Phat trien 16 dang toan trong tam de tham khao tn thpt 2023 mon toan compressed 1 270

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

DẠNG

1

A

Phan Nhật Linh

TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Biểu diễn hình học số phức

(

) được biểu diễn bởi điểm M (a;b )

Số phức z = a + bi a, b 

( )

hay bởi u = a;b trong mặt phẳng phức với hệ tọa độ Oxy .

Tập hợp điểm biểu diễn số phức
Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp:
• ax + by + c = 0  tập hợp điểm là đường thẳng

B

•
•

x = 0  tập hợp điểm là trục tung Oy
y = 0  tập hợp điểm là trục hồnh Ox

•

( x − a ) + (y − b )

•

 x − a 2 + y − b 2 = R2

 tập hợp điểm là đường trịn có tâm I a;b , bán kính
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0


(

2

2

) (

)

( )

 R2  tập hợp điểm là hình trịn tâm I a;b , bán kính R

( )

•
•

R = a 2 + b2 − c
x  0  tập hơp điểm là miền bên phải trục tung
y  0  tập hợp điểm là miền phía dưới trục hồnh

•
•

x  0  tập hợp điểm là miền bên trái trục tung
y  0  tập hợp điểm là phía trên trục hồnh

•

y = ax 2 + bx + c  tập hợp điểm là đường Parabol

•

x 2 y2

+
= 1  tập hợp điểm là đường Elip
a 2 b2

•

x 2 y2
−
= 1  tập hợp điểm là đường Hyperbol
a 2 b2

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

Câu 35 – Đề tham khảo 2023. Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
z + 2i = 1 là một đường tròn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là.
A. ( 0; 2 ) .

B. ( −2;0 ) .

C. ( 0; −2 ) .

D. ( 2;0 ) .

 Lời giải
Chọn C
Đặt z = x + yi , với x, y 

.

Từ giả thiết z + 2i = 1  x 2 + ( y + 2 ) = 1 .

2

Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trịn tâm I ( 0; −2 ) , bán kính R = 1
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

C
Câu 1:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Cho các số phức z thỏa mãn iz − 1 = 1 + 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

z là đường tròn ( C ) . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường trịn ( C ) lần lượt là
A. I ( 0;1) ; R = 3 .
Câu 2:

B. I ( 0;1) ; R = 3 .

C. I ( 0; − 1) ; R = 3 . D. I ( 0; − 1) ; R = 3 .

Cho số phức z thoả mãn z + 6 − 2i = 4 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu
diễn các số phức z là một đường trịn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường trịn đó.

Câu 3:

A. I ( −6; 2 ) , R = 16 .

B. I ( 6; −2 ) , R = 4 .

C. I ( 6; −2 ) , R = 16 .

D. I ( −6; 2 ) , R = 4 .

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i = 3 là
một đường trịn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( −1;2 ) .
B. I ( −1; −2 ) .
C. I (1;2 ) .

Câu 4:

D. I (1; −2 ) .

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; 4 ) và điểm M ( a; b ) biểu diễn số

(

)

phức z . Biết số phức w = ( z + 2i ) z − 4 là số thực và M nằm trên trung trực của AB .Tổng
S = a + b là

A. S = −14 .
Câu 5:

B. S = 2 .

A.

3
.
4

B.

3 3
.
2

C.

9 3
.
4

D.

3 3
.
4

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 4 là
D. I ( 2; −3) .

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = 4 là
2

một đường tròn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( −3;4 ) .
B. I ( −3; −4 ) .
C. I ( 3; −4 ) .
Câu 8:

10
.
3

1
1 1
= + . Diện tích của tam giác đó bằng
z+w z w

một đường trịn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( 2;3) .
B. I ( −2; −3) .
C. I ( −2;3) .
Câu 7:

D. S =

Cho số phức w có w = 3 . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn
lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình

Câu 6:

C. S = −2

D. I ( 3;4 ) .

Cho Gọi (C ) là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − 4 + 4 z − z = 8 . Diện tích
hình phẳng được giới hạn bởi (C ) là
A. 24 .

Câu 9:

B. 4 .

C. 16 .

D. 8.

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi

( x, y  )

1 + z = i − z là
A. x − y = 0 .
2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

B. x + y − 1 = 0 .

C. x − y + 1 = 0 .

D. x + y = 0 .

thỏa mãn

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Phan Nhật Linh
Câu 10: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho

2 z − 3 z  5 , và số phức z có phần thực khơng âm. Tính diện tích hình H .

A. 2 .

B. 5 .

C.

5
.
2

D.

5
.
4

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + 2i  3 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = z (1 + i ) trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) là hình phẳng ( H ) có diện tích bằng

A. S = 9 .

C. S = 18 .

B. S = 9 .

Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn

(

z −1 + i

)

z + z i +1

D. S = 18 .

là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w = 3 z là một parabol có đỉnh
 3 9
3 9
A. I  − ; −  .
B. I  ;  .
 2 2
2 2

 3 33 
C. I  ; −  .
4 8 

3 9

D. I  ; −  .
2 2

Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + 2 với 1 + iz = z − 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w là đường thẳng  . Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến  bằng
A. 0

B. 2 2 .

C. 2 .

D.

Câu 14: Cho phương trình z 3 − ( m + 1) z 2 + ( m + 1 + mi ) z − 1 − mi = 0 trong đó z 

2
.
2

, m là tham số thực.

Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu
diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn iz + 1 − 2i = 3 là
một đường trịn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là

A. I ( −2; −1) .
B. I ( −2;1) .
C. I ( 2;1) .

D. I ( 2; −1) .

Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + 5 − i = 2
là một đường tròn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( 2;3) .
B. I ( 2; −3) .
C. I ( −2; −3) .

D. I ( −2;3) .

Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
là một đường tròn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( 7; −1) .
B. I ( −7;1) .
C. I ( −7; −1) .

(

z
+1+ i = 2
3 − 4i

D. I ( 7;1) .

)

Câu 18: Cho số phức z có z − 1 = 2 và w = 1 + 3i z + 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

(
)
A. I ( −3; 3 ) , R = 4.

w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn, tâm và bán kính đường trịn đó là

(

)

B. I 3; − 3 , R = 2. C. I

(

)

(

)

3; 3 , R = 4. D. I 3; 3 , R = 4.

Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 = 2 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
w = (1 − i ) z + i là một đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đó.
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

A. 2.

B. 2 2 .

C.

2.

D. 4.

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w =

z
trong mặt
1− i

phẳng tọa độ Oxy là đường trịn có tâm là
 1 3
A. I  − ;  .
 2 2

1 3
B. I  ; −  .
2 2

 3 1
C. I  − ; −  .

