toán rời rạc chương 3 suy luận - chứng minh

Giảng viên: ThS. Trần Quang Khải
TOÁN RỜI RẠC
Chương 3:
Suy luận – Chứng minh
Toán rời rạc: 2011-2012
Nội dung
1. Giới thiệu.
2. Các quy tắc suy luận
3. Phương pháp chứng minh.
 Quy nạp toán học.
4. Phát biểu đệ quy.
5. Bài tập – Hỏi đáp.
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 2
Toán rời rạc: 2011-2012
Giới thiệu
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 3
Hai vấn đề trong toán học:
1. Khi nào một suy luận toán học là ĐÚNG?
2. PHƢƠNG PHÁP nào để xây dựng các suy
luận toán học?
Toán rời rạc: 2011-2012
Giới thiệu – Trong toán học
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 4
Toán rời rạc: 2011-2012
OK
Giới thiệu - Trong tin học
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 5
Program
Dữ liệu 1 Kết quả 1
Program
Dữ liệu 2 Kết quả 2

Program
Dữ liệu n Kết quả n
Hmmm!
Tầm bậy!
OK
Toán rời rạc: 2011-2012
Các khái niệm
 Định lý: theorem = a TRUE statement
một phát biểu hoặc công thức được suy luận ra từ các
tiên đề dựa vào các quy tắc suy luận

sự chứng minh.
 Tiên đề (Axiom – còn gọi là định đề)
một mệnh đề không phụ thuộc vào sự chứng minh.

giả thiết cơ sở của các cấu trúc toán học.
 Giả thiết (Hypothesis)
Những mệnh đề/phát biểu đúng được sử dụng để
tranh luận hoặc nghiên cứu.
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 6
Toán rời rạc: 2011-2012
Chứng minh là gì?
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 7
Quy tắc suy luận
Định lý
Định lý đã
được CM
Tiên đề
Giả thiết
của định lý

 Quy tắc suy luận = cơ chế rút ra kết luận từ những điều
đã được khẳng định khác.
 Sự chứng minh có thể thực hiện bằng việc kết hợp các
bước chứng minh.
Toán rời rạc: 2011-2012
Các quy tắc suy luận (1)
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 8
Simplification
(Luật rút gọn)
Addition
(Luật cộng)
Modus ponens
(Luật tách rời)
Toán rời rạc: 2011-2012
Các quy tắc suy luận (2)
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 9
Hypothetical
syslogism (Tam đoạn
luận giả định)
Disjunctive syslogism
(Tam đoạn luận
tuyển)
Modus tollens
Toán rời rạc: 2011-2012
Ví dụ
1. “Kaka từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới. Do đó Kaka
từng đoạt quả bóng vàng Thế Giới hoặc giải học sinh
giỏi toán rời rạc cấp phường.”
2. “Trời thì nóng nực và bạn đang quăng bom. Do đó bạn
đang quăng bom.”

3. “Nếu bạn chém gió thì bạn của bạn cảm lạnh. Nếu bạn
của bạn cảm lạnh thì bạn ấy hắt xì. Vậy nếu bạn chém
gió thì bạn của bạn hắt xì.”
4. “Nếu lợn biết lập trình thì gà biết chơi Game. Gà không
biết chơi game. Vậy lợn biết lập trình.”
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 10
Toán rời rạc: 2011-2012
Quy tắc suy luận với lượng từ
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 11
Universal instantiation
(Sự cụ thể hóa ∀)
Universal generalization
(Sự tổng quát hóa ∀)
Existential instantiation
(Sự cụ thể hóa ∃)
Existantial generalization
(Sự tổng quát hóa ∃)
với bất kỳ
với một số
với một số
Toán rời rạc: 2011-2012
Phương pháp chứng minh
1. Chứng minh trực tiếp (direct).
2. Chứng minh gián tiếp (indirect).
3. Chứng minh bằng phản chứng
(contradiction).
4. Chứng minh quy nạp (inductive).
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 12
Toán rời rạc: 2011-2012
1. Chứng minh trực tiếp

 Chứng minh p  q bằng cách chỉ ra:
“Nếu p là đúng thì q phải đúng”.
 Ví dụ: “Nếu n là số lẻ thì n
2
cũng là số lẻ”
CM: giả sử n lẻ thì n = 2k + 1
n
2
= (2k + 1)
2
= 4k
2
+ 4k + 1
= 2(k
2
+2k) + 1 (là số lẻ)
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 13
Toán rời rạc: 2011-2012
2. Chứng minh gián tiếp
 Chứng minh p  q bằng cách:
thực hiện chứng minh trực tiếp ¬q  ¬p.
sử dụng (p → q) ⇔ (¬q → ¬p).
 Ví dụ: “Nếu 3n+2 là số lẻ thì n là số lẻ”
CM: Giả sử n chẵn (kết luận ở trên là FALSE): n = 2k
3n + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1) (chẵn)
Vậy giả thiết là FALSE.
Định lý được chứng minh.
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 14
Toán rời rạc: 2011-2012
3. Chứng minh bằng phản chứng

