Chuyên đề cực trị hàm số

Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

CHỦ ĐỀ 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
LÝ THUYẾT
❖ Định nghĩa
• Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0  K . Ta nói:

• x 0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa x 0 sao cho

( a; b )  K và

f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  . Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .

• x 0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( a; b ) chứa x 0 sao cho

( a; b )  K và

f ( x )  f ( x0 ) , x  ( a; b ) \x0  . Khi đó f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải
là một điểm trong tập hợp K.
• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.
• Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) được gọi là điểm cực trị của đồ thị
hàm số f .
❖ Quy tắc tìm cực trị
➢ Quy tắc 1:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f  ( x ) .

• Bước 2: Tìm các điểm x i ( i = 1; 2;...) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên
tục nhưng khơng có đạo hàm.
• Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f  ( x ) . Nếu f  ( x ) đổi dấu khi đi qua x i thì hàm
số đạt cực trị tại x i .
➢ Định lý
• Giả sử y = f ( x ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( x0 − h; x0 + h ) với h  0. Khi đó:
• Nếu f  ( x0 ) = 0, f  ( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0 .
• Nếu f  ( x0 ) = 0, f  ( x0 )  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 .
Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số
➢ Quy tắc 2:
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm f  ( x ) .
• Bước 2: Tìm các nghiệm x i ( i = 1; 2;...) của phương trình f  ( x ) = 0.
• Bước 3: Tính f  ( x ) và tính f  ( xi ) .
Nếu f  ( xi )  0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xi .
Nếu f  ( xi )  0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xi .

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số

VÍ DỤ MINH HỌA
1
VÍ DỤ 1. Hàm số y = x 3 + x 2 − 3x + 1 đạt cực tiểu tại điểm
3

A. x = −1 .

B. x = 1 .

C. x = −3 .

D. x = 3 .

Chọn B
1
Ta có hàm số y = x 3 + x 2 − 3x + 1 có tập xác định D =
3

.

 x=1
y  = x 2 + 2 x − 3 ; y = 0  
.
 x = −3
y = 2 x + 2 ; y ( −3 ) = −4  0 ; y ( 1) = 4  0 .

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .
VÍ DỤ 2. Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( 7 m − 3 ) x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
tham số m để hàm số khơng có cực trị. Số phần tử của S là
A. 2.
B. 4.
C. 0.

D. Vô số.

Lời giải
Chọn B
Xét hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( 7 m − 3 ) x (1)  y = 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 3 ( 7 m − 3 ) .
Ta có: y = 0  x 2 − 2 ( m + 1) x + 7 m − 3 = 0 (2)

Hàm số đã cho khơng có cực trị
 Phương trình y = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép
 ( 2 )  0  ( m + 1) − 1. ( 7 m − 3 )  0  m2 − 5m + 4  0  1  m  4 .
2

Do m là số nguyên nên m   1; 2 ; 3 ; 4  . Vậy tập S có 4 phần tử.

(

)

VÍ DỤ 3. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 − 1 ( x − 4 ) với mọi x 

. Hàm số

g ( x ) = f ( 3 − x ) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x )

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

Phan Nhật Linh
Ta có g ( x ) = f ( 3 − x )  g ( x ) = − f  ( 3 − x ) .

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

Từ bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có
 3 − x  −1
x  4
.
g ( x )  0  f  ( 3 − x )  0  

1  3 − x  4
 −1  x  2

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x )

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g ( x ) có một điểm cực đại.
VÍ DỤ 4. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x) là
A. 7 .

B. 5 .

C. 6 .

D. 8 .

Lời giải
Chọn B
Gọi đồ thị của hàm số y = f ( x ) là ( C ) .
Đặt g ( x ) = f ( x ) và gọi ( C  ) là đồ thị của hàm số y = g ( x ) . Đồ thị ( C  ) được suy ra từ đồ thị

(C ) như sau:
Giữ nguyên phần đồ thị của ( C ) phía trên Ox ta được phần I.
Với phần đồ thị của ( C ) phía dưới Ox ta lấy đối xứng qua Ox , ta được phần II.
Hợp của phần I và phần II ta được ( C  ) .
Từ cách suy ra đồ thị của ( C  ) từ ( C ) , kết hợp với bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) ta có
bảng biến thiên của hàm số y = g ( x ) = f ( x ) như sau:

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f ( x) có 5 điểm cực trị.

VÍ DỤ 5. Cho hàm số y =
số đạt cực tiểu tại x = 0 ?
A.Vô số .

x5
m
− ( 2m − 1) x 4 − x 3 + 2019 . Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm
5
3

B.1 .

C.2 .

D.0 .