 2 2

Câu 21: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

3 1
D. I  ;  .
2 2

z + 1 − 2i
= 2 là
z − 2 + 3i

A. Đường tròn tâm I ( 5; −8 ) bán kính 2 17 .
B. Đường trịn tâm I ( −5;8 ) bán kính 2 17 .
C. Đường trịn tâm I ( 5; 4 ) bán kính 2 5 .
D. Đường tròn tâm I ( −5 ; 4 ) bán kính 2 5 .
Câu 22: Cho z1 và z 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z − 5 − 3i = 5 , đồng thời z1 − z2 = 8 . Tập
hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường trịn có
phương trình dạng ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 ( r  0 ) . Tính giá trị của biểu thức T = ( a + b ) r .
2

A. T = 96 .

2

B. T = 64 .

C. T = 6 .

D. T = 12 .

Câu 23: Biết phương trình z 2 + mz + m 2 − 2 = 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm phức
A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

z1 , z2 và z0 = i . Có bao nhiêu giá trị của tham số

m

để diện tích tam giác ABC bằng 1?
A. 2 .
B. 3 .

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

z1 , z2 . Gọi

C. 4 .

D. 6


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1:

Cho các số phức z thỏa mãn iz − 1 = 1 + 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

z là đường tròn ( C ) . Tọa độ tâm I và bán kính R của đường trịn ( C ) lần lượt là
A. I ( 0;1) ; R = 3 .

B. I ( 0;1) ; R = 3 .

C. I ( 0; − 1) ; R = 3 . D. I ( 0; − 1) ; R = 3 .

Lời giải
Chọn C
Gọi z = x + yi

( x; y  ) . Theo bài ra:

iz − 1 = 1 + 2i  i ( x + yi ) − 1 = 1 + 2i .

 −1 − y + xi = 3  x 2 + ( y + 1) = 3 .
2

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn ( C ) có tâm I ( 0; − 1) , bán kính

R = 3.
Câu 2:

Cho số phức z thoả mãn z + 6 − 2i = 4 . Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng toạ độ biểu
diễn các số phức z là một đường trịn. Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của đường trịn đó.
A. I ( −6; 2 ) , R = 16 .

B. I ( 6; −2 ) , R = 4 .

C. I ( 6; −2 ) , R = 16 .

D. I ( −6; 2 ) , R = 4 .
Lời giải

Chọn D
Đặt z = x + yi

( x, y  ) .

Theo đề bài ta có: x + yi + 6 − 2i = 4  ( x + 6 ) + ( y − 2 ) i = 4



( x + 6) + ( y − 2)
2

2

= 4  ( x + 6 ) + ( y − 2 ) = 16 .
2

2

Vậy tập điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I ( −6; 2 ) , bán kính R = 4 .
Câu 3:

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 1 − 2i = 3 là
một đường trịn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( −1;2 ) .
B. I ( −1; −2 ) .

C. I (1;2 ) .

D. I (1; −2 ) .

Lời giải
Chọn A
Gọi z = x + yi (với x; y 

 ( x + 1) + ( y − 2 ) i = 3 

). Ta có: z + 1 − 2i = 3

( x + 1)

2

+ ( y − 2 ) = 3  ( x + 1) + ( y − 2 ) = 9 .
2

2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường trịn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = 3 .
Câu 4:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A ( 2; −1) ; B ( −3; 4 ) và điểm M ( a; b ) biểu diễn số

(

)

phức z . Biết số phức w = ( z + 2i ) z − 4 là số thực và M nằm trên trung trực của AB .Tổng
S = a + b là

A. S = −14 .

B. S = 2 .

C. S = −2

D. S =

10
.
3

Lời giải
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Chọn A

Ta có: AB ( −5;5 ) .

 −1 3 
Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I  ;  có phương trình

 2 2
(d ) : x − y + 2 = 0 .
M  d  M ( a; a + 2 )  z = a + ( a + 2 ) i ; z = a − ( a + 2 ) i .

Khi đó w =  a + ( a + 4 ) i   a − 4 − ( a + 2 ) i 
= a ( a − 4 ) − a ( a + 2 ) i + ( a − 4 )( a + 4 ) i + ( a + 4 )( a − 2 )
w là số thực khi và chỉ khi −a ( a + 2 ) + ( a + 4 )( a − 4 ) = 0

 − a 2 − 2a + a 2 − 16 = 0  a = −8  b = −6  a + b = −14 .

Câu 5:

Cho số phức w có w = 3 . Một tam giác có một đỉnh là điểm biểu diễn của w và hai đỉnh còn
lại biểu diễn hai nghiệm của phương trình
A.

3
.
4

B.

3 3
.
2

1
1 1
= + . Diện tích của tam giác đó bằng
z+w z w

C.

9 3
.
4

D.

3 3
.
4

Lời giải
Chọn C

z  0
Điều kiện: 
w  0
1
1 1
= +  z.w = ( z + w ) w + ( z + w ) z  z 2 + z.w + w2 = 0
Ta có
z+w z w
2
 1
3 
z
1
3
z

z
i  w = z1,2 .
i  z =  − 
   + +1 = 0  = − 
w
2 2
2
2
 w w



1
3
Lúc đó z1 = z2 = − 
i w = w = 3 và w + z1 + z2 = 0 .
2 2
Suy ra w , z1 , z 2 được biểu diễn bởi ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác đều nằm trên đường
tròn tâm O bán kính R = 3 .

Tam giác ABC đều có đường cao h =
Diện tích tam giác là S ABC =
6| Biên soạn: Phan Nhật Linh

2
2 3 3
3
3 3
.h =
.

=3
, độ dài cạnh a =
R=
2
2
3
3 2

1
9 3
.
a.h =
2
4


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 6:

Phan Nhật Linh

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + 2 − 3i = 4 là
một đường tròn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
B. I ( −2; −3) .

A. I ( 2;3) .

C. I ( −2;3) .

D. I ( 2; −3) .

Lời giải
Chọn B
Gọi z = x + yi (với x; y 

). Suy ra z = x − yi .

Ta có: z + 2 − 3i = 4  ( x + 2 ) + ( − y − 3) i = 4


( x + 2)

2

+ ( y + 3) = 4  ( x + 2 ) + ( y + 3) = 16 .
2

2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( −2; −3) , bán kính R = 4 .
Câu 7:

Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn z + (1 + 2i ) = 4 là
2

một đường trịn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( −3;4 ) .

B. I ( −3; −4 ) .
C. I ( 3; −4 ) .

D. I ( 3;4 ) .

Lời giải
Chọn C
Gọi z = x + yi (với x; y 

).

