Phat trien 16 dang toan trong tam de tham khao tn thpt 2023 mon toan compressed 271 545

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
y = f ( x)
Câu 19: Hàm
số
có
đạo
hàm

liên

tục

trên

Về đích đặc biệt 9+
và
thỏa
mãn

f ( x ) + x. f  ( x ) + f  ( x ) = 4 x3 − 6 x 2 − 2 x + 4 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các
hàm số y = f ( x ) , y = f  ( x ) .
A. S = 8 .

D. S = 4 .

C. S = 8 .
Lời giải

B. S = 4 .

Chọn A

Ta có f ( x ) + x. f  ( x ) + f  ( x ) = f ( x ) + ( x + 1) f  ( x ) = ( x + 1) f ( x ) 

f ( x ) + x. f  ( x ) + f  ( x ) = 4 x3 − 6 x 2 − 2 x + 4  4 x3 − 6 x 2 − 2 x + 4 = ( x + 1) f ( x ) 

Nên

 ( x + 1) f ( x ) = x 4 − 2 x3 − x 2 + 4 x + C (1)
Thay x = −1 vào (1) ta được C − 2 = 0  C = 2 . Suy ra ( x + 1) f ( x ) = x 4 − 2 x3 − x 2 + 4 x + 2

 f ( x ) = x3 − 3x 2 + 2 x + 2
Khi đó f  ( x ) = 3x 2 − 6 x + 2 .

x = 0
Xét phương trình x − 3x + 2 x + 2 = 3 x − 6 x + 2  x − 6 x + 8 x = 0   x = 2

 x = 4
3

2

2

3

2

4

S=
Câu 20: Cho

0 x

3

− 6 x 2 + 8 x dx = 8

hàm

số

y = f ( x)

có

f ( x ) = 4 x3 + 3x 2 − xf ' ( x ) , x 

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

B. 7,32 .

C. 7,33 .
Lời giải

Chọn C
Ta có f ( x ) = 4 x3 + 3x 2 − xf ' ( x )  f ( x ) + xf ' ( x ) = 4 x3 + 3x 2
  x. f ( x )  = 4 x3 + 3x 2  x. f ( x ) = x 4 + x3 + C
'

Cho x = 0 ta được C = 0  f ( x ) = x3 + x 2 và f ' ( x ) = 3x 2 + 2 x .
Xét phương trình: f ( x ) = f ' ( x )
x = 0

 x3 + x 2 = 3x 2 + 2 x  x3 − 2 x 2 − 2 x = 0   x = 1 − 3
x = 1+ 3

1+ 3

Diện tích hình phẳng là: S =



1− 3

20| Biên soạn: Phan Nhật Linh

mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và

y = f ' ( x ) có kết quả làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai bằng

A. 7,31 .

thỏa

x3 − 2 x 2 − 2 x dx  7,33 ( đvdt).

D. 7,34


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

Phan Nhật Linh
và thỏa mãn f (1) = 0 ;

 0;1

 f ' ( x )  + 8 xf ( x ) = x 4 − 2 x, x   0;1 . Hình phẳng ( H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) và


2

trục Ox , Oy . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox có thể tích bằng

A.


.

7

B.

2
.
7

C.

3
.
7

D.

4
7

Lời giải
Chọn B
1

Ta có

0

xf ( x ) dx =



1 2
 x2 
x2 1
x
f ( x ) d   = f ( x ).
−
. f ' ( x ) dx
2 0 0 2
 2 



1

1

1
1 2 '
1 2 '
= f (1) −
x f ( x ) dx = −
x f ( x ) dx
2
20
20





 f ' ( x )  + 8 xf ( x ) = x 4 − 2 x, x   0;1 


2

1

1

−4
  f ( x )  dx − 4 x f ( x ) dx =

5
0
0


1



( f

'



2

'

2

'

1

0

0

2

1

0  f

'

( x ) 

( x ) − 2 x 2 ) dx = 0  f ' ( x ) = 2 x 2  f ( x ) =
2

0

Do f (1) = 0 nên C =

1

 f ' ( x )  dx + 8 xf ( x ) dx =


2

1

0

1

0 ( x

4

)

− 2 x dx

1

0

d x − 4 x f ( x ) dx + 4 x 4 = 0
2

'

2 3

x +C
3

−2
2
2
 f ( x ) = x3 −
3
3
3

Xét phương trình: f ( x ) = 0 

2 3 2
x − = 0  x = 1.
3
3
1

2
2
2
Thể tích của khối trịn xoay là: V =   x3 −  dx =
( đvtt).
3
7
3
0
2



Câu 22: Cho

hàm

số

y = f ( x)

có

f ( x) + xf ( x) = 5 x 4 + 6 x + 3, x 

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa

mãn

. Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f ( x ) và y = f  ( x) thuộc khoảng

A. ( 27;28 ) .

B. ( 26;27 ) .

C. ( 28;29 ) .

D. ( 29;30 ) .

Lời giải
Chọn C
Ta có: f ( x) + x. f ( x) = 5 x 4 + 6 x + 3  ( x)  f ( x) + x. f ( x) = 5 x 4 + 6 x + 3
 [ x. f ( x)] = 5 x 4 + 6 x + 3  x. f ( x) = x5 + 3x 2 + 3x + C  f ( x) =

Vì f ( x ) liên tục trên

x5 + 3x 2 + 3x + C
x

nên C = 0 . Suy ra f ( x) = x 4 + 3x + 3  f ( x) = 4 x3 + 3

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 21


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Về đích đặc biệt 9+
Xét phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f ( x ) và y = f ( x) , ta có:

(

)

x 4 + 3x + 3 = 4 x3 + 3  x x3 − 4 x 2 + 3 = 0
x = 0
x = 1


2
 x ( x − 1) x − 3x − 3 = 0   x = 3 + 21 .
2


3 − 21
x =

2

(

)

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và y = f ( x) là:
3 + 21
2



S=

f ( x) − f ( x) dx  28,87

3− 21
2

Câu 23: Cho

hàm

y = f ( x)

số

có

đạo

hàm

cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos 2 x + 2sin x, x 
y = f ( x ) , y = f  ( x) , x = 0 và x =

A. 2 −  .


2

liên

tục

trên

và

thỏa

mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

bằng

B. 2 +  .

C. 4 −  .
Lời giải

D. 4 +  .

Chọn C
Ta có: cos xf ( x) − sin xf ( x) = 2cos 2 x + 2sin x, x 
 cos x  f ( x) + ( cos x ) . f ( x) = 2cos 2 x + 2sin x

 [cos x. f ( x)] = 2cos 2 x + 2sin x

 cos x. f ( x) = sin 2 x − 2cos x + C

sin 2 x − 2cos x + C 2sin x.cos x − 2cos x + C
=
cos x
cos x
Vì do f ( x ) liên tục trên
nên C = 0 . Do đó f ( x) = 2cos x − 2  f ( x) = −2sin x
 f ( x) =

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = f  ( x) , x = 0 và x =

S=





2

2



f ( x) − f ( x) dx =

0



2

là:


2

2cos x + 2sin x − 2 dx =

0

= ( 2sin x − 2cos x − 2 x )



 ( 2cos x + 2sin x − 2 ) dx
0


2

= 4 − .

0

Câu 24: Cho

hàm

số

y = f ( x)

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

thoả

mãn

f (1) = 4

f ( x ) = xf  ( x ) − 2 x3 − 3x 2 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) và y = f  ( x ) .