Lời giải
Chọn B
Ta có y = x 4 − 4 ( 2m − 1) x 3 − mx 2 = x 2  x 2 − 4 ( 2m − 1) x − m  .
Dễ thấy x = 0 là một nghiệm của đạo hàm y  . Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi
y  đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm x = 0 . Ta thấy dấu của y  là dấu của hàm số

g ( x ) = x 2 − 4 ( 2 m − 1) x − m . Hàm số g ( x ) đổi dấu khi đi qua giá trị x = 0 khi x = 0 là nghiệm

của g ( x ) . Khi đó g ( 0 ) = 0  m = 0 .
Thử lại, với m = 0 thì g ( x ) = x 2 + 4 x đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua giá trị x = 0 .
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn u cầu bài tốn.
VÍ DỤ 6. Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số
y = x 3 − 3mx + 2 cắt đường trịn tâm I ( 1;1) , bán kính R = 1 tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện

tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất?
A. m =

1 3
.
2

B. m =

2 3
.
2

C. m =

2 5
.
2

D. m =

2 3
.
3

Lời giải
Chọn B
Ta có y = x 3 − 3mx + 2  y = 3x 2 − 3m . Hàm số y = x 3 − 3mx + 2 có 2 điểm cực trị
 phương trình y = 3x 2 − 3m = 0 có hai nghiệm phân biệt  m  0 ( 1)

1
Ta có: y = x.y − 2mx + 2 .
3
Suy ra phương trình đường thẳng  đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là
y = −2 mx + 2  2 mx + y − 2 = 0

Đường thẳng  cắt đường trịn tâm I ( 1;1) , bán kính R = 1 tại hai điểm phân biệt A , B
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

 d( I; )  R 

2m − 1
4m + 1
2

 1  2m − 1  4m2 + 1  −4m  0 ln đúng do m  0

1
1
1
Ta có SIAB = .IA.IB.sin AIB = .sin AIB  . Dấu bằng xảy ra  sin AIB = 1  AIB = 90 .
2
2
2
Khi đó tam giác IAB vng cân tại I có IA = 1 nên

d( I; ) =

2m − 1
2
2
2 3
thỏa mãn đk (1)

=
 4 m2 − 8 m + 1 = 0  m =
2

2
2
2
4m + 1

Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi m =

2 3
.
2

VÍ DỤ 7. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + 3m − 2 có ba điểm cực trị.
A. m  ( 2; + ) .

B. m  ( −2; 2 ) .

C. m  ( −; 2 ) .

D. m  ( 0; 2 ) .

Lời giải
Chọn C

(

Ta có: y = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + 3m − 2 ; y ' = 4 x 3 + 4 ( m − 2 ) x = 4 x x 2 + m − 2

)

x = 0

y' = 0   2
 x = 2 − m (1)

Để hàm số có ba điểm cực trị  phương trình y ' = 0 có ba nghiệm phân biệt
 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0  2 − m  0  m  2 .

(

)

VÍ DỤ 8. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x) = ( x + 1)2 x 2 − 4 x .Có bao nhiêu giá trị nguyên dương

(

)

của tham số m để hàm số g( x) = f 2 x 2 − 12 x + m có đúng 5 điểm cực trị ?
A. 18.

B. 17.

C. 16.

D. 19.

Lời giải.
Chọn B
 x = −1

Ta có : f ( x) = 0  ( x + 1) x − 4 x = 0   x = 0 , trong đó x = −1 là nghiệm kép.

 x = 4
2

(

(

2

)

)

(

g( x) = f 2 x 2 − 12 x + m  g ( x ) = ( 4 x − 12 ) f  2 x 2 − 12 x + m

(

)

)

Xét g ( x ) = 0  ( 4 x − 12 ) f  2 x 2 − 12 x + m = 0 (*)
x = 3
x = 3
 2
 2
2 x − 12 x + m = −1
 2 x − 12 x + m = −1 (l)


 2
 2
2 x − 12 x = − m
( 1)
2 x − 12 x + m = 0


 2 x 2 − 12 x = 4 − m ( 2 )
 2 x 2 − 12 x + m = 4


( Điểm cực trị của hàm số g ( x ) là nghiệm bội lẻ của phương trình (*) nên ta loại phương trình
2 x 2 − 12 x + m = −1 ). Xét hàm số y = 2 x 2 − 12 x có đồ thị (C) có y ' = 4 x − 12

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
Ta có bảng biến thiên

Để g ( x ) có đúng 5 điểm cực trị thì mỗi phương trình ( 1) ; ( 2 ) đều có hai nghiệm phân biệt  3
Do đó, mỗi đường thẳng y = 4 − m và y = − m phải cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hồnh
độ khác 3. Nhận xét: đường thẳng y = 4 − m luôn nằm trên đường thẳng y = − m .
Ta có: −18  − m  m  18 . Vậy có 17 giá trị m nguyên dương .
1
VÍ DỤ 9. Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 − ( 2m − 1) x 2 + ( 8 − m ) x + 2 với m 
3

. Tập hợp tất cả các giá trị

của m để hàm số y = f ( x ) có 5 cực trị là khoảng ( a; b ) . Tích a.b bằng
A. 12.

B. 16.

C. 10.

D. 14.

Lời giải
Chọn D
Ta có y = x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 8 − m .

(

)

Vì f ( x ) là hàm chẵn do f ( − x ) = f ( x ) , nên đồ thị hàm f ( x ) đối xứng qua trục Oy . Do đó,
khi hàm f ( x ) có hai cực trị dương thì hàm f ( x ) sẽ có thêm hai cực trị đối xứng qua trục Oy và
một cực trị còn lại chính là giao điểm của đồ thị hàm f ( x ) và trục Oy .
Yêu cầu bài toán tương đương với phương trình y = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt.
2
 4 m 2 − 3m − 7  0
  0 ( 2 m − 1) − ( 8 − m )  0

1




 m 
Điều kiện tương đương là S  0  2 m − 1  0
2
P  0
8 − m  0


m

8




7
m  −1  m  4

7
1
7 

 m 
 m   ;8  . Vậy a = , b = 8 và a.b = 14 .
4
2
4 

m  8



Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

DẠNG 1
Câu 1:

Cơ bản về cực trị hàm số

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

là f  ( x ) = ( x − 2018 )( x − 2019 )( x − 2020 ) . Hàm số
4

đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2.
B. 1.
Câu 2:

Câu 3:

1
Hàm số y = x 3 + x 2 − 3x + 1 đạt cực tiểu tại điểm
3
A. x = −1 .
B. x = 1 .

C. x = −3 .
2

5

B. 2.

B. x = 0 .

C. M ( 0; 5 ) .

D. y = 5 .

2

B. 3 .

Hàm số y =

C. 4 .

2x + 5
có bao nhiêu điểm cực trị?
x+1
B. 0.
C. 2.