Ta có: z + (1 + 2i ) = 4  z − 3 + 4i = 4
2



( x − 3)

2

+ ( y + 4 ) = 4  ( x − 3) + ( y + 4 ) = 16 .
2

2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R = 4 .
Câu 8:

Cho Gọi (C ) là tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + z − 4 + 4 z − z = 8 . Diện tích
hình phẳng được giới hạn bởi (C ) là
A. 24 .

B. 4 .

C. 16 .
Lời giải

D. 8.

Chọn D
Đặt z = x + iy, x, y 

. Khi đó, đẳng thức

z + z − 4 + 4 z − z = 8  2 x − 4 + 4 2iy = 8

 2 x −2 +8 y = 8  x −2 + 4 y = 4

Ta được đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Đây là hình thoi có độ dài hai đường chéo là 2 ; 8 nên diện tích bằng (2.8) : 2 = 8.
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 9:

( x, y  )

Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z = x + yi

thỏa mãn

1 + z = i − z là
A. x − y = 0 .

B. x + y − 1 = 0 .

C. x − y + 1 = 0 .

D. x + y = 0 .

Lời giải
Chọn D
Ta có 1 + z = i − z  1 + x + yi = i − x − yi  (1 + x ) + y 2 = x 2 + ( y − 1)  x + y = 0 .
2

2

Câu 10: Gọi H là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy sao cho
2 z − 3 z  5 , và số phức z có phần thực khơng âm. Tính diện tích hình H .

A. 2 .

B. 5 .

C.

5
.
2

D.

5
.
4

Lời giải
Chọn C
Gọi z = x + yi, ( x, y  , x  0 ) .

x2 y 2
+
 1.
Ta có 2 ( x + yi ) − 3 ( x − yi )  5  x + 25 y  5  x + 25 y  25 
25 1
2

2

2

2

x2 y 2
= 1 , có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là miền trong của Elip với
Xét elip ( E ) : +
25 1
x 0.
1
5
Ta có a = 5, b = 1 , nên diện tích hình H là S = . .a.b =
.
2
2
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 1 + 2i  3 . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức
w = z (1 + i ) trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) là hình phẳng ( H ) có diện tích bằng

A. S = 9 .

C. S = 18 .
Lời giải

B. S = 9 .

D. S = 18 .

Chọn C
Ta có z − 1 + 2i = 3  z (1 + i ) + ( −1 + 2i )(1 + i ) = 3 1 + i  w − 3 + i  3 2 .
Giả sử w = x + yi

( x, y  ) 

x − 3 + ( y + 1) i  3 2  ( x − 3) + ( y + 1)  18 .

2

2

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là hình trịn ( H ) tâm I ( 3;1) và bán kính R = 18
. Khi đó diện tích hình trịn là S =  R 2 = 18 .
Câu 12: Xét các số phức z thỏa mãn

(

z −1 + i

)

z + z i +1

là số thực. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w = 3 z là một parabol có đỉnh
 3 9
3 9
A. I  − ; −  .
B. I  ;  .
 2 2
2 2

 3 33 
C. I  ; −  .
4 8 
Lời giải

Chọn D
Gọi z = a + bi ( a, b 

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

) . Khi đó

z −1+ i

( z + z )i +1

=

(a − 1) + (b + 1)i
2ai + 1

3 9
D. I  ; −  .
2 2


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Phan Nhật Linh
z −1 + i
Vì
là số thực nên ( ( a − 1) + ( b + 1) i ) (1 − 2ai ) là số thực hay −2a ( a − 1) + ( b + 1) =0
z + z i +1

(

)

Suy ra 2a 2 − 2a − b − 1 = 0 (*)


a =
Mà w = 3 z , gọi w = x + yi , suy ra: 
b =


x
3
thay vào biểu thức (*) ta được
y
3

2

x y
2
 x
2   − 2 − − 1 = 0  y = x2 − 2 x − 3
3 3
3
3

3 9
Do đó, tập hợp biểu biễn w là một parabol có đỉnh là I  ; − 
2 2

Câu 13: Cho số phức w = (1 + i ) z + 2 với 1 + iz = z − 2i . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w là đường thẳng  . Khoảng cách từ điểm A(1; −2) đến  bằng
A. 0

B. 2 2 .

C. 2 .

2
.
2

D.

Lời giải
Chọn B
w−2
, thay vào 1 + iz = z − 2i ta được:
1+ i

Ta có w = (1 + i ) z + 2  z =

i ( w − 2) + 1 + i
w −2 w −2
w − 2 − 2i − 2i 2
1+ i
=
− 2i 
=

 i ( w − 2 ) + 1 + i = w − 2i
1+ i
1+ i
1+ i
1+ i

1+ i 

 iw − 2+
 = w − 2i  w − 2 + 1 − i = w − 2i  w − 1 − i = w − 2i
i 

Gọi w = x + yi ( x, y 

) , từ (1)

(1)

ta có x + yi − 1 − i = x + yi − 2i .

 ( x − 1) + ( y − 1) i = x + ( y − 2 ) i  ( x − 1) + ( y − 1) = x 2 + ( y − 2 )  x − y + 1 = 0 .
2

2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w trên mặt phẳng phức là đường thẳng  : x − y + 1 = 0.
Khi đó d ( A,  ) =

1 − ( −2 ) + 1
1 + ( −1)
2

2

= 2 2.

Câu 14: Cho phương trình z 3 − ( m + 1) z 2 + ( m + 1 + mi ) z − 1 − mi = 0 trong đó z 

, m là tham số thực.

Số giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phức phân biệt sao cho các điểm biểu
diễn của các nghiệm trên mặt phẳng phức tạo thành một tam giác cân là
A. 0.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Lời giải
Chọn D
Xét phương trình:
z = 1
z 3 − ( m + 1) z 2 + ( m + 1 + mi ) z − 1 − mi = 0   2
 z − mz + 1 + mi = 0

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

z = 1
z = 1
z = 1
.
 2 2

  z = i
z
−
i
z
+
i
−
m
=
0
z
−
i
−
mz
−
mi
=
0
(
)(

)
(
)


 z = m − i

Đặt A (1; 0 ) , B ( 0;1) , C ( m; −1) lần lượt là các điểm biểu diễn các nghiệm z = 1 , z = i ,

z = m − i trên mặt phẳng phức.
Ta có: AB = ( −1;1) , AC = ( m − 1; −1) , BC = ( m; −2 )
AB = 2 , BC = m 2 + 4 , AC =

( m − 1)

2

+1 .

Ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác khi và chỉ khi AB và AC không cùng phương hay
m  2.
 m −1 2 +1 = 2
)
 (
AC
=
AB

m = 0
2


m
−
2
m
=
0

Tam giác ABC cân   BC = AB   m 2 + 4 = 2
  m = 2 .

