
B'BC  600 . Chứng minh AC  B'D' .
22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD . Cho biết
AB  CD  2a và MN  a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD .
23. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N,P,Q,R lần lượt là trung điểm của
AB,CD,AD,BC và AC .
a) Chứng minh MN  RP,MN  RQ . b) Chứng minh AB  CD .
24. Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a,AC  BD  b,AD  BC  c .

a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vng góc với hai cạnh đó.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BD .
25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB  a,AD  2a .
Tam giác SAB vuông can tại A , M là một điểm trên cạnh AD ( M khác A và D ). Mặt phẳng
 α  đi qua M và song sog với  SAB cắt BC,SC,SD lần lượt tại N,P,Q .
a) Chứng minh MNPQ là hình thang vng.
b) Đặt AM  x . Tính diện tích của MNPQ theo a và x
Trắc nghiệm

MĐ1
Câu 1:

Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đường thẳng nào sau đây vng góc với đường
thẳng BC ' ?
A. A ' D .

Câu 2:

C. BB ' .

B. AC .

D. AD ' .

Cho hình lập phương ABCD. AB C D . Số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và DD là

A. 90 .

B. 60 .

C. 45 .

D. 120 .

MĐ2
THẦY NHẬT

8


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.

To remove this notice, visit:
của
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD. ABCD . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểmwww.foxitsoftware.com/shopping
AB, BC , C D . Xác định góc giữa MN và AP .

A. 60 .
Câu 4:

C. 90 .

D. 45

Cho khối chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a , SA  a 3 và SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Cosin của góc giữa hai đường thẳng SB và AC là

A.
Câu 5:

B. 30 .

3
.
4

2
.
4

B.

C.

5
.
4

D.

5
.
5

(Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AC  3a, BD  4a . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết AC vng góc BD . Tính MN .

A. MN 
Câu 6:

5a
.
2

B. MN 

7a
.
2

C. MN 

a 7
.
2

D. MN 

a 5
.
2

(Chuyên Phan Bội Châu-lần 1-2018-2019) Cho hình chóp S. ABC có BC  a 2 , các
cạnh cịn lại đều bằng a . Góc giữa hai đường thẳng SB và AC bằng

A. 90 .
Câu 7:

C. 30 .

D. 45 .

  40 . Số đo góc giữa
Cho hình lăng trụ ABCD. ABCD có đáy là hình chữ nhật và CAD
hai đường thẳng AC , B D là
B. 20 .

A. 40
Câu 8:

B. 60 .

'

'

'

C. 50 .

D. 80 .

'

Cho hình lập phương ABCD. A B C D cạnh a . Gọi M là trung điểm của CD và N là trung
' '
'
điểm của A D . Góc giữa hai đường thẳng B M và C ' N bằng

Câu 9:

A. 300 .

B. 450 .

A. 60

B. 45

C. 600 .

D. 900 .

(Chuyên Thái Bình lần 2 - 2018-2019) Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D '. Tính góc
giữa hai đường thẳng AC và A ' B.

C. 75
Câu 10: Cho tứ diện đều ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng

D. 90

A. 600 .

B. 900 .
C. 450 .
D. 300 .
Câu 11: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Đường thẳng nào sau đây vng góc với đường
thẳng BC ' ?
B. AC .
C. BB ' .
D. AD ' .
Câu 12: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB  CD  a và
A. A ' D .

MN 

a 3
. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
2

A. 30 .

B. 90 .

C. 120 .

D. 60 .

Câu 13: Cho hình chóp đều S. ABCD có O  AC  BD , M là trung điểm của đoạn CD , H là hình
chiếu vng góc của O trên SM . Kết luận nào sau đây sai?
A. BD  AC .

B. CD  SM .

C. OH  SD .

D. OH  AD .

THẦY NHẬT

9


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Góc giữa hai đường thẳng CD
'
và A ' C ' bằng.

A. 300.

B. 900.

C. 600.

D. 450.

Câu 15: Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 (tham khảo hình vẽ bên).
C

B

D

A

C1

B1

A1

D1

Góc giữa đường thẳng AD và BB1 bằng
A. 30

B. 60

C. 45

D. 90

Câu 16: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a ; AD  a 2 ; SA  2a
; SA  AB, SA  AD . Tính cơsin góc giữa hai đường thẳng SB và AC .

A.

3
.
4

B.

2
.
5

C.

1
.
15

D.

1
.
5

Câu 17: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Góc giữa hai đường thẳng BA’ và B’D’ bằng
A. 450 .

B. 900 .

C. 300 .

D. 600 .

Câu 18: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AD
0

A. 90 .

0

B. 60 .

0

C. 45 .

D. 30

0

Câu 19: Cho hình lập phương ABCD. ABC D . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và AD .
0

0

A. 90 .

0

0

B. 60 .
C. 45 .
D. 30
Câu 20: Cho hình chóp đều S. ABC có SA  9a , AB  6a . Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho
1
SM  MC . Côsin của góc giữa hai đường thẳng SB và AM bằng
2
A.