D. 1 .

D. 1.

Đồ thị hàm số y = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường
thẳng AB ?
A. M ( 0; − 1) .

Câu 9:

D. 4.

Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = x ( x − 1)( x + 2 ) . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 3.
Câu 8:

C. 3.

Hàm số y = 2 x 3 − x 2 + 5 có điểm cực đại là

A. 2 .
Câu 7:

D. 3.

Cho hàm số f ( x ) có f  ( x ) = x 2 ( x − 1)( x + 2 ) . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

1
A. x = .
3

Câu 6:

D. x = 3 .

3

C. 0 .

B. 2 .

A. 1.
Câu 5:

D. 3.

Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 1) ( x − 3 ) ( 2 x + 3 ) , x  . Số cực trị của hàm số đã
cho là
A. 1 .

Câu 4:

C. 4.

B. Q ( −1;10 ) .

C. P ( 1; 0 ) .

D. N ( 1; − 10 ) .

Số nào sau đây là điểm cực đại của hàm số y = x 4 − 2 x 3 + x 2 + 2 .
A.

1
.
2

B. 1 .

C. 0 .

D. 2 .

Câu 10: Cho y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x − 2)( x − 3)2 . Khi đó số cực trị của hàm số y = f ( 2 x + 1) là
A. 0 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 11: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 . Xét các mệnh đề sau đây
1) Hàm số có 3 điểm cực trị; 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1; 0 ) ; ( 1; + )
3) Hàm số có 1 điểm cực trị; 4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −1) ; ( 0;1)
Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề trên?
A. 2.
B. 1.
C. 4.

D. 3.

0
1
2
2019 2019
+ C2019
x + C2019
x 2 + ... + C2019
x
Câu 12: Hàm số f ( x ) = C2019
có bao nhiêu điểm cực trị?

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
A. 0 .

B. 2018 .

D. 2019 .

C. 1 .

Câu 13: Cho hàm số y = x 3 − 3x + 2 . Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là
B. ( −1; 4 ) .

A. ( −2; 0 ) .

C. ( 0;1) .

D. ( 1; 0 ) .

1
2 2
10 10
x + C10
x + ... + C10
x . Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
Câu 14: Cho hàm số f ( x) = 1 + C10

A. 10 .

B. 0 .

C. 9 .

D. 1 .

(

)

Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 ( x − 1)( x − 2 ) 3x − 1 , x 
hàm số đã cho bằng
A. 2 .

C. 3 .

B. 1 .

(

)(

D. 4 .

)

Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 − 9 x 2 − 3x , x 
hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.
A. T = f ( 0 ) .
B. T = f ( 9 ) .

2

C. T = f ( −3 ) .

(

)(

)

Câu 17: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 − 9 x 2 − 3x , x 
hàm số đã cho. Chọn khẳng định đúng.
A. T = f ( 0 ) .
B. T = f ( 9 ) .

. Số điểm cực trị của

2

C. T = f ( −3 ) .

. Gọi T là giá trị cực đại của
D. T = f ( 3 ) .
. Gọi T là giá trị cực đại của
D. T = f ( 3 ) .

Câu 18: Gọi A , B , C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 4 . Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng
A.

2 +1.

B.

2.

C.

2 − 1.

D. 1 .

Câu 19: Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 1 có đồ thị ( C ) . Biết rằng đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị tạo thành ba
đỉnh của một tam giác, gọi là ABC . Tính diện tích ABC .
1
A. S = 2 .
B. S = 1 .

C. S = .
2

D. S = 4 .

Câu 20: Cho hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( 7 m − 3 ) x . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của
tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là
A. 2.
B. 4.
C. 0.

D. Vô số.

Câu 21: Cho hàm số y = f ( x) có đúng ba điểm cực trị là −2; − 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên

. Khi

đó hàm số y = f ( x 2 − 2 x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 6.

B. 4.

C. 5.

D. 3.

Câu 22: Cho hàm số f ( x) = x 2 ( x − 1)e 3 x có một nguyên hàm là hàm số F( x) . Số điểm cực trị của hàm số
F( x) là

A. 1 .

B. 2 .

Câu 23: Số điểm cực trị của hàm số y = sin x −

C. 3 .

D. 0 .

x
, x  ( − ;  ) là
4

B. 4 .
C. 3 .
D. 5 .
2
Câu 24: Biết phương trình ax + bx + cx + d = 0 ( a  0 ) có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số
A. 2 .

3

y = ax 3 + bx 2 + cx + d có bao nhiêu điểm cực trị?

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2


Phan Nhật Linh
A. 4 .

B. 5 .

Câu 25: Số điểm cực trị của hàm số f ( x ) =

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
D. 3 .