−
2
m
=
2


2
 AC = BC
 m = −1
2
m
−
1
+
1
=
m
+

4
(
)



Kết hợp với điều kiện m  2 ta được m  0; −1 .
Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn đề.
Câu 15: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn iz + 1 − 2i = 3 là
một đường tròn. Tâm của đường trịn đó có tọa độ là
A. I ( −2; −1) .
B. I ( −2;1) .
C. I ( 2;1) .

D. I ( 2; −1) .

Lời giải
Chọn C
Gọi z = x + yi (với x; y 

).

Ta có: i ( z − i − 2 ) = 3  i . z − i − 2 = 3  z − i − 2 = 3  ( x − 2 ) + ( y − 1) i = 3


( x − 2)

2

+ ( y − 1) = 3  ( x − 2 ) + ( y − 1) = 9 .

2

2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường trịn tâm I ( 2;1) , bán kính R = 3 .
Câu 16: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn (1 + i ) z + 5 − i = 2
là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là
A. I ( 2;3) .
B. I ( 2; −3) .
C. I ( −2; −3) .

D. I ( −2;3) .

Lời giải
Chọn D
Gọi z = x + yi (với x; y 
 z + 2 − 3i = 2 

). Ta có: (1 + i )( z + 2 − 3i ) = 3  1 + i . z + 2 − 3i = 2

( x + 2)

2

+ ( y − 3) = 2  ( x + 2 ) + ( y − 3 ) = 2 .
2

2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( −2;3) , bán kính R = 2 .
Câu 17: Trên mặt phẳng tọa độ, biết tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là
A. I ( 7; −1) .
B. I ( −7;1) .
C. I ( −7; −1) .
10| Biên soạn: Phan Nhật Linh

z
+1+ i = 2
3 − 4i

D. I ( 7;1) .


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Lời giải
Chọn D
Gọi z = x + yi (với x; y  ).

Ta có:

Phan Nhật Linh

z+7−i
z
z+7−i

=2
+1+ i = 2 
=2
3 − 4i
3 − 4i
3 − 4i

( x + 7)

2

+ ( y − 1) = 10
2

 ( x + 7 ) + ( y − 1) = 100 .
2

2

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I ( −7;1) , bán kính R = 10 .

(

)

Câu 18: Cho số phức z có z − 1 = 2 và w = 1 + 3i z + 2. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

(
)
A. I ( −3; 3 ) , R = 4.

w = 1 + 3i z + 2 là một đường tròn, tâm và bán kính đường trịn đó là

(

)

B. I 3; − 3 , R = 2. C. I

(

)

(

)

3; 3 , R = 4. D. I 3; 3 , R = 4.

Lời giải
Chọn D

(

)

(
)
w − ( 3 + 3i ) = 1 +

(

) (

)

Ta có w = 1 + 3i z + 2  w = 1 + 3i ( z − 1) + 3 + 3i  w − 3 + 3i = 1 + 3i ( z − 1) .
Lấy môđun hai vế, ta được

(

3i . z − 1 = 2.2 = 4.
2

2

)

(

Biểu thức w − 3 + 3i = 4 chứng tỏ tập hợp các số phức w là một đường trịn có tâm I 3; 3

)

và bán kính R = 4.
Câu 19: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 = 2 , biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
w = (1 − i ) z + i là một đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đó.

C. 2 .
Lời giải

B. 2 2 .

A. 2.

D. 4.

Chọn B
Cách 1: Ta đặt w = a + bi
 a + bi = (1 − i ) z + i  z =

a + ( b − 1) i

1− i
Theo giả thết z − 2 = 2 , nên ta có:

=

a − b +1 a + b −1
+
i
2
2

2
2
 a − b +1
  a + b −1
− 2 + 


 = 4  ( a − b − 3) + ( a + b − 1) = 16
2
2

 

2
2
 a + b + 9 − 2ab − 6a + 6b + a 2 + b 2 + 1 + 2ab − 2a − 2b = 16
2

2

 2a 2 + 2b 2 − 8a + 4b − 6 = 0  a 2 + b 2 − 4a + 2b − 3 = 0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của w là đường trịn có bán kính R = 22 + ( −1) − ( −3) = 2 2
2

w −i
1− i
w −i
w −2+i
−2 = 2
= 2  w − 2 + i = 2 1 − i = 2 2 (* )
Mà z − 2 = 2 
1− i
1− i
Cách 2: Ta có: w = (1 − i ) z + i  z =

(

Đặt w = x + yi khi đó (*)  ( x − 2 ) + ( y + 1) = 2 2
2

2

)

2

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 11


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Đây là đường trịn có tâm

I ( 2; −1) , R = 2 2 .

Câu 20: Cho số phức z thỏa mãn z − 1 + 2i = 2 . Tập hợp điểm biểu diễn số phức w =

z
trong mặt
1− i

phẳng tọa độ Oxy là đường trịn có tâm là::
 1 3
A. I  − ;  .

 2 2

1 3
B. I  ; −  .
2 2

 3 1
C. I  − ; −  .
 2 2
Lời giải

3 1
D. I  ;  .
2 2

Chọn A
Do w =

z
 z = w (1 − i ) .
1− i

Theo giả thiết, z − 1 + 2i = 2  z − 1 + 2i = 2  z − 1 − 2i = 2  w (1 − i ) − 1 − 2i = 2

 1− i w −

1 + 2i
1 3
1 3
= 2  2. w + − i = 2  w + − i = 2 .

1− i
2 2
2 2

 1 3
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I  − ;  .
 2 2
Câu 21: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

z + 1 − 2i
= 2 là
z − 2 + 3i

A. Đường tròn tâm I ( 5; −8 ) bán kính 2 17 .
B. Đường trịn tâm I ( −5;8 ) bán kính 2 17 .
C. Đường trịn tâm I ( 5; 4 ) bán kính 2 5 .
D. Đường tròn tâm I ( −5 ; 4 ) bán kính 2 5 .
Lời giải
Chọn C
Gọi z = x + yi  z = x – yi

( x, y  ) .

z + 1 − 2i
= 2  z + 1 − 2i =
z − 2 + 3i

2 z − 2 + 3i

2 ( x − 2) + (3 − y ) i .



( x + 1) + ( y − 2 ) i

=



( x + 1) + ( y − 2 )

= 2 ( x − 2 ) + 2 ( y − 3) .