A. 9 .
Chọn C
22| Biên soạn: Phan Nhật Linh

B. 6 .

C. 18 .
Lời giải

D. 27 .

và


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

f ( x ) = xf  ( x ) − 2 x3 − 3x 2  xf  ( x ) − f ( x ) = 2 x3 + 3x 2



xf  ( x ) − f ( x )
x2

= 2 x + 3; x  0

 f ( x ) 
 f ( x ) 

=
2
x
+
3



 dx =

 x 
 x 





f ( x)

 ( 2 x + 3) dx = x

2

+ 3x + C

= x 2 + 3x + C

x

Vì f (1) = 4 nên  4 = 12 + 3.1 + C  C = 0 .
Do đó f ( x ) = x3 + 3x 2 ; x  0 .
nên f ( x ) liên tục tại x = 0  f ( 0 ) = 0  f ( x ) = x3 + 3x 2 ; x 

Vì f ( x ) liên tục trên

.

 f  ( x ) = 3x 2 + 6 x .

Phương trình hồnh độ giao điểm của y = f ( x ) ; y = f  ( x ) là

 x=0

x3 + 3x 2 = 3x 2 + 6 x  x x 2 − 6 = 0   x = − 6
 x= 6


(

)

6

S hp =



x3 − 6 x dx = 18 .

− 6

Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ( 0;+ ) thoả mãn f  ( x ) +

f ( x)

= 4 x 2 + 3x và

x
f (1) = 2 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) và phương trình tiếp tuyến của tại điểm

y = f ( x ) có hồnh độ x = 2 .

A.

2400
.
12

B.

2401
.
12

C.

333
.
4

D.

335
.
4

Lời giải
Chọn B

f ( x) +

f ( x)
x

= 4 x 2 + 3x  xf  ( x ) + xf ( x ) = 4 x3 + 3x 2

  x. f ( x )  = 4 x3 + 3x 2   x. f ( x ) dx =



 ( 4x

3

)

+ 3x 2 dx  xf ( x ) = x 4 + x 3 + C .

Vì f (1) = 2 nên 1 f (1) = 1 + 1 + C  C = 0 . Do đó f ( x ) = x3 + x 2 .
Lại có f  ( x ) = 3x 2 + 2 x .
f  ( 2 ) = 16, f ( 2 ) = 12 .

Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hồnh độ x = 2 là
y = 16 x − 20 .

Phương trình hồnh độ giao điểm của f ( x ) = x3 + x 2 và y = 16 x − 20

 x = −5
x3 + x 2 = 16 x − 20  
 x=2
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 23

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
2

Shp =

−5 x

3

+ x 2 − 16 x + 20 dx =

Câu 26: Cho hàm số

2401
.
12

y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

( 0;+ )

thoả mãn

f (1) = 3 và

x ( 4 − f  ( x ) ) = f ( x ) − 1 với mọi x  0 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) và trục

Ox , trục Oy và x = 1 .

A. 2 .

B. 1 .

C. 3 .
Lời giải

D. 5 .

Chọn A
x ( 4 − f  ( x ) ) = f ( x ) − 1  xf  ( x ) + f ( x ) = 4 x + 1   xf ( x )  = 4 x + 1


  x. f ( x )  dx =



 ( 4 x + 1) dx x. f ( x ) = 2x

2

+ x+C

Vì f (1) = 3 nên C = 0 .
Do đó f ( x ) = 2 x + 1
1

S hp =

0 2 x + 1dx = 2 .

2
1
và f  ( x ) = −2 x  f ( x )  , x 
5
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f ( x ) , x = 0 và x = 1 .

Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) thoả mãn f ( x )  0, x  ; f ( 2 ) =

A.


.
3

B.


.
4

2
.
3

C.

D.

.

3
.
4

Lời giải
Chọn B
f  ( x ) = −2 x  f ( x )  
2

Vì f ( 2 ) =

− f ( x)
 f ( x ) 

2

= 2x 

− f ( x )

  f ( x ) 2 dx =  2 xdx 




1
= x2 + C

f ( x)

1
nên C = 1 .
5

1
Do đó f ( x ) = 2
suy ra S hp =
x +1

1

1



0 x 2 + 1 dx = 4 .

Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn − xf  ( x ) ln x + f ( x ) = 2 x 2 f 2 ( x ) , x  (1; +  ) , f ( x )  0 ,
x  (1; +  ) và f ( e ) =
x = e 2 bằng
1
A. .
2

1
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = xf ( x ) , y = 0 , x = e ,
e2

B.

5
.
3

C.
Lời giải

Chọn C

24| Biên soạn: Phan Nhật Linh

3
.
2

D.

1
.
4


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Ta có: − xf  ( x ) ln x + f ( x ) = 2 x 2 f 2 ( x )  − x

f ( x)
f

2

Phan Nhật Linh

( x)

ln x +

 xg  ( x ) ln x + g ( x ) = 2 x 2 , x  (1; +  ) với g ( x ) =
 g  ( x ) ln x +
 g ( x ) ln x −

Do f ( e ) =

g ( x)



x

dx +



g ( x)
x

1
f ( x)

 g ( x ) lnx dx + 

= 2 x, x  (1; +  ) 

x
g ( x)

1
= 2 x 2 , x (1; +  ) .
f ( x)

g ( x)
x



dx = 2 xdx

dx = x 2 + C  g ( x ) ln x = x 2 + C , x  (1; +  )

1
 g ( e ) = e2  C = 0 .
2
e

Suy ra g ( x ) ln x = x 2 , x  (1; +  )

 g ( x) =

x2
x
ln x
 0, x  (1; +  )  xf ( x ) =
=
 0, x  (1; +  )
ln x
g ( x)
x

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = xf ( x ) , y = 0 , x = e , x = e 2 là:
e2

e

xf ( x ) dx =

Câu 29: Cho

hàm

e2

e

số

ln x
dx =
x

e2

e

1
e2 3
lnx d ( ln x ) = ln 2 x = .
2
2
e

y = f ( x)

có

đạo

hàm

liên

tục

trên

và

thỏa

mãn

hệ

thức

2 x. f ( x ) + x 2 . f  ( x ) = 4 x3 − 12 x 2 + 8 x . Tính thể tích vật tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị y = f ( x ) , trục hoành và trục tung quanh trục Ox .

A.

8
.
3

B.

8
.
3

C.

32
.
5

D.

32

.
5

Lời giải
Chọn D

Ta có: 2 x. f ( x ) + x 2 . f  ( x ) = 4 x3 − 12 x 2 + 8 x   x 2 . f ( x )  = 4 x3 − 12 x 2 + 8 x

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:



 x 2 . f ( x ) dx =





( 4x

3

)

− 12 x 2 + 8 x dx

 x 2 . f ( x ) = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 + C

Chọn x = 0  C = 0 , nên f ( x ) = x 2 − 4 x + 4
Hoành độ giao điểm của đồ thị y = x 2 − 4 x + 4 với trục hồnh là x = 2 .

2

Nên thể tích cần tìm là: V = 

0 ( x

2

)

2

2

− 4 x + 4 dx = 



0 ( x − 2 ) dx = 5 ( x − 2 )
4

Câu 30: Cho hàm số y = f ( x ) dương, có đạo hàm liên tục trên

 −2;1

2
5

=
0

32
5

, thỏa mãn hệ thức

f ( x ) = f  ( x ) . x + 3 và f (1) = 1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f ( x ) , trục
hoành và các đường thẳng x = −2, x = 1 .

3e 2 − 1
A.
.
2e2

3e 2 + 1
B.
.
2e2

3e 2 + 1
C.
.
e2

3e 2 − 1
D.
.
e2
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 25

Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Lời giải

Chọn A
Ta có: f ( x ) = f  ( x ) . x + 3 

f ( x)
f ( x)

1

=

x+3

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: ln f ( x ) =
Do f (1) = 1 nên C = −4 . Vậy f ( x ) = e2

1



x+3

x +3 − 4

=

e2

1

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là: S =
1

Đặt I =

−2 e

2 x +3

dx  ln f ( x ) = 2 x + 3 + C

e4

1
e2
4
e −2



x +3

x +3

dx

dx .