C. 2 .
x2

2tdt

 1+ t

2

là

2x

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
3
2
Câu 26: Cho hàm số f ( x) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số
y = f ( −2 x 2 + 4 x) là.
A. 3 .

B. 4 .
C. 2 .
D. 5 .
1
1
Câu 27: Biết rằng đồ thị hàm số y = x2 − 3x − có ba điểm cực trị thuộc một đường tròn ( C ) . Bán
2
x
kính của ( C ) gần đúng với giá trị nào dưới đây?
A. 12,4 .

B. 6,4 .

C. 4,4 .

(

)

D. 27 .

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = ( 3 − x ) x 2 − 1 + 2 x , x 
y = f  ( x ) − x 2 − 1 có bao nhiêu điểm cực tiểu.

. Hỏi hàm số

A. 2.

B. 3.
C. 4.

D. 1.
ax + b
Câu 29: Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
cx + d
A. Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị trái dấu.
B. Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
C. Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.
D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d nằm bên trái trục tung.
Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c với a  0 , c  2018 và a + b + c  2018 . Số điểm cực trị của
hàm số y = f ( x ) − 2018 là
B. 3 .

A. 1 .
Câu 31: Hàm số f ( x ) =
A. 2 .

C. 5 .

D. 7 .

x
− m có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
x +1
2

B. 3 .

C. 5 .

(

D. 4 .

)

Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x 2 − 1 ( x − 4 ) với mọi x 
g ( x ) = f ( 3 − x ) có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0.

B. 1.

Câu 33: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục trên

C. 2.

D. 3.

và bảng xét dấu đạo hàm

Hàm số y = 3 f ( − x 4 + 4 x 2 − 6) + 2 x6 − 3x 4 − 12 x 2 có tất cả bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 3.

B. 0.

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

C. 1.

D. 2.

. Hàm số


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số

BẢNG ĐÁP ÁN

1.A

2.B

3.B

4.B

5.B

6.A

7.B

8.D

9.A

10

11

12.A

13.D

14.D

15.C

16.C

17.C

18.C

19.B

20.B

21

22.A

23.D

24.D

25.D

26.D

27.B

28.D

29.A

30.D

31

32.B

33.D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Chọn A
Tập xác định: D =

.
 x = 2018

Ta có: f  ( x ) = 0   x = 2019 .
 x = 2020
Bảng xét dấu của f  ( x ) :

Dựa vào bảng xét dấu của f  ( x ) ta thấy f  ( x ) đổi dấu qua hai điểm x = 2018 ; x = 2019 nên hàm
số đã cho có hai điểm cực trị.

Câu 2:

Chọn B
1
Ta có hàm số y = x 3 + x 2 − 3x + 1 có tập xác định D =
3

.

 x=1
y  = x 2 + 2 x − 3 ; y = 0  
; y = 2 x + 2 ; y ( −3 ) = −4  0 ; y ( 1) = 4  0 .
 x = −3
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .

Câu 3:

Chọn B
Ta có f ' ( x ) đổi dấu khi qua các giá trị x = 3 và x =

Câu 4:

−3
nên hàm số có 2 cực trị.
2

Chọn B
 x=0

Xét phương trình f  ( x ) = 0   x = 1

 x = −2

Ta có bảng xét dấu sau:

Dễ thấy f  ( x ) đổi dấu khi qua x = −2 và f  ( x ) đổi dấu khi qua x = 1 nên hàm số có 2 điểm cực
trị.
Câu 5:

Chọn B
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

x = 0
Ta có y = 6 x − 2 x , y = 12 x − 2. ; y = 0  
.
x = 1

3
2

y ( 0 ) = −2  0  x = 0 là điểm cực đại của hàm số y = 2 x 3 − x 2 + 5 .

Chú ý: phân biệt điểm cực đại của hàm số là xcđ , còn điểm cực đại của đồ thị hàm số là ( xcđ ; ycđ ) .
Câu 6:

Chọn A

x = 0

Ta có f  ( x ) = 0   x = 1 .
 x = −2

Nhận thấy ( x + 2 )  0 x  −2  f  ( x ) không đổi dấu khi qua nghiệm x = −2 nên x = −2
2

khơng phải là điểm cực trị hàm số.
Ngồi ra f ' ( x ) cùng dấu với tam thức bậc hai x ( x − 1) = x 2 − x nên suy ra x = 0; x = 1 là hai
điểm cực trị của hàm số.
Câu 7:

Chọn B
Tập xác định D = \−1 . Ta có y =

−3

( x + 1)

2

 0 x  D .

Do y  không đổi dấu nên hàm số khơng có cực trị.
Câu 8:

Chọn D
Cách 1: Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1 , f  ( x ) = 3x 2 − 6 x − 9 .
1

1
Ta có f ( x ) =  x −  . f  ( x ) − 8 x − 2 .
3
3

Đồ thị hàm số f ( x ) có hai điểm cực trị A và B nên f  ( x A ) = f  ( xB ) = 0 .
 y A = f ( x A ) = −8 x A − 2
Suy ra 
 y B = f ( xB ) = −8 xB − 2
Do đó phương trình đường thẳng AB là y = −8 x − 2 .