2

2

2

2

 x 2 + y 2 − 10 x − 8 y + 21 = 0  ( x − 5 ) + ( y − 4 ) = 20
2

2

Tập hợp các điểm M là đường tròn ( x − 5 ) + ( y − 4 ) = 20 với tâm I ( 5; 4 ) bán kính 2 5 .
2

2

Câu 22: Cho z1 và z 2 là hai trong các số phức z thỏa mãn z − 5 − 3i = 5 , đồng thời z1 − z2 = 8 . Tập
hợp các điểm biểu diễn của số phức w = z1 + z2 trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có
phương trình dạng ( x − a ) + ( y − b ) = r 2 ( r  0 ) . Tính giá trị của biểu thức T = ( a + b ) r .
2

A. T = 96 .

12| Biên soạn: Phan Nhật Linh

B. T = 64 .

2

C. T = 6 .
Lời giải

D. T = 12 .


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Gọi A; B lần lượt là điểm biểu diễn của z1 ; z2 . Từ giả thiết z − 5 − 3i = 5 suy ra A; B thuộc
đường trịn tâm I ( 5;3) , bán kính 5 và z1 − z2 = 8 suy ra AB = 8 .
Gọi M là trung điểm của đoạn AB . Khi đó ta tính được IM = 3 .
z +z
Mặt khác, M là điểm biểu diễn của số phức 1 2 , I là điểm biểu diễn của số phức 5 + 3i ,
2

z +z
thay vào ta có biểu thức 1 2 − 5 − 3i = 3  ( z1 + z2 ) − 10 − 6i = 6
2
Vậy điểm biểu diễn của z1 + z2 nằm trên đường tròn tâm J (10;6 ) ; r = 6 .
Khi đó a = 10 ; b = 6 ; r = 6 . Vậy ( a + b ) .r = 96 .
Câu 23: Biết phương trình z 2 + mz + m 2 − 2 = 0 ( m là tham số thực) có hai nghiệm phức
A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

z1 , z2 . Gọi

z1 , z2 và z0 = i . Có bao nhiêu giá trị của tham số

m

để diện tích tam giác ABC bằng 1?
A. 2 .
B. 3 .

C. 4 .
Lời giải

D. 6

Chọn C

Ta có:  = m2 − 4 ( m2 − 2 ) = −3m2 + 8
2
Trường hợp 1:   0  −3m + 8  0 

nghiệm thực phân biệt là

−2 6
2 6
m
. Khi đó, phương trình có hai
3
3

z1 , z2 .

( z1 − z2 )
Mặt khác, ta có C ( 0;1)  d ( C ; AB ) = 1 .
Vì A, B  Ox nên AB = z1 − z2 =

 SABC =

1
AB.d ( C; AB ) =
2

2

=

( z1 + z2 )

2

− 4 z1 z2 = −3m 2 + 8 .

−3m2 + 8
2 3
=1 m = 
(n) .
2
3

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 13


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023


2 6
 m
3
2
Trường hợp 2:   0  −3m + 8  0  
. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức

−2 6
m 
3

liên hợp là z1,2 =

−m + i 
2

.

Ta có: AB = z1 − z2 = i  =

−3m2 + 8 = 3m 2 − 8 và C ( 0;1) .

m
Phương trình đường thẳng AB là x + = 0 nên d ( C ; AB ) =
2

m
2

.

m2 = 4
m 3m 2 − 8
1
Do đó, SABC = AB.d ( C ; AB ) =
=1  2
 m = 2 .
 m = − 4 (VN)
2
4

3
Vậy có 4 giá trị thực của tham số m thỏa mãn đề bài.

14| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

DẠNG
A

2

Phan Nhật Linh

VIẾT PTĐT ĐI QUA HAI ĐIỂM
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Để viết một phương trình đường thẳng thì ta cần một điểm đi qua và một vectơ chỉ phương của nó.
Đường thẳng d đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận u = ( a; b; c ) là một vectơ chỉ phương thì đường

▪

 x = x0 + at

thẳng d có phương trình là: d :  y = y0 + bt ,
 z = z + ct
0


▪

(t  )

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B thì nó nhận AB là một vectơ chỉ phương.

B

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

Câu 46 – Đề tham khảo 2023. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1; − 1; − 1) và N ( 5; 5;1) . Đường
thẳng MN có phương trình là:
 x = 5 + 2t
x = 5 + t
 x = 1 + 2t
 x = 1 + 2t




A.  y = 5 + 3t
B.  y = 5 + 2t
C.  y = −1 + 3t
D.  y = −1 + t
 z = −1 + t
 z = 1 + 3t
 z = −1 + t
 z = −1 + 3t




 Lời giải
Lời giải

Chọn C
Ta có MN = ( 4; 6; 2 ) = 2 ( 2;3;1) .
Đường thẳng MN qua M (1; − 1; − 1) nhận MN = ( 2;3;1) làm vectơ chỉ phương
 x = 1 + 2t

Phương trình đường thẳng d là:  y = −1 + 3t .
 z = −1 + t


C
Câu 1:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm E ( −1;0;2) và F (2;1; −5) . Phương trình đường thẳng EF
là
 x = 1 + 3t

A.  y = t
.
 z = −2 − 7 t


Câu 2:

 x = −1 + 3t

B.  y = t
.
 z = 2 − 7t


x = 1+ t

C.  y = t
.
 z = −2 − 3t


 x = −1 + t

D.  y = t
.
 z = 2 + 3t


Trong không gian Oxyz , cho hai điểm P (1;1; −1) và Q ( 2;3;2 ) . Phương trình đường thẳng PQ
là

x −1 y −1 z +1
=
=
.
2
3
2
x −1 y − 2 z − 3
=
=
C.
.

1
1
−1
A.

x −1 y −1 z +1
=
=
.
1
2
3
x+2 y+3 z+2
=
=
D.
.
1
2
3
B.

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Về đích đặc biệt 9+
Câu 3: Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm M (1; − 1; − 1) và N ( 5; 5;1) . Đường thẳng MN có

phương trình là:

 x = 5 + 2t

A.  y = 5 + 3t
 z = −1 + t


x = 5 + t

B.  y = 5 + 2t
 z = 1 + 3t


 x = 1 + 2t

C.  y = −1 + 3t
 z = −1 + t


 x = 1 + 2t

D.  y = −1 + t
 z = −1 + 3t


Câu 4:

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; − 2 ) và B ( 3; − 3;1) . Đường thẳng AB có

Câu 5:

phương trình là
x −1 y z + 2
x − 3 y + 3 z −1
A.
.
B.
.
= =
=
=
2
3
3
−2
3
−3
x −1 y z − 2
x + 3 y − 3 z +1
C.
.
D.
.
=
=
=
=
2
−3
3
2

−3
3
Trong không gian Oxyz , cho ba điểm điểm A ( 4; −3;2 ) , B ( 6;1; −7 ) , C ( 2;8; −1) . Đường thẳng

Câu 6:

qua gốc toạ độ O và trọng tâm tam giác ABC có phương trình là
x y
z
x y
z
x y
z
x
y
z
=
A. = =
.
B. = =
.
C. = =
.
D. =
.
4 1 −3
2 1 −1
2 3 −1
2 −1 −1
Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A (1; 0; − 2 ) , B ( 2; − 2;1) và C ( 0; 0;1) .

