Giáo trình Toán rời rạc Chương 3.4

Chương III
SUY LUẬN TOÁN HỌC
I)Các phương pháp chứng minh.
Có hai câu hỏi đặt ra trong nghiên cứu toán học là: (1) Khi nào thì một suy luận toán
học là đúng? (2) Có thể dùng các phương pháp nào để xây dựng các suy luận toán toán học?
Suy luận là một hoạt động của trí tuệ dựa trên các qui tắc nhất đònh mà trong thực tiển
hoạt động của mình con người chấp nhận được rằng việc áp dụng các qui tắc đó cho phép đạt
được các kết quả nhận thức phù hợp với thực tiển. Ví dụ: Trong hoạt động thực tiển con người
nhận thấy rằng khi hai sự vật đồng nhất với một sự vật thứ ba thì hai sự vật ấy đồng nhất với
nhau. Do đó mọi người đều đồng ý chấp nhận qui tắc (hay mô hình) suy luận: Nếu A đồng nhất
với C và nếu B đồng nhất với C thì A đồng nhất với B bất kể A, B, C là sự vật gì. Con người
không thể suy luận mà không dựa trên các ý tưởng, các khái niệm. Để có thể thống nhất với
nhau trong khi giao tiếp con người cần đònh nghóa các khái niệm một cách chặt chẻ. Ví dụ cần
thống nhất với nhau khái niệm “Hình tam giác” bằng đònh nghóa “Hình tam giác là một hình
phẳng gồm ba đoạn thẳng nối ba điểm không thẳng hàng”. Mỗi một khái niệm được đònh nghóa
lại cần dựa trên các khái niệm khác để đònh nghóa. Trong ví dụ trên khái niệm “hình tam giác”
được đònh nghóa dựa trên các khái niệm đoạn thẳng, điểm, phẳng, thẳng hàng. Dó nhiên không
thể đẩy việc đònh nghóa đến tận cùng được, phải dừng việc đònh nghóa ở một số khái niệm xem
như có thể thỏa thuận với nhau là khái niệm ban đầu không cần thiết phải đònh nghóa hoặc
không thể đònh nghóa được. Trong ví dụ vừa nêu có thể xem “điểm” là khái niệm ban đầu, khi
đó “điểm” là “điểm” - đơn thuần là một khái niệm và không dựa vào bất cứ khái niệm nào
khác để đònh nghóa lại điểm.
Mối quan hệ giữa các sự vật, các khái niệm cũng cần được làm sáng tỏ bằng các suy
luận, ie: cần được chứng minh. Ví dụ: “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180 độ” là một
khẳng đònh về mối quan hệ đònh lượng giữa các góc trong một tam giác. Mỗi quan hệ giữa các
sự vật, các khái niệm được chứng minh đó tùy vào tầm quan trọng của chúng mà được gọi dưới
các tên: “Tính chất / Bổ đề / Đònh lý /Hệï quả”. Việc chứng minh các mối quan hệ này đòi hỏi
các suy luận dựa trên các khái niệm đã biết, đã được đònh nghóa và dựa trên các mối quan hệ đã
được chứng minh (hoặc đã được chấp nhận) khác. Trong ví dụ trên việc chứng minh “Tổng ba
góc trong một tam giác bằng 180 độ” sẽ dẫn đến việc đòi hỏi quan hệ “Từ một điểm ở ngoài
một đường thẳng ta có thể dựng được một và chỉ một đường thẳng song song song với đường

thẳng đã cho” hoặc phải được chứng minh hoặc phải được chấp nhận. Trong trường hợp một
phát biểu về mối quan hệ giữa các khái niệm được yêu cầu chấp nhận vì không thể chứng minh
được thì phát biểu đó sẽ được gọi là một tiên đề. Một tiên đề thì có thể được chấp nhận hoặc
không chấp nhận - không làm ảnh hưởng gì đến tính chặt chẻ hoặc tính đúng đắn của hệ thống
khoa học đang được nghiên cứu. Việc chứng minh một mối quan hệ là “không thể chứng minh
được” trong nhiều trường hợp là hết sức khó khăn, vì vậy một số quan hệ đã được kiểm chứng
1
1
Đừng nhầm lẫn “chứng minh” với “kiểm chứng”. Dù có kiểm chứng hàng trăm nghìn lần
phát biểu “Mỗi bản đồ phẳng đều có thể được tô bằng không quá bốn màu sao cho không có hai quốc
41
là đúng nhưng chưa chứng minh được sẽ chỉ được gọi là các phỏng đoán mà thôi. Trong khoa
học tồn tại vô vàn các phỏng đoán.
Chúng ta xét đến khái niệm “chứng minh”: Như đã nói trên mỗi chứng minh là một dãy
các suy luận đi từ các khái niệm ban đầu, các giả thiết, các khái niệm đã được đònh nghóa, các
tính chất, các đònh lý để đạt được các kết luận mới. Để đảm bảo cho các kết luận mới này được
chặt chẻ
2
thì dãy các suy luận đó phải thỏa mãn:
- Áp dụng đúng các qui tắc suy luận.
- Chỉ được suy luận dựa trên các khái niệm ban đầu, các giả thiết, các khái niệm đã
được đònh nghóa, các tính chất, các đònh lý (đã được chứng minh). Không được sử dụng các
phỏng đoán.
Các qui tắc suy luận.
Mặc dù các chứng minh thì vô cùng vô tận nhưng chúng ta lại chỉ có một số rất ít các
qui tắc suy luận mà thôi.
Ví dụ:
“Nếu hôm nay mưa, chúng ta sẽ không học thêm 1 tiết.
Nếu hôm nay chúng ta không học thêm một tiết thì ngày mai chúng ta phải học thêm một tiết.
Do đó nếu hôm nay trời mưa thì ngày mai chúng ta phải học thêm một tiết.”