Khi đó ta có N ( 1; − 10 ) thuộc đường thẳng AB .
Cách 2: Xét hàm số y = f ( x ) = x 3 − 3x 2 − 9 x + 1 ,
x=3
f  ( x ) = 3x 2 − 6 x − 9 . f  ( x ) = 0  3x 2 − 6 x − 9 = 0  
.
 x = −1

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 3; − 26 ) và B ( −1; 6 ) .
Ta có AB ( −4; 32 ) cùng phương với u ( −1; 8 ) .
Phương trình đường thẳng AB đi qua B ( −1; 6 ) và nhận u ( −1; 8 ) làm vecto chỉ phương là
 x = −1 − t
(t 

 y = 6 + 8t

)

Khi đó ta có N ( 1; − 10 ) thuộc đường thẳng AB .
Câu 9:

Chọn A

5 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
Tập xác định : D = .

x = 0

3
2
2
Ta có y = 4 x − 6 x + 2 x ; y = 0  2 x 2 x − 3x + 1 = 0   x = 1 .

1
x =
2

Bảng biến thiên :

(

)

Từ bảng biến thiên ta có điểm cực đại của hàm số đã cho là x =
Câu 10:

1

.
2

Chọn C
y = 2. f  ( 2 x + 1) = 2 ( 2 x + 1 − 2 )( 2 x + 1 − 3 ) = 2 ( 2 x − 1)( 2 x − 2 ) .
2

2


1
x=

y = 0 
2 . Nên hàm số có một cực trị.

 x = 1

Câu 11: Chọn D
x = 0  y = 1

y ' = 4x − 4x  y ' = 0  x = 1  y = 0
 x = −1  y = 0
3

Bảng xét dấu:

Hàm số có 3 điểm cực trị, đồng biến trên khoảng ( −1; 0 ) ; ( 1; + ) và nghịch biến trên khoảng

( −; −1) ; ( 0;1) . Vậy mệnh đề 1 , 2 , 4

đúng.

Câu 12: Chọn A
0
1
2
2019 2019
+ C2019
x + C2019
x 2 + ... + C2019
x
= (1 + x )
Ta có: f ( x ) = C2019

2019

 f ' ( x ) = 2019.(1 + x)2018  f ' ( x ) = 0  x = −1

Vì x = −1 là nghiệm bội chẵn nên x = −1 không phải là điểm cực trị của hàm số.
Câu 13: Chọn D
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 6


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

x = 1
Ta có: y ' = 3x2 − 3 = 0  x 2 = 1  

; y '' = 6 x  y '' (1) = 6  0; y '' ( −1) = −6  0 .
 x = −1

Vậy điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 1; 0 ) .
Câu 14:

Chọn D
Áp dụng khai triển nhị thức Niu tơn, ta có:
1
2 2
10 10
f ( x) = 1 + C10
x + C10
x + ... + C10
x = (1 + x)10  f '( x) = 10 (1 + x )

9

Bảng biến thiên

Vậy hàm số đã cho có duy nhất một điểm cực trị x = −1 .
Câu 15: Chọn C
x = 0

Ta có: f  ( x ) = 0  x ( x − 1)( x − 2 ) 3 − 1 = 0   x = 1 .
 x = 2

(

2

x

)

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Câu 16:

Chọn C

(

)(

Ta có f  ( x ) = 0  x2 − 9 x 2 − 3x

)

2

 x = 3
3
= 0  x2 ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0  
.
x = 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là T = f ( −3 ) .
Câu 17: Chọn C

(

)(

Ta có f  ( x ) = 0  x2 − 9 x 2 − 3x

)

2

 x = 3
3
= 0  x2 ( x − 3 ) ( x + 3 ) = 0  
.
x = 0

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số là T = f ( −3 ) .
7 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
Câu 18: Chọn C
Cách 1:
x = 0
Ta có y ' = 4 x 3 − 4 x . Khi đó y = 0  
.
 x = 1

Suy ra đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 4 có ba điểm cực trị là A ( 0 ; 4 ) , B ( 1; 3 ) và C ( −1; 3 ) .
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta có BC.IA + AC.IB + AB.IC = 0 .
 4+3 2 
Mà AB = AC = 2 và BC = 2 nên suy ra I  0;
.
 1+ 2 



Phương trình đường thẳng BC là y = 3 .
Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC là r = d( I , BC ) = 2 − 1 .
Cách 2:
Áp dụng công thức tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có:
r=

SABC
( p − a)( p − b)( p − c)
=
= 2 −1
p
p

trong đó a = BC = 2; b = c = AB = AC = 2 ; p =

a+b+c
2

Cách 3:
Áp dụng cơng thức tính bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC ta có:

r = ( p − a)tan

Câu 19:

A
( −2)3 + 8.1
= 2 − 1 với cosA =
= 0  A = 900 .
2
( −2)3 − 8 − 1

Chọn B
x = 0
Ta có y = 4 x3 − 4 x; y = 0  
 x = 1

Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A ( 0;1) , B ( −1; 0 ) , C ( 1; 0 )
 AB. AC = 0
AB = ( −1; −1) ; AC = ( 1; −1)  
.
 AB = AC = 2

Suy ra ABC vng cân tại A do đó S =
Câu 20:

1
AB.AC = 1.
2

Chọn B

Xét hàm số y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 3 ( 7 m − 3 ) x  y = 3x 2 − 6 ( m + 1) x + 3 ( 7 m − 3 ) .
Ta có: y = 0  x 2 − 2 ( m + 1) x + 7 m − 3 = 0 . Hàm số đã cho khơng có cực trị
 Phương trình y = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép

 ( 2 )  0  ( m + 1) − 1. ( 7 m − 3 )  0  m2 − 5m + 4  0  1  m  4 .
2

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 8


Phan Nhật Linh
Fanpage: Luyện thi Đại học 2022
Do m là số nguyên nên m   1; 2 ; 3 ; 4  . Vậy tập S có 4 phần tử.
Câu 21: Chọn D
Do hàm số y = f ( x) có đúng ba điểm cực trị là −2; − 1; 0 và có đạo hàm liên tục trên

nên

f ( x) = 0 có ba nghiệm là x = −2; x = − 1; x = 0 .