Đường trung tuyến AM có phương trình là
x = 1+ t
x = 1− t


A.  y = −1 + 3t .
B.  y = −t
.
z = 1+ t
 z = −2 + 3t



Câu 7:

 x = −1 + 2t

C.  y = 1 + t .
 z = −1 − 3t


x = 1

D.  y = −t
.
 z = −2 + 3t


Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng
x − 2 y −1 z

và vuông góc với mặt phẳng (  ) : x + y + 2 z + 1 = 0 . Khi đó giao tuyến
=
=
1
1
−2
của hai mặt phẳng ( ) ; (  ) có phương trình
:

x − 2 y +1 z
=
= .
1
−5
2
x y +1 z −1
C.  : =
.
=
1
1
1

x + 2 y −1 z
=
= .
1
−5
2
x y +1 z −1

D.  : =
.
=
1
1
1
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 5; −3; 2 ) và mặt phẳng

A.  :

Câu 8:

B.  :

( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng
x+5
=
1
x−6
C.
=
1

x −5 y +3 z −2
.
=
=
1
−2
−1

x+5 y+3 z −2
D.
.
=
=
1
−2
1
Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3;1; −5 ) , hai mặt phẳng ( P ) : x − y + z − 4 = 0 và

A.

Câu 9:

y −3
=
−2
y+5
=
−2

z+2
.
1
z −3
.
1

d đi qua điểm M và vuông góc ( P ) .

B.

( Q ) : 2 x + y + z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng
hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
x − 3 y −1
=
=
2
−1
x − 3 y −1
C.  :
=
=
2
1
2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

A.  :

z +5
.
−3
z +5
.
−3

 đi qua A đồng thời  song song với

x+3
=

2
x −3
D.  :
=
−2

B.  :

y +1
=
−1
y −1
=
−1

z −5
.
−3
z +5
.
3


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; −2;0 ) , B(2; −1;3), C ( 0; −1;1) . Đường trung tuyến
AM của tam giác ABC có phương trình tham số là

x = 1

A.  y = −2 + t .
 z = 2t


 x = 1 − 2t

B.  y = −2 .
 z = −2 t


x = 1+ t

C.  y = −2 .
 z = −2 t


 x = 1 + 2t

D.  y = −2 + t .
 z = 2t


Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

( P ) : z −1 = 0

và ( Q ) : x + y + z − 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt

đường thẳng d ' :

x −1 y − 2 z − 3
và vng góc với đường thẳng  . Phương trình của
=
=
1
−1
−1

đường thẳng d là

x = 3 + t

A.  y = t
.
z = 1+ t


x = 3 − t

B.  y = t
.
z = 1


x = 3 + t

C.  y = t
.

z = 1


x = 3 + t

D.  y = −t .
z = 1+ t


Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1;1;3) và hai đường thẳng  :

x −1 y + 3 z −1
,
=
=
3
2
1

x +1 y
z
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M và vng
= =
1
3 −2
góc với  và   .
 :

 x = −1 − t


A.  y = 1 + t .
 z = 1 + 3t


 x = −t

B.  y = 1 + t .
z = 3 + t


 x = −1 − t

C.  y = 1 − t .
z = 3 + t


 x = −1 − t

D.  y = 1 + t .
z = 3 + t


Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y + z = 0 và đường thẳng
x −1 y z + 3
. Gọi  là đường thẳng nằm trong ( P ) , cắt và vng góc với d . Phương
=
=
1
−2
2

trình nào sau đây là phương trình tham số của  ?
d:

 x = −2 + 4t

A.  y = 3 − 5t .
 z = 3 − 7t


 x = −3 + 4t

B.  y = 5 − 5t .
 z = 4 − 7t


 x = 1 + 4t

C.  y = 1 − 5t .
 z = −4 − 7t


 x = −3 + 4t

D.  y = 7 − 5t .
 z = 2 − 7t


Câu 14: Cho tứ diện ABCD có A ( 0;0; 2 ) , B ( 3;0;5 ) , C (1;1;1) , D ( 4;1; 2 ) . Phương trình đường cao kẻ
từ D của tứ diện là
x + 4 y −1 z − 2

A.
.
=
=
1
−2
−1
x − 4 y −1 z − 2
C.
.
=
=
1
−2
−1

x−4
=
1
x−4
D.
=
1

B.

y −1 z − 2
.
=
2

−1
y +1 z − 2
.
=
−2
−1

x = 1+ t

Câu 15: Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  :  y = −t và điểm A (1;3; −1) . Viết
 z = −1 + t

phương trình đường thẳng d đi qua điểm A , cắt và vng góc với đường thẳng  .
x −1 y − 3 z +1
x −1 y − 3 z +1
A.
.
B.
.
=
=
=
=
2
−1
−1
1
−2
−1
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
x −1 y − 3 z +1
C.
.
=
=
1
2
1

Về đích đặc biệt 9+

D.

x −1 y − 3 z +1
.
=
=
−1
2
−1

Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho OE = 5i + 4 j − 2k , OF = j − 3k . Đường thẳng đi qua hai điểm E
và F có phương trình là
 x = 5t

A.  y = 1 + 3t .
B.

 z = −3 + t


x = 5

y = 4+ t .
 z = −2 − 3t


 x = 5t

C.  y = 1 + 3t .
 z = −3 − t


 x = −5t

D.  y = 1 + 3t .
 z = −3 + t


Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1;0;1) và N ( 3;2; − 1) . Đường thẳng MN có phương
trình là
 x = 1 + 2t

A.  y = 2t .
z = 1+ t

Câu 18: Trong

không

x = 1+ t

B.  y = t .
z = 1+ t


gian

với

hệ

trục

x = 1− t

C.  y = t .
z = 1+ t


tọa

độ

Oxyz ,

x = 1+ t


D.  y = t .
z = 1− t


cho

tam

giác

với

ABC

A (1; −2;1) , B ( −2; 2;1) , C (1; −2; 2 ) . Đường phân giác trong của góc A có một véctơ chỉ phương
u ( 3; a; b ) . Tính a − b .

C. −1 .

B. −9 .

A. 1 .

D. 9 .

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;7;0 ) , B ( 3;0;3) . Phương trình đường
phân giác trong của góc AOB của tam giác AOB là
x y z
x y z
x y z

A. = = .
B. = = .
C. = = .
4 5 3
3 5 7
6 7 5
Câu 20: Trong

không

gian

Oxyz ,

( P ) : x + 2 y + 3z − 14 = 0 . Gọi Δ

cho

hai

điểm

D.

