Chuyên đề: Cực trị hàm số bậc ba

Cực trị hàm bậc ba
I,Tóm tắt lý thuyết:
1.Hàm số
dcxbxaxxfy
+++==
23
)(
(
0

a
)
2.Đạo hàm :
cbxaxxfy
++==
23)(''
2
3.Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số
)(xfy
=
có cực trị

)(xfy
=
có cực đại và cực tiểu
0)('
=
xf
có
hai nghiệm phân biệt

03'
2
acb
=
.
4.Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bớc1:Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(' xf
ta có:







+






+

+=
a
bc
dx
a
b
cxf
a
b
xxf
933
2
)('
93
1
)(
Tức là:
)()(').()( xrxfxqxf
+=
Bớc 2:Do



=
=
0)2('
0)1('

xf
xf
nên







+===
+===
)
9
(2)
3
(
3
2
)2()2(2
)
9
(1)
3
(
3
2
)1()1(1
a
bc

dx
a
b
cxrxfy
a
bc
dx
a
b
cxrxfy
.Hệ quả:Đờng thẳng đi qua CĐ,CT có phơng trình là:

)(xrY
=
hay
)
9
()
3
(
3
2
a
bc
d
a
b
cy
+=
II.Các dạng bài tập:

Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
Bài 1:Tìm m để hàm số :
)12()6(
3
1
23
++++=
mxmmxxy
có cực đại và cực tiểu
Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu

phơng trình
0)('
=
xy
có hai nghiệm phân
biệt

0)6(2
2
=+++
mmxx

có hai nghiệm phânbiệt
)3()2(06'
2
><>=
mmmm

Bài 2:Tìm m để hàm số
53)2(
23
+++=
mxxxmy
có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu

phơng trình
0)('
=
xy
có hai nghiệm phân biệt


06)2(3
2
=+++
mxxm
có hai nghiệm phân biệt
123
032
2
0963'
02
22
<<

<+





>+=
+

m
mm
m
mm
m
Bài 3:Tìm m để hàm số
)1()45()2(
3
1
223
+++++=
mxmxmxy
đạt cực trị tại x1,x2
thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)45()2(2)('
2
=+++=
mxmxxy
có hai nghiệm phân biệt

x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
3093)1('.1
<<+=
mmy
Bài 4:Tìm m để hàm số
)()3(4)3(
3
1
223
mmxmxmxy
+++++=
đạt cực trị tại x1,x2
thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải: yêu cầu bài toán
0)3(4)3(2)('
2
=++++=
mxmxxy
có hai nghiệm phân biệt
x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2
3
2
7
)3(1
072
032
2
1
0)1('.1
0'

2
<<







+<
>+
>+








<
>
>

m
m
m
mm
S
f

Bài 5: Tìm m để hàm số
)5()13()2(
3
1
2223
+++++=
mxmxmmxy
đạt cực tiểu tại
x=2.
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra
0)2('
=
f
ta có
13)2(2)('
222
++++=
mxmmxxf
suy ra
3;1034
2
===+
mmmm
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì
2012)2(''162)(''
=>=+=
CT

xfxxf
Nếu m=1 thì
0)2(''42)(''
=+=
fxxf
nhng lúc đó ta có
+=
xxxf 0)2()('
2
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2:phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Bài 1:Tìm cực trị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm số
863)(
23
+=
xxxxf
Giải:
.Ta có
)22(3)('
2
=
xxxf





+=
=

===
312
311
022)(0)('
2
x
x
xxxgxf
suy ra hàm số
)(xfy
=
đạt cực trị tại x1,x2
.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf
cho
)(xg
ta cã
)1(6)1)(()(
−−−=
xxxgxf
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg

nªn





−=−−==
=−−==
36)12(6)2(2
36)11(6)1(1
xxfy
xxfy
.





−==
==
⇒





>=
<−=
⇒−=
36)2(

36)1(
036)2(''
036)1(''
)1(6)(''
xff
xff
xf
xf
xxf
cd
ct
.Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua C§,CT lµ
)1(6
−−=
xy
Bµi 2:T×m m ®Ó hµm sè
1)2(6)1(32)(
23
−−+−+=
xmxmxxf
cã ®êng th¼ng®i qua
C§,CT song song víi ®êng th¼ng
baxy
+=