Đặt g ( x ) = f ( x 2 − 2 x)  g ( x ) = ( 2 x − 2 ) . f ( x 2 − 2 x) . Vì f (x) liên tục trên
liên tục trên

nên g( x) cũng

. Do đó những điểm g( x) có thể đổi dấu thuộc tập các điểm thỏa mãn

2x − 2 = 0
x = 1
 2

 x − 2 x = −2   x = 0 .

 x 2 − 2 x = −1
 x = 2

 x 2 − 2 x = 0

Ba nghiệm trên đều là nghiệm đơn hoặc bội lẻ nên hàm số g( x) có ba điểm cực trị.
Câu 22: Chọn A
Hàm số f ( x ) có TXĐ là

, có một nguyên hàm là hàm số F ( x )  F '( x) = f ( x) , x 

x = 0
F ( x) = 0  f ( x) = 0  x 2 ( x − 1)e 3 x = 0  
.
x = 1

Ta có bảng xét dấu F ( x) như sau

Dựa vào bảng trên, ta thấy hàm số F( x) có một điểm cực trị.
Câu 23:

Chọn D
Xét hàm số y = f ( x ) = sin x −

x
với x  ( − ;  ) .
4


  
 x = x1   − ; 0 
1
1
 2 
Ta có f  ( x ) = cos x − . f  ( x ) = 0  cos x =  
.

4
4
 
 x = x2   0; 
 2


f ( x1 ) = sin x1 −

x1
15 x1
15 
=−
− −
+ 0.
4
4
4
4
8

f ( x2 ) = sin x2 −

x2
15 x2
15 
=
− 
− 0.
4
4
4
4
8

Bảng biến thiên

9 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

nên


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại
x
ba điểm phân biệt khác x1 , x2 . Suy ra hàm số y = sin x − , với x  ( − ;  ) có 5 điểm cực trị.
4
Câu 24: Chọn D
Phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , a  0 là sự tương giao của đồ thị hàm số
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , a  0 và trục hồnh.

Do phương trình ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , a  0 có đúng hai nghiệm thực nên phương trình
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 có thể viết dưới dạng a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 0 với x1 , x2 là hai nghiệm thực
2

của phương trình . Khi đó đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 ) tiếp xúc trục hồnh tại
điểm có hồnh độ x1 và cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ x 2 .
Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a  0 ) ứng với từng trường hợp a  0 và a  0 :

Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d

( a  0 ) tương ứng là

Vậy đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d
Câu 25:

( a  0 ) có tất cả 3

điểm cực trị.

Chọn D
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

Gọi F ( t ) là nguyên hàm của hàm số y =
Khi đó: f ( x ) = F ( t )

= 2 x.

x2
2x

2t
.
1 + t2

( )

( )

= F x 2 − F ( 2 x )  f  ( x ) = 2 x.F  x 2 − 2 F  ( 2 x )

8 x5 + 4 x3 − 8 x
2x2
4x


f
x
=
−
2.
(
)
.
1 + x4
1 + 4 x2

1 + x4 1 + 4 x2

(

)(

)

(

f  ( x ) = 0  8x5 + 4x3 − 8x = 0

)

 4x 2x4 + x2 − 2 = 0



x = 0
x = 0


−1 + 17

−1 + 17
2

 x =
  x = x1 =
.


4
2



−1 + 17
 x 2 = −1 − 17  0
x = x2 = −


4
2


Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: Hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 26:

Chọn D
Quan sát đồ thị f ( x) , ta thấy hàm số có hai điểm cực trị x = −2; x = 0 vì vậy
f '( x) = 3ax 2 + 2bx + c có hai nghiệm x = −2; x = 0 nên f '( x) = 3a( x + 2)x .

Ta có:
y ' =  f ( −2 x 2 + 4 x)  ' = ( −4 x + 4) f '( −2 x 2 + 2 x) = ( −4 x + 4)( −2 x 2 + 4 x)
= 3a( −4 x + 4)( −2 x 2 + 4 x)( −2 x 2 + 4 x + 2)
 y ' = −48 ax( x − 2)( x − 1)( x 2 − 2 x − 1) .
x = 0


x = 1

y ' = 0  x = 2
và dấu của y ' đổi khi x qua mỗi nghiệm trên.
x = 1 + 2

 x = 1 − 2
Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

Câu 27:

Chọn B
TXĐ: D = ( − ; 0 )  ( 0 ; +  )
y = x − 3 +

1 x3 − 3x2 + 1
=
x2
x2

11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

.


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
 x1  2,8794

y = 0  x − 3x + 1 = 0   x2  0,6527 .
 x  −0,5321

 3
3

2

 Tọa độ các điểm cực trị: A  ( 2,879; − 4,84 ) , B  ( 0,653; − 3,277 ) , C  ( −0,532; 3,617 ) .