A (1; 2;3) , B ( 3; 4;5 )

x y z
= = .
5 7 4

và

mặt

phẳng

là một đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng ( P ) . Gọi

H , K lần lượt là hình chiếu vng góc của A, B trên Δ . Biết rằng khi AH = BK thì trung

điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

x = 4 + t

A.  y = 5 − 2t .
z = 1


x = 4 − t

B.  y = 5 + 2t .
z = t


x = 4 + t

C.  y = 5 − 2t .
z = t


x = 4 − t

D.  y = 5 + 2t .
z = 1


Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 2, −2,3) ; B (1,3,4 ) ; C ( 3, −1,4 ) . Phương trình đường
phân giác góc BAC là.
x y + 2 z −1
=
.
A. =
1
4
2
x − 3 y + 2 z −1
=
=
.
C.
1
4
2

x −1 y + 6 z −1
=
=
.
1
4

2
x −2 y + 2 z −3
=
=
.
D.
1
4
2
B.

Câu 22: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1; 2;0 ) , B (1;1;1) , C ( 2; − 3;2 ) . Tập hợp tất cả các
điểm M cách đều ba điểm A , B , C là một đường thẳng d . Phương trình tham số của đường
thẳng d là

4| Biên soạn: Phan Nhật Linh


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
 x = −8 − 3t
 x = −8 + 3t


A.  y = t
.
B.  y = t
.
 z = 15 + 7t
 z = 15 − 7t




 x = −8 + 3t

C.  y = −t
.
 z = −15 − 7t


Phan Nhật Linh
 x = −8 + 3t

D.  y = t
.
 z = 15 + 7t


Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(3;3;1), B(0; 2;1) và mặt phẳng
( ) : x + y + z − 7 = 0. Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng ( ) sao cho mọi điểm của d cách

đều hai điểm A, B có phương trình là
 x = 2t

A.  y = 7 − 3t .
 z =t


 x = −t

B.  y = 7 − 3t .

 z = 2t


 x=t

C.  y = 7 + 3t .
 z = 2t


 x=t

D.  y = 7 − 3t .
 z = 2t


Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1:

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm E ( −1;0;2) và F (2;1; −5) . Phương trình đường thẳng EF
là
 x = 1 + 3t

A.  y = t

.
 z = −2 − 7 t


 x = −1 + 3t

B.  y = t
.
 z = 2 − 7t


x = 1+ t

C.  y = t
.
 z = −2 − 3t

Lời giải

 x = −1 + t

D.  y = t
.
 z = 2 + 3t


Chọn B
Đường thẳng EF có một vectơ chỉ phương là EF = ( 3;1; −7)
Điểm E ( −1;0;2)  EF .
 x = −1 + 3t


Vậy đường thẳng EF có phương trình tham số là:  y = t
.
 z = 2 − 7t


Câu 2:

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm P (1;1; −1) và Q ( 2;3;2 ) . Phương trình đường thẳng PQ
là

x −1 y −1 z +1
.
=
=
2
3
2
x −1 y − 2 z − 3
=
=
C.
.
1
1
−1

x −1 y −1 z +1
.
=

=
1
2
3
x+2 y+3 z+2
=
=
D.
.
1
2
3
Lời giải

A.

B.

Chọn B
Đường thẳng PQ có một vectơ chỉ phương là PQ = (1;2;3) .
Điểm P (1;1; −1)  PQ .
Vậy đường thẳng PQ có phương trình là:
Câu 3:

x −1 y −1 z +1
=
=
.
1
2

3

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (1; − 1; − 1) và N ( 5; 5;1) . Đường thẳng MN có
phương trình là:
 x = 5 + 2t

A.  y = 5 + 3t
 z = −1 + t


x = 5 + t

B.  y = 5 + 2t
 z = 1 + 3t


 x = 1 + 2t

C.  y = −1 + 3t
 z = −1 + t

Lời giải

 x = 1 + 2t

D.  y = −1 + t
 z = −1 + 3t


Chọn C

Ta có MN = ( 4; 6; 2 ) = 2 ( 2;3;1) .
Đường thẳng MN qua M (1; − 1; − 1) nhận MN = ( 2;3;1) làm vectơ chỉ phương có phương trình
 x = 1 + 2t

 y = −1 + 3t .
 z = −1 + t


Câu 4:

Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 0; − 2 ) và B ( 3; − 3;1) . Đường thẳng AB có

phương trình là
6| Biên soạn: Phan Nhật Linh


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
x −1 y z + 2
x −3
A.
.
B.
= =
=
2
3
3
−2
x −1 y z − 2
x+3

C.
.
D.
=
=
=
2
−3
3
2
Lời giải
Chọn B

Phan Nhật Linh

y+3
=
3
y −3
=
−3

z −1
.
−3
z +1
.
3

Ta có AB = ( 2; − 3; 3) = − ( −2;3; −3) .

Đường thẳng AB đi qua B ( 3; − 3;1) , nhận u = ( −2;3; −3) làm vectơ chỉ phương có phương
trình là
Câu 5:

x − 3 y + 3 z −1
.
=
=
−2
3
−3

Trong không gian Oxyz , cho ba điểm điểm A ( 4; −3;2 ) , B ( 6;1; −7 ) , C ( 2;8; −1) . Đường thẳng
qua gốc toạ độ O và trọng tâm tam giác ABC có phương trình là
x y
z
x y
z
x y
z
A. = =
.
B. = =
.
C. = =
.
4 1 −3
2 1 −1
2 3 −1
Lời giải

Chọn B

D.

x
y
z
=
=
.
2 −1 −1

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC  G ( 4;2; −2 ) .
Đường thẳng OG có một véc tơ chỉ phương là OG = ( 4;2; −2 )
 u = ( 2;1; −1) cũng là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng OG .