7
.
2 48

B.

1
.
2

C.

19

.
7

D.

14
.
3 48

Câu 21: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B và SA  AB, SA  AC . Mệnh đề nào dưới
đây Sai?

A. BC  SA. .

B. BC  AB. .

C. BC  SC.

D. BC  SB.

Câu 22: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA  AB, SA  AC , SA  a,

AB  a , BC  a 3 . Tính cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng SC và BD .

THẦY NHẬT

10


TTLT CƯM’GAR

3
.
A.
10

Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
5
3
3 www.foxitsoftware.com/shopping
.
.
.
B.
C.
D.
5
5
10

MĐ3
Câu 23:

(Chuyên Tự Nhiên Lần 1 - 2018-2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  2a . Gọi M , N
lần lượt là trung điểm AD và BC . Biết MN  a 3 , góc giữa hai đường thẳng AB và CD
bằng.

A. 450 .

B. 900 .

C. 600 .

D. 300 .

Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có SA  AB, SA  AC và tam giác ABC vuông tại B ,

SA a, AB  a, BC  a 2 .Gọi I

là trung điểm BC . Côsin của góc giữa đường thẳng

AI

và SC là?
A. 

2
.
3

B.

2
3 .

C.

2
.
3

D.

2
8

Câu 25: Cho tứ diện OABC có OA  OB  OC  a; OA, OB, OC vng góc với nhau từng đơi một.
Gọi I là trung điểm BC . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và OI .

A. 45 .

B. 30 .

C. 90 .

D. 60 .

Câu 26: (Bình Minh - Ninh Bình - Lần 4 - 2018) Cho tứ diện ABCD gọi M , N lần lượt là trung
điểm của BC và AD . Biết AB  CD  a , MN 

a 3
. Tính góc giữa hai đường thẳng AB
2

và CD .
A. 300 .

B. 900 .

C. 600 .

D. 1200 .

Câu 27: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB  CD  a và

MN 

a 3
. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
2

A. 30 .

B. 90 .

Câu 28: Cho tứ diện ABCD với AC 

C. 120 .

D. 60 .

3
  DAB
  60; CD  AD. Gọi  là góc giữa hai
AD, CAB
2

đường thẳng AB và CD . Chọn khẳng định đúng về góc  .

THẦY NHẬT

11


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR

BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:

www.foxitsoftware.com/shopping

A. cos  

3
.
4

B.   30 .

C.   60 .

D. cos  

1

.
4

Câu 29: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của
D qua trung điểm SA . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AE và BC . Góc giữa hai
đường thẳng MN và BD bằng
A. 60 .

B. 90 .

C. 45 .

D. 75 .

Câu 30: Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC , AD . Biết AB  CD  a và

MN 

a 3
. Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
2

A. 30 .

B. 90 .

C. 120 .

D. 60 .

Câu 31: Cho hình lập phương ABCD. ABCD . Góc giữa hai đường thẳng CD và AC  bằng
A. 30 .

B. 90 .

C. 60 .

D. 45 .

C. 30 .

D. 45 .

Câu 32: Tứ diện đều có góc tạo bởi hai cạnh đối diện bằng
A. 90 .

B. 60 .

Câu 33: Cho tứ diện S. ABC có SA  SB  SC  AB  AC  a; BC  a 2 . Góc giữa hai đường
thẳng AB và SC bằng
A. 0 .

Câu 34:

C. 60 .

D. 90 .

Cho lăng trụ đều ABC .DEF có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 2a . Tính cosin của góc tạo
bởi hai đường thẳng AC và BF .

A.
Câu 35:

B. 120 .

5
.
10

B.

3
.
5

C.

5
.
5

D.

3
10

(TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Cho hình chóp S. ABC có

SA  SB  SC  AB  AC  a , BC  a 2 . Số đo của góc giữa hai đường thẳng AB và

SC bằng
A. 900 .

B. 600 .

C. 450 .

D. 300

THẦY NHẬT

12


Edited with the trial version of
Foxit Advanced PDF Editor

TTLT CƯM’GAR
BÀI TẬP HÌNH HỌ LỚP 11(NC) NĂM HỌC 2021-2022.
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping
Câu 36: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính cơ-sin của góc giữa
hai
đường thẳng AB và DM ?
A.
Câu 37:

3
.
2

B.

3
.
6

C.

3
.
3

D.

1
.
2

(Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một
vng góc với nhau và OA  OB  OC . Gọi M là trung điểm của BC (tham khảo hình vẽ
bên). Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng

A

B

O

A. 90 .

M
C
C. 60 .

B. 30 .

D. 45 .

BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.A
21.C
31.B

2.A
12.D
22.B
32.A

3.D
13.D
23.C
33.C

4.B
14.C
24.C
34.A

5.A
15.D
25.D
35.B

6.B
16.C
26.C
36.B

7.D
17.D
27.D
37.C

8.D
18.C
28.D

9.A
19.B
29.B

10.B
20.D
30.D

THẦY NHẬT

13