Đặt t = 2 x + 3  t 2 = 4 ( x + 3)  dx =

tdt
2

Đổi cận: x = 1  t = 4; x = −2  t = 2
1

Nên: I =

e

2 x +3

−2

Câu 31: Cho hàm số

4

4
4
1 t
1
3e 4 − e 2
3e 2 − 1
dx =

e .tdt =  et t − et  =
S=
.
2
22
2 2
2
2e 2



f ( x ) = 2 x3 + ax 2 + bx + c

với

a , b, c

là

các

số

thực.

Biết

hàm

số

g ( x ) = f ( x ) + f  ( x ) + f  ( x ) có hai giá trị cực trị là −4 và 4 . Diện tích hình phẳng giới hạn

bởi các đường y =

f ( x)

g ( x ) + 12

A. 2ln 3 .

và y = 1 bằng

B. ln 3 .

C. ln18 .
Lời giải

D. ln 2 .

Chọn D
Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + f  ( x ) + f  ( x ) .
Ta có g  ( x ) = f  ( x ) + f  ( x ) + f  ( x ) = f  ( x ) + f  ( x ) + 12
Theo giả thiết ta có phương trình g  ( x ) = 0 có hai nghiệm m, n
 g ( m ) = gCD = 4
Vì g ( x ) là hàm bậc ba có hệ số a  0 nên nếu giả sử m  n thì 
 g ( n ) = gCT = −4

Xét phương trình

f ( x)

g ( x ) + 12

= 1  g ( x ) + 12 − f ( x ) = 0

x = m
 f  ( x ) + f  ( x ) + 12 = 0  g ' ( x ) = 0  
x = n
Diện tích hình phẳng cần tìm là:

f ( x) 
1−
dx =  1 −
 dx =

g
x
+
12
g
x
+
12
(
)
(
)



m
m
n



f ( x)

26| Biên soạn: Phan Nhật Linh

n



n

 g ( x ) + 12 − f ( x ) 
 dx
g ( x ) + 12


m 


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
n



=

m

f  ( x ) + f  ( x ) + 12
g ( x ) + 12

n

dx =

g( x )

 g ( x ) + 12

Phan Nhật Linh
n

=

dx

m



d ( g ( x ) + 12 )
g ( x ) + 12

m

= ln g ( n ) + 12 − ln g ( m ) + 12 = ln −4 + 12 − ln 4 + 12 = ln

= ln g ( x ) + 12

n
m

8
= ln 2 .
16

Câu 32: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f  ( x ) có diện tích bằng
A.

127
.
40

B.

107
.
5

C.

127
.

10

D.

13
.
5

Lời giải
Chọn B
Hàm số đã cho có dạng f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e , a  0

 f  ( x ) = 4ax3 + 3bx 2 + 2cx + d
Từ hình vẽ đã cho ta thấy đồ thị f ( x ) tiếp xúc với trục hoành tại các điểm ( −2;0 ) , (1;0 ) và đi
qua điểm ( 0;1) nên:
 f ( x ) = k .( x + 2 )2 . ( x − 1)2
1
1
2
2
 k =  f ( x ) = .( x + 2 ) . ( x − 1)

4
4
 f ( 0 ) = 1
1
1
3
3
3

Vậy f ( x ) = x 4 + x3 − x 2 − x + 1  f  ( x ) = x3 + x 2 − x − 1
4
2
4
2
2
Xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = f  ( x )

 x = −2
 x = −1
1 4 1 3 9 2 1
 x − x − x + x+2=0 
x = 1
4
2
4
2

x = 4

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f ( x ) , y = f  ( x ) là
4

S=

−2 f ( x ) − f  ( x ) dx

Do f ( x ) không đổi dấu trên các khoảng ( −2; − 1) , ( −1;1) , (1;4 ) nên ta có:
−1

1

4

  f ( x ) − f  ( x ) dx + −1  f ( x ) − f  ( x ) dx + 1  f ( x ) − f  ( x ) dx =
−2

107
(đvdt).
5

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 27


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Câu 33: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên

\ 0

Về đích đặc biệt 9+
thoã mãn f (1) = 3 và

f 2 ( x ) − 8 xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x 2 − 4 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường y = f ( x )
, trục Ox và hai đường thẳng x = 1; x = 2 .

A. ln 2 − 6 .

B. 8 − ln 2 .

C. 6 − ln 2 .

Lời giải

D. 10 − ln 2 .

Chọn C
Ta có f 2 ( x ) − 8 xf ( x ) − f ' ( x ) = −16 x 2 − 4  f 2 ( x ) − 8 xf ( x ) + 16 x 2 = f ' ( x ) − 4
 ( f ( x ) − 4 x ) = ( f ( x ) − 4 x ) ' (1) . Đặt f ( x ) − 4 x = h ( x ) . Ta có (1)  h 2 ( x ) = h ' ( x )
2



h '( x )

h ( x)
2

h '( x )

h



=1

2

( x)



−

dx = 1dx

1
= x+C
h( x)

 h( x) = −

1
x+C

1
1
1
Do f (1) = 3  C = 0  f ( x ) − 4 x = −  f ( x ) = − + 4 x
x+C
x
x
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng x = 1; x = 2
 f ( x ) − 4x = −

2

là S =

1

2

1

1 − x + 4 x dx = 6 − ln 2 .

f ( x ) dx =

Câu 34: Cho hàm số f ( x ) = x +
3

1

0 (10u − 4 x ) f (u )du có đồ thị ( C ) . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị ( C ) , trục tung, tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hồnh độ x = 2 là
A. S = 108

B. S = 12 .

C. S = 180 .
Lời giải

D. S = 112 .

Chọn B
Ta có f ( x ) = x +
3

1

0 (10u − 4 x ) f (u )du = x

1

Đặt a =

1

3

1

0

0

− 4 x f ( u )du + 10 uf ( u )du

1

0 f (u )du và b = 0 uf (u )du. Khi đó hàm số

f ( x ) có dạng f ( x ) = x3 − 4ax + 10b .

Suy ra f ( u ) = u 3 − 4au + 10b
1

a=

1

 f (u)du =  (
0

0

a=

1

)

1
1

u − 4au + 10b du =  u 4 − 2au 2 + 10bu  = − 2a + 10b .
4
0 4
3

1
1
− 2a + 10b  3a − 10b = (1) .
4
4

1

1

0 (

0

)

b = uf (u )du = u u 3 − 4au + 10b du
1

=

(
0

)

1

4
1 4
1

u − 4au + 10bu du =  u 5 − au 3 + 5bu 2  = − a + 5b .
3
5
0 5 3
4

2

28| Biên soạn: Phan Nhật Linh


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
1 4
4
1
 b = − a + 5b  a − 4b = (2)
5 3
3
5

Phan Nhật Linh

3

a = 4
Từ (1) và (2) ta được: 
b = 1

5
Suy ra f ( x ) = x3 − 3x + 2; f ( x) = 3 x 2 − 3. Ta có: f (2) = 4; f (2) = 9.
Phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại điểm có hồnh độ x = 2 :

y = 9 ( x − 2 ) + 4  y = 9 x − 14.
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị ( C ) với tiếp tuyến d là:

 x = −4
x3 − 3x + 2 = 9 x − 14  x3 − 12 x + 16 = 0  
x = 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , trục tung, tiếp tuyến d là
2

S=
Câu 35: Cho

0 x

2

3

0

− 3 x + 2 − ( 9 x − 14 ) dx = x − 12 x + 16 dx =

hàm

số

y = f ( x)

có

3

đạo

hàm

xác

2

0 ( x

3

)

− 12 x + 16 dx = 12.