Vậy phương trình đường thẳng OG là:
Câu 6:

x y
z
.
= =
2 1 −1

Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A (1; 0; − 2 ) , B ( 2; − 2;1) và C ( 0; 0;1) .
Đường trung tuyến AM có phương trình là
x = 1+ t
x = 1− t
 x = −1 + 2t




A.  y = −1 + 3t .
B.  y = −t
.
C.  y = 1 + t .
z = 1+ t
 z = −2 + 3t
 z = −1 − 3t



Lời giải
Chọn D
Do M là trung điểm của BC nên M (1; −1;1) .

x = 1

D.  y = −t
.
 z = −2 + 3t


Ta có AM = ( 0; − 1; 3) .
Đường thẳng AM đi qua A (1; 0; − 2 ) , nhận AM = ( 0; − 1; 3) làm vectơ chỉ phương có phương

x = 1

trình là  y = −t

.
 z = −2 + 3t


Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng
:

x − 2 y −1 z
và vuông góc với mặt phẳng (  ) : x + y + 2 z + 1 = 0 . Khi đó giao tuyến
=
=
1
1
−2

của hai mặt phẳng ( ) ; (  ) có phương trình
x − 2 y +1 z
=
= .
1
−5

2
x y +1 z −1
C.  : =
.
=
1
1
1

x + 2 y −1 z
=
= .
1
−5
2
x y +1 z −1
D.  : =
.
=
1
1
1
Lời giải

A.  :

B.  :

Chọn C
x − 2 y −1 z

đi qua M ( 2;1;0 ) và có VTCP u = (1;1; −2 ) .
:
=
=
1
1
−2

(  ) : x + y + 2 z + 1 = 0 có VTPT

( )

n = (1;1; 2 ) .

đi qua M ( 2;1;0 ) và có VTPT u; n  = ( 4; −4;0 ) nên chọn n = (1; −1;0 ) .

Phương trình ( ) : ( x − 2 ) − ( y − 1) = 0  x − y − 1 = 0 .
Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) ; (  ) . Ta có:
D đi qua N ( 0; −1;0 ) và có VTCP  n; n  = ( 2; 2; −2 ) nên chọn u = (1;1; −1) .
x y +1 z
Phương trình d : =
.
=
1
1
−1
Câu 8:

Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 5; −3; 2 ) và mặt phẳng

( P ) : x − 2 y + z − 1 = 0 . Tìm phương trình đường thẳng
x+5
=
1
x−6
C.
=
1

A.

y −3
=
−2
y+5
=
−2

z+2
.
1
z −3
.
1

d đi qua điểm M và vng góc ( P ) .

x −5
=
1

x+5
D.
=
1
Lời giải

B.

y+3 z −2
.
=
−2
−1
y+3 z −2
.
=
−2
1

Chọn C

x = 5 + t

d qua điểm M ( 5; −3; 2 ) và vuông góc ( P ) nhận u = (1; −2;1) là vtcp có dạng  y = −3 − 2t .
z = 2 + t

Cho t = 1  N ( 6; −5;3)  d  d :
Câu 9:

x −6 y +5 z −3

.
=
=
1
−2
1

Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3;1; −5 ) , hai mặt phẳng

( Q ) : 2 x + y + z + 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng
hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) .
x −3
=
2
x −3
C.  :
=
2

A.  :

y −1
=
−1
y −1
=
1

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

z +5
.
−3
z +5
.
−3

và

 đi qua A đồng thời  song song với

x+3
=
2
x −3
D.  :
=
−2
Lời giải

B.  :

( P) : x − y + z − 4 = 0

y +1
=
−1
y −1
=
−1

z −5
.
−3
z +5
.
3


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Chọn A

Phan Nhật Linh

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) là n1 = (1; −1;1) .
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( Q ) là n2 = ( 2;1;1) .



1 −1
 n1 và n2 không cùng phương.

2 1

Ta có: n =  n1 , n2  = ( −2;1;3) .
Đường thẳng  đi qua A ( 3;1; −5 ) và nhận vectơ n = ( −2;1;3) làm vectơ chỉ phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng  là:

x − 3 y −1 z + 5
.

=
=
2
−1
−3

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; −2;0 ) , B(2; −1;3), C ( 0; −1;1) . Đường trung tuyến
AM của tam giác ABC có phương trình tham số là

x = 1

A.  y = −2 + t .
 z = 2t


 x = 1 − 2t

B.  y = −2 .
 z = −2 t


 x = 1 + 2t

D.  y = −2 + t .
 z = 2t


x = 1+ t

C.  y = −2 .

 z = −2 t

Lời giải

Chọn A
Có M là trung điểm của BC  M (1; −1;2 ) .
AM = ( 0;1;2 ) là một véctơ chỉ phương của đường trung tuyến AM .

Điểm A (1; −2;0 )  AM .
x = 1

Vậy đường trung tuyến AM có phương trình tham số là:  y = −2 + t .
 z = 2t


Câu 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

( P ) : z −1 = 0

và ( Q ) : x + y + z − 3 = 0 . Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( P ) , cắt

đường thẳng d ' :

x −1 y − 2 z − 3
và vuông góc với đường thẳng  . Phương trình của
=
=
1
−1
−1

đường thẳng d là

x = 3 + t

A.  y = t
.
z = 1+ t


x = 3 − t

B.  y = t
.
z = 1


x = 3 + t

C.  y = t
.
z = 1


x = 3 + t

D.  y = −t .
z = 1+ t


Lời giải
Chọn C

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
d'
Q
I

d
P

Đặt nP = ( 0;0;1) và nQ = (1;1;1) lần lượt là véctơ pháp tuyến của ( P ) và ( Q ) .
Do  = ( P )  ( Q ) nên  có một véctơ chỉ phương u =  nP , nQ  = ( −1;1;0 ) .
Đường thẳng d nằm trong

( P)

và d ⊥  nên d có một vectơ chỉ phương là

ud =  nP , u  = ( −1; −1;0 ) .
x −1 y − 2 z − 3
và I = d   d  I = d   ( P )
=
=
1

−1
−1
z = 1
z −1 = 0


Xét hệ phương trình  x − 1 y − 2 z − 3   y = 0  I ( 3;0;1) .
 1 = −1 = −1
x = 3


Gọi d  :

x = 3 + t

Do đó phương trình đường thẳng d :  y = t
.
z = 1

Câu 12: Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( −1;1;3) và hai đường thẳng  :

x −1 y + 3 z −1
,
=
=
3
2
1

x +1 y

z
. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M và vng
= =
1
3 −2
góc với  và   .
 :

 x = −1 − t

A.  y = 1 + t .
 z = 1 + 3t


 x = −t

B.  y = 1 + t .
z = 3 + t


 x = −1 − t

C.  y = 1 − t .
z = 3 + t


 x = −1 − t

D.  y = 1 + t .
z = 3 + t



Lời giải
Chọn D
+) VTCP của ,  lần lượt là u = ( 3; 2;1) và v = (1;3; −2 ) ; u , v  = ( −7;7;7 )
+) Vì d vng góc với  và   nên ud = ( −1;1;1) .

 x = −1 − t

+) d đi qua M ( −1;1;3) nên d :  y = 1 + t .
z = 3 + t

Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y + z = 0 và đường thẳng
x −1 y z + 3
. Gọi  là đường thẳng nằm trong ( P ) , cắt và vng góc với d . Phương
=
=
1
−2
2
trình nào sau đây là phương trình tham số của  ?
d:

10| Biên soạn: Phan Nhật Linh