Quy tắc suy luận nào làm cơ sở cho suy lý đó vậy? Nếu đặt :
p là mệnh đề: “Hôm nay mưa”
q là mệnh đề: “Chúng ta không học thêm một tiết”.
Thì suy lý trên có dạng hình thức: [(p
⇒
q)
∧
(q
⇒
r)]
⇒
(p
⇒
r) (*)
Có thể chứng minh rằng (*) là một hằng đúng, ie: luôn lấy giá trò TRUE với mọi tổ hợp
giá trò của p và q. Vì (*) là một hằng đúng nên suy lí trên chắc chắn là một suy luận chặt chẻ và
ta nói ta đã áp dụng một qui tắc suy luận (tam đoạn luận giả đònh). Qui tắc đó được viết như
sau:
p q
q r
p r
⇒
⇒
∴ ⇒
Khi dùng kí hiệu này, các giả thiết (hay các tiền đề) được viết trên gạch ngang và kết
luận được viết dưới gạch ngang sau kí hiệu
∴
(đọc là vậy thì)
Có thể liệt kê các qui tắc suy luận như sau:
Qui tắc suy luận Hằng đúng tương ứng Tên gọi

gia nào có cùng đường biên giới được tô cùng màu” là phù hợp thì đó vẫn không phải là một chứng
minh, nghóa là phát biểu đó vẫn chưa trở thành một đònh lý được.
2
Lưu ý: “Chặt chẻ (valid)” chứ không phải “đúng (true)”. Đôi khi ta cũng dùng từ “hợp thức”
hoặc “có cơ sở” thay cho “chặt chẻ”.
42
p
p q∴ ∨
p
⇒
(p
∨
q) Luật cộng
p q
p
∧
∴
(p
∧
q)
⇒
p Luật rút gọn
p
q
p q∴ ∧
((p)
∧
(q))
⇒
(p

∧
q) Luật hợp
p
p q
q
⇒
∴
[p
∧
(p
⇒
q)]
⇒
q Modus ponens
q
p q
p
¬
⇒
¬
[
¬
q
∧
(p
⇒
q)]
⇒
¬
p Modus tollens

p q
q r
p r
⇒
⇒
∴ ⇒
[(p
⇒
q)
∧
(q
⇒
r)]
⇒
(p
⇒
r) Tam đoạn luận giả đònh.
p q
p
q
∨
¬
∴
[(p
∨
q)
∧
¬
p]
⇒

q Tam đoạn luận tuyển.
Có thể thấy rằng một suy luận hợp thức, ie: áp dụng đúng các qui tắc suy luận, chưa
chắc đã cho kết luận đúng.
Ví dụ:
“Nếu 101 chia hết cho 3 thì 101
2
chia hết cho 9. Vì 101 chia hết cho 3 nên 101
2
chia hết
cho 9”.
Đây là một suy luận áp dụng modus ponens, hoàn toàn chặt chẻ. Tuy nhiên kết luận
của suy luận này sai vì thực tế 101
2
= 10201 không chia hết cho 9. Vấn đề ở chổ người ta đã
dùng mệnh đề “101 chia hết cho 3” là một mệnh đề sai.
Khi có nhiều tiền đề, thường cần phải dùng phối hợp các qui tắc suy luận để chứng tỏ
một suy diễn là đúng.
Ví dụ:
“Nếu Ông Fuji Mori là công dân Nhật thì phía Nhật không phải trao trả ông Fuji Mori
cho Pêru. Còn nếu Fuji Mori không phải là công dân Nhật thì vì giữa Nhật và Pêru không có
43
hiệp đònh về dẫn độ nên Nhật không phải trao trả Fuji Mori cho phía Pêru. Cho nên trong mọi
trường hợp phía Nhật thấy không cần trao trả Fuji Mori cho phía Pêru.”
3
Đặt:
p là mệnh đề: “Fuji Mori là công dân Nhật”
q là mệnh đề: “Nhật không phải trao trả ông Fuji Mori”
r là mệnh đề: “Nhật và Pêru không có hiệp đònh về dẫn độ”.
t là mệnh đề: “Fuji Mori là công dân Peru”
(trong trường hợp này ta có một ẩn tàng