định

 0;+  ) và thoả mãn
f ( 0 ) = 0 . Diện tích hình phẳng

trên

x 2 − x ( f  ( x ) − 2 ) + ( f ( x ) − f  ( x ) + 1) = 0 , x   0; +  ) và có
gới hạn bởi hai đồ thị y = f ( x ) và y = f  ( x ) bằng
A.

5 5
.
6

B.

3 3

.
4

C. 1 .

D.

8
.
3

Lời giải
Chọn A

Ta có: x 2 − x ( f  ( x ) − 2 ) + ( f ( x ) − f  ( x ) + 1) = 0

 x 2 − xf  ( x ) + 2 x + f ( x ) − f  ( x ) + 1 = 0
 ( x + 1) f  ( x ) − f ( x ) = ( x + 1) 
2

( x + 1) f  ( x ) − f ( x ) = 1, x  0; + 
)

( x + 1)2

f ( x)
 f ( x ) 

= x+C
 = 1, x   0; +  ) 

x +1
 x +1 
Mà f ( 0 ) = 0  C = 0  f ( x ) = x 2 + x  f  ( x ) = 2 x + 1


1+ 5
x =
2
Xét f ( x ) = f  ( x )  x 2 + x = 2 x + 1  x 2 − x − 1 = 0  

1− 5
x =

2
1+ 5
2

Vậy S =



1− 5
2

x 2 − x − 1 dx =

5 5
6

Biên soạn: Phan Nhật Linh | 29

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
y = f ( x ) có đạo hàm
Câu 36: Cho hàm số

liên

tục

Về đích đặc biệt 9+
và thỏa mãn

trên

f ( x ) = ( x − 1) f  ( x ) + 2 x3 − 3x 2 + 1 và f ( 2 ) = −6 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
y = f ( x ) và y = f  ( x ) + 2 bằng

A. 6 .

B. 8 .

D. 22 .

C. 15 .
Lời giải

Chọn B
Ta có f ( x ) = ( x − 1) f  ( x ) + 2 x3 − 3x 2 + 1  ( x − 1) f  ( x ) − f ( x ) = −2 x3 + 3x 2 − 1 (*)
Nếu x = 1 thì f (1) = 0

Nếu x  1 thì (*) 

( x − 1) f  ( x ) − f ( x ) = −2 x − 1
( x − 1)2

 f ( x ) 
f ( x)

= − x2 − x + C
 = −2 x − 1 
x
−
1
x −1



(

)

Mà f ( 2 ) = −6  C = 0 . Vậy f ( x ) = ( x − 1) − x 2 − x = − x3 + x  f  ( x ) = −3x 2 + 1 .
x = 3
Phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = f  ( x ) + 2  x − 3x − x + 3 = 0   x = 1 .
 x = −1
3

2

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và y = f  ( x ) + 2 là:

3

S=

−1 x

3

− 3 x 2 − x + 3 dx = 8 .

Câu 37: Cho hàm số

y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

và thỏa mãn

f (1) = 6 và

xf  ( x ) = f ( x ) + 3x 4 − 3x 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và y = f  ( x )
bằng
162
A.
.
5

B.

324
.
5

C.

104
.
5

D.

229
.
10

Lời giải
Chọn B
Từ giả thiết xf  ( x ) = f ( x ) + 3x 4 − 3x 2  xf  ( x ) − f ( x ) = 3x 4 − 3x 2 .
Có f ( 0 ) = 0 , với x  0 thì



f ( x)
x

xf  ( x ) − f ( x )
x2

 f ( x ) 
2
= 3x 2 − 3  
 = 3x − 3

x



= x3 − 3x + C , mà f (1) = 6 nên C = 8 . Do đó f ( x ) = x 4 − 3x 2 + 8 x (thỏa mãn).

Xét phương trình f ( x ) = f  ( x )  x 4 − 4 x3 − 3x 2 + 14 x − 8 = 0
 ( x − 1) ( x + 2 )( x − 4 ) = 0  x = 1 hoặc x = −2 hoặc x = 4 .
2

4

Vậy diện tích hình phẳng cần tính bằng S =

30| Biên soạn: Phan Nhật Linh

−2 x

4

− 4 x 3 − 3 x 2 + 14 x − 8 dx =

324
.
5


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
Câu 38: Cho

hàm

số

y = f ( x)

liên

tục

trên

Phan Nhật Linh
khoảng

  
− ;  .
 2 2

Biết

f (0) = 1

và

  
f  ( x ) cos x + f ( x ) sinx = 1 , x   − ;  . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
 2 2
  
y = f ( x ) , y = 2 và trục Oy ( trong miền x   − ;  ) bằng

 2 2
A.

2 − 4
.
4

2 − 1
.
4

B.

C.

2 − .

2−

D.


4

.

Lời giải

Chọn A

  
Với mọi x   − ;  , ta có: f  ( x ) cos x + f ( x ) sinx = 1
 2 2


f  ( x ) cos x − f ( x )( cos x )
cos2 x

=

 f ( x ) 
f ( x)
1
1


= tan x + C .

 =
2
2
cos x
cos x
 cos x  cos x

Mà f ( 0 ) = 1 nên C = 1 . Suy ra: f ( x ) = sinx + cos x .

  
Phương trình hồnh độ giao điểm của y = f ( x ) , y = 2 ( trong miền x   − ;  ) là:
 2 2



sinx + cos x = 2  x =

4

.

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) , y = 2 và trục Oy ( trong miền


  
x   − ;  ) bằng: S =
 2 2

4

 sin x + cos x −

2 dx =

0

Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

2 − 4
.
4

và thỏa mãn f ( x) + xf ( x) = 4 x3 − 6 x 2 , x 

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và y = f ( x) bằng

A.

7
.
12

B.

45
.
4

C.

1
.
2

D.

71
.
6

Lời giải
Chọn D

Ta có x 

: f ( x) + x. f ( x) = 4 x3 − 6 x 2  ( x)  f ( x) + x. f ( x) = 4 x 3 − 6 x 2
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 31


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

 [ x. f ( x)] = 4 x3 − 6 x 2  x. f ( x) = x 4 − 2 x3 + C

Với x = 0  C = 0 .
Do đó: f ( x) = x3 − 2 x 2  f ( x) = 3 x 2 − 4 x .
Phương trình hồnh độ giao điểm của y = f ( x ) và y = f ( x) là nghiệm của phương trình:
x = 0
x − 2 x = 3x − 4 x  x − 5 x + 4 x = 0   x = 1 .
 x = 4
Suy ra, diện tích phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f ( x ) và y = f ( x) là:
3

2

2

3

4

S=

0

Câu 40: Cho

2

1

f ( x ) − f ( x ) dx =
hàm

0 ( x

3

)

có

đạo

f ( x) + xf ( x) = 5 x 4 + 6 x 2 − 4, x 

1
xf ( x) bằng
4
112
A.
.

15

4

− 5 x + 4 x dx −

y = f ( x)

số

2

1 ( x

3

)

− 5 x 2 + 4 x dx =

hàm

liên

tục

7 45 71
+
=
.

12 4
6

trên

và

thỏa

mãn

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) và

y=

B.

272
.
15

C.

1088
.
15

D.