Gọi ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (1) là đường tròn đi qua ba điểm cực trị.
Thay tọa độ ba điểm A , B , C vào (1) ta được hệ phương trình 3 ẩn sau:
5,758 a − 9,68 b − c  31,71
a  5,374


1,306 a − 6,554 b − c  11,17  b  1,0833
−1,064 a + 7,234 b − c  13,37
c  −11,25


 R  a2 + b2 − c  41,3  6,4

Câu 28:

Chọn D
Ta có f  ( x ) = − x 3 + 3x 2 + 3x − 3  y = f  ( x ) − 2 x = −3x 2 + 4 x + 3 .
y = 0  x =

2  13
;
3

 2 + 13 
 2 − 13 
y = −6 x + 4 ; y 
 = −2 13  0 ; y 
 = 2 13  0


3 
3 



Suy ra hàm số có 1 điểm cực tiểu.
Câu 29: Chọn A
a
a
( 1)
c  0
c  0


− d  0
d  0
(2)
 c
c
b
b



 0
Từ đồ thị ta có:   0
( 3)
d

d
 b
b
(4)
− a  0
a  0


 a.d − b.c  0
 a.d − b.c  0 ( 5 )



A. Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị trái dấu
 y ' = 3ax 2 + 2bx + c có hai nghiệm trái dấu  3a.c  0  a.c  0 . Đúng với ( 1)

B. Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d cắt trục tung tại điểm có tung độ dương.
Sai Suy ra d  0 Chưa đủ để kết luận
y=

d
 0 vì ở đây c  0 hoặc c  0 ví dụ như hàm số
c

−x − 2

x+2
−2 2
;y =
= 0.
rõ ràng
−3x − 5
3x + 5
−5 5

C. Đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có hai điểm cực trị nằm bên phải trục tung.
Sai vì

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12


Phan Nhật Linh


 'y '  0
 'y '  0


 2b
b
 −  0    0 Trái với ( 1)
 3a
a
c
c
 3a  0

 a  0

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

D. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d nằm bên trái trục tung.
Sai vì
Hồnh độ tâm đối xứng là nghiệm của y '' = 0  x = −
Yêu cầu của đề hoành độ tâm đối xứng âm nên −
Câu 30:

b
3a

b
b
 0   0 Trái với ( 3 )
3a
a

Chọn D
Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2018 = ax 4 + bx 2 + c − 2018 .
a  0
a  0


 b  0
 a.b  0  hàm số y = g ( x ) là hàm trùng phương có 3
Ta có c  2018
a + b + c  2018 c  2018



điểm cực trị.

Mà g ( 0 ) = c − 2018  g ( 0 )  0 , g ( 1) = a + b + c − 2018  0  g ( xCT )  g (1)  0  đồ thị hàm số
y = g ( x ) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.

Đồ thị hàm số y = g ( x ) có dáng điệu như sau

Từ đồ thị y = g ( x ) , ta giữ nguyên phần phía trên trục Ox , phần dưới trục Ox ta lấy đối xứng
qua trục Ox , ta được đồ thị hàm số y = g ( x ) .

Từ đó ta nhận thấy đồ thị y = g ( x ) có 7 điểm cực trị.
Câu 31: Chọn D
Xét hàm số g ( x ) =

x
− m , TXĐ:
x +1
2

13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

.


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
x = 1
1 − x2
Ta có g ( x ) =
; g ( x ) = 0  

.
2
 x = −1
1 + x2

(

)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y = g ( x ) ln có hai điểm cực trị.
Xét phương trình g ( x ) = 0 

x
− m = 0  mx 2 − x + m = 0 , phương trình này có nhiều nhất
x +1
2

hai nghiệm.
Vậy hàm số f ( x ) có nhiều nhất bốn điểm cực trị.
Câu 32: Chọn B
Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số f ( x )

Ta có g ( x ) = f ( 3 − x )  g ( x ) = − f  ( 3 − x ) .
Từ bảng biến thiên của hàm số f ( x ) ta có
 3 − x  −1
x  4
g ( x )  0  f  ( 3 − x )  0  


.
1  3 − x  4
 −1  x  2

Như thế ta có bảng biến thiên của hàm số g ( x )

Từ bảng biến thiên, ta nhận thấy hàm số g ( x ) có một điểm cực đại.
Câu 33:

Chọn D
Có y = −(12 x 3 − 24 x). f ( − x 4 + 4 x 2 − 6) + 12 x 5 − 12 x 3 − 24 x
Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14


Phan Nhật Linh

(

= −12 x( x − 2). f ( − x + 4 x − 6) + 12 x x − x − 2
2

4

2

(

(

4

2

)

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

))

= −12 x( x 2 − 2). f ( − x 4 + 4 x 2 − 6) − x 2 + 1 .
x = 0
x = 0


Khi đó y ' = 0   f ( − x 4 + 4 x 2 − 6) − ( x 2 + 1) = 0   x =  2
.
 f ( − x 4 + 4 x 2 − 6) = x 2 + 1
x2 − 2 = 0



Ta có − x 4 + 4 x 2 − 6 = −( x 2 − 2)2 − 2  −2, x  .
Do đó f ( − x 4 + 4 x 2 − 6)  f  ( −2 ) = 0, x 

. Mà x 2 + 1  1, x  .