Gi¶i:
.§¹o hµm
)2)1((6)('
2
−+−+=

mxmxxf

02)1()(0)('
2
=−+−+=⇔=
mxmxxgxf
hµm sè cã C§,CT
0)(0)('
==⇔
xhaygxf
cã hai nghiÖm ph©n biÖt
30)3(
2
≠⇔>−=∆⇔
mm
g
.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf
cho
)(xg
ta cã
)33()3()]1(2)[()(
22
+−−−−−+=
mmxmmxxgxf
Víi
3
≠
m
th×

0)(
=
xg
cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg
nªn





+−−−−==
+−−−−==
)33(2)3()2(2
)33(1)3()1(1
22
22
mmxmxfy
mmxmxfy
suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ(

∆
):
)33()3(
22
+−−−−=
mmxmy
ta cã (
∆
) song song víi ®êng



−±=
<
⇔



−±=−
<
⇔



−=−
<≠
⇔




=−−
≠
⇔+=
am
a
am
a
am
am
am
m
baxy
3
0
3
0
)3(
0,3
)3(
3
22
vËy nÕu
0
≥
a
th× kh«ng tån t¹i m;nÕu a<0 th×
am
−±=
3
Bµi 3: T×m m ®Ó hµm sè

xmmxmxxf )21(6)1(32)(
23
−+−+=
cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu
n»m trªn ®êng th¼ng
xy 4
−=
Gi¶i:
.§¹o hµm
))21()1((6)('
2
mmxmxxf
−+−+=

0)21()1()(0)('
2
=−+−+=⇔=
mmxmxxgxf
hµm sè cã C§,CT
0)(0)('
==⇔
xhaygxf
cã hai nghiÖm ph©n biÖt
3
1
0)13()21(4)1(
22
≠⇔>−=−−−=∆⇔
mmmmm
g

.Thùc hiÖn phÐp chia
)(xf
cho
)(xg
ta cã
)21)(1()13()]1(2)[()(
2
mmmxmmxxgxf
−−+−−−+=
Víi
3
1
≠
m
th×
0)(
=
xg
cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1,x2 vµ hµm sè ®¹t cùc trÞ t¹i
x1,x2
do



=
=
0)2(
0)1(
xg
xg

nªn





−−+−−==
−−+−−==
)21)(1(2)13()2(2
)21)(1(1)13()1(1
2
2
mmmxmxfy
mmmxmxfy
suy ra ®êng th¼ng qua C§,CT lµ(
∆
):
)21)(1()13(
2
mmmxmy
−−+−−=
Ta cã C§,CT n»m trªn ®êng th¼ng
1
2
1
;1;0
213
0)21)(1(
4)13(
)4()(4

2
=⇔











∈
=−
⇔



=−−
−=−−
⇔−=≡∆⇔−=
m
m
m
mmm
m
xyxy
Bµi 4: T×m m ®Ó hµm sè
37)(

23
+++=
xmxxxf
cã ®êng th¼ng ®i qua cùc ®¹i vµ cùc
tiÓu vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
73
−=
xy
Giải:
Hàm số có CĐ,CT
0)('
=
xf
có hai nghiệm phân biệt
21021'
2
>>=
mm
g
.Thực hiện phép chia
)(xf
cho
)(' xf
ta có
9
7
3]21[
9
2
]

9
1
3
1
)[(')(
2
m
xmmxxfxf
++=
Với
21
>
m
thì
0)('
=
xf
có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại
x1,x2
do



=
=
0)2('
0)1('
xf
xf
nên

+==
+==
9
7
32)21(
9
2
)2(2
9
7
31)21(
9
2
)1(1
2
2
m
xmxfy
m
xmxfy
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là(

):

9
7
3)21(
9
2
2
m
xmy
+=
ta có (

) vuông góc với đờng thẳng
73
=
xy





=
>

13)21(
9
2
21
2
m
m

dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
bài 1:Cho
1)2cos1(8)sin3(cos
3
2
)(
23
+++=
xaxaaxxf
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1
2
+x2
2
18

Giải:
1.Xét phơng trình:
0)2cos1(8)sin3(cos22)('
3
=++=
axaaxxf
Ta có
)2cos1(16)sin3(cos'
2
aaa
++=

aaaa
+=

0cos32)sin3(cos'
22
Nếu
0'
=
thì



=
=




=
=
0sin
0cos
0sin3cos
0cos
a
a
aa
a
==+=
101sincos0
22
aa
vôlý

Từ đó suy ra
0)('0'
=>
xfa
có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực
trị tại x1,x2.
2.Theo định lý Viét ta có



+=
=+
)2cos1(421
cossin321
axx
aaxx