 Mô tả:
Cần chứng minh phát biểu p là T.
Giả sử tìm được mâu thuẫn q sao cho ¬p → q là T.
Tức (¬p → F) là T. Khi đó ¬p phải là F thì p là T.
 Được sử dụng khi có thể tìm được mâu thuẫn dạng
r ¬r, tức mệnh đề ¬p → (r ¬r) là T.
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 15
Toán rời rạc: 2011-2012
3. Chứng minh bằng phản chứng
 Ví dụ: “Chứng minh là số vô tỷ”
Giả sử là số hữu tỷ, tức trong đó a
và b không có ước chung (phân số tối giản)
Khi đó hay .
Suy ra a
2
là số chẵn hay a cũng là số chẵn.
Ta đặt vậy suy ra b là số chẵn.
Vậy phân số a/b là không tối giản  Mâu thuẫn
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 16
2
2
b
a
2
2
2
2
b
a


22
2 ab 
ca 2
22
42 cb 
)( rrp 
Toán rời rạc: 2011-2012
4. Chứng minh bằng quy nạp
 Tính được sắp tốt: một tiên đề cơ bản trên tập
các số nguyên
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 17
 Mọi tập hợp không rỗng các số nguyên không âm
luôn luôn có phần tử nhỏ nhất.
}3,9,15,2,4,1{
}9,7,5,3,1{
2
1


S
S
Toán rời rạc: 2011-2012
4. Chứng minh bằng quy nạp
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 18
Hai bƣớc chứng minh:
1. Bƣớc cơ bản: Chứng minh là TRUE.
2. Bƣớc quy nạp: CM là TRUE
)1(P
)1()(  nPnP


n
 Phép chứng minh quy nạp thường dùng để chứng
minh mệnh đề dạng
 Sử dụng tín h được sắp tốt của tập hợp.
)(nPn
Toán rời rạc: 2011-2012
4. Chứng minh bằng quy nạp
 Ví dụ:
“Tổng của n số nguyên lẻ không âm đầu tiên là n
2
.”
CM:
1. Bước cơ bản: với n = 1 ta thấy P(1) là TRUE.
2. Bước quy nạp: giả sử ta có giả thiết P(n) là TRUE
khi đó
Tức là P(n+1) là TRUE nếu P(n) là TRUE.
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 19
2
)12( 531 nn 
12)12()12( 531
2
 nnnn
2
)1(  n
Toán rời rạc: 2011-2012
Đệ quy (Recursion)
Recursive definition (định nghĩa đệ quy):
Đôi khi khó định nghĩa một đối tượng một cách
tường minh.
Định nghĩa đối tượng bằng chính nó.

 Ví dụ:
Bạn tặng quà sinh nhật cho bạn mình:
“Quà tặng là cái hộp quà đựng cái hộp quà”.
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 20
Toán rời rạc: 2011-2012
Đệ quy (Recursion)
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 21
Toán rời rạc: 2011-2012
Đệ quy (Recursion)
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 22
Toán rời rạc: 2011-2012
Định nghĩa đệ quy
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 23
Hai bƣớc:
1. Cho giá trị của hàm tại 0.
2. Công thức tính giá trị hàm tại số nguyên n
từ các giá trị hàm tại các số nhỏ hơn.
 Còn gọi là định nghĩa quy nạp.
Toán rời rạc: 2011-2012
Định nghĩa đệ quy
 Ví dụ:
1. Hàm giai thừa
Dễ thấy
Vì
Nên
2. Dãy Fibonacci:
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 24
!)( nnF 
1)0( F
)1(!)1( 3.2.1)!1(  nnnnn

)1).(()!1()1(  nnFnnF
21
1
0
1
0




nnn
fff
f
f
Toán rời rạc: 2011-2012
Thuật toán đệ quy
Chương 3: Suy luận - Chứng minh 25
 Giải bài toán ban đầu bằng cách rút gọn
nó thành bài toán giống nhƣ vậy nhƣng
có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn.
Ví dụ: thuật toán đệ quy tìm UCLN(a,b)
int UCLN(int a, int b){
if(a == 0) return b;
else return UCLN(b mod a, a);
}