32

.
3

Lời giải
Chọn D
Ta có x 

: f ( x) + x. f ( x) = 5 x 4 + 6 x 2 − 4  ( x)  f ( x) + x. f ( x) = 5 x 4 + 6 x 2 − 4

 [ x. f ( x)] = 5 x 4 + 6 x 2 − 4  x. f ( x) = x5 + 2 x3 − 4 x + C

Với x = 0  C = 0 .
Do đó f ( x) = x 4 + 2 x 2 − 4  f ( x) = 4 x3 + 4 x .
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và y =

x4 + 2 x2 − 4 =

x = 2
1
.
x 4 x3 + 4 x  x 2 = 4  
4
 x = −2

(

)

Suy ra, diện tích phẳng giới hạn bởi các đường cong y = f ( x ) và y =
2

S=



−2

1
xf ( x) là:
4

1
xf ( x) là:
4

2

1
32
f ( x) − xf ( x) dx = 4 − x 2 dx =
.
4
3
−2



Câu 41: Cho hàm số f ( x ) liên trục trên

1

0

và thỏa mãn điều kiện f ( x ) = 2 x3 − 9 + xf

( 1 + 15x ) dx .
2

Đồ thị hàm số y = g ( x ) = ax3 + bx 2 + cx − 9 cắt đồ thị y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt có hồnh
độ lần lượt là 1;2;4 . Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong f ( x ) và g ( x ) có diện tích bằng:

A. I = 2.

3
B. I = .
2

C. I =
Lời giải

Chọn C
32| Biên soạn: Phan Nhật Linh

37
.
12

D. I = 1.

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
1

0

Đặt k = xf

)

(

4

1 + 15 x 2 dx =

Phan Nhật Linh
4

4

t
1
f ( t ) dt =
x f ( x ) dx  15k = x f ( x ) dx (1) .
15
15
1
1
1







Khi đó f ( x ) = 2 x 2 − 9 + k  x. f ( x ) = 2 x3 − 9 x + kx thay vào (1) , ta được:

(1)  15k =

4

 ( 2x
1

3

9
k 4
1
− 9 x + kx dx  15k =  x 4 − x 2 + x 2   k = 8  f ( x ) = 2 x 2 − 1 .
2
2 1
2

)

(

) (

)

Mặt khác: g ( x ) − f ( x ) = a ( x − 1)( x − 2 )( x − 4 ) = ax3 + bx 2 + cx − 9 − 2 x 2 − 1 .
 g ( x ) − f ( x ) = a ( x − 1)( x − 2 )( x − 4 ) = ax3 + ( b − 2 ) x 2 + cx − 8 .

Cho x = 0  −8a = −8  a = 1 .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong f ( x ) và g ( x ) bằng:
4

S=

37

1 ( x − 1)( x − 2 )( x − 4 ) dx = 12 .

 f ( x )  0
Câu 42: Cho hàm số y = f ( x ) , có đạo hàm f (1) = 1 và 
trên (1;+ ) thỏa mãn điều kiện

f
x

0
(
)


(

)

2  f ' ( x )  = ( x − 1) . 4 f ( x ) −  f  ( x )  + 4 . Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
2

2

2

hàm số y = f ( x ) với các đường x = 1; x = 2 và Ox ?

A. S =

4
.
3

8
B. S = .
3

C. S =

−4
.
3

−8
.
3

D. S =

Lời giải
Chọn A

(

)

Ta có 2  f  ( x )  = ( x − 1) . 4 f ( x ) −  f  ( x )  + 4 .
2

2

2

 2  f  ( x )  +  f  ( x )  .( x − 1) = 4 ( x − 1) .( f ( x ) + 1) .
2

2

(

2

)

2

  f  ( x )  . x 2 − 2 x + 3 = 4 ( x − 1) .( f ( x ) + 1) .
2

 f  ( x ).

(x

2

2

f ( x)
1
− 2 x + 3 = 2 ( x − 1) . f ( x ) + 1  .
=
2 f ( x) + 1

)

x −1
x − 2x + 3
2

.

'

  f ( x ) + 1 =  x 2 − 2 x + 3 + C  .

 


'

Mặt khác ta có f (1) = 1  f ( x ) = x 2 − 2 x + 2  S =

2

1

4
f ( x ) dx = .
3

Câu 43: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và có đạo hàm liên tục trên ( 0;+ ) thỏa mãn f (1) = 2 và

x ( f ' ( x ) − x ) = f ( x ) − 1, x  0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f ( x ) ;

x = 1; x = 3 và trục hoành bằng

A.

32
.
2

B.

20
.
3

C. 12 .

D.

32
.
3

Lời giải
Chọn D
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 33


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Ta có x ( f ' ( x ) − x ) = f ( x ) − 1  xf ' ( x ) − f ( x ) = x 2 − 1


xf ' ( x ) − f ( x )
x2

=

xf ' ( x ) − x ' f ( x ) x 2 − 1
x2 − 1

= 2

x2
x2
x

f ( x)
 f ( x ) 
1
1
= x + + C.

 =1− 2 
x
x
x
 x 

Mặt khác: f (1) = 2  C = 0 

f ( x)
x
3

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

1

= x+

1
 f ( x ) = x2 + 1

x

f ( x ) dx =

32
.
3

Câu 44: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( 0; +  ) thỏa mãn 2 xf  ( x ) + f ( x ) = 4 x x . Biết f (1) = 1 .
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỏi đồ thị của hàm số g ( x ) = f ( x ) − 2 xf  ( x ) , trục hoành, đường
thẳng x = 1; x = 4 .

A.

14
.
3

B.

124
.
5

C.

62
.
5

D.

28
.
3

Lời giải
Chọn B
Với x  0 ta có:
2 xf  ( x ) + f ( x ) = 4 x x 



(

2 xf  ( x ) + f ( x )
2 x

=

1
4x x
 x. f  ( x ) +
f ( x ) = 2x
2 x
2 x

)



x. f ( x ) = 2x  x. f ( x ) = x2 + C
1. f (1) = 12 + C  1 = 1 + C  C = 0  x . f ( x ) = x 2

Với x = 1 ta có

 f ( x) =

,

 f ( x) = x x

3
x . Suy ra g ( x ) = −2 x x .
2
4

Vậy diện tích S =

1 −2 x

x =

124
(Đvtt)
5

Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) có f ( 0 ) = 0 , đạo hàm f  ( x ) liên tục trên  −2; + ) và thỏa mãn

( x + 2 ) f  ( x ) − 2 f ( x ) = ( x − 2 )( x + 2 )3 với mọi
đồ thị của hàm số y = f ( x ) và trục hoành bằng

A.

432
.
5

B.

448
.
5

x   −2; + ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

C.

464
.
5

Lời giải
Chọn C
Xét x = −2 : từ điều kiện ta có f ( −2 ) = 0 .
Xét x  −2 : chia hai vế của điều kiện cho ( x + 2 ) ta được
3

1

( x + 2)

2

f ( x) −

2

( x + 2 )3

34| Biên soạn: Phan Nhật Linh

f ( x) = x − 2 .

D.

446
.
5


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

 f ( x ) 
 1 
f ( x)
2
x2

=

−


=
x
+
2
Do 
nên
,
suy
ra
=
− 2 x + C hay
2
2
 ( x + 2 ) 
 ( x + 2 ) 
( x + 2 )3
( x + 2 )2 2
2

2 x
f ( x ) = ( x + 2)  − 2x + C 
 2

2
x

Vì f ( 0 ) = 0 nên C = 0 , suy ra f ( x ) = x  − 2  ( x + 2 ) .