Do đó phương trình f '( − x 4 + 4 x 2 − 6) = x 2 + 1 vô nghiệm.
Hàm số y = 3 f ( − x 4 + 4 x 2 − 6) + 2 x6 − 3x 4 − 12 x 2 có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Vậy hàm số y = 3 f ( − x 4 + 4 x 2 − 6) + 2 x6 − 3x 4 − 12 x 2 có 2 điểm cực tiểu.

15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh


Phan Nhật Linh

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

DẠNG 2
Câu 1:

Cực trị hàm tổng và hàm hợp

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

(

và có bảng xét dấu đạo hàm f ' ( x ) như sau

)

Hàm số g ( x ) = f x 2 − 2 x + 1 − x − 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 8 .
Câu 2:

C. 9 .

B. 7 .

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. 10 .

biết f ( 1)  1 và có đồ thị như hình vẽ dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  ( −2020; 2021) để hàm số sau đây có tất cả 9 điểm
cực trị g ( x ) = f 3 ( x ) +
A. 1
Câu 3:

3 2
f ( x) + m .
2

C. 0

B. 2

Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

D. 4

và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số y = 2  f ( x )  − 9  f ( x ) + 12 f ( x ) + 2021 có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 5 .
B. 10 .
C. 7 .
D. 9 .
3

Câu 4:

2

Cho hàm số bậc bốn f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số g ( x ) =  f ( x − 1)  + 2021 là
2

A. 5 .

B. 4 .

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

C. 3 .

D. 7 .


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
Câu 5:

Cho

hàm

số

f ( x)

xác

định

và

liên

tục

 

\  3

trên

,

thỏa

mãn

1 − x 3 = 2 x 2 f ( x ) + xf 2 ( x ) − f ' ( x ) và f ( 1) = 0 . Hàm số g ( x ) =  f ( 2 x − 1)  có bao nhiêu điểm
2

cực tiểu?
A. 0 .
Câu 6:

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

Cho hàm số bậc năm y = f ( x ) có đồ thị y = f  ( x ) như hình vẽ dưới đây

(

)

Tìm tất cả các giá trị của m để số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = f x 2 − 3x + m là 5 .
A. ( 2; + ) .
Câu 7:


17 
B.  −;  .
4 


Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên


9
C.  −;  .
4


và có đạo hàm f  ( x ) = ( x − 12 )

(

 9 17 
D.  ;  .
4 4 
2020

(x

2

)

− 2 x . Có bao nhiêu

)

giá trị nguyên của m  ( −2020; 2020 ) để hàm số y = f x 2 − 2020 x + 2021m có 3 điểm cực trị
dương.
A. 4038.
Câu 8:

B. 2021.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên

C. 2020.

D. 2019.

, g( −2)  0 . Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình vẽ bên

dưới.

Số điểm cực trị của hàm số y = g ( x ) = 2 f ( x + 2 ) + ( x + 1)( x + 3 ) + log 2 2021 là
A. 2 .
Câu 9:

B. 1 .

C. 3 .

D. 4 .

Cho hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ

Tư duy tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2


Phan Nhật Linh

(

Fanpage: Luyện thi Đại học 2022

)

Có bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = f f 2 ( x ) − 2 f ( x ) − m có 17 cực trị.
B. 0 .

A. 4 .

C. 2 .

D. 6 .

Câu 10: Cho f ( x ) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Hàm số f ' ( x ) có bảng biến thiên như sau:

( )

Hàm số g ( x ) = f x 3 + 6 x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2

B. 4

C. 5

D. 3

Câu 11: Cho f ( x ) là hàm số bậc bốn thỏa mãn f ( 0 ) = 0 . Hàm số f ' ( x ) có bảng biến thiên như sau:

( )

Tìm m nguyên để hàm số g ( x ) = f x 3 + 3m2 x + m − 1 có nhiều điểm cực trị nhất có thể. Thì
giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn thuộc khoảng nào dưới đây?
 3
A. ( −2; 0 ) .

B. ( −1;1) .
C.  1;  .
 2

3 
D.  ; 3  .
2 

Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ dưới đây.

(

)

Hàm số g ( x ) = x + x 2 − 1 có bao nhiêu điểm cực đại
A. 3 .

B. 4 .

C. 5 .

Câu 13: Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) , có đồ thị như hình vẽ dưới đây

3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

D. 7 .


Chủ đề 02: Cực trị của hàm số
Số điểm cực trị của hàm số g ( x ) = 8 f x 3 − 3x + 3 − 2 x 6 − 12 x 4 + 16 x 3 + 18 x 2 − 48 x + 1 là

(

A. 5 .

B. 3 .

) (

C. 7 .

)

D. 9 .

Câu 14: Cho hai hàm số bậc bốn y = f ( x ) và y = g ( x ) có các đồ thị như hình dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số h ( x ) = f 2 ( x ) + g 2 ( x ) − 2 f ( x ) g ( x ) là
A. 5 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 3 .

Câu 15: Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f
điểm cực trị. Tổng các phần tử của S là

A. 2.
B. 4.

C. 8.

(( x − 1) + m) có 3
2

D. 10.

Câu 16: Cho hàm số f ( x ) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e , ( a  0 ) có đồ thị của đạo hàm f '( x) như hình vẽ.

Biết rằng e  n . Số điểm cực trị của hàm số y = f  ( f ( x ) − 2 x ) bằng
A. 7 .

B. 10 .

C. 14 .

D. 6 .

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 4