¬
p
;
t )
Ta thấy:
Bước Suy diễn
1. p
⇒
q Giả thiết
2. (r
∧
t)
⇒
q Giả thiết
3. (r
∧

¬
p)
⇒
q Giả thiết tương đương
4. (p
∨

¬
p) Hằng đúng.
5. (p
∨

¬

p)
∧
(p
⇒
q)
∧
[(r
∧

¬
p)
⇒
q]
6. (p
∧
(p
⇒
q)
∧
[(r
∧

¬
p)
⇒
q])
∨
((
¬
p)

∧
(p
⇒
q)
∧
[(r
∧

¬
p)
⇒
q] )
7 ....
8 . TRUE
Qui tắc suy luân đối với mệnh đề lượng hóa:
Khi các suy luận liên quan đến các lượng từ tồn tại và phổ dụng ta có các qui tắc suy luận sau:
(Giả sử U là không gian khảo sát)
Quy tắc suy luận Tên gọi
( )
( )
x P x
P c if c U
∀
∴ ∈
Cá biệt hóa phổ dụng.
( )
( )
P c doi voi mot c U ngau nhien
x P x
∈

∀
Tổng quát hóa phổ dụng.
( )
( )
x P c
P c doi voi phan tu nao do c U
∃
∈
Cá biệt hóa tồn tại.
( )
( )
P c doi voi phan tu nao do c U
x P x
∈
∃
Tổng quát hóa tồn tại.
3
Trả lời của Bộ ngoại giao Nhật khi chính phủ Pêru đòi Nhật trao trả cựu tổng thống Pêru Fuji
Mori để xét xử về tội chuyên quyền và tham nhũng.
44
Ví dụ:
1. Tất cả phụ nữ dều khôn ngoan vì vậy chò Sáu cũng khôn ngoan. (Cá biệt hóa phổ dụng)
2. Lấy ngẫu nhiên một x
∈
A, ta chứng minh dược rằng x >0. Vậy
,x A x∀ ∈
> 0 (Tổng quát hóa
phổ dụng)
3. Có ít nhất một người trong lớp K1-CNTT là dân Mõ Cày. Vậy có người nào đó trong lớp K1-
CNTT là dân Mõ Cày. (Cá biệt hóa tồn tại).

4. Vì Hưng là sinh viên lớp K1-CNTT là dân Mõ Cày nên có ít nhất một người trong lớp K1-
CNTT là dân Mõ Cày. (Tổng quát hóa tồn tại)
Các phương pháp chứng minh đònh lý.
Phần lớn các đònh lý toán học đề có thể đưa về dạng p
⇒
q. Vì vậy nếu p là đúng ta
chỉ cần chứng tỏ phép kéo theo (p
⇒
q) là đúng chứ không cần chứng minh q đúng.
Chứng minh trực tiếp: chứng minh mệnh đề (p
⇒
q) bằng cách chứng tỏ nếu p đúng thì
q cũng phải đúng. Điều này chứng tỏ tổ hợp (P đúng, Q sai) không khi nào xảy ra.
Ví dụ: Chứng minh” Nếu n lẻ thì n
2
cũng lẻ” .
Giải: Giả sử n lẻ
n lẻ
⇒
n = 2k+1 với k là một số nguyên.
⇒
n
2
= (2k+1)
2
= 2.2(k
2
+k)+1
⇒
n

2
là một số lẻ.
Chứng minh gián tiếp: Vì ta có (p
⇒
q)
≅
(
¬
q
⇒

¬
p) nên thay vì chứng minh (p
⇒
q) ta chỉ cần chứng minh (
¬
q
⇒

¬
p) (Đoi khi còn gọi là chứng minh phản chứng).
Ví dụ: Chứng minh rằng “Nếu 3n+2 lẻ thì n cũng lẻ”.
Giải:
Giả sử n không lẻ, ie: n chẵn
n chẵn
⇒
n = 2 k với k là một số nguyên.
⇒
3n+2= 3(2k)+2 =2(3k+1)
⇒

3n+2 chẫn.
Điều này trái với giả thiết 3n+2 lẻ vậy giả sử n chẵn là sai, tức n phải lẻ.
Quy nạp toán học:
Qui nạp toán học dựa trên tiên đề sau đây (gọi là tiên đề về tối thứ tự : well - ordering
axiom):
“Mọi tập con khác rổng các số nguyên không âm đều có phầân tử nhỏ nhất”
Từ tiên đề này người ta có thể chứng minh đònh lý về sự qui nạp sau đây:
Dạng I:
Giả sử với mỗi số nguyên n
≥
1 chúng ta có phát biểu A(n) thỏa mãn:
45