2

2
x

Kết hợp cả hai trường hợp ta có f ( x ) = x  − 2  ( x + 2 ) với mọi x   −2; + ) .
2


Phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm x = −2 , x = 0 và x = 4 . Bên cạnh đó f ( x )  0 với mọi
x   0;4 và f ( x )  0 với mọi x   −2;0 .
0

4

464
2
2
x

x

Vậy diện tích cần tìm là: S = x  − 2  ( x + 2 ) dx − x  − 2  ( x + 2 ) dx =
.
2
2
5





−2
0





Biên soạn: Phan Nhật Linh | 35


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

DẠNG 11
A

Phan Nhật Linh

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI SỐ PHỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Xét phương trình bậc hai az 2 + bz + c = 0, ( ) với a  0 có:  = b 2 − 4ac .

b
.
2a

▪

Nếu  = 0 thì ( ) có nghiệm kép: z1 = z2 = −

▪

Nếu   0 thì ( ) có hai nghiệm thực phân biệt z1,2 =

▪

Nếu   0 thì ( ) có hai nghiệm phức phân biệt z1,2 =

−b  
.
2a
−b  i 
2a

. Hai nghiệm phức này là 2 số

phức liên hợp của nhau.
 Lưu ý
▪
▪

b
c
và z1 z2 = .
a
a
Căn bậc hai của số phức z = x + yi là một số phức w và tìm như sau:
Hệ thức Viét vẫn đúng trong trường phức

: z1 + z2 = −

Đặt w = z = x + yi = a + bi với x, y, a, b  .

w = x + yi = ( a + bi )
2

2

Giải hệ này với a, b 

B

a 2 − b 2 = x
 a − b + 2abi = x + yi  
.
2ab = y

(

2

2

)

sẽ tìm được a và b  w = z = a + bi .

BÀI TẬP TRONG ĐỀ MINH HỌA

Câu 42 – Đề tham khảo 2023. Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 = 0 ( m là số
thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
z1 + z2 = 2?

A. 1.

B. 4.

C. 2.

D. 3.

 Lời giải
Chọn C
Ta có:  = 2m + 2
Trường hợp 1:   0  m  −1.
Phương trình có hai nghiệm phức, khi đó: z1 = z2 =

c
= m2 .
a

m = 1
Suy ra: 2 m2 = 2  
.
 m = −1 (l )
Trường hợp 2:   0  m  −1.
Vì a.c = m 2  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt z1.z2  0 hoặc z1.z2  0.

 m = −2 (l )

Suy ra: z1 + z2 = 2  z1 + z2 = 2  2m + 2 = 2  
.
m = 0
Vậy có 2 giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán.
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 1


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

C
Câu 1:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN
Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − (m + 2) z + m 2 = 0 ( m là số thực). Có bao nhiêu
3

3

giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa nãm z1 + z2 = 16 .
A. 3.
Câu 2:

B. 4.

C. 5.

D. 2.

Cho phương trình z 2 − 2mz + 6m − 8 = 0 . ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 z1 = z2 z2 ?
A. 4 .

Câu 3:

B. 1 .

D. 2 .

C. 3 .

Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m2 + 2 = 0 ( m là số thực). Có bao
nhiêu giá trị của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 8?
A. 1.

Câu 4:

B. 4.

C. 2.

D. 3.

Cho các số thực b , c sao cho phương trình z 2 + bz + c = 0 có hai nghiệm phức z1 ; z2 với phần
thực là số nguyên và thỏa mãn z1 + 3 − 2i = 1 và ( z1 − 2i )( z2 + 2 ) là số thuần ảo. Khi đó, b + c
bằng
A. −1 .

Câu 5:

B. 12 .

D. −12 .

C. 4 .

Gọi z1 , z2 , z3 , z4 là 4 nghiệm phức của phương trình z 4 + ( 4 − m ) z 2 − 4m = 0 . Tìm tất cả các giá
trị m để z1 + z2 + z3 + z4 = 6 .
A. m = −1 .

Câu 6:

B. m = 2 .

C. m = 3

D. m = 1 .

Trong tập số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m − 1) z + 2m − 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi S là
tập hợp các giá trị ngun của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z 2 thỏa mãn
z1 = z2 . Tổng các phần tử của tập S là

A. 3.
Câu 7:

B. 1.

C. 6.

D. 2.

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − ( a − 3) z + a 2 + a = 0 ( a là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình có 2 nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn
z1 + z2 = z1 − z2 ?

A. 4 .
Câu 8:

B. 2 .

D. 1 .

C. 3 .

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 6 z + m = 0 (1) ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng ( 0;20 ) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 = z2 .z2 ?

A. 10 .
Câu 9:

B. 11 .

C. 12 .

D. 13 .

Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( 2m − 1) z + m2 = 0 ( m là số thực). Khi phương
2

2

trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 sao cho biểu thức T = z1 + z2 − 10 z1z2 đạt giá trị nhỏ
nhất thì giá trị m thuộc khoảng nào sau đây?
A. ( −1;1) .

2| Biên soạn: Phan Nhật Linh

B. 1;2 ) .

3 
C.  ;3  .
2 

D. ( 2;+ ) .


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 10: Gọi

z1 , z2 là

các

nghiệm phức
1
1
z12021 − z22022 + 2021 − 2022 bằng

z1
z2

của

Phan Nhật Linh

phương

trình

z2 − z + 1 = 0 .

Khi

đó

A. −1 .
B. 22021 i .
C. 2022 .
D. 2021 .
2
2
Câu 11: Gọi S là tập hợp các số thực m để phương trình z + 3 z + m − 2m = 0 có một nghiệm phức
z 0 với z0 = 2 . Tổng tất cả các phần tử trong S là
A. 0 .
B. −6 .
C. −5 .
D. 4 .
2

2
Câu 12: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − 2 ( m + 2 ) z + 2m − 3m + 10 = 0 ( m là số thực). Biết
rằng phương trình trên có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
nhất của biểu thức T = z − z1 + z − z2 với z 

1
1
1
+
= . Tìm giá trị nhỏ
z1
z2 4

.

A. 0 .
B. 39 .
C. 231 .
D. 613 .
Câu 13: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2mz + 8m − 12 = 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
z1 = z2 ?

A. 5

B. 6 .

D. 4 .

C. 3 .

Câu 14: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 6 z + m = 0 ( m là tham số thực). Gọi mo là một
giá trị ngun của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 = z2 .z2 .
Trong khoảng ( 0;20 ) có bao nhiêu giá trị mo
A. 11 .

B. 13 .

C. 12 .

D. 10 .

Câu 15: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2mz + 2m 2 − 2m = 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m  ( −10;10 ) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2
thỏa mãn z1 − 2 = z2 − 2 ?
A. 15 .

B. 16 .

C. 17 .

D. 18 .

Câu 16: Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z + 6 z + 10 = 0. Giá trị biểu thức
2

w = ( 2 + z1 )

1000

+ ( 2 + z2 )

A. w = 2501 .

1000

là

B. w = 0 .

C. 2500 i .

D. w = −2500 i .

Câu 17: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 + 2mz − m + 12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị ngun của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z 2 thỏa mãn
z1 + z2 = 2 z1 − z2 ?

A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 18: Cho các số thực b, c sao cho phương trình z 2 + bz + c = 0 có hai nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn
z1 − 4 + 3i = 1 và z2 − 8 − 6i = 4 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 5b + c = −12.

B. 5b + c = 4.

C. 5b + c = −4.

D. 5b + c = 12.

Câu 19: Trong tập hợp các số phức, cho phương trình z 2 − 2 ( a − 45 ) z + 2016 − 80a = 0 ( a là tham số
thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun dương của a để phương trình có hai nghiệm phân biệt
z1 , z2 sao cho z1 = z2
A. 7 .

B. 8 .

C. 9 .

D. 10 .
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 3


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 20: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình z 2 + 2mz + 1 = 0 có hai nghiệm phức phân biệt
z1 , z2 thỏa mãn z1 + 3 = z2 + 3 .
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .

Câu 21: Có bao nhiêu giá trị m nguyên và m   −2022;2022 để phương trình z 2 − 2 z + 1 − 3m = 0 có
hai nghiệm phức thỏa mãn z1.z1 = z2 .z2 .
A. 4045 .
B. 2021 .
C. 2022 .
D. 2023
2
Câu 22: Gọi z là nghiệm có phần ảo dương của phương trình z + z + 1 = 0 . Tính giá trị biểu thức
3
1
A = z 2022 − 2 z 2021 + 2022 − 2021 + 1 .
z
z
13
3
13
3
A. 0 .
B. i .
C.
D.
+
i.
−
i.
2
2
2
2
Câu 23: Trên tập hợp các số phức, gọi S là tổng các giá trị thực của m để phương trình

mz 2 + 2 ( m + 1) z − m + 6 = 0 có nghiệm z 0 thỏa mãn z0 = 1 . Tính S .
A. 3 .
B. −4 .
C. 1 .
D. −2 .
2
Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình z − 2mz + 9m − 8 = 0 có hai
nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 .
A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7 .
Câu 25: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ( z − 1 − a )( z + 1 − a ) = 6 z ( a là tham số thực). Có
2

2

bao nhiêu giá trị của a để phương trình đó có hai nghiệm z1 , z 2 thỏa mãn z1 + z2 = 42 ?
A. 1 .

B. 2 .

D. 4 .

C. 3 .

Câu 26: Trên tập số phức, xét phương trình z − 4 ( m + 1) z + 4m + 2 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
2

2

nhiêu giá trị của tham số m để phương trình đó có nghiệm z 0 thoả mãn z0 = 4 ?
A. 1 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

Câu 27: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 4 ) z + m 2 − 8 = 0 ( m là tham số thực).
Tính tổng các giá trị của m để phương trình đó có nghiệm z o thỏa mãn zo = 3 ?
A. 17 .
B. 6 .
C. 6 + 17 .
D. 6 − 17 .
2
2
Câu 28: Tìm tổng các giá trị của số thực a sao cho phương trình z + 3 z + a − 2a = 0 có nghiệm phức
z 0 thỏa z0 = 2 .
A. 0 .
B. 2 .
C. 6 .
D. 4 .
2
2
Câu 29: Có bao nhiêu giá trị thực của m để phương trình: 4 z + 4 ( m − 1) z + m − 3m = 0 có hai nghiệm
z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 2 ?

A. 1 .

B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 30: Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết z1 = w + 2i và z2 = 2 w − 3 là hai nghiệm phức của
phương trình z 2 + az + b = 0 . Tính giá trị của T = z1 + z2 .
A. T = 2 13 .

B. T = 4 13 .

C. T =

2 97
.
3

D. T =

2 85
.
3

Câu 31: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2az + b 2 − 20 = 0 (1) với a, b là các tham số nguyên
dương. Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn: z1 + 3iz2 = 7 + 5i thì giá trị
của biểu thức 7 a + 5b bằng
A. 19 .
B. 17 .
C. 32 .
D. 40 .
Câu 32: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − 2mz + m 2 − 2m = 0 ( m là tham số thực). Có bao
4| Biên soạn: Phan Nhật Linh

Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
nhiêu giá trị thực của m để phương trình có nghiệm z 0 thỏa mãn z0 = 2

B. 1 .

A. 0 .

C. 2 .

Phan Nhật Linh

D. 3 .

Câu 33: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z 2 − ( a − 3) z + a 2 + a = 0 có 2 nghiệm phức z1 , z2
thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 ?
A. 4 .

B. 2 .

C. 1 .

D. 3 .

Câu 34: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2mz + 8m − 12 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = 4 ?
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 35: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z 2 − ( a − 3) z + a 2 + a = 0 có hai nghiệm phức z1 , z2
thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 ?
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

D. 4 .

Câu 36: Cho số phức w và hai số thực b , c . Biết rằng w + 2 và 3w − 4i là hai nghiệm của phương trình
2022 z 2 + bz + c = 0 . Tính giá trị biểu thức P = b + c bằng
A. P = −4044 .
B. P = 8088 .
C. P = 4044 .

D. P = −8088 .

Câu 37: Gọi z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 − z + 2 = 0 . Phần ảo của số phức
( z1 − i )( z2 − i ) 

2022

A. −21011 .

là
B. 22022 .

C. −22022 .

D. 21011 .

Câu 38: Cho phương trình 4 z 4 + mz 2 + 4 = 0 trong tập số phức và m là tham số thực. Gọi z1 , z2 , z3 , z4
là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để

(z

2
1

)(

)(

)(

)

+ 4 z22 + 4 z32 + 4 z42 + 4 = 324 .

m = 2
A. 
.
 m = −15

 m = −2
B. 
.
 m = 15

m = 1
C. 
.
 m = −35

 m = −1
D. 
.
 m = 35

Câu 39: Tổng các giá trị nguyên của tham số a để phương trình z 2 − 2 ( a + 2 ) z + a 2 + 3a = 0 có hai
nghiệm phức z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 ?
A. 4.
B. −3 .
C. 3.
D. −4 .
Câu 40: Cho số phức w và hai số thực a, b Biết rằng w + i và 2 w − 1 là hai nghiệm của phương trình
z 2 + az + b = 0 . Tính tổng S = a + b
13
−5
5
−13
A.
B.
C.

D.
9
9
9
9
2
Câu 41: Kí hiệu z1 , z2 là hai nghiệm phức của phương trình z + z + m = 0 . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của m để z1 + z2 = 2.
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .
Câu 42: Cho số phức w và hai số thực a , b . Biết rằng w + i và 3 − 2w là hai nghiệm của phương trình
z 2 + az + b = 0 . Tổng S = a + b bằng
A. −3 .
B. 3 .
C. 9 .
D. 7 .
Câu 43: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − mz + m + 1 = 0 . Tính tổng các giá trị của m để
phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z12 + z2 2 = z1 z2 + 1 .
A. −1 .
B. −4 .
C. 3 .
D. 5 .
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 5


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Câu 44: Trên tập số phức, xét phương trình z 2 − 2mz + 4m − 3 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị nguyên dương của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z 2 thỏa mãn
z1 + z2 = 8 ?

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Câu 45: Trên tập các số phức, xét phương trình z 2 − mz + m + 8 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu
giá trị ngun của tham số m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 phân biệt thỏa mãn

(

) (

)

z1 z12 + mz2 = m2 − m − 8 z2 ?

A. 12 .

B. 6 .

C. 5 .

D. 11 .

Câu 46: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 6 z + m = 0 (1) ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị nguyên của m thuộc khoảng ( 0;20 ) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 = z2 .z2 ?

B. 11 .

A. 20 .

C. 12 .

D. 10 .

Câu 47: Cho phương trình 4 z 4 + mz 2 + 4 = 0 trong tập số phức và m là tham số thự C.
Gọi
z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của m để

(z

2
1

)(

)(

)(

)

+ 4 z22 + 4 z32 + 4 z42 + 4 = 324 .

A. m = 1 hoặc m = −35 . B. m = −1 hoặc m = −35 .
C. m = −1 hoặc m = 35 . D. m = 1 hoặc m = 35 .
Câu 48: Gọi

z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm phức của phương trình z 4 + 5 z 2 + 4 = 0 . Tổng

T = z1

2022

+ z2

2022

A. 1 + 22022 .

+ z3

2022

+ z4

2022

bằng?

B. 2 + 22022 .

C. 1 + 22023 .

D. 2 + 22023 .

Câu 49: Cho phương trình z 2 − 2 ( m − 2 ) z + m 2 − 5 = 0 ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên
2

2

của tham số m để phương trình có hai nghiêm phức phân biệt z1 , z2 thoả mãn z1 + z2  8 ?
A. 5 .

B. 7 .

C. 2 .

D. 1 .

Câu 50: Biết phương trình z 2 + mz + m 2 − 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm phức z1 , z2 . Gọi A, B, C
lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 , z2 và z0 = i . Có bao nhiêu giá trị của tham số m
để diện tích tam giác ABC bằng 1 ?
A. 2.
B. 3.

C. 4.

D. 1.

Câu 51: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2z − m + 2 = 0 ( m là tham số thực). Gọi T là
tập hợp các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt được biểu diễn hình học
bởi hai điểm A, B trên mặt phẳng tọa độ sao cho diện tích tam giác ABC bằng 2 2 , với
C ( −1;1) . Tổng các phần tử trong T bằng

A. 8 .

B. 4 .

C. 9 .

D. −1 .

c
c
= 0 (với c, d  và phân số
tối
d
d
giản) có hai nghiệm z1 , z2 . Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn hình học của z1 , z2 trên mặt

Câu 52: Trên tập hợp các số phức, cho biết phương trình z 2 − 2 z +

6| Biên soạn: Phan Nhật Linh


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
phẳng Oxy . Biết tam giác OAB đều, tính giá trị của P = c + 4d .

A. P = 19 .

B. P = 16 .

C. P = 22 .

Phan Nhật Linh

D. P = 14 .

Câu 53: Biết rằng phương trình z 2 + 2az + b = 0 (a, b là các số thực dương) có hai nghiệm phức liên hợp
z1 , z2 . Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức w = 2, z1 , z2 . Tính giá trị của biểu

thức T = b − 4a biết rằng ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác vng có diện tích bằng 9 .
A. 6 .

B. −8 .

C. 9 .

D. 14 .

Câu 54: Kí hiệu z 0 là nghiệm phức có phần thực và phần ảo đều âm của phương trình z 2 + 2 z + 5 = 0
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , điểm M nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức w = i 3 z0 ?
A. M ( 2;1) .

B. M ( −2; −1) .

C. M ( 2; −1) .

D. M ( −1; 2 ) .

Câu 55: Trên tập hợp các số phức, phương trình z 2 + ( a − 2 ) z + 2a − 3 = 0 ( a là tham số thực) có 2
nghiệm z1 , z 2 . Gọi M , N là điểm biểu diễn của z1 , z 2 trên mặt phẳng tọa độ. Biết rằng có 2
giá trị của tham số a để tam giác OMN có một góc bằng 120 . Tổng các giá trị đó bằng bao
nhiêu?
A. 6 .
B. −4 .
C. 4 .
D. −6 .
Câu 56: Trong tập các số phức, cho phưong trình z 2 − 6 z + m = 0, m  (1) . Gọi m0 là một giá trị của m
để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1  z1 = z2  z2 . Hỏi trong khoảng
(0; 20) có bao nhiêu giá trị m0 

A. 10 .

?

B. 12 .

C. 11 .

D. 13 .

Câu 57: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m + 3 = 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z 0 thỏa mãn z0 + 2 = 6 ?
A. 3.

B. 4.

C. 1.

D. 2.

Câu 58: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( 2m − 1) z + 4m 2 − 5m = 0 ( m là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z 0 thoả mãn

z0 2 + (1 − 4m ) z0 + 4m 2 − 5m − 3 = 10 ?
A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D 3.
.

Câu 59: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2mz + 2m 2 − 2m = 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị nguyên của m  ( −10;10 ) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2
thỏa mãn z1 − 2 = z2 − 2 ?
A. 15

B. 18 .

C. 16 .

D. 17 .

Câu 60: Trong tập số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m − 1) z + 4 = 0 ( m là tham số thực ). Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2
. Tính tổng các phần tử của tập S

A. 3 .
B. 2 .

C. 6 .

D. 5 .

Câu 61: Trên tập số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m − 4 ) z + m 2 − 4m + 1 = 0 , m là tham số thự

C.

Có bao nhiêu giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa điều
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 7


Về đích đặc biệt 9+

Phát triển các dạng tốn trọng tâm THPT Quốc Gia 2023
kiện z1 + z2 − 2 z1 z2 = z1 .

A. 3 .

B. 2 .

C. 0 .

D. 3.

Câu 62: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 − 3m + 5 = 0 ( m là tham số
3

thực). Hỏi tổng các giá trị của m để phương trình trên có nghiệm z 0 thỏa mãn z0 − 12 = 5 z0
?
A. 9 .

B. 12 .

C. 10 .

D. 8 .

Câu 63: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình: z 2 − 2 ( m + 1) z + m 2 = 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị của m để phương trình trên có nghiệm z 0 thỏa mãn z0 = 6 ?
A. 4 .

C. 2 .

B. 3 .

D. 1 .

Câu 64: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( 2m − 1) z + 4m 2 − 5m = 0 ( m là tham số thực).
Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm z 0 thoả mãn z0 + 3 = 10 ?
A. 1 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 3 .

Câu 65: Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình z 2 − ( a − 3) z + a 2 + a = 0 có 2 nghiệm phức z1 , z2
thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 ?
A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 66: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z − 2mz + 7 m − 10 = 0 ( m là tham số thực). Có bao
nhiêu giá trị ngun của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
2

z1 + 1 − 3i = 3 , z2 − 3 + 5i = 5 ?

A. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .

2
Câu 67: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z − 2 ( m + 1) z + 8m − 4 = 0 ( m là tham số thực). Có

bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn
z12 − 2mz1 + 8m = z22 − 2mz2 + 8m ?

A. 4 .

B. 3 .

C. 5 .

Câu 68: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − m + 1z −

D. 6 .

(

)

1 2
m − 5m − 6 = 0(m là tham số thực).
4

Có bao nhiêu số nguyên m  [−10;10] đề phương trình trên có hai nghiệm phức

z1 , z2 thỏa mãn

z1 + z2  z1 − z2 ?
A. 11.

B. 10.

C. 8.

D. 9.

Câu 69: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z 2 − 2 ( m + 1) z + m + 3 = 0 ( m là tham số thực). Có
bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm phức z 0 thỏa mãn z0 + 2 = 6 ?
A. 3 .

8| Biên soạn: Phan Nhật Linh

B. 1 .

C. 4 .

D. 2 .


Phát triển các dạng toán trọng tâm THPT Quốc Gia 2023

Phan Nhật Linh

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1:

Trên tập hợp số phức, xét phương trình z 2 − (m + 2) z + m 2 = 0 ( m là số thực). Có bao nhiêu
3

3

giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa nãm z1 + z2 = 16 .
A. 3.

B. 4.

C. 5.
Lời giải

D. 2.

Chọn A
Ta có  = −3m 2 + 4m + 4

2

m−

TH1:   0 
3

m

2

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 = z2 .
3

3

3

Khi đó z1 + z2 = 16  2 z1 = 16  z1 = 2  z1.z2 = 4 .
Theo Vi-ét ta có m 2 = 4  m = 2 . Kết hợp điều kiện ta được m = −2 .

2
TH2:   0  −  m  4 .Vì
3
z1 + z2 = z1 + z2 − 3 z1z2 ( z1 + z2 ) = z1 + z2 − 3z1z2 ( z1 + z2 )
3

3

3

3

= ( m + 2 ) − 3m 2 ( m + 2 ) = − 2m3 +12m + 8
3

 m = −1 + 3

Nên −2m3 + 12m + 8 = 16  −2m3 + 12m − 8 = 0   m = −1 − 3
m = 2

Kết hợp điều kiện ta được m = 2; m = −1 + 3 .
Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2:

Cho phương trình z 2 − 2mz + 6m − 8 = 0 . ( m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 z1 = z2 z2 ?
A. 4 .

B. 1 .

D. 2 .

C. 3 .
Lời giải

Chọn D
Ta có  = m 2 − 6m + 8
m  4
TH1:   0  
m  2
Khi đó phương trình

đã

cho

có

hai

nghiệm

thực

phân

biệt

z1 , z2

và

 z1 = z2 ( loai )
z1 z1 = z2 z2  z12 = z22  
 z1 + z2 = 0  2m = 0  m = 0 ( tm )
 z1 = − z2
TH2:   0  2  m  4
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt z1 , z2
z1 z1 = z2 z2  z1.z2 = z1.z1 ( luôn đúng)

Mà m 

 m  3 . Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.
Biên soạn: Phan Nhật